5503

Основные теоремы о пределах

Контрольная

Математика и математический анализ

Основные теоремы о пределах. Теорема (о предельном переходе в равенствах). Если в некоторой окрестности точки значения функций f(x) и g(x) совпадают, то их пределы в этой точке равны: f(x)=g(x) => . Теорема (о предельном перехо...

Русский

2012-12-12

124.5 KB

156 чел.

Основные теоремы о пределах.

Теорема (о предельном переходе в равенствах). Если в некоторой окрестности точки  значения функций f(x) и g(x) совпадают, то их пределы в этой точке равны:

f(x)=g(x)  =>  .

Теорема ( о предельном переходе в неравенствах).  Если в некоторой окрестности точки  выполняется неравенство f(x)≤ g(x), то  верно и неравенство: .

Теорема. Предел постоянной равен самой постоянной:    .

Док-во. Проводится на основании определения, где в качестве можно взять любое положительное число. Тогда при .▲

Теорема (о единственности предела). Функция не может иметь более одного предела в данной точке.

Док-во. Предположим противное. Пусть  и ,   . Тогда по теореме о связи предела и БМ:

- БМ при ,

- БМ при .    Вычитая эти равенства, получим:

.

На основании свойства 1 БМФ это есть БМ. Переходя в этом равенстве к пределу, получим:

,

.

Получено противоречие, доказывающее теорему.▲

Необходимые условия существования конечного предела функции.

Теорема (о локальной ограниченности) . Для существования конечного предела функции в точке необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) функция была ограничена.

Теорема (о локальном повторении функцией свойств предела). Для существования в точке конечного предела  необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) .

 

Достаточные условия существования конечного предела функции.

Теорема  (об арифметике). Если для  и  существуют конечные пределы, то для их суммы и произведения также существуют конечные пределы, причем:

;

.

Если  , то существует конечный предел частного:

.

Док-во. Докажем, например, второе равенство.

Пусть существуют конечные пределы  и .  Докажем, что существует конечный предел .

Итак,  мы должны доказать, что:

.

Возьмем произвольное . Найдем  из условия , т.е. для этого : .

Найдем  из условия , т.е. для этого :

.

Т.к. для  по условию существует конечный предел в т. , то эта функция будет ограниченной в некоторой окрестности т.  (по теореме о локальной ограниченности), т.е.  - некоторой константы.

Положим . Проверим, что это  - искомое.  Действительно,

В силу произвольности можно считать утверждение доказанным (или можно было искать  не по , а по ). ▲

Теорема (о промежуточной функции). Пусть для функций  и  существуют конечные пределы в т., равные друг другу, и в  некоторой окрестности т. , за исключением самой этой точки, выполняется условие:

.  Тогда для  тоже существует конечный предел в т. , равный значению пределов функций  и .

Теорема (о пределе монотонной ограниченной функции). Если функция монотонно возрастает (убывает) в некоторой окрестности т.  и ограничена сверху (снизу), то она имеет в этой точке соответствующий односторонний предел.

Вычисление пределов функций.

Теорема об арифметике позволяет не только устанавливать факт существования конечного предела, но и вычислять его.

Пример. .

Однако, в ряде случаев теорема об арифметике не может быть применена.

Пример.

,   .

,   . Теорему применять нельзя, хотя

.

В этих случаях говорят, что имеет место неопределенность. Для вычисления предела необходимо преобразовать функцию тождественным образом так, чтобы теорема об арифметике стала применима (т.е. раскрыть неопределенность).

К неопределенностям относят следующие ситуации:

, , , , , .

Пример. .

Замечательные пределы.

Теорема 1 (первый замечательный предел). Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

.

Док-во. Рассмотрим круг радиуса  R с центром в точке О. Пусть сначала .         Из рисунка видно, что .

;

;

.Таким образом,

.

Разделив обе части этого выражения на

>0, получим:

    или    .

Переходя в этом неравенстве к пределу при , получим:  .

По теореме о промежуточной функции  .

При  полученные выводы также будут справедливы (доказать самостоятельно).▲

Следствия.   ;     ;   .

Теорема 2 (второй замечательный предел). Числовая последовательность  имеет конечный предел, равный числу е:

,     ()

Следствия.   ;            .

Примеры.

;     .

К числу е приводят многие задачи из области физики, биологии, ядерной физики, демографии и т.п. Рассмотрим применение второго замечательного предела в экономических расчетах.

Задача о непрерывном начислении процентов.

1. Простые проценты. В банк под проценты положена денежная сумма . Ежегодная процентная ставка составляет р %.   Каков будет размер вклада Q через t лет?

При  использовании простых процентов размер вклада ежегодно увеличивается на одну и ту же величину.

Через год сумма составит ,

Через два года:  ;

Через t  лет:

  - формула простых процентов.

2. Сложные проценты. При использовании сложных процентов начисляются «проценты на проценты», т.е. размер вклада увеличивается ежегодно в одно и то же число раз:

;

;

   - формула сложных процентов.

Как можно добиться максимального роста положенной на вклад суммы?

Один из возможных способов – воспользоваться услугами банка по начислению процентов не один раз в году, а более.

