546

Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Познакомиться с средствами MathLab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи. Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта.

Русский

2013-01-06

101.5 KB

57 чел.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт космических и информационных технологий

Кафедра информационных систем

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

«Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab»

Преподаватель

    Е.Д. Агафонов.

подпись, дата инициалы, фамилия

Студент        КИ09-08          030900146          20.03.2012            О.В.Пен

                           номер группы    номер зачетной книжки                       дата                 инициалы, фамилия

Красноярск 2012


Цель работы: познакомиться с средствами Mathlab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи.

Краткие теоретические сведения

Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта. Имеется некий объект, заданный следующим уравнением:

х(u1, u2,…,un) =a0+ a1*f(u1)+a2*f(u2)+…+an*f(un)                  (1)

В таком случае его модель примет следующий вид

 у(u1,…, un) = α0 + α1*f(u1) + α2*f(u2) + αn*f(un)                (2)

В случае представления вектора коэффициентов а и вектора функций в виде матриц, уравнение приобретает следующий вид:

         у(u1,…, un) = αT * φ(u)                                                               (3)

Пусть матрица функции φ(u) = Ф, матрица выходов  - Н, тогда:

Н = Ф* α     (4)

НФТ = ФТФ α  (5)

Тогда можно найти коэффициенты α модели:

α = (ФТФ)-1ФТН   (6)

В дальнейшем, сравнивая квадрат разности между выходами объекта и модели, получившимися при подстановке коэффициентов α в исходный полином, мы получим ошибку работы метода.

Листинг программы

  1.  Область генерации случайного входа

close all

n=100;

u1 = 100*rand(n,1);

u2 = 100*rand(n,1);

k1 = 2; k2 = 3; k3 = 4; k4 = 5; k5 = 6; k6 = 7;

x = k1*u1.^2 + k2*u2.^2 + k3*u1 + k4*u2 + k5*u1.*u2 + k6 + normrnd(0,10000,n,1);

h = x;

phi1 = ones(n,1);

  2. Область генерации матрицы Ф

F = [u1.^2 u2.^2 u1 u2 u1.*u2 phi1];

  3. Область нахождения коэффициентов модели и построения выхода модели

a = (F'*F)^(-1)*F'*h

y = a(1)*u1.^2 + a(2)*u2.^2  + a(3)*u1 + a(4)*u2 + a(5)*u1.*u2 + a(6);

  4. Область нахождения ошибки

nevyazka = y-x;

nevyazka2 = nevyazka.^2;

oshibka = sum(nevyazka2)/n;

    5. Область рисования графика

[u1_, u2_] = meshgrid(0:1:100, 0:1:100);

y_ = a(1)*u1_.^2 + a(2)*u2_.^2  + a(3)*u1_ + a(4)*u2_ + a(5)*u1_.*u2_ + a(6);

 

mesh(u1_,u2_,y_);

hold on

plot3(u1,u2,x,'.');

Результаты работы программы

Рисунок 1 График модели (радужный) и объекта (точки) для высокого уровня дисперсии

Как видно, модель не полностью отвечает объекту (рис.1). Это обусловлено высоким уровнем дисперсии помехи, заявленным в программе. Понижение уровня дисперсии ведет к более точному совпадению модели и объекта (рис.2).

Рисунок  2 График модели и объекта для низкого уровня дисперсии.

Вывод

Как можно заметить исходя из графиков, уровень дисперсии помехи значительно влияет на точность модели при использовании метода наименьших квадратов. Средства MathLab позволяют построить быструю и точную модель при использовании сравнительно малого объема кода, кроме того, имеется возможность проиллюстрировать работу программы при использовании высокоуровневых 3D-графиков.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35295. Три типа строения сосцевидного отростка. Антрит, мастоидит. Характер нарушения слуха при этих заболеваниях у детей 15.15 KB
  Мастоидит — воспаление слизистой выстилки пещеры (антрума) и ячеистых структур сосцевидного отростка височной кости. Развивается вследствие распространения инфекции на ячейки. Воспаление приводит к разрушению костных структур.
35296. Тема: Управління теками файлами і ярликами Мета: придбати уміння і навик роботи з теками і файлами а також с. 38 KB
  Відкрити вікно теки диска D: і створити в ній скажімо теку Petrenko букви латинські; 1 Відкрили диск D: і створили теку Petrenko. 2 Створити теку через FR натиснувши F7. Перейменувати теку Petrenko в теку Петренко букви кирилиці; 1 Перейменували теку Petrenko в теку Петренко натиснувши F2. 2 Виділити теку і відкривши контекстне меню натиснути перейменувати.
35297. Тема. Побудова багаточлена Лагранжа. 220.5 KB
  Побудова багаточлена Лагранжа. Навчитися будувати багаточлен Лагранжа скласти алгоритм. Індивідуальне завдання Знайти наближене значення функції при даному значенні аргументу за допомогою інтерполяційного багаточлена Лагранжа. Що називають вузлами інтерполяції і як вони Яка ідея методу інтерполяції за допомогою багаточлена Лагранжа.
35298. Тема. Знаходження коренів нелінійного рівняння методом хорд. 86.5 KB
  Знаходження коренів нелінійного рівняння методом хорд. навчитися відокремлювати корені рівняння графічно та уточнювати методом хорд. Індивідуальне завдання: Відокремити корінь 1 ого рівняння графічно а 2 ого аналітично та уточнити його методом хорд з точністю 0001. 1ше рівняння 2ге рівняння Контрольні питання: В яких випадках виникає необхідність застосовувати наближені способи вирішення рівняннь Скільки етапів вирішення рівняння наближеними методами Як відокремити корені графічно В чому суть методу хорд ...
35299. Методики исследования слуха (шепотной, разговорной речью, камертонами). Аудиометрия – пороговая, тональная и надпороговая (ФУНГ) 15.46 KB
  Тест Швабаха — камертон помещается на сосцевидный отросток. При патологии внутреннего уха и n.vestibularis время костной проводимости уменьшено или равно 0. При поражении среднего уха время костной проводимости увеличивается.
35302. Скелетные мышцы гортани. Иннервация и функции. Возрастные особенности гортани 15.06 KB
  Мышцы гортани приводя в движение хрящи гортани, изменяют ширину ее полости и голосовой щели, ограниченной голосовыми связками, а также напряжение голосовых связок.
35303. Кондуктивная тугоухость, характерные особенности по данным аудиометрического и камертонального исследований 15.16 KB
  Кондуктивная тугоухость - это нарушение слуха, при котором затруднено проведение звуковых волн по пути: наружное ухо — барабанная перепонка — слуховые косточки среднего уха — внутреннее ухо.