55013

Похідна та її застосування

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета уроку: навчальна мета: перевірити узагальнити систематизувати поглибити знання вміння навички учнів з теми; повторити та удосконалити знання правил і формул диференціювання елементарних функцій...

Украинкский

2014-03-21

844 KB

40 чел.

Тема уроку:  Похідна та її застосування.

Мета уроку:

навчальна мета:

перевірити, узагальнити, систематизувати, поглибити  знання, вміння, навички учнів з теми; повторити та удосконалити знання правил і формул диференціювання елементарних функцій; систематизувати вміння учнів застосовувати набуті знання до розв’язування задач,передбачених програмою з математики;  

          розвивальна мета:

розвивати знання учнів про похідну, формувати навички контролю;                                розвивати логічне, системне та  алгоритмічне мислення,  комунікабельність, увагу, пам’ять, здатність до самостійності мислення;

         виховна мета:

сприяти розвитку всесторонньо розвинутої особистості, виховувати етичні норми, активну життєву позицію; формувати світогляд, працьовитість; виховувати прагнення до поглиблення та удосконалення знань; впевнено себе почувати під час  ЗНО де досить прості в розв’язанні задачі мають достатньо нестандартний зміст.

Тип уроку:  урок узагальнення і систематизації знань.

Обладнання: мультимедійний проектор, екран, комп’ютери.

Хід уроку

І. Організаційний етап (2 хв.).

      Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.

Показники виконання психологічної задачі етапу:

  •  Доброзичливий настрій учителя та учнів;
  •  Швидке включення  класу у діловий ритм;  
  •  Повна готовність класу та  обладнання  до  роботи.  

Проводиться  інструктаж з організації  роботи  за комп’ютерами.

ІІ. Мотивація навчальної діяльності. Формулювання цілей та завдань уроку (1 хв.)

       Похідна – фундаментальне поняття математичного аналізу за допомогою якого досліджують процеси і явища  в природних, соціальних і економічних науках. Тому вивченню цієї теми ми приділили особливу увагу. При актуалізації знань додаються завдання ЗНО. Продовжуємо роботу.

ІІІ. Перевірка домашнього завдання (15 хв.).

За  тиждень учням повідомляється про проведення підсумкового уроку з даної теми, пропонуються варіанти обговорюваних питань (приймаються побажання та пропозиції). Спільно з учнями визначаються основні теми доповідей-презентацій (за допомогою програм  Windows Movie Make, Microsoft Office PowerPoint):

- історія виникнення поняття похідна;

 -фізичний, геометричний зміст похідної;

- застосування похідної в економіці;

- застосування похідної в фізиці;

- цікаві завдання з похідною;  

- розв’язування дослідницьких задач.

За темами  розподіляються доповідачі і співдоповідачі.

Виступи учнів. Питання задають учні іншим групам.

ІV. Узагальнення й систематизація знань та вмінь (20 хв.).

Показ слайдів на екрані, повторення основних понять, формул по ходу розв’язування вправ та задач (додатки):

  1.  Знайти похідні функцій (усно):

1

2

3

4

1

у = (3х+2)50;

2

3

4

2. Завдання у форматі ЗНО:


3. Колективне розв’язування на дошці.

  1.  Знайти похідні функцій:

а) 

б)

в)

г)

 4.  Розв’язування дослідницьких задач:

      1) Дана кубічна функція y=x³+ax²+bx+c. При якому співвідношенню коефіцієнтів a, b, c функція зростає на всій числовій прямій?

       Розв’язання

 Щоб знайти проміжки монотонності функції, необхідно знайти  її похідну:

у'=3х²+2ах+b.

Необхідна умова зростання функції -  у'>0. Значить D/4<0, а²-3 b<0.

Самостійно: підібрати значення коефіцієнтів a, b, c і перевірити виконання умови.

     

      2) При яких значеннях параметра а дотичні до графіка функції у(х)=х- ах проведені через точки з абсцисами х=0 і х=а перпендикулярні?

