55424

Прогресії навколо нас. Розв'язування задач прикладного змісту

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Узагальнити знання учнів про прогресії закріпити навички обчислення суми показати практичне застосування теми на прикладах задач із життя та історичних задач; розвивати вміння учнів створювати математичні моделі до розвязування задач;...

Украинкский

2014-03-25

121.5 KB

29 чел.

КОНСПЕКТ УРОКУ

Алгебра, 9 клас

«Прогресії навколо нас. Розв'язування задач прикладного змісту».

Підготувала:

вчитель математики

Манявського НВК

Кравець Марія Олексіївна


Тема уроку:
Прогресії навколо нас.

Розв'язування задач прикладного змісту. 

Мета. Узагальнити знання учнів про прогресії, закріпити навички обчислення суми, показати практичне застосування теми на прикладах задач із життя та історичних задач; розвивати вміння учнів створювати математичні моделі до розв'язування задач; виховувати інтерес до знань; сприяти творчому розвитку учнів.

Тип уроку: урок-семінар.

Обладнання. Таблиці, дидактичний матеріал, портрети видатних математиків.

Девіз: "...Математика безмежно різноманітна, як світ, і присутня, міститься в усьому." (М.П. Єругін).

Хід уроку

І. Постановка мети і завдань уроку

На сьогоднішньому уроці ми узагальнимо свої знання про прогресії, покажемо практичне застосування теми на прикладах задач із життя та історичних задач.

II. Актуалізація опорних знань учнів

1. Закінчити речення (усно):

а) Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член
якої, починаючи з другого, ...

б) n-й член геометричної прогресії дорівнює добутку його першого члена
на ...

в) Сума членів скінченної арифметичної прогресії дорівнює...
2.
 Назвати два наступні члени прогресії:

а) 0,5; 0,25; 0,125;... б)1;-3;9;...

в) 5;-5; 5;

3. Охарактеризуйте кожну з послідовностей:

а) 3; 7; 11; 15;...

б) 5; 10; 20;...

в) 7; 7; 7; 7;...
г)1;3;5;8; 11;...

4. Назвати сім перших членів арифметичної прогресії, у якої: .


5. Чи всі записи правильні:

а) ;

б) ;

в) ;

г) 200; 20; 2- арифметична прогресія?

III. Історична довідка

"Прогресія", "прогрес", "прогресивний" - слова одного кореня. Прогресія - це послідовність, побудована за таким законом, який дає змогу продовжувати її необмежено, тобто рухатися вперед.

Прогресія - явище без перебільшення, унікальне. Історія виникнення прогресії сягає глибини віків.

Підсумовуванням арифметичних і геометричних прогресій та складанням відповідних задач займалися багато любителів математики протягом багатьох століть. Найдавнішою задачею на прогресії є задача про розподіл хліба, записана в Єгипетському папірусі Рінда, яка відноситься до III ст. до н. є. Зміст її приблизно такий :"Сто мір хліба слід розділити між п'ятьма людьми так, щоб другий одержав на стільки ж більше від першого, на скільки третій одержав більше від другого, четвертий більше - більше від третього і п'ятий - більше від четвертого. Крім того, двоє перших повинні одержати в 7 раз менше за трьох інших. Скільки потрібно дати кожному?"

Перші задачі на прогресії пов'язані із запитами господарського життя і суспільної практики (розподіл спадщини, одержання винагороди), із спостережень над явищами природи, з досліджень суспільно-економічних явищ. Так, у вавилонських текстах розповідається про те, що збільшення освітленої частини місячного диска протягом перших п'яти днів відбувається за законом геометричної прогресії зі знаменником 2, у наступні 10 днів - за законом арифметичної прогресії з різницею 16. Широкий інтерес вавілонян до астрономії робить зрозумілим виникнення цієї задачі.

Зміст ряду історичних задач на прогресії, відбиває той подив, який викликало в тих, хто розв'язував ці задачі.

