5479

Теория предела. Числовые последовательности.

Контрольная

Математика и математический анализ

Теория предела. Числовые последовательности. Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется числовой последовательностью. Т.е., если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число, то говорят, что зада...

Русский

2012-12-12

227.5 KB

51 чел.

Теория предела. Числовые последовательности.

Опр. Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется числовой последовательностью.

Т. е., если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность :

1          2         3    …        n …         - аргумент

                              

                  …       …       - члены последовательности.

 - общий член последовательности. Чтобы задать числовую последовательность, необходимо указать формулу ее общего члена. Примеры числовых последовательностей:

:   2, 4, 8, ….., ,…,      

:    , , , …,, …       и т.д.

Предел числовой последовательности.

Рассмотрим числовую последовательность . Изобразим ее на числовой оси.

Очевидно, что члены последовательности убывают по величине, но при этом положительны и не равны нулю. При достаточно больших номерах члены последовательности будут сколь угодно близкими к 0. В этом случае говорят, что 0 является пределом данной числовой последовательности.

 

 Опр. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер N, зависящий от ,  что для всех членов последовательности с номерами n>N, верно неравенство: .

Если последовательность  имеет предел, равный А, то она называется сходящейся к числу А (в противном случае – расходящейся). Кратко это можно записать так: .  (Или   так:   ).

Используя логические символы, определение предела числовой последовательности можно записать так:

    .

Смысл определения состоит в том, что при достаточно больших номерах все члены последовательности (начиная с некоторого), будут заключены в - окрестности предельной точки, какой бы узкой она ни была.

Замечание. Числовая последовательность может иметь предел, равный , а может не иметь предела вообще.

Пример. ;   .

Предел функции.

  1.  Предел функции в точке.

Односторонние пределы.

Пример.

Пусть функция y=f(x) задана в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки .

Опр. 1. Точка А называется пределом функции y=f(x) при , если для любой последовательности точек , сходящейся к , последовательность значений функции  сходится к А.  В этом случае пишут: =А, или  при .

Это определение называют определением предела по Гейне   (нем. математик XIX в.)

Замечание. Если точка , то предел , если он существует, равен значению функции в данной точке . (См. рис.1)

Опр. 2. Если при стремлении к     x принимает лишь значения, меньшие (большие) ,  и при этом , то  говорят об одностороннем пределе слева   (справа ).

Пример.           

Утверждение. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны оба односторонних предела функции в данной точке.

Существует и другое (равносильное) определение предела функции, в котором используется понятие окрестности. Оно называется определением по Коши.

Опр. 3. Число А называется пределом функции y=f(x) при , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число , зависящее от , что для всех x, удовлетворяющих условию , верно неравенство .

В символической форме это определение записывается так:

.

Вопрос. Где здесь окрестности? Раскрыть скобки в неравенствах.

Опр.3 можно также сформулировать в следующем общем виде:

Число А называют пределом функции y=f(x) при  и пишут =А, если  .

Геометрический смысл данного определения 3 заключается в следующем: какую бы (даже сколь угодно малую) окрестность точки А на оси Оу мы ни взяли, всегда найдется окрестность точки  на оси Ох, являющаяся ее прообразом.

  1.  Бесконечные пределы.

Общее определение предела позволяет дать определение и для случаев, когда   или А являются несобственными точками, т.е. .

Опр. 4. Число А называют пределом функции y=f(x) при  и пишут =А, если:

.

Опр. 5. Число А называют пределом функции y=f(x) при  и пишут =А, если:

.

Самостоятельно: сформулировать определение предела при .

Опр.6.  Говорят, что функция y=f(x) имеет предел при , равный  и пишут , если:

.

Самостоятельно: сформулировать определение предела, равного.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их связь.

Опр. Функция  называется бесконечно малой при  функцией, если ее предел при   равен нулю:

=0 .

Опр. Функция  называется бесконечно большой при  функцией, если ее предел при   есть несобственное число:

= .

Пример. Функция  является:     БМ при ;   ББ при ; не является ни БМ, ни ББ при  .

Теорема 1.   (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция

y=f(x) имеет предел , то разность между функцией и значением ее предела есть бесконечно малая при .

Док-во. Имеем:

=А .

Надо доказать, что  -А)=0, т.е.

. Очевидно, что это условие выполнено.  ▲

Следствие.  Если функция y=f(x) имеет предел , то ее можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой при  функции :  .

Теорема 2 ( о связи БМ и ББ функций). Если  есть БМФ, и   в некоторой окрестности точки , то функция  есть ББФ.   Если  есть ББФ, то функция   есть БМФ.

Доказать самостоятельно, используя определение предела.

4. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.

Свойства бесконечно малых функций.

1. Алгебраическая сумма конечного числа БМФ есть БМФ при .

2. Произведение БМФ на ограниченную в некоторой окрестности точки  функцию (в т.ч. на постоянную, на другую БМ)  есть БМФ.

3. Частное от деления БМФ на функцию, предел которой отличен от нуля, есть БМФ.

 Замечание. Свойство 3 не рассматривает предел отношения двух БМФ из-за его неопределенности: он может быть равен как конечному числу, так и .

 Докажем, например, свойство 1.

Пусть  и  есть БМФ. Докажем, что функция  также есть БМФ.   

