5568

Фильтрация сигналов на фоне помех

Реферат

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Фильтрация сигналов на фоне помех. Задачи и методы фильтрации Электрическим фильтром называется пассивный четырехполюсник пропускающий электрические сигналы некоторой полосы частот без существенного ослабления или с усилением, а колебания вне это...

Русский

2012-12-15

153.5 KB

130 чел.

Фильтрация сигналов на фоне помех.

1. Задачи и методы фильтрации

Электрическим фильтром называется пассивный четырехполюсник пропускающий электрические сигналы некоторой полосы частот без существенного ослабления или с усилением, а колебания вне этой полосы частот - с большим ослаблением. Такие устройства применяются для выделения полезных сигналов на фоне помех. Задача фильтрации формулируется следующим образом.

Если на вход линейного фильтра поступает смесь сигнала и помехи

                                      (1)

то проблема состоит в том, как наилучшим образом выделить сигнал их этой смеси, т.е. как создать оптимальный фильтр. Известными считаются статические характеристики (т.е. спектр или корреляционная функция)

функции х(t), представляющей собой смесь сигнала и помехи. Искомой является периодическая функция оптимального фильтра.

Задача об оптимальной фильтрации решается по-разному в зависимости от того смысла, который вкладывается в понятие оптимальности. Рассмотрим три наиболее важных случаи оптимальной фильтрации.

1. Форма сигнала известна. От фильтра требуется только сохранение полученного сообщения, заключенного в сигнале, т.е. сохранение неискаженным помехой информационного параметра сигнала и не требуется сохранение формы. Такая задача может быть поставлена при фильтрации сигналов, форма которых известна на приемной стороне (например, обнаружение сигнала в радиотелеграфии и радиолокации). Фильтр при этом называют оптимальным, если в некоторый момент времени t0 на его выходе обеспечивается максимальное отношение сигнала к среднеквадратическому значению напряжения шума. Такой фильтр может быть интегратором, поскольку речь идет о типовом значении полезного сигнла. При этом он должен лучше пропускать те частоты, на которых больше интенсивность спектральных составляющих сигнала и меньше интенсивность помех.

Для передаточной функции только оптимального фильтра теория дает следующие выражения:

                                      (2)

где а - некоторая постоянная;

- величина, комплексно сопряженная амплитудному спектру сигнала;

- спектр мощности помехи.

В случае помехи с равномерным спектром частная характеристика оптимального фильтра с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудным спектром сигнал:

                                        (3)

Отсюда специфическое название подобных оптимальных фильтров - согласованные фильтры (т.е. согласованные с сигналом).

Например, при приеме сигнала в виде передаточной повторяющихся импульсов, спектр каждого из которых состоит из отдельных узких полос (см. рис.), фильтр должен пропускать лишь эти полосы.

Рассматриваемый сигнал пройдет через такой фильтр без искажений, а мощность помехи уменьшится, т.к. она будет складываться из  мощностей лишь тех спектральных составляющих помехи, которые попадут в полосу прозрачности фильтра. Такой фильтр для приема последовательностей импульсов получил название гребенчатого фильтра. Его применение приводит к тем большему увеличению превышения сигнала над помехой, чем уже полоса прозрачности фильтра. В свою очередь полосы прозрачности могут быть сделаны тем более узкими, чем больше характер последовательности приближается к периодическому закону ( в этом случае полосы спектра превращается в линии). Но приближение к периодическому сигналу, т.е. достаточно многократное его повторение, эквивалентное увеличению длительности сигнала. Таким образом, согласованная фильтрация повышает помехоустойчивость как бы за счет увеличения длительности полезного сигнала.

2. Форма сигнала неизвестна, а от фильтра требуется ее сохранения. Например, фильтрация после детектора должна обеспечивать наилучшее воспроизведение на фоне шума не одного или нескольких параметров сигнала, а всего сигнала S(t). В этом случае в качестве критерия оптимальности (точности воспроизведения сигнала) удобно принять среднеквадратичнную ошибку, т.е. средний квадрат уклонения воспроизведенного сигнала от периодического. если сигнал и помеха являются независимыми и стационарными случайными процессами, то частотная характеристика такого оптимального фильтра, обеспечивающего минимальную среднеквадратичную ошибку, определяется спектрами мощности сигналом РС(w) и помехи GП(w).

