55280

Применение производной к решению задач

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Цели урока: Обучающие: повторить основные формулы и правила дифференцирования применение производной к исследованию функции нахождению наибольшего и наименьшего значения функции физический и геометрический смысл производной; сформировать умение комплексного применения знаний умений навыков...

Русский

2014-03-23

125 KB

12 чел.

3ий урок комбинированный

Урок для 11 класса.

Тема: «Применение производной к решению задач».

Цели урока:

  •  Обучающие: повторить основные формулы и правила дифференцирования, применение производной к исследованию функции, нахождению наибольшего и наименьшего значения функции, физический и геометрический смысл производной; сформировать умение комплексного применения знаний, умений, навыков и их перенос в новые условия;  проверить знания,  умения, навыки учащихся по данной теме.
  •  Воспитательные: содействовать формированию творческой деятельности учащихся.
  •  Развивающие: содействовать развитию мыслительных операций: анализ, синтез, обобщение; формированию умений  самооценки и взаимооценки.

Оборудование:

  •  Мультимедийный проектор.  
  •  Презентация с целеполаганием и заданиями.
  •  Приложения с основными формулами и правилами дифференцирования (для каждого ученика).
  •  Карточки с заданиями.
  •  Карточки для проведения рефлексии, оценочные листы
  •  Разноуровневое домашнее задание.

План урока:

1.  Организационное начало урока, целеполагание. (4 минуты)

  1.  Актуализация знаний (8 минут)
  2.  Групповая работа (13 минут)
  3.  Проверка выполненных заданий. (10 минут)
  4.  Итог занятия, рефлексия. (5 минуты)
  5.  Домашнее задание.

Ход урока:

1. Организация начала урока. Целеполагание.

   Время: 4 минуты

   Форма: фронтальная работа.

Учителем сообщается тема урока и предлагается ученикам определить цели урока и самостоятельно выбрать из предложенных трёх групп цели, которые они ставят для себя на данном уроке. Демонстрация целей идёт с помощью мультимедийного проектора. Цели классифицируются  по мотивам обучения:

  •  Когнитивные: уточнить основные понятия и законы темы, углублённо рассмотреть конкретные вопросы во время решения задач.
  •  Креативные: провести самостоятельное исследование по теме, применить имеющиеся знания в нестандартной ситуации.
  •  Оргдеятельностные: проявить и развить свои способности, организовать свои цели, составить реальный план, выполнить его и оценить свои результаты.

На основании выбранных целей учащиеся поднимают кружок определённого цвета: 1 группа – коричневый, 2 группа – красный, 3 группа – зелёный.

  1.  Актуализация субъективного опыта учащихся, их знаний.

Время: 8 минут

    Метод: репродуктивный

    Форма: фронтальная работа

    Задача: повторить и закрепить навыки вычисления производной,  

                 применение производной к решению задач;

                 проверить сформированность   грамотной  математической речи.

    Форма подачи заданий: мультимедийный проектор.

    Ответы учащиеся демонстрируют на переносных досках.

Задание 1.

1. Зная правило дифференцирования произведения двух функций, составьте формулу  (uvw)΄ = …

Ответ:  u΄vw + uv΄w + uvw΄

2. Зная связь первой производной и экстремумов, установите, как определить вид экстремума по второй производной.

Задание 2.

Составить алгоритм отыскания промежутков выпуклости вверх и вниз для функции у = 2х6 – 5х4.

Ответ: 1. у΄=12х5 – 20х3

           2. у΄΄=60х4 – 60х2

                  3. у΄΄=0 при х=0, х=1, х=-1.

           4. у΄΄> 0, функция выпукла вниз при х ≤ -1, х ≥ 1.

           5. у΄΄< 0,  функция выпукла вверх при -1 ≤ х ≤ 1.

Задание 3.

Установить соответствие между предложенными графиками у=(x) и формулами, задающими функцию у=f(x).

1. у=х2-1                        2. у=х3- 1              3. у=(х-1)2                4. у=-х2 -1   

   А                                    Б                                В                              Г

Ответы:

1- Б,      2 – А,     3 – Г,     4 – В.  

Анализ итогов работы.

  1.  Применение знаний и умений.

