5479

Теория предела. Числовые последовательности.

Контрольная

Математика и математический анализ

Теория предела. Числовые последовательности. Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется числовой последовательностью. Т.е., если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число, то говорят, что зада...

Русский

2012-12-12

227.5 KB

62 чел.

Теория предела. Числовые последовательности.

Опр. Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется числовой последовательностью.

Т. е., если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность :

1          2         3    …        n …         - аргумент

                              

                  …       …       - члены последовательности.

 - общий член последовательности. Чтобы задать числовую последовательность, необходимо указать формулу ее общего члена. Примеры числовых последовательностей:

:   2, 4, 8, ….., ,…,      

:    , , , …,, …       и т.д.

Предел числовой последовательности.

Рассмотрим числовую последовательность . Изобразим ее на числовой оси.

Очевидно, что члены последовательности убывают по величине, но при этом положительны и не равны нулю. При достаточно больших номерах члены последовательности будут сколь угодно близкими к 0. В этом случае говорят, что 0 является пределом данной числовой последовательности.

 

 Опр. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер N, зависящий от ,  что для всех членов последовательности с номерами n>N, верно неравенство: .

Если последовательность  имеет предел, равный А, то она называется сходящейся к числу А (в противном случае – расходящейся). Кратко это можно записать так: .  (Или   так:   ).

Используя логические символы, определение предела числовой последовательности можно записать так:

    .

Смысл определения состоит в том, что при достаточно больших номерах все члены последовательности (начиная с некоторого), будут заключены в - окрестности предельной точки, какой бы узкой она ни была.

Замечание. Числовая последовательность может иметь предел, равный , а может не иметь предела вообще.

Пример. ;   .

Предел функции.

  1.  Предел функции в точке.

Односторонние пределы.

Пример.

Пусть функция y=f(x) задана в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки .

Опр. 1. Точка А называется пределом функции y=f(x) при , если для любой последовательности точек , сходящейся к , последовательность значений функции  сходится к А.  В этом случае пишут: =А, или  при .

Это определение называют определением предела по Гейне   (нем. математик XIX в.)

Замечание. Если точка , то предел , если он существует, равен значению функции в данной точке . (См. рис.1)

Опр. 2. Если при стремлении к     x принимает лишь значения, меньшие (большие) ,  и при этом , то  говорят об одностороннем пределе слева   (справа ).

Пример.           

Утверждение. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны оба односторонних предела функции в данной точке.

Существует и другое (равносильное) определение предела функции, в котором используется понятие окрестности. Оно называется определением по Коши.

Опр. 3. Число А называется пределом функции y=f(x) при , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число , зависящее от , что для всех x, удовлетворяющих условию , верно неравенство .

В символической форме это определение записывается так:

.

Вопрос. Где здесь окрестности? Раскрыть скобки в неравенствах.

Опр.3 можно также сформулировать в следующем общем виде:

Число А называют пределом функции y=f(x) при  и пишут =А, если  .

Геометрический смысл данного определения 3 заключается в следующем: какую бы (даже сколь угодно малую) окрестность точки А на оси Оу мы ни взяли, всегда найдется окрестность точки  на оси Ох, являющаяся ее прообразом.

  1.  Бесконечные пределы.

Общее определение предела позволяет дать определение и для случаев, когда   или А являются несобственными точками, т.е. .

Опр. 4. Число А называют пределом функции y=f(x) при  и пишут =А, если:

.

Опр. 5. Число А называют пределом функции y=f(x) при  и пишут =А, если:

.

Самостоятельно: сформулировать определение предела при .

Опр.6.  Говорят, что функция y=f(x) имеет предел при , равный  и пишут , если:

.

Самостоятельно: сформулировать определение предела, равного.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их связь.

Опр. Функция  называется бесконечно малой при  функцией, если ее предел при   равен нулю:

=0 .

Опр. Функция  называется бесконечно большой при  функцией, если ее предел при   есть несобственное число:

= .

Пример. Функция  является:     БМ при ;   ББ при ; не является ни БМ, ни ББ при  .

Теорема 1.   (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция

y=f(x) имеет предел , то разность между функцией и значением ее предела есть бесконечно малая при .

Док-во. Имеем:

=А .

Надо доказать, что  -А)=0, т.е.

. Очевидно, что это условие выполнено.  ▲

Следствие.  Если функция y=f(x) имеет предел , то ее можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой при  функции :  .

Теорема 2 ( о связи БМ и ББ функций). Если  есть БМФ, и   в некоторой окрестности точки , то функция  есть ББФ.   Если  есть ББФ, то функция   есть БМФ.

Доказать самостоятельно, используя определение предела.

4. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.

Свойства бесконечно малых функций.

1. Алгебраическая сумма конечного числа БМФ есть БМФ при .

2. Произведение БМФ на ограниченную в некоторой окрестности точки  функцию (в т.ч. на постоянную, на другую БМ)  есть БМФ.

3. Частное от деления БМФ на функцию, предел которой отличен от нуля, есть БМФ.

 Замечание. Свойство 3 не рассматривает предел отношения двух БМФ из-за его неопределенности: он может быть равен как конечному числу, так и .

 Докажем, например, свойство 1.

Пусть  и  есть БМФ. Докажем, что функция  также есть БМФ.   

По условию для любого , а значит, и для  найдутся такие числа  и , что :

если  ,  то

                                                              (1)

если ,  то     

                                                                         (2)

Если в качестве  взять минимальное из  и , т.е. , то для всех х, удовлетворяющих условию   будут верны оба неравенства (1) и (2). Складывая их почленно, получим:

.      

Используя первое неравенство треугольника, перейдем к более сильному неравенству:

.    

