55013

Похідна та її застосування

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета уроку: навчальна мета: перевірити узагальнити систематизувати поглибити знання вміння навички учнів з теми; повторити та удосконалити знання правил і формул диференціювання елементарних функцій...

Украинкский

2014-03-21

844 KB

40 чел.

Тема уроку:  Похідна та її застосування.

Мета уроку:

навчальна мета:

перевірити, узагальнити, систематизувати, поглибити  знання, вміння, навички учнів з теми; повторити та удосконалити знання правил і формул диференціювання елементарних функцій; систематизувати вміння учнів застосовувати набуті знання до розв’язування задач,передбачених програмою з математики;  

          розвивальна мета:

розвивати знання учнів про похідну, формувати навички контролю;                                розвивати логічне, системне та  алгоритмічне мислення,  комунікабельність, увагу, пам’ять, здатність до самостійності мислення;

         виховна мета:

сприяти розвитку всесторонньо розвинутої особистості, виховувати етичні норми, активну життєву позицію; формувати світогляд, працьовитість; виховувати прагнення до поглиблення та удосконалення знань; впевнено себе почувати під час  ЗНО де досить прості в розв’язанні задачі мають достатньо нестандартний зміст.

Тип уроку:  урок узагальнення і систематизації знань.

Обладнання: мультимедійний проектор, екран, комп’ютери.

Хід уроку

І. Організаційний етап (2 хв.).

      Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.

Показники виконання психологічної задачі етапу:

  •  Доброзичливий настрій учителя та учнів;
  •  Швидке включення  класу у діловий ритм;  
  •  Повна готовність класу та  обладнання  до  роботи.  

Проводиться  інструктаж з організації  роботи  за комп’ютерами.

ІІ. Мотивація навчальної діяльності. Формулювання цілей та завдань уроку (1 хв.)

       Похідна – фундаментальне поняття математичного аналізу за допомогою якого досліджують процеси і явища  в природних, соціальних і економічних науках. Тому вивченню цієї теми ми приділили особливу увагу. При актуалізації знань додаються завдання ЗНО. Продовжуємо роботу.

ІІІ. Перевірка домашнього завдання (15 хв.).

За  тиждень учням повідомляється про проведення підсумкового уроку з даної теми, пропонуються варіанти обговорюваних питань (приймаються побажання та пропозиції). Спільно з учнями визначаються основні теми доповідей-презентацій (за допомогою програм  Windows Movie Make, Microsoft Office PowerPoint):

- історія виникнення поняття похідна;

 -фізичний, геометричний зміст похідної;

- застосування похідної в економіці;

- застосування похідної в фізиці;

- цікаві завдання з похідною;  

- розв’язування дослідницьких задач.

За темами  розподіляються доповідачі і співдоповідачі.

Виступи учнів. Питання задають учні іншим групам.

ІV. Узагальнення й систематизація знань та вмінь (20 хв.).

Показ слайдів на екрані, повторення основних понять, формул по ходу розв’язування вправ та задач (додатки):

  1.  Знайти похідні функцій (усно):

1

2

3

4

1

у = (3х+2)50;

2

3

4

2. Завдання у форматі ЗНО:


3. Колективне розв’язування на дошці.

  1.  Знайти похідні функцій:

а) 

б)

в)

г)

 4.  Розв’язування дослідницьких задач:

      1) Дана кубічна функція y=x³+ax²+bx+c. При якому співвідношенню коефіцієнтів a, b, c функція зростає на всій числовій прямій?

       Розв’язання

 Щоб знайти проміжки монотонності функції, необхідно знайти  її похідну:

у'=3х²+2ах+b.

Необхідна умова зростання функції -  у'>0. Значить D/4<0, а²-3 b<0.

Самостійно: підібрати значення коефіцієнтів a, b, c і перевірити виконання умови.

     

      2) При яких значеннях параметра а дотичні до графіка функції у(х)=х- ах проведені через точки з абсцисами х=0 і х=а перпендикулярні?

        Розв’язання

у(х)=3х-а;

  у(0)=-а;

у(а)=2а;

дотична в точці з абсцисою х=0:  у= -а(х-0)=-ах;

дотична в точці з абсцисою х= а:  у= а-а+2а(х- а);

                                                               у=2ах-2а.

kk=-1-умова перпендикулярності прямих, отже маємо:

-а2а=-1,  2а=1,  а=0,5;  а=

    3) Висота каменя, який підкинули вертикально  вгору з швидкістю v0  і початкової висоти від землі h0    змінюється за законом х= h0+ v0 t - gt2/2, де g=10м/с2 – швидкість сили тяжіння. Знайти залежність швидкості каменя від часу.