Розглянемо приклади таких задач:

IV. Розв'язування задач прикладного змісту

До сьогоднішнього уроку учні, об'єднавшись у групи, користуючись літературою, виписали приклади різних задач на прогресії (таким було домашнє завдання).


Із виступів знавців історії

Задача 1: Легенда про винахід шахів.

Шахову гру винайшли в Індії. Ознайомившись з нею, індійський цар Шерам, захоплений дотепністю і різноманітністю можливих в ній ситуацій, покликав до себе її винахідника, ученого Сету, і сказав йому:

"Я хочу гідно нагородити тебе, Сета за прекрасну гру, яку ти придумав. Я досить багатий, щоб виконати будь-яке твоє бажання."

"Володарю, - відповів Сета, - накажи видати мені за першу клітинку шахівниці одну пшеничну зернину, за другу - 2 зернини, за третю - 4, і так за кожну клітинку вдвічі більше, ніж за попередню".

"Ти одержиш свої зерна. Але знай, що твоє прохання не варте моєї щедрості. Іди. Слуги мої винесуть тобі твій мішок із пшеницею".

На другий день придворні математики з'явились до царя.

"Ми ретельно обчислили, - говорили вони йому, - усю кількість зерна, що бажає одержати Сета. Число таке велике, що зерен не вистачить ні в яких коморах, навіть цілого царства. Не знайдеться такої кількості зерен і на всьому просторі Землі. І якщо ти обов'язково хочеш видати нагороду, то накажи перетворити всі царства в поля, висушити всі річки та озера, розчинити криги та сніги. Увесь цей простір засій пшеницею й усе, що виросте на ньому за 5 років, накажи віддати Сеті. Тоді він одержить свою винагороду."

Зі здивуванням слухав цар Ширам слова вчених. "Напишіть же мені це дивовижне число"- сказав він.

Розв'язання:

Кількість зернин, про які йдеться в задачі, є сумою 64 членів геометричної прогресії, у якої ,

=18446744073709551615, що приблизно становить 13,8 млрд. 40-тонних вагонів.

Якщо таку кількість зернин рівномірно розсипати по всій земній поверхні, то утвориться шар пшениці товщиною 9-мм.

Задача 2. Купівля коня.

(Із арифметики Магницького.)

Продавець продав коня за 156 крб. Але покупець, придбавши коня, передумав і повернув його господарю, кажучи:"Нема мені користі купувати за таку ціну коня, який таких грошей не вартий". Тоді продавець запропонував інші умови: "Якщо ціна за коня дуже висока, то купи лише цвяхи для його підков. а коня одержиш безплатно на додачу. Цвяхів у


кожній підкові 6. За перший дай мені всього 1/4
 к., за другий – 1/2 к., за третій - 1к. і т. д..." Покупець, спокусившись низькою ціною та бажаючи безплатно придбати коня, прийняв умови, думаючи, що за цвяхи доведеться заплатити не більше 10 крб. На скільки покупець проторгувався?

Розв'язання:

Маємо геометричну прогресію у якої 1/4, ..

За таких умов можна дати й коня на додачу.

Задача 3. Мешканець маленького містечка був відомий своєю скнарістю. Коли у нього були справи в повітовому місті, розташованому в 25 км від цього містечка, він звичайно шукав сусідів, які б підвезли його. Одного разу скнара крутився на площі, шукаючи того, хто підвіз би його за спасибі додому. Але цього разу нікого не було і він змушений був шукати платного візника. Скнара обійшов їх усіх, торгуючись з ними і порівнюючи ціни. Один просив 250 руб., другий - 200 руб., третій -150. Усі ці ціни здалися йому занадто високими. Нарешті він помітив візника з убогим візком і жалюгідною шкапою. Коли скнара запитав його скільки він візьме за дорогу, той подивився на землю, почухав потилицю і відповів: "за 1-й кілометр заплати мені 1 коп., за другий - 2 коп, за 3-ій - 4, за 4-ий - 8 і так до кінця шляху."

