5552

Характеристика этапов моделирования Поставка и формализации задачи

Реферат

Математика и математический анализ

Значение и содержание этапа Постановки задачи Постановка задачи является первым этапом моделирования. Решающее значение этого этапа для успеха исследования отмечается во всех работах, посвященных методологии моделирования. Сформулировать задачу...

Русский

2012-12-13

122 KB

28 чел.

1. Значение и содержание этапа «Постановки задачи»

Постановка задачи является первым этапом моделирования. Решающее значение этого этапа для успеха исследования отмечается во всех работах, посвященных методологии моделирования.

Сформулировать задачу на языке математики- это значит более чем наполовину решить ее.

Правильное формулирование задачи- это научная проблема не менее сложная, чем решение задачи, и не нужно надеяться, что кто-то другой сделает это за вас.

Проблема постановки задачи возникает зачастую, как состояние неудовлетворенности. Ситуация становится проблемной, когда действие какой либо системы, течение какого либо процесса не приводят к желаемому результату.

Известна следующая оценка времени на отдельные этапы моделирования: постановка задачи- 40-50%; разработка модели- 20-30%; эксперимент, анализ результатов- 20-30%.

При постановке решаются следующие взаимосвязанные задачи: уяснение цели (задач) исследования; изучение объекта моделирования (системы, процесса); анализ доступной информации; выявление релевантных факторов; формулирование альтернатив; определение ограничений и допущений. Определение диапазона изменения параметров и переменных; выбор показателей, системы критериев качества достижения цели; установления масштаба предстоящего эксперимента; математическая постановка (формулировка) задачи.

Вследствие взаимосвязанности перечисленных задач, строгой последовательности их решения не существует. Так, уяснить задачи исследования и грамотно даже на доматематическом уровне сформулировать эти задачи возможно только после определенного уровня ознакомления с объектом; изучение объекта продолжается в течение всего этапа постановки задачи; например, после анализа доступной информации может последовать определенная корректировка задачи исследования.

Далее приводятся краткие пояснения существа перечисленных задач.

  •  В общем случае задача (цель) исследования заключается в поиске наиболее эффективных способов достижения изучаемой системой желаемого, наилучшего, в каком то смысле, состояния с учетом реальных ограничений. При разработке алгоритмов выбора лучшего решения предполагается, как правило, что цель системы (что такое «желаемое» состояние системы) известна. Но как раз зачастую либо совсем не ясно, либо сформулировано в общем, виде и без понимания, что не все желаемое достижимо. Но без четкой формулировки на вербальном («доматематическом») уровне целей системы, существующих в системе проблем и, соответственно, задач исследования дальнейшая работа может оказаться просто бессмысленной, и выбор лучшего решения может, окажется лишь математическим упражнением. Поэтому здесь еще раз уместно подчеркнуть, что любое серьезное исследование начинается с изучения системы, ее структуры, взаимодействия с окружающей средой, перспектив существования и развития. Только после этого можно четко понять задачи исследования. Формирование целей заказчиком, если таковой имеется, следует рассматривать лишь как первое приближение. При рассмотрении целей системы, возникающих в ней проблем одновременно с уяснением их сущности происходит и «расширение» проблем. Например, в социально-экономических системах очень важно уточнить круг лиц, заинтересованных в достижении системой определенного состояния или настроенных к этому отрицательно, а быть может, и враждебно. К сожалению, недооценка изложенных положений явление нередкое. Как писал Валерий Брюсов: «Однажды ошибясь при выборе дороги, шли вдаль ученые, глядя на свой компас. И был их труд высок, шаги их были строги, но уводил их прочь от цели каждый час».
  •  Характер изучения системы решающим образом зависит от двух обстоятельств: физической природы системы, и задачи (цели) исследования. При изучении системы необходимо понять ее назначение, структуру, границы, взаимодействие с окружающей средой, перспективы существования и развития. Особое внимание следует уделять отношениям, реально существующим между элементами системы.
  •  Информация нужна не любая, а только та, которая действительно обеспечит решение задачи. Излишние подробности могут только помешать решению задачи. «Информацию нужно профильтровать, отделить важное от неважного, нужное от ненужного, а отсеянное нужно представить в наиболее выразительной легко усвояемой форме. И это тоже задача прикладной математики, которой на этот раз приходится работать на грани психологии и социологии».

