55053

Последовательности и способы их задания

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Ставится цель урока: Найти способы нахождения любого члена последовательности. Задачи урока: Выяснить что такое числовая последовательность и как задаются последовательности.

Русский

2014-03-21

132.5 KB

18 чел.

Урок по алгебре для 9-го класса по теме: "Последовательности и способы их задания"

 

Цели урока:

  1.  формирование представления о числовой последовательности как функции с натуральным аргументом;
  2.  формирование знаний о способах задания числовых последовательностей, умений находить члены последовательности по предложенной формуле, а также умений находить саму формулу, задающую последовательность;
  3.  развитие умений применять ранее изученный материал;
  4.  развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать;
  5.  воспитание умений работать в паре, оценивать себя.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Подготовка к восприятию новых знаний.

Учащимся предлагается устно решить 2 задачи:

Задача № 1: На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля на складе будет в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?

Задача № 2: При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,9 м, и в каждую следующую на 9,8 м больше. Какое расстояние будет пройдено падающим телом за 1 сек? 2 сек? 3 сек? 4 сек? 5 сек?

Ответы учащихся записываются на доске: Зад.1: 500; 530; 560; 590; 620

Зад.2: 4,9; 14,7; 24,5; 34,3; 44,1

Задаются вопросы к задачам:

к задаче 1: Сколько угля будет на складе на 35 дней?

к задаче 2: Какое расстояние будет пройдено телом за 35 сек?

Для решения поставленных проблем, рассматриваем ответы к задачам как последовательность чисел, то есть числовые последовательности.

Ставится цель урока: Найти способы нахождения любого члена последовательности.

Задачи урока: Выяснить, что такое числовая последовательность и как задаются последовательности.

Записывается тема урока

3. Изучение нового материала.

1. Введение определения числовой последовательности.

Вводятся обозначения: y1,y2,y3,y4,y5,… - члены последовательности; 1,2,3,4,5,… - порядковый номер члена последовательности; (y2) – сама числовая последовательность

В ходе беседы определяем понятие числовой последовательности.

Наводящие вопросы: Зная номер члена последовательности, можем найти сам член последовательности? А наоборот? Как называются такие зависимости? Какой аргумент? Какое значение функции? Какая область определения?

Учащиеся записывают определение: Числовая последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел.

Устно решаем задания:

Определите, является ли указанное ниже соответствие последовательностью:

а) каждому натуральному числу ставится в соответствие его квадрат;
б) каждому натуральному числу ставится в соответствие число 7;
в) каждому натуральному четному числу ставится в соответствие его куб, а каждому натуральному числу, кратному 4 – число 9.

2. Определите, является ли заданная функция числовой последовательностью: (формулы записываются на доске)

а) y=2x-1, xI (0;+? ) б)

в) y=2x-1, xI Z          г) ?

Вывод: (формулируется совместно с детьми) Что главное в определении?

Числовая последовательность 1) функция 2) ее область определения – множество N.

2. Определение способов задания последовательностей.

Напоминается, что функция считается заданной, если определено правило, по которому любому аргументу ставится в соответствие значение функции.

Совместно формулируется (а затем, записывается) условие задания числовой последовательности: Числовая последовательность считается заданной, если указан способ, позволяющий найти член последовательности любого номера.

В ходе беседы вспоминаем способы задания функций (словесный, графический, формулой (сообщается, что он называется аналитический)), их суть.

На доску вывешивается схема:

А) Словесный способ. На доске появляется суть способа. Учащиеся записывают название способа и его суть в таблицу №1.

Таблица №1 Способы задания числовой последовательности:

Способ

 

 

 

 

Пример

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Описать словами способ получения каждого члена последовательности или задать несколько первых членов последовательности.

В таблицу №1 записываются словесные задания двух последовательностей:

Последовательность 1. (yn) – последовательность натуральных чисел, кратных 3.

Последовательность 2. (yn) – последовательность четных натуральных чисел.

Задание: Записать первые 5 членов последовательности. (Наводящие вопросы: что такое кратные 3, какие числа считаются четными). (Вызываются к доске 2 ученика)

Приведите свои примеры (устно).

Б) Графический способ. На доске появляется суть способа. Учащиеся записывают название способа и его суть в таблицу №1.

Построить множество точек (n; yn)

Задание: Задать графически Последовательность 1 и 2 (два ученика на доске на готовой координатной плоскости, остальные в таблице №1)

В) Аналитический способ. На доске появляется суть способа. Учащиеся записывают название способа и его суть в таблицу №1.

