54875

Пряма призма. Піраміда. Площа поверхні та об’єм призми і піраміди

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Площа поверхні та обєм призми і піраміди. Демонструються моделі пірамід Спільну вершину трикутних граней називають вершиною піраміди протилежну їй грань основою а всі інші грані бічними гранями піраміди. Відрізки що сполучають вершину піраміди з вершинами основи називають бічними ребрами. Перпендикуляр опущений із вершини піраміди на площину її основи називають висотою піраміди.

Украинкский

2014-03-19

152 KB

64 чел.

Учитель математики Донецької

загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів № 97

Комарова А.Б.

Початкові відомості стереометрії у 9 класі.

Теоретичний матеріал викладається у вигляді бесіди, презентацій, пропонуються проблемні задачі прикладного характеру і творчі завдання, що допомагає  вчителю  розвивати у учнів логічне мислення і просторову уяву.

Урок № 3,4

Тема уроку: Пряма  призма. Піраміда. Площа поверхні та об’єм  призми і піраміди.

Мета уроку: повторити, привести в систему й розширити відомості про многогранники, пряму призму, піраміду, площу по верхні та об’єм.

Тип уроку: комбінований.

Обладнання: таблиця «Початкові відомості стереометрії», моделі прямих призм, пірамід.

Хід уроку.

I. Організаційний етап.

II. Перевірка домашнього завдання.

  1.  Перевірити правильність виконання домашнього завдання за записами, зробленими на дощці до початку уроку.

Задача1. Дано:АВСДА1В1С1Д1 – прямокутний паралелепіпед.

 

АВ = ВС =1см, ВВ1 = 1см. Знайти: ВВ1, В1А1, В1С1, В1Д11С,В1Д,В1А.

Розв’язання.

ВВ1 = 1см, А1В1 = В1С1 = 2см. В1Д1 = √ В1С12 + С1Д2= √4+4=2√2(см)

В1А = В1С = √12+22=√5(см), В1Д=√В1Д1+ДД12=√8+1=3(см)

        Рис.1

Задача 2

     Нехай αІІβ, а ІІ в (рис.2). Прямі  а і в  перетинають площини α і β у точках А12 і В12, через прямі  а і в  проведемо площину γ, яка перетинає α і β на прямих А1В1 і А2В2, причому А1В1 ІІ А2В2. Тоді А1А2В2 В1 – паралелограм, оскільки в нього протилежні  сторони попарно паралельні, а в паралелограмі протилежні сторони рівні.  Отже, А1А2 = В1В2.

       

     Рис.2

  1.  Фронтальна бесіда.

1.Яким може бути взаємне розміщення двох різних площин у просторі?

2. Які дві площини називаються паралельними?

3. Наведіть приклади паралельних площин у предметів з оточуючого середовища.

4. У якому випадку дві площини будить паралельними?

5. Як можуть розташовуватись в просторі пряма і площина?

6. Сформулюйте означення прямої, перпендикулярної до площини?

7. Що таке перпендикуляр? Похила?

III. Самостійна робота.     

Посібник: Роганін О.М., геометрія. 9 клас: експрес-контроль. Тест 17.

Відповіді. Варіант І     1) Г; 2) В; 3) В; 4) 3см; 5) тільки одну.

                 Варіант ІІ    1) Г; 2) Г; 3) В; 4) 7см; 5) безліч площини.

IV Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу.

Многогранник та його елементи.

Фігури, які вивчає стереометрія, називають тілами. Наочно тіло уявляють як частину простору, зайняту фізичним тілом і обмежену поверхнею. (Демонструємо моделі многогранників).

Многогранником називається тіло (частина простору) обмежене скінченною кількістю плоских многокутників. (рис.3)

Многокутники, які обмежують многогранник, називають його гранями, їх сторони – ребрами, а вершини – вершинами многогранника.

             На рис.3 гранями є многокутники: АВС,А1В1С1,АВВ1А1,ВВ1С1С, АА1С1С; ребрами – сторони  АС,ВС,АВ,АА1,ВВ1,СС11В11С11С1; вершинами – точки А,В,С,А111.

Завдання класу.

  1.  Наведіть приклади предметів побуту, які мають форму многогранників.
  2.  Скільки вершин, ребер, граней має: а)паралелепіпед, б) куб?
  3.  Яке найменше число ребер може мати многогранник?
  4.  Побудуйте многогранник,який має 4 грані. Скільки ребер і скільки вершин він має?
  5.  Якщо поверхню многогранника розрізати по кільках його ребрах і розкласти на площини, то достанемо розгортку даного многогранника.

