55422

Арифметична й геометрична прогресії, їх означення та властивості. Формули n–го члена кожної прогресії

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мети уроку: ввести означення арифметичної й геометричної прогресій; працювати над засвоєнням учнями відповідної термінології різниці арифметичної прогресії та знаменника геометричної прогресії; рекурентної формули та характеристичних властивостей прогресій;

Украинкский

2014-03-25

57 KB

13 чел.

Алгебра - 9 клас

Тема уроку: Арифметична й геометрична прогресії, їх означення та властивості. Формули n – го члена кожної прогресії.

Мети уроку:

  •  ввести означення арифметичної й геометричної прогресій;
  •  працювати над засвоєнням учнями відповідної термінології (різниці арифметичної прогресії та знаменника геометричної прогресії; рекурентної формули та характеристичних властивостей прогресій);
  •  вивести формули n – го члена для кожної прогресії;
  •  формувати навички використання формул для розв’язування задач основного рівня;
  •  розвивати здатність установлювати залежності, визначати подібність і відмінність між обєктами;
  •  виховувати самостійність у вивченні нового матеріалу; культуру математичної мови.

Тип уроку: засвоєння нових знань, формування вмінь і навичок.

ХІД   УРОКУ

1. Організаційний момент.

2. Слово вчителя: Добрий день! Сьогодні ми з вами здійснимо захоплюючу подорож у країну ПРОГРЕСІЙ. На  шляху подорожі ми будемо зупинятися на різних станціях і виконувати всі запропоновані завдання з нової теми. Пропоную вам девізом нашої подорожі такі слова (написані на плакаті й висять над дошкою):

„У математиці варто памятати не формули,

а  процеси мислення”.

У подорожі по країні Прогресій  будуть допомагати учні вашого класу, які спеціально готувалися до сьогоднішнього уроку, мали випереджальні завдання з нової теми. Отже, щасливої дороги й міцних знань!

3. Етап актуалізації опорних знань.

Зупинка „Воруши мозком!”

* Перед вами кілька числових послідовностей. Вам необхідно продовжити кожну з них ще двома членами, але при цьому ви повинні усвідомити закон, за яким складена кожна з послідовностей:

1) 6, 8, 10...    2) 25, 21, 17…  3) –2, 4, –8…

4) –5, –7, –9...   5) 32, 16, 8…  6), , …

А тепер постарайтеся розділити ці послідовності в два стовпчики, сформулювавши загальний закон їхнього складання.

Зупинка „Теоретична”

*   Вводиться означення арифметичної й геометричної прогресій:

(підручник А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір. Алгебра 9 кл. – Харків, „Гімназія”, 2009):

ст. 220 – ар. пр.                 ст. 235 – геом. пр.

* Вводиться назва й означення різниці арифметичної й знаменника геометричної прогресій:

d = аn+1 – аn      q = bn+1: bn

Для записаних у зошитах прогресій назвіть різницю й знаменник.

* Вводиться поняття рекурентного способу задання прогресій (за підручником). Розгляд прикладів (ст. 221, 236). Наведіть свої приклади.

*    Вивід формули n – го члена прогресій.

Ар. пр.:       Геом. пр.:

а2 = а1 + d       b2 = b1q

a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d   b3 = b2q = (b1q)q = b1q2

a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d   b4 = b3q =(b1q2)q = b1q3

a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d   b5 = b4q = (b1q3)q = b1q4

a6 = a1 + 5d       b6 = b1q5

...........................................................   ...........................................

an = a1 + d (n – 1)      bn =  b1 · qn-1  

*   Формулюється характеристична властивість кожної прогресії.

Для арифметичної:

Для геометричної:

Будь-який член ар. пр., крім першого (і останнього у випадку кінцевої ар.пр.), дорівнює середньому ариф-метичному двох сусідніх із ним членів:

    an = (аn-1 + an+1): 2

Квадрат будь-якого члена геом. пр., крім першого (і останнього у випадку кінцевої геом. пр.), дорівнює добутку двох сусідніх із ним членів:

      bn2 =  bn-1 · bn+1

Зупинка „Логіка плюс мислення”

* Завдання: нескінченна послідовність (an): –3; –1,5; 0; … є ар. пр.

