55645

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДІОФАНТОВИХ РІВНЯННЬ

Научная статья

Педагогика и дидактика

Ознайомити учнів з діофантовими рівняннями та різними способами їх розвязування можна на факультативних заняттях чи на засіданнях математичного гуртка. Кожен спосіб супроводжується теоретичним обґрунтуванням прикладами розвязаних задач та задачами для самостійного розвязування.

Украинкский

2014-03-27

531.5 KB

9 чел.

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДІОФАНТОВИХ РІВНЯННЬ

Анотація до роботи

Діофантові рівняння займають особливе місце серед різних типів рівнянь. Робота має на меті ознайомити учнів 7-8 класів з діофантовими рівняннями та способами їх розв’язування. Водночас вони не являються  програмною темою шкільного курсу математики. Найчастіше вони зустрічаються в ролі завдань математичних олімпіад. Ознайомити учнів з діофантовими рівняннями та різними способами їх розв’язування, можна  на факультативних заняттях чи на засіданнях математичного гуртка. Кожен спосіб супроводжується теоретичним обґрунтуванням, прикладами розв’язаних задач та задачами для самостійного розв’язування.

Деякі історичні відомості

Рівняння виду , де - многочлен декількох змінних з цілими коефіцієнтами для яких потрібно знайти цілі розв’язки, називають діофантовими рівняннями. Названі вони ім’ям грецького математика Діофанта, який жив у ІІІ столітті н.е. Його книга «Арифметика» містила 189 задач з цілими числами, для кожної з яких наводилося один або декілька розв’язків.

Розв’язати діофантове рівняння означає:

  1.  з’ясувати, чи має рівняння хоча б один ненульовий розв’язок в цілих числах;
  2.  якщо рівняння має розв’язок в цілих числах, то з’ясувати скінченна чи нескінченна множина його розв’язків;
  3.  знайти всі цілі розв’язки рівняння.

Лінійні діофантові рівняння виду навчились розв’язувати ще до Діофанта.

Стародавні греки знали, що якщо це рівняння має один цілий розв’язок , то його буде задовольняти нескінченна множина пар  виду , де  - будь яке ціле число.

Математики Стародавньої Греції та Стародавньої Індії знали методи розв’язання деяких рівнянь другого степеня виду . Зокрема їм були відомі всі піфагорові трійки натуральних чисел , що задовольняють рівняння . Всі трійки взаємно простих піфагорових чисел стародавні математики знаходили за формулами ,  - натуральні числа причому .

В 20 роки ХХ століття англійський математик Морделл висунув гіпотезу, що рівняння більш високого степеня, ніж третього, можуть мати лише скінченне число цілих розв’язків. Ця гіпотеза була в 1983 році доведена голландським математиком Фалтінгсом.

Особливе місце серед діофантових рівнянь займає рівняння , де - натуральне число. Французький математик П’єр Ферма довів, що при  рівняння не має розв’язків в натуральних числах .

Діофантові рівняння першого степеня 

Рівняння виду де  - числа, а - змінні, називають діофантовим рівнянням першого степеня з двома змінними. Для розв’язання рівняння застосовують наступні теореми.

 Теорема1. Якщо  - взаємно прості числа, то для будь якого цілого , рівняння має хоча б  один розв’язок в цілих числах.

Теорема2. Якщо мають спільний натуральний дільник , а ціле число  не ділиться на , то рівняння не має розв’язків в цілих числах.

Теорема3. Якщо взаємно прості числа, то рівняння  має нескінченну кількість розв’язків, які знаходять за формулами , де  - будь який цілий розв’язок даного рівняння, .

Частинний розв’язок  можна знайти підбором, для малих , а у випадку коли числа  великі, то користуємось наступною теоремою.

Теорема4.  НСД() може бути записаний у вигляді , де  цілі числа.

знаходимо за алгоритмом Евкліда.

Розв’язати в цілих числах рівняння.

  1.   

Розв’язання: 

Так як НСД(13,21)=1, то дане рівняння має безліч розв’язків. Підбором встановлюємо частинний розв’язок .

Тоді загальний розв’язок має вигляд .

Відповідь: .

