55422

Арифметична й геометрична прогресії, їх означення та властивості. Формули n–го члена кожної прогресії

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мети уроку: ввести означення арифметичної й геометричної прогресій; працювати над засвоєнням учнями відповідної термінології різниці арифметичної прогресії та знаменника геометричної прогресії; рекурентної формули та характеристичних властивостей прогресій;

Украинкский

2014-03-25

57 KB

13 чел.

Алгебра - 9 клас

Тема уроку: Арифметична й геометрична прогресії, їх означення та властивості. Формули n – го члена кожної прогресії.

Мети уроку:

  •  ввести означення арифметичної й геометричної прогресій;
  •  працювати над засвоєнням учнями відповідної термінології (різниці арифметичної прогресії та знаменника геометричної прогресії; рекурентної формули та характеристичних властивостей прогресій);
  •  вивести формули n – го члена для кожної прогресії;
  •  формувати навички використання формул для розв’язування задач основного рівня;
  •  розвивати здатність установлювати залежності, визначати подібність і відмінність між обєктами;
  •  виховувати самостійність у вивченні нового матеріалу; культуру математичної мови.

Тип уроку: засвоєння нових знань, формування вмінь і навичок.

ХІД   УРОКУ

1. Організаційний момент.

2. Слово вчителя: Добрий день! Сьогодні ми з вами здійснимо захоплюючу подорож у країну ПРОГРЕСІЙ. На  шляху подорожі ми будемо зупинятися на різних станціях і виконувати всі запропоновані завдання з нової теми. Пропоную вам девізом нашої подорожі такі слова (написані на плакаті й висять над дошкою):

„У математиці варто памятати не формули,

а  процеси мислення”.

У подорожі по країні Прогресій  будуть допомагати учні вашого класу, які спеціально готувалися до сьогоднішнього уроку, мали випереджальні завдання з нової теми. Отже, щасливої дороги й міцних знань!

3. Етап актуалізації опорних знань.

Зупинка „Воруши мозком!”

* Перед вами кілька числових послідовностей. Вам необхідно продовжити кожну з них ще двома членами, але при цьому ви повинні усвідомити закон, за яким складена кожна з послідовностей:

1) 6, 8, 10...    2) 25, 21, 17…  3) –2, 4, –8…

4) –5, –7, –9...   5) 32, 16, 8…  6), , …

А тепер постарайтеся розділити ці послідовності в два стовпчики, сформулювавши загальний закон їхнього складання.

Зупинка „Теоретична”

*   Вводиться означення арифметичної й геометричної прогресій:

(підручник А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір. Алгебра 9 кл. – Харків, „Гімназія”, 2009):

ст. 220 – ар. пр.                 ст. 235 – геом. пр.

* Вводиться назва й означення різниці арифметичної й знаменника геометричної прогресій:

d = аn+1 – аn      q = bn+1: bn

Для записаних у зошитах прогресій назвіть різницю й знаменник.

* Вводиться поняття рекурентного способу задання прогресій (за підручником). Розгляд прикладів (ст. 221, 236). Наведіть свої приклади.

*    Вивід формули n – го члена прогресій.

Ар. пр.:       Геом. пр.:

а2 = а1 + d       b2 = b1q

a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d   b3 = b2q = (b1q)q = b1q2

a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d   b4 = b3q =(b1q2)q = b1q3

a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d   b5 = b4q = (b1q3)q = b1q4

a6 = a1 + 5d       b6 = b1q5

...........................................................   ...........................................

an = a1 + d (n – 1)      bn =  b1 · qn-1  

*   Формулюється характеристична властивість кожної прогресії.

Для арифметичної:

Для геометричної:

Будь-який член ар. пр., крім першого (і останнього у випадку кінцевої ар.пр.), дорівнює середньому ариф-метичному двох сусідніх із ним членів:

    an = (аn-1 + an+1): 2

Квадрат будь-якого члена геом. пр., крім першого (і останнього у випадку кінцевої геом. пр.), дорівнює добутку двох сусідніх із ним членів:

      bn2 =  bn-1 · bn+1

Зупинка „Логіка плюс мислення”

* Завдання: нескінченна послідовність (an): –3; –1,5; 0; … є ар. пр.

Побудуйте графік цієї послідовності для 1 ≤ n ≤ 6.

Напишіть рівняння прямої, на якій розташовані точки графіка цієї послідовності.

