ID: 54875

Название работы: Пряма призма. Піраміда. Площа поверхні та об’єм призми і піраміди

Категория: Конспект урока

Предметная область: Педагогика и дидактика

Описание: Площа поверхні та обєм призми і піраміди. Демонструються моделі пірамід Спільну вершину трикутних граней називають вершиною піраміди протилежну їй грань основою а всі інші грані бічними гранями піраміди. Відрізки що сполучають вершину піраміди з вершинами основи називають бічними ребрами. Перпендикуляр опущений із вершини піраміди на площину її основи називають висотою піраміди.

Язык: Украинкский

Дата добавления: 2014-03-19

Размер файла: 152 KB

Работу скачали: 68 чел.

Учитель математики Донецької

загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів № 97

Комарова А.Б.

Початкові відомості стереометрії у 9 класі.

Теоретичний матеріал викладається у вигляді бесіди, презентацій, пропонуються проблемні задачі прикладного характеру і творчі завдання, що допомагає  вчителю  розвивати у учнів логічне мислення і просторову уяву.

Урок № 3,4

Тема уроку: Пряма  призма. Піраміда. Площа поверхні та об’єм  призми і піраміди.

Мета уроку: повторити, привести в систему й розширити відомості про многогранники, пряму призму, піраміду, площу по верхні та об’єм.

Тип уроку: комбінований.

Обладнання: таблиця «Початкові відомості стереометрії», моделі прямих призм, пірамід.

Хід уроку.

I. Організаційний етап.

II. Перевірка домашнього завдання.

1.  Перевірити правильність виконання домашнього завдання за записами, зробленими на дощці до початку уроку.

Задача1. Дано:АВСДА1В1С1Д1 – прямокутний паралелепіпед.

 

АВ = ВС =1см, ВВ1 = 1см. Знайти: ВВ1, В1А1, В1С1, В1Д1,В1С,В1Д,В1А.

Розв’язання.

ВВ1 = 1см, А1В1 = В1С1 = 2см. В1Д1 = √ В1С12 + С1Д2= √4+4=2√2(см)

В1А = В1С = √12+22=√5(см), В1Д=√В1Д1+ДД12=√8+1=3(см)

        Рис.1

Задача 2

     Нехай αІІβ, а ІІ в (рис.2). Прямі  а і в  перетинають площини α і β у точках А1,А2 і В1,В2, через прямі  а і в  проведемо площину γ, яка перетинає α і β на прямих А1В1 і А2В2, причому А1В1 ІІ А2В2. Тоді А1А2В2 В1 – паралелограм, оскільки в нього протилежні  сторони попарно паралельні, а в паралелограмі протилежні сторони рівні.  Отже, А1А2 = В1В2.

       

     Рис.2

1.  Фронтальна бесіда.

1.Яким може бути взаємне розміщення двох різних площин у просторі?

2. Які дві площини називаються паралельними?

3. Наведіть приклади паралельних площин у предметів з оточуючого середовища.

4. У якому випадку дві площини будить паралельними?

5. Як можуть розташовуватись в просторі пряма і площина?

6. Сформулюйте означення прямої, перпендикулярної до площини?

7. Що таке перпендикуляр? Похила?

III. Самостійна робота.     

Посібник: Роганін О.М., геометрія. 9 клас: експрес-контроль. Тест 17.

Відповіді. Варіант І     1) Г; 2) В; 3) В; 4) 3см; 5) тільки одну.

                 Варіант ІІ    1) Г; 2) Г; 3) В; 4) 7см; 5) безліч площини.

IV Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу.

Многогранник та його елементи.

Фігури, які вивчає стереометрія, називають тілами. Наочно тіло уявляють як частину простору, зайняту фізичним тілом і обмежену поверхнею. (Демонструємо моделі многогранників).

Многогранником називається тіло (частина простору) обмежене скінченною кількістю плоских многокутників. (рис.3)

Многокутники, які обмежують многогранник, називають його гранями, їх сторони – ребрами, а вершини – вершинами многогранника.