По условию для любого , а значит, и для  найдутся такие числа  и , что :

если  ,  то

                                                              (1)

если ,  то     

                                                                         (2)

Если в качестве  взять минимальное из  и , т.е. , то для всех х, удовлетворяющих условию   будут верны оба неравенства (1) и (2). Складывая их почленно, получим:

.      

Используя первое неравенство треугольника, перейдем к более сильному неравенству:

.    

Итак,  мы нашли , такое, что при всех  выполняется неравенство . Это и означает, что функция  есть БМФ.   ▲

Свойства бесконечно больших функций.

1. Произведение ББФ на функцию, предел которой отличен от 0, есть ББФ.

2. Сумма ББФ и ограниченной функции есть ББФ.

3. Сумма ББФ одного знака есть ББФ того же знака.

4. Частное от деления ББФ на функцию, имеющую конечный предел, есть ББФ.

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть  и   - БМФ. Предположим, что существует предел их отношения, равный некоторому значению А (собств. или несобств.), т.е.

.    Тогда если:

  1.  А – число, не равное 0 или 1, то функции  и  называются БМ одинакового порядка.
  2.  А=0, то функция  называется БМ более высокого порядка малости, чем  и обозначают:  (о малое).

Пример:

,   - БМ при х→0,

  1.  А=, то функция  называется БМ более высокого порядка малости, чем .
  2.  А =1, то функции  и  называются эквивалентными БМ,  обозначается: ~.

 Свойства эквивалентных БМ

 1. ~  ↔   ~  (рефлексивность)

 2. ~,  ~  ↔   ~   (транзитивность)

 3. ~→   эквивалентные БМ отличаются друг от друга на БМ высшего порядка малости.

 4. Под знаком предела в отношении или произведении БМ можно заменять эквивалентными БМ. Например,

.

,       .

Таблица эквивалентности БМ   для 

~

~

~

~

~

~

~ lna

ln(1+)~

~p

Пример.

.

Замечание. Те же понятия имеют место для ББ величин, только термин «порядок малости» заменяется на термин «порядок роста».


Данной работой Вы можете всегда поделиться с другими людьми, они вам буду только благодарны!!!
Кнопки "поделиться работой":

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18859. Брутализм, необрутализм 20.48 KB
  Брутализм необрутализм от англ. brutal грубый направление современной архитектуры зародившееся в 1950х гг. в Великобритании архитекторы А. и П. Смитсон и затем распространившееся в Западной Европе США и Японии. Характерно стремление к обнажению конструктивной схемы по
18860. Русская иконопись XII – XVII в. Домонгольская икона, Андрей Рублёв, Дионисий, Симон Ушаков 24.83 KB
  Русская иконопись XII – XVII в. Домонгольская икона Андрей Рублёв Дионисий Симон Ушаков. Все основные иконографические типы Русь унаследовала от Византии. Поэтому для людей не особо искушенных в искусстве русская икона мало чем отличается от византийской. Те же типы Бого...
18861. Европейский классицизм 20.97 KB
  Европейский классицизм. Настало время и высокий мистицизм готики пройдя через испытания ренессанса уступает место новым идеям основанным на традициях древних демократий. Стремление к имперскому величию и демократическим идеалам трансформировалась в ретроспекцию п
18862. Уильям Моррис и «Движение искусств и ремёсел» 26.64 KB
  Уильям Моррис и Движение искусств и ремёсел. Движение искусств и ремёсел Arts Crafts английское художественное движение викторианской эпохи кон. 19 в. участники которого занимались ручной выработкой предметов декоративноприкладного искусства стремясь к сближению
18863. Микеланджело Буонарроти (Michelangelo Buonarroti; иначе Микеланьоло ди Лодовико ди Лионардо ди Буонаррото Симони) 24.74 KB
  Микеланджело Буонарроти Michelangelo Buonarroti; иначе Микеланьоло ди Лодовико ди Лионардо ди Буонаррото Симони 1475-1564 итальянский скульптор живописец архитектор и поэт. В искусстве Микеланджело с огромной выразительной силой воплотились как глубоко человечные полные героиче
18864. Русское барокко. Окно в Европу 29.03 KB
  Русское барокко. Окно в Европу. Барокко стиль зародившийся в конце XVI в. в Италии в Европе был распространен до начала XVIII в. в Латинской Америке отчасти в Северной Америки и Азии в XVII XVIII вв. Основополагающая черта синтетичность. Искусство барокко отличается динами
18865. Немецкое Возрождение. А.Дюрер, Г.Гольбейн 24.43 KB
  Немецкое Возрождение. А.Дюрер Г.Гольбейн. Развитие немецких городов запаздывало даже по отношению к Нидерландам и немецкий Ренессанс сформировался в сравнении с итальянским на целое столетие позже. На примере творчества многих художников XV в. можно проследить как фор
18866. Скандинавская традиция Алвар Аалто 22.6 KB
  Скандинавская традиция Алвар Аалто. Годы жизни: 1898-1976 Основная информация: Выдающийся финский архитектор. Представитель функционализма близкого органической архитектуре. Его постройки общественные промышленные сооружения жилые дома церкви и выставочные павиль
18867. Русская архитектура Х-ХVII 23.49 KB
  Русская архитектура ХХVII. Крестовокупольный храм архитектурный тип христианского храма сформировавшийся в Византии и в странах христианского востока в V VIII вв. Стал господствующим в архитектуре Византии с IX века и был принят христианскими странами православно...