Если начислять проценты n раз в году, то процент начисления за  часть года составит %, а размер вклада за t лет  при  п  ежегодных начислениях составит:

.

Например, при р=100%:

;

Предположим, что через полгода счет закрыт с результатом

,

а затем снова открыт в том же банке. Тогда через год сумма будет составлять

.

При ежеквартальном повторении этих операций сумма в конце года составит:

;

При ежемесячном повторении этих операций:

   и т.д.

Предположим (абстрактно), что проценты начисляются непрерывно, т.е. .  Тогда

.

 - формула непрерывных процентов.

Таким образом, при     в нашем примере  , т.е. при непрерывном начислении процентов за год можно получить доход не более  172%, а через два года () можно увеличить начальный капитал более чем в 7 раз.

В практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов не применяется, но используется в демографических, инвестиционных и др. расчетах.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32844. Проблема свободы и ответственности личности. Социальная и профессиональная ответственность врача 14.39 KB
  Свобода – одна из основных философских категорий характеризующих сущность человеческого бытия в мире. Свобода состоит в возможности личности мыслить и поступать в соответствии со своими представлениями и желаниями а не вследствие внешнего или внутреннего принуждения. Свобода личности может быть рассмотрена в различных аспектах: философском религиозном этическом социальном политическом экономическом. в необходимости всегда присутствует свобода.
32845. Особенности социализации личности. Проблема девиантного поведения и его причины 16.74 KB
  Особенности социализации личности. Социализация личностиэто процесс усвоения индивидом социального опыта общества к которому он принадлежит. Социализация рассматривается как процесс условие проявление и результат социального формирования личности. Как процесс она означает социальное становление и развитие личности в зависимости от характера взаимодействия человека со средой обитания адаптации к ней с учетом индивидуальных особенностей.
32846. Проблема жизни, смерти и бессмертия в духовном опыте человечества. Проблема смысла жизни 15.34 KB
  Проблема жизни смерти и бессмертия в духовном опыте человечества. Проблема смысла жизни. Поэтому проблема жизни и смерти занимает важнейшее место в общественном сознании прежде всего в философии и религии. Для ранней античной философии характерен космоцентричный подход к пониманию проблемы жизни и смерти.
32847. Общество как материальная система 15.36 KB
  Общество – это обособившаяся от природы часть материального мира высокоорганизованная материальная система подчиняющаяся всеобщим законам и в то же время имеющаяся специфические особенности функционирования и развития. Как и любое материальное образование общество обладает целым рядом неотъемлемых свойств: объективность системность и структурность движение пространство время отражение самоорганизация. Общество возникает и существует объективно т. Общество представляет собой открытую развивающуюся систему.
32848. Материально-производственная сфера общественное жизни.Диалектика производительных сил и производственных отношений 12.99 KB
  Материальное производство характеризуется определенным способом производства который представляет собой единство двух сторон: производительных сил и производственных отношений. Производственные отношения включают в себя отношения собственности на средства производства а также отношения по поводу распределения и обмена продукта материального производства. В этом проявляется диалектика экономических потребностей производства и потребления.; способ производства и соответствующие ему отношения собственности определяют появление и развитие...
32849. Социальная сфера общественной жизни. Социальная структура общества. Виды социальных общностей 13.65 KB
  Социальная структура общества. Сфера общества – это социальное пространство которое фиксирует границы того или иного вида общественной деятельности. Социальная сфера – это исторически сложившаяся относительно устойчивая система связей между различными элементами общества: отдельными индивидами социальными группами и социальными общностями. В социальной сфере реализуются интересы классов и слоев общества социальных общностей и групп отношения общества и личности здесь создаются и совершенствуются условия труда быта и досуга.
32850. Политическая сфера общественной жизни. Структура и соц функции. Государство,как основной политический институт 12.55 KB
  Общество как система состоит из нескольких подсистем или сфер основными из которых являются экономическая социальная политическая духовная и экологическая. Политическая сфера – область общественной жизни включающая в себя политические отношения данного общества. и международные; политическая деятельность; политическое сознание политическая идеология и политическая психология.
32851. Экологическая сфера. Роль мед работников 11.81 KB
  Общество как система состоит из нескольких подсистем или сфер основными из которых являются экономическая социальная политическая духовная и экологическая. Экологическая сфера общества сформировалась во 2й половине ХХ в. Экологическая сфера – подсистема общества формирующаяся на основе специализированной деятельности по охране воспроизводству улучшению и приумножению природных факторов человеческого бытия. Экологическая деятельность.
32852. Духовная сфера общ6ества. Основные формы и уровни. Общественная психология и идеология,их диалектическая взаимосвязь 14.08 KB
  Специфика идеологии проявляется в том что она возникает на основе существующих в обществе экономических отношений и отражает действительность через призму этих отношений. В классовом обществе экономические отношения выступают в форме классовых интересов поэтому специфику идеологии можно конкретнее представить как отражение действительности через призму интересов определенных классов как систему идей и взглядов классов. В классовом обществе нет и не может быть надклассовой или внеклассовой идеологии. Общественно историческая практика...