Побудуйте графік цієї послідовності для 1 ≤ n ≤ 6.

Напишіть рівняння прямої, на якій розташовані точки графіка цієї послідовності.

Розв’язання:

Знайдемо різницю ар. пр і її члени а4, а5, а6.

d = –1,5 – (–3) = 1,5;

а4 = 0 + 1,5 = 1,5;

а5 = 1,5 + 1,5 = 3;

а6 = 3 + 1,5 = 4,5.

У координатній площині будуємо точки:

(1;–3), (2; –1,5), (3;0), (4;1,5), (5;3), (6;4,5).

За формулою n – го члена знаходимо:

an = –3 + 1,5 (n – 1) = 1,5n – 4,5

an =1,5n – 4,5 – це рівняння прямої, на якій розташовані точки графіка даної послідовності.

Висновок: послідовність (an), що задана формулою виду an= kn + b, де k і b – деякі числа, є арифметичною прогресією.

Зупинка „Історична”

* Коротка довідка про поняття „прогресія” (Глейзер Г.И. История математики в школе,  Москва, «Просвещение». 1982).

4. Етап формування навичок і вмінь.

Зупинка „Практична”

* усні вправи  №№ 663, 670, 767, 770( 1,2);

* письмові вправи з коментуванням  №№ 665, 667, 768.

Зупинка „Математичні терміни”

* За 1 хвилину потрібно написати найбільшу кількість математичних термінів, які починаються з букв слова «прогресія» (наприклад, площа, периметр, різниця, радіус, ромб, об'єм, одиниця, гіпербола, градус, графік, ступінь, сума)

Зупинка „Хто більше?” (робота в групах по 4 учні)

* Використовуючи наступні дані, скласти опорні задачі з даної теми, використовуючи формулу n – го члена прогресій:

1) а1 = 5, а2 = 7, d = 2, an = 19, n = 8;

2) b1 = 5, b2 = 25, q = 5, bn = 625, n = 4.

Типи задач:

  •  Означення арифметичної (геометричної) прогресії, різниця (знаменник) даної прогресії.
  •  Застосування формули n – го члена для знаходження  довільного  члена даної прогресії.
  •  Застосування формули n – го члена для знаходження першого члена даної прогресії.
  •  Застосування формули n – го члена для знаходження номера  члена даної прогресії.

Зупинка „Навчаючи – вчуся!”

(працюють учні, що одержали випереджальне завдання додому).

Задача 1. Довжини сторін прямокутного трикутника є послідовними членами арифметичної прогресії з різницею d см. Знайдіть три трійки чисел, що виражають довжини сторін цього трикутника.

Розв’язання:

Нехай х (см) – довжина меншого катета; (х + d) см – довжина іншого катета;

(х + 2d) см – довжина гіпотенузи.

За т. Піфагора:  (х + 2d)2 = х2 + (х + d)2.

Розв’язуючи  дане рівняння, прийдемо до наступного: х2 – 2хd – 3d = 0;

х1 = 3d;      х2 = –d – не задовольняє умові задачі.

Нехай d = 1, тоді довжини сторін трикутника дорівнюють 3, 4, 5 см.

Нехай d = 2, тоді довжини сторін дорівнюють 6, 8, 10 см.

Нехай d = 3, тоді довжини сторін дорівнюють 9, 12, 15 см.

Задача 2. Периметр трикутника дорівнює 111 см, а довжина найменшої сторони 27 см. Знайти довжини двох інших сторін цього трикутника, якщо відомо, що довжини сторін трикутника являють собою послідовні члени геометричної прогресії.

Розв’язання:

Нехай довжини сторін трикутника – члени геометричної прогресії зі знаменником q, тоді друга сторона дорівнює ( 27q) см, а третя – ( 27q2) см.

Р = 27 + 27q + 27q2  або 111 см.

Складемо й розв’яжемо  рівняння:

27 + 27q + 27q2 = 111;

9q2 + 9q – 28 = 0;

q1 = ; q2 = – –  не задовольняє умові задачі.

Отже, в2 = 27 ·  = 36 (см), в3 = 36 · = 48 (cм).