Розв’язання:

Знайдемо різницю ар. пр і її члени а4, а5, а6.

d = –1,5 – (–3) = 1,5;

а4 = 0 + 1,5 = 1,5;

а5 = 1,5 + 1,5 = 3;

а6 = 3 + 1,5 = 4,5.

У координатній площині будуємо точки:

(1;–3), (2; –1,5), (3;0), (4;1,5), (5;3), (6;4,5).

За формулою n – го члена знаходимо:

an = –3 + 1,5 (n – 1) = 1,5n – 4,5

an =1,5n – 4,5 – це рівняння прямої, на якій розташовані точки графіка даної послідовності.

Висновок: послідовність (an), що задана формулою виду an= kn + b, де k і b – деякі числа, є арифметичною прогресією.

Зупинка „Історична”

* Коротка довідка про поняття „прогресія” (Глейзер Г.И. История математики в школе,  Москва, «Просвещение». 1982).

4. Етап формування навичок і вмінь.

Зупинка „Практична”

* усні вправи  №№ 663, 670, 767, 770( 1,2);

* письмові вправи з коментуванням  №№ 665, 667, 768.

Зупинка „Математичні терміни”

* За 1 хвилину потрібно написати найбільшу кількість математичних термінів, які починаються з букв слова «прогресія» (наприклад, площа, периметр, різниця, радіус, ромб, об'єм, одиниця, гіпербола, градус, графік, ступінь, сума)

Зупинка „Хто більше?” (робота в групах по 4 учні)

* Використовуючи наступні дані, скласти опорні задачі з даної теми, використовуючи формулу n – го члена прогресій:

1) а1 = 5, а2 = 7, d = 2, an = 19, n = 8;

2) b1 = 5, b2 = 25, q = 5, bn = 625, n = 4.

Типи задач:

  •  Означення арифметичної (геометричної) прогресії, різниця (знаменник) даної прогресії.
  •  Застосування формули n – го члена для знаходження  довільного  члена даної прогресії.
  •  Застосування формули n – го члена для знаходження першого члена даної прогресії.
  •  Застосування формули n – го члена для знаходження номера  члена даної прогресії.

Зупинка „Навчаючи – вчуся!”

(працюють учні, що одержали випереджальне завдання додому).

Задача 1. Довжини сторін прямокутного трикутника є послідовними членами арифметичної прогресії з різницею d см. Знайдіть три трійки чисел, що виражають довжини сторін цього трикутника.

Розв’язання:

Нехай х (см) – довжина меншого катета; (х + d) см – довжина іншого катета;

(х + 2d) см – довжина гіпотенузи.

За т. Піфагора:  (х + 2d)2 = х2 + (х + d)2.

Розв’язуючи  дане рівняння, прийдемо до наступного: х2 – 2хd – 3d = 0;

х1 = 3d;      х2 = –d – не задовольняє умові задачі.

Нехай d = 1, тоді довжини сторін трикутника дорівнюють 3, 4, 5 см.

Нехай d = 2, тоді довжини сторін дорівнюють 6, 8, 10 см.

Нехай d = 3, тоді довжини сторін дорівнюють 9, 12, 15 см.

Задача 2. Периметр трикутника дорівнює 111 см, а довжина найменшої сторони 27 см. Знайти довжини двох інших сторін цього трикутника, якщо відомо, що довжини сторін трикутника являють собою послідовні члени геометричної прогресії.

Розв’язання:

Нехай довжини сторін трикутника – члени геометричної прогресії зі знаменником q, тоді друга сторона дорівнює ( 27q) см, а третя – ( 27q2) см.

Р = 27 + 27q + 27q2  або 111 см.

Складемо й розв’яжемо  рівняння:

27 + 27q + 27q2 = 111;

9q2 + 9q – 28 = 0;

q1 = ; q2 = – –  не задовольняє умові задачі.

Отже, в2 = 27 ·  = 36 (см), в3 = 36 · = 48 (cм).

5.Етап підведення підсумків уроку

* (у формі математичного бою „Ми –  вам, ви – нам”):

учні класу задають питання один одному з теорії уроку (можна користуватися підручником ст.222, 240).

* Оцінювання учнів.

6.Завдання додому:  прочитати теоретичний матеріал пп.21, 23;

     вивчити конспект;

    виконати №№ 666, 673, 775, 778.

