55645

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДІОФАНТОВИХ РІВНЯННЬ

Научная статья

Педагогика и дидактика

Ознайомити учнів з діофантовими рівняннями та різними способами їх розвязування можна на факультативних заняттях чи на засіданнях математичного гуртка. Кожен спосіб супроводжується теоретичним обґрунтуванням прикладами розвязаних задач та задачами для самостійного розвязування.

Украинкский

2014-03-27

531.5 KB

9 чел.

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДІОФАНТОВИХ РІВНЯННЬ

Анотація до роботи

Діофантові рівняння займають особливе місце серед різних типів рівнянь. Робота має на меті ознайомити учнів 7-8 класів з діофантовими рівняннями та способами їх розв’язування. Водночас вони не являються  програмною темою шкільного курсу математики. Найчастіше вони зустрічаються в ролі завдань математичних олімпіад. Ознайомити учнів з діофантовими рівняннями та різними способами їх розв’язування, можна  на факультативних заняттях чи на засіданнях математичного гуртка. Кожен спосіб супроводжується теоретичним обґрунтуванням, прикладами розв’язаних задач та задачами для самостійного розв’язування.

Деякі історичні відомості

Рівняння виду , де - многочлен декількох змінних з цілими коефіцієнтами для яких потрібно знайти цілі розв’язки, називають діофантовими рівняннями. Названі вони ім’ям грецького математика Діофанта, який жив у ІІІ столітті н.е. Його книга «Арифметика» містила 189 задач з цілими числами, для кожної з яких наводилося один або декілька розв’язків.

Розв’язати діофантове рівняння означає:

  1.  з’ясувати, чи має рівняння хоча б один ненульовий розв’язок в цілих числах;
  2.  якщо рівняння має розв’язок в цілих числах, то з’ясувати скінченна чи нескінченна множина його розв’язків;
  3.  знайти всі цілі розв’язки рівняння.

Лінійні діофантові рівняння виду навчились розв’язувати ще до Діофанта.

Стародавні греки знали, що якщо це рівняння має один цілий розв’язок , то його буде задовольняти нескінченна множина пар  виду , де  - будь яке ціле число.

Математики Стародавньої Греції та Стародавньої Індії знали методи розв’язання деяких рівнянь другого степеня виду . Зокрема їм були відомі всі піфагорові трійки натуральних чисел , що задовольняють рівняння . Всі трійки взаємно простих піфагорових чисел стародавні математики знаходили за формулами ,  - натуральні числа причому .

В 20 роки ХХ століття англійський математик Морделл висунув гіпотезу, що рівняння більш високого степеня, ніж третього, можуть мати лише скінченне число цілих розв’язків. Ця гіпотеза була в 1983 році доведена голландським математиком Фалтінгсом.

Особливе місце серед діофантових рівнянь займає рівняння , де - натуральне число. Французький математик П’єр Ферма довів, що при  рівняння не має розв’язків в натуральних числах .

Діофантові рівняння першого степеня 

Рівняння виду де  - числа, а - змінні, називають діофантовим рівнянням першого степеня з двома змінними. Для розв’язання рівняння застосовують наступні теореми.

 Теорема1. Якщо  - взаємно прості числа, то для будь якого цілого , рівняння має хоча б  один розв’язок в цілих числах.

Теорема2. Якщо мають спільний натуральний дільник , а ціле число  не ділиться на , то рівняння не має розв’язків в цілих числах.

Теорема3. Якщо взаємно прості числа, то рівняння  має нескінченну кількість розв’язків, які знаходять за формулами , де  - будь який цілий розв’язок даного рівняння, .

Частинний розв’язок  можна знайти підбором, для малих , а у випадку коли числа  великі, то користуємось наступною теоремою.

Теорема4.  НСД() може бути записаний у вигляді , де  цілі числа.

знаходимо за алгоритмом Евкліда.

Розв’язати в цілих числах рівняння.

  1.   

Розв’язання: 

Так як НСД(13,21)=1, то дане рівняння має безліч розв’язків. Підбором встановлюємо частинний розв’язок .

Тоді загальний розв’язок має вигляд .

Відповідь: .

2.

Розв’язання: 

Так як НСД(45;37)=1, то рівняння має безліч розв’язків.

Щоб знайти  застосуємо алгоритм Евкліда:

. Отже .

Запишемо алгоритм Евкліда в зворотньому напрямку:

Отже (14;17) частинний розв’язок рівняння .

Тоді тобто .

Отже всі розв’язки знайдемо за формулами .

Відповідь: 

3.

Розв’язання: 

Знайдемо НСД(2183;1961)=для цього скористаємося алгоритмом Евкліда.

.

Отже, .

Запишемо алгоритм Евкліда в зворотньому напрямку:

Отже  - частинний розв’язок рівняння .

Тоді , тобто  частинний розв’язок рівняння .

Загальний розв’язок має вигляд: .

Відповідь: .

