546

Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Познакомиться с средствами MathLab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи. Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта.

Русский

2013-01-06

101.5 KB

56 чел.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт космических и информационных технологий

Кафедра информационных систем

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

«Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab»

Преподаватель

    Е.Д. Агафонов.

подпись, дата инициалы, фамилия

Студент        КИ09-08          030900146          20.03.2012            О.В.Пен

                           номер группы    номер зачетной книжки                       дата                 инициалы, фамилия

Красноярск 2012


Цель работы: познакомиться с средствами Mathlab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи.

Краткие теоретические сведения

Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта. Имеется некий объект, заданный следующим уравнением:

х(u1, u2,…,un) =a0+ a1*f(u1)+a2*f(u2)+…+an*f(un)                  (1)

В таком случае его модель примет следующий вид

 у(u1,…, un) = α0 + α1*f(u1) + α2*f(u2) + αn*f(un)                (2)

В случае представления вектора коэффициентов а и вектора функций в виде матриц, уравнение приобретает следующий вид:

         у(u1,…, un) = αT * φ(u)                                                               (3)

Пусть матрица функции φ(u) = Ф, матрица выходов  - Н, тогда:

Н = Ф* α     (4)

НФТ = ФТФ α  (5)

Тогда можно найти коэффициенты α модели:

α = (ФТФ)-1ФТН   (6)

В дальнейшем, сравнивая квадрат разности между выходами объекта и модели, получившимися при подстановке коэффициентов α в исходный полином, мы получим ошибку работы метода.

Листинг программы

  1.  Область генерации случайного входа

close all

n=100;

u1 = 100*rand(n,1);

u2 = 100*rand(n,1);

k1 = 2; k2 = 3; k3 = 4; k4 = 5; k5 = 6; k6 = 7;

x = k1*u1.^2 + k2*u2.^2 + k3*u1 + k4*u2 + k5*u1.*u2 + k6 + normrnd(0,10000,n,1);

h = x;

phi1 = ones(n,1);

  2. Область генерации матрицы Ф

F = [u1.^2 u2.^2 u1 u2 u1.*u2 phi1];

  3. Область нахождения коэффициентов модели и построения выхода модели

a = (F'*F)^(-1)*F'*h

y = a(1)*u1.^2 + a(2)*u2.^2  + a(3)*u1 + a(4)*u2 + a(5)*u1.*u2 + a(6);

  4. Область нахождения ошибки

nevyazka = y-x;

nevyazka2 = nevyazka.^2;

oshibka = sum(nevyazka2)/n;

    5. Область рисования графика

[u1_, u2_] = meshgrid(0:1:100, 0:1:100);

y_ = a(1)*u1_.^2 + a(2)*u2_.^2  + a(3)*u1_ + a(4)*u2_ + a(5)*u1_.*u2_ + a(6);

 

mesh(u1_,u2_,y_);

hold on

plot3(u1,u2,x,'.');

Результаты работы программы

Рисунок 1 График модели (радужный) и объекта (точки) для высокого уровня дисперсии

Как видно, модель не полностью отвечает объекту (рис.1). Это обусловлено высоким уровнем дисперсии помехи, заявленным в программе. Понижение уровня дисперсии ведет к более точному совпадению модели и объекта (рис.2).

Рисунок  2 График модели и объекта для низкого уровня дисперсии.

Вывод

Как можно заметить исходя из графиков, уровень дисперсии помехи значительно влияет на точность модели при использовании метода наименьших квадратов. Средства MathLab позволяют построить быструю и точную модель при использовании сравнительно малого объема кода, кроме того, имеется возможность проиллюстрировать работу программы при использовании высокоуровневых 3D-графиков.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38351. Міжнародні гарантії виконання міжнародних договорів 119 KB
  Приклади надання та забезпечення міжнародних гарантій11 Висновки Список використаної літературиВступ Вступ світового співтовариства в XXI ст. Таким міжнародним механізмом який має на меті забезпечення державами дотримання міжнародних зобов'язань що випливають як з Статуту ООН так і з міжнародних договорів є встановлення відповідних засобів щодо забезпечення їх належного виконання. В силу специфіки міжнародного права особливе місце в успішному функціонуванні його норм займають такі засоби забезпечення виконання зобов'язань як...
38352. Структура ЕС 116 KB
  Первый шаг в сторону создания современного Евросоюза был сделан в 1951: ФРГ Бельгия Нидерланды Люксембург Франция Италия подписали договор об учреждении Европейского объединения угля и стали ЕОУС ECSC Europen Col nd Steel Community целью которого стало объединение европейских ресурсов по производству стали и угля в силу данный договор вступил с июля 1952 года. Основные события в истории углубления интеграции ЕС: 1951 Парижский договор и создание Европейского...
38354. Концепція регіоналістики Уолтера Ізарда 22.01 KB
  РЕГІОНАЛІСТИКА (англ. region лат. regio — область, район) — наука, яка займається вивченням просторових закономірностей територіальної організації виробничих сил.
38355. Митне право. Курс лекцій 565 KB
  Але ці методичні рекомендації мають широке розгалуження за відповідними різними формами роботи студентів а отже в цілому вони будуть слугувати усім студентам хто виявить велике бажання більше дізнатись про правові аспекти діяльності митних органів України. План семінарських занять тематика рефератів та контрольних робіт перелік навчальної та додаткової літератури – це ті основні види робіт що спрямовані на досягнення єдиної мети – засвоєння та використання на практиці теоретичних начал економічних важелів розвитку України і зокрема...
38357. Теорія міжнародного права 931.5 KB
  Міжнародне право - це самостійна система права, що складається з юридично обовязкових принципів і норм, які регулюють відносини між державами та іншими субєктами міжнародного права з метою забезпечення мирного співіснування та міжнародної співпраці.
38358. Правовые системы современных мусульманских государств 42.83 KB
  Теоретические основы мусульманского права. Особенности мусульманского права. Источники мусульманского права. Структура мусульманского права.
38359. Мусульманское право 41 KB
  История мусульманского права нередко обозначаемого термином фикх начинается с пророка Мухаммеда Мухаммада жившего в 570 по некоторым источникам 571 г. Позднее и те и другие нормы нашли отражение в первичных источниках мусульманской религии и права. существенное влияние на развитие мусульманского права оказали исламские правоведы и мусульманские судьи кади. Мусульманские судьи лишились права при отсутствии в Коране сунне и других источниках нужных норм выносить решения по своему усмотрению.