Необходимо также получить надежные оценки точностных характеристик исходной информации. «Для успеха исследования настолько важно иметь беспристрастные, независимые от субъективных оценок фактические данные, что все они должны быть проверены и перепроверены независимо от того, из какого источника они получены».

Типичной ошибкой является начало исследований со сбора информации, т.е. до того, как уяснена постановка задачи и намечена, хотя бы в первом приближении, методика исследования. Если информация собиралась до выяснения перечисленных обстоятельств, то велика вероятность, что будет собрано много ненужной информации, а что-нибудь очень необходимое отсутствует. Важно также учитывать фактор старения информации.

Характеристики доступной информации (полнота, достоверность, точность) влияют на структуру модели, методику проведения эксперимента. Недооценка этих обстоятельств приводит к появлению моделей, называемых информационно уродливыми.

  •  Релевантными называются факторы, существенным, решающим образом влияющие на результаты исследования. После определения релевантных факторов производится выбор тех из них, которые могут быть описаны количественно, уточнение списка этих факторов путем объединения их по общим признакам и исключения существенно коррелированных факторов. После уточнения списка релевантных факторов потребуется убедиться, не приведет ли отказ от некоторых факторов к недопустимому снижению точности решения задачи или, что существует такая вероятность. При внимательном рассмотрении может выясниться, что некоторые факторы, отнесенные вначале к неизмеримым, могут быть оценены косвенно.
  •  На начальном этапе необходимо сохранить все возможные, в том числе кажущиеся нелепыми альтернативы решения задачи. Пренебрежение «нелепыми» альтернативами, поспешность в их отбрасывании, уступка соблазну поскорее начать вычисления, «развернуть работу» и ухватиться за первую показавшуюся хорошей альтернативу, может обернуться потерей действительно хорошего решения. В простейшем случае вместо выбора альтернатив требуется определить диапазоны изменения переменных и параметров модели.

Существует несколько организационных форм генерирования альтернатив.

  1.  Мозговой штурм. Формируется группа специалистов, состав которой зависит от характера проблемы и вида системы. Члены группы высказывают различные альтернативы решения проблемы, которые фиксируются, причем на этом этапе критика выдвигаемых альтернатив запрещена. Обращается внимание на взаимосвязь альтернатив, возникновение новых идей как развитие ранее выдвинутых предложений.
  2.  Синектика – генерирование идей путем ассоциативного мышления. Среди задач, решение которых известно находятся аналоги исследуемой проблеме. Например, в [11] задача столкновения двух вражеских группировок решена на основе аналога- процесса взаимного проникновения молекул двух соприкасающихся химических веществ.
  3.  Разработка сценариев. Проводится описание будущего течения процесса при различных альтернативах, но при одинаковых начальных условиях. При этом важно учесть все релевантные факторы, влияющие на процесс.
  4.  Морфологический анализ. Определяются все возможные значения основных переменных и рассматриваются все возможные комбинации значений этих переменных. Например, при выборе вида проектируемого телевизора переменными являются цвет (черно-белый, двухцветный, …, семицветный), размер изображения, грации яркости, и пр. Всего возможно более 300 комбинаций переменных. Безусловно, при рассмотрении комбинаций некоторые варианты могут быть отброшены, как неудоволетворяющие очевидным требованиям.
  5.  Деловые игры. Создаются имитационные человеко-машинные системы для анализа течения процессов при различных решениях участников игры – лиц, которым надлежит принимать решения в реальной ситуации.
  •  Отказ от факторов, отнесенных к нерелевантным, сознательное упрощение ряда зависимостей, ограничение области изменения некоторых переменных и пр. способствуют упрощению модели, удешевлению эксперимента. Однако при упрощении модели может быть потеряна адекватность модели. Поэтому при постановке задачи необходимо составить список принятых допущений с тем, чтобы вернуться к нему при анализе результатов моделирования. Не исключено, что на полученные результаты сильное влияние оказали неоправданные допущения и необходимо вернуться к уточнению постановки задачи.
  •  Критериальная (целевая) функция – это отражение целей исследования и правило оценки этой цели. Критерии должны обеспечить наилучшее, в определенном смысле, решение. В общем случае проблема выбора критерия – это установление признака, по которому определяется предпочтительность. В явном виде критерий может быть и не сформулирован, но характер, вид предпочтительности определен. Задача упрощается, если удается ограничиться одним критерием, но для реальных задач более свойственна многокритериальность – т.е. векторный критерий. Примеры задач, в которых используется векторный критерий.
    1.  Задачи оптимизации на множестве целей, каждая из которых должна быть учтена при выборе лучшего решения (альтернативы).
    2.  Задачи оптимизации на множестве объектов (подсистем). Качество функционирования каждой подсистемы оценивается своим, частным критерием, а системы в целом – некоторым общим, векторным критерием, составленным из частных критериев.
    3.  Задачи оптимизации на множестве условий (или временных этапов). Качество функционирования для каждого условия (этапа) оценивается частным критерием, а для всех условий (этапов) – векторным критерием составленным из частных.
    4.  Многоуровневые векторные задачи оптимизации, в которых компоненты векторного критерия являются не скалярами, а более сложными образованиями.

