54874

Двогранні куги піраміди. Побудова лінійного кута двогранного кута між бічною гранню та основою піраміди

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета: засвоєний поняття двогранного кута та його лінійного кута; формування навичок доведення того що побудований кут є лінійним кутом двогранного кута піраміди; оволодіння навичками побудови лінійних кутів двогранних кутів піраміди; удосконалення вміння зображувати стереометричні фігури. Назвати план побудови лінійного кута двогранного кута між бічною гранню та основою піраміди. Довести що площина лінійного кута перпендикулярна до кожної грані лінійного кута.

Украинкский

2014-03-19

196 KB

33 чел.

УРОКИ ГЕОМЕТРІЇ В 11 КЛАСІ

УРОК 1

Тема: Двогранні куги піраміди. Побудова лінійного кута двогранного кута між бічною гранню та основою піраміди.

Мета: засвоєний поняття двогранного кута та його лінійного кута; формування навичок доведення того, що побудований кут є лінійним кутом двогранного кута піраміди; оволодіння навичками побудови лінійних кутів двогранних кутів піраміди; удосконалення вміння зображувати стереометричні фігури.

Тип уроку: Урок засвоєння нових знань.

Обладнання: Таблиці для розв'язування задач зі стереометрії.

ХІД УРОКУ

І. Актуалізація опорних знань.

  1.  Завдання для двох учнів.
  •  Назвати план побудови лінійного кута двогранного кута між бічною гранню та основою піраміди.
  •  Довести, що площина лінійного кута перпендикулярна до кожної грані лінійного кута. (Двоє учнів працюють самостійно біля дошки.)
  1.  З рештою учнів проводиться бесіда за такими завданнями.
  •  Дати означення піраміди.
  •  Показати на моделях і малюнках різні піраміди.
  •  Дати означення правильної, зрізаної та повної пірамід і їх елементів.
  •  Як зображається основа піраміди, якщо вона є трикутником, рівнобедреним трикутником, рівностороннім трикутником, прямокутним трикутником, прямокутником, квадратом, ромбом, трапецією, рівнобічною трапецією?
  •  Де знаходиться основа піраміди, якщо дві її бічні грані зі спільним ребром перпендикулярні до основи піраміди?
  •  Що буде висотою піраміди, якщо одна її грань перпендикулярна до площини основи?
  •  Що буде висотою піраміди, якщо дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи?
  1.  Задача 1. PABCD - піраміда, грані APD та CPD перпендикулярні до площини основи, PD - спільне ребро цих граней, основа ABCD - квадрат. Довести, що бічні ребра РА і PC перпендикулярні до сторін основи AB та ВС відповідно. Назвати кути нахилу бічних ребер до площини основи.

Виконуючи завдання вчителя та розв'язуючи задачу, учні користуються таблицями, на яких зображено піраміди.

  1.  Мотивація навчання учнів.

Учням пропонується розв'язати задачу.

Задача 2. РАВСD – піраміда,  АСВ = 90, пряма РВ перпендикулярна до площини АВС. Довести, що кут РСВ – лінійний кут двогранного кута з ребром АС.

Учні повинні обґрунтувати кожний крок доведення, спираючись на знання зі стереометрії за 10 клас.

(РВ  (АВС). Оскільки ВС  АС, то PC  АС (за теоремою про три перпендикуляри) і  РСВ - лінійний кут двогранного кута з ребром АС).

  1.  Після повідомлення теми, мети і завдань уроку для засвоєння поняття лінійного кута двогранного кута з учнями доцільно розв’язати задачі чотирьох типів:
  2.  на доведення того, що позначений на малюнку кут є лінійним кутом двогранного кута;
  3.  на виділення шуканого лінійного кута серед кількох позначених;
  4.  на побудову лінійного кута даного двогранного кута;
  5.  на обчислення градусної міри кута та інших елементів піраміди.

У процесі розв'язування таких задач в учнів не лише формуються навички побудови лінійних кутів даних двогранних кутів, вони також повторюють означення понять, що стосуються піраміди, а також способи розв'язування задач, формули, правила зображення фігур на малюнку тощо.