                        

Призма та її елементи.

Многогранник дві грані якого – рівні  п - кутники з відповідно паралельними сторонами, а всі інші  п-граней – паралелограмами, називається п-кутною призмою (рис.4).(Демонструємо моделі призми)

Рис.4

Рівні п-кутники призми називаються основами, а  паралелограми – бічними гранями, сторони основи – ребрами основі, інші ребра – бічними ребрами.

З означеною  призми випливає, що основи призми рівні, а також лежать у паралельних площинах. Бічні ребра паралельні й рівні.

     Поверхня призми складається з основ і бічної поверхні. Площею поверхні призми називається сума площ усіх її граней. Оскільки основи рівні, то  Sпр = Sбічн  +2 S осн., де Sпр -  площа поверхнів  призми;  Sбічн - площа бічної поверхні призми; Sосн – площа основи.

Завдання класу:

  1.  Скільки граней має  п-кутна призма? Чи може призма мати 10 граней?
  2.  Скільки ребер має п-кутна призма? Чи може призма мати 10 ребер?
  3.  Скільки вершин має  п-кутна призма? Чи може призма мати 10 вершин?
  4.  Скільки граней має 15-кутна призма?  А вершин? А ребер?

Призма називається прямою, якщо  її бічні ребра перпендикулярні до основи. (Демонструються моделі прямих призм)

Пряма призма називається правильною, якщо в її основі лежить правильний многокутник. (Демонструються моделі правильних призм).

Бічними гранями прямої призми є прямокутники.

Площа поверхні та об’єм  прямої призми.

Теорема. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи на довжину  ребра.

Доведення. 

Нехай а1; а2,..., аn — сторони основи призми, h — довжина бічного ребра(рис.5). Тоді а1 + а2 +... + ап =Р — периметр основи. Площа бічної поверхні дорівнює сумі площ усіх бічних h граней: Sбічн = a1h + a2 h +…+ aп h = (a1 + a2 +…+ aп )h = Ph.

       рис.5

     Пряма призма, в основі якої лежить прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом.

     Прямокутний паралелепіпед, усі ребра якого рівні, називається кубом. 

У молодших класах ви вже обчислювали об’єм прямокутного паралелепіпеда за формулою V=abc(1), де а,в,с – відповідно довжина, ширина і висота паралелепіпеда. Формулу (1) можна записати у вигляді:  V = Sh (2), де S = ab  площа основи, h = c – висота паралелепіпеда. Формула (2) справедлива для будь якої прямої призми. Отже, об’єм прямої призми дорівнює добутку площі її основи на довжину бічного ребра (висоту): V = Sh.

Завдання класу.

  1.  Знайдіть площу поверхні куба, ребро якого дорівнює 5см.
  2.  Знайдіть площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, сторони основи якого дорівнюють 3см і 4см, а бічне ребро 5см.
  3.  Основа прямої призми – прямокутний трикутник з катетами 3см і 4см, а бічне ребро дорівнює 5см. Знайдіть площу повної поверні призми.
  4.  Знайдіть об’єм куба, ребро якого дорівнює 5см.
  5.  Знайдіть об’єм прямокутного паралелепіпеда, сторони основи якого дорівнюють 3см і 4 см, а бічне ребро – 5см.
  6.  Основа прямої призми – прямокутний трикутник з катетами 3см і 4см, а бічне ребро – 5см. Знайдіть об’єм призми.

                                 Складаємо конспект учнів.

Піраміда та її елементи.

п-кутною пірамідою називається многогранник, одна грань якого – довільний п-кутник, а всі інші п граней – трикутники, що мають спільну вершину. (Демонструються моделі пірамід)

Спільну вершину трикутних граней називають вершиною піраміди, протилежну їй грань – основою, а всі інші грані – бічними гранями піраміди. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називають бічними ребрами.

Перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину її основи, називають висотою піраміди.

На рис.6 зображено чотирикутну піраміду SABCD; точка S - її вершина, АВСД – основа; SA,SB,SC,SD –бічні ребра;  AB, BC, CD, AD  - ребра основи; SO – висота піраміди.

Трикутну піраміду називають також тетраедром.