К векторным критериям предъявляются следующие дополнительные требования:

  •  полнота, ввод дополнительных критериев не должен повлиять на результаты решения;
  •  минимальность, набор частных критериев должен быть наименьшим из всех возможных наборов, обеспечивающих оптимальный выбор.

Частный показатель   выбирается так, что бы по мере улучшения решения (приближения к заданной цели) критерий монотонно увеличивался или уменьшался. (Далее будем полагать, что для всех частных показателей предпочтительным является увеличение значения критерия. Чтобы воспользоваться таким предположением, достаточно изменить знак у тех критериев, уменьшение которых соответствует лучшему решению).

В простейшем случае для многокритериальных задач правило достижения лучшего решения – принцип оптимальности можно сформулировать по аналогии с однокритериальными задачами следующим образом. Оптимальное решение с векторным критерием достигается, если все частные критерии  достигают максимума одновременно, т.е. существует такая альтернатива х* что  для всех  и ., причем хотя бы для одного частного показателя имеет место строгое неравенство.

Однако подобная ситуация для реальных задач не типична. Обычно увеличение одних показателей сопровождается уменьшением других. В подобных случаях оказывается необходимым прибегнуть к некоторому компромиссу и сформулировать принцип оптимальности в следующем виде: лучшей альтернативой (оптимальным решением) считается такая альтернатива, на которой, хотя и не обеспечивается максимальное значение каждого показателя, но при привлечении дополнительных соображений, в том числе об относительной приоритетности частных показателей, обеспечивается в каком то смысле лучшее значение векторного критерия.

Таким образом, задачу с векторным критерием можно сформулировать следующим образом: требуется найти альтернативу (оптимальное решение ), удовлетворяющее двум условиям:

  1.  множество всех возможных альтернатив;
  2.  - наилучшее решение согласно принципу оптимальности, учитывающего принятую схему компромисса между частными целями.

Задачи поиска лучшего решения для трех распространенных схем компромисса можно сформулировать следующим образом.

Схема 1. Ищется альтернатива, доставляющая максимум одному, наиболее предпочтительному показателю при условии, что значения остальных показателей будут не менее некоторых заданных заранее величин-.

;

,

здесь - наиболее предпочтительный критерий,

- заданное минимально допустимое значение -того критерия.

Схема 2. Ищется альтернатива , на которой достигается максимум минимального частного показателя.

.

- функции, нормализующие показатели, т.е. приводящие их к единой размерности и масштабу. Нормализация необходима, если частные показатели  имеют различный физический смысл и измеряются в различных единицах.

Схема 3. Строится обобщенная функция частных показателей

и ищется альтернатива, доставляющая максимум этой функции. Распространенной, но не обязательно лучшей, в конкретной задаче, является функция свертки вида:

где:

- коэффициенты, учитывающие приоритетность частных показателей.

В критерий может закладываться одновременно оценка качества решения задачи, и какой ценой это качество достигается (критерии вида «эффективность-стоимость») и время его достижения (критерий вида «эффективность-стоимость-время»). Критерии должны быть по возможности не чувствительны к небольшим ошибкам во входной информации. Вследствие  сложности реальных задач иногда приходится прибегать к приближенным критериям, которые зачастую дают хороший результат. Очевидно, что от вида критерия может существенно зависеть оценка относительной ценности альтернатив. Полезно проводить сравнение результатов, полученных при различных критериях.

