546

Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Познакомиться с средствами MathLab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи. Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта.

Русский

2013-01-06

101.5 KB

57 чел.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт космических и информационных технологий

Кафедра информационных систем

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

«Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab»

Преподаватель

    Е.Д. Агафонов.

подпись, дата инициалы, фамилия

Студент        КИ09-08          030900146          20.03.2012            О.В.Пен

                           номер группы    номер зачетной книжки                       дата                 инициалы, фамилия

Красноярск 2012


Цель работы: познакомиться с средствами Mathlab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи.

Краткие теоретические сведения

Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта. Имеется некий объект, заданный следующим уравнением:

х(u1, u2,…,un) =a0+ a1*f(u1)+a2*f(u2)+…+an*f(un)                  (1)

В таком случае его модель примет следующий вид

 у(u1,…, un) = α0 + α1*f(u1) + α2*f(u2) + αn*f(un)                (2)

В случае представления вектора коэффициентов а и вектора функций в виде матриц, уравнение приобретает следующий вид:

         у(u1,…, un) = αT * φ(u)                                                               (3)

Пусть матрица функции φ(u) = Ф, матрица выходов  - Н, тогда:

Н = Ф* α     (4)

НФТ = ФТФ α  (5)

Тогда можно найти коэффициенты α модели:

α = (ФТФ)-1ФТН   (6)

В дальнейшем, сравнивая квадрат разности между выходами объекта и модели, получившимися при подстановке коэффициентов α в исходный полином, мы получим ошибку работы метода.

Листинг программы

  1.  Область генерации случайного входа

close all

n=100;

u1 = 100*rand(n,1);

u2 = 100*rand(n,1);

k1 = 2; k2 = 3; k3 = 4; k4 = 5; k5 = 6; k6 = 7;

x = k1*u1.^2 + k2*u2.^2 + k3*u1 + k4*u2 + k5*u1.*u2 + k6 + normrnd(0,10000,n,1);

h = x;

phi1 = ones(n,1);

  2. Область генерации матрицы Ф

F = [u1.^2 u2.^2 u1 u2 u1.*u2 phi1];

  3. Область нахождения коэффициентов модели и построения выхода модели

a = (F'*F)^(-1)*F'*h

y = a(1)*u1.^2 + a(2)*u2.^2  + a(3)*u1 + a(4)*u2 + a(5)*u1.*u2 + a(6);

  4. Область нахождения ошибки

nevyazka = y-x;

nevyazka2 = nevyazka.^2;

oshibka = sum(nevyazka2)/n;

    5. Область рисования графика

[u1_, u2_] = meshgrid(0:1:100, 0:1:100);

y_ = a(1)*u1_.^2 + a(2)*u2_.^2  + a(3)*u1_ + a(4)*u2_ + a(5)*u1_.*u2_ + a(6);

 

mesh(u1_,u2_,y_);

hold on

plot3(u1,u2,x,'.');

Результаты работы программы

Рисунок 1 График модели (радужный) и объекта (точки) для высокого уровня дисперсии

Как видно, модель не полностью отвечает объекту (рис.1). Это обусловлено высоким уровнем дисперсии помехи, заявленным в программе. Понижение уровня дисперсии ведет к более точному совпадению модели и объекта (рис.2).

Рисунок  2 График модели и объекта для низкого уровня дисперсии.

Вывод

Как можно заметить исходя из графиков, уровень дисперсии помехи значительно влияет на точность модели при использовании метода наименьших квадратов. Средства MathLab позволяют построить быструю и точную модель при использовании сравнительно малого объема кода, кроме того, имеется возможность проиллюстрировать работу программы при использовании высокоуровневых 3D-графиков.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8744. Традиционное и индустриальное общества 39 KB
  Вариант 1 Традиционное и индустриальное общества Традиционное общество (Восток) Индустриальное общество (Запад). Непрерывность исторического процесса, отсутствие явных граней между эпохами, резких сдвигов и скачков. История движется неравном...
8745. Цивилизации Древнего Востока (речные) 46 KB
  Цивилизации Древнего Востока (речные) Египет - IV тыс. до н.э. (империя - 3200-525г. до н.э.) Месопотамия - III тыс. до н.э. (Вавилонская империя - 3000 – 538 г. до н.э.) Индия - III - II тыс. до н.э. (XVIII век д...
8746. Древнегреческая цивилизация (морская) 52 KB
  Древнегреческая цивилизация (морская) Основные понятия: морские цивилизации, колонии, полис, гражданская община, автаркия, тирания, олигархия, демократия, натуральное хозяйство, товарно-денежные отношения, эллинизм, мировая империя. Особенности ра...
8747. Политическое развитие Западной Европы 37 KB
  Политическое развитие Западной Европы Особенности феодальной иерархии король - верховный сюзерен (господин) всех феодалов, первый среди равных в период раздробленности крупные светские и духовные феодалы - вассалы (военные слуги) к...
8748. Цивилизации в эпоху нового времени 42.5 KB
  Цивилизации в эпоху нового времени В новое время начала формироваться индустриальная цивилизация, которая строится на принципиально иных основах, чем предшествовавшая ей традиционная. ХVII и ХVIII столетия стали своего рода переходной эпохой, подгот...
8749. Цивилизация - это синоним культуры 36 KB
  Цивилизация - это синоним культуры. Цивилизация – это уровень, ступень общественного развития, материальной и духовной культуры это ступень развития, следующая за варварством. Существуют древние цивилизации и современные цивилизации, Западные и...
8750. Глобальные проблемы современности. Проблема предотвращения новой мировой войны 47.5 KB
  Глобальные проблемы современности 1. Проблема предотвращения новой мировой войны. Поиски путей предотвращения мировых конфликтов начались практически сразу после окончания второй мировой и победы над нацизмом. Тогда было принято решение и о со...
8751. Экономическая сфера общества. Структура отношений собственности в современной экономике 47.5 KB
  Экономическая сфера общества. Структура отношений собственности в современной экономике Экономика играет огромную роль в жизни общества. Экономика - в широком смысле обычно понимают систему общественного, производства, т. е. процесс создания ма...
8752. Рыночные отношения в современной экономике 31 KB
  Вариант 1. Рыночные отношения в современной экономике Существуют два варианта организации экономической жизни общества: командная экономика и рыночная экономика. Основными признаками командной экономики являются: производство товаров в соответ...