"От дурний - подумав скнара, ледве стримуючи сміх, - лічить на копійки." Поспіхом він заліз у візок і гукнув:"Згідний! Поїхали!"

Скільки грошей він повинен заплатити за дорогу?

Розв'язання:

1; 2; 4; 8; 16;... - геометрична прогресія.

.

 (коп.)=335544 руб. 31 коп.

Задача 4. У газеті, що була видана у 1914р., описувалася справа, яка відбулася у місті Новочеркаську, про продаж отари, що має 20 овець, за такими умовами: за першу вівцю слід заплатити 1 к., за другу - 2 к., за третю - 4 к. і т. д. У яку суму обійдеться вся отара?

Розв'язання:

1; 2; 4; 8;... - геометрична прогресія,


.

=1084575=11000 (крб.).

Задача 5. Про Карла Гауса.

Задача ця є непроста:

Як зробити, щоб швидко

Від одного і до ста

Усно всі додати числа?

П'ять перших зв'язок вивчи

Й знайдеш до розв'язку ключі!

1+100 = ? 2+99=? 3+98=?

4+97= ? 5+96 =?

Давним давно один мудрець сказав,

Що перш за все

Зв'язать початок і кінець

У числовому ряді треба.

Розв'язання:

1+100=101;   2+99=101; 3+98=101;   4+97=101; 5+96=101...

Таких сум є 50, тому =5050, або:

1; 2; 3; 4;... - арифметична прогресія, де , тому .

Задача 6. Винагорода воїна ( задача з російського підручника 1795р.).

Воїну, що служив, дано винагороду: за першу рану - 1 копійка, за другу - 2, за третю - 4 і т. д. Виявилося, що воїн одержав винагороду 655 руб 35 коп. Запитується, яка кількість його ран.

Розв'язання.

Складаємо рівняння: 65535=1+2+4+...+,

65535=,

=65536,

x=16.

Тобто, за такої великодушної системи нагородження воїн повинен одержати 16 ран і залишитися живим, щоб "удостоїтися" винагороди 655 руб 35 коп.


Із виступів майбутніх архітекторів, будівельників.

Усі ми знаємо, що в архітектурі, будівельній справі широко використовуються колони. Виявляється, вони мають форму не циліндра, як здається на перший погляд, а зрізаного конуса.

Будівельники знають, що сила тиску в горизонтальних шарах будівельної колони зростає у напрямку до нижньої основи. Для збереження рівномірності напруги від тиску вздовж усієї довжини колони потрібно збільшувати площі її поперечних перерізів. Встановлено, що площі поперечних перерізів, рівновіддалених один від одного, становлять геометричну прогресію.

Враховуючи таку закономірність, колони будують не тільки красивими, фігура й міцними та надійними.

Оскільки площі поперечних перерізів колони збільшуються у напрямку до її основи, то колона не може мати форму циліндра.

Задача 7. Знайти площу нижньої основи бетонної колони висотою 3 м, коли відомо, що площа верхньої основи колони 16 дм2, а площа перерізу, розміщеного на 2 м нижче, дорівнює 16,29 дм2.

Розв'язання:

Розглянемо осьовий переріз колони.


За умовою задачі матимемо:
;

 (дм2).

Задача 8. Побудова теплиці.

Потрібно виготовити вертикальні стержні для теплиці з дроту так, щоб найменший мав довжину 5 м, а кожний наступний був на 2 м довший (до 7 стержня). Обчисліть довжину дроту, необхідну для виготовлення стержнів.

Розв'язання:

Маємо арифметичну прогресію (), де .

(м)


Із виступів знавців фізики

Розглянемо ситуацію, пов'язану з використанням геометричної прогресії у фізиці.

Задача 9. Після кожного руху поршня розріджувального насоса з посудини видаляється 20% повітря, що міститься в ній. Визначити тиск повітря всередині посудини після шести рухів поршня, якщо початковий тиск був 750 мм рт. ст.

