55422

Арифметична й геометрична прогресії, їх означення та властивості. Формули n–го члена кожної прогресії

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мети уроку: ввести означення арифметичної й геометричної прогресій; працювати над засвоєнням учнями відповідної термінології різниці арифметичної прогресії та знаменника геометричної прогресії; рекурентної формули та характеристичних властивостей прогресій;

Украинкский

2014-03-25

57 KB

14 чел.

Алгебра - 9 клас

Тема уроку: Арифметична й геометрична прогресії, їх означення та властивості. Формули n – го члена кожної прогресії.

Мети уроку:

  •  ввести означення арифметичної й геометричної прогресій;
  •  працювати над засвоєнням учнями відповідної термінології (різниці арифметичної прогресії та знаменника геометричної прогресії; рекурентної формули та характеристичних властивостей прогресій);
  •  вивести формули n – го члена для кожної прогресії;
  •  формувати навички використання формул для розв’язування задач основного рівня;
  •  розвивати здатність установлювати залежності, визначати подібність і відмінність між обєктами;
  •  виховувати самостійність у вивченні нового матеріалу; культуру математичної мови.

Тип уроку: засвоєння нових знань, формування вмінь і навичок.

ХІД   УРОКУ

1. Організаційний момент.

2. Слово вчителя: Добрий день! Сьогодні ми з вами здійснимо захоплюючу подорож у країну ПРОГРЕСІЙ. На  шляху подорожі ми будемо зупинятися на різних станціях і виконувати всі запропоновані завдання з нової теми. Пропоную вам девізом нашої подорожі такі слова (написані на плакаті й висять над дошкою):

„У математиці варто памятати не формули,

а  процеси мислення”.

У подорожі по країні Прогресій  будуть допомагати учні вашого класу, які спеціально готувалися до сьогоднішнього уроку, мали випереджальні завдання з нової теми. Отже, щасливої дороги й міцних знань!

3. Етап актуалізації опорних знань.

Зупинка „Воруши мозком!”

* Перед вами кілька числових послідовностей. Вам необхідно продовжити кожну з них ще двома членами, але при цьому ви повинні усвідомити закон, за яким складена кожна з послідовностей:

1) 6, 8, 10...    2) 25, 21, 17…  3) –2, 4, –8…

4) –5, –7, –9...   5) 32, 16, 8…  6), , …

А тепер постарайтеся розділити ці послідовності в два стовпчики, сформулювавши загальний закон їхнього складання.

Зупинка „Теоретична”

*   Вводиться означення арифметичної й геометричної прогресій:

(підручник А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір. Алгебра 9 кл. – Харків, „Гімназія”, 2009):

ст. 220 – ар. пр.                 ст. 235 – геом. пр.

* Вводиться назва й означення різниці арифметичної й знаменника геометричної прогресій:

d = аn+1 – аn      q = bn+1: bn

Для записаних у зошитах прогресій назвіть різницю й знаменник.

* Вводиться поняття рекурентного способу задання прогресій (за підручником). Розгляд прикладів (ст. 221, 236). Наведіть свої приклади.

*    Вивід формули n – го члена прогресій.

Ар. пр.:       Геом. пр.:

а2 = а1 + d       b2 = b1q

a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d   b3 = b2q = (b1q)q = b1q2

a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d   b4 = b3q =(b1q2)q = b1q3

a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d   b5 = b4q = (b1q3)q = b1q4

a6 = a1 + 5d       b6 = b1q5

...........................................................   ...........................................

an = a1 + d (n – 1)      bn =  b1 · qn-1  

*   Формулюється характеристична властивість кожної прогресії.

Для арифметичної:

Для геометричної:

Будь-який член ар. пр., крім першого (і останнього у випадку кінцевої ар.пр.), дорівнює середньому ариф-метичному двох сусідніх із ним членів:

    an = (аn-1 + an+1): 2

Квадрат будь-якого члена геом. пр., крім першого (і останнього у випадку кінцевої геом. пр.), дорівнює добутку двох сусідніх із ним членів:

      bn2 =  bn-1 · bn+1

Зупинка „Логіка плюс мислення”

* Завдання: нескінченна послідовність (an): –3; –1,5; 0; … є ар. пр.

Побудуйте графік цієї послідовності для 1 ≤ n ≤ 6.

Напишіть рівняння прямої, на якій розташовані точки графіка цієї послідовності.

Розв’язання:

Знайдемо різницю ар. пр і її члени а4, а5, а6.

d = –1,5 – (–3) = 1,5;

а4 = 0 + 1,5 = 1,5;

а5 = 1,5 + 1,5 = 3;

а6 = 3 + 1,5 = 4,5.

У координатній площині будуємо точки:

(1;–3), (2; –1,5), (3;0), (4;1,5), (5;3), (6;4,5).

За формулою n – го члена знаходимо:

an = –3 + 1,5 (n – 1) = 1,5n – 4,5

an =1,5n – 4,5 – це рівняння прямої, на якій розташовані точки графіка даної послідовності.

Висновок: послідовність (an), що задана формулою виду an= kn + b, де k і b – деякі числа, є арифметичною прогресією.

Зупинка „Історична”

* Коротка довідка про поняття „прогресія” (Глейзер Г.И. История математики в школе,  Москва, «Просвещение». 1982).

4. Етап формування навичок і вмінь.

Зупинка „Практична”

* усні вправи  №№ 663, 670, 767, 770( 1,2);

* письмові вправи з коментуванням  №№ 665, 667, 768.

