55050

Способи розв’язування функціональних рівнянь зі шкільного курсу математики

Книга

Педагогика и дидактика

Цей навчальний посібник стане в нагоді школярам, які прагнуть розширити свої знання з математики та бажають самостійно оволодівати знаннями, та вчителям математики, які працюють зі здібними учнями.

Украинкский

2014-04-02

6.23 MB

48 чел.

Лубенська загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №4

Лубенської міської ради

Полтавської області

                                                                        

Укладачі: Гулега Світлана Андріївна -  учитель математики    

                   Лубенської ЗШ І – ІІІ ступенів № 4;

            Дубовицька Аліна Сергіївна - учениця 9-А класу

                   Лубенської ЗШ І – ІІІ ступенів № 4.

  

Цей навчальний посібник стане в нагоді школярам, які прагнуть розширити свої знання з математики та бажають самостійно оволодівати знаннями, та вчителям математики, які працюють зі здібними учнями.

                                               

Лубни 2009

ЗМІСТ

Вступ                                                                                                  3

Розділ 1

  1.1  Знайомство з функціональними рівняннями.                       5

  1.2  Поняття функції.                                                                      7

  1.3  Означення оберненої функції.                                                8

  1.4  Знаходження та побудова композицій елементарних          11

         функцій.

  1.  Поняття групи та приклади їх.                                               13

Розділ 2

  1.  Правила розв’язування деяких функціональних                   15

рівнянь.

  1.  Приклади розв’язування функціональних                             16

рівнянь.

Висновок                                                                                          28

Список використаних джерел                                                         29

Додатки                                                                                              30


Любий читачу!        

  Сучасний розвиток науки і техніки потребує від школярів міцних знань в області математики та достатніх умінь і навичок володіння інноваційними технологіями. Запорукою досягнення позитивних результатів є ефективне застосування новітніх методик при розв’язуванні складних задач. На допомогу  педагогам та учням приходять шкільні підручники, які укладено згідно з навчальними програмами. Крім того, старшокласники намагаються самостійно опрацьовувати деякий теоретичний матеріал. Так, наприклад, про значення нових наукових термінів, якими насичені підручники, чи про способи розв’язування деяких задач ми можемо довідатись із науково-популярної літератури та із пошукової системи Інтернет. Але для самостійної роботи над обраною темою цієї інформації, на жаль, не достатньо .

Я навчаюсь у класі з поглибленим вивченням математики. На уроці алгебри  ми користуємося  підручником за редакцією  А. Г. Мерзляка,      

В. Б. Полонського, М. С. Якіра (2008,2009р.р.). З-поміж інших вправ,запропонованих авторами, завдання побудувати графік, довести тотожність, розв’язати рівняння, в яких змінною виступає сама функція, викликало у мене  та моїх однокласників певні труднощі. На жаль, виявилося,що додаткова навчальна та методична література до цих підручників відсутня, а науково-популярні видання, хоча і містять багато різних методів розв’язування завдань такого типу, зорієнтовані на більш підготовленого читача, тож знань восьмикласника не досить, щоб самостійно зрозуміти хід розв’язку рівняння. Переконана, що  такі ж  труднощі виникли і у моїх однолітків. Тож,  щоб розв’язати цю проблему, я вирішила написати науково-дослідницьку роботу про функціональні рівняння в шкільному курсі математики. Цьому сприяв також і той факт, що я – член шкільного наукового товариства «VERITAS» і маю можливість більш детально  дослідити проблемне питання .


     Метою моєї роботи стало створення посібника, в якому зібрано і систематизовано способи розв’язування функціональних рівнянь зі шкільного курсу математики,   котрий  надасть методичну допомогу вчителям та учням у розвитку вміння розв’язування цих рівнянь та доводити тотожності.

     Посібник містить потрібні теоретичні відомості, зразки розв’язування функціональних рівнянь та завдання для їх самостійного розв’язку.

     Актуальність цієї роботи тісно пов’язана з необхідністю розширювати та поглиблювати  знання старшокласників з математики, оскільки кожен випускник зустрінеться з великою конкуренцією на ринку вищої освіти.

     Теоретичною базою моїх досліджень стали роботи В’ячеслава  Андрійовича Ясінського та наукові статті  Cергія Негоди.