                            (4)

Фильтр ослабляет те спектральные составляющие, которые сильней поражены помехой, и для которых больше отношение GП(w)/ РС(w). А на тех частотах, где помеха отсутствует GП(w)<< РС(w),  коэффициент передачи K1.

3. Выделение длительного периодического сигнала из его смеси с помехой может быть осуществлено путем исследования функции корреляции этой смеси. Корреляционный фильтр, осуществляющий такое исследование, содержит блок переключения и блок усреднения (интегратор).

При взаимокорреляционной фильтрации, когда фильтр, располагая образцом сигнала, определяет функцию взаимной корреляции между принятой смесью X(t) и образцом сигнала S(t) (в данном случае речь идет только о констатации факта наличия сигнала):

                     

Если сигнал и помеха некоррелированы, то  и напряжения  будет свидетельствовать о наличие сигнала в смеси.

Автокорреляционная фильтра используется при отсутствии определенных сведений о форме сигнала. Фильтр в этом случае определяет автокорреляционную функцию смеси:

              

При отсутствии корреляции между сигналом и помехой последние два слагаемых исчезнут. Что касается оставшихся двух слагаемых, то первое из них может носить черты периодичности, т.к. является автокорреляционной функцией сигнала близкого к периодическому, а второе обращается в ноль, если сдвиг t больше интервала корреляции помехи tП. Таким образом, при достаточно большом сдвиге t и времени усреднения Т наличие напряжения KC.C(t) на выходе коррелятора свидетельствует о наличии периодического сигнала в смеси.

Однако реальные сигналы связи не являются периодическими и ограничены некоторой длительностью tс. Следовательно, при t> tс автокорреляционная функция сигнала становится равной нулю (см. рис.). С другой стороны, интервал корреляции помехи tП возрастает тем больше, чем большему ограничению подвергается спектр помехи в фильтре, поскольку помеха приобретает характер периодичности. При оптимальной фильтрации до коррелометра tП может превысить tс и корреляционная фильтрация не даст никакого эффекта.

Таким образом, автокорреляционная фильтрация эффективна только в том случае, если tс> tП, т.е. при широкой полосе пропускания фильтровых цепей и достаточно длительных сигналов. Повышение помехоустойчивости сигнала по длительности над помехой.

2. Согласованная фильтрация заданного сигнала

2.1.  Методика анализа.

Для задачи обнаружения сигнала в шумах наибольшее распространение получил критерий максимума отношения сигнал-шум (помеха) на выходе фильтра. Фильтры, отвечающие этому критерию, называются согласованными.

Требования к фильтру, максимизирующему отношение сигнал-помеха, можно сформулировать следующим образом. Пусть на вход фильтра подается аддитивная смесь сигнала. S(t) и шума  Сигнал полностью известен. Это означает, что заданы его форма и положение на оси времени. Шум представляет собой вероятностный процесс с заданными статистическими характеристиками. Требуется синтезировать  фильтр, обеспечивающий получение на выходе наибольшего возможного отношения пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению шума. При этом не ставится условие сохранения формы сигнала, т.к. для обнаружения его в шумах форма значения не имеет.

Для уяснения сути согласованной фильтрации сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда на входе фильтра с равномерной АЧХ имеется лишь один полезный сигнал S(t) с известным спектром . Требуется найти ФЧХ фильтра, при которой обеспечивается максимализация типа сигнала на выходе фильтра. Такая постановка задачи равносильна задаче максимизации пика сигнала при заданной энергии входного сигнала, поскольку спектральная плотность S(w) полностью определяет его энергию и не меняется фильтром, а любое изменение фазовых соотношений в спектре тем более не меняет энергии сигнала. Равенство Sвх(ω)= Sвых(ω) означает, что , т.е. ≠ К(ω).

Представим выходной сигнал в виде:

                      (4)

где  - передаточная функция (5) четырехполюсника с искомой ФЧХ  и равномерной АЧХ К0=соnst.

