5503

Основные теоремы о пределах

Контрольная

Математика и математический анализ

Основные теоремы о пределах. Теорема (о предельном переходе в равенствах). Если в некоторой окрестности точки значения функций f(x) и g(x) совпадают, то их пределы в этой точке равны: f(x)=g(x) => . Теорема (о предельном перехо...

Русский

2012-12-12

124.5 KB

158 чел.

Основные теоремы о пределах.

Теорема (о предельном переходе в равенствах). Если в некоторой окрестности точки  значения функций f(x) и g(x) совпадают, то их пределы в этой точке равны:

f(x)=g(x)  =>  .

Теорема ( о предельном переходе в неравенствах).  Если в некоторой окрестности точки  выполняется неравенство f(x)≤ g(x), то  верно и неравенство: .

Теорема. Предел постоянной равен самой постоянной:    .

Док-во. Проводится на основании определения, где в качестве можно взять любое положительное число. Тогда при .▲

Теорема (о единственности предела). Функция не может иметь более одного предела в данной точке.

Док-во. Предположим противное. Пусть  и ,   . Тогда по теореме о связи предела и БМ:

- БМ при ,

- БМ при .    Вычитая эти равенства, получим:

.

На основании свойства 1 БМФ это есть БМ. Переходя в этом равенстве к пределу, получим:

,

.

Получено противоречие, доказывающее теорему.▲

Необходимые условия существования конечного предела функции.

Теорема (о локальной ограниченности) . Для существования конечного предела функции в точке необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) функция была ограничена.

Теорема (о локальном повторении функцией свойств предела). Для существования в точке конечного предела  необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) .

 

Достаточные условия существования конечного предела функции.

Теорема  (об арифметике). Если для  и  существуют конечные пределы, то для их суммы и произведения также существуют конечные пределы, причем:

;

.

Если  , то существует конечный предел частного:

.

Док-во. Докажем, например, второе равенство.

Пусть существуют конечные пределы  и .  Докажем, что существует конечный предел .

Итак,  мы должны доказать, что:

.

Возьмем произвольное . Найдем  из условия , т.е. для этого : .

Найдем  из условия , т.е. для этого :

.

Т.к. для  по условию существует конечный предел в т. , то эта функция будет ограниченной в некоторой окрестности т.  (по теореме о локальной ограниченности), т.е.  - некоторой константы.

Положим . Проверим, что это  - искомое.  Действительно,

В силу произвольности можно считать утверждение доказанным (или можно было искать  не по , а по ). ▲

Теорема (о промежуточной функции). Пусть для функций  и  существуют конечные пределы в т., равные друг другу, и в  некоторой окрестности т. , за исключением самой этой точки, выполняется условие:

.  Тогда для  тоже существует конечный предел в т. , равный значению пределов функций  и .

Теорема (о пределе монотонной ограниченной функции). Если функция монотонно возрастает (убывает) в некоторой окрестности т.  и ограничена сверху (снизу), то она имеет в этой точке соответствующий односторонний предел.

Вычисление пределов функций.

Теорема об арифметике позволяет не только устанавливать факт существования конечного предела, но и вычислять его.

Пример. .

Однако, в ряде случаев теорема об арифметике не может быть применена.

Пример.

,   .

,   . Теорему применять нельзя, хотя

.

В этих случаях говорят, что имеет место неопределенность. Для вычисления предела необходимо преобразовать функцию тождественным образом так, чтобы теорема об арифметике стала применима (т.е. раскрыть неопределенность).

К неопределенностям относят следующие ситуации:

, , , , , .

Пример. .

Замечательные пределы.

Теорема 1 (первый замечательный предел). Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

.

Док-во. Рассмотрим круг радиуса  R с центром в точке О. Пусть сначала .         Из рисунка видно, что .

;

;

.Таким образом,

.

Разделив обе части этого выражения на

>0, получим:

    или    .

Переходя в этом неравенстве к пределу при , получим:  .

По теореме о промежуточной функции  .

При  полученные выводы также будут справедливы (доказать самостоятельно).▲

Следствия.   ;     ;   .

Теорема 2 (второй замечательный предел). Числовая последовательность  имеет конечный предел, равный числу е:

,     ()

Следствия.   ;            .

Примеры.

;     .

К числу е приводят многие задачи из области физики, биологии, ядерной физики, демографии и т.п. Рассмотрим применение второго замечательного предела в экономических расчетах.