      Результатами моїх досліджень можуть користуватися учні 8 -12 класів загальноосвітньої школи при опрацюванні даної теми, при цьому вони отримають навички самостійної роботи над розв’язуванням функціональних рівнянь; вчителі - при підготовці та проведенні факультативних занять по даній темі та в організації роботи зі здібними дітьми.

Дубовицька Аліна


РОЗДІЛ 1

     1.1. Знайомство з функціональним рівнянням.

 

    Функціональне рівняння - рівняння, в якому невідомою є функція,   певною  мірою пов язана з відомими функціями за допомогою  композиції відображень, звичайно називається клас функцій, у якому шукають невідому.

     Розв язати функціональне рівняння -  означає знайти таку функцію, що    перетворить його у тотожність.

     У шкільній програмі учні зустрічаються з найпростішими функціональними рівняннями:

fx) = f(x);

fx) =­ f(x);

f(x + T) = f(x);

       Із науково-популярної літератури я довідалась, що спочатку функціональні рівняння застосували вчені-фізики при розв`язуванні деяких задач з механіки, зокрема для обґрунтування закону додавання сил, використовували функціональне рівняння:

                                                                          

f(x + y) ­ f(x ­y) =2 f (y) f (x)

     Математики почали досліджувати ці рівняння у XVIII­XIX століттях. Засновник неевклідової геометрії, Микола Іванович Лобачевский використав рівняння виду

f (x) =

для означення кута паралельності, а Леонард Ейлер застосував такі рівняння при розв`язуванні диференційних рівнянь в частинних похідних.

     Ще двісті років тому великий вклад у теорію розв`язування функціональних рівнянь вніс французький математик Огюстен Коші (1789- 1857). На його честь названо одне з найвідоміших функціональних рівнянь:

f(x + y) = f(y) + f(x)

котре має розв`язком будь-яку адитивну функцію.

      Вивчивши властивості степенів, ми й самі можемо скласти просте функціональне рівняння. Згадаємо:  

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

α x α y = α x+y

враховуючи, що:

f(x) = α x,    f(x) = α y

α x+y = f(x + y),

матимемо таке функціональне рівняння:

                                                             f(x + y) = f(y) f(x)

    У підручнику з алгебри за 8 та 9 клас з поглибленим вивченням математики за редакцією А. Г. Мерзляка, В. Б. Полонського, М. С. Якіра ми зустрілися з таким типом завдань , що містять функціональні рівняння і складену функцію: побудувати графік складеної функції, довести тотожність та нерівність і розв’язати рівняння, де змінними виступає складена функція

    Щоб зрозуміти, як їх розв’язувати, нам потрібно повторити поняття функції, складеної та оберненої функції, композиції відображень.                                                

1.2. Поняття функції.

     Означенням функції, яким ми користуємося на даному етапі вивчення математики, з’явилося порівняно недавно – у першій половині 19 століття. Воно формувалося більше 200 років під впливом бурхливих суперечок великих математиків кількох поколінь.

     Видатні французи П’єр Ферма і Рене Декарт, англійський вчений Ісак Ньютон, російський математик Микола Лобачевский і німецькі дослідники Георг Лейбніц та Петер Густав Лежен Діріхле залишили вагомий внесок у розвиток теорії функцій.

     Сучасне трактування функції – це правило, за допомогою якого за значенням незалежної змінної можна знайти єдине значення залежної змінної.

     Якщо кожному значенню Х  з деякої множини  E  за певним правилом поставлене у відповідності деяке число У, то кажуть, що У є функції від Х і пишуть      y = f(x),  де f – правило, за яким кожному Х відповідає  У, а f(x) - означає саме число У, що відповідає Х. Множина E називається областю визначення функції. Множина У усіх значень у, таких, що у= f(x) для кожного Х є Е називається множиною значень f.

    Функцію можна задати за допомогою аналітичного виразу, що описує послідовність обчислень, які треба виконати з числом Х, щоб дістати число У; або функцію можна також задати таблицею, де явно число У відповідає числу Х.

      Слова функція, відображення, оператор, відповідність, перетворення -синоніми. Слід взяти до уваги те, що позначення f: D(f)→E (f) вказує на відображення області визначення функції на область значення. Наприклад: запис f: RR означає, що функція визначена на множині дійсних чисел.

     Функція, f є  відображенням  числової множини Е в числову множину У, що символічно позначають так:

                                                        f:  E Y.

     Елемент Х є Е називають аргументом функції, а елемент У є Y – значенням функції.