             На рис.3 гранями є многокутники: АВС,А1В1С1,АВВ1А1,ВВ1С1С, АА1С1С; ребрами – сторони  АС,ВС,АВ,АА1,ВВ1,СС1,А1В1,А1С1,В1С1; вершинами – точки А,В,С,А1,В1,С1.

Завдання класу.

1.  Наведіть приклади предметів побуту, які мають форму многогранників.
2.  Скільки вершин, ребер, граней має: а)паралелепіпед, б) куб?
3.  Яке найменше число ребер може мати многогранник?
4.  Побудуйте многогранник,який має 4 грані. Скільки ребер і скільки вершин він має?
5.  Якщо поверхню многогранника розрізати по кільках його ребрах і розкласти на площини, то достанемо розгортку даного многогранника.

                        

Призма та її елементи.

Многогранник дві грані якого – рівні  п - кутники з відповідно паралельними сторонами, а всі інші  п-граней – паралелограмами, називається п-кутною призмою (рис.4).(Демонструємо моделі призми)

Рис.4

Рівні п-кутники призми називаються основами, а  паралелограми – бічними гранями, сторони основи – ребрами основі, інші ребра – бічними ребрами.

З означеною  призми випливає, що основи призми рівні, а також лежать у паралельних площинах. Бічні ребра паралельні й рівні.

     Поверхня призми складається з основ і бічної поверхні. Площею поверхні призми називається сума площ усіх її граней. Оскільки основи рівні, то  Sпр = Sбічн  +2 S осн., де Sпр -  площа поверхнів  призми;  Sбічн - площа бічної поверхні призми; Sосн – площа основи.

Завдання класу:

1.  Скільки граней має  п-кутна призма? Чи може призма мати 10 граней?
2.  Скільки ребер має п-кутна призма? Чи може призма мати 10 ребер?
3.  Скільки вершин має  п-кутна призма? Чи може призма мати 10 вершин?
4.  Скільки граней має 15-кутна призма?  А вершин? А ребер?

Призма називається прямою, якщо  її бічні ребра перпендикулярні до основи. (Демонструються моделі прямих призм)

Пряма призма називається правильною, якщо в її основі лежить правильний многокутник. (Демонструються моделі правильних призм).

Бічними гранями прямої призми є прямокутники.

Площа поверхні та об’єм  прямої призми.

Теорема. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи на довжину  ребра.

Доведення. 

Нехай а1; а2,..., аn — сторони основи призми, h — довжина бічного ребра(рис.5). Тоді а1 + а2 +... + ап =Р — периметр основи. Площа бічної поверхні дорівнює сумі площ усіх бічних h граней: Sбічн = a1h + a2 h +…+ aп h = (a1 + a2 +…+ aп )h = Ph.

       рис.5

     Пряма призма, в основі якої лежить прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом.

     Прямокутний паралелепіпед, усі ребра якого рівні, називається кубом. 

У молодших класах ви вже обчислювали об’єм прямокутного паралелепіпеда за формулою V=abc(1), де а,в,с – відповідно довжина, ширина і висота паралелепіпеда. Формулу (1) можна записати у вигляді:  V = Sh (2), де S = ab – площа основи, h = c – висота паралелепіпеда. Формула (2) справедлива для будь якої прямої призми. Отже, об’єм прямої призми дорівнює добутку площі її основи на довжину бічного ребра (висоту): V = Sh.

Завдання класу.

1.  Знайдіть площу поверхні куба, ребро якого дорівнює 5см.
2.  Знайдіть площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, сторони основи якого дорівнюють 3см і 4см, а бічне ребро 5см.
3.  Основа прямої призми – прямокутний трикутник з катетами 3см і 4см, а бічне ребро дорівнює 5см. Знайдіть площу повної поверні призми.
4.  Знайдіть об’єм куба, ребро якого дорівнює 5см.
5.  Знайдіть об’єм прямокутного паралелепіпеда, сторони основи якого дорівнюють 3см і 4 см, а бічне ребро – 5см.
6.  Основа прямої призми – прямокутний трикутник з катетами 3см і 4см, а бічне ребро – 5см. Знайдіть об’єм призми.