Указать формулу n- го члена последовательности.

Задание: 1. Последовательность задана формулой: . Запишите первые 5 членов последовательности. (По одному ученику у доски с полным объяснением, остальные в тетради)

2. Задайте формулу n-го члена Последовательности 1 и 2 (Проговариваем устно, записывают в таблицу №1)

Г) Рекуррентный способ.

3. Задайте формулу n-го члена последовательности …, 74, 81, 88, 95, 102, …

А можно найти следующий член последовательности? А дальше? (Наводящий вопрос как из 74 получить 81, из 81 получить 88)

Вывод: Если будем знать n-1 член последовательности, то можно будет найти и n-ный.

Такой способ задания последовательности называется рекуррентным. (К схеме на доске добавляется запись рекуррентный)

В нашем примере yn =yn-1 + 7

Задание:

Каких данных нам для этого не хватает? А если последовательность задана формулой

yn = yn-1 + yn-2?

Вывод: Для рекуррентного задания последовательности необходимо:

1) знать один или два первых члена последовательности
2) указать правило для вычисления следующих членов последовательности

На доске появляется суть способа. Учащиеся записывают название способа и его суть в таблицу №1.

Выразить каждый член последовательности, начиная со 2-го (или 3-го) через предыдущие.

Задание: 1. Последовательность задана рекуррентно y1 =2, yn =5yn-1 Укажите первые 5 членов последовательности. (По одному ученику у доски с полным объяснением, остальные в тетради)

2. Задайте рекуррентно Последовательности 1 и 2 (проговариваем устно, записывают в таблицу №1)

Промежуточный итог: Мы получили 4 способа задания числовых последовательностей. Они представлены на доске и в таблице №1. Наиболее ценными для решения практических задач являются 2 последних способа: аналитический и рекуррентный. И мы сейчас поработаем с этими способами.

4. Первичное осмысление и закрепление материала

Инструкция: Перед Вами таблицы 2 и 3.

Таблица № 2: Аналитический способ Задание: Заполнить таблицу

x1, x2, x3, x4, x5

хn

Решение:

 

x1=

x2=

x3=

x4=

x5=

 

 

Таблица № 3: Рекуррентный способ Задание: Заполнить таблицу

x1, x2, x3, x4, x5

х1, х2, хn

Решение:

 

x1=

x2=

x3=

x4=

x5=

 

 

В таблице представлен аналитический способ, в таблице 3 – рекуррентный. Задание в 1 и 2 строчках этих таблиц: по данным формулам задать первые 5 членов последовательности. Задание в 3 и 4 строчках этих таблиц: по первым членам последовательности задать соответствующую формулу.

Это задание уже не тривиально, оно требует определенной смекалки.

Над заданиями учащиеся работают в парах.

Первым парам, выполнившим задание, раздаются прозрачные пленки с заданием, куда они вписывают свои ответы.

Проверяются решения с помощью решений, записанных заранее на доске..

5. Первичный контроль усвоения знаний (самостоятельная работа с последующей самопроверкой)

Инструкция: Возьмите листы с таблицей №5.

Таблица № 5: Самостоятельная работа Задание: Заполнить таблицу

x1, x2, x3, x4, x5

Аналитический способ

Рекуррентный способ

Решение:

 

 

x1=
x
2=
x
3=
x
4=
x
5=

 

 

x1=
x
2=
x
3=
x
4=
x
5=

500; 530; 560; 590; 620; …

 

 

 

4,9; 14,7; 24,5; 34,3; …

 

 

 

Критерии оценки: 4 «+» оценка «5»; 3 «+» оценка «4»; 2 «+» оценка «3»

Подпишите их. Задание в 1 и 2 строчках этих таблиц: по данным формулам задать первые 5 членов последовательности. Задание в 3 и 4 строчках этих таблиц: по первым членам последовательности задать соответствующую формулу.

Задания выполняются самостоятельно. После выполнения, проверяем решения.

Проверяются решения  (ответы записаны заранее).

Инструкция по проверке и оцениванию: Перед Вами ответы к заданиям. Сравните их с Вашими результатами. Если правильно, то поставьте «+», если нет, то «-». Затем посчитайте количество «+» и поставьте себе отметку в соответствии с теми критериями, которые у Вас записаны под таблицей. Если Вы хотите, чтобы полученная отметка была выставлена в журнал, то в скобках, рядом с оценкой запишите «в журнал».