Время: 13 минут

    Метод: частично – поисковый

    Форма: групповая письменная

    Задача: содействовать формированию активной творческой деятельности,

            развивать мотивацию учащихся, сформировать умение  

            комплексного применения знаний, умений, навыков и их перенос в

            новые условия;  проверить знания,  умения, навыки учащихся по

            данной теме.

    Форма подачи заданий: карточки

Учащиеся согласно заявленным целям на урок распределяются по группам, заполняют оценочный лист.

Каждой группе предлагаются задания.

Группа 1. Когнитивные мотивы обучения.

 I. По графику производной схематически изобразить

    график функции и график второй производной.

II. Определите значение параметра b, при котором функция

    возрастает на отрезке [b-5; b+4].

Группа 2. Креативные наклонности.

I. По предложенному решению составить условие задачи.

Решение:

1. D(у) = R

   =-3x2-12x, k(x0)=-3x02 - 12x0,

2. 1 способ хв=12:(-6)=-2

   2 способ (x0) = -6x0 – 12                        +                -

                   (x0) = 0 при x0 = -2                                -2

                                                                  k                max

                                                                                 хmax = -2

3. у=f(x0) + f΄(x0)(x- x0)

   у=-13 + 12(х+2)

   у=12х + 11

II. Предложите несколько формул, задающих функцию у=f(x), если

   

(данное задание является пропедевтическим для изучения темы «Первообразная»)

Группа 3. Оргдеятельностные приоритеты деятельности.

I. Описать алгоритм нахождения наибольшего

и наименьшего значения   функции у=f(x) на

отрезке [a;b]. Составить блок-схему.

      

II. Составить план решения следующей задачи:

    Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t)=18t2t3 (x- в метрах, t- в секундах). Определите, в какой момент времени из промежутка [4;8] скорость точки будет наибольшей и найдите в это время ускорение.

  1.  Защита учащимися выполненных работ.

Время:  10 минут

    Форма: фронтальная

    Задача: проверить  знания, умения, навыки учащихся по данной теме.

Учащиеся оформляют решения на доске и поясняют ход выполнения  заданий. Каждая группа, выслушивая защиту других, готовит им вопросы.

Работа первой группы.

№ 1.                                                     

Для графика функции у=f(x): (x)>0      f(x) возрастает [-5;-2,8],[-0,4;3,5]

                                                 (x)<0      f(x) убывает [-2,8;-0,4,[3,5;5]

                                                 (x)=0 и производная меняет знак с плюса на

                                                 минус при х=-2,8 и х=3,5      х=-2,8 и х=3,5          

                                                 точки максимума    

                                                 (x)=0 и производная меняет знак с минуса на

                                                 плюс при х=-0,4     х=-0,4 точка минимума    

Для графика функции у=f ΄΄(х): (x) убывает на промежутках [-3,5;-1,5],

                                                     [0,5;1,5], [2,8;5] значит функция у=f΄΄(x)

                                                     отрицательна на этих промежутках и  

                                                     обращается в нуль при х=-3,5, х=-1,5, х=0,5,

                                                     х=1,5, х=2,8

                                                    (x) возрастает на промежутках [-5;-3,5],

                                                    [-1,5;0,5], [1,5;2,8] значит функция у=f΄΄(x)

                                                     положительна на этих промежутках.

№ 2. D(у)=R, , у΄>0 при х <1 и непрерывна при х=1, значит функция возрастает на промежутке (-∞; 1], т.е. b+4≤1, b≤-3.

Работа второй группы.

№ 1. Учащиеся представляют составленные ими условия задачи. Классу предлагается проанализировать решение и условия и выбрать наиболее точную формулировку.

Формулировка учителя: Напишите уравнение касательной к графику функции у=-х3-6х2+3, которая имеет наибольший угловой коэффициент.

№ 2.

Все остальные функции будут отличаться от данной свободным членом.

Работа третьей группы.

№ 1.     

Найти наибольшее значение функции y=f(x) на отрезке [a,b].

1. Найти производную данной функции.

2. Найти критические точки.

3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.

4. Найти значение функции в отобранных критических точках и концах отрезка.

5. Выбрать наибольшее значение функции.

№ 2.