Перший тип задач

  1.  РАВС - піраміда, АВ = ВС, СD = DА, РВ  (АВС). Довести, що РDВ - лінійний кут двогранного кута з ребром АС. 
  2.  РАВСD - піраміда. ВК  DС. РВ  (АВС). Довести, що  РКВ - лінійний кут двогранного кута з ребром СD,

Другий тип задач

РАВС - піраміда, основою якої є правильний трикутник. Який із позначених кутів є лінійним кутом двогранного кута з ребром АС, якщо:

а) D - середина АС, пряма РВ  АВС;

б) М- середина АС, пряма РО  (АВС), ONBM.

Третій тип задач

  1.  Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АС, якщо в піраміді РАВС:

а) АВ = ВС, пряма РВ  (АВС);

б) АВС - правильний трикутник, О - точка перетину медіан, пряма РО  (АВС);

в) грань АВС - правильний трикутник, О - середина сторони АВ, пряма РО (АВС).

  1.  Дано прямокутник ABCD і точку Р поза площиною. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром DC, якщо:

а) пряма РВ перпендикулярна до площини ABC;

б) точка О належить відрізку АВ, пряма РО  (АВС);

в) О - точка перетину діагоналей прямокутника АВСD, пряма РО  (АВС).

  1.  Дано ромб АВСD, пряма РС ⏊ (АВС). Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром ВD.
  2.  Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром AD, якщо;

 a) ABCD - трапеція, кут BAD - прямий, пряма РВ перпендикулярна до площини АВС;

б) ABCD - трапеція,  BAD - прямий, точка О належить відрізку ВС, пряма РО перпендикулярна до площини АВС;

в) АВСD - рівнобічна трапеція, пряма РВ перпендикулярна до площини AВС;

г) АВСD - рівнобічна трапеція, пряма РD перпендикулярна до площини

АВС.

Четвертий тип задач

  1.  Дано піраміду РАВС. Знайти величину двогранного кута з ребром АС,якщо:

а) пряма РВ перпендикулярна до площини АВС,  АСВ - прямий, ВС = РВ = 4 см;

б) пряма РВ перпендикулярна до площини АВС, АВ = ВС = 5 см, ВР = АС= 6 см;

в) грань АВС - правильний трикутник, АВ = 6 см, О - точка перетину медіан, пряма ОР перпендикулярна до площини АВС, ОР = 4 см;

АВСD - прямокутник, ВD = , пряма РВ перпендикулярна до площини АВС, ВР = 6 см, двогранний кут з ребром DС дорівнює 60°. Знайти сторони прямокутника.

  1.  

  1.  

АВСD - прямокутник, його площа дорівнює 48 см2, DС = 4 см, пряма РО перпендикулярна до площини АВС, РО = 6 см. О - точка перетину діагоналей. Знайти величину двогранного кута з ребром ОС.

  1.  Дано піраміду РАВСD, її основа АВСD - ромб. Пряма РС перпендикулярна до площини АВС, ВD = 4 см, РС = 8 см. Двогранний кут з ребром ВО дорівнює 45°. Знайти площу ромба.
  2.  У паралелограмі АВСD  АDС= 120°, АD = 8 см, DС = 6 см, пряма РС перпендикулярна до площини АВС, РС= 9 см. Знайти величину двогранного кута з ребром АD і площу паралелограма.

Підсумок уроку.

  1.  За лінійний кут двогранного кута при даній стороні основи піраміди зручно брати кут, утворений висотою відповідної бічної грані, проведеною з піраміди вершини піраміди, і проекцією цієї висоти на площину основи.
  2.  Ребро двогранного кута перпендикулярне до площини лінійного кута, а отже і до будь-якої прямої в цій площині, зокрема до будь-якої прямої, що проходить через вершину лінійного кута.
  3.  Якщо в основі піраміди лежить паралелограм, то для побудови лінійних кутів двогранних кутів при всіх чотирьох сторонах основи досить через основу висоти піраміди провести висоти цього паралелограма і сполучити кінці цих висот, що лежать на сторонах основи або їх продовженнях, з вершиною піраміди.

Учні записують ці опорні факти в зошити. Учитель оцінює роботу і відповіді учнів.


УРОК 2

Тема: Побудова лінійного кута двогранного кута між бічними гранями піраміди.

Мета: навчити учнів будувати лінійний кут двогранного кута між бічними гранями піраміди (з включенням його до трикутника, утвореного лінійними елементами піраміди), доводити, що кути на малюнку позначено правильно.

