5503

Основные теоремы о пределах

Контрольная

Математика и математический анализ

Основные теоремы о пределах. Теорема (о предельном переходе в равенствах). Если в некоторой окрестности точки значения функций f(x) и g(x) совпадают, то их пределы в этой точке равны: f(x)=g(x) => . Теорема (о предельном перехо...

Русский

2012-12-12

124.5 KB

156 чел.

Основные теоремы о пределах.

Теорема (о предельном переходе в равенствах). Если в некоторой окрестности точки  значения функций f(x) и g(x) совпадают, то их пределы в этой точке равны:

f(x)=g(x)  =>  .

Теорема ( о предельном переходе в неравенствах).  Если в некоторой окрестности точки  выполняется неравенство f(x)≤ g(x), то  верно и неравенство: .

Теорема. Предел постоянной равен самой постоянной:    .

Док-во. Проводится на основании определения, где в качестве можно взять любое положительное число. Тогда при .▲

Теорема (о единственности предела). Функция не может иметь более одного предела в данной точке.

Док-во. Предположим противное. Пусть  и ,   . Тогда по теореме о связи предела и БМ:

- БМ при ,

- БМ при .    Вычитая эти равенства, получим:

.

На основании свойства 1 БМФ это есть БМ. Переходя в этом равенстве к пределу, получим:

,

.

Получено противоречие, доказывающее теорему.▲

Необходимые условия существования конечного предела функции.

Теорема (о локальной ограниченности) . Для существования конечного предела функции в точке необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) функция была ограничена.

Теорема (о локальном повторении функцией свойств предела). Для существования в точке конечного предела  необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) .

 

Достаточные условия существования конечного предела функции.

Теорема  (об арифметике). Если для  и  существуют конечные пределы, то для их суммы и произведения также существуют конечные пределы, причем:

;

.

Если  , то существует конечный предел частного:

.

Док-во. Докажем, например, второе равенство.

Пусть существуют конечные пределы  и .  Докажем, что существует конечный предел .

Итак,  мы должны доказать, что:

.

Возьмем произвольное . Найдем  из условия , т.е. для этого : .

Найдем  из условия , т.е. для этого :

.

Т.к. для  по условию существует конечный предел в т. , то эта функция будет ограниченной в некоторой окрестности т.  (по теореме о локальной ограниченности), т.е.  - некоторой константы.

Положим . Проверим, что это  - искомое.  Действительно,

В силу произвольности можно считать утверждение доказанным (или можно было искать  не по , а по ). ▲

Теорема (о промежуточной функции). Пусть для функций  и  существуют конечные пределы в т., равные друг другу, и в  некоторой окрестности т. , за исключением самой этой точки, выполняется условие:

.  Тогда для  тоже существует конечный предел в т. , равный значению пределов функций  и .

Теорема (о пределе монотонной ограниченной функции). Если функция монотонно возрастает (убывает) в некоторой окрестности т.  и ограничена сверху (снизу), то она имеет в этой точке соответствующий односторонний предел.

Вычисление пределов функций.

Теорема об арифметике позволяет не только устанавливать факт существования конечного предела, но и вычислять его.

Пример. .

Однако, в ряде случаев теорема об арифметике не может быть применена.

Пример.

,   .

,   . Теорему применять нельзя, хотя

.

В этих случаях говорят, что имеет место неопределенность. Для вычисления предела необходимо преобразовать функцию тождественным образом так, чтобы теорема об арифметике стала применима (т.е. раскрыть неопределенность).

К неопределенностям относят следующие ситуации:

, , , , , .

Пример. .

Замечательные пределы.

Теорема 1 (первый замечательный предел). Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

.

Док-во. Рассмотрим круг радиуса  R с центром в точке О. Пусть сначала .         Из рисунка видно, что .

;

;

.Таким образом,

.

Разделив обе части этого выражения на

>0, получим:

    или    .

Переходя в этом неравенстве к пределу при , получим:  .

По теореме о промежуточной функции  .

При  полученные выводы также будут справедливы (доказать самостоятельно).▲

Следствия.   ;     ;   .

Теорема 2 (второй замечательный предел). Числовая последовательность  имеет конечный предел, равный числу е:

,     ()

Следствия.   ;            .

Примеры.

;     .

К числу е приводят многие задачи из области физики, биологии, ядерной физики, демографии и т.п. Рассмотрим применение второго замечательного предела в экономических расчетах.

Задача о непрерывном начислении процентов.

1. Простые проценты. В банк под проценты положена денежная сумма . Ежегодная процентная ставка составляет р %.   Каков будет размер вклада Q через t лет?

При  использовании простых процентов размер вклада ежегодно увеличивается на одну и ту же величину.

Через год сумма составит ,

Через два года:  ;

Через t  лет:

  - формула простых процентов.

2. Сложные проценты. При использовании сложных процентов начисляются «проценты на проценты», т.е. размер вклада увеличивается ежегодно в одно и то же число раз:

;

;

   - формула сложных процентов.

Как можно добиться максимального роста положенной на вклад суммы?

Один из возможных способов – воспользоваться услугами банка по начислению процентов не один раз в году, а более.

Если начислять проценты n раз в году, то процент начисления за  часть года составит %, а размер вклада за t лет  при  п  ежегодных начислениях составит:

.

