55645

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДІОФАНТОВИХ РІВНЯННЬ

Научная статья

Педагогика и дидактика

Ознайомити учнів з діофантовими рівняннями та різними способами їх розвязування можна на факультативних заняттях чи на засіданнях математичного гуртка. Кожен спосіб супроводжується теоретичним обґрунтуванням прикладами розвязаних задач та задачами для самостійного розвязування.

Украинкский

2014-03-27

531.5 KB

9 чел.

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДІОФАНТОВИХ РІВНЯННЬ

Анотація до роботи

Діофантові рівняння займають особливе місце серед різних типів рівнянь. Робота має на меті ознайомити учнів 7-8 класів з діофантовими рівняннями та способами їх розв’язування. Водночас вони не являються  програмною темою шкільного курсу математики. Найчастіше вони зустрічаються в ролі завдань математичних олімпіад. Ознайомити учнів з діофантовими рівняннями та різними способами їх розв’язування, можна  на факультативних заняттях чи на засіданнях математичного гуртка. Кожен спосіб супроводжується теоретичним обґрунтуванням, прикладами розв’язаних задач та задачами для самостійного розв’язування.

Деякі історичні відомості

Рівняння виду , де - многочлен декількох змінних з цілими коефіцієнтами для яких потрібно знайти цілі розв’язки, називають діофантовими рівняннями. Названі вони ім’ям грецького математика Діофанта, який жив у ІІІ столітті н.е. Його книга «Арифметика» містила 189 задач з цілими числами, для кожної з яких наводилося один або декілька розв’язків.

Розв’язати діофантове рівняння означає:

  1.  з’ясувати, чи має рівняння хоча б один ненульовий розв’язок в цілих числах;
  2.  якщо рівняння має розв’язок в цілих числах, то з’ясувати скінченна чи нескінченна множина його розв’язків;
  3.  знайти всі цілі розв’язки рівняння.

Лінійні діофантові рівняння виду навчились розв’язувати ще до Діофанта.

Стародавні греки знали, що якщо це рівняння має один цілий розв’язок , то його буде задовольняти нескінченна множина пар  виду , де  - будь яке ціле число.

Математики Стародавньої Греції та Стародавньої Індії знали методи розв’язання деяких рівнянь другого степеня виду . Зокрема їм були відомі всі піфагорові трійки натуральних чисел , що задовольняють рівняння . Всі трійки взаємно простих піфагорових чисел стародавні математики знаходили за формулами ,  - натуральні числа причому .

В 20 роки ХХ століття англійський математик Морделл висунув гіпотезу, що рівняння більш високого степеня, ніж третього, можуть мати лише скінченне число цілих розв’язків. Ця гіпотеза була в 1983 році доведена голландським математиком Фалтінгсом.

Особливе місце серед діофантових рівнянь займає рівняння , де - натуральне число. Французький математик П’єр Ферма довів, що при  рівняння не має розв’язків в натуральних числах .

Діофантові рівняння першого степеня 

Рівняння виду де  - числа, а - змінні, називають діофантовим рівнянням першого степеня з двома змінними. Для розв’язання рівняння застосовують наступні теореми.

 Теорема1. Якщо  - взаємно прості числа, то для будь якого цілого , рівняння має хоча б  один розв’язок в цілих числах.

Теорема2. Якщо мають спільний натуральний дільник , а ціле число  не ділиться на , то рівняння не має розв’язків в цілих числах.

Теорема3. Якщо взаємно прості числа, то рівняння  має нескінченну кількість розв’язків, які знаходять за формулами , де  - будь який цілий розв’язок даного рівняння, .

Частинний розв’язок  можна знайти підбором, для малих , а у випадку коли числа  великі, то користуємось наступною теоремою.

Теорема4.  НСД() може бути записаний у вигляді , де  цілі числа.

знаходимо за алгоритмом Евкліда.

Розв’язати в цілих числах рівняння.

  1.   

Розв’язання: 

Так як НСД(13,21)=1, то дане рівняння має безліч розв’язків. Підбором встановлюємо частинний розв’язок .

Тоді загальний розв’язок має вигляд .

Відповідь: .

2.

Розв’язання: 

Так як НСД(45;37)=1, то рівняння має безліч розв’язків.

Щоб знайти  застосуємо алгоритм Евкліда:

. Отже .

Запишемо алгоритм Евкліда в зворотньому напрямку:

Отже (14;17) частинний розв’язок рівняння .

Тоді тобто .

Отже всі розв’язки знайдемо за формулами .

Відповідь: 

3.

Розв’язання: 

Знайдемо НСД(2183;1961)=для цього скористаємося алгоритмом Евкліда.

.

Отже, .

Запишемо алгоритм Евкліда в зворотньому напрямку:

Отже  - частинний розв’язок рівняння .

Тоді , тобто  частинний розв’язок рівняння .

Загальний розв’язок має вигляд: .

Відповідь: .

Рівняння виду , де  - числа,  - змінні,  називають лінійним діофантовим рівнянням першого степеня з трьома змінними.

