546

Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Познакомиться с средствами MathLab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи. Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта.

Русский

2013-01-06

101.5 KB

57 чел.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт космических и информационных технологий

Кафедра информационных систем

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

«Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab»

Преподаватель

    Е.Д. Агафонов.

подпись, дата инициалы, фамилия

Студент        КИ09-08          030900146          20.03.2012            О.В.Пен

                           номер группы    номер зачетной книжки                       дата                 инициалы, фамилия

Красноярск 2012


Цель работы: познакомиться с средствами Mathlab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи.

Краткие теоретические сведения

Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта. Имеется некий объект, заданный следующим уравнением:

х(u1, u2,…,un) =a0+ a1*f(u1)+a2*f(u2)+…+an*f(un)                  (1)

В таком случае его модель примет следующий вид

 у(u1,…, un) = α0 + α1*f(u1) + α2*f(u2) + αn*f(un)                (2)

В случае представления вектора коэффициентов а и вектора функций в виде матриц, уравнение приобретает следующий вид:

         у(u1,…, un) = αT * φ(u)                                                               (3)

Пусть матрица функции φ(u) = Ф, матрица выходов  - Н, тогда:

Н = Ф* α     (4)

НФТ = ФТФ α  (5)

Тогда можно найти коэффициенты α модели:

α = (ФТФ)-1ФТН   (6)

В дальнейшем, сравнивая квадрат разности между выходами объекта и модели, получившимися при подстановке коэффициентов α в исходный полином, мы получим ошибку работы метода.

Листинг программы

  1.  Область генерации случайного входа

close all

n=100;

u1 = 100*rand(n,1);

u2 = 100*rand(n,1);

k1 = 2; k2 = 3; k3 = 4; k4 = 5; k5 = 6; k6 = 7;

x = k1*u1.^2 + k2*u2.^2 + k3*u1 + k4*u2 + k5*u1.*u2 + k6 + normrnd(0,10000,n,1);

h = x;

phi1 = ones(n,1);

  2. Область генерации матрицы Ф

F = [u1.^2 u2.^2 u1 u2 u1.*u2 phi1];

  3. Область нахождения коэффициентов модели и построения выхода модели

a = (F'*F)^(-1)*F'*h

y = a(1)*u1.^2 + a(2)*u2.^2  + a(3)*u1 + a(4)*u2 + a(5)*u1.*u2 + a(6);

  4. Область нахождения ошибки

nevyazka = y-x;

nevyazka2 = nevyazka.^2;

oshibka = sum(nevyazka2)/n;

    5. Область рисования графика

[u1_, u2_] = meshgrid(0:1:100, 0:1:100);

y_ = a(1)*u1_.^2 + a(2)*u2_.^2  + a(3)*u1_ + a(4)*u2_ + a(5)*u1_.*u2_ + a(6);

 

mesh(u1_,u2_,y_);

hold on

plot3(u1,u2,x,'.');

Результаты работы программы

Рисунок 1 График модели (радужный) и объекта (точки) для высокого уровня дисперсии

Как видно, модель не полностью отвечает объекту (рис.1). Это обусловлено высоким уровнем дисперсии помехи, заявленным в программе. Понижение уровня дисперсии ведет к более точному совпадению модели и объекта (рис.2).

Рисунок  2 График модели и объекта для низкого уровня дисперсии.

Вывод

Как можно заметить исходя из графиков, уровень дисперсии помехи значительно влияет на точность модели при использовании метода наименьших квадратов. Средства MathLab позволяют построить быструю и точную модель при использовании сравнительно малого объема кода, кроме того, имеется возможность проиллюстрировать работу программы при использовании высокоуровневых 3D-графиков.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50003. Аадминистративное право 508 KB
  Предлагаемый учебно-методический комплекс подготовлен для студентов очной формы обучения факультета непрерывного образования по подготовке специалистов для судебной системы в целях оказания им помощи при изучении обширного теоретического и нормативного материала, составляющего необходимый объем курса «Административное право».
50004. РАЗРАБОТКА ИНСТРУКЦИИ ПО ОХРАНЕ ТРУДА 58.5 KB
  Изучить Методические рекомендации по разработке государственных нормативных требований охраны труда. Составить инструкцию по охране труда при выполнении работ указанных преподавателем. Время выполнения работы 2 часа МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по разработке государственных нормативных требований по охране труда извлечение Приложение к Постановлению Минтруда РФ №80 от 17 декабря 2002г.
50005. ИЗМЕРЕНИЕ ШУМА В ПРОИЗВОДСТВЕННОМ ПОМЕЩЕНИИ 124.5 KB
  Изучить порядок работы измерителя шума и вибрации ИШВ1 и методику определения общего уровня шума. Оборудование: Стенд для исследования уровня шума. Измеритель шума и вибрации ИШВ1.
50006. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА 308.5 KB
  Этот процесс распространения переменного электромагнитного поля в свободном пространстве с конечной скоростью с = 3108 м с скоростью света в вакууме называется электромагнитной волной. В этом случае изменения вектора Ē и соответственно Ħ происходят всегда в одной и той же плоскости называемой плоскостью поляризации света. Плоскость образованная направлением распространения волны осью х и направлением изменения вектора Ē называется плоскостью поляризации света.
50007. ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА 2.82 MB
  Наша задача рассмотреть вращение абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси. При вращении твердого тела траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями центры которых лежат на оси вращения. Если положение оси вращения в пространстве с течением времени остается неизменным то в этом случае говорят что тело вращается около неподвижной оси. В этом случае плоскости всех концентрических окружностей перпендикулярны оси вращения а центры окружностей лежат на оси вращения.
50008. Очерк жизни и педагогической деятельности преподавателя Оршанского педагогического колледжа им. И.К. Глушкова Татьяны Александровны Сморкаловой 11.31 MB
  Высокий уровень знаний выпускников Татьяны Александровны и качество их работы в дошкольных образовательных учреждениях подтверждает то, что цели, поставленные ею - научить студентов мастерству рисования и передать любовь к изобразительному искусству детям, успешно достигаются.
50010. Оператор ввода-вывода в Pascal 75 KB
  Составной оператор служит для записи в свое тело других операторов, последовательность которых рассматривается в данном случае как один оператор. Этим оператором начинается и заканчивается раздел выполнения основной программы, подпрограммы, функции. После последнего оператора END основной программы ставится точка.
50011. Методы оценки надежности конструкций 260.5 KB
  Он заключался в том что для любого волокна конструкции должно было выполняться условие k S Sдоп где Sдоп допускаемое напряжение; S напряжение в волокне определяемое методами строительной механики; k коэффициент запаса. В этом методе коэффициент запаса для всех конструкций из данного материала был одинаков что не отвечало фактической работе таких комплексных материалов какими являются железобетон и каменная кладка компоненты которых имеют различные механические характеристики и в соответствии с этим в различной степени и с...