55422

Арифметична й геометрична прогресії, їх означення та властивості. Формули n–го члена кожної прогресії

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мети уроку: ввести означення арифметичної й геометричної прогресій; працювати над засвоєнням учнями відповідної термінології різниці арифметичної прогресії та знаменника геометричної прогресії; рекурентної формули та характеристичних властивостей прогресій;

Украинкский

2014-03-25

57 KB

13 чел.

Алгебра - 9 клас

Тема уроку: Арифметична й геометрична прогресії, їх означення та властивості. Формули n – го члена кожної прогресії.

Мети уроку:

  •  ввести означення арифметичної й геометричної прогресій;
  •  працювати над засвоєнням учнями відповідної термінології (різниці арифметичної прогресії та знаменника геометричної прогресії; рекурентної формули та характеристичних властивостей прогресій);
  •  вивести формули n – го члена для кожної прогресії;
  •  формувати навички використання формул для розв’язування задач основного рівня;
  •  розвивати здатність установлювати залежності, визначати подібність і відмінність між обєктами;
  •  виховувати самостійність у вивченні нового матеріалу; культуру математичної мови.

Тип уроку: засвоєння нових знань, формування вмінь і навичок.

ХІД   УРОКУ

1. Організаційний момент.

2. Слово вчителя: Добрий день! Сьогодні ми з вами здійснимо захоплюючу подорож у країну ПРОГРЕСІЙ. На  шляху подорожі ми будемо зупинятися на різних станціях і виконувати всі запропоновані завдання з нової теми. Пропоную вам девізом нашої подорожі такі слова (написані на плакаті й висять над дошкою):

„У математиці варто памятати не формули,

а  процеси мислення”.

У подорожі по країні Прогресій  будуть допомагати учні вашого класу, які спеціально готувалися до сьогоднішнього уроку, мали випереджальні завдання з нової теми. Отже, щасливої дороги й міцних знань!

3. Етап актуалізації опорних знань.

Зупинка „Воруши мозком!”

* Перед вами кілька числових послідовностей. Вам необхідно продовжити кожну з них ще двома членами, але при цьому ви повинні усвідомити закон, за яким складена кожна з послідовностей:

1) 6, 8, 10...    2) 25, 21, 17…  3) –2, 4, –8…

4) –5, –7, –9...   5) 32, 16, 8…  6), , …

А тепер постарайтеся розділити ці послідовності в два стовпчики, сформулювавши загальний закон їхнього складання.

Зупинка „Теоретична”

*   Вводиться означення арифметичної й геометричної прогресій:

(підручник А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір. Алгебра 9 кл. – Харків, „Гімназія”, 2009):

ст. 220 – ар. пр.                 ст. 235 – геом. пр.

* Вводиться назва й означення різниці арифметичної й знаменника геометричної прогресій:

d = аn+1 – аn      q = bn+1: bn

Для записаних у зошитах прогресій назвіть різницю й знаменник.

* Вводиться поняття рекурентного способу задання прогресій (за підручником). Розгляд прикладів (ст. 221, 236). Наведіть свої приклади.

*    Вивід формули n – го члена прогресій.

Ар. пр.:       Геом. пр.:

а2 = а1 + d       b2 = b1q

a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d   b3 = b2q = (b1q)q = b1q2

a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d   b4 = b3q =(b1q2)q = b1q3

a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d   b5 = b4q = (b1q3)q = b1q4

a6 = a1 + 5d       b6 = b1q5

...........................................................   ...........................................

an = a1 + d (n – 1)      bn =  b1 · qn-1  

*   Формулюється характеристична властивість кожної прогресії.

Для арифметичної:

Для геометричної:

Будь-який член ар. пр., крім першого (і останнього у випадку кінцевої ар.пр.), дорівнює середньому ариф-метичному двох сусідніх із ним членів:

    an = (аn-1 + an+1): 2

Квадрат будь-якого члена геом. пр., крім першого (і останнього у випадку кінцевої геом. пр.), дорівнює добутку двох сусідніх із ним членів:

      bn2 =  bn-1 · bn+1

Зупинка „Логіка плюс мислення”

* Завдання: нескінченна послідовність (an): –3; –1,5; 0; … є ар. пр.

Побудуйте графік цієї послідовності для 1 ≤ n ≤ 6.

Напишіть рівняння прямої, на якій розташовані точки графіка цієї послідовності.

Розв’язання:

Знайдемо різницю ар. пр і її члени а4, а5, а6.

d = –1,5 – (–3) = 1,5;

а4 = 0 + 1,5 = 1,5;

а5 = 1,5 + 1,5 = 3;

а6 = 3 + 1,5 = 4,5.

У координатній площині будуємо точки:

(1;–3), (2; –1,5), (3;0), (4;1,5), (5;3), (6;4,5).

За формулою n – го члена знаходимо:

an = –3 + 1,5 (n – 1) = 1,5n – 4,5

an =1,5n – 4,5 – це рівняння прямої, на якій розташовані точки графіка даної послідовності.

Висновок: послідовність (an), що задана формулою виду an= kn + b, де k і b – деякі числа, є арифметичною прогресією.

Зупинка „Історична”

* Коротка довідка про поняття „прогресія” (Глейзер Г.И. История математики в школе,  Москва, «Просвещение». 1982).

4. Етап формування навичок і вмінь.

Зупинка „Практична”

* усні вправи  №№ 663, 670, 767, 770( 1,2);

* письмові вправи з коментуванням  №№ 665, 667, 768.