                  1.3.Означення оберненої функції

                          

      Для деяких функцій можна задати обернену функцію, вона допоможе розв`язати функціональне рівняння та проводити перетворення.

                 Нехай f - функція                         

f:   Х У

                                           

        Тоді g  - відображення

g:   YX

називається оберненою функцією, якщо композиція f g є тотожним відображенням. Обернену функцію до заданої функції означають  f--1 . Обернена функція g існує тоді, коли відображення множини Х в Y взаємно однозначне.

     Графіки взаємно обернених дійсних функцій y =g(x) і y = f(x), дійсного аргументу Х , якщо в оберненій функції позначення Х і У змінено на У і Х, симетрично розміщені щодо прямої х =у, яка містить бісектриси 1-го і 3-го кутів на координатній площині.

    Важливо пам`ятати, що обернена функція кожне своє значення приймає тільки один раз, а графік у декартовій системі координат не має точок із різними абсцисами, але однаковими ординатами.

Властивості оберненої функції:

               1.   Обернена до оберненої функції являється даною функцією  (f--1) -1= f

2. Обернена до складеної функції шукається як композиція обернених  компонентів справа наліво

(f (р)) -1= р-1 (f--1)

 

Правила знаходження оберненої функції:

якщо функція f задана формулою у= f(x), то  для знаходження оберненої функції до даної достатньо розв`язати рівняння у= f(x) відносно Х та зробити заміну на У.

            Наведемо приклад взаємно обернених функцій:

                                                 

                                                           f = x2  та f--1 =  , f = ax+b та f--1=  

   Існують функції, які обернені самі до себе. До них належать такі функції:

                                                           у=,   у = х,    у=.

    Приклад 1. Знайти функцію, обернену до f (x) = -2х + 5.

                                             

                                                        Розв`язання

                  

     Спочатку з`ясовуємо, чи дана функція може мати обернену. Якщо припустити, що дана функція немає оберненої, то повинні існувати такі значення х1=x2, для яких f1) = f (x2).

Тоді -2 х1+5= -2 x2 +5, звідси х1=x2, це протиріччя доводить, що дана функція  має обернену. Розпочнемо конструювати  взаємно обернену функцію. Нехай у=-2у+5, замінимо х на у, а потім виразимо у через х.  х=-2у+5. Звідси -2у=х-5, остаточно у=-0,5х+2,5.

Таким чином,

f(x) =-2х+5. та f--1(х) =-0,5х+2,5.

Виконаємо перевірку:

f--1(f(х)) =-0,5х(2х+5)+2,5=х-2,5+2,5=х.

  Отже, ми отримали однозначну відповідність.

Відповідь:  f--1 (х) =-0,5х+2,5.

    Поняття оберненої функції можна використати під час розв’язування вправ 5.37 і 5.38 підручника « Алгебра – 9»  з поглибленим вивченням математики.

    5.38. Знайдіть функцію  g таку, що D (g)=R і для будь-якого х є R виконується рівність g (4-x)= 3x+ 1.

Розв’язання

    Розглянемо функцію у=4 - х. Для неї запишемо обернену, замінивши У на Х, а Х на У.

х= 4 - у;

      у= 4 - х.

Виконаємо підстановку. У функцію g(4-х) замість х підставляємо вираз 4-х. Отримаємо:         

                            g (4-(4-х)) =g (х) =3(4-х) +1=12-3х+1=13-3х.

Відповідь: g(х)=13-3х.

   Аналогічно у вправі 5.37, знайшовши обернену функцію і виконавши підстановку у задану, отримаємо правильний результат.

1.4. Знаходження та побудова композиції елементарних функцій

                 Нехай дано відображення

                                                             f: MN, і

                                                             g: NL,

Отже, f(х) є N і g(у) є L для будь-якого  х є М і у є N.

        Тоді композиція відображення f і g називає нове відображення: ML, яке позначається gof і визначається для будь-якого х є М

(gof)(х) =g (f(х)).

Під операцією композиції розуміють складену функцію f (g (х)).

Композиція g (f(х)) читається справа наліво: композиція функції f та g. Зауважимо, що, як правило, 

g (f (х)) f (g (х)).

         Прочитавши слово композиція багато з вас злякається, але це означає, що в першу функцію замість її аргументу досить підставити аргумент другої функції. Розглянемо це на прикладі.

