546

Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Познакомиться с средствами MathLab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи. Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта.

Русский

2013-01-06

101.5 KB

56 чел.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт космических и информационных технологий

Кафедра информационных систем

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

«Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab»

Преподаватель

    Е.Д. Агафонов.

подпись, дата инициалы, фамилия

Студент        КИ09-08          030900146          20.03.2012            О.В.Пен

                           номер группы    номер зачетной книжки                       дата                 инициалы, фамилия

Красноярск 2012


Цель работы: познакомиться с средствами Mathlab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи.

Краткие теоретические сведения

Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта. Имеется некий объект, заданный следующим уравнением:

х(u1, u2,…,un) =a0+ a1*f(u1)+a2*f(u2)+…+an*f(un)                  (1)

В таком случае его модель примет следующий вид

 у(u1,…, un) = α0 + α1*f(u1) + α2*f(u2) + αn*f(un)                (2)

В случае представления вектора коэффициентов а и вектора функций в виде матриц, уравнение приобретает следующий вид:

         у(u1,…, un) = αT * φ(u)                                                               (3)

Пусть матрица функции φ(u) = Ф, матрица выходов  - Н, тогда:

Н = Ф* α     (4)

НФТ = ФТФ α  (5)

Тогда можно найти коэффициенты α модели:

α = (ФТФ)-1ФТН   (6)

В дальнейшем, сравнивая квадрат разности между выходами объекта и модели, получившимися при подстановке коэффициентов α в исходный полином, мы получим ошибку работы метода.

Листинг программы

  1.  Область генерации случайного входа

close all

n=100;

u1 = 100*rand(n,1);

u2 = 100*rand(n,1);

k1 = 2; k2 = 3; k3 = 4; k4 = 5; k5 = 6; k6 = 7;

x = k1*u1.^2 + k2*u2.^2 + k3*u1 + k4*u2 + k5*u1.*u2 + k6 + normrnd(0,10000,n,1);

h = x;

phi1 = ones(n,1);

  2. Область генерации матрицы Ф

F = [u1.^2 u2.^2 u1 u2 u1.*u2 phi1];

  3. Область нахождения коэффициентов модели и построения выхода модели

a = (F'*F)^(-1)*F'*h

y = a(1)*u1.^2 + a(2)*u2.^2  + a(3)*u1 + a(4)*u2 + a(5)*u1.*u2 + a(6);

  4. Область нахождения ошибки

nevyazka = y-x;

nevyazka2 = nevyazka.^2;

oshibka = sum(nevyazka2)/n;

    5. Область рисования графика

[u1_, u2_] = meshgrid(0:1:100, 0:1:100);

y_ = a(1)*u1_.^2 + a(2)*u2_.^2  + a(3)*u1_ + a(4)*u2_ + a(5)*u1_.*u2_ + a(6);

 

mesh(u1_,u2_,y_);

hold on

plot3(u1,u2,x,'.');

Результаты работы программы

Рисунок 1 График модели (радужный) и объекта (точки) для высокого уровня дисперсии

Как видно, модель не полностью отвечает объекту (рис.1). Это обусловлено высоким уровнем дисперсии помехи, заявленным в программе. Понижение уровня дисперсии ведет к более точному совпадению модели и объекта (рис.2).

Рисунок  2 График модели и объекта для низкого уровня дисперсии.

Вывод

Как можно заметить исходя из графиков, уровень дисперсии помехи значительно влияет на точность модели при использовании метода наименьших квадратов. Средства MathLab позволяют построить быструю и точную модель при использовании сравнительно малого объема кода, кроме того, имеется возможность проиллюстрировать работу программы при использовании высокоуровневых 3D-графиков.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60998. Сценарий 1 Сентября: «Тайна золотого ключика» 50 KB
  И вы опоздали Пьеро: Увы Он не опаздывает Мальвина: О ужас Он пропал Артемон: Вау пропал Ведущий: Как пропал Он попал в беду Что же вы причитаете можете хоть что-нибудь объяснить Пьеро: О горе Мы сбежали от Карабаса Барабаса...
60999. «Школьники против Диких Гитар». Сценарий 1 Сентября 38.5 KB
  Кот Матвей: Вас приветствует группа Дикие гитары Это Кикиморы-сестры: Баба и Яга Леший и я кот Матвей Встречайте нас Поют: Эх бараночки конфеты Бары растабары Мы лесные Самоцветы: Дикие гитары Мы кричим и бренчим...
61000. «Волк и семеро козлят». Сценарий. Праздник 8 Марта 35 KB
  Семеро козлят в доме. Разучивают песню «Мама». Кто-то отчаянно фальшивит. Старший козлик — он дирижер, стучит палочкой по пульту. Все умолкают. 1 козлик: Стойте, братцы! Так дело не пойдет. Надо петь не «бе», а «ме»! еще раз! Сначала: и!
61001. СЛУШАЙТЕ, СМОТРИТЕ, ПОМНИТЕ! ВОСПИТАТЕЛЬНОЕ МЕРОПРИЯТИЕ 64 KB
  Вступление А может не было войны Что мы знаем о войне. Дети войны. Ход мероприятия Организационный момент Вступление Под песню Марка Бернеса Журавли выходят ведущие юноша и девушка одетые в военные пилотки белые блузки читают слова...
61002. Интеллектуально-познавательная игра: День Благодарения 50 KB
  Проводится в 24 ноября в рамках школьной недели по английскому языку как приобщение к культурной традиции изучаемого языка такой страны как Америка с целью повышения интереса к изучению английского языка и расширения кругозора учащихся.
61004. Усний журнал: Рідний край,де ми живем, Україною зовем 61 KB
  Мова кожного народу неповторна і своя це рядки з вірша. Українська мова давня й молода. Рідна мова в рідній школі Що бринить нам чарівніш I дорожча в час недолі Рідна мова Рідна мова Що в єдине нас злива Перші матері слова...
61005. Квадратні рівняння. Вказівка розгалуження. Логічні вирази. Елементи математичної логіки 137 KB
  Квадратні рівняння. Ввести поняття квадратного рівняння. Класифікувати квадратні рівняння та методи їх розвязання. Введенню поняття квадратного рівняння попередньо звернемося до задачі...
61006. Сценарій до 8 Березня: Жінка – одвічна загадка природи 43 KB
  Я не цвіт не зоря не сніжинка Це прекрасні природи витвори Я сильна слабка жінка Саме так з великої літери Ці слова може сказати про себе кожна з вас бо ваша жіноча доля заслуговує на повагу.