Итак,  мы нашли , такое, что при всех  выполняется неравенство . Это и означает, что функция  есть БМФ.   ▲

Свойства бесконечно больших функций.

1. Произведение ББФ на функцию, предел которой отличен от 0, есть ББФ.

2. Сумма ББФ и ограниченной функции есть ББФ.

3. Сумма ББФ одного знака есть ББФ того же знака.

4. Частное от деления ББФ на функцию, имеющую конечный предел, есть ББФ.

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть  и   - БМФ. Предположим, что существует предел их отношения, равный некоторому значению А (собств. или несобств.), т.е.

.    Тогда если:

  1.  А – число, не равное 0 или 1, то функции  и  называются БМ одинакового порядка.
  2.  А=0, то функция  называется БМ более высокого порядка малости, чем  и обозначают:  (о малое).

Пример:

,   - БМ при х→0,

  1.  А=, то функция  называется БМ более высокого порядка малости, чем .
  2.  А =1, то функции  и  называются эквивалентными БМ,  обозначается: ~.

 Свойства эквивалентных БМ

 1. ~  ↔   ~  (рефлексивность)

 2. ~,  ~  ↔   ~   (транзитивность)

 3. ~→   эквивалентные БМ отличаются друг от друга на БМ высшего порядка малости.

 4. Под знаком предела в отношении или произведении БМ можно заменять эквивалентными БМ. Например,

.

,       .

Таблица эквивалентности БМ   для 

~

~

~

~

~

~

~ lna

ln(1+)~

~p

Пример.

.

Замечание. Те же понятия имеют место для ББ величин, только термин «порядок малости» заменяется на термин «порядок роста».


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25430. Основные направления социальной работы с женщинами 38 KB
  Женщины – социальнодемографическая группа населения которая в силу своих особенностей является категорией особенно нуждающейся в социальной помощи.Основной признак выделения женщин в качестве особой социальнодемографической группы и специфической категории клиентов социальной работы заключается в их генеративной функции то есть способности к деторождению. Споры о роли женщины в обществе о ее социальном положении существовал всегда но на каждом историческом этапе вставал с особой характерной для того времени остротой.
25431. Место и роль пожилых и старых людей в современном обществе 54.5 KB
  Структура ответа: Вступление Понятие пожилого и старого человека Исторический аспект положения пожилых и старых людей в обществе Современная ситуация. За последние 60 лет доля в населении детей уменьшилась почти вдвое а доля пожилых и старых людей в возрасте после 60 лет напротив возросла почти втрое. Согласно международным критериям например ООН население страны считается старым если доля людей в возрасте 65 лет и старше превышает 7.
25432. Регион как объект хозяйствования и управления 51.34 KB
  Реализя крупн региональн программ программ развития сырьевых экологичх освоения террии Одна из задач районирования обеспечить управляемость развитием государства. Региональные структуры характерные для РФ: 1. Суть воспроизводственного подхода Требует обеспечить преимущ региона и использовать возможности при комплексн развитии хозяйства региона.Воспроизводственный процесс единство внутренних и межрегиональных связей обеспечив последовательный процесс прва распределения обмена потребления.
25433. Отличительные особенности регионального воспроизводственного процесса 11.9 KB
  Через четыре месяца вышел первый номер Бюллетеня оппозиции . До 7080 материалов Бюллетеня принадлежали его перу. Всего вышло 87 книжек Бюллетеня .
25434. Социальный работник – клиент - особенности взаимодействия. Клиент в системе социальной работы. Структура социальной помощи клиенту в системе соц.обслуживания 21.46 KB
  работе помощь клиента соц.работника и клиента является восприятия последнего как неповторимой личности. Основными принципами работы с пожилыми людьми являются уважение и интерес к личности клиента акцент на нужности и полезности его опыта и знаний окружающим людям. Определение типа клиента – первый шаг в установлении контакта так как отношение и взаимодействие соц.
25435. Клиент в системе социальной работы 13.52 KB
  одним из важнейших условий взаимодействия ср и клиента является восприятие последнего как неповторимой личности. полного знания о клиенте не может быть никогда но ср надо стремиться к тому чтобы получить те знания от клиента которые нужны ему для оказания помощи.Джонсон типы клиента: ищут помощи для себя просят помощи для другогодругих не ищут помощино тем или иными причинами угрожают жизнедеятельности другого чела ищут или используют помощь как средство для собственных целей ищут помощи но не для достойных целей Определение типа...
25436. Идеологическая подготовка масс к предстоящей войне 13.71 KB
  Воскресные номера газет за 22 июня 1941 г. 22 июня в 12 часов дня Центральное радио передало правительственное Заявление о вероломном нападении фашистской Германии на СССР. 22 июня ЦК ВКПб и правительство ввели военное положение на территориях Прибалтики Белоруссии Украины Молдавии и ряда областей РСФСР. 23 июня была объявлена мобилизация военнообязанных 19051918 гг.
25437. Проблематика советской журналистики периода Великой Отечественной войны 13.22 KB
  центральными оставались несколько тематических направлений: освещение военного положения страны и боевых действий Советской Армии; всесторонний показ героизма и мужества советских людей на фронте и в тылу у врага; тема единства фронта и тыла; характеристика военных действий Советской Армии на территориях европейских стран освобождаемых от фашистской оккупации и Германии. центральными оставались несколько тематических направлений: освещение военного положения страны и боевых действий Советской Армии; всесторонний показ героизма и мужества...
25438. Через неделю после начала войны 11.26 KB
  В условиях начавшейся войны советская журналистика была призвана показать коварные замыслы врага в отношении народов Советского Союза раскрыть его захватнические планы. Фронтовые газеты стали выходить с самого начала войны. На начальном этапе войны была предпринята попытка издания газет рассчитанных на разложение войск противника.