546

Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Познакомиться с средствами MathLab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи. Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта.

Русский

2013-01-06

101.5 KB

56 чел.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт космических и информационных технологий

Кафедра информационных систем

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

«Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab»

Преподаватель

    Е.Д. Агафонов.

подпись, дата инициалы, фамилия

Студент        КИ09-08          030900146          20.03.2012            О.В.Пен

                           номер группы    номер зачетной книжки                       дата                 инициалы, фамилия

Красноярск 2012


Цель работы: познакомиться с средствами Mathlab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи.

Краткие теоретические сведения

Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта. Имеется некий объект, заданный следующим уравнением:

х(u1, u2,…,un) =a0+ a1*f(u1)+a2*f(u2)+…+an*f(un)                  (1)

В таком случае его модель примет следующий вид

 у(u1,…, un) = α0 + α1*f(u1) + α2*f(u2) + αn*f(un)                (2)

В случае представления вектора коэффициентов а и вектора функций в виде матриц, уравнение приобретает следующий вид:

         у(u1,…, un) = αT * φ(u)                                                               (3)

Пусть матрица функции φ(u) = Ф, матрица выходов  - Н, тогда:

Н = Ф* α     (4)

НФТ = ФТФ α  (5)

Тогда можно найти коэффициенты α модели:

α = (ФТФ)-1ФТН   (6)

В дальнейшем, сравнивая квадрат разности между выходами объекта и модели, получившимися при подстановке коэффициентов α в исходный полином, мы получим ошибку работы метода.

Листинг программы

  1.  Область генерации случайного входа

close all

n=100;

u1 = 100*rand(n,1);

u2 = 100*rand(n,1);

k1 = 2; k2 = 3; k3 = 4; k4 = 5; k5 = 6; k6 = 7;

x = k1*u1.^2 + k2*u2.^2 + k3*u1 + k4*u2 + k5*u1.*u2 + k6 + normrnd(0,10000,n,1);

h = x;

phi1 = ones(n,1);

  2. Область генерации матрицы Ф

F = [u1.^2 u2.^2 u1 u2 u1.*u2 phi1];

  3. Область нахождения коэффициентов модели и построения выхода модели

a = (F'*F)^(-1)*F'*h

y = a(1)*u1.^2 + a(2)*u2.^2  + a(3)*u1 + a(4)*u2 + a(5)*u1.*u2 + a(6);

  4. Область нахождения ошибки

nevyazka = y-x;

nevyazka2 = nevyazka.^2;

oshibka = sum(nevyazka2)/n;

    5. Область рисования графика

[u1_, u2_] = meshgrid(0:1:100, 0:1:100);

y_ = a(1)*u1_.^2 + a(2)*u2_.^2  + a(3)*u1_ + a(4)*u2_ + a(5)*u1_.*u2_ + a(6);

 

mesh(u1_,u2_,y_);

hold on

plot3(u1,u2,x,'.');

Результаты работы программы

Рисунок 1 График модели (радужный) и объекта (точки) для высокого уровня дисперсии

Как видно, модель не полностью отвечает объекту (рис.1). Это обусловлено высоким уровнем дисперсии помехи, заявленным в программе. Понижение уровня дисперсии ведет к более точному совпадению модели и объекта (рис.2).

Рисунок  2 График модели и объекта для низкого уровня дисперсии.