Тип уроку: Урок засвоєння нових знань.

Обладнання: Стереометричні таблиці «Піраміда».

ХІД УРОКУ

І. Перевірка домашнього завдання.

На відкидних дошках учні записують розв'язання задач із домашньої роботи. Учитель разом з учнями перевіряють правильність розв'язання кожної задачі.

Для перевірки рівня засвоєння матеріалу пропонуємо учням виконати такі завдання (використовуємо малюнок):

 

а) Закінчити речення, щоб отримати правильне твердження: «Якщо BA  AD і ВС  СD то SA  АD і.... Отже, а -це..., β - це... ».

б) Яка теорема використовується для побудови лінійного кута а двогранного кута з ребром АD?

в) Якою формулою варто скористатися в даному випадку, щоб обчислити бічну поверхню піраміди?

г) Чому побудову лінійного кута даного або шуканого двогранного кута починають не з його вершини, а з однієї з його сторін?

  1.  Повідомлення теми, мети і завдань уроку.

Побудова лінійного кута двогранного кута між бічними гранями піраміди з включенням його до трикутника, утвореного лінійними елементами даної піраміди, вимагає врахування конкретних властивостей фігури. Тому єдиного спільного правила для його побудови не існує.

Розглянемо випадки, що найчастіше зустрічаються під час розв'язування

задач.

  1.  Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу.

Задача 1. Побудувати лінійний кут двогранного кута при бічному ребрі правильної чотирикутної піраміди.

Учні разом з учителем установлюють алгоритм побудови лінійного кута і виконують відповідний малюнок в зошитах та на дошці.

Зауважимо, що для правильної піраміди трикутник ВКD - рівнобедрений. Тому медіана ОК є також висотою і бісектрисою.

Задача 2. Побудувати лінійний кут двогранного кута між бічними гранями правильної чотирикутної піраміди, що проходять через протилежні сторони основи. 

Розв'язання

Побудуємо MF|| ВС. Тоді MF|| DА.

MК і МZ - апофеми бічних граней. Тому ВС  (КМZ) і МF  (КМZ). Отже,  KMZ = α - лінійний кут двогранного кута.

Задача 3. В основі піраміди SАВС лежить трикутник АВС. Бічне ребро SА перпендикулярне до площини основи піраміди. Побудувати лінійний кут двогранного кута при бічному ребрі SС.

Вказівка. Лінійний кут будуємо в такій послідовності: у площині АВС опускаємо перпендикуляр ВN на АС, у площині SВС з В опускаємо перпендикуляр ВМ на SС. Сполучаємо точки N і М відрізком. NMB -

шуканий.

Задача 4. Основою піраміди SАВС є рівнобедрений трикутник АВС,

АС = ВС. Бічне ребро SС утворює зі сторонами основи СА і СВ гострий кут а. Побудувати лінійний кут двогранного кута при бічному ребрі SС.

Вказівка.  SDС - лінійний кут двогранного кута при ребрі АВ. Залежно від його величини основа висоти лежатиме всередині основи піраміди (0 <ZSDC < 90°), належатиме відрізку АВ (SDС = 90°), не буде належати основі АВС (90° <SDC< 180°).

Задача 5. Основою піраміди є квадрат. Одне з бічних ребер перпендикулярне до основи. Побудувати лінійні кути двогранних кутів при всіх ребрах піраміди. 

Вказівка. Лінійними кутами двогранних кутів при ребрах SD АВ, ВС, АD, DС є кути: АDС, SАD, SCD, SDС, ADS. Для побудови лінійних кутів двогранних кутів з ребрами SА і SС опускаємо з точки D перпендикуляри DM і DN на ребра SА і SС відповідно. У грані АSВ проводимо МZ CАВ, а в грані SВС - NZ || ВС (АВ  SА  ВС  SС).

  1.  Підсумок уроку.

Наприкінці уроку формулюємо теореми та означення, що застосовувалися під час розв'язування задач і повторюємо основні етапи побудов лінійних кутів двогранних кутів.