Теорема5. Лінійне діофантове рівняння   має розв’язки в цілих числах тоді і тільки тоді, коли ділиться на НСД().

Розв’язки знаходять за формулами , де - частинний розв’язок.

Розв’язати рівняння в цілих числах:

1.

Розв’язання: 

Так як НСД(5;-3;-7)=1 і 0ділиться на 1, то рівняння має розв’язки в цілих числах. Так як НСД(3;7)=1 , то можна представити  де  - деякі цілі числа. Підбором знаходимо, що  

Підставимо в умову замість .

Маємо , то ,

Нехай , тоді маємо рівняння: ,  частинний розв’язок якого . Отже, загальний його розв’язок  Тепер  Знаходимо загальний розв’язок данного рівняння: .

Відповідь: .

2.

Розв’язання: 

Так як НСД(7,-3,9)=1 і 5 ділиться на 1 то рівняння має розв’язки в цілих числах. Так як НСД(7;-3)=1, то можна представити  де  - деякі цілі числа. Підбором  знайдемо, що  Підставимо в умову замість 9.

Маємо: .

Нехай тоді маємо рівняння , частинний розв’язок якого .

Отже, загальний його розв’язок .

Тепер  

Знайдемо загальний розв’язок даного рівняння

Відповідь: 

3.

Розв’язання: 

Запишемо рівняння у вигляді , де  (тобто розглядатимемо як діофантове першого степеня з трьома невідомими).

Так як НСД(3;2;1)=1 і 0 ділиться на 1, то рівняння має розв’язки в цілих числах. Так як НСД(3;2)=1, то можна представити , де - деякі цілі числа. Способом підбору .

Підставимо в рівняння замість 1 (1=3-2).

Маємо  . Нехай , тоді маємо рівняння

Частинний розв’язок цього рівняння , а загальний його розв’язок .

Тепер .

то   

то  

Знайдемо загальний розв’язок даного рівняння: .

Відповідь: .

4.

Розв’язання: 

Запишемо рівняння у вигляді: , де .

Так як НСД(5;-2;1)=1 і 5 ділиться на  1 то рівняння  має розв’язки в цілих числах.

Так як  НСД(5;-2)=1, то представимо , де  - деякі цілі числа. Способом підбору  підставимо в рівняння  замість 1 (1=5-4). Маємо

Нехай , тоді маємо рівняння . Частинний розв’язок (1;0), тоді загальний його розв’язок .

Отже, .

то

, то

Знайдемо загальний розв’язок даного рівняння:

.

Відповідь: 

Методи розв’язування діофантових рівнянь.

Розкладання на множники.

Розв’язати в цілих числах рівняння:

1)

Розв’язання: 

Дане рівняння запишемо у вигляді . Існує 12 різних способів розкладання числа 2007 на множники:

В даному випадку легко помітити, що якщо пара  задовольняє даному рівнянню, то йому задовольняють і пари: . Тому  достатньо шукати розв’язки серед невід’ємних цілих чисел. Маємо

  або   або  .  

Звідки маємо пари розв’язків: . Враховуючи , маємо розв’язки даного рівняння:

Відповідь:

  1.  

Розв’язання.

Перепишемо рівняння у вигляді . Розкладемо на множники ліву частину рівняння.  .

Можливі випадки:

   або   або  або

Маємо розв’язки систем: , але пари  та  не задовольняють умові рівняння, т.я. .

Отже розв’язки рівняння .

Відповідь: 

  1.  

Розв’язання.

Розкладемо на множники ліву частину рівняння: .

Можливі випадки:

або  або  або

Маємо  розв’язки рівняння: .

Відповідь: 

  1.  

Розв’язання. 

Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

Можливі випадки:

або  або  або

Маємо розв’язки систем: , але задовольняє лише .

Отже, пара  - розв’язок рівняння.

Відповідь: 

5.

Розв’язання. 

Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

Можливі випадки:

або  або  або

Маємо розв’язки систем: ; , а дві останні системи розв’язків не мають.

Дане рівняння задовольняють пари чисел .

Відповідь: 

6.

Розв’язання. 

Помножимо обидві частини рівняння на  2.

Маємо:

Можливі випадки:

або  або

Цілі розв’язки систем і є розв’язками рівняння.

Пари  - розв’язки даного рівняння.

Метод виділення цілої та дробової частини

Розв’язати рівняння в цілих числах

1.

Розв’язання. 

Розв’яжемо дане рівняння відносно :

;

З дробу  виділимо цілу й дробову частини.

Маємо

Так як  то , звідки знаходимо дві пари цілих розв’язків: .

Відповідь: 

2. .

Розв’язання. 

Запишемо рівняння у вигляді:

 

З дробу   виділимо цілу й дробову частини.

Маємо

Так як  то й  або .

Звідки знаходимо пари цілих розв’язків. .

Відповідь: 

3.

Розв’язання:

Розв’яжемо дане рівняння відносно :

З дробу  виділимо цілу та дробову частини.

Маємо:

Так як , то    або  або  або , звідси знаходимо дві пари цілих розв’язків  .