        Розв’язання

у(х)=3х-а;

  у(0)=-а;

у(а)=2а;

дотична в точці з абсцисою х=0:  у= -а(х-0)=-ах;

дотична в точці з абсцисою х= а:  у= а-а+2а(х- а);

                                                               у=2ах-2а.

kk=-1-умова перпендикулярності прямих, отже маємо:

-а2а=-1,  2а=1,  а=0,5;  а=

    3) Висота каменя, який підкинули вертикально  вгору з швидкістю v0  і початкової висоти від землі h0    змінюється за законом х= h0+ v0 t - gt2/2, де g=10м/с2 – швидкість сили тяжіння. Знайти залежність швидкості каменя від часу.

При h0=20м, v0=8м/с. Знайти швидкість каменя через 2 с. Навіщо вказано значення h0?

Через який час камінь упаде на землю? На якій висоті швидкість обернеться в 0?

        Обговорення способів розв’язання задачі:

Скласти рівняння руху - х=20+8t-5 t².

Залежність v(t) =x'(t) =8-10t.

Знайдемо v (2)=8-20=-12м/с. Знак «-» показує напрям швидкості – камінь падає вниз,в протилежному напрямку даної швидкості.

Камінь упаде на землю х=0. Час  знайдемо при  розв’язуванні рівняння 20+8t-5 t²=0.

Швидкість  буде дорівнювати 0, коли камінь доягне максимальної высоти.

5. Індивідуальна робота учнів за картками:

Знайти похідні функцій:

1)

2) 

3)

6. Індивідуальна робота в парах за рівнями навчальних досягнень (учні за комп’ютером розглядають розв’язки завдань, в зошитах складають подібні завдання – по 1-2 за вказівкою вчителя і за алгоритмом розв’язують їх).

V. Оцінювання учнів за урок (5 хв.).

Підсумки уроку.

Рефлексія.

На початку уроку була поставлена мета. Чи  досягли її?

Продовжити речення:

  •  сьогодні на уроці я навчився…
  •  сьогодні на уроці я повторив…
  •  уроком я (не) задоволений…

VІ. Домашнє завдання (2 хв.):

Повторити формули знаходження похідних;

розв’язати завдання (учні індивідуально  обирають  відповідно рівням навчальних досягнень, записують умови завдань):

       Знайти похідні:

Знайти проміжки зростання та спадання функції, екстремуми функції:


Література

1.Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: підручник для 11 кл. загальноосвітніх нівчальних закладів, -Х.:Світ дитинства, 2006.

2. Старова О.О., Маркова І.С., Готуємося до підсумкової атестації, ЗНО:посібник для вчителя. –Х.: «Основа», 2008.

3. Роганін О.М. Тест-контроль, алгебра, геометрія. Поточне, тематичне, річне оцінювання.-Х.: Весна, 2009.

4. Бабенко С.П. Уроки алгебри, 11 кл.,-Х.:Основа, 2011.

5. Малюкова А. А. Методична розробка уроку математики для 11 кл.

6. Узагальнюючо-підсумковий  урок  по  темі   “Похідна функції».    

   Uroki/090_pokhidna_urok.doc

7. Плани-конспекти. Освіта і Наука. http://firstedu.org.ua/index.php.


Додатки


    До відкриття похідної незалежно один від одного прийшли два відомих учених – І. Ньютон і Г. Лейбніц наприкінці XVII ст.

        І.Ньютон сформулював і розв’язав основну проблему математичного аналізу: “За даною довжиною шляху в будь-який момент часу знайти швидкість руху у вказаний час.” І якщо він виходив із задач механіки, то Г. Лейбніц – із геометричних задач. У Лейбніца первісним поняттям для похідної була дотична, а у Ньютона – швидкість.

             Механічний зміст похідної

    Механічне тлумачення похідної було вперше дано І. Ньютоном. Воно полягає в наступному: швидкість руху матеріальної точки в даний момент часу дорівнює похідній шляху по часу, тобто Таким чином, якщо закон руху матеріальної точки задано рівнянням, то для знаходження миттєвої швидкості точки в який-небудь певний момент часу потрібно знайти похідну і підставити в неї відповідне значення t.