6. Подведение итогов урока

Обращается внимание на последние 2 сточки в таблице5. Это последовательности к задачам начала урока. Напоминаются вопросы задач. Находим ответ на поставленные проблемы (спрашиваются 2 учащихся).

Фронтальным опросом вместе с учащимися делаются выводы урока:

  1.  Что такое последовательность
  2.  Какие существуют способы задания последовательностей? В чем их суть?
  3.  Какой из способов позволяет определить член последовательности зная только его номер?
  4.  Где применяются знания о числовых последовательностях?

Таблица № 4: Дополнительное задание: Заполнить таблицу

x1, x2, x3, x4, x5

Аналитический способ

Решение:

 

x1=

x2=

x3=

x4=

x5=

 

 

x1, x2, x3, x4, x5

Рекуррентный способ

Решение:

 

x1=

x2=

x3=

x4=

x5=

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85195. Освобождение Беларуси. Окончание Великой Отечественной и Второй мировой войны. Вклад белорусского парода в Победу над фашизмом 28.18 KB
  Начать операцию освобождения Украины и Беларуси. 23 сентября советские войска освободили первый районный центр Беларуси –г. Всего в Беларуси в результате осенне– зимнего наступления 1943-1944 гг.
85196. Система биполярного мира после Второй мировой войны 26.8 KB
  Основной причиной противостояния была борьба СССР и США за геополитическое превосходство прежде всего в Европе. Начало оформлению политики холодной войны положила доктрина Трумэна 1947 внешнеполитическая программа США которая высказывала просьбу выделить помощь 400 млн Греции и Турции обосновывая это тем что США должны оказывать поддержку свободным народом Предложения США критиковались правительством СССР которое считало что они фактически означают подчинение экономики западноевропейских стран экономике США и нарушают их...
85197. Социально-экономическое развитие БССР во второй половине 1940-х – первой половине 1980-х годах 28.42 KB
  Сталин обещал улучшить жизнь втрое поднять уровень пром. Основная цель 4ой пятилетки достигнуть довоенного уровня производства в пром. Развитие промышленности планировалосьза счёт с х и снижения общего уровня жизни населения. Уже в 49г промыш.
85198. Общественно-политическая жизнь БССР (1945 - 1985 гг.) 27.61 KB
  Хрущевская оттепель ХХ съезд КПСС 1956 с его разобличения культа личности вызвали глубокие изменения в общественнополитического сознания. После ХХ съезд КПСС в Беларуси началась реабилитация жертв сталинских репрессий. Октябрьский 1964 пленум ЦК КПСС избрал первым секретарем партии Л. пленума ЦК КПСС который избрал Ю.
85199. Политика политической и экономической модернизации СССР и БССР в годы перестройки (вторая половина 1980-х гг.) 26.41 KB
  Требовалось реформирование политикоэкономической системы которая в основе своей сформировалась в СССР в 2030е гг. В июне 1987 Верховный Совет СССР принял Закон СССР О государственном предприятии а потом Совет Министров СССР и ЦК КПСС приняли ряд документов о радикальной экономической реформе.
85200. Духовная жизнь и культура Беларуси в 1945-1990 гг 27.2 KB
  Так же в первое послевоенное десятилетие были открыты новее вузы Бел. Значительные сдвиги произошли в развитии бел. Была издана История БССР в 5ти томах и Бел советская Энциклопедия в 12 томах.
85201. Изменения в социально-экономической и политической картине мира в конце XX - начале XXI в. Распад Восточного блока 27.13 KB
  Положив в основу общественного прогресса прежде всего эк. фактор и поставив человека в положение лишь средства для достижения своих целей, Советское гос-во все более отставало от передовых стран мира в научно-технолог. плане, в повышении производит-ти труда. В рез-те общество оказалось скованным жесткими предрассудками...
85202. Распад СССР и оформление государственного суверенитета Республики Беларусь 32.92 KB
  Собственностью республики объявлялись предприятия организации и учреждения союзного подчинения размещенные на ее территории. было принято решение об изменении символики республики и переименовании Белорусской Советской Социалистической Республики в ldquo;Республику Беларусьrdquo; или ldquo;Беларусьrdquo;. в Министерстве юстиции Республики было зарегистрировано 34 пол партии.
85203. Государственные программы развития Республики Беларусь 27.14 KB
  Геополитическое положение Республики Беларусь 1990е 2012 г. Республика Беларусь независимое государство. Республика Беларусь по своему географическому положению находится в центре Европы а также занимает срединную часть Евразийского континента в целом.