Задача о непрерывном начислении процентов.

1. Простые проценты. В банк под проценты положена денежная сумма . Ежегодная процентная ставка составляет р %.   Каков будет размер вклада Q через t лет?

При  использовании простых процентов размер вклада ежегодно увеличивается на одну и ту же величину.

Через год сумма составит ,

Через два года:  ;

Через t  лет:

  - формула простых процентов.

2. Сложные проценты. При использовании сложных процентов начисляются «проценты на проценты», т.е. размер вклада увеличивается ежегодно в одно и то же число раз:

;

;

   - формула сложных процентов.

Как можно добиться максимального роста положенной на вклад суммы?

Один из возможных способов – воспользоваться услугами банка по начислению процентов не один раз в году, а более.

Если начислять проценты n раз в году, то процент начисления за  часть года составит %, а размер вклада за t лет  при  п  ежегодных начислениях составит:

.

Например, при р=100%:

;

Предположим, что через полгода счет закрыт с результатом

,

а затем снова открыт в том же банке. Тогда через год сумма будет составлять

.

При ежеквартальном повторении этих операций сумма в конце года составит:

;

При ежемесячном повторении этих операций:

   и т.д.

Предположим (абстрактно), что проценты начисляются непрерывно, т.е. .  Тогда

.

 - формула непрерывных процентов.

Таким образом, при     в нашем примере  , т.е. при непрерывном начислении процентов за год можно получить доход не более  172%, а через два года () можно увеличить начальный капитал более чем в 7 раз.

В практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов не применяется, но используется в демографических, инвестиционных и др. расчетах.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5449. Расчет гелиоустановки для летней душевой полевого бригадного стана, расположенного в Аргаяшском районе Челябинской области 150.04 KB
  Расчет гелиоустановки. Расчет гелиоустановки выполняем для летней душевой полевого бригадного стана, расположенного в Аргаяшском районе Челябинской области. Гелиоустановка рассчитана на работу с 15 апреля по 15 октября. Потребное количество энергии ...
5450. Разработка системы технического обслуживания секции поперечной фальцовки комбинированной фальцевальной машины 1.58 MB
  Курсовой проект посвящен разработка системы технического обслуживания секции поперечной фальцовки комбинированной фальцевальной машины. В приложении приведена спецификация на сборочные чертежи. Отечественные типографии зачастую должны самостоятельно...
5451. Расчет перемешивающего устройства и подбор мотора к нему 60.5 KB
  Задание: Подобрать перемешивающее устройство, провести его расчет и подобрать к нему мотор-редуктор по исходным данным. Исходные данные: Номинальный объём реактора Vн = 5м3 Давление в реакторе Р= 0,6 МПа Плотность жидкой фазы ...
5452. Расчет требуемой поверхности фильтрации 110 KB
  Задание: Рассчитать требуемую поверхность фильтрации на заданную производительность по водной суспензии, выбрать стандартный фильтр и определить их количество в установке. Исходные данные: Производительность по суспензии Vисх = 114 м3/сут. Концентра...
5453. История развития лизинга в России 50 KB
  История развития лизинга в России Первым и наиболее заметным фактом участия СССР в лизинговых сделках стали известные поставки на условиях ленд-лиза. Во время II Мировой войны США поставляло своим союзникам оружие, продовольствие, автомобильную те...
5454. Совершенствование процессов горячей объемной штамповки 2.48 MB
  Введение Кузнечно-штамповочное производство является одним из основных способов изготовления заготовок и деталей, сочетающим в себе высокую производительность и качество получаемых поковок. Кузнечные цеха являются основными заготовительными цехами н...
5456. Организация ремонта колесных пар со сменой элементов в колесно-прессовом участке грузового вагонного депо 14.48 MB
  Железнодорожный транспорт в РФ имеет исключительное значение в жизнеобеспечении многоотраслевой экономики и реализации социально значимых услуг по перевозке пассажиров. Железнодорожный транспорт последовательно продвигается по пути реформ, ...
5457. Расчет выпаривания расствора 100.5 KB
  Задание В выпарном аппарате непрерывного действия под атмосферным давлением упаривается раствор KOH от начальной концентрации Хн (% масс.) до конечной концентрации Хк (% масс). Производительность аппарата по исходному раствору GH (кг/с). Гидростатич...