Розв'язання:

Оскільки після кожного руху поршня з посудини видаляється 20% повітря, що міститься в ній, то залишається в ній 80% повітря. Щоб визначити тиск повітря в посудині після чергового руху поршня, треба тиск повітря після попереднього руху поршня помножити на 0,8: 750; 750*0,8; 750*0,8*0,8; 750*0,8*0,83; ...; 750*0,86. Маємо геометричну прогресію, перший член якої 750, а знаменник 0,8. Число, що визначає тиск повітря всередині посудини після шести рухів поршня, є сьомим членом цієї прогресії і дорівнює 750*0,86.

Задача 10. При вільному падінні тіло проходить за першу секунду 4,9 м, а за кожну наступну на 9,8 м більше. Знайдіть глибину шахти, якщо камінець досяг її дна через 8 с після початку падіння.

Розв'язання:

Маємо арифметичну прогресію, у якої .

.


Із виступів майбутніх фінансистів

Задача 11. Уявіть, що вам деяка фірма пропонує свої послуги. Щодня ви можете брати у фірми по 100 грн. Але за перший день ви зобов'язані заплатити фірмі 1к, за другий - 2к, за третій - 4к. і т. д. Чи укладете ви з цією фірмою договір не менш ніж на 20 днів за таких умов?

Розв'язання:

Від фірми отримуємо - 2000 грн, а повинні будемо заплатити за це суму, що дорівнює 8го для геометричної прогресії, де . Тобто:

1048575(коп.)=10485грн. 75к

Вчитель робить зауваження, що в сучасних ринкових умовах учні повинні бути компетентними у фінансових питаннях, і тому освіченість особистості, як ніколи, на першому місці.


Із виступів майбутніх біологів

Задача 12. Задача про розмноження бактерій.

За сприятливих умов за 1 хв кожна з бактерій поділяється навпіл. Визначити кількість бактерій, народжених однією бактерією за 7 хв.

Розв'язання:

Кількість бактерій зростає за геометричною прогресією:

2, 4, 8, 16, ..., у якої .

=2(27-1 )=2( 128-1 )=2 127=254(бактерії).

Вчитель. Як ми переконалися, прогресії застосовуються не тільки в математиці. За законом геометричної прогресії здійснюється поділ нейтронів під час ядерної ланцюгової реакції. Відрізки шляху за рівноприскореного руху утворюють арифметичну прогресію. Геометрична прогресія відіграє велику роль у побудові математичних моделей економіки. Знання прогресій потрібні і в багатьох інших галузях.

V. Обговорення виступів

Учні висловлюють свої враження від виступів, аналізують їх (відповідність темі, повнота розробки, краса та логіка викладу), вносять доповнення, роблять поправки.

