546

Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Познакомиться с средствами MathLab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи. Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта.

Русский

2013-01-06

101.5 KB

56 чел.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт космических и информационных технологий

Кафедра информационных систем

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

«Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab»

Преподаватель

    Е.Д. Агафонов.

подпись, дата инициалы, фамилия

Студент        КИ09-08          030900146          20.03.2012            О.В.Пен

                           номер группы    номер зачетной книжки                       дата                 инициалы, фамилия

Красноярск 2012


Цель работы: познакомиться с средствами Mathlab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи.

Краткие теоретические сведения

Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта. Имеется некий объект, заданный следующим уравнением:

х(u1, u2,…,un) =a0+ a1*f(u1)+a2*f(u2)+…+an*f(un)                  (1)

В таком случае его модель примет следующий вид

 у(u1,…, un) = α0 + α1*f(u1) + α2*f(u2) + αn*f(un)                (2)

В случае представления вектора коэффициентов а и вектора функций в виде матриц, уравнение приобретает следующий вид:

         у(u1,…, un) = αT * φ(u)                                                               (3)

Пусть матрица функции φ(u) = Ф, матрица выходов  - Н, тогда:

Н = Ф* α     (4)

НФТ = ФТФ α  (5)

Тогда можно найти коэффициенты α модели:

α = (ФТФ)-1ФТН   (6)

В дальнейшем, сравнивая квадрат разности между выходами объекта и модели, получившимися при подстановке коэффициентов α в исходный полином, мы получим ошибку работы метода.

Листинг программы

  1.  Область генерации случайного входа

close all

n=100;

u1 = 100*rand(n,1);

u2 = 100*rand(n,1);

k1 = 2; k2 = 3; k3 = 4; k4 = 5; k5 = 6; k6 = 7;

x = k1*u1.^2 + k2*u2.^2 + k3*u1 + k4*u2 + k5*u1.*u2 + k6 + normrnd(0,10000,n,1);

h = x;

phi1 = ones(n,1);

  2. Область генерации матрицы Ф

F = [u1.^2 u2.^2 u1 u2 u1.*u2 phi1];

  3. Область нахождения коэффициентов модели и построения выхода модели

a = (F'*F)^(-1)*F'*h

y = a(1)*u1.^2 + a(2)*u2.^2  + a(3)*u1 + a(4)*u2 + a(5)*u1.*u2 + a(6);

  4. Область нахождения ошибки

nevyazka = y-x;

nevyazka2 = nevyazka.^2;

oshibka = sum(nevyazka2)/n;

    5. Область рисования графика

[u1_, u2_] = meshgrid(0:1:100, 0:1:100);

y_ = a(1)*u1_.^2 + a(2)*u2_.^2  + a(3)*u1_ + a(4)*u2_ + a(5)*u1_.*u2_ + a(6);

 

mesh(u1_,u2_,y_);

hold on

plot3(u1,u2,x,'.');

Результаты работы программы

Рисунок 1 График модели (радужный) и объекта (точки) для высокого уровня дисперсии

Как видно, модель не полностью отвечает объекту (рис.1). Это обусловлено высоким уровнем дисперсии помехи, заявленным в программе. Понижение уровня дисперсии ведет к более точному совпадению модели и объекта (рис.2).

Рисунок  2 График модели и объекта для низкого уровня дисперсии.