План решения

Реализация плана

1. Отыскать функцию, задающую скорость у= V(t).

2. Найти производную функции V(t). 3. Указать критические точки.

4. Выбрать точки, принадлежащие отрезку [4,8]

5. Найти значение функции V(t) при х=4, х=6, х=8

6. Записать ответ, выбрав наибольшее из найденных значений.

1. V(t)=(t), V(t)=36t – 3t2

2. V΄ (t)= 36 – 6t

3. V΄ (t)=0 при t=6

4. 6 принадлежит отрезку [4,8]

5. V(4)=96 м/с, V(6)=108 м/с,  

   V(8)=96м/с

6. max V(t) = V(6) =108 м/с

   [4;8]

Блок-схема № 1.

  1.  Подведение итогов урока, рефлексия.

Время: 5 минут

Задача: определить уровень достижения целей урока и меру участия каждого учащегося в занятии, оценка работы школьников.

Рефлексия.

На листочках для рефлексии учащимся предлагается изобразить в виде прямых, как изменялись во время урока  три параметра: личная активность, самочувствие, самостоятельность. По шкале ординат отмечено время урока.

                                                                                       

                                                                                       

                                                                                       

о                             мин          0                                             мин                                                                          мин

      15     30     45                     15     30     45                          15     30     45

      активность                         самостоятельность                      самочувствие

Каждая группа заполняет оценочные листы.

Ф.И.

Самооценка

Оценка группы

1.

2.

Заслушиваются итоги каждой группы.

  1.  Домашнее задание.

Ученикам предлагается домашнее задание по трём уровням сложности, обращается внимание на номер третий, он одинаковый у всех и является дополнительным.

Домашнее задание.

Группа А

Группа В

Группа С

1. Проводятся касательные к графику функции y = 3x – x2 в точке с абсциссой 2 и в точке максимума. Найдите площадь треугольника, образованного осью ординат и этими касательными.

2. Придумайте функцию y = f(x), у которой значение в точке максимума меньше значения в точке минимума.

3. Составьте блок-схему для исследования функции с помощью производной.

1. Напишите уравнение такой касательной к графику функции ,

которая не пересекает прямую у = х

2. Придумайте функцию, у которой два минимума и ни одного максимума. Задайте её формулой, исследуйте и постройте график.

3. Составьте блок-схему для исследования функции с помощью производной.

1. Найдите все отрицательные a, для каждого из которых касательные к параболе              у = (х-1)2, проведенные через точку оси Oy с ординатой a высекают на оси Ox отрезок длины 4.

2. Придумайте непрерывную функцию, график которой будет иметь наклонную асимптоту, задаваемую уравнением у=0,5х-1. Опишите эту функцию своими свойствами.

3. Составьте блок-схему для исследования функции.

Алгоритм урока.

Этапы урока

Задачи

Время

Деятельность учащихся

Результаты работы педагогической системы

Качество (%)

(после урока)

Постановка целей урока

Определить цель и задачи урока

4 минуты

Ставят цели урока

Весь класс

Актуализация знаний

Повторить и закрепить основные теоретические знания и практические умения.

6 минут

Выполняют  задания, составленные с учётом уровня мотивации обучения путём фронтальной работы

Разноуровне-вая работа в группах

Содействовать формированию активной творческой личности, развивать мотивацию учащихся

15 минут

Решают в группе задания по уровням учебной мотивации

Весь класс

«Защита» решений

Развивать вариативное и критическое мышление, систему взаимооценки.

Проверить знания,  умения, навыки учащихся по данной теме

10 минут

По два представителя от группы защищают свои решения, а остальная часть класса оценивает их

Весь класс

Итог урока, рефлексия

Подвести итоги занятия и  участия в нём каждого ученика

5 минут

Оценивают себя по трём параметрам: активность, самостоятельность, самочувствие

Весь класс

Домашнее задание

Определить уровень ЗУН учеников при выполнении дифференци-рованного домашнего задания

Решают задания

Весь класс

6 

Ломакина                                                                                                                                                  Ульяновская область

Ирина                                                                                                                                                         МОУ СОШ № 11                        