Рівняння виду , де  - числа,  - змінні,  називають лінійним діофантовим рівнянням першого степеня з трьома змінними.

Теорема5. Лінійне діофантове рівняння   має розв’язки в цілих числах тоді і тільки тоді, коли ділиться на НСД().

Розв’язки знаходять за формулами , де - частинний розв’язок.

Розв’язати рівняння в цілих числах:

1.

Розв’язання: 

Так як НСД(5;-3;-7)=1 і 0ділиться на 1, то рівняння має розв’язки в цілих числах. Так як НСД(3;7)=1 , то можна представити  де  - деякі цілі числа. Підбором знаходимо, що  

Підставимо в умову замість .

Маємо , то ,

Нехай , тоді маємо рівняння: ,  частинний розв’язок якого . Отже, загальний його розв’язок  Тепер  Знаходимо загальний розв’язок данного рівняння: .

Відповідь: .

2.

Розв’язання: 

Так як НСД(7,-3,9)=1 і 5 ділиться на 1 то рівняння має розв’язки в цілих числах. Так як НСД(7;-3)=1, то можна представити  де  - деякі цілі числа. Підбором  знайдемо, що  Підставимо в умову замість 9.

Маємо: .

Нехай тоді маємо рівняння , частинний розв’язок якого .

Отже, загальний його розв’язок .

Тепер  

Знайдемо загальний розв’язок даного рівняння

Відповідь: 

3.

Розв’язання: 

Запишемо рівняння у вигляді , де  (тобто розглядатимемо як діофантове першого степеня з трьома невідомими).

Так як НСД(3;2;1)=1 і 0 ділиться на 1, то рівняння має розв’язки в цілих числах. Так як НСД(3;2)=1, то можна представити , де - деякі цілі числа. Способом підбору .

Підставимо в рівняння замість 1 (1=3-2).

Маємо  . Нехай , тоді маємо рівняння

Частинний розв’язок цього рівняння , а загальний його розв’язок .

Тепер .

то   

то  

Знайдемо загальний розв’язок даного рівняння: .

Відповідь: .

4.

Розв’язання: 

Запишемо рівняння у вигляді: , де .

Так як НСД(5;-2;1)=1 і 5 ділиться на  1 то рівняння  має розв’язки в цілих числах.

Так як  НСД(5;-2)=1, то представимо , де  - деякі цілі числа. Способом підбору  підставимо в рівняння  замість 1 (1=5-4). Маємо

Нехай , тоді маємо рівняння . Частинний розв’язок (1;0), тоді загальний його розв’язок .

Отже, .

то

, то

Знайдемо загальний розв’язок даного рівняння:

.

Відповідь: 

Методи розв’язування діофантових рівнянь.

Розкладання на множники.

Розв’язати в цілих числах рівняння:

1)

Розв’язання: 

Дане рівняння запишемо у вигляді . Існує 12 різних способів розкладання числа 2007 на множники:

В даному випадку легко помітити, що якщо пара  задовольняє даному рівнянню, то йому задовольняють і пари: . Тому  достатньо шукати розв’язки серед невід’ємних цілих чисел. Маємо

  або   або  .  

Звідки маємо пари розв’язків: . Враховуючи , маємо розв’язки даного рівняння:

Відповідь:

  1.  

Розв’язання.

Перепишемо рівняння у вигляді . Розкладемо на множники ліву частину рівняння.  .

Можливі випадки:

   або   або  або

Маємо розв’язки систем: , але пари  та  не задовольняють умові рівняння, т.я. .

Отже розв’язки рівняння .

Відповідь: 

  1.  

Розв’язання.

Розкладемо на множники ліву частину рівняння: .

Можливі випадки:

або  або  або

Маємо  розв’язки рівняння: .

Відповідь: 

  1.  

Розв’язання. 

Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

Можливі випадки:

або  або  або

Маємо розв’язки систем: , але задовольняє лише .

Отже, пара  - розв’язок рівняння.

Відповідь: 

5.

Розв’язання. 

Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

Можливі випадки:

або  або  або

Маємо розв’язки систем: ; , а дві останні системи розв’язків не мають.

Дане рівняння задовольняють пари чисел .

Відповідь: 

6.

Розв’язання. 

Помножимо обидві частини рівняння на  2.

Маємо:

Можливі випадки:

або  або

Цілі розв’язки систем і є розв’язками рівняння.

Пари  - розв’язки даного рівняння.

Метод виділення цілої та дробової частини

Розв’язати рівняння в цілих числах

1.

Розв’язання. 

Розв’яжемо дане рівняння відносно :

;

З дробу  виділимо цілу й дробову частини.

Маємо

Так як  то , звідки знаходимо дві пари цілих розв’язків: .

Відповідь: 

2. .

Розв’язання. 

Запишемо рівняння у вигляді:

 

З дробу   виділимо цілу й дробову частини.

Маємо

Так як  то й  або .

Звідки знаходимо пари цілих розв’язків. .

Відповідь: 

3.