2.

Розв’язання: 

Так як НСД(45;37)=1, то рівняння має безліч розв’язків.

Щоб знайти  застосуємо алгоритм Евкліда:

. Отже .

Запишемо алгоритм Евкліда в зворотньому напрямку:

Отже (14;17) частинний розв’язок рівняння .

Тоді тобто .

Отже всі розв’язки знайдемо за формулами .

Відповідь: 

3.

Розв’язання: 

Знайдемо НСД(2183;1961)=для цього скористаємося алгоритмом Евкліда.

.

Отже, .

Запишемо алгоритм Евкліда в зворотньому напрямку:

Отже  - частинний розв’язок рівняння .

Тоді , тобто  частинний розв’язок рівняння .

Загальний розв’язок має вигляд: .

Відповідь: .

Рівняння виду , де  - числа,  - змінні,  називають лінійним діофантовим рівнянням першого степеня з трьома змінними.

Теорема5. Лінійне діофантове рівняння   має розв’язки в цілих числах тоді і тільки тоді, коли ділиться на НСД().

Розв’язки знаходять за формулами , де - частинний розв’язок.

Розв’язати рівняння в цілих числах:

1.

Розв’язання: 

Так як НСД(5;-3;-7)=1 і 0ділиться на 1, то рівняння має розв’язки в цілих числах. Так як НСД(3;7)=1 , то можна представити  де  - деякі цілі числа. Підбором знаходимо, що  

Підставимо в умову замість .

Маємо , то ,

Нехай , тоді маємо рівняння: ,  частинний розв’язок якого . Отже, загальний його розв’язок  Тепер  Знаходимо загальний розв’язок данного рівняння: .

Відповідь: .

2.

Розв’язання: 

Так як НСД(7,-3,9)=1 і 5 ділиться на 1 то рівняння має розв’язки в цілих числах. Так як НСД(7;-3)=1, то можна представити  де  - деякі цілі числа. Підбором  знайдемо, що  Підставимо в умову замість 9.

Маємо: .

Нехай тоді маємо рівняння , частинний розв’язок якого .

Отже, загальний його розв’язок .

Тепер  

Знайдемо загальний розв’язок даного рівняння

Відповідь: 

3.

Розв’язання: 

Запишемо рівняння у вигляді , де  (тобто розглядатимемо як діофантове першого степеня з трьома невідомими).

Так як НСД(3;2;1)=1 і 0 ділиться на 1, то рівняння має розв’язки в цілих числах. Так як НСД(3;2)=1, то можна представити , де - деякі цілі числа. Способом підбору .

Підставимо в рівняння замість 1 (1=3-2).

Маємо  . Нехай , тоді маємо рівняння

Частинний розв’язок цього рівняння , а загальний його розв’язок .

Тепер .

то   

то  

Знайдемо загальний розв’язок даного рівняння: .

Відповідь: .

4.

Розв’язання: 

Запишемо рівняння у вигляді: , де .

Так як НСД(5;-2;1)=1 і 5 ділиться на  1 то рівняння  має розв’язки в цілих числах.

Так як  НСД(5;-2)=1, то представимо , де  - деякі цілі числа. Способом підбору  підставимо в рівняння  замість 1 (1=5-4). Маємо

Нехай , тоді маємо рівняння . Частинний розв’язок (1;0), тоді загальний його розв’язок .

Отже, .

то

, то

Знайдемо загальний розв’язок даного рівняння:

.

Відповідь: 

Методи розв’язування діофантових рівнянь.

Розкладання на множники.

Розв’язати в цілих числах рівняння:

1)

Розв’язання: 

Дане рівняння запишемо у вигляді . Існує 12 різних способів розкладання числа 2007 на множники:

В даному випадку легко помітити, що якщо пара  задовольняє даному рівнянню, то йому задовольняють і пари: . Тому  достатньо шукати розв’язки серед невід’ємних цілих чисел. Маємо

  або   або  .  

Звідки маємо пари розв’язків: . Враховуючи , маємо розв’язки даного рівняння:

Відповідь:

  1.  

Розв’язання.