Владимировна


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33760. Исполнение, новация и другие способы прекращения обязательств 17.24 KB
  Наиболее частым и нормальным способом прекращения обязательства является его исполнение Однако это имеет место если произведенное исполнение является надлежащим т. соответствует всем условиям самого обязательства и требованиям законодательства установленным для данного вида обязательств. Факт исполнения обязательства во взаимоотношениях предпринимателей обычно подтверждается составлением двустороннего акта приемки. Возможно частичное исполнение обязательства по предмету или сроку и тогда обязательство в соответствующей части...
33761. Понятие, значение и виды договоров 15.69 KB
  Понятие значение и виды договоров. Договор это соглашение двух или нескольких лиц об установлении изменении или прекращении гражданских прав и обязанностей. Значение договоров: договор одно из оснований возникновения гражданских прав и обязанностей; часто под договором понимается не просто юридический факт а само правоотношение возникающее из соглашения сторон; договор основной способ оформления отношений участников гражданского оборота; договоры опосрвдуют движение объектов гражданских прав от одних субъектов к...
33762. Содержание и форма договора 15.1 KB
  Содержание и форма договора. Содержание договора составляет совокупность согласованных сторонами условий. Среди условий договора необходимо выделять существенные условия. Существенными являются условия о предмете договора условия которые названы в законе или иных правовых актах как существенные или необходимые для договоров данного вида а также все те условия относительно которых по заявлению одной из сторон должно быть достигнуто соглашение ч.
33763. Основные и предварительные договоры. Договор присоединения 15.35 KB
  Основные и предварительные договоры. Договор присоединения. Основной договор непосредственно порождает права и обязанности сторон связанные с перемещением материальных благ: передачей имущества выполнением работ оказанием услуг и т. Предварительный договор это соглашение сторон о заключении основного договора в будущем.
33764. Свободные и обязательные договоры. Характеристика публичного договора 15.02 KB
  Заключение же обязательных договоров как это следует из самого их названия является обязательным для одной или обеих сторон. Обязательным участником публичного договора является коммерческая организация. При отсутствии хотя бы одного из указанных признаков договор не является публичным и рассматривается как свободный договор. Так если предприятие розничной торговли заключает с гражданином договор куплипродажи канцелярских товаров которыми торгует это предприятие то данный договор является публичным.
33765. Способы и порядок заключения гражданско-правовых договоров. Момент заключения договора 15.89 KB
  Способы и порядок заключения гражданскоправовых договоров. Момент заключения договора. Договор считается заключенным если между сторонами достигнуто соглашение по всем существенным условиям договора. Понуждение к заключению договора не допускается за исключением случаев когда обязанность заключить договор предусмотрена ГК законом или добровольно принятым обязательством.
33766. Заключение договора в обязательном порядке 15.54 KB
  Заключение договора в обязательном порядке. Указанный порядок применяется в тех случаях когда заключение договора является обязательным для одной из сторон в силу закона т. Заинтересованная в заключении договора сторона для которой его заключение не является обязательным направляет другой стороне для которой заключение договора обязательно проект договора. Сторона для которой заключение договора является обязательным должна в течение 30 дней со дня получения оферты рассмотреть ее и направить другой стороне: либо извещение об...
33767. Основания, порядок и правовые последствия изменения и расторжения договора 15.14 KB
  Основания порядок и правовые последствия изменения и расторжения договора. Основаниями для расторжения договора служат соглашение сторон существенное нарушение договора либо иные обстоятельства предусмотренные законом или договором. Одним из способов расторжения договора является его расторжение или изменение по соглашению сторон которое совершается в той же форме что и договор. Законодательством Предусмотрено такое расторжение или изменение: вопервых когда нарушены условия договора которые могут быть квалифицированы как...
33768. Понятие, виды и элементы договора купли-продажи 16.52 KB
  Понятие виды и элементы договора куплипродажи. Договор куплипродажи это договор по которому одна сторона продавец обязуется передать имущество другой покупателю уплатив за него определенную денежную сумму. Виды договора куплипродажи: розничная купляпродажа; поставка; поставка товаров для государственных нужд; контрактация; энергоснабжение; продажа недвижимости; продажа предприятия. Характеристика договора куплипродажи: консенсуальный возмездный взаимный.