  1.  Завдання додому.
  2.  Опрацювати конспект уроку.
  3.  Побудувати лінійний кут двогранного кута при бічному ребрі правильної n-кутної піраміди.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26525. Франко-германская война 1870-1871 гг. и парижская Коммуна 1871 г. и их место в историческом процессе 40 KB
  Прусская война была осознана в Германии как война за национальное существование и независимость поэтому против Фр. провозглашена республика создано Вп Нац обороны в которое вошли представители политические силы оппозиционные империи. прошли выборы в Нац Собрание которое должно было утвердить прелиминарный мирный договор формальное согласие м д воюющими государствами относительно прекращения военных действий соглашение установления условий прекращения огня в общей форме очерчивается предполагаемая территория договариваются о судьбе...
26526. Общие черты и особенности эк. и П. развития стран Западной Европы и США в конце 19- начале 20 века 61.5 KB
  Внедрение капиталистического производства вызвало ряд изменений: 1. По темпам ежегодного приращивания производства 1 место США 2 место Германия. Еще 1й закономерностью развития стран было образование монополий добровольных объединений независимых предпринимателей обладающие исключительным правом производства или торговли. переход от независимого производства к концентрации производства: спрос = предложение = прибыль = обострение конкуренции = нерегулируемое производство = кризис перепроизводства = концентрация производства.
26527. Международные отношения в последней трети 19-нач.20 века 31 KB
  Герм. надолго была ослаблена а Герм. Германия пыталась добиться гегемонии готовила для себя плацдарм. в результате добилась союза 3х императоров1873 Герм.
26528. Страны Европы и США в годы I мир. войны 39 KB
  Если Тарле подчеркивал агрессивность только германского империализма то его оппоненты Покровский и его школа перекладывали ответственность на страны Антанты в том числе и на Россию Причинами I мир.вернуть утраченные территории в войне с Германией играть ведущую роль на континенте Англ.сокрушить Герм. Герм.
26529. Итоги первой МВ и Версальско-Вашингтонская система договоров 43 KB
  Создав преимущество германское командование решило перейти в наступление с целью разгрома армии Антанты до того как США смогли бы увеличить своё присутствие в Европе. Победа союзников обусловила главенствующую роль Великобритании Франции и США в выработке условий мирных соглашений на Парижской мирной конференции. проходила за закрытыми дверями США Вильсон Великобритания Ллойд Джордж Фр. этой программой США прикрывали экспансионистскую политику стали претендовать на мировое господство.
26530. Соц.-экономические, культурные и идеологические, П. предпосылки формирования фашизма в Западной Европе. Критерии тоталитаризма и типология тоталитарных систем 62 KB
  существовало 3 основных идеи пангерманистов:1господствующее положение германии в Европе 2 объединение говорящих понемецки народов и нац групп в рамках герм империи 3расшир герм колон владений. немцы призваны господствовать над всем миром. тоталитарный синдром: 1 единственная массовая партия возглавляемая харизматическим лидером и вбирающая небольшую часть населения; организована по олигархическому принципу стоит над бюрократической гос организацией либо переплетена; 2 официальная идеология; 3 монополия на СМИ; 4 на средства...
26531. Особенности раскола раб. движения после 1МВ. и субъективные причины появления Коментерна и РСИ 46 KB
  Лидеры болва соцдем. Политика защиты отечества разделила социалистов стран Антанты и Герм. Левое крыло имелось почти во всех соц. партиях: борцы с капзмом за победу соц.
26532. Сравнительная характеристика социально-экономической П. «нового курса» ФДР и Народного Фронта во Фр 60.5 KB
  Становилось ясно что рыночные отношения должен регулировать единый механизм государство. английский экономист Кейнс разработал широкий комплекс мер государственного регулирования эк. В период кризиса нужно понижать налоги увеличивать гос. расходы а в период инфляции и перепроизводства наоборот налоги повышать а госву расходы сокращать.
26533. ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ СТРАН ЦЕНТРАЛЬНОЙ И ЮГО-ВОСТОЧНОЙ ЕВРОПЫ В МЕЖВОЕННОЕ ВРЕМЯ (НА ПРИМЕРЕ ПОЛЬШИ И ВЕНГРИИ) 56 KB
  Ачади История венгерского крепостного крестьянства; Трайнин Национальные противоречия в АвстроВенгрии и ее распад. социалистическую партию Венгрии. Советская республика в Венгрии просуществовала 133 дня.