55422

Арифметична й геометрична прогресії, їх означення та властивості. Формули n–го члена кожної прогресії

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мети уроку: ввести означення арифметичної й геометричної прогресій; працювати над засвоєнням учнями відповідної термінології різниці арифметичної прогресії та знаменника геометричної прогресії; рекурентної формули та характеристичних властивостей прогресій;

Украинкский

2014-03-25

57 KB

13 чел.

Алгебра - 9 клас

Тема уроку: Арифметична й геометрична прогресії, їх означення та властивості. Формули n – го члена кожної прогресії.

Мети уроку:

  •  ввести означення арифметичної й геометричної прогресій;
  •  працювати над засвоєнням учнями відповідної термінології (різниці арифметичної прогресії та знаменника геометричної прогресії; рекурентної формули та характеристичних властивостей прогресій);
  •  вивести формули n – го члена для кожної прогресії;
  •  формувати навички використання формул для розв’язування задач основного рівня;
  •  розвивати здатність установлювати залежності, визначати подібність і відмінність між обєктами;
  •  виховувати самостійність у вивченні нового матеріалу; культуру математичної мови.

Тип уроку: засвоєння нових знань, формування вмінь і навичок.

ХІД   УРОКУ

1. Організаційний момент.

2. Слово вчителя: Добрий день! Сьогодні ми з вами здійснимо захоплюючу подорож у країну ПРОГРЕСІЙ. На  шляху подорожі ми будемо зупинятися на різних станціях і виконувати всі запропоновані завдання з нової теми. Пропоную вам девізом нашої подорожі такі слова (написані на плакаті й висять над дошкою):

„У математиці варто памятати не формули,

а  процеси мислення”.

У подорожі по країні Прогресій  будуть допомагати учні вашого класу, які спеціально готувалися до сьогоднішнього уроку, мали випереджальні завдання з нової теми. Отже, щасливої дороги й міцних знань!

3. Етап актуалізації опорних знань.

Зупинка „Воруши мозком!”

* Перед вами кілька числових послідовностей. Вам необхідно продовжити кожну з них ще двома членами, але при цьому ви повинні усвідомити закон, за яким складена кожна з послідовностей:

1) 6, 8, 10...    2) 25, 21, 17…  3) –2, 4, –8…

4) –5, –7, –9...   5) 32, 16, 8…  6), , …

А тепер постарайтеся розділити ці послідовності в два стовпчики, сформулювавши загальний закон їхнього складання.

Зупинка „Теоретична”

*   Вводиться означення арифметичної й геометричної прогресій:

(підручник А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір. Алгебра 9 кл. – Харків, „Гімназія”, 2009):

ст. 220 – ар. пр.                 ст. 235 – геом. пр.

* Вводиться назва й означення різниці арифметичної й знаменника геометричної прогресій:

d = аn+1 – аn      q = bn+1: bn

Для записаних у зошитах прогресій назвіть різницю й знаменник.

* Вводиться поняття рекурентного способу задання прогресій (за підручником). Розгляд прикладів (ст. 221, 236). Наведіть свої приклади.

*    Вивід формули n – го члена прогресій.

Ар. пр.:       Геом. пр.:

а2 = а1 + d       b2 = b1q

a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d   b3 = b2q = (b1q)q = b1q2

a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d   b4 = b3q =(b1q2)q = b1q3

a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d   b5 = b4q = (b1q3)q = b1q4

a6 = a1 + 5d       b6 = b1q5

...........................................................   ...........................................

an = a1 + d (n – 1)      bn =  b1 · qn-1  

*   Формулюється характеристична властивість кожної прогресії.

Для арифметичної:

Для геометричної:

Будь-який член ар. пр., крім першого (і останнього у випадку кінцевої ар.пр.), дорівнює середньому ариф-метичному двох сусідніх із ним членів:

    an = (аn-1 + an+1): 2

Квадрат будь-якого члена геом. пр., крім першого (і останнього у випадку кінцевої геом. пр.), дорівнює добутку двох сусідніх із ним членів:

      bn2 =  bn-1 · bn+1

Зупинка „Логіка плюс мислення”

* Завдання: нескінченна послідовність (an): –3; –1,5; 0; … є ар. пр.