Розв’язання:

Розв’яжемо дане рівняння відносно :

З дробу  виділимо цілу та дробову частини.

Маємо:

Так як , то    або  або  або , звідси знаходимо дві пари цілих розв’язків  .

Відповідь: 

4.

Розв’язання.

Розв’яжемо дане рівняння відносно :

З дробу  виділимо цілу й дробову частини.

Маємо .

Так як , то  або .

Звідси знаходимо пари цілих розв’язків:

Відповідь: 

5.

Розв’язання.

Розв’яжемо дане рівняння, як квадратне відносно .

Маємо

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

.

Так як  то маємо , де  - розв’язки даного рівняння.

Відповідь:  де

Метод розгляду остач

Метод розгляду остач при діленні на деяке число як правило можна використовувати лише для доведення того, що дане рівняння не має розв’язків в цілих числах.

Розв’язати в цілих числах рівняння:

1.

Розв’язання.

Запишемо рівняння у вигляді , отже  повинно ділитися на 7, тобто  при діленні на 7 повинно давати остачу 3. Однак  при діленні на 7 може давати остачі . Отже, рівняння не має розв’язків в цілих числах.

Відповідь: не має розв’язків в цілих числах

2.

Розв’язання:

Залишками від ділення квадратів цілих чисел на 4 можуть бути лише 0 або 1, отже, різниця квадратів  при діленні на 4  може давати задишка 0 або , з іншого боку залишок від ділення 402 на 4 дорівнює 2. Отже, дане рівняння не має розв’язків в цілих числах.

Відповідь: не має розв’язків в цілих числах

3. Довести, що рівняння  не має розв’язків в цілих числах.

Розв’язання:

Знайдемо залишки від ділення на 4.

при діленні на 4 дає остачі 0 або 1, тоді  дає остачі 0 або 2.

при діленні на 4 дає остачі 0 або 1, тоді дає остачі 0 або 1.

Різниця  при діленні на 4 дає остачі 0,1,2, а 7 при діленні на 4 дає остачу 3. Тобто рівняння не має розв’язків в цілих числах.

Відповідь: не має розв’язків в цілих числах.

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78426. ГЭУ двойного рода тока 40.27 KB
  Основные сведения Гребными установками двойного рода тока называются такие установки в которых в качестве источников электроэнергии используются синхронные генераторы переменного тока а в качестве гребных электродвигателей электродвигатели постоянного тока. Появление мощных на сотни кВт выпрямителей позволило объединить высокие маневренные качества ГЭУ постоянного тока с достоинствами ГЭУ переменного тока возможность применения высокооборотных первичных двигателей малые массогабаритные показатели.
78427. Техническая эксплуатация ГЭУ 18.65 KB
  Основные сведения Основная задача при эксплуатации ГЭУ обеспечить ее безотказную и безаварий ную работу и постоянную готовность к действию что достигается выполнением следующего. своевременное пополнение судов с ГЭУ сменнозапасными частями и материала ми. выполнение графиков профилактических осмотров и ремонтов в соответствии с инструкциями по обслуживанию электрооборудования ГЭУ.
78428. ФОНЕТИКА и ФОНОЛОГИЯ 48.29 KB
  Для речевого общения чрезвычайно важно различение произносимого слова среди других сходных по звучанию. Часто слова различаются всего лишь одним звуком наличием лишнего звука по сравнению с другим словом порядком следования звуков галка галька бой вой рот крот нос сон. Словесное ударение разграничивает слова и формы слов одинаковые по звуковому составу клубы клубы дыры дыры руки руки. Эта цепь членится на звенья или фонетические единицы речи: фразы такты фонетические слова слоги и звуки.
78430. Электромеханические свойства электродвигателей постоянного и переменного тока 233.82 KB
  Механические характеристики электродвигателей Механическая характеристика электродвигателя это зависимость угловой скорости ЭД от момента на его валу: ω М. Характер изменения угловой скорости двигателя с изменением момента сопротивления определяет жесткость механической характеристики. Абсолютно жесткие характеристики присущи синхронным двигателям прямая. Естественной характеристикой называется характеристика соответствующая работе ЭД при номинальных параметрах питающей сети нормальной схеме подключения к ней и при отсутствии...
78431. Гласные звуки и их классификация. Фонология 35.62 KB
  Фонология Гласные звуки отличаются от согласных наличием голоса музыкального тона и отсутствием шума. Существующая классификация гласных учитывает следующие условия образования гласных: 1 степень подъема языка 2 место подъема языка и 3 участие или неучастие губ. Движение языка по горизонтали приводит к образованию гласных трех рядов: гласные переднего ряда...
78432. Режимы работы электродвигателей в электроприводе 208.28 KB
  Приводные ЭД могут быть постоянного и переменного тока. В настоящее время на судах морского флота широкое распространение получили ЭД переменного суда 3фазные асинхронные двигатели постоянного тока находят ограниченное применение. Б Работа электродвигателей постоянного тока в переходном режиме...