  •  Окончательное определение масштаба эксперимента производится на этапе «Планирование эксперимента». Однако, уже при постановке задачи необходимо оценить предполагаемый масштаб эксперимента и в том числе, ограничения, которые могут возникнуть в связи с недостатком ресурсов  и средств. Последние ограничения достаточно типичны для прикладных исследований и, соответственно, влияют на вид создаваемой модели. При разработке модели учитывается и предполагаемый характер использования модели – будет ли модель использоваться неоднократно.

2. Формализация задачи

Формализация задачи – создание математической модели завершает этап постановки задачи.

Математическая модель начинается с момента, когда формулируется система аксиом, описывающая не только сам объект, но некоторую алгебру, т.е. совокупность правил, определяющих допустимые операции над объектом. При формализации задачи должны быть определены функциональные зависимости, связывающие переменные и параметры модели. Формализация задачи существенно зависит от знания исследуемого объекта, задачи исследования, вида создаваемой модели.

По мере накопления фактов математическая модель превращается в математическую теорию, которая сама становится источником информации.

При формализации задачи вначале полезно обратиться к самой общей схеме модели в виде рис.1.

 X

Y

 

                                             Рис.1

На рис.1: X-вектор входных (экзогенных) переменных; Y- вектор выходных переменных – исходы модели; W- оператор модели, обеспечивающий преобразование входной информации в выходную.

Возможны следующие варианты задач, решаемых на модели.

  1.  Прямая задача: известны X и W, необходимо найти Y.
  2.  Обратная задача 1: известны Y и W, найти X.
  3.  Обратная задача 2: известны X и  Y, найти W.

В задаче 1 в состав модели может включаться реальная система или ее подсистемы. Для обратной задачи 2 возможны два варианта: (1) анализ структуры оператора системы, (2) поиск оператора, обеспечивающего требуемое преобразование входной информации. В обратной задаче 2 при умелом подборе входной информации по анализу реакции системы на входное возмущение вскрывается структура системы. Здесь возможны случаи «черного ящика» - оператор системы полностью не известен и «серого ящика» - структура известна, не известны значения параметров. Поиск оператора для получения требуемого преобразования входного сигнала обеспечивается специальными оптимизирующими процедурами, реализуемыми в моделях.

При определении отношений между элементами системы, а так же между системой и окружающей средой необходимо точно установить причинно-следственные связи.

Различают связи:

  •  реактивные : система (элементы системы) реагируют на событие (при повороте выключателя -зажглась лампа);
  •  ответные: одно событие влечет за собой другое (стемнело – включаем освещение);
  •  автономные: появление события, ничем непосредственно не обусловлено (зачастую это поведение человека).

Причинно-следственные связи могут быть детерминированными и вероятностными. При выявлении этих связей иногда возникают грубые (иногда преднамеренные) ошибки.

Рекомендуется при создании математической модели действовать в следующем порядке:

  •  подыскать аналогии;
  •  подобрать и рассмотреть специальные примеры, характерные для решаемой задачи;
  •  принять решение о выборе класса (типа) модели, в том числе решить будет модель аналитической, имитационной, комбинированной;
  •  записать соображения, характеризующие закономерности, имеющие место в системе, при необходимости провести дополнительные исследования;
  •  если модель не поддается описанию, найти способы упрощения проблемы.

После получения первого варианта формализации проанализировать все допущения и уточнить математическую постановку.

На этапе формализации важно правильно ограничить число степеней свободы, не «заложить» вычислительную неразрешимость задачи. Проблема размерности существенно ограничивает возможности эффективного применения многих математических методов.

Относительно просто устанавливается структура асимптотических моделей. Задача сводится к уточнению структуры модели, определению значения ее параметров и входных переменных.

В моделях ансамблей обязательной и сложной задачей является выявление изменений в свойствах подсистем при объединении их в систему.

Наибольшие трудности возникают при разработке феноменологических моделей.

В [1] на основе опыта разработки моделей предложены основные варианты (принципы) подхода к разработке моделей при различной доступности к информации относительно структуры системы и протекающих в ней процессов.

Принцип 1. Система достаточно проста и прозрачна, так что ее можно обследовать и понять, например, путем наблюдения или расспросов людей, работающих с системой. Непосредственно по результатам изучения системы можно сконструировать ее модель.

Принцип 2. Если структура системы очевидна, но методы описания не ясны, можно воспользоваться сходством исследуемой системы с другой, в том числе, возможно, более простой, описание которой известно.