Зупинка „Математичні терміни”

* За 1 хвилину потрібно написати найбільшу кількість математичних термінів, які починаються з букв слова «прогресія» (наприклад, площа, периметр, різниця, радіус, ромб, об'єм, одиниця, гіпербола, градус, графік, ступінь, сума)

Зупинка „Хто більше?” (робота в групах по 4 учні)

* Використовуючи наступні дані, скласти опорні задачі з даної теми, використовуючи формулу n – го члена прогресій:

1) а1 = 5, а2 = 7, d = 2, an = 19, n = 8;

2) b1 = 5, b2 = 25, q = 5, bn = 625, n = 4.

Типи задач:

  •  Означення арифметичної (геометричної) прогресії, різниця (знаменник) даної прогресії.
  •  Застосування формули n – го члена для знаходження  довільного  члена даної прогресії.
  •  Застосування формули n – го члена для знаходження першого члена даної прогресії.
  •  Застосування формули n – го члена для знаходження номера  члена даної прогресії.

Зупинка „Навчаючи – вчуся!”

(працюють учні, що одержали випереджальне завдання додому).

Задача 1. Довжини сторін прямокутного трикутника є послідовними членами арифметичної прогресії з різницею d см. Знайдіть три трійки чисел, що виражають довжини сторін цього трикутника.

Розв’язання:

Нехай х (см) – довжина меншого катета; (х + d) см – довжина іншого катета;

(х + 2d) см – довжина гіпотенузи.

За т. Піфагора:  (х + 2d)2 = х2 + (х + d)2.

Розв’язуючи  дане рівняння, прийдемо до наступного: х2 – 2хd – 3d = 0;

х1 = 3d;      х2 = –d – не задовольняє умові задачі.

Нехай d = 1, тоді довжини сторін трикутника дорівнюють 3, 4, 5 см.

Нехай d = 2, тоді довжини сторін дорівнюють 6, 8, 10 см.

Нехай d = 3, тоді довжини сторін дорівнюють 9, 12, 15 см.

Задача 2. Периметр трикутника дорівнює 111 см, а довжина найменшої сторони 27 см. Знайти довжини двох інших сторін цього трикутника, якщо відомо, що довжини сторін трикутника являють собою послідовні члени геометричної прогресії.

Розв’язання:

Нехай довжини сторін трикутника – члени геометричної прогресії зі знаменником q, тоді друга сторона дорівнює ( 27q) см, а третя – ( 27q2) см.

Р = 27 + 27q + 27q2  або 111 см.

Складемо й розв’яжемо  рівняння:

27 + 27q + 27q2 = 111;

9q2 + 9q – 28 = 0;

q1 = ; q2 = – –  не задовольняє умові задачі.

Отже, в2 = 27 ·  = 36 (см), в3 = 36 · = 48 (cм).

5.Етап підведення підсумків уроку

* (у формі математичного бою „Ми –  вам, ви – нам”):

учні класу задають питання один одному з теорії уроку (можна користуватися підручником ст.222, 240).

* Оцінювання учнів.

6.Завдання додому:  прочитати теоретичний матеріал пп.21, 23;

     вивчити конспект;

    виконати №№ 666, 673, 775, 778.

PAGE  4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4143. Приклад обєктно-орієнтованої розробки 93.5 KB
  Початок Віконний інтерфейс користувача(WUІ) - середовище, кероване подіями. Дії в середовищі ініціюються функціями зворотного виклику, що викликаються у відповідь на подію - користувальницьке введення. Ядром WUІ є цикл обробки подій, що організуєтьс...
4144. Дослідження електричного поля 175.5 KB
  Дослідження електричного поля Мета роботи. Провести експериментальне дослідження електричного поля простої геометричної форми отримати графічну схему розподілу силових лiнiй та лiнiй однакового потенціалу за допомогою електричного зонду...
4145. Вивчення прямого центрального пружного удару 137 KB
  Вивчення прямого центрального пружного удару Мета роботи. Перевірити закони збереження імпульсу та енергії. Теоретичні відомості. Імпульсом тіла називаєтьсявекторна величина, яка дорівнює добутку маси тіла на вектор його швидкості...
4146. Открытие миру японского кино: Куросава Акиро 114 KB
  Открытие миру японского кино Куросава Акиро Япония, которая с большим отставанием от многих других стран начала приобщаться к мировому культурному процессу лишь с конца XIX в., с кинематографом познакомилась почти одновременно с Европой и Америкой....
4147. Методика проведення гурткової роботи з трудового навчання. Гурткова робота - організація та планування 40.27 KB
  Методика проведення гурткової роботи з трудового навчання Гурткова робота - організація та планування Праця та людина невіддільні одне від одного. У період перебудови загальноосвітньої школи не тільки розгорнулися пошуки нових методів і прийомів нав...
4148. Визначення основних параметрів однофазного випрямляча, що працює від мережі змінного струму із ступінчатою формою напруги 399 KB
  Розрахунково-графічна робота з курсу: Енергетична електроніка на тему Визначення основних параметрів однофазного випрямляча, що працює від мережі змінного струму із ступінчатою формою напруги...
4149. Розклад числа на прості множники 97.5 KB
  Розклад числа на прості множники Означення. Розкладом натурального числа nна прості множники (факторизацією числа) називається представлення його у вигляді взаємно прості числа, ki...
4150. Эффект Холла в германиевом полупроводнике n-типа 677.5 KB
  Эффект Холла в германиевом полупроводнике n-типа Цель роботы: Установить зависимость напряжения Холла при комнатной температуре и постоянном магнитном поле от управляющего тока и построить график. Измерить зависимость напряжения в образце при комнат...
4151. Метод балансовой увязки. Методы линейного и динамического программирования 113 KB
  Вопрос 1. Метод балансовой увязки и графический метод и их применение в экономическом анализе В экономическом анализе используются различные балансовые сопоставления и увязки. Например, сопоставляется товарный баланс для определения суммы реализации...