PAGE  4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27972. Эффект Зейгарник. Этническая идентичность: общее описание, структура, становление и формирование, изменения этнической идентичности 18.62 KB
  Механизмы и эффекты межличностного восприятия Этническая идентичность: общее описание структура становление и формирование изменения этнической идентичности. Эффект Зейгарник. Эффект незавершенного действия эффект Зейгарник явление характеризующее влияние на процессы памяти перерывов в деятельности.
27973. Долговременная, кратковременная, оперативная и иконическая память 27.68 KB
  Социальнопсихологический тренинг как средство повышения точности межличностного восприятия Особенности межкультурной коммуникации развитие культурной сензитивности. Непосредственный отпечаток полезен в тех случаях когда сигнал действует очень недолго как при просмотре к ф; он обеспечивает также непрерывность восприятия при моргании или движении глаз. Социальнопсихологический тренинг как средство повышения точности межличностного восприятия В процессе общения должно присутствовать взаимопонимание между участниками этого процесса....
27974. Активное и пассивное, продуктивное и репродуктивное воображение 35.57 KB
  Феномен аттракции в межличностных отношениях различные уровни аттракции. Феномен аттракции в межличностных отношениях различные уровни аттракции. Область исследований связанных с выявлением механизмов образования различных эмоциональных отношений к воспринимаемому человеку получила название исследования аттракции. Феномен аттракции связан с перцептивной стороной межличностного общения возникает при включении в процесс восприятия эмоциональных регуляторов.
27975. Основные свойства внимания и методы их оценки 43.91 KB
  Основные свойства внимания и методы их оценки. В зависимости от объекта выделяют формы внимания: сенсорное перцептивное: зрительное и слуховое интеллектуальное моторное двигательное исполнительское. Внешнее внимание сенсорноперцептивное обращено на объекты внешнего мира необходимое условие познания и преобразования окружающего мира Внимание внутреннее интеллектуальное обращено на объекты субъективного мира человека необходимое условие самопознания и самовоспитания Виды внимания Джеймс По объекту: а чувственное...
27976. Когнитивные теории внимания и их критика. Этноцентризм и этнические стереотипы 28.85 KB
  Допускается существование группы механизмов селекции в канале ограниченной емкости в результате возникают отсеивание информации еще до момента ее полной идентификации в блоке Р. это процесс в котором два или более индивида или группы активно ищут возможность помешать друг другу достичь определенной цели предотвратить удовлетворение интересов соперника или изменить его взгляды и социальные позиции. когда группы с противоречивыми интересами поляризуются по этническому признаку. Всем известный пример внутригрушювого фаворитизма ...
27977. Мышление как регулятор деятельности и как самостоятельная деятельность Психология управления: объект, предмет, задачи. Основные теоретические школы менеджмента 65.33 KB
  Роль посредника в разрешении конфликтов Психология управления: объект предмет задачи. Поэтому в современном менеджменте навык управления конфликтами рассматривается как один из критически важных для менеджера. Цикл конфликта Первое чему необходимо научиться для успешного управления конфликтом это вовремя распознавать сигналы его эскалации. Схема выбора способа управления конфликтом Уровни конфликта в организации и их источники В любой организации существует несколько уровней конфликтов: внутриличностные межличностные межгрупповые...
27978. Мышление и интеллект, структура интеллекта, тестирование интеллекта и креативности 74.06 KB
  Проблема группы в социальной психологии. Оценка интеллекта Наибольшей популярностью пользуется так называемый коэффициент интеллектуальности сокращенно обозначаемый IQ который позволяет соотнести уровень интеллектуальных возможностей индивида со средними показателями своей возрастной и профессиональной группы. Две другие группы по 16 в каждой результаты которых соответствуют крайним показателям шкалы рассматриваются или как умственно отсталые люди со сниженным интеллектом IQ от 10 до 84 или как обладающие высокими выше среднего...
27979. Диалектическое мышление как высшая форма теоретического мышления 30.93 KB
  Понятие группы основные характеристики групп и их классификация. Детальный анализ социальнопсихологических представлений о природе социальной группы сложившихся в русле различных теоретических ориентации к числу главных отличительных признаков социальной группы позволяет отнести следующие: 1 включенность человеческой общности в более широкий социальный контекст систему общественных отношений определяющих возможность возникновения смысл и пределы существования группы и задающих прямо или от противного модели нормы или правила...
27980. Культурно-историческая детерминация процессов формирования и развития мышления 37.95 KB
  Понятие малой группы ее границы и классификация малых групп. Переход от субъективной группы к объективной Стадия конкретных операций81 2 лет Характеризуется группировкой наглядных представлений появлением обратимости интеллектуальных операций. Понятие форма мышления в которой отражаются общие и притом существенные свойства однородной группы предметов и явлений. Понятие малой группы ее границы и классификация малых групп.