Принцип 3. Структура системы не известна, но ее можно определить путем анализа данных о функционировании системы. Фактически будет получена гипотеза о структуре, которую затем необходимо проверить экспериментально.

Принцип 4. Анализ данных о работе системы не позволяет определить влияние отдельных переменных на показатели работы системы, возникает необходимость в проведении эксперимента с целью выявления релевантных факторов и их влияния на работу системы. При этом предполагается возможность проведения соответствующего эксперимента на системе.

Принцип 5. Достаточные описательные данные о системе отсутствуют, проведение эксперимента на системе не допустимо. В этом случае может быть построена достаточно подробная модель искусственной действительности, используемая для накопления статистики о возможном функционировании системы путем статистических испытаний гипотез о реальном мире.

В общем случае некоторые модельные соотношения выводятся непосредственно при анализе системы, но часть соотношений принимаются без вывода и являются постулатами модели, от их качества в значительной мере зависит адекватность модели.

Постулаты имеют различное происхождение.

(1) Некоторые постулаты вытекают из универсальных физических законов, в том числе законов с ограниченной областью действия.

(2) Феноменологические законы- хорошо эмпирически обоснованные, но имеющие ограниченную область действия. Применение такого закона должно быть обусловлено попаданием исследуемого явления в зону действия закона.

(3) Полуэмпирические законы, действительность которых зависит от условий применения. Чаще всего эти законы базируются на «слепой» обработке экспериментальных данных. Применение подобных законов следует контролировать рациональными рассуждениями.

При разработке модели сложной системы очень часто полезно начать с создания «грубой» модели, в которой учитывается по возможности наименьшее число «основных» переменных и параметров. Переменные и параметры можно выстроить в некоторую иерархическую последовательность по мере уточнения подробностей относительно функционирования системы.

Классический пример подобной иерархии- небесная механика.

1-ая, грубая модель – планеты материальные точки, подчиняющиеся законом Ньютона. Определены законы Кеплера. 2-ой шаг – учитывается размер планет и движения солнца. Уточняются траектории движения всех тел. 3-ий шаг – учет релятивистских эффектов.

Иногда удобно иерархию переменных связывать с масштабами переменных, например, различать переменные быстро, нормально и медленно меняющиеся. Последние на некотором временном интервале при моделировании можно «заморозить».

Таким образом, общего метода подбора зависимостей (отношений, функций) не существует. Чем больше функциональных зависимостей известно исследователю, чем больше он может привлечь и критически осмыслить аналогий, тем успешнее будет его деятельность по разработке модели. Полезным может также оказаться, благодаря наглядности, графические представления.

3. Некоторые типовые проблемы, возникающие при разработке моделей.

При проведении исследований зачастую выбор аналитических зависимостей, близких к функциям, описывающим реальные процессы; с выбором линейных или нелинейных методов оптимизации; с учетом дискретного и непрерывного характера исследуемой системы; с учетом детерминированного или стохастического характера исследуемых процессов. Рассмотрим основное содержание и пути разрешения данных ситуаций.

Интерполяция, экстраполяция, прогнозирование. При разработке моделей часто возникает задача поиска аналитических зависимостей, близких к функциям, описывающих реальные закономерности. Простейшая задача заключается в следующем. На интервале наблюдения Т в некоторые фиксированные моменты времени t1, t2,…, наблюдаются значения функции f(t1), f(t2),… Требуется восстановить ее значение в другие моменты времени. Пусть, из каких либо соображений известен вид функции f(t,a1,a2,…am),где a1,a2,…am- неизвестные коэффициенты. Если коэффициенты определяются из условия совпадения f(t) в точках t1,t2,… c данными наблюдений, то имеет место способ приближения, называемый «интерполяцией». Ясно, что для вычисления параметров функции необходимо определенное число наблюдений (измерений) в зависимости от вида искомой функции. Так для определения коэффициентов полинома n-ой степени, необходимо не менее n+1 наблюдений. Если вид функций заранее не известен, приходиться прибегать к оценке выдвигаемых гипотез о виде функции. Поскольку обычно значения функций в точках наблюдения определяются с ошибками, возникает задача наилучшего в каком либо смысле приближения к реальной зависимости при минимальном (или заданном) числе измерений и конкретном виде (спектре) ошибок наблюдения. Проблема минимизации ошибок вычисления параметров искомой функции рассматривается в теории вероятностей. При этом необходимо учитывать наличие ошибок двух видов: систематических – следствие несовпадения выбранной аналитической функции реальной зависимости и случайных – результат ошибок единичных замеров, которые на интервале наблюдения могут иметь различный спектральный состав.