Зупинка „Математичні терміни”

* За 1 хвилину потрібно написати найбільшу кількість математичних термінів, які починаються з букв слова «прогресія» (наприклад, площа, периметр, різниця, радіус, ромб, об'єм, одиниця, гіпербола, градус, графік, ступінь, сума)

Зупинка „Хто більше?” (робота в групах по 4 учні)

* Використовуючи наступні дані, скласти опорні задачі з даної теми, використовуючи формулу n – го члена прогресій:

1) а1 = 5, а2 = 7, d = 2, an = 19, n = 8;

2) b1 = 5, b2 = 25, q = 5, bn = 625, n = 4.

Типи задач:

  •  Означення арифметичної (геометричної) прогресії, різниця (знаменник) даної прогресії.
  •  Застосування формули n – го члена для знаходження  довільного  члена даної прогресії.
  •  Застосування формули n – го члена для знаходження першого члена даної прогресії.
  •  Застосування формули n – го члена для знаходження номера  члена даної прогресії.

Зупинка „Навчаючи – вчуся!”

(працюють учні, що одержали випереджальне завдання додому).

Задача 1. Довжини сторін прямокутного трикутника є послідовними членами арифметичної прогресії з різницею d см. Знайдіть три трійки чисел, що виражають довжини сторін цього трикутника.

Розв’язання:

Нехай х (см) – довжина меншого катета; (х + d) см – довжина іншого катета;

(х + 2d) см – довжина гіпотенузи.

За т. Піфагора:  (х + 2d)2 = х2 + (х + d)2.

Розв’язуючи  дане рівняння, прийдемо до наступного: х2 – 2хd – 3d = 0;

х1 = 3d;      х2 = –d – не задовольняє умові задачі.

Нехай d = 1, тоді довжини сторін трикутника дорівнюють 3, 4, 5 см.

Нехай d = 2, тоді довжини сторін дорівнюють 6, 8, 10 см.

Нехай d = 3, тоді довжини сторін дорівнюють 9, 12, 15 см.

Задача 2. Периметр трикутника дорівнює 111 см, а довжина найменшої сторони 27 см. Знайти довжини двох інших сторін цього трикутника, якщо відомо, що довжини сторін трикутника являють собою послідовні члени геометричної прогресії.

Розв’язання:

Нехай довжини сторін трикутника – члени геометричної прогресії зі знаменником q, тоді друга сторона дорівнює ( 27q) см, а третя – ( 27q2) см.

Р = 27 + 27q + 27q2  або 111 см.

Складемо й розв’яжемо  рівняння:

27 + 27q + 27q2 = 111;

9q2 + 9q – 28 = 0;

q1 = ; q2 = – –  не задовольняє умові задачі.

Отже, в2 = 27 ·  = 36 (см), в3 = 36 · = 48 (cм).

5.Етап підведення підсумків уроку

* (у формі математичного бою „Ми –  вам, ви – нам”):

учні класу задають питання один одному з теорії уроку (можна користуватися підручником ст.222, 240).

* Оцінювання учнів.

6.Завдання додому:  прочитати теоретичний матеріал пп.21, 23;

     вивчити конспект;

    виконати №№ 666, 673, 775, 778.

PAGE  4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2769. Применение закона Ома к цепям переменного тока 69 KB
  Применение закона Ома к цепям переменного тока Вариант лабораторной работы №324-дубль отличается от предыдущей иной формой представления результатов. По этой причине в описании отсутствует Введение – оно является общим для обоих вариантов....
2770. Мощность и коэффициент мощности в цепях переменного тока 287.5 KB
  Мощность и коэффициент мощности в цепях переменного тока Приборы и принадлежности: регулятор напряжения РНШ, проволочный реостат, магазин емкостей, катушка переменной индуктивности, амперметр, вольтметр, ваттметр. Введение. Пусть к клеммам источника...
2771. Вынужденные электрические колебания 114 KB
  Вынужденные электрические колебания Приборы и принадлежности: лабораторная панель Колебательный контур, генератор сигналов низкочастотный Г3-120, вольтметр В7-38, осциллограф С1-94. Введение. Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из резистора с...
2772. Электронный осциллограф: устройство и применение 453 KB
  Электронный осциллограф. устройство и применение Приборы и принадлежности. осциллограф С1-1, понижающий трансформатор 220/127 В, реостат, вольтметр, миллиамперметр, магазин сопротивлений, лабораторная панель. Введение. Электронный осциллограф предна...
2773. Сложение электрических колебаний 374 KB
  Сложение электрических колебаний Приборы и принадлежности: лабораторная панель с генератором фиксированных частот, магазином сопротивлений Р-33 и реактивной нагрузкой, генератор Г3-120, фазометр Ф2-1, осциллограф С1-94. Осциллографический метод...
2774. Затухающие электрические колебания в колебательном контуре 181.5 KB
  Затухающие электрические колебания в колебательном контуре Приборы и принадлежности: лабораторная панель «Затухающие колебания», источник постоянного тока, осциллограф, магазин сопротивлений. Введение. Замкнутая электрическая цепь, состоящая ...
2775. Исследование и применение зеркального гальванометра 236 KB
  Исследование и применение зеркального гальванометра Приборы и принадлежности: гальванометр М17, лабораторная панель, длинный соленоид, катушка на вращающейся подставке. Введение. Гальванометр – это электроизмерительный прибор высокой чувствител...
2776. Измерение индукции магнитного поля электромагнита 57 KB
  Измерение индукции магнитного поля электромагнита Приборы и принадлежности: электромагнит, весы Ампера, разновес, два стабилизированных источника постоянного тока. Введение. Согласно закону Ампера на элемент тока  в магнитном поле действует сил...
2777. Изучение эффекта холла в полупроводниках 138.5 KB
  Изучение эффекта холла в полупроводниках Приборы и принадлежности: датчик Холла, электромагнит, два источника питания постоянного тока, милливеберметр, миллиамперметр, цифровой вольтметр. Введение. Одним из наиболее интересных гальваномагнитных явле...