Например, при р=100%:

;

Предположим, что через полгода счет закрыт с результатом

,

а затем снова открыт в том же банке. Тогда через год сумма будет составлять

.

При ежеквартальном повторении этих операций сумма в конце года составит:

;

При ежемесячном повторении этих операций:

   и т.д.

Предположим (абстрактно), что проценты начисляются непрерывно, т.е. .  Тогда

.

 - формула непрерывных процентов.

Таким образом, при     в нашем примере  , т.е. при непрерывном начислении процентов за год можно получить доход не более  172%, а через два года () можно увеличить начальный капитал более чем в 7 раз.

В практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов не применяется, но используется в демографических, инвестиционных и др. расчетах.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82296. Международные связи Казахстана в сер.60-х-нач.80-х годов 35.09 KB
  Во внешней политике СССР основными задачами оставались: устранение угрозы распада социалистической системы ее сплочение в политическом военном и экономическом отношениях; нормализация отношений между Востоком и Западом сосуществование в сотрудничестве. Эта политика была особенно активна иногда перерастала в прямую интервенцию в отношении стран находившихся в непосредственной сфере влияния СССР например Афганистан. Этим в свою очередь объяснялось достижение военностратегического паритета СССР и США а также рост революционной...
82297. Казахстан в условиях НЭПа. Причины перехода и сущность 28.14 KB
  Предприятия ж дорожного автомобильного транспорта добывающей и обрабатывающей промышленности были переведены на хозрасчет. К 1928 году было завершено восстановление промышленности Казахстана. Из-за большой разницы цен на продукты с х низкие и промышленности высокие крестьяне перестали сдавать зерно государству.
82298. Экологические проблемы Казахстана на современном этапе (движение Невада-Семипалатинск, Арал, Балхаш и т.д.) 33.34 KB
  Высыхание Аральского моря и возникновение зоны экологического бедствия в регионе стало возможным в результате неэкономного использования воды рек Сырдарьи и Амударьи. Сырдарья в настоящее время не доходит до моря заканчивая свой путь на полях а Амударья достигает Арала лишь зимой тоненьким ручейком. Осушенное дно моря становится источником пыли и солей разносимых на очень большие расстояния. Площадь моря разделилась на несколько самостоятельных водоемов море отошло от берегов местами на 100150 км и продолжает расчленяться.
82299. Земельно- водная реформа 1921 г, ее цели и сущность 29.36 KB
  Аграрные преобразования способствовали возвращению и укреплению социально экономического положения 300 тысяч беженцев казахов и киргизов эмигрировавших в 1916 году в Китай. Реформа способствовала укреплению союза рабочего класса и казахских шаруа узбекских дунганских уйгурских дехкан укреплению национального согласия. Кредит семенные ссуды и другие средства экономического регулирования способствовали укреплению связи государства с трудовым крестьянством восстановлению производительных сил росту трудовой активности трудящихся аула и...
82300. Противоречивость хода перестройки в Казахстане 30.94 KB
  Черненко Генеральным секретарем КПСС становится М. В преддверии поворотного ХХVII съезда КПСС в период его практической подготовки 15 января 1986 г. было опубликовано Заявление Генерального секретаря ЦК КПСС в котором была выдвинута конкретная рассчитанная на точно определенный срок до конца нынешнего столетия программа мероприятий направленных на полную и повсеместную ликвидацию ядерного и других видов оружия массового поражения. ХХVII съезде КПСС была принята новая философия внешней политики Советского Союза.
82301. Причины гололда 1931-1932 годов и его последствия. Письмо «пятерых» 30.48 KB
  В ходе проведения политики раскулачивания более 60 тысяч хозяйств были объявлены байскими и их имущество подлежало конфискации; более 40 тысяч было раскулачено а остальные скрылись бросив свое имущество. В 1929 году привлечено к ответственности 56 498 крестьян из них более 34 тысячи были осуждены. Тургайские перегибщики объявили лозунг Перегибов не допускать парнокопытных не оставлять здесь из миллионного поголовья...
82302. Декабрьские события 1986 г. причины и следствия 28.12 KB
  Однако в дальнейшем оказалось, что руководство республики не способно реагировать даже на поверхностные изменения в политике, и поэтому ЦК КПСС принял решение сменить Д.А. Кунаева на кадровика новой волны Г.В. Колбина. Результатом этого стали декабрьские 1986 года события в Алма-Ате.
82303. Курс на индустриализацию и ее особенности в Казахстане 33.01 KB
  В экономике Казахстана преобладало сельское хозяйство на которое приходилось 844 всей валовой продукции 90 населения проживало в сельской местности. В начале индустриализации Казахстана основное внимание было сосредоточено на комплексном восстановлении наиболее крупных и важных для того времени объектов тяжелой промышленности. В 19261939 годах население Казахстана увеличилось на 1 1335 тысяч человек появились новые города возросла численность городского населения в 24 раза. В годы индустриализации практиковалось шефство над...
82304. Процесс демократизации в Казахстане. Образование партий и движений в 80-е-90-е годы 31.19 KB
  Существовавшая ранее советская система государственного управления была полностью демонтирована коммунистическая партия перестала быть монополистом на политическом поле страны. Именно в это время начала оформляться Социальнодемократическая партия и Гражданское демократическое движение Азат. Сама Компартия к этому времени перестала быть единой. Это были партии Народный Конгресс Казахстана и Социалистическая партия Казахстана.