С целью снижения случайных составляющих увеличивается интервал наблюдения и количество измерений, но это далеко не всегда дает желаемый результат. Может оказаться, что на интервале наблюдения процесс не стационарен, т.е. аппроксимируемая функция на интервале наблюдения меняет свой вид, при этом появляется еще один источник систематических ошибок. Качество сглаживания случайных составляющих не однозначно связано с количеством измерений на интервале наблюдения, поскольку зависит от спектрального состава ошибок измерения.

Продолжение полученной в результате приближения функции за пределы интервала наблюдения называется «экстраполяцией». Известно, что «Всякое научное представление есть экстраполяция (с наблюдаемых ситуаций на ненаблюдаемые с измеренных величин на неизмеренные и т.д.). Систематическое использование методов экстраполяции может служить признаком зрелости той или иной области знаний, как науки». Задача экстраполяции значительно, порой принципиально, усложняется, если на интервале экстраполяции условия существования системы меняются. Прогнозирование можно рассматривать как расширение понятия экстраполяции на общий случай существования системы в будущем, в том числе, когда условия существования системы – характер экзогенных переменных на интервале экстраполяции изменяется, что может привести к изменению целей и структуры системы. В таком случае классические методы экстраполяции – продолжение подобранной на интервале наблюдения аналитической зависимости на время экстраполяции – приводят к неверным результатам и выводам.

Задача подбора функций и отношений между экзогенными и эндогенными переменными в общем случае статистическая. Для прогноза поведения системы на заданном интервале необходима гипотеза относительно релевантных факторов, воздействующих на систему на этом интервале. Если релевантные факторы на интервалах наблюдения и прогноза неизменны, то могут быть найдены устойчивые (неизменные для этих интервалов) зависимости- «тренды». Будет иметь место так называемое прогнозирование « от прошлого к будущему». В настоящее время темпы изменения производительных сил на столько высоки, что гипотеза о неизменности релевантных факторов, определяющих поведение системы, оказывается чаще неверной, как для интервала наблюдения, так и для интервала прогноза. Вместе с тем взаимосвязь систем в мире стала столь тесной, что состояние и развитие конкретной системы невозможно рассматривать вне этих связей. Вероятностные связи усложнились, вид и число неопределенностей возросли. В этих условиях потребовалось перейти к так называемому прогнозированию «от настоящего к будущему». При этом в результате наблюдения системы отправными для прогноза полагаются значения параметров системы в конце интервала наблюдения – текущие значения. Для прогноза изменения параметров в будущем выдвигаются гипотезы относительно окружающей среды, релевантных факторов, влияющих на поведение системы, экзогенных переменных, реализующих это влияние. Прогноз имеет вариантный характер и только в лучшем случае удается выявить все возможные варианты развития системы и дать им вероятностные оценки.

Вышерассмотренные положения позволяют уточнить несколько определений.

«Предсказание» - описание возможных или желательных перспектив, состояний, проблем будущего. Это логически обоснованное суждение о состоянии какой либо системы в будущем. Различают следующие формы предсказания: предчувствие, предвосхищение, предугадывание, прогнозирование.

«Прогнозирование» - специальное исследование, предметом которого является перспектива развития системы. Методы прогнозирования разделяются на статистические, причинно-следственные и комбинированные.

«Прогноз» - научно-обоснованное ( в общем случае вероятностное или содержащее неопределенности) суждение о возможном состоянии системы в будущем. Прогноз может быть краткосрочным и долгосрочным. Понятие срочности конкретизируется для каждой системы и связано с достижимым уровнем достоверности прогноза.

Линейность и нелинейность. Приведем некоторые высказывания, предостерегающие от необоснованного пренебрежения нелинейностями.