При h0=20м, v0=8м/с. Знайти швидкість каменя через 2 с. Навіщо вказано значення h0?

Через який час камінь упаде на землю? На якій висоті швидкість обернеться в 0?

        Обговорення способів розв’язання задачі:

Скласти рівняння руху - х=20+8t-5 t².

Залежність v(t) =x'(t) =8-10t.

Знайдемо v (2)=8-20=-12м/с. Знак «-» показує напрям швидкості – камінь падає вниз,в протилежному напрямку даної швидкості.

Камінь упаде на землю х=0. Час  знайдемо при  розв’язуванні рівняння 20+8t-5 t²=0.

Швидкість  буде дорівнювати 0, коли камінь доягне максимальної высоти.

5. Індивідуальна робота учнів за картками:

Знайти похідні функцій:

1)

2) 

3)

6. Індивідуальна робота в парах за рівнями навчальних досягнень (учні за комп’ютером розглядають розв’язки завдань, в зошитах складають подібні завдання – по 1-2 за вказівкою вчителя і за алгоритмом розв’язують їх).

V. Оцінювання учнів за урок (5 хв.).

Підсумки уроку.

Рефлексія.

На початку уроку була поставлена мета. Чи  досягли її?

Продовжити речення:

  •  сьогодні на уроці я навчився…
  •  сьогодні на уроці я повторив…
  •  уроком я (не) задоволений…

VІ. Домашнє завдання (2 хв.):

Повторити формули знаходження похідних;

розв’язати завдання (учні індивідуально  обирають  відповідно рівням навчальних досягнень, записують умови завдань):

       Знайти похідні:

Знайти проміжки зростання та спадання функції, екстремуми функції:


Література

1.Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: підручник для 11 кл. загальноосвітніх нівчальних закладів, -Х.:Світ дитинства, 2006.

2. Старова О.О., Маркова І.С., Готуємося до підсумкової атестації, ЗНО:посібник для вчителя. –Х.: «Основа», 2008.

3. Роганін О.М. Тест-контроль, алгебра, геометрія. Поточне, тематичне, річне оцінювання.-Х.: Весна, 2009.

4. Бабенко С.П. Уроки алгебри, 11 кл.,-Х.:Основа, 2011.

5. Малюкова А. А. Методична розробка уроку математики для 11 кл.

6. Узагальнюючо-підсумковий  урок  по  темі   “Похідна функції».    

   Uroki/090_pokhidna_urok.doc

7. Плани-конспекти. Освіта і Наука. http://firstedu.org.ua/index.php.


Додатки


    До відкриття похідної незалежно один від одного прийшли два відомих учених – І. Ньютон і Г. Лейбніц наприкінці XVII ст.

        І.Ньютон сформулював і розв’язав основну проблему математичного аналізу: “За даною довжиною шляху в будь-який момент часу знайти швидкість руху у вказаний час.” І якщо він виходив із задач механіки, то Г. Лейбніц – із геометричних задач. У Лейбніца первісним поняттям для похідної була дотична, а у Ньютона – швидкість.

             Механічний зміст похідної

    Механічне тлумачення похідної було вперше дано І. Ньютоном. Воно полягає в наступному: швидкість руху матеріальної точки в даний момент часу дорівнює похідній шляху по часу, тобто Таким чином, якщо закон руху матеріальної точки задано рівнянням, то для знаходження миттєвої швидкості точки в який-небудь певний момент часу потрібно знайти похідну і підставити в неї відповідне значення t.


      Похідною функції ƒ у точці x0 називається границя, до якої прямує відношення

,

якщо Δx наближається до нуля.

Отже,

       Функція, яка має похідну в точці x0, називається диференційованою в цій точці.

       Поняття похідної та диференційованості функції в точці є тотожними. Тому часто операцію знаходження похідної називають диференціюванням функції.


Формули диференціювання

c′ = 0, де c – константа (число)

(x)′ = 1

Якщо u(x) і v(x) деякі функції, то:

1. (u ± v)′ = u′ ± v′

2. (u · v)′ = u′·v + u·v′

3. (c · u)′ = c · u′

4. ( u(k·x + b) )′ = k · u′(k·x+b), де k, b – константи

5. (u ⁄ v)′ = ( u′·v - u·v′ ) ⁄ v2

Рівняння дотичної до графіка функції y = ƒ(x)