     Приклад 1.        Знайти композиції функцій g(х) = р(f(v(х))), якщо f(х) =;   р(х) = ;    v(х) = -2х;

                                                             Розв`язання

      Розпочнемо конструювати композицію для даної функції: f(v(х)) = k(х);  

Щоб знайти композицію функції f(v(х))− потрібно у функцію f(х) замість аргументу підставить функцію v(х). Таким чином,

                

                                                        K (х) =;

будемо конструювати композиції далі: р(х) = g(х); аналогічно:

                                                         

 g (х) =: 2 =.

          Відповідь: .

     Поняття композиції відображень у курсі з математики базової школи допоможе розібратися із складеними функціями, вміщеними у підручнику «Алгебра-9» у вправах 5.42, 5.43 та 5.44.

     Вправа 5.42    Дано функцію f(х) = х2 + 2х. Розв’яжіть рівняння

 f (f (f(x))) = 0.

Розв’язання

Перетворимо дану функцію

F (х) =х2 +2х=х2 +2х+1-1= (х+1) 2 -1

      Розпочнемо конструювати композицію для функції f(f(х)) – цей запис означає, що аргументом функції f повинна стати сама функція f(x), тобто у функцію f(х) замість х запишемо функцію f(х).

f (f(x)) = ((х+1) 2 -1+1) 2 -1= (х+1) 4 -1

    Наступний етап - конструювання композиції для функції f(f(f(х))) .Це означає, що у функцію f(х) замість аргументу х підставляємо функцію f(f(x))

f (f (f(x))) = ((х+1) 4 -1+1) 2 -1= (х+1) 8 -1

   Виконавши ці перетворення, легко розв’язати отримане рівняння:

(х+1) 8-1=х

(х+1) 8 =х+1

за властивістю           х+1=1    або       х+1=0

                                    х=0                      х=-1.

Відповідь: 0,   -1.

Використавши операцію композиції, легко довести тотожність, наведену у завданні 19.40 у підручнику з алгебри за 8 клас.

19.40  Функція f   така, що f (х)=4/x. Доведіть, що

f(x+1)-f(x-1) =-05f(x+1) f(x-1).

Розв’язання

Розглянемо функції  f(x)=4/x   i   g(x+1).

Виконаємо операцію композиції для них, отримаємо складену функцію:

f  g=f(g(x))=4/x+1.

Розглянемо інші дві функції f(x)=4/x  і    g(x)=x-1.

Виконавши операцію композиції для них, матимемо складену функцію:

f g=f(g(x))=4/x-1.

Отримані вирази підставимо у тотожність і доведемо її. Внаслідок виконання всіх дій ми отримаємо правильну тотожність.


  1.  Поняття груп та приклади їх.

Група – одне з основних понять сучасної математики. Довільна множина функцій, які задані на деякій множині, називаються групою відносно операції композиції, якщо ця множина функцій задовольняє такі властивості:

1)   якщо деякі функції f і g належать даній множині, то їх композиція також належить цій множині; під операцією композиції будемо розуміти складену функцію f (g (х);

          2) функція е (х) = х, одиниця групи належить даній множині, композиція  довільної функції на одиницю дорівнює цій функції;

          3)  для будь-якої функції існує обернена, яка також належить цій множині.

Знаючи функції, які утворюють групу, можна легко розв’язати великий клас функціональних рівнянь. Досліджуючи праці С. Негоди «Найпростіші функціональні рівняння» та В. А. Ясінського «Олімпіадна математика», я виділила такі функції, що складають групи:

1) f(x)=x   g(x)=1/1-x      v(x)=x-1/x

2) f(x)=x    g(x)=a-x

3)  f(x)=x   g(x)=a/x

4)  f(x) =x   g(x) =a/x   v(x) =-x   t(x) =-a/x

5)  f(x)=x   g(x)=1/x    v(x)=-x   t(x)=-1/x  w(x) =x-1/x+1  u(x)=1+x/x-1

h(x)=1-x/x+1  s(x)=1+x/1-x.

Термін груп ввів французький математик Е. Галуа. Він здобув перші серйозні результати в теорії групи. Пізніше теорію групи вивчали інтенсивно. І до 1916 року, з виходом книжки російського математика О. Ю. Шмідта «Абстрактна теорія груп», теорія групи остаточно сформувалася як самостійна галузь математики.