            Рис.6

 Суму площ усіх бічних граней піраміди називають площею бічної поверхні піраміди. Щоб знайти площу всієї поверхні піраміди треба до площі S,бічн  її бічної поверхні додати площу Sосн. основи: Sпір. = Sбічн. + Sосн.

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром цього многокутника.(рис.7) (Демонструються моделі правильних пірамід)

Усі бічні ребра правильної  піраміди рівні, усі бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається         Рис.7                апофемою. На рис. 7 SFDC, SF – апофема.      

Завдання класу.

  1.  Скільки граней, ребер, вершин має п-кутна піраміда?
  2.  Кожне ребро тетраедра дорівнює 2см. Знайдіть площу поверхні тетраедра.
  3.  Побудуйте трикутну і чотирикутну піраміди.

Площа поверхні та об’єм піраміди.

Теорема. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра її основи на апофему.

Доведення.

 Нехай а – сторона основи правильної п-кутної  піраміди (рис.8)  SHDC, SH = m. Тоді площа бічної грані правильної піраміди дорівнює  am,  а площа бічної  поверхні Sбічн. =  amn. Оскільки  an = p, де p –півпериметр основи піраміди, то Sбічн. = pm.

     рис.8

Об’єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі її основи на висоту: V=Sосн Н.

Завдання класу.

1. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює 12см, а апофема 10см.

2. Знайдіть площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює 16см, а бічне ребро -10см.

3. Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 6см, а висота -10см..

Учні складають конспект.

V.  Закріплення й осмислення нового матеріалу.

Розв’язування задач.

  1.  Знайдіть об’єм правильної  трикутної призми, ребро основі якої дорівнює 2см, а бічне ребро -10см.
  2.  Знайдіть площу бічної поверхні й площу повної поверхні трикутної призми, кожне ребро якої дорівнює 2см.
  3.  В основі прямої призми лежить трикутник зі сторонами 7см, 5см,  6см. Бічне ребро призми дорівнює 4см. Знайдіть об’єм  призми.
  4.  В  основі прямої призми лежить ромб зі стороною 5см і гострим кутом 30о. висота призми дорівнює 6см. Знайдіть об’єм призми, площу повної поверхні призми.
  5.  У прямокутному паралелепіпеді АВСДА1В1С1Д1 ребра АВ = 3см, АД = 4см і АА1= 5см. Знайдіть площу поверхні  та об’єм паралелепіпеда (Відповідь: 94см2; 60см2)
  6.  В основі піраміди SABC (рис.9)  лежіть правильний  трикутник  ABC (∟С = 90о). AC = 3см, DC = 4см. Обчисліть об’єм піраміди,якщо висота SA = 5см. (Відповідь: 10см3)
  7.  В основі АВСД правильної піраміди SABCD лежіть квадрат зі стороною 10см. Висота SO піраміди дорівнює 12см. Знайдіть площу поверхні та об’єм піраміди (Відповідь: 360см2, 400см3)
  8.  Основа піраміди – прямокутник зі сторонами 3см і 5см. Висота піраміди 10см. Знайдіть об’єм піраміди (Відповідь: 50см3)
  9.  Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, кожне ребро якої дорівнює   а. (Відповідь:  а3).
  10.  Бічні ребра трикутної піраміди попарно перпендикулярні й мають довжини 3см, 4см, 5см. Знайдіть її об’єм. (Відповідь:10см3)

                            

Самостійна робота №1

Варіант 1.

  1.  Знайдіть  площу бічної поверхні правильної трикутної призми, сторона основи якої 3см, а бічне ребро - 5см.
  2.  Знайдіть об’єм прямої чотирикутної призми, і основі якої лежить ромб з діагоналями 12см і 16см, а бічне ребро – 10см.
  3.  В основі прямої призми лежить квадрат. Діагональ призми дорівнює d і утворює з бічним ребром кут α. Знайдіть об’єм призми.

Варіант 2.

  1.  Знайдіть об’єм правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює 3см, а бічне ребро – 5см.
  2.  Знайдіть площу бічної поверхні прямої чотирикутної призми, в основі якої лежить ромб з діагоналями 12см і 16см, а бічне ребро дорівнює 10см.
  3.  В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з гіпотенузою с   і гострим кутом α. Бічне ребро призми дорівнює найбільшій стороні основи призми. Знайдіть об’єм призми.