      Похідною функції ƒ у точці x0 називається границя, до якої прямує відношення

,

якщо Δx наближається до нуля.

Отже,

       Функція, яка має похідну в точці x0, називається диференційованою в цій точці.

       Поняття похідної та диференційованості функції в точці є тотожними. Тому часто операцію знаходження похідної називають диференціюванням функції.


Формули диференціювання

c′ = 0, де c – константа (число)

(x)′ = 1

Якщо u(x) і v(x) деякі функції, то:

1. (u ± v)′ = u′ ± v′

2. (u · v)′ = u′·v + u·v′

3. (c · u)′ = c · u′

4. ( u(k·x + b) )′ = k · u′(k·x+b), де k, b – константи

5. (u ⁄ v)′ = ( u′·v - u·v′ ) ⁄ v2

Рівняння дотичної до графіка функції y = ƒ(x)

Рівняння дотичної до графіка функції y = ƒ(x) має вигляд

y - y0 = ƒ ′ (x0)(x-x0),

де (x0; y0) — точка дотику.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4884. Структуры и объединения. Перечисления. Поиск и сортировка в массивах структур 57.5 KB
  Структуры и объединения. Перечисления. Поиск и сортировка в массивах структур. Подобно тому, как массив является совокупностью элементов одного типа, структуры в С++ представляют собой совокупность элементов произвольных типов, например: struct Stud...
4885. Связный список. Сортировка списков 51 KB
  Связный список. Сортировка списков. Как известно, массив всегда занимает непрерывный блок памяти, что позволяет быстро получать доступ к произвольному элементу массива по индексу, однако существенно затрудняет вставку и удаление элементов, поскольку...
4886. Многофайловые проекты. Средства отладки и тестирования 67 KB
  Многофайловые проекты. Средства отладки и тестирования. При программировании любых более-менее сложных задач неизбежно возникают проблемы, связанные с разрастанием исходного кода и вызываемыми этим неудобствами при разработке и отладке. Естественным...
4887. Обработка исключений и аномальных ситуаций в программировании 43.5 KB
  Обработка исключений. Исключением называют возникновение аномальной ситуации во время выполнения, которое программа может обнаружить, например: деление на 0, выход за границы массива или отсутствие требуемого количества свободной памяти. Такие сит...
4888. Команды MS DOS. Способы введения команд в MS DOS 51 KB
  Команды MSDOS Для удобства редактирования вводимых команд существует специальная программа – редактор командной строки DOSKEY. После запуска она становится резидентной. Программа DOSKEY хранит в кольцевом стеке несколько ранее введенных п...
4889. Компилятор TASM. Отладчик Turbo Debugger 96 KB
  Компилятор TASM. Отладчик Turbo Debugger. Цель работы: Научиться использовать компилятор TASM и отладчик TurboDebugger. Необходимые сведения Язык ассемблера – это специфический язык программирования со взаимно однозначным соответствием ме...
4890. Команды пересылки данных 61.5 KB
  Команды пересылки данных Основная команда общего назначения MOV позволяет пересылать байт или слово между регистром и ячейкой памяти или между двумя регистрами. Кроме того, команда может пересылать непосредственно адресуемое значение в регистр или я...
4891. Аппаратное и программное прерывание 75.5 KB
  Прерывания Команды прерывания Различают два вида прерываний – аппаратные прерывания и программные прерывания. Аппаратное прерывание – это сигнал от любого устройства системы для процессора, который по этому сигналу должен обслужить д...
4892. Команды передачи управления 54.5 KB
  Команды передачи управления Порядок выполнения команд в процессорах 80х86 и 80х88 определяется содержимым регистра сегмента кода (CS) и счетчика команд (IP). Регистр CS содержит базовый адрес текущего сегмента кода, т.е. 64-килобайтного фрагмента па...