Вывод

Как можно заметить исходя из графиков, уровень дисперсии помехи значительно влияет на точность модели при использовании метода наименьших квадратов. Средства MathLab позволяют построить быструю и точную модель при использовании сравнительно малого объема кода, кроме того, имеется возможность проиллюстрировать работу программы при использовании высокоуровневых 3D-графиков.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30299. Основные методы художественной литературы. Сентиментализм. Идейные основы и художественная практика 32.5 KB
  Первостепенное место в представлениях сентименталистов занимают чувства или как говорили в России в XVIII в. В России сентиментализм зарождается в 60е годы но лучшие его произведения Путешествие из Петербурга в Москву Радищева Письма русского путешественника и повести Карамзина относятся к последнему десятилетию XVIII в. в Западной Европе и России подготовленное кризисом просветительского рационализма см. В России представителями С.
30300. Основные методы художественной литературы. Модернизм - идейные основы и творческая практика. Основные течения. Идейные основы и художественная практика символизма 29 KB
  Идейные основы и художественная практика символизма МОДЕРНИЗМ общее обозначение всех авангардистских направлений в культуре 20 века программно противопоставивших себя традиционализму в качестве единственно истинного искусства современности или искусства будущего . В более строгом историческом смысле ранние стилистические тенденции такого направления импрессионизм постимпрессионизм символизм стиль модерн в которых разрыв с традицией еще не был так резок и принципиален как позднее. Символизм европейское литературнохудожественное...
30302. Постмодернизм. Стилевые принципы изображения действительности. Основные представители в литературах Запада и России 24 KB
  Основные представители в литературах Запада и России что постмодернизм это мировоззрение выражающее основные тенденции установки и ориентиры общества достигшего определённого уровня развития. модерн это не только и не столько конкретная историческая эпоха это определённая мировоззренческая позиция которая рассматривает историю как процесс восхождения от низших форм к высшим причём новая ступень развития с данной точки зрения должна преодолевать или даже отменять предшествующую. Таким образом можно сделать вывод что модерн ...
30303. Проблема автора в литературоведении. История и теория вопроса (работы М.М.Бахтина, Б.О.Кормана, Г.А.Гуковского и др.) 30.5 KB
  Проблема автора в литературоведении. Категория автора считается 1 из стержневых в литературе.Выделяется образ автора под кот понимается особая форма проявления авторской позиции. Участие автора в движении сюжета отношение автора к героям и т.
30304. Формы выражения авторского сознания в прозаическом тексте (автор-биография, автор-концепция, автор-повествователь) 27 KB
  Формы выражения авторского сознания в прозаическом тексте авторбиография авторконцепция авторповествователь Слово автор употребл в литведении в нескх знач. явлся все произведениеобраз автора. явлений характерных для отдельных жанров и родовавтором называют рассказчика повествователя в эпических произведениях либо лирического героя в лирикеБ. автор может выбрать одну из трех форм повествования ОТ АВТОРА объективная форма повествования от 3го лица: кажущееся отсутствие в произв.
30305. Проблема автора в литературоведении. Формы выражения авторского сознания в прозаическом тексте 26 KB
  Проблема автора в литературоведении. Формы выражения авторского сознания в прозаическом тексте Автор от лат. С разной степенью включенности автор участвует в литературной жизни своего времени вступая в непосредственные отношения с другими авторами с литературными критиками с редакциями журналов и газет с книгоиздателями и книготорговцами в эпистолярные контакты с читателями и т. Сходные эстетические воззрения приводят к созданию писательских групп кружков литературных обществ других авторских объединений.
30306. Проблема автора в литературоведении. Формы выражения авторского сознания в лирическом тексте. Понятие лирический герой 24.5 KB
  Понятие лирический герой Формы авторского присутствия в лирике. Лирический герой субъект речи через которого выражаются биографические и эмоциональнопсихологические черты автора. Лирический герой монологическая форма авторского выражения в тексте. Ролевой герой опосредованное выражение автора в тексте черех социокультурный тип прошлого или настоящего.
30307. Проблема автора в литературоведении. Формы выражения авторского сознания в драматургическом тексте 25 KB
  Проблема автора в литературоведении. Большинство ученых разделяют автора в первом значении его еще принято называть реальным или биографическим автором и автора во втором значении. Это пользуясь другой терминологией автор как эстетическая категория или образ автора. Иногда говорят здесь же о голосе автора считая такое определение более правомерным и определенным чем образ автора.