Таким образом

                      (6)

Основываясь на очевидном неравенстве

                                    (7)

и учитывая, что , можно составить следующее неравенство:

                                (8)

Это неравенство определяет верхний предел мгновенного значения колебания SВЫХ(t) при заданном спектре входного сигнала. Максимизация пика выходного колебания получается при обращении неравенства (8) в равенство, а для этого необходимо, как это следует из сопоставления выражения (6) и (8), обеспечить определенное соотношение между фазовой характеристикой фильтра jк(w) и фазовой характеристикой спектра js(w) входного сигнала.

Допустим, что выходной сигнал достигает максимума в момент t0 (пока еще неопределенный). Тогда выражение (6) дает

                     (9)

а условие обращения неравенства (8) в равенство сводится к следующему:

                                    (10)

Это соотношение называют условием компенсации начальных фаз в спектре сигнала, поскольку первое слагаемое в правой части (10) компенсирует фазовую характеристику js(w) входного спектра S(jw). В результате  прохождения сигнала через фильтр с фазовой характеристикой jк(w) сложение всех компонентов спектра, скорреëированных по фазе, образует пик выходного сигнала в момент t=t0.

                     (11)

Соотношение (11) показывает, что только при линейной фазовой характеристике Sвых  имеет пик, т.к. cosnw1(t-t0)=1 при t=0

Связь между фазовой характеристикой js(w), компенсирующей ее характеристикой [-js(w)] и полной фазовой характеристикой фильтра jк(w)=-[js(w)+wt0]  видна из следующего рисунка. После прохождения через фильтр спектр выходного сигнала будет иметь фазовую характеристику.

        

Нелинейность фазовой характеристики φs  означает, что гармоники задерживаются по-разному и следовательно не могут образовать max в момент t0. При линейной фазовой характеристике в момент t0 все гармоники имеют одинаковую фазу, поскольку гармоническая функция Cosnw1(t-t0), при t=t0,   всегда обращается в единицу.

Поскольку для образования пика требуется использование всей энергии сигнала, а это возможно не ранее окончания действия входного сигнала, задержка t0 не может быть меньше, чем полная длительность сигнала.

Введем теперь помеху на входе фильтра. При равномерном энергетическом спектре помехи (белый шум) W(w)=W0=const - фильтр с равномерной АЧХ неприменим, т.к. мощность помехи на выходе достигает очень большой величины.

Для отыскания оптимальной передаточной функции, максимизирующей отношение сигнал-помеха на выходе фильтра, составим выражение для сигнала и шума сначала отдельно, а затем в виде их отношения.

Типовое значение сигнала определим выражением

                       (12)

Среднеквадратическое значение помехи на выходе фильтра

                       

где, W - спектр энергии шума.

Следовательно, отношение пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению помехи на выходе фильтра будет равно:

                             (13)

Воспользуемся известным неравенством Шварца

                         (14)

Это неравенство обращается в равенство только при выполнении условия

                                                    (15)

где А - произвольная константа.

Приравнивая , а , выражение (14) принимает вид

               (16)

Следовательно, определяемое выражением (13) величина  отвечает условию

                             (17)

Учитывая, что выражение в квадратных скобках есть полная энергия входного сигнала, запишем последнее (17) в форме

                                         (18)

Из (15) следует, что это неравенство обращается в равенство при выполнении условия , поэтому

                                         (19)

Полученное выражение полностью определяет периодическую функцию, максимизированную отношение сигнал-помеха на выходе фильтра.

Учитывая, что , а комплексно-сопоряженная функция , (19) примет вид:

                        (20)

Из этого отношения вытекают два условия для фазовой и амплитудной характеристик согласованного фильтра:

(21)

             и

(22)

В тех случаях, когда под комплексной передаточной функцией подразумевается безразмерная величина (например, отношение комплексных амплитуд выходного и входного напряжения), коэффициент А должен иметь размерность, обратную спектральной плотности сигнала.

Физический смысл условий (21), (22) следующий.

Первое из них, совпадающее с (10) и определяющее компенсацию начальных фаз в спектре сигнала, было истолковано выше. Соотношение (22), устанавливающее, что модуль передаточной функции К(jw) должен по своей форме совпадать с модулем спектральной плотности сигнала S(w), также легко поддается физическому истолкованию. При АЧХ К(w), отвечающей условию (22), фильтр пропускает спектральные составляющие шума неравномерно: ослабление шума тем больше, чем меньше модуль S(w).