Перепишемо рівняння у вигляді . Розкладемо на множники ліву частину рівняння.  .

Можливі випадки:

   або   або  або

Маємо розв’язки систем: , але пари  та  не задовольняють умові рівняння, т.я. .

Отже розв’язки рівняння .

Відповідь: 

  1.  

Розв’язання.

Розкладемо на множники ліву частину рівняння: .

Можливі випадки:

або  або  або

Маємо  розв’язки рівняння: .

Відповідь: 

  1.  

Розв’язання. 

Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

Можливі випадки:

або  або  або

Маємо розв’язки систем: , але задовольняє лише .

Отже, пара  - розв’язок рівняння.

Відповідь: 

5.

Розв’язання. 

Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

Можливі випадки:

або  або  або

Маємо розв’язки систем: ; , а дві останні системи розв’язків не мають.

Дане рівняння задовольняють пари чисел .

Відповідь: 

6.

Розв’язання. 

Помножимо обидві частини рівняння на  2.

Маємо:

Можливі випадки:

або  або

Цілі розв’язки систем і є розв’язками рівняння.

Пари  - розв’язки даного рівняння.

Метод виділення цілої та дробової частини

Розв’язати рівняння в цілих числах

1.

Розв’язання. 

Розв’яжемо дане рівняння відносно :

;

З дробу  виділимо цілу й дробову частини.

Маємо

Так як  то , звідки знаходимо дві пари цілих розв’язків: .

Відповідь: 

2. .

Розв’язання. 

Запишемо рівняння у вигляді:

 

З дробу   виділимо цілу й дробову частини.

Маємо

Так як  то й  або .

Звідки знаходимо пари цілих розв’язків. .

Відповідь: 

3.

Розв’язання:

Розв’яжемо дане рівняння відносно :

З дробу  виділимо цілу та дробову частини.

Маємо:

Так як , то    або  або  або , звідси знаходимо дві пари цілих розв’язків  .

Відповідь: 

4.

Розв’язання.

Розв’яжемо дане рівняння відносно :

З дробу  виділимо цілу й дробову частини.

Маємо .

Так як , то  або .

Звідси знаходимо пари цілих розв’язків:

Відповідь: 

5.

Розв’язання.

Розв’яжемо дане рівняння, як квадратне відносно .

Маємо

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

.

Так як  то маємо , де  - розв’язки даного рівняння.

Відповідь:  де

Метод розгляду остач

Метод розгляду остач при діленні на деяке число як правило можна використовувати лише для доведення того, що дане рівняння не має розв’язків в цілих числах.

Розв’язати в цілих числах рівняння:

1.

Розв’язання.

Запишемо рівняння у вигляді , отже  повинно ділитися на 7, тобто  при діленні на 7 повинно давати остачу 3. Однак  при діленні на 7 може давати остачі . Отже, рівняння не має розв’язків в цілих числах.

Відповідь: не має розв’язків в цілих числах

2.

Розв’язання:

Залишками від ділення квадратів цілих чисел на 4 можуть бути лише 0 або 1, отже, різниця квадратів  при діленні на 4  може давати задишка 0 або , з іншого боку залишок від ділення 402 на 4 дорівнює 2. Отже, дане рівняння не має розв’язків в цілих числах.

Відповідь: не має розв’язків в цілих числах

3. Довести, що рівняння  не має розв’язків в цілих числах.

Розв’язання:

Знайдемо залишки від ділення на 4.

при діленні на 4 дає остачі 0 або 1, тоді  дає остачі 0 або 2.

при діленні на 4 дає остачі 0 або 1, тоді дає остачі 0 або 1.

Різниця  при діленні на 4 дає остачі 0,1,2, а 7 при діленні на 4 дає остачу 3. Тобто рівняння не має розв’язків в цілих числах.

Відповідь: не має розв’язків в цілих числах.