У сучасній теорії групи виділилося ряд напрямків, пов’язаних із певними обмеженнями, внесенням додаткових відношень та узагальнення в різних напрямках.


РОЗДІЛ 2

2.1  Правила розв’язування деяких функціональних рівнянь.

Різні типи функціональних рівнянь розв’язуються за своїми правилами. Лінійні функціональні рівняння розв’язуються методом використання оберненої функції, методом розкладання на множники, методом зведення до квадратного.

Найбільший клас цих рівнянь розв’язується методом підстановок. Суть цього методу полягає в тому, що ми припускаємо,що дане рівняння має розв’язок, застосовуємо до змінних, які входять до рівняння, деякі підстановки. Дістаємо систему рівнянь, що містить шукану функцію. Після розв’язування системи безпосередньою перевіркою необхідно переконатись, що знайдена функція задовольняє умову задачі. Особлива трудність цього методу полягає у виборі вдалих підстановок.

Існує цілий клас функціональних рівнянь, що містять невідомі функції, які утворюють групу. Основні труднощі полягають у відшуканні групи та потребують великої уваги при перетворенні рівнянь та розв’язанні складених систем рівнянь. Оскільки рівняння, наведені у підручнику, розв’язуються із застосуванням поняття груп, розглянемо алгоритм.

Нехай у функціональному рівнянні вирази, що стоять під знаком невідомої функції є елементами групи, яка складається з декількох елементів. Припустимо, що дане рівняння має розв’язок і виконаємо операцію композиції послідовно для функцій групи. В результаті невідомі функції поміняються лише місцями і матимемо нове лінійне рівняння. Після всіх перетворень композиції дістанемо систему лінійних рівнянь, яку слід розв’язати , а потім перевірити, чи задовольняє він дане рівняння.

Розглянемо приклади рівнянь, наведених у підручнику «Алгебра» для учнів 9 та 8 класів.

2.2  Приклади розв’язування функціональних рівнянь.

Завдання 19.41, «Алгебра-8». Знайдіть функцію, яка задовольняє умову

3f(х) + 2f(-х) = .

Розв’язання

Вирази, що стоять під знаком функції, складають групу: f(x)=x   g(x)=-x.

Виконаємо операцію композиції і отримаємо друге рівняння:

                                           3f(-х) + 2f(х) =  = ;

Із двома рівняннями складаємо систему:           

                                          3f) + 2f(-х) = ;

                                          3f(-х) + 2f(х) =  = ;

Із 2-го рівняння виразимо  f(-х):

                                          3f(-х) =  - 2f(х);

                                           f (-х) =  - f (х);

   Підставимо у 1 рівняння :

                                           3f) + 2(- f(х)) = ;

                                           3f) + - f(х) = ;

                                           3f) - f(х) =- ;

                                            f) (-) =;

                                            f (х) =;

                                             f) =;

Перевірка:

                          3() + 2()  =  +  = .

Завдання 19.42,   «Алгебра-9». Знайдіть функцію, яка задовольняє умову

2f(х) + f (-) =  .

Розв’язання

Функції, що входять у дане рівняння, утворюють групу. Виконаємо для них операцію композиції , замість аргументу  х,  підставимо аргумент другої функції -, отримаємо друге рівняння:

     2f(-) + f (х) = - = -( = -(х  = -= 6х - .

Із 1 та 2 рівняння складаємо систему:

2f(х) + f (-) =  .

2f(-) + f (х) = 6х - ;

Із 1 рівняння виразимо f (-)

f (-) = - 2f (х);

Підставимо у 2 рівняння:

2( - 2f(х)) + f (х) = 6х - ;

f (х) + f (х) = 6х - ;

-3f(х) = 6х -  - ;

-3f(х) =

-3f(х) =;

f (х) =

Перевірка:

2+ () =

Переглядаючи  задачі міських олімпіад за минулі роки, я зустріла завдання:

 Під час роботи над даною темою ми опрацювали книгу В. А. Ясінського «Олімпіадна математика» і знайшли тематику функціональних рівнянь.  Дослідивши та опрацювавши ці рівняння, знайшовши шлях розв’язку, наводимо їх у роботі.