Рівняння дотичної до графіка функції y = ƒ(x) має вигляд

y - y0 = ƒ ′ (x0)(x-x0),

де (x0; y0) — точка дотику.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26655. Природа и общество: этапы взаимодействия 65.5 KB
  многие принципиально новые явления – начала и продолжает формироваться наука все более получающая права гражданства под именем экологии человека происходит экологизация человеческого знания экологизируется человеческое мышление и создаются предпосылки для формирования глобального экологического мировоззрения. Каков был переход от общеэкологических исследований к разработке проблематики экологии человека и как эта последняя формировалась постепенно в недрах общей экологии Наверное не столько разрушения нанесенные человечеством природе...
26656. ЭКОЛОГИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИAЛ И ЕГО РAЗРУШЕНИЕ 113.5 KB
  Чем большим потенциaлом устойчивости облaдaют экосистемы и тем больше чистого водухa воды пищи достaнется в конечном счете человеку. ПАДЕНИЯ УРОВНЯ АРАЛА Непосредственная физическая причина снижения уровня Аральского моря это нарушение водного баланса водоема: превышение расхода воды над приходом. Важную роль сыграли дополнительные потери воды на испарение с поверхности многочисленных водохранилищ построенных в бассейнах Амударьи и Сырдарьи. На сокращении стока Амударьи и Сырдарьи сказались также нерациональное и неэкономное использование...
26657. Актуальные экологические проблемы современности 84 KB
  Тщательное изучение последствий изменения климата приводит к выводу что развивающиеся страны окажутся наиболее уязвимы. Исследование опубликованное Кембриджским Университетом под названием Изменения климата: воздействие на разные страны и их сопричастность представлено учеными из 30 стран в т. Хотя влияние изменения климата не везде одинаково приведенные в исследовании примеры демонстрируют насколько драматичным оно может оказаться для ряда стран.
26658. ЛАНДШАФТ АНТРОПОГЕННЫЙ 43 KB
  Anthropos человек Genes рождающий рожденный Антропогенный ландшафт географический ландшафт: созданный в результате целенаправленной деятельности человека; или возникший в ходе непреднамеренного изменения природного ландшафта. К антропогенным ландшафтам относятся природнопроизводственные комплексы городские поселения и т. В современной ландшафтной архитектуре выделяют понятия природного и антропогенного ландшафта. Они весьма чутки к изменениям вызываемым процессом урбанизации промышленного и сельскохозяйственного освоения...
26659. Аральское море 70 KB
  Одновременно значительно сократились объем воды в Арале с 1093 до 330 км3 то есть на 763 км3 или более чем в три раза и площадь водоема с 68 500 до 36 500 км2 то есть на 32 000 км2 или почти вдвое табл. Пролив Берга соединявший ранее Малое и Большое моря превратился в небольшой но достаточно длинный проток по которому излишки воды из Малого сбрасывались в Большое море. О НЕПОСРЕДСТВЕННОЙ ПРИЧИНЕ ПАДЕНИЯ УРОВНЯ АРАЛА Непосредственная физическая причина снижения уровня Аральского моря это нарушение водного баланса водоема:...
26660. Биосфе́ра 84.5 KB
  Масса живого вещества сравнительно мала и оценивается величиной 24361012 т в сухом весе и составляет менее 10−6 массы других оболочек Земли. Эту геологическую роль живого вещества можно представить себе по месторождениям угля нефти карбонатных пород и т. Рассеянные атомы непрерывно создающиеся из всякого рода земного вещества под влиянием космических излучений. Биологическое разнообразие – основа формирования устойчивых биогеохимических циклов вещества и энергии в биосфере Земле.
26661. Критическое состояние ландшафта 38.5 KB
  Ландшафт от нем. Солнцева ландшафт характеризуется единством геологической платформы климата и истории развития. Ландшафт абиогенный Ландшафт сформировавшийся без существенного влияния живого вещества.
26662. Высотная поясность, высотная зональность 43 KB
  Высотный пояс высотная ландшафтная зона единица высотнозонального расчленения ландшафтов в горах. Высотный пояс образует полосу сравнительно однородную по природным условиям часто прерывистую Характеристика явления Высотная поясность объясняется изменением климата с высотой: на 1 км подъёма температура воздуха снижается в среднем на 6 C уменьшается давление воздуха его запылённость возрастает интенсивность солнечной радиации до высоты 2 3 км увеличивается облачность и количество осадков. По мере нарастания высоты происходит смена...
26663. Географическая оболочка 31.5 KB
  Взаимное проникновение друг в друга слагающих географическую оболочку Земли газовой водной живой и минеральных оболочек и их взаимодействие определяет целостность географической оболочки. Знание закона целостности географической оболочки имеет большое практическое значение. Изменение одной из оболочек географической оболочки отражается и на всех других. Он характеризовался ведущей ролью живых существ в развитии и формировании географической оболочки.