546

Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Познакомиться с средствами MathLab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи. Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта.

Русский

2013-01-06

101.5 KB

57 чел.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт космических и информационных технологий

Кафедра информационных систем

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

«Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab»

Преподаватель

    Е.Д. Агафонов.

подпись, дата инициалы, фамилия

Студент        КИ09-08          030900146          20.03.2012            О.В.Пен

                           номер группы    номер зачетной книжки                       дата                 инициалы, фамилия

Красноярск 2012


Цель работы: познакомиться с средствами Mathlab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи.

Краткие теоретические сведения

Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта. Имеется некий объект, заданный следующим уравнением:

х(u1, u2,…,un) =a0+ a1*f(u1)+a2*f(u2)+…+an*f(un)                  (1)

В таком случае его модель примет следующий вид

 у(u1,…, un) = α0 + α1*f(u1) + α2*f(u2) + αn*f(un)                (2)

В случае представления вектора коэффициентов а и вектора функций в виде матриц, уравнение приобретает следующий вид:

         у(u1,…, un) = αT * φ(u)                                                               (3)

Пусть матрица функции φ(u) = Ф, матрица выходов  - Н, тогда:

Н = Ф* α     (4)

НФТ = ФТФ α  (5)

Тогда можно найти коэффициенты α модели:

α = (ФТФ)-1ФТН   (6)

В дальнейшем, сравнивая квадрат разности между выходами объекта и модели, получившимися при подстановке коэффициентов α в исходный полином, мы получим ошибку работы метода.

Листинг программы

  1.  Область генерации случайного входа

close all

n=100;

u1 = 100*rand(n,1);

u2 = 100*rand(n,1);

k1 = 2; k2 = 3; k3 = 4; k4 = 5; k5 = 6; k6 = 7;

x = k1*u1.^2 + k2*u2.^2 + k3*u1 + k4*u2 + k5*u1.*u2 + k6 + normrnd(0,10000,n,1);

h = x;

phi1 = ones(n,1);

  2. Область генерации матрицы Ф

F = [u1.^2 u2.^2 u1 u2 u1.*u2 phi1];

  3. Область нахождения коэффициентов модели и построения выхода модели

a = (F'*F)^(-1)*F'*h

y = a(1)*u1.^2 + a(2)*u2.^2  + a(3)*u1 + a(4)*u2 + a(5)*u1.*u2 + a(6);

  4. Область нахождения ошибки

nevyazka = y-x;

nevyazka2 = nevyazka.^2;

oshibka = sum(nevyazka2)/n;

    5. Область рисования графика

[u1_, u2_] = meshgrid(0:1:100, 0:1:100);

y_ = a(1)*u1_.^2 + a(2)*u2_.^2  + a(3)*u1_ + a(4)*u2_ + a(5)*u1_.*u2_ + a(6);

 

mesh(u1_,u2_,y_);

hold on

plot3(u1,u2,x,'.');

Результаты работы программы

Рисунок 1 График модели (радужный) и объекта (точки) для высокого уровня дисперсии

Как видно, модель не полностью отвечает объекту (рис.1). Это обусловлено высоким уровнем дисперсии помехи, заявленным в программе. Понижение уровня дисперсии ведет к более точному совпадению модели и объекта (рис.2).

Рисунок  2 График модели и объекта для низкого уровня дисперсии.

Вывод

Как можно заметить исходя из графиков, уровень дисперсии помехи значительно влияет на точность модели при использовании метода наименьших квадратов. Средства MathLab позволяют построить быструю и точную модель при использовании сравнительно малого объема кода, кроме того, имеется возможность проиллюстрировать работу программы при использовании высокоуровневых 3D-графиков.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51763. Стандартизация школьного образования в области информатики 23.5 KB
  Цель: ознакомить со стандартизацией школьного образования в области информатики Учебные задачи: знать дату принятия закона Об образовании; знать требования определяемые общеобразовательным стандартом по информатике; уметь делать выводы План Организационный момент Постановка цели занятия Изучение нового материала Итоги Тип занятия: лекция. Продолжительность занятия: 1 часа.
51765. Енергосистема України. Споживання енергії. Енерргозбереження 53.5 KB
  Мета: Навчальна: формувати знання про сучасний стан електроенергетики України проблеми і перспективи розвитку галузі традиційні і нетрадицій ні альтернативні джерела електроенергії визначати вплив галу зі на довкілля. Форма уроку: урокдослідження Метод уроку: кейсстаді аналізу конкретних ситуацій Обладнання: карта Електроенергетика України підручники географічні атласи кейси на кожну групу рекомендації папір маркери. Організація і проведеня загальної дискусії для пошуку...
51766. Работа с клавиатурным тренажером 156 KB
  Наибольшую скорость набора обеспечивает так называемый слепой десятипальцевый метод когда пользователь набирает текст всеми пальцами обеих рук не глядя на клавиатуру. После прохождения этого уровня на экране появится окно Результат где отмечена скорость набора время за которое вы выполнили задание и процент ошибок которых вы допустили. Выучив таким способом расположение клавиш можно перейти к совершенствованию и повышению скорости набора.
51768. МЕТОДИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УРОКА ИНОСТРАННОГО ЯЗЫКА 95.5 KB
  Аспектный анализ урока иностранного языка. Оценка урока. Умение анализировать урок как важнейший фактор овладения методическим мастерством Методический анализ урока вид анализа ориентированный на оценку структуры и содержания урока технологии его проведения эффективности решения учебнометодических задач [1 272].
51770. Как делаются слова. Сложные слова из двух корней с буквой соединительного гласного 86.5 KB
  Сложные слова из двух корней с буквой соединительного гласного Цель: закрепить знания по теме сложные слова; развитие внимания речи памяти; прививать интерес к русскому языку. Оборудование: карточки со словами на доску учебник индивидуальные карточки лесенка.момент: Рассказать секреты словаЯ для вас всегда готова.
51771. Рынок, его структура и функция 70 KB
  Рынок имеет сложную структуру. По механизму функционирования выделяют: свободный рынок свободная конкуренция монополизированный условия производства и обращения определяются группой монополий регулируемый ведущая роль принадлежит государству. По объектам обмена различают: товарный рынок финансовый рынок и рынок труда.