Згідно розглянутих прикладів, застосовуючи наведений алгоритм, можна розв’язувати й інші рівняння:

ВИСНОВОК

Математикою захоплюються тому, що вона розвиває пам'ять та логічне мислення, впорядковує думки, вчить у різних ситуаціях не пасувати перед незнайомими та важкими задачами, а відшукувати шлях до їх розв’язання. І нехай цей шлях не простий, але що є труднощі у порівнянні із задоволенням, яке отримуєш, подолавши всі труднощі у вирішенні поставленої  наукової задачі.

Під час виконання роботи ми розглянули питання складеної функції, композиції двох функцій та систематизували методи розв’язування функціональних рівнянь, наведених у завданнях підручника з алгебри для учнів 8 і 9 класів з поглибленим вивченням математики. Дані питання включено до навчального посібника, створеного на основі результатів цієї наукової роботи і покликаного допомогти школярам в опануванні даної  теми.

Презентуючи свою книгу перед членами шкільного наукового товариства, ми отримали моральне та емоційне задоволення. Юним науковцям  розповіли про етапи підготовки та написання роботи, ознайомили з її результатами. Оскільки нашим довідником можуть скористатися вчителі математики при підготовці до занять зі здібними  учнями, то я ознайомила на засіданні шкільного методичного об’єднання вчителів математики із змістом та матеріалами даного навчального посібника. Так як наша робота допомагає моїм одноліткам розширити свої знання з математики, я провела заняття факультативного курсу «Світ математики» для учнів 9 класів. На них я показала, як побудувати графік складеної функції та як розв’язати функціональне рівняння. З цієї теми провела три заняття. Аналізуючи роботу учнів над завданнями для самоперевірки, ми побачили, учні зрозуміли алгоритм розв’язування функціональних рівнянь.

Отже, результатами даної роботи можуть користуватися вчителі та учні загальноосвітніх закладів.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.Александров П. С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980. (Библиотека «Квант»; 7 )

2.Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. – К.: Вища школа, 1983.

3.Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. – Москва: Наука, 1998.

4.Вишенський В. А. Карта шов Н. В. Збірник задач Київських математичних олімпіад. – К.: Вища школа, 1984.

5.Конет І. М., Паньков В. Г., Радченко В. М., Теплінський Ю. В. Обласні математичні олімпіади. – Камянець-Подільський: Абетка,1998. – 207с.

6.Лейфура В.М., Мітель ман І. М., Радченко В. М., Ясінський В. А. Задачі міжнародних математичних олімпіад та методи їх розв’язування. – Львів: Євро світ, 1999. – 128с.

7.Лейфура В.М., Мітель ман І. М., Радченко В. М., Ясінський В. А. Математичні олімпіади школярів України 1991-2000. – К.: Техніка, 2003.

8.Мантурив О. В., Соркін Ю. І., Федін М. Г. Математика в поняттях, означеннях і термінах. – Київ: Радянська школа, 1986. – 456с.

9.Мерзляк А. Г., Полянський В. Б., Якір М. С. Алгебра – 9 підручник для класів з поглибленим вивченням математики. – Харків: Гімназія, 2009.

10. .Мерзляк А. Г., Полянський В. Б., Якір М. С. Алгебра - 8 підручник для класів з поглибленим вивченням математики. – Харків: Гімназія, 2008.

11.Негода С. Найпростіші функціональні рівняння. – Вінниця. 2003. – 26с.

12.Шкіль М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М. Алгебра і початки аналізу 10 підручник для класів з поглибленим вивченням математики. – К.: Освіта, 2000. – 318с.

13.Ясінський В. А. Олімпіадна математика: функціональні рівняння, методи математичної індукції. – Харків: Основа, 2005. – 94с.

14.Яковлев Г. Н., Купцов Л. П., Резниченко С. В., Гусятников П. Б. Всероссийские математические олимпиады школьников. Книга для учащихся. – Москва: Просвещение, 1992.

15.Ясінський В. А. Задачі математичних олімпіад та методи їх розв’язування. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2005. – 207с.