VI. Підсумок уроку

Вчитель підсумовує учнівські виступи та доповнення до них, вказує на культуру математичного мовлення і мовлення взагалі, на лаконічність та ясність виступів та відповідей на запитання. Проводиться оцінювання учнів.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36373. Цифровые регуляторы. Достоинства. Структурная схема 34.77 KB
  Структурная схема состоит из входного устройства I вычислительного устройства II выходного устройства III входное устройство представляет собой совокупность блоков и включает в себя: АД аналоговый датчик АЗ аналоговый задатчик АО блок аналоговых отклонений АЦП аналогоцифровой преобразователь. Выходным сигналом является сигнал в цифровом коде Х [nT] который подается на вход вычислительного устройства. На выходе ВУ выдают управляющие воздействия Y[nТ] в цифровой форме которая поступает на вход выходного устройства.
36374. Чертежи общих видов щитов, пультов систем автоматизации. Правила выполнения 26.86 KB
  Чертеж общего вида единичного щита содержит следующие элементы: авид спереди фасадная плоскость; бвид на внутренние плоскости; втехнические требования; гтаблицу надписей табло и в рамках; дтаблицы для монтажа электрических и трубных проводок; еперечень составных частей; жосновную надпись и дополнительные графы. Чертеж общего вида составного щита содержит: вид спереди фронтальная плоскость; перечень составных частей; основную надпись и дополнительные графы. На чертежах общего вида щиты изображаются в следующих масштабах: 1:10...
36375. Моделирование как способ изучения, прогнозирования поведения и отображения объектов. Типы объектов. Виды моделирования 11.57 KB
  Существует два класса моделей: 1 физические которые представляют собой установки устройства воспроизводящие в том или ином масштабе исследуемый объект при сохранении физического подобия объекта. 2 абстрактные модели в них производится описание объекта на какомлибо языке как то речь чертеж схема математика. Совокупность математических соотношений описывающих характеристики объекта называется математической моделью объекта. Математическая модель отображает алгоритм функционирования объекта.
36376. ПИД – регулятор 31.47 KB
  Пропорциональная составляющая формирует на выходе управляющее воздействие пропорциональное ошибке Е. Дифференциальная составляющая формирует воздействие пропорциональное скорости изменения ошибки обеспечивает минимальное быстродействие ошибка Е по модулю всегда больше нуля. Интегральная составляющая формирует управляющее воздействие пропорционально площади ошибки т. Пропорциональная составляющая вырабатывает выходной сигнал противодействующий отклонению регулируемой величины от заданного значения наблюдаемому в данный момент времени.
36377. Прикладные программы 12.43 KB
  Прикладные программы предназначены для обработки данных пользователей ЭВМ. С помощью прикладных программ осуществляется решение: как отдельных задач так и системы взаимосвязанных задач. Область применения прикладных программ все отрасли человеческой деятельности. Эти программы находятся в постоянном развитии и расширении особенно в направлении применения оптимизирующих алгоритмов и представляются не в виде некоторого одного универсального комплекса а нескольких каждый из которых представлен совокупностью программ для разрешения вполне...
36378. Принцип действия пирометров спектрального отношения 125 KB
  Пирометры спектрального отношения измеряют цветовую температуру объекта по отношению интенсивностей излучения Еλ1 и Еλ2 в двух определенных участках спектра каждый из которых характеризуется эффективной длиной волны λ1 и λ2.Следовательно осуществив в приборе операцию логарифмирования можно свести измерение отношения интенсивностей излучения к измерению разности их логарифмов. Каждой температуре соответствует определенная длина волны на которой интенсивность излучения максимальна. В цветовых пирометрах определяется отношение интенсивности...
36379. Состав САПР. Компоненты видов обеспечения САПР 45.5 KB
  Составными частями САПР жестко связанными с организационной структурой проектной организации являются подсистемы в которых при помощи специализированных комплексных средств решается последовательность задач проектирования. Проектирующие подсистемы имеют объектную ориентацию и реализуют определенный этап проектирования или группы непосредственно связанных проектных задач например эскизное проектирование изделий проектирование корпусных деталей проектирование ТП механической обработки. Компоненты видов обеспечения Средства...
36380. Схемы внешних электрических и трубных проводок. Основные требования и правила выполнения 36 KB
  Схемы внешних электрических и трубных проводок. Схема соединений внешних проводок это комбинированная схема на которой показывают электрические и трубные связи между приборами и средствами автоматизации установленными на технологическом оборудовании вне щитов и на щитах а также подключения проводок к приборам и щитам. Схему подключения допускается не выполнять если все подключения могут быть показаны на схеме соединений внешних проводок. При необходимости раздельного изображения электрических и трубных проводок цеха участка...
36381. Учет персонала 29.58 KB
  Учет персонала. Взаимосвязи подсистемы Учет персонала : Из подсистемы АНАЛИЗ и УПРАВЛЕНИЕ приказы нормативы и запросы на получение информации. Информация из бухгалтерии о расходах на содержание персонала отчеты по начислениям з платы и прочие денежные выплаты. Различные отчеты и сводки для подсистемы АНАЛИЗ и УПРАВЛЕНИЕ об использовании персонала численность и качественный состав работников данные для статистики расходы на содержание персонала и т.