Вывод

Как можно заметить исходя из графиков, уровень дисперсии помехи значительно влияет на точность модели при использовании метода наименьших квадратов. Средства MathLab позволяют построить быструю и точную модель при использовании сравнительно малого объема кода, кроме того, имеется возможность проиллюстрировать работу программы при использовании высокоуровневых 3D-графиков.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52340. Суцвіття 550 KB
  Мета уроку: сформувати поняття суцвіттязнайомити учнів з функціями суцвіть розглянути їх будову і різноманітність; розвивати: вміння виділяти головне порівнюватиузагальнювати систематизувативміння розпізнавати суцвіття і тренувати їх у застосуванні набутих знань у нестандартних ситуаціях; виховувати: естетичні смаки учнів відповідальність за стан навколишнього середовища бережливе ставлення до природи. Обладнання: таблиці: Будова квітки Будова суцвіть Прості суцвіття Складні суцвіттякартки з кросвордом схемою та...
52341. Віруси 711.5 KB
  Вивчити будову класифікацію вірусів. Велика популярність персональних компютерів разом з розвитком мережі Інтернет сприяла появі великої кількості різних шкідливих програм вірусів. Постановка цілей і задач Мета: Ввести поняття Вірус; Вивчити його будову; Класифікацію вірусів; Зясувати їх вплив на живу та неживу природу. Деякі віруси вносять також власні білки необхідні для її реалізації особливо це характерно для вірусів що містять негативні РНК.
52342. Прес-конференція «Різноманітність птахів» 71.5 KB
  Мета: розширити знання учнів про представників класу Птахи показати їх різноманітність особливості будови та способу життя пристосування до середовища; ознайомити з характерними ознаками представників надряду Безкілеві птахи та Пінгвіни з представниками кілегрудих фауни України; продовжувати розвивати комунікативні та соціальні компетентності учнів; виховувати свідоме ставлення до природи її багатств та її захисту. Птахи це диво Їх велика кількість. Птахи Хоча ви вже багато вивчили про птахів але коли ви почуєте це слово кожний...
52343. Фантазія і творчість у роботі архітекторів 4.35 MB
  Мета уроку: Розширити уявлення про дизайн, ознайомити з наукою біонікою та показати її значення в житті людей. Спонукати до пізнання законів природи, пошуку біонічних форм. Навчити створювати контурні замальовки спрощених природних форм.
52344. Охорона біосфери 163 KB
  Тема уроку Охорона біосфери Мета: закріпити знання про біосферу як екологічну систему іі складові основні її властивості узагальнити і розширити знання учнів про напрямки діяльності людини по охороні біосфери заповідний фонд України познайомити з концепцією сталого розвитку складовими екоцентричної та антропоцентричної структури свідомості; вдосконалювати навички порівнювати робити висновки; розвивати навички вирішувати екологічні ситуації самостійно готувати матеріал до уроку створювати мультимедійну...
52345. Вплив людини на стан біосфери 162.5 KB
  МЕТА: Освітня: Розвивати вміння знаходити взаємозвязки між діями й наслідками діяльності людини. Обладнання: Інтерактивна дошка слайди презентації фотографії з позитивним і негативними прикладами впливу людини на стан біосфери вірші про природу. Концепція уроку: Показати що діяльність людини стала провідним екологічним фактором на планеті й що зростання населення Землі призвело до демографичного вибуху перенаселеності й екологічних проблем; описати основні природні ресурси й наголосити на проблемі їхнього раціонального використання.
52346. Природные формы и явления. Выполнение творческой работы по представлению «Жар-птица» 407 KB
  Восприятие форм и цветных соотношений в природе. Воссоздание цветовых соотношений фактуры и текстуры в естественных формах в работе по воображению Жар-птица. Цель: Расширять знания о колорите палитре о теплых и холодных цветах цветовых ассоциациях; ознакомить с элементарными правилами рисования на компьютере. Развивать фантазию образное мышление чувство цвета умение передавать в колористической композиции чувства настроение фантазию образное мышление; уметь применять знания о цвете художественные техники и приемы...
52347. Обобщение темы «Птицы» 38.5 KB
  Цель: обобщить знания по теме Птицы проверить усвоение знаний об особенностях строения птиц раскрыть их значение в жизни природы и человека совершенствовать умения анализировать делать выводы работать с таблицами дополнительной литературой. Оборудование: таблица Птицы разных экологических групп таблица для Поля чудес сообщения детей Девиз: Птицы наши...