Відповідь: 

4.

Розв’язання.

Розв’яжемо дане рівняння відносно :

З дробу  виділимо цілу й дробову частини.

Маємо .

Так як , то  або .

Звідси знаходимо пари цілих розв’язків:

Відповідь: 

5.

Розв’язання.

Розв’яжемо дане рівняння, як квадратне відносно .

Маємо

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

.

Так як  то маємо , де  - розв’язки даного рівняння.

Відповідь:  де

Метод розгляду остач

Метод розгляду остач при діленні на деяке число як правило можна використовувати лише для доведення того, що дане рівняння не має розв’язків в цілих числах.

Розв’язати в цілих числах рівняння:

1.

Розв’язання.

Запишемо рівняння у вигляді , отже  повинно ділитися на 7, тобто  при діленні на 7 повинно давати остачу 3. Однак  при діленні на 7 може давати остачі . Отже, рівняння не має розв’язків в цілих числах.

Відповідь: не має розв’язків в цілих числах

2.

Розв’язання:

Залишками від ділення квадратів цілих чисел на 4 можуть бути лише 0 або 1, отже, різниця квадратів  при діленні на 4  може давати задишка 0 або , з іншого боку залишок від ділення 402 на 4 дорівнює 2. Отже, дане рівняння не має розв’язків в цілих числах.

Відповідь: не має розв’язків в цілих числах

3. Довести, що рівняння  не має розв’язків в цілих числах.

Розв’язання:

Знайдемо залишки від ділення на 4.

при діленні на 4 дає остачі 0 або 1, тоді  дає остачі 0 або 2.

при діленні на 4 дає остачі 0 або 1, тоді дає остачі 0 або 1.

Різниця  при діленні на 4 дає остачі 0,1,2, а 7 при діленні на 4 дає остачу 3. Тобто рівняння не має розв’язків в цілих числах.

Відповідь: не має розв’язків в цілих числах.

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57609. Передумови та початок національно-визвольної війни українського народу в середині XVII ст 288 KB
  Мета: зясувати передумови причини та характер війни; розкрити роль Богдана Хмельницького в підготовці та початку національновизвольної війни; розвивати вміння учнів аналізувати історичні джерела працювати над вивченням історичних подій за алгоритмом працювати самостійно з довідковою літературою...
57610. Війна радянської Росії з УНР і проголошення незалежності Української Народної Республіки 40 KB
  Очикувані результати: після уроку учні аналізуватимуть події кінця 1917 – початку 1918 рр.; дізнаються про плани більшовиків щодо долі України; за допомогою історичної карти зможуть відтворити хід першої ра дянсько–української війни...
57611. Історія як навчальний предмет і наука 569 KB
  Мета: створити початкове уявлення про історію як навчальний предмет і науку; зацікавити новим навчальним предметом; ознайомити школярів з видатними вченимиісторіками України...
57612. Україна в роки правління гетьмана Івана Виговського 76 KB
  Хмельницького визначити основні засади внутрішньої і зовнішньої політики гетьмана Івана Виговського; розвивати в учнів уміння працювати з картою аналізувати текстові та візуальні історичні джерела і на основі їх робити певні висновки...
57613. Велика Вітчизняна війна (1941-1945 рр.) – складова Другої світової війни 54.5 KB
  Мета: познайомити учнів з подіями Великої Вітчизняної війни політикою загарбників на окупованих українських територіях діяльністю руху Опору на території України; вдосконалювати навички роботи з картою...
57614. ВЕРБАЛІЗАЦІЯ СТРАХУ В СУЧАСНІЙ АНГЛІЙСЬКІЙ МОВІ 322.5 KB
  Мовні засоби вираження емоції страху, а також об’єкти, які викликають у людини цю емоцію. Новизна та вибір предмета дослідження обумовлюються відсутністю детального аналізу мовних засобів, які використовуються автором у художньому тексті для вираження мовлення персонажів, які перебувають у стані страху.
57615. КИРИЛЛО – МЕФОДИЕВСКОЕ БРАТСТВО 80.5 KB
  Цели урока: ознакомить учащихся с деятельностью первой украинской политической нелегальной организацией - Кирилло-Мефодиевским братством; провести исследование программных документов и общественно-политической деятельности Кирилло-Мефодиевского братства...
57616. Галицко-Волынское княжество во времена Даниила Галицкого 85.5 KB
  ЦЕЛЬ: сформировать представление о Галицко-Волынском княжестве как наследнике традиций Киевской Руси показать роль Даниила Галицкого в процессе создания государства охарактеризовать основы внутренний и внешней политики...
57617. Державотворчі процеси у 1994-2009 р 138.5 KB
  Мета: розкрити зміст перетворень в 1994-2009 р., сформувати політичну позицію щодо оцінки президентства Л.Д.Кучми, В.А.Ющенка, діяльності Верховної Ради, Кабінету Міністрів; перемогу демократичних сил,радикальні зміни у суспільстві; виховувати в дусі патріотизму, толерантності.