5503
Основные теоремы о пределах
Контрольная
Математика и математический анализ
Основные теоремы о пределах. Теорема (о предельном переходе в равенствах). Если в некоторой окрестности точки значения функций f(x) и g(x) совпадают, то их пределы в этой точке равны: f(x)=g(x) => . Теорема (о предельном перехо...
Русский
2012-12-12
124.5 KB
156 чел.
Основные теоремы о пределах.
Теорема (о предельном переходе в равенствах). Если в некоторой окрестности точки значения функций f(x) и g(x) совпадают, то их пределы в этой точке равны:
f(x)=g(x) => .
Теорема ( о предельном переходе в неравенствах). Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство f(x)≤ g(x), то верно и неравенство: .
Теорема. Предел постоянной равен самой постоянной: .
Док-во. Проводится на основании определения, где в качестве можно взять любое положительное число. Тогда при .▲
Теорема (о единственности предела). Функция не может иметь более одного предела в данной точке.
Док-во. Предположим противное. Пусть и , . Тогда по теореме о связи предела и БМ:
- БМ при ,
- БМ при . Вычитая эти равенства, получим:
.
На основании свойства 1 БМФ это есть БМ. Переходя в этом равенстве к пределу, получим:
,
.
Получено противоречие, доказывающее теорему.▲
Необходимые условия существования конечного предела функции.
Теорема (о локальной ограниченности) . Для существования конечного предела функции в точке необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) функция была ограничена.
Теорема (о локальном повторении функцией свойств предела). Для существования в точке конечного предела необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) .
Достаточные условия существования конечного предела функции.
Теорема (об арифметике). Если для и существуют конечные пределы, то для их суммы и произведения также существуют конечные пределы, причем:
;
.
Если , то существует конечный предел частного:
.
Док-во. Докажем, например, второе равенство.
Пусть существуют конечные пределы и . Докажем, что существует конечный предел .
Итак, мы должны доказать, что:
.
Возьмем произвольное . Найдем из условия , т.е. для этого : .
Найдем из условия , т.е. для этого :
.
Т.к. для по условию существует конечный предел в т. , то эта функция будет ограниченной в некоторой окрестности т. (по теореме о локальной ограниченности), т.е. - некоторой константы.
Положим . Проверим, что это - искомое. Действительно,
В силу произвольности можно считать утверждение доказанным (или можно было искать не по , а по ). ▲
Теорема (о промежуточной функции). Пусть для функций и существуют конечные пределы в т., равные друг другу, и в некоторой окрестности т. , за исключением самой этой точки, выполняется условие:
. Тогда для тоже существует конечный предел в т. , равный значению пределов функций и .
Теорема (о пределе монотонной ограниченной функции). Если функция монотонно возрастает (убывает) в некоторой окрестности т. и ограничена сверху (снизу), то она имеет в этой точке соответствующий односторонний предел.
Вычисление пределов функций.
Теорема об арифметике позволяет не только устанавливать факт существования конечного предела, но и вычислять его.
Пример. .
Однако, в ряде случаев теорема об арифметике не может быть применена.
Пример.
, .
, . Теорему применять нельзя, хотя
.
В этих случаях говорят, что имеет место неопределенность. Для вычисления предела необходимо преобразовать функцию тождественным образом так, чтобы теорема об арифметике стала применима (т.е. раскрыть неопределенность).
К неопределенностям относят следующие ситуации:
, , , , , .
Пример. .
Замечательные пределы.
Теорема 1 (первый замечательный предел). Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:
.
Док-во. Рассмотрим круг радиуса R с центром в точке О. Пусть сначала . Из рисунка видно, что .
;
;
.Таким образом,
.
Разделив обе части этого выражения на
>0, получим:
или .
Переходя в этом неравенстве к пределу при , получим: .
По теореме о промежуточной функции .
При полученные выводы также будут справедливы (доказать самостоятельно).▲
Следствия. ; ; .
Теорема 2 (второй замечательный предел). Числовая последовательность имеет конечный предел, равный числу е:
, ()
Следствия. ; .
Примеры.
; .
К числу е приводят многие задачи из области физики, биологии, ядерной физики, демографии и т.п. Рассмотрим применение второго замечательного предела в экономических расчетах.
Задача о непрерывном начислении процентов.
1. Простые проценты. В банк под проценты положена денежная сумма . Ежегодная процентная ставка составляет р %. Каков будет размер вклада Q через t лет?
При использовании простых процентов размер вклада ежегодно увеличивается на одну и ту же величину.
Через год сумма составит ,
Через два года: ;
Через t лет:
- формула простых процентов.
2. Сложные проценты. При использовании сложных процентов начисляются «проценты на проценты», т.е. размер вклада увеличивается ежегодно в одно и то же число раз:
;
;
- формула сложных процентов.
Как можно добиться максимального роста положенной на вклад суммы?
Один из возможных способов – воспользоваться услугами банка по начислению процентов не один раз в году, а более.
Если начислять проценты n раз в году, то процент начисления за часть года составит %, а размер вклада за t лет при п ежегодных начислениях составит:
.
Например, при р=100%:
;
Предположим, что через полгода счет закрыт с результатом
,
а затем снова открыт в том же банке. Тогда через год сумма будет составлять
.
При ежеквартальном повторении этих операций сумма в конце года составит:
;
При ежемесячном повторении этих операций:
и т.д.
Предположим (абстрактно), что проценты начисляются непрерывно, т.е. . Тогда
.
- формула непрерывных процентов.
Таким образом, при в нашем примере , т.е. при непрерывном начислении процентов за год можно получить доход не более 172%, а через два года () можно увеличить начальный капитал более чем в 7 раз.
В практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов не применяется, но используется в демографических, инвестиционных и др. расчетах.
