5479

Теория предела. Числовые последовательности.

Контрольная

Математика и математический анализ

Теория предела. Числовые последовательности. Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется числовой последовательностью. Т.е., если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число, то говорят, что зада...

Русский

2012-12-12

227.5 KB

68 чел.

Теория предела. Числовые последовательности.

Опр. Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется числовой последовательностью.

Т. е., если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность :

1          2         3    …        n …         - аргумент

                              

                  …       …       - члены последовательности.

 - общий член последовательности. Чтобы задать числовую последовательность, необходимо указать формулу ее общего члена. Примеры числовых последовательностей:

:   2, 4, 8, ….., ,…,      

:    , , , …,, …       и т.д.

Предел числовой последовательности.

Рассмотрим числовую последовательность . Изобразим ее на числовой оси.

Очевидно, что члены последовательности убывают по величине, но при этом положительны и не равны нулю. При достаточно больших номерах члены последовательности будут сколь угодно близкими к 0. В этом случае говорят, что 0 является пределом данной числовой последовательности.

 

 Опр. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер N, зависящий от ,  что для всех членов последовательности с номерами n>N, верно неравенство: .

Если последовательность  имеет предел, равный А, то она называется сходящейся к числу А (в противном случае – расходящейся). Кратко это можно записать так: .  (Или   так:   ).

Используя логические символы, определение предела числовой последовательности можно записать так:

    .

Смысл определения состоит в том, что при достаточно больших номерах все члены последовательности (начиная с некоторого), будут заключены в - окрестности предельной точки, какой бы узкой она ни была.

Замечание. Числовая последовательность может иметь предел, равный , а может не иметь предела вообще.

Пример. ;   .

Предел функции.

  1.  Предел функции в точке.

Односторонние пределы.

Пример.

Пусть функция y=f(x) задана в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки .

Опр. 1. Точка А называется пределом функции y=f(x) при , если для любой последовательности точек , сходящейся к , последовательность значений функции  сходится к А.  В этом случае пишут: =А, или  при .

Это определение называют определением предела по Гейне   (нем. математик XIX в.)

Замечание. Если точка , то предел , если он существует, равен значению функции в данной точке . (См. рис.1)

Опр. 2. Если при стремлении к     x принимает лишь значения, меньшие (большие) ,  и при этом , то  говорят об одностороннем пределе слева   (справа ).

Пример.           

Утверждение. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны оба односторонних предела функции в данной точке.

Существует и другое (равносильное) определение предела функции, в котором используется понятие окрестности. Оно называется определением по Коши.

Опр. 3. Число А называется пределом функции y=f(x) при , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число , зависящее от , что для всех x, удовлетворяющих условию , верно неравенство .

В символической форме это определение записывается так:

.

Вопрос. Где здесь окрестности? Раскрыть скобки в неравенствах.

Опр.3 можно также сформулировать в следующем общем виде:

Число А называют пределом функции y=f(x) при  и пишут =А, если  .

Геометрический смысл данного определения 3 заключается в следующем: какую бы (даже сколь угодно малую) окрестность точки А на оси Оу мы ни взяли, всегда найдется окрестность точки  на оси Ох, являющаяся ее прообразом.

  1.  Бесконечные пределы.

Общее определение предела позволяет дать определение и для случаев, когда   или А являются несобственными точками, т.е. .

Опр. 4. Число А называют пределом функции y=f(x) при  и пишут =А, если:

.

Опр. 5. Число А называют пределом функции y=f(x) при  и пишут =А, если:

.

Самостоятельно: сформулировать определение предела при .

Опр.6.  Говорят, что функция y=f(x) имеет предел при , равный  и пишут , если:

.

Самостоятельно: сформулировать определение предела, равного.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их связь.

Опр. Функция  называется бесконечно малой при  функцией, если ее предел при   равен нулю:

=0 .

Опр. Функция  называется бесконечно большой при  функцией, если ее предел при   есть несобственное число:

= .

Пример. Функция  является:     БМ при ;   ББ при ; не является ни БМ, ни ББ при  .

Теорема 1.   (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция

y=f(x) имеет предел , то разность между функцией и значением ее предела есть бесконечно малая при .

Док-во. Имеем:

=А .

Надо доказать, что  -А)=0, т.е.

. Очевидно, что это условие выполнено.  ▲

Следствие.  Если функция y=f(x) имеет предел , то ее можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой при  функции :  .

Теорема 2 ( о связи БМ и ББ функций). Если  есть БМФ, и   в некоторой окрестности точки , то функция  есть ББФ.   Если  есть ББФ, то функция   есть БМФ.

Доказать самостоятельно, используя определение предела.

4. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.

Свойства бесконечно малых функций.

1. Алгебраическая сумма конечного числа БМФ есть БМФ при .

2. Произведение БМФ на ограниченную в некоторой окрестности точки  функцию (в т.ч. на постоянную, на другую БМ)  есть БМФ.