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36101. ПРАВО ІНТЕЛЕКТУАЛЬНОЇ ВЛАСНОСТІ 352.5 KB
  Право інтелектуальної власності становлять особисті немайнові права інтелектуальної власності та (або) майнові права інтелектуальної власності, зміст яких щодо певних об'єктів права інтелектуальної власності визначається кодексом та іншими законами. Кодексом визначено співвідношення права інтелектуальної власності та права власності як різних правових категорій.
36102. Інформаційні системи та технології. Опорний конспект лекцій 420 KB
  В сучасних умовах стрімко зростає попит на інформацію та інформаційні послуги. В зв’язку з цим технологія опрацювання інформації намагається використовувати найширший спектр технічних засобів і, передусім, комп’ютерну техніку та цифрові електронні засоби комунікації. На їх основі створюються обчислювальні системи і мережі не лише для накопичення, збереження та перетворення інформації, а й для максимального наближення термінальних пристроїв до робочого місця фахівця або керівника, який приймає рішення.
36103. КОМЕРЦІЙНЕ ПРАВО 1.44 MB
  Навчальний посібник розрахований для студентів неюридичних навчальних закладів I IV рівня акредитації які вивчають трудове право України а також для всіх хто цікавиться проблемами господарського законодавства. МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ ДЕПАРТАМЕНТ КАДРОВОЇ ПОЛІТИКИ АГРАРНОЇ ОСВІТИ ТА НАУКИ НАВЧАЛЬНОМЕТОДИЧНИЙ ЦЕНТР ПО ПІДГОТОВЦІ МОЛОДШИХ СПЕЦІАЛІСТІВ КОМЕРЦІЙНЕ ПРАВО ПРОГРАМА ІЗ СПЕЦІАЛЬНОСТІ 5. Вивчення господарського законодавства передбачає вміння майбутніх фахівців на практиці застосовувати набуті знання вміння та...
36104. Кримінальне право України 468 KB
  Конституція України. Кримінальний Кодекс України від 5квітня 2001р. Кримінальний процесуальний Кодекс України від 28 грудня 1960р.
36105. КОМУНІКАТИВНІ ПРОЦЕСИ У НАВЧАННІ 162 KB
  Тому спілкування з людьми це наука й мистецтво. Тут важливі не тільки природні здібності людини та її бажання спілкуватись але й знання законів спілкування. Майбутні фахівці повинні зрозуміти що для успішної діяльності вони можуть і повинні навчитись орієнтуватись у психологічних підходах до партнерів адекватно розуміти реальність обирати такі способи ділового спілкування які будуть сприяти успіху як у професійній діяльності так і у житті. Студенти повинні звернути особливу увагу на те що проблема спілкування є одною з найважливіших...
36106. Міжнародний інноваційний менеджмент 350.5 KB
  Переваги міжнародного інноваційногоСпівробітництва І. Міжнародне співробітництво як запорука інноваційного процесу в національній економіці С. Міжнародне співробітництво як запорука інноваційного процесу в національній економіці С. Переваги міжнародного інноваційногоСпівробітництва І.
36107. МАТЕМАТИЧНЕ ПРОГРАМУВАННЯ 1.78 MB
  Загальна постановка задачі лінійного програмування ЗЛП полягає в наступному.2 називається припустимим рішенням або припустимим планом ЗЛП. Говорять що ЗЛП розвязна якщо вона має оптимальний план. ЗЛП може бути нерозвязною тільки з наступних двох причин: а ОПР порожня; б ОПР непорожня але цільова функція не обмежена на ОПР зверху якщо в ЗЛП шукається її максимум або не обмежена знизу якщо в ЗЛП шукається мінімум цільової функції.
36108. Основи Охорони праці 1.03 MB
  Основи охорони праці. Конспект лекцій з дисципліни Основи охорони праці для студентів усіх спеціальностей денної та заочної форми навчання. Методичні вказівки спрямовані на надання методичної допомоги студентам усіх форм навчання під час вивчення дисципліни Основи охорони праці.
36109. ОСНОВИ МЕРЕЖНИХ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ 1.03 MB
  Загальні відомості про компютерні мережі. Виникнення компютерних мереж. Практично відразу після появи ЕОМ виникло питання про налагодження взаємодії комп'ютерів один з одним щоб більш ефективно обробляти інформацію використати програмні й апаратні ресурси. З'явилися й перші мережі у той час обєднавши тільки найбільші ЕОМ у великих комп'ютерних центрах.