Відповіді до завдань самостійної роботи.

Варіант1.

1 - 45см2. 2 - 960см3. 3 - d2sin2αcosα

Варіант 2.  

1 - 45см3. 2 - 400см2.  3. c3 sinαcosα

Самостійна робота №2

Варіант1.

1. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 6 см, а діагональ основи – 16см. Знайдіть бічне ребро піраміди.

2. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, кожне ребро якої дорівнює 2 см.

3. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює  4 см і утворює з висотою піраміди кут 30о. Знайдіть об’єм піраміди.

Варіант 2.

1. У правильної трикутній  піраміді сторона основи дорівнює 8 см, а апофема – 3 см. Знайдіть бічне ребро піраміди.

2. Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди сторона основи якої дорівнює  2см, а висота піраміди – 6 см.

3. Довжина сторони основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, бічне ребро утворює з висотою піраміди кут 60о. Знайдіть об’єм піраміди.

Відповіді до завдань самостійної роботи.

Варіант 1.

1 -10 см; 2 - 3√3 см2;  3-            см3

Варіант 2.

1 - 5 см; 2 - 8 см3; 3 - 12√6 см3

 VI. Домашнє завдання.

  1.  Вивчити формули площі поверхні та об’єму  прямої призми, правильної піраміди §6,п.21.

    2. Розв’язати задачі № 823, 825, 829, 831, 833, 836,

    1) Знайдіть площу бічної поверхні й об’єм правильної шестикутної призми, якщо сторона її основи дорівнює 6см, а висота – 5см.

    2) Знайдіть об’єм і площу повної поверхні прямої призми, в основі якої лежить прямокутний трикутник із катетами 3см і 4см, а бічне ребро призми дорівнює 10см.

3)  Знайдіть площу поверхні правильної чотирикутної піраміди, кожне ребро якої дорівнює  а.

4) В основі піраміди лежить ромб з діагоналями 6см і 8см. Висота піраміди 10см. Знайдіть об’єм піраміди.  

    3.Підготувати випереджувальні  завдання – презентації по групах (стор.237 – 238. Роганін ):

1 група – циліндр;

2  група – конус;

3 група – куля.

VII. Підбиття підсумків уроку.

Запитання до класу.