3. Частное от деления БМФ на функцию, предел которой отличен от нуля, есть БМФ.

 Замечание. Свойство 3 не рассматривает предел отношения двух БМФ из-за его неопределенности: он может быть равен как конечному числу, так и .

 Докажем, например, свойство 1.

Пусть  и  есть БМФ. Докажем, что функция  также есть БМФ.   

По условию для любого , а значит, и для  найдутся такие числа  и , что :

если  ,  то

                                                              (1)

если ,  то     

                                                                         (2)

Если в качестве  взять минимальное из  и , т.е. , то для всех х, удовлетворяющих условию   будут верны оба неравенства (1) и (2). Складывая их почленно, получим:

.      

Используя первое неравенство треугольника, перейдем к более сильному неравенству:

.    

Итак,  мы нашли , такое, что при всех  выполняется неравенство . Это и означает, что функция  есть БМФ.   ▲

Свойства бесконечно больших функций.

1. Произведение ББФ на функцию, предел которой отличен от 0, есть ББФ.

2. Сумма ББФ и ограниченной функции есть ББФ.

3. Сумма ББФ одного знака есть ББФ того же знака.

4. Частное от деления ББФ на функцию, имеющую конечный предел, есть ББФ.

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть  и   - БМФ. Предположим, что существует предел их отношения, равный некоторому значению А (собств. или несобств.), т.е.

.    Тогда если:

  1.  А – число, не равное 0 или 1, то функции  и  называются БМ одинакового порядка.
  2.  А=0, то функция  называется БМ более высокого порядка малости, чем  и обозначают:  (о малое).

Пример:

,   - БМ при х→0,

  1.  А=, то функция  называется БМ более высокого порядка малости, чем .
  2.  А =1, то функции  и  называются эквивалентными БМ,  обозначается: ~.

 Свойства эквивалентных БМ

 1. ~  ↔   ~  (рефлексивность)

 2. ~,  ~  ↔   ~   (транзитивность)

 3. ~→   эквивалентные БМ отличаются друг от друга на БМ высшего порядка малости.

 4. Под знаком предела в отношении или произведении БМ можно заменять эквивалентными БМ. Например,

.

,       .

Таблица эквивалентности БМ   для 

~

~

~

~

~

~

~ lna

ln(1+)~

~p

Пример.

.

Замечание. Те же понятия имеют место для ББ величин, только термин «порядок малости» заменяется на термин «порядок роста».


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55986. Свіча Шевченкова горить… 13.39 MB
  Мета заходу: викликати у студентів інтерес до постаті Великого Кобзаря; виховувати почуття патріотизму, національної гордості за свій народ і його видатних людей Звучить мелодія кобзи. Звук стихає, під тихий звук кобзи ведучі, одягнені в українські вишиванки – хлопець і дівчина студенти.
55987. Наша дума, наша пісня не вмре, не загине! 68.82 KB
  В похилій хаті край Над ставом чистим і прозорим Життя Тарасику дала Кріпачка мати вбита горем. Ведучий: Скільки тих шляхів на світі і куди вони всі ведуть Увечері сяде дід на призьбі малий Тарас коло нього показує дід на темне небо на зорі.
55988. Тарас Григорович Шевченко в англомовному світі 113.5 KB
  Англійська мова якою зараз говорять і яку розуміють на всіх континентах представила Шевченка для світової читацької громади найбільше. Майже всі поезії Шевченка відтворюють англійською мовою.
55989. Мій улюблений письменник Т.Г. Шевченко. Українські і британські письменники 46 KB
  Мета: Повторити і систематизувати знання учнів про деякі біографічні факти письменників, їх творчої спадщини; сприяти запамятовуванню вживання Passive Voice; перевірити знання учнів лексичного запасу з даної теми, розвивати вміння виконувати лексичні операції
55990. Стародавній Схід: далекий і близький 39.5 KB
  Навчальна мета: поглибити, узагальнити знання з теми. Засобом змагань викликати інтерес до творчої пошукової роботи; поєднати минуле і сучасне; навчити практично використовувати набуті знання у подальшому житті.
55991. Сценарій двомовного свята: «Лісова школа. Абетка» 53 KB
  Ні Лиско Петрівно, ці дітки особливі і вкрай талановиті. Я зараховую їх до нас в «Лісову школу». А за свою роботу та чудовий виступ пропоную нагородити їх подяками. По завершенню ведучі...
55992. Научно-исследовательская деятельность в школе 131.5 KB
  Сторонники исследовательского обучения отмечают учебный процесс в идеале должен моделировать процесс научного исследования поиска новых знаний Исследовательская деятельность учащихся является формой образовательного процесса...
55994. Ось і школа, ось і клас. Він давно чекає нас 272 KB
  Органайзер Добрий день діти Продзвенів і стих дзвінок. У ньому діти отримують знання навчаються писати читати рахувати. Гра Склади портфель Діти Мальвіна хоче перевірити чи зможете ви зібрати портфель до школи. Діти заучують правило.