546

Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Познакомиться с средствами MathLab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи. Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта.

Русский

2013-01-06

101.5 KB

56 чел.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт космических и информационных технологий

Кафедра информационных систем

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

«Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab»

Преподаватель

    Е.Д. Агафонов.

подпись, дата инициалы, фамилия

Студент        КИ09-08          030900146          20.03.2012            О.В.Пен

                           номер группы    номер зачетной книжки                       дата                 инициалы, фамилия

Красноярск 2012


Цель работы: познакомиться с средствами Mathlab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи.

Краткие теоретические сведения

Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта. Имеется некий объект, заданный следующим уравнением:

х(u1, u2,…,un) =a0+ a1*f(u1)+a2*f(u2)+…+an*f(un)                  (1)

В таком случае его модель примет следующий вид

 у(u1,…, un) = α0 + α1*f(u1) + α2*f(u2) + αn*f(un)                (2)

В случае представления вектора коэффициентов а и вектора функций в виде матриц, уравнение приобретает следующий вид:

         у(u1,…, un) = αT * φ(u)                                                               (3)

Пусть матрица функции φ(u) = Ф, матрица выходов  - Н, тогда:

Н = Ф* α     (4)

НФТ = ФТФ α  (5)

Тогда можно найти коэффициенты α модели:

α = (ФТФ)-1ФТН   (6)

В дальнейшем, сравнивая квадрат разности между выходами объекта и модели, получившимися при подстановке коэффициентов α в исходный полином, мы получим ошибку работы метода.

Листинг программы

  1.  Область генерации случайного входа

close all

n=100;

u1 = 100*rand(n,1);

u2 = 100*rand(n,1);

k1 = 2; k2 = 3; k3 = 4; k4 = 5; k5 = 6; k6 = 7;

x = k1*u1.^2 + k2*u2.^2 + k3*u1 + k4*u2 + k5*u1.*u2 + k6 + normrnd(0,10000,n,1);

h = x;

phi1 = ones(n,1);

  2. Область генерации матрицы Ф

F = [u1.^2 u2.^2 u1 u2 u1.*u2 phi1];

  3. Область нахождения коэффициентов модели и построения выхода модели

a = (F'*F)^(-1)*F'*h

y = a(1)*u1.^2 + a(2)*u2.^2  + a(3)*u1 + a(4)*u2 + a(5)*u1.*u2 + a(6);

  4. Область нахождения ошибки

nevyazka = y-x;

nevyazka2 = nevyazka.^2;

oshibka = sum(nevyazka2)/n;

    5. Область рисования графика

[u1_, u2_] = meshgrid(0:1:100, 0:1:100);

y_ = a(1)*u1_.^2 + a(2)*u2_.^2  + a(3)*u1_ + a(4)*u2_ + a(5)*u1_.*u2_ + a(6);

 

mesh(u1_,u2_,y_);

hold on

plot3(u1,u2,x,'.');

Результаты работы программы

Рисунок 1 График модели (радужный) и объекта (точки) для высокого уровня дисперсии

Как видно, модель не полностью отвечает объекту (рис.1). Это обусловлено высоким уровнем дисперсии помехи, заявленным в программе. Понижение уровня дисперсии ведет к более точному совпадению модели и объекта (рис.2).

Рисунок  2 График модели и объекта для низкого уровня дисперсии.

Вывод

Как можно заметить исходя из графиков, уровень дисперсии помехи значительно влияет на точность модели при использовании метода наименьших квадратов. Средства MathLab позволяют построить быструю и точную модель при использовании сравнительно малого объема кода, кроме того, имеется возможность проиллюстрировать работу программы при использовании высокоуровневых 3D-графиков.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54541. Содержание экономической концепции маржинализма 18 KB
  Маржинализм, как новое экономическое учение, сформировался в 30-х годах XIX в. В научной литературе переоценку устоявшихся почти за двухсотлетнюю историю ценностей классической политэкономии характеризуют как «маржинальную революцию»
54542. Экономический либерализм и направления его исследований 17.37 KB
  Формирования в развитых странах мира основ рыночных экономических отношений повлекло за собой государственное вмешательство в экономическую деятельность, которое являлось основной преградой в приумножении национального богатства и в достижении согласованности во взаимоотношениях хозяйствующих субъектов как на внутреннем
54543. Неоклассическое направление развития экономической теории 17.42 KB
  Создание неоклассического направления связано с работами английского экономиста Альфреда Маршалла (1842–1924). Именно он со своими «Принципами Экономикса» считается основателем англо – американской школы экономической науки, получившей значительное влияние и в других странах
54544. Делимость натуральных чисел 1.71 MB
  Как не выполняя деления определить делится ли данное число на 9 на 3 Работа с карточками У каждого учащегося на парте лежат карточки с числами: 2 3 5 910 Учитель показывает число учащиеся поднимают карточку с его делителями. Задание 1 Проверка: Задание 2 Проверка: Какие числа называются простыми какие составными Назовите простые числа пятого десятка 41; 43; 47 второго десятка 11; 13; 17; 19.
54545. NATURE. ENVIRONMENTAL PROTECTION 69 KB
  The biggest polluter today is the car. Exhaust fumes are the main cause of bad air quality, which can make people feel ill and have difficulty breathing. This problem is especially bad in some cities where on days when there is not much wind, a brown layer of smog hangs in the air. The number of cars is increasing every year, and this causes serious congestion. Governments then build new roads to try to improve the situation, but this means that they cut down trees and destroy more of the countryside.
54546. Nature and Weather 57 KB
  Aims of the lesson. To develop academic communication skills, critical thinking, students’ listening comprehension. To encourage responsible leadership, stimulate research activities using new technologies. To help people to understand the global threats facing our planet and take actions to improve the situation.
54547. Натюрморт. Тоновий малюнок 340 KB
  Мета уроку: продовжувати знайомство з жанром натюрморту; формувати вміння передавати форму обєм; фактуру предмета працювати над композицією розвивати спостережливість гостроту зору. Під кінець роботи обовязково розглянути малюнок з певної відстані. Малюнок 1 Малюнок 2 Малюнок 3 Малюнок 4 Малюнок 5 Малюнок 6 Малюнок 7.
54548. Бабусина наука 33 KB
  Щоб ми швидше дістались її дому бабуся нам підказала коротку дорогу. Діти рухаються згідно інструкції Бабуся виходить з хати. Бабуся: Добрий день мої дорогенькі Як я рада вас бачити Ви так виросли Ви ж збираєтесь іти до школи Готові 2. Бабуся: Зараз я перевірю на дошці виставлено 10 тварин та 10 птахів.
54549. ЯК ПИСАТИ НАУКОВУ РОБОТУ З ФІЛОЛОГІЇ 82 KB
  Безумовно сьогоднішній учитель має можливість через інет†знайти вимоги до змісту та оформлення роботи наприклад на сайтах МАНУ та МОНУ: mn. Я маю чималий досвід цієї роботи: 15 моїх учнів захищали наукові роботи усі брали участь у конкурсізахисті обласного рівня лише двоє не отримали призових місць четверо захищали роботи на Всеукраїнському рівні усі мали призові місця два І місця та два ІІІ м. Пропоную до Вашої уваги деякі порадиспостереження що народилися в процесі багаторічної роботи з учнями над науковими дослідженнями....