                                 Складаємо конспект учнів.

Піраміда та її елементи.

п-кутною пірамідою називається многогранник, одна грань якого – довільний п-кутник, а всі інші п граней – трикутники, що мають спільну вершину. (Демонструються моделі пірамід)

Спільну вершину трикутних граней називають вершиною піраміди, протилежну їй грань – основою, а всі інші грані – бічними гранями піраміди. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називають бічними ребрами.

Перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину її основи, називають висотою піраміди.

На рис.6 зображено чотирикутну піраміду SABCD; точка S - її вершина, АВСД – основа; SA,SB,SC,SD –бічні ребра;  AB, BC, CD, AD  - ребра основи; SO – висота піраміди.

Трикутну піраміду називають також тетраедром.

            Рис.6

 Суму площ усіх бічних граней піраміди називають площею бічної поверхні піраміди. Щоб знайти площу всієї поверхні піраміди треба до площі S,бічн  її бічної поверхні додати площу Sосн. основи: Sпір. = Sбічн. + Sосн.

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром цього многокутника.(рис.7) (Демонструються моделі правильних пірамід)

Усі бічні ребра правильної  піраміди рівні, усі бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається         Рис.7                апофемою. На рис. 7 SF┴DC, SF – апофема.      

Завдання класу.

1.  Скільки граней, ребер, вершин має п-кутна піраміда?
2.  Кожне ребро тетраедра дорівнює 2см. Знайдіть площу поверхні тетраедра.
3.  Побудуйте трикутну і чотирикутну піраміди.

Площа поверхні та об’єм піраміди.

Теорема. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра її основи на апофему.

Доведення.

 Нехай а – сторона основи правильної п-кутної  піраміди (рис.8)  SH┴DC, SH = m. Тоді площа бічної грані правильної піраміди дорівнює  am,  а площа бічної  поверхні Sбічн. =  amn. Оскільки  an = p, де p –півпериметр основи піраміди, то Sбічн. = pm.

     рис.8

Об’єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі її основи на висоту: V=Sосн Н.

Завдання класу.

1. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює 12см, а апофема 10см.

2. Знайдіть площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює 16см, а бічне ребро -10см.

3. Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 6см, а висота -10см..

Учні складають конспект.

V.  Закріплення й осмислення нового матеріалу.

Розв’язування задач.

1.  Знайдіть об’єм правильної  трикутної призми, ребро основі якої дорівнює 2см, а бічне ребро -10см.
2.  Знайдіть площу бічної поверхні й площу повної поверхні трикутної призми, кожне ребро якої дорівнює 2см.
3.  В основі прямої призми лежить трикутник зі сторонами 7см, 5см,  6см. Бічне ребро призми дорівнює 4см. Знайдіть об’єм  призми.
4.  В  основі прямої призми лежить ромб зі стороною 5см і гострим кутом 30о. висота призми дорівнює 6см. Знайдіть об’єм призми, площу повної поверхні призми.
5.  У прямокутному паралелепіпеді АВСДА1В1С1Д1 ребра АВ = 3см, АД = 4см і АА1= 5см. Знайдіть площу поверхні  та об’єм паралелепіпеда (Відповідь: 94см2; 60см2)
6.  В основі піраміди SABC (рис.9)  лежіть правильний  трикутник  ABC (∟С = 90о). AC = 3см, DC = 4см. Обчисліть об’єм піраміди,якщо висота SA = 5см. (Відповідь: 10см3)
7.  В основі АВСД правильної піраміди SABCD лежіть квадрат зі стороною 10см. Висота SO піраміди дорівнює 12см. Знайдіть площу поверхні та об’єм піраміди (Відповідь: 360см2, 400см3)
8.  Основа піраміди – прямокутник зі сторонами 3см і 5см. Висота піраміди 10см. Знайдіть об’єм піраміди (Відповідь: 50см3)
9.  Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, кожне ребро якої дорівнює   а. (Відповідь:  а3).
10.  Бічні ребра трикутної піраміди попарно перпендикулярні й мають довжини 3см, 4см, 5см. Знайдіть її об’єм. (Відповідь:10см3)

                            

Самостійна робота №1

Варіант 1.