16.Лейфура В. М., Борисова В. О., Кукуш О. Г. Змагання юних математиків України. 2003 рік. – Харків: Основа, 2004. – 192с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76517. Формирование коммуникативной компетенции на уроках русского языка 38 KB
  Формирование коммуникативной компетенции на уроках русского языка. Однако охарактеризованные знания и умения еще не обеспечивают общения адекватного коммуникативной ситуации. Очень важное место в коммуникативной компетенции занимают собственно коммуникативные умения и навыки выбрать нужную языковую форму способ выражения в зависимости от условий коммуникативного акта33 т. умения и навыки речевого общения сообразно коммуникативной ситуации.
76518. Формирование культуроведческой компетенции на уроках русского языка 26 KB
  Формирование культуроведческой компетенции на уроках русского языка. УЧЕБНИК: Культуроведческая компетенция предполагает осознание языка как формы выражения национальной культуры взаимосвязи языка и истории народа национальнокультурной специфики русского языка владение нормами русского речевого этикета культурой межнационального общения. Быстрова:Современный период развития методики преподавания языков характеризует обостренный интерес к культуроносной кумулятивной функции языка к обучению языку как средству приобщения к...
76519. Методы исследования в методике русского языка 26 KB
  Эксперимент: 1 поисковый ориентирующий эксперимент выявление проблемных зон в процессе обучения определенному предмету разделу теме; 2 констатирующий эксперимент экспериментальный срез проводящийся для подтверждения определенной гипотезы посредством тестирования и анкетирования; 3 обучающий эксперимент процесс обучения определенной группы учащихся по какойлибо новой методике программе учебному пособию и т.; 4 корректирующий эксперимент устранение недостатков выявленных в процессе обучающего эксперимента; 5 контрольный...
76520. Принципы обучения (общедидактические) 42 KB
  Прочность усвоения знаний достигается логикой построения изучаемого материала системой упражнений требующих не автоматического а творческого и сознательного перенесения полученных знаний специальными методами на этапе усвоения материала а также постоянным повторением материала уже после изучения раздела. Наглядность это использование специальных средств для опоры на различные анализаторы при восприятии и усвоении материала. Наглядность служит для того чтобы вопервых облегчить понимание материала и вовторых задействовать как можно...
76521. Принципы методики преподавания русского языка 26 KB
  Практически во всех разделах изучаются значимые единицы морфемы слова предложения. В морфемике необходимо учитывать что морфемы являются минимальными значимыми частями слова и что поэтому морфемный разбор не может быть проведен механически на глазок. При изучении морфологии существенно то что разные значения одного и того же слова могут иметь разные морфологические характеристики например: слово лес в значении ‘совокупность деревьев’ имеет формы единственного и множественного числа а в значении ‘строительный материал’ формы только...
76522. Отбор теоретических понятий при изучении лексики и фразеологии 27 KB
  Цель формирование представлений о лексикофразеологической системе русского языка; знакомство со лексическим и нормами русского литературного языка; обогащение словарного запаса учащихся; Задачи: формирование основных лексических понятий знакомство с разными способами пополнения словарного запаса научить школьников определять роль лексических и фразеологических единиц речи сформировать умение школьников использовать лексику и фразеологизмы в соответствии с лексич значением научить пользоваться разными видами словарей В начальной школе...
76523. Отбор теоретических понятий при изучении морфологии 29.5 KB
  В школьной практике изучается морфология на синт основе то есть главное внимание уделяется условию и характеру употребления словоформ в разных стилях и жанрах речи формированию умения школьников целесообразно использовать слова разных частей речи в построении связанного высказывания. Все словоформы русского языка систематизированы и объединены в части речи которые в школе рассматриваются с точки зрения структурно семантического принципа значения формы и функции слова. Цели: формирование понятия морф система русского языка обогащение...
76524. Отбор теоретических понятий при изучении синтаксиса 30.5 KB
  ИНТЕРНЕТ Рассмотрение синтаксической единицы – предложения начинается в 1 классе Обеспечить усвоение учащимися знаний о строе русского языка на основе сознательного восприятия ими системы синтаксических понятий и правил ; Разграничение в научном синтаксисе словосочетания и предложения способствовало выделению существенных признаков качественно различных единиц языка более глубокому постижению специфики каждой из них. Синтаксис предложения рассматривает коммуникативную единицу языка служащую средством формирования выражения и сообщения...
76525. Основные теоретические понятия методики обучения стилистике 25.5 KB
  Выделяют пять стилей из них четыре книжных: научный официальноделовой публицистический художественный и разговорный стиль. Научный стиль Научный стиль один из книжных стилей который используется в научных трудах учебниках и учебных пособиях устных выступлениях на научные темы. В научном стиле можно выделить следующие разновидности: 1 собственно научный стиль. 2 научнопопулярный стиль который присущ текстам предназначенным для популяризации научных знаний.