«Мир, в котором мы живем, удивительно нелинеен. Конечно, это делает нашу жизнь сложнее, но зато интереснее, перспективнее, освобождает нас от чувства монотонности, вселяет в нас оптимизм». «Ловушкой при математическом моделировании является пристрастие человека к линейности. Это особенно проявляется в тех случаях, когда соответствующие гипотезы и допущения сформулированы заранее. Каким-то образом люди пришли к убеждению, что большинство аналитических методов, которым отдавалось предпочтение в прошлом, основано на использовании линейных систем уравнений. Ошибки и искажения возникают часто исключительно по этой причине».

Необходимо помнить эти предостережения. В то же время следует иметь в виду, что методы исследования линейных систем очень развиты и обоснованное применение линейной модели для нелинейной системы часто оказывается весьма эффективным. Линейная модель полезна в начале цепочки моделей, последовательно приближающихся к модели с требуемой адекватностью. Линейная модель часто позволяет сразу получить оценку порядка значений выходных переменных. Иногда нелинейную задачу удается просто свести к последовательности линейных моделей. Линеаризацией нелинейной задачи (например, методом «замораживания коэффициентов») можно получить линейную модель для достаточно корректной оценки воздействия на систему малых возмущений. Вопрос о возможности и целесообразности переход от нелинейности к линейности решается в каждой задаче конкретно на рациональном уровне.

Дискретность и непрерывность. Вне зависимости от характера исследуемой системы может оказаться более предпочтительной дискретная или непрерывная (аналоговая) модель. Для исследования сложных систем зачастую требуется создание аналого-цифровой модели. Решение о дискретности или непрерывности модели принимается на этапе постановки задачи также на рациональном уровне.

Детерминированность и случайность. Все реальные процессы в той или иной степени носят стохастический характер. При решении одних задач случайные составляющие практически не влияют на результат и в модели не учитываются. В других задачах решение может быть получено только при учете случайных составляющих или различных неопределенностей и соответствующие математические методы закладываются в модель. Достаточность детерминированной модели или необходимость создание стохастической модели иногда очевидна, иногда переход к стохастической модели происходит вследствие неудовлетворенности результатами, полученными на детерминированной модели.

Заключение

1. Решающее значение в проведении исследования имеет постановка задачи- первый этап моделирования. Она включает ряд взаимосвязанных задач: уяснение цели (задач) исследования, изучения объекта моделирования, анализ доступной информации, выявление релевантных факторов, формулирование альтернатив, определение ограничений и допущений, выбор критериев достижения цели, установление масштаба предстоящего эксперимента, математическая постановка (формулировка) задачи. Вследствие взаимосвязанности данных задач, строгой последовательности их решения не существует. Каждый этап имеет свою целевую установку, достижение которой осуществляется посредством применения различных способов и методов, учитывающих факторы (обстоятельства) каждого шага исследования.

2. Формализация задачи сводится к созданию математической модели, которая описывает не только объект исследования, но и совокупность правил, определяющих допустимые операции над объектом. При создании математической модели порядок действий может быть следующим: поиск аналогий, подбор и рассмотрение характерных примеров решаемой задачи, принятие решения о выборе класса (типа) модели, выявление закономерностей, имеющих место в системе, поиск способов разрешения проблем описания процессов в модель.

3. В ходе исследования возникает ряд типовых проблем, связанных с:

  •  задачей поиска аналитических зависимостей близких к функциям, описывающим реальные закономерности;
  •  необоснованным пренебрежением нелинейностями;
  •  выбором дискретности или непрерывности моделируемых процессов;
  •  учетом детерменированности или случайности исследуемых процессов, которые существенно влияют на выбор математических методов, закладываемых в модель.

Разрешение данных проблемных ситуаций осуществляется посредством применения способов приближения – интерполяции, экстраполяции, прогнозирования; методов исследования линейных и нелинейных систем; аналого-цифровых моделей и рациональным сочетанием составляющих, носящих детерминированный и стохастический характер, и существенно влияющих на результаты исследования.

Контрольные вопросы

1. Какие задачи решаются при ее постановке? Поясните суть данных задач.

2. Какие факторы называются релевантными? Порядок их выбора.

3. Назовите организационные формы генерирования альтернатив.

4. Приведите примеры задач, в которых используется векторный критерий.

5. Сформулируйте правила достижения лучшего решения.

6. Сформулируйте задачи поиска лучшего решения для трех схем компромисса.

7. Что такое формализация задачи?

8. Перечислите возможные варианты задач, решаемых на моделях. Дайте их характеристику.

9. Изложите порядок действий при создании математической модели.