1.  Знайдіть  площу бічної поверхні правильної трикутної призми, сторона основи якої 3см, а бічне ребро - 5см.
2.  Знайдіть об’єм прямої чотирикутної призми, і основі якої лежить ромб з діагоналями 12см і 16см, а бічне ребро – 10см.
3.  В основі прямої призми лежить квадрат. Діагональ призми дорівнює d і утворює з бічним ребром кут α. Знайдіть об’єм призми.

Варіант 2.

1.  Знайдіть об’єм правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює 3см, а бічне ребро – 5см.
2.  Знайдіть площу бічної поверхні прямої чотирикутної призми, в основі якої лежить ромб з діагоналями 12см і 16см, а бічне ребро дорівнює 10см.
3.  В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з гіпотенузою с   і гострим кутом α. Бічне ребро призми дорівнює найбільшій стороні основи призми. Знайдіть об’єм призми.

Відповіді до завдань самостійної роботи.

Варіант1.

1 - 45см2. 2 - 960см3. 3 - d2sin2αcosα

Варіант 2.  

1 - 45см3. 2 - 400см2.  3. c3 sinαcosα

Самостійна робота №2

Варіант1.

1. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 6 см, а діагональ основи – 16см. Знайдіть бічне ребро піраміди.

2. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, кожне ребро якої дорівнює 2 см.

3. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює  4 см і утворює з висотою піраміди кут 30о. Знайдіть об’єм піраміди.

Варіант 2.

1. У правильної трикутній  піраміді сторона основи дорівнює 8 см, а апофема – 3 см. Знайдіть бічне ребро піраміди.

2. Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди сторона основи якої дорівнює  2см, а висота піраміди – 6 см.

3. Довжина сторони основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, бічне ребро утворює з висотою піраміди кут 60о. Знайдіть об’єм піраміди.

Відповіді до завдань самостійної роботи.

Варіант 1.

1 -10 см; 2 - 3√3 см2;  3-            см3

Варіант 2.

1 - 5 см; 2 - 8 см3; 3 - 12√6 см3

 VI. Домашнє завдання.

1.  Вивчити формули площі поверхні та об’єму  прямої призми, правильної піраміди §6,п.21.

    2. Розв’язати задачі № 823, 825, 829, 831, 833, 836,

    1) Знайдіть площу бічної поверхні й об’єм правильної шестикутної призми, якщо сторона її основи дорівнює 6см, а висота – 5см.

    2) Знайдіть об’єм і площу повної поверхні прямої призми, в основі якої лежить прямокутний трикутник із катетами 3см і 4см, а бічне ребро призми дорівнює 10см.

3)  Знайдіть площу поверхні правильної чотирикутної піраміди, кожне ребро якої дорівнює  а.

4) В основі піраміди лежить ромб з діагоналями 6см і 8см. Висота піраміди 10см. Знайдіть об’єм піраміди.  

    3.Підготувати випереджувальні  завдання – презентації по групах (стор.237 – 238. Роганін ):

1 група – циліндр;

2  група – конус;

3 група – куля.

VII. Підбиття підсумків уроку.

Запитання до класу.

1.  Що таке п-кутна призма?
2.  Яка призма називається прямою? Правильною?
3.  Чому дорівнює площа бічної поверхні прямої призми?
4.  Чому дорівнює об’єм призми?
5.  Що називається п-кутної пірамідою?
6.  Яка піраміда називається правильною?
7.  Які властивості правильної піраміди вам відомі?
8.  Чому дорівнює площа поверхні піраміди?
9.  Чому дорівнює площа бічної поверхні правильної піраміди?
10.   Чому дорівнює об’єм піраміди?