  1.  Що таке п-кутна призма?
  2.  Яка призма називається прямою? Правильною?
  3.  Чому дорівнює площа бічної поверхні прямої призми?
  4.  Чому дорівнює об’єм призми?
  5.  Що називається п-кутної пірамідою?
  6.  Яка піраміда називається правильною?
  7.  Які властивості правильної піраміди вам відомі?
  8.  Чому дорівнює площа поверхні піраміди?
  9.  Чому дорівнює площа бічної поверхні правильної піраміди?
  10.   Чому дорівнює об’єм піраміди?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26557. ВСЭ ПРОДУКТОВ УБОЯ ПРИ ЛЕПТОСПИРОЗЕ И ЛИСТЕРИОЗЕ 8.32 KB
  Если имеются дегенеративные изменения мускулатуры или желтушное окрашивание не исчезающее в течение двух суток тушу и все внутренние органы направляют на техническую утилизацию. При отсутствии дегенеративных изменений в мускулатуре но при наличии в ней желтушного окрашивания исчезающего в течение двух суток тушу а также внутренние органы не имеющие патологических изменений выпускают после проварки. Кишечник и патологически измененные органы направляют на техническую утилизацию. Патологически измененные органы кровь и головы от...
26558. ВСЭ ТУШ И ОРГАНОВ ВЫНУЖДЕННО УБИТЫХ ЖИВОТНЫХ ПРИ ОТРАВЛЕНИИ ОРГАНИЧЕСКИМИ И МИНЕРАЛЬНЫМИ ЯДАМИ. ПРИЧИНА ОТРАВЛЕНИЙ И ПИЩЕВАЯ НЕПОЛНОЦЕННОСТЬ МЯСА ОТРАВИВШИХСЯ ЖИВОТНЫХ ДЛЯ ЧЕЛОВЕКА 21.73 KB
  ВСЭ ТУШ И ОРГАНОВ ВЫНУЖДЕННО УБИТЫХ ЖИВОТНЫХ ПРИ ОТРАВЛЕНИИ ОРГАНИЧЕСКИМИ И МИНЕРАЛЬНЫМИ ЯДАМИ. ПРИЧИНА ОТРАВЛЕНИЙ И ПИЩЕВАЯ НЕПОЛНОЦЕННОСТЬ МЯСА ОТРАВИВШИХСЯ ЖИВОТНЫХ ДЛЯ ЧЕЛОВЕКА. В практике встречаются случаи отравлений сельскохозяйственных животных минеральными удобрениями ядовитыми растениями хлоридом натрия и другими солями минеральными ядами мышьяк медь и др. Особо опасны при отравлениях животных фосфорорганические хлорорганические карбаматные ртутьсодержащие и другие пестициды ядохимикаты} которые используют в борьбе с...
26559. ВСЭ И САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ РОЖЕ СВЕНЕЙ 7.89 KB
  Мускулатура туши иногда гиперемирована и с кровоизлияниями. В случае обнаружения в мясе или внутренних органах этих бактерий туши обеззараживают проваркой а внутренние органы направляют на техническую утилизацию или уничтожают. Кроме того такие туши можно направлять на изготовление вареноконченых грудинок и кореек. В случаях убоя животных туши со всеми внутренними органами и шкурой уничтожают.
26560. ВСЭ И САНОЦЕНКА ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ САРКОЦИСТОЗЕ, ЭХИНОКОККОЗЕ, ЦЕНУРОЗЕ, ДИКТИОКАУЛЕЗЕ. ЦЕНУРОЗ МОЗГА 19.36 KB
  При поедании собаками и волками голов животных инвазированных ценурами происходит их заражение ценурозом. Болезнь наблюдается у молодых животных не старше 2 лет и характеризуется бесцельными круговыми движениями в одну сторону. При убое животных в начале болезни отмечают следы миграции онкосфер на мягкой мозговой оболочке интенсивную гиперемию ее на отдельных участках со свежими кровоизлияниями. Остро и хронически протекающая болезнь травоядных животных крупный рогатый скот овцы лошади и др.
26561. ВСЭ ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ СТОЛБНЯКЕ И ПСЕВДОТУБЕРКУЛЕЗЕ. ВСЭ ПРИ СТОЛБНЯКЕ 1.21 KB
  При установлении столбняка тушу с внутренними органами и шкурой уничтожают. При наличии истощения и множественных поражений лимфатических узлов или при обнаружении псевдотуберкулезных изменений в мышцах тушу и внутренние органы утилизируют. При отсутствии истощения и поражении только внутренних органов или лимфатических узлов внутренние органы направляют на утилизацию а тушу и другие продукты убоя выпускают без ограничений.
26562. ВСЭ И САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ ТРИХИНЕЛЛЕЗЕ 3.52 KB
  ВСЭ И САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ ТРИХИНЕЛЛЕЗЕ. У свиней трихинеллез протекает без выраженных признаков. ВСЭ: все туши свиней начиная с 3недельного возраста исследуются на трихинеллез.
26563. ВСЭ И САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ ТУБЕРКУЛЕЗЕ 3.85 KB
  Шкуры после посолки без ограничений. Свиные при наличии пораже в нижнеч л у зачищают голову на проварку тушу без ограничений. При очагах на брыжейке кишк утилизируют туши и внут орг без ограничений.
26564. ВСЭ ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ ЭМФИЗЕМАТОЗНОМ КАРБУНКУЛЕ 8.51 KB
  Печень пятнистоглинистого цвета имеет очаги красноватожелтого цвета величиной до грецкого ореха иногда в ней содержатся газы. Почки дряблые с некротическими очагами темнокоричневого цвета или глинистые граница между корковым и мозговым слоями сглажена. Мышцы дряблые темнокрасного цвета местами сероватые мышечные волокна деструктированы миолиз при надавливании на них выжимается кровянистый липкий сок содержащий пузырьки газа неприятного прогорклого запаха. Ткани в области карбункула темнокрасного дегтеобразного цвета; рыхлая...
26565. ВСЭ И САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ ЯЩУРЕ 25.74 KB
  К ящуру также восприимчивы северный олень и верблюд а из диких животных лось олень антилопа кабан косуля сайга бизон зубр. Человек заражается ящуром при употреблении в пищу необезвреженного молока от больных животных а также при доении больных животных или их переработке на мясо. У молодых животных при ящуре находят катар верхних дыхательных путей острый катар желудочнокишечного тракта. У отдельных видов животных эти изменения проявляются следующим образом.