10. Охарактеризуйте типовые проблемы, возникающие при исследовании.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37723. Подготовка изображений для WEB 3.35 MB
  Изображения в сети также важны как и в любом печатном издании. Изображения должны быть правильно отмасштабированы иметь хорошую четкость и сохранены в цветовом пространстве sRGB. Поэтому для получения хороших результатов при сайтостроительстве нужно корректно отмасштабировать изображения перед помещением их в сеть. В Интернет используются изображения с цветовым пространством sRGB.
37724. Создание Форм В INKSCAPE 874 KB
  Для этого щелкните по верхней линейке и перетащите вниз чтобы создать горизонтальную направляющую и щелкните по левой линейке и перетащите вправо чтобы создать вертикальную направляющую см. Выберите инструмент Рисовать круги эллипсы и дуги F5 и щелкните на значке Заливка в правом верхнем углу. Щелкните правой кнопкой мышки на круг и нажмите Продублировать CtrlD. Затем в окне трансформации установите 80 в поле Ширина и щелкните по кнопке pply.
37725. Создание трехмерного Текста в Inkscape 787 KB
  Выберите инструмент Создавать и править текстовые объекты F8 и введите на лист Вашу фамилию. Теперь добавим эффект перспективы к тексту и придадим трехмерность. Инструментом Выделять и трансформировать объекты F1 можно нажать пробел выделите текст и выполните команду Контуры Оконтурить объект ShiftCtrlС.
37726. ВИМІРЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ ІМПУЛЬСНИХ СИГНАЛІВ МЕТОДОМ ДИСКРЕТНОГО РАХУНКУ 132 KB
  ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ Методи вимірювання частоти і інтервалів часу різноманітні. Застосовуються методи безпосереднього вимірювання методи засновані на порівнянні частоти зі зразковою частотою за допомогою осцилографа гетеродинний нульове биття і резонансний методи. Метод вимірювання Вхідний сигнал В Відносна нестабільність частоти кварцового ген. Похибка вимірювання частоти Електродинамічний логометричний частотомір 36 127 220 __  1.
37727. Программирование на ассемблере MASM32. Изучение среды разработки RADasm и отладчика OllyDbg 584.5 KB
  Они необходимы программе для обработки и хранения в памяти команд и данных а также получения информации о собственном текущем состоянии и состоянии процессора.1: пространство адресуемой памяти до 2х в 32й степени байт 4 Гбайт для Pentium II и выше до 2х в 36 степени байт 64 Гбайт; регистры для хранения данных общего назначения; сегментные регистры; регистры состояния и управления; регистры устройства вычислений с плавающей запятой сопроцессора; набор регистров целочисленного MMXрасширения отображенных на регистры...
37728. Исследование линейных электрических цепей постоянного тока 309.11 KB
  1 ток в цепи и падения напряжения на участках цепи определяются по закону Ома: Разветвленная цепь с одним источником э. Сущность метода наложения основывается на принципе суперпозиции заключающегося в том что ток в отдельной ветви линейной разветвленной цепи равен алгебраической сумме...
37729. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗВЕТВЛЕНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА 48 KB
  1 за точные то абсолютная погрешность метода эквивалентного генератора таб.4 по сравнению с этими данными для тока I3 составляет 14 мА а абсолютная погрешность при использовании принципа наложения таб.3 мА так как данный ток будет течь в противоположную сторону по сравнении с указанным на схеме при включенном Е2 абсолютная погрешность составляет 34. Таким образом общая абсолютная погрешность для тока I3 составит 3.
37730. Изучение законов равноускоренного движения 232 KB
  Цель работы: изучение динамики поступательного движения связанной системы тел с учетом силы трения; оценка силы трения как источника систематической погрешности при определении ускорения свободного падения на лабораторной установке. Ускорение свободного падения можно найти с помощью простого опыта: бросить тело с известной высоты и измерить время падения я затем из формулы вычислить . Основная задача которая стоит перед экспериментатором при определении ускорения свободного падения описываемым методом состоит в выборе оптимального...
37731. Определение средней длинны свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха 137.5 KB
  Краткое теоретическое обоснование методики измерений Основное уравнение динамики твёрдого тела вращающегося вокруг неподвижной оси имеет вид: 1 Где момент импульса вращающегося тела; момент его инерции относительно оси вращения; угловая скорость вращения и – момент силы....