Побудуйте графік цієї послідовності для 1 ≤ n ≤ 6.

Напишіть рівняння прямої, на якій розташовані точки графіка цієї послідовності.

Розв’язання:

Знайдемо різницю ар. пр і її члени а4, а5, а6.

d = –1,5 – (–3) = 1,5;

а4 = 0 + 1,5 = 1,5;

а5 = 1,5 + 1,5 = 3;

а6 = 3 + 1,5 = 4,5.

У координатній площині будуємо точки:

(1;–3), (2; –1,5), (3;0), (4;1,5), (5;3), (6;4,5).

За формулою n – го члена знаходимо:

an = –3 + 1,5 (n – 1) = 1,5n – 4,5

an =1,5n – 4,5 – це рівняння прямої, на якій розташовані точки графіка даної послідовності.

Висновок: послідовність (an), що задана формулою виду an= kn + b, де k і b – деякі числа, є арифметичною прогресією.

Зупинка „Історична”

* Коротка довідка про поняття „прогресія” (Глейзер Г.И. История математики в школе,  Москва, «Просвещение». 1982).

4. Етап формування навичок і вмінь.

Зупинка „Практична”

* усні вправи  №№ 663, 670, 767, 770( 1,2);

* письмові вправи з коментуванням  №№ 665, 667, 768.

Зупинка „Математичні терміни”

* За 1 хвилину потрібно написати найбільшу кількість математичних термінів, які починаються з букв слова «прогресія» (наприклад, площа, периметр, різниця, радіус, ромб, об'єм, одиниця, гіпербола, градус, графік, ступінь, сума)

Зупинка „Хто більше?” (робота в групах по 4 учні)

* Використовуючи наступні дані, скласти опорні задачі з даної теми, використовуючи формулу n – го члена прогресій:

1) а1 = 5, а2 = 7, d = 2, an = 19, n = 8;

2) b1 = 5, b2 = 25, q = 5, bn = 625, n = 4.

Типи задач:

  •  Означення арифметичної (геометричної) прогресії, різниця (знаменник) даної прогресії.
  •  Застосування формули n – го члена для знаходження  довільного  члена даної прогресії.
  •  Застосування формули n – го члена для знаходження першого члена даної прогресії.
  •  Застосування формули n – го члена для знаходження номера  члена даної прогресії.

Зупинка „Навчаючи – вчуся!”

(працюють учні, що одержали випереджальне завдання додому).

Задача 1. Довжини сторін прямокутного трикутника є послідовними членами арифметичної прогресії з різницею d см. Знайдіть три трійки чисел, що виражають довжини сторін цього трикутника.

Розв’язання:

Нехай х (см) – довжина меншого катета; (х + d) см – довжина іншого катета;

(х + 2d) см – довжина гіпотенузи.

За т. Піфагора:  (х + 2d)2 = х2 + (х + d)2.

Розв’язуючи  дане рівняння, прийдемо до наступного: х2 – 2хd – 3d = 0;

х1 = 3d;      х2 = –d – не задовольняє умові задачі.

Нехай d = 1, тоді довжини сторін трикутника дорівнюють 3, 4, 5 см.

Нехай d = 2, тоді довжини сторін дорівнюють 6, 8, 10 см.

Нехай d = 3, тоді довжини сторін дорівнюють 9, 12, 15 см.

Задача 2. Периметр трикутника дорівнює 111 см, а довжина найменшої сторони 27 см. Знайти довжини двох інших сторін цього трикутника, якщо відомо, що довжини сторін трикутника являють собою послідовні члени геометричної прогресії.

Розв’язання:

Нехай довжини сторін трикутника – члени геометричної прогресії зі знаменником q, тоді друга сторона дорівнює ( 27q) см, а третя – ( 27q2) см.

