546

Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Познакомиться с средствами MathLab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи. Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта.

Русский

2013-01-06

101.5 KB

56 чел.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт космических и информационных технологий

Кафедра информационных систем

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

«Исследование работы метода наименьших квадратов в математическом пакете MathLab»

Преподаватель

    Е.Д. Агафонов.

подпись, дата инициалы, фамилия

Студент        КИ09-08          030900146          20.03.2012            О.В.Пен

                           номер группы    номер зачетной книжки                       дата                 инициалы, фамилия

Красноярск 2012


Цель работы: познакомиться с средствами Mathlab и смоделировать работу метода наименьших квадратов для полиномиальной модели для объекта с высоким уровнем помехи.

Краткие теоретические сведения

Метод наименьших квадратов обеспечивает быстрый и точный подбор коэффициентов модели на базе выборки входов и выходов объекта. Имеется некий объект, заданный следующим уравнением:

х(u1, u2,…,un) =a0+ a1*f(u1)+a2*f(u2)+…+an*f(un)                  (1)

В таком случае его модель примет следующий вид

 у(u1,…, un) = α0 + α1*f(u1) + α2*f(u2) + αn*f(un)                (2)

В случае представления вектора коэффициентов а и вектора функций в виде матриц, уравнение приобретает следующий вид:

         у(u1,…, un) = αT * φ(u)                                                               (3)

Пусть матрица функции φ(u) = Ф, матрица выходов  - Н, тогда:

Н = Ф* α     (4)

НФТ = ФТФ α  (5)

Тогда можно найти коэффициенты α модели:

α = (ФТФ)-1ФТН   (6)

В дальнейшем, сравнивая квадрат разности между выходами объекта и модели, получившимися при подстановке коэффициентов α в исходный полином, мы получим ошибку работы метода.

Листинг программы

  1.  Область генерации случайного входа

close all

n=100;

u1 = 100*rand(n,1);

u2 = 100*rand(n,1);

k1 = 2; k2 = 3; k3 = 4; k4 = 5; k5 = 6; k6 = 7;

x = k1*u1.^2 + k2*u2.^2 + k3*u1 + k4*u2 + k5*u1.*u2 + k6 + normrnd(0,10000,n,1);

h = x;

phi1 = ones(n,1);

  2. Область генерации матрицы Ф

F = [u1.^2 u2.^2 u1 u2 u1.*u2 phi1];

  3. Область нахождения коэффициентов модели и построения выхода модели

a = (F'*F)^(-1)*F'*h

y = a(1)*u1.^2 + a(2)*u2.^2  + a(3)*u1 + a(4)*u2 + a(5)*u1.*u2 + a(6);

  4. Область нахождения ошибки

nevyazka = y-x;

nevyazka2 = nevyazka.^2;

oshibka = sum(nevyazka2)/n;

    5. Область рисования графика

[u1_, u2_] = meshgrid(0:1:100, 0:1:100);

y_ = a(1)*u1_.^2 + a(2)*u2_.^2  + a(3)*u1_ + a(4)*u2_ + a(5)*u1_.*u2_ + a(6);

 

mesh(u1_,u2_,y_);

hold on

plot3(u1,u2,x,'.');

Результаты работы программы

Рисунок 1 График модели (радужный) и объекта (точки) для высокого уровня дисперсии

Как видно, модель не полностью отвечает объекту (рис.1). Это обусловлено высоким уровнем дисперсии помехи, заявленным в программе. Понижение уровня дисперсии ведет к более точному совпадению модели и объекта (рис.2).

Рисунок  2 График модели и объекта для низкого уровня дисперсии.

Вывод

Как можно заметить исходя из графиков, уровень дисперсии помехи значительно влияет на точность модели при использовании метода наименьших квадратов. Средства MathLab позволяют построить быструю и точную модель при использовании сравнительно малого объема кода, кроме того, имеется возможность проиллюстрировать работу программы при использовании высокоуровневых 3D-графиков.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4466. Українська національна демократична революція 1917-1921 рр. Україна в складі СРСР (1922 – 1939 рр.) 75.63 KB
  Українська національна демократична революція 1917-1921 рр. Україна в складі СРСР (1922 – 1939 рр.) Мета заняття.Ознайомити студентів із становленням української державності та боротьбою різних сил в Україні у 1917-1921р.р.,становищ...
4467. Україна в роки Другої світової війни. Суспільно-політичний, соціально-економічний розвиток України від другої половини 40-х до початку 80-х рр. ХХ ст. 79.85 KB
  Україна в роки Другої світової війни. Суспільно-політичний, соціально-економічний розвиток України від другої половини 40-х до початку 80-х рр. ХХ ст. Мета заняття: Ознайомитись з планами гітлерівців щодо України, основними подіями та перебігом війс...
4468. Національно-державне відродження українського народу. Незалежна Україна на сучасному етапі 67.98 KB
  Перебудова в СРСР та її наслідки для України. Спроба державного перевороту в СРСР і Україна. Розпад Радянського Союзу і відродження незалежної України. Розгортання державотворчих процесів. Становлення владних структур, прийняття Конституції України Політичне життя в Україні. Вибори до Верховної Ради України в 1994, 1998, 2002, 2006, 2007 рр. Вибори Президента України 1999, 2004, 2010 рр.
4469. Історія україни Опорний конспект. Методична розробка 1.37 MB
  Методична розробка Опорний конспект з історії України написана на основі навчальної програми курсу Історія України для вищих навчальних закладів І і ІІ рівнів акредитації дає вказівки по вивченню, засвоєнню матеріалу, що вивчається аудиторно. Робота...
4470. Основи теорії держави і права 181.5 KB
  Основи теорії держави і права Ознайомити студентів із поняттям держави і права, їх ознаками, закономірностями виникнення, основними теоріями походження та функціями. Охарактеризувати форми держави і права,поняття та ознаки г...
4471. Основи Конституційного права України 180.5 KB
  Основи Конституційного права України. Мета заняття.Ознайомити студентів із основами конституційного права України, загальними засадами конституційного ладу, народовладдям та формами його здійснення. Охарактеризувати види виборів та головні при...
4472. Основи Цивільного права 223 KB
  Основи Цивільного права Мета заняття.Ознайомити студентів із основами цивільного права, його джерелами та відносинами, що ним регулюються, суб’єктами та об’єктами цивільно-правових відносин, суттю права власності та формами його захи...
4473. Основи трудового права України 281 KB
  Основи трудового права України Мета заняття.Ознайомити студентів із трудовим правом, його джерелами та відносинами, що ним регулюються, колективним та трудовим договорами, робочим часом та часом відпочинку, підставами та порядком звільнення з ...
4474. Основи фінансового та банківського права 129.5 KB
  Основи фінансового та банківського права. Ознайомити студентів із основами фінансового та банківського права, їх джерелами та відносинами, що ними регулюються, суб'єктами та об'єктами цивільно-правових відносин, суттю пра...