5.Етап підведення підсумків уроку

* (у формі математичного бою „Ми –  вам, ви – нам”):

учні класу задають питання один одному з теорії уроку (можна користуватися підручником ст.222, 240).

* Оцінювання учнів.

6.Завдання додому:  прочитати теоретичний матеріал пп.21, 23;

     вивчити конспект;

    виконати №№ 666, 673, 775, 778.

PAGE  4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42204. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 751 KB
  Ознакомление с пакетом прикладных программ SIMULINK и основными приемами моделирования линейных динамических систем. К занятию допускаются студенты составившие схемы моделирования заданных динамических систем см.1 могут быть составлены схемы моделирования уравнений 1. Для составления схемы моделирования дифференциальных уравнений 1.
42205. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 181.26 KB
  Математическая модель одной и той же линейной динамической системы может быть представлена в различных формах: в форме скалярного дифференциального уравнения -го порядка (модель вход-выход) или в форме системы из дифференциальных уравнений 1-го порядка (модель вход-состояние-выход). Следовательно, между различными формами представления математических моделей существует определенная взаимосвязь, т.е. модель вход-состояние-выход может быть преобразована к модели вход-выход и наоборот.
42206. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ 215.45 KB
  Теоретические сведения. В ряде задач анализа и синтеза систем управления требуется построить дифференциальное уравнение по известному частному решению, заданному в виде функции времени. Такая задача возникает, например, при построении динамических моделей внешних воздействий (так называемых, командных генераторов) — сигналов задания и возмущений. Особо отметим, что, в известном смысле, данная задача является обратной по отношению к задаче нахождения решения дифференциального уравнения (см. лабораторную работу № 1)
42207. ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ 512 KB
  Интегрирующее звено интегратор описывается дифференциальным уравнением: или где коэффициент усиления а его переходная функция . Интегрирующее звено с замедлением описывается дифференциальным уравнением: или где постоянная времени а его переходная функция . Изодромное звено описывается дифференциальным уравнением: или а его переходная функция . Реальное дифференцирующее звено описывается дифференциальным уравнением или а его переходная функция .
42208. СВОБОДНОЕ И ВЫНУЖДЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 1.3 MB
  Свободная составляющая описывает движение системы при отсутствии воздействия на систему со стороны окружающей среды автономной системы и обусловлено ее состоянием в начальный момент времени. Вынужденная составляющая представляет собой реакцию системы на входное воздействие и не зависит от ее начального состояния.1 где входное воздействие выход системы параметры системы. Переменные состояния рассматриваемой системы могут быть определены как .
42209. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 1.64 MB
  Изучить связь характера переходной характеристики динамических свойств системы с размещением на комплексной плоскости нулей и полюсов. Корни характеристического полинома системы полюса системы 6.2 где комплексная переменная определяют характер переходной функции системы с установившимся значением а следовательно и такие динамические показатели как время переходного процесса и перерегулирование . Полиномы Баттерворта для различного порядка системы n полином Баттерворта 1 2 3 4 5 6 6.
42210. АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 334.3 KB
  Теоретические сведения. Точность работы любой системы управления наиболее полно характеризуется мгновенным значением ошибки слежения, равной разности между требуемым и действительным значениями регулируемой переменной Однако в большинстве задач управления реальными объектами задающие и возмущающие воздействия заранее точно неизвестны и, следовательно, определить заранее величину для всех моментов времени не представляется возможным.
42211. ПРИМЕНЕНИЕ СИМПЛЕКС-МЕТОДА ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ ПЛАНА ПРОИЗВОДСТВА (НА ПРИМЕРЕ НЭРЗ) 349 KB
  Всякая модель реального процесса предполагает идеализацию и абстракцию, но они не должны уходить слишком далеко от содержания задачи, чтобы построенная модель не утратила существенных черт моделируемого объекта, т. е. была ему адекватна.
42212. Система математических расчётов Mathcad 508 KB
  Методические указания предназначены для самостоятельного освоения работы с современным математическим пакетом Mathcad, входящим в программу курса. Предлагаемое пособие позволит не только освоить основные операции пакета Mathcad, но и познакомит с основными методами математического анализа.