Р = 27 + 27q + 27q2  або 111 см.

Складемо й розв’яжемо  рівняння:

27 + 27q + 27q2 = 111;

9q2 + 9q – 28 = 0;

q1 = ; q2 = – –  не задовольняє умові задачі.

Отже, в2 = 27 ·  = 36 (см), в3 = 36 · = 48 (cм).

5.Етап підведення підсумків уроку

* (у формі математичного бою „Ми –  вам, ви – нам”):

учні класу задають питання один одному з теорії уроку (можна користуватися підручником ст.222, 240).

* Оцінювання учнів.

6.Завдання додому:  прочитати теоретичний матеріал пп.21, 23;

     вивчити конспект;

    виконати №№ 666, 673, 775, 778.

PAGE  4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52401. Большой чайный вечер «Мы за чаем не скучаем» 195 KB
  Вечер за чайным столом подготовили и провели учащиеся 6 класса. На столах – самовары чайные приборы. Сегодня у нас чайный вечер поэтому говорить мы будем только о чае.
52402. Мы за чаем не скучаем 50.5 KB
  Чай. Как он приятен вкусен крепок ароматен Цель: Познакомить учся с историей появления чая у нас; доказать что чай – это прекрасный напиток бодрости который утоляет жажду снимает усталость придает бодрость поднимает настроение; развивать интерес к общению к истории; формировать социальные и коммуникативные компетентности; воспитывать здоровый образ жизни.Толстой Чай – мой любимый напиток.Муслимов долгожитель120 Дружба и чай хороши когда они крепки и не очень сладки Ф.
52403. Чайные традиции народов мира (I часть) 67.5 KB
  Цель: познакомить с происхождением слова чай возникновением чайной церемонии; расширить знания о чайных традициях народов мира о целебных веществах чая; прививать интерес и эстетический подход к чайной церемонии; способствовать развитию здорового образа жизни. Литература и оборудование: буклет Чайные традиции народов мира; иллюстрации о чайной традиции в Японии Англии России Узбекистане Иране Тибете Америке китайского иероглифа чай; бейджики с надписями: Этимолог Хранитель легенд Целитель Этнограф Японии Этнограф...
52404. Исследование особенностей развития внимания школьников 367.5 KB
  Наша работа посвящена, прежде всего, описанию видов внимания, а также изучению особенностей свойств внимания у учащихся на уроках физической культуры. Цель: исследовать особенности развития внимания школьников. Объект: внимание как психический процесс. Предмет: специфика развития внимания школьников на уроках физической культуры.
52405. Сценарий воспитательного мероприятия на знание культуры Чехии 349 KB
  Речь идет о Золотом сердце Европы о Чехии. Никто Ведущий – Наш 1 тур окончен прошу жюри огласить его результаты Жюри объявляет результаты 1 тура Музыка 2 тур Великие люди и Чехия Ведущий – Наш 2 тур посвящен известным людям жившим когдато в Чехии. О ком идет речь Ольгерд Кейстут Свидригайло Витовт Ведущий – Как вы видите Чехии есть чем гордиться.
52406. БЫТЬ ЧЕЛОВЕКОМ НА ЗЕМЛЕ 108.5 KB
  Ученик 1. Всем людям свойственно познавать самого себя и мыслить Гераклит Ученик 3. Декарт Ученик 4.Брехт Ученик 5.
52407. Економіко - географічне положення Чернігівської області, його вплив на господарську спеціалізацію. Природні умови та ресурси, їх оцінка 99 KB
  Мета: навчити давати характеристику ЕГП Чернігівської області; зясувати вплив ЕГП на господарську спеціалізацію області; показати особливості природних умов і ресурсів області; оцінити їх вплив на життя та діяльність населення; закріпити вміння і навички оцінювати ЕГП області природні умови і ресурси; продовжити формувати науковий світогляд учнів; визначити еколого географічне положення області екологічне виховання; ...