Ослабление сигнала из-за неравномерности К(w) выражено в меньшей степени, чем ослабление шума, поскольку уменьшение К(w) имеет место для спектральных составляющих, вклад которых в величину типа сигнала сравнительно мал. В результате получается ослабление шума относительно сигнала. В сочетании с фазовой компенсацией спектра сигнала (на дисперсию выходного шума эта компенсация не оказывает влияния), это и приводит к максимизации отношения сигнал/помеха на выходе фильтра.

2.2 Импульсная характеристика согласованного фильтра. Физическая осуществимость.

Тот факт, что коэффициент передачи согласованного фильтра К(jw) является функцией комплексно сопряженной по отношению к спектру сигнала S(jw), указывает на существование связи и между временными характеристиками сигнала и фильтра. Для выявления этой связи найдем импульсную характеристику согласованного фильтра. Последняя связана с комплексной передаточной функцией парой преобразований Фурье. На этом основании имеем

                      (23)

Учитывая, что S*(jw)= S(-jw), то переходя к новой переменной w1=-w, получим

                (24)

Правая часть этого выражения есть функция AS(t-t0). Следовательно, если задан сигнал S(t), то импульсная характеристика согласованного фильтра

                                           (25)

Рассмотрим графическую интерпретацию формулы (25) (см. рис.).

Кривая S(-t) является зеркальным отражением заданного сигнала S(t) с осью ординат в качестве оси симметрии. Функция S(t0-t), представляющая собой функцию S(-t) сдвинутую вправо на t0=t, тоже зеркальна относительно S(t), но с осью симметрии t=t0/2. (рис. 1). На рис. 2 показано аналогичное построение, когда отсчет времени ведется от начала сигнала.

Импульсная характеристика физической цепи не может начинаться при t<0, поскольку отклик не может появиться ранее воздействия. Поэтому задержка t0 не может быть меньше ТС. Следовательно, только при  может быть использована вся энергия сигнала для создания максимального пика в точке t=t0. Отсюда очевидно, что увеличение t0 сверх ТС не влияет на величину пика  выходного сигнала, а просто сдвигает его вправо (в сторону запаздывания).

С другой стороны, условие  накладывает на сигнал S(t) требование, чтобы длительность его TC была конечна. Только в этом случае, при конечной величине задержки t0 можно реализовать пик сигнала. Иными словами, применение согласованной фильтрации для максимизации отношения сигнал-помеха в рассматриваемом здесь смысле возможного только при импульсном сигнале, а также ограниченной по продолжительности пачке импульсов.

Рассмотрим подобный вопрос о физической осуществимости согласованного фильтра. Пусть задачи произвольный сигнал S(t), которому соответствует импульсная характеристика согласованного фильтра g(t) и Фурье-преобразование от этой функции K(jw), определяемые, соответственно, формулами (25) и (19). Вопрос ставится так: при каких условиях K(jw) может являться передаточной функцией физически осуществимого четырехполюсника?

Ответ на этот вопрос дает критерий осуществимости Пэли-Винера, согласно которому неравенство

                                        (26)

является необходимым условием, чтобы исполнительная функция К(w) могла быть модулем передаточной функции пассивной электрической цепи. Т.к. К(w) =AS(w), то (26) можно записать в виде

                                     (27)

Отсюда следует, что необходимым условием физической осуществимости согласованного фильтра является сходимость материала (27). Это условие эквивалентно требованию, чтобы длительность сигнала была ограничена.

2.3. Сигнал и помеха на выходе согласованного фильтра

Для определения формы сигнала на выходе используем общее выражение

                           

Подставив в него (19) получим

                        (28)

(t=t0  момент времени, когда сложение всех компонентов спектра выходного сигнала, по фазе, дает max выходной сигнал).

При t=t0 правая часть этого выражения переходят в энергию входного сигнала:

                                         (29)

где Э - энергия входного сигнал.

С другой стороны, из первой части (28), в которой фигурирует произведение , вытекает, что SВЫХ(t) можно представить как свертку следующих двух функций времени: S(t) и S(t0-t). Таким образом, получаем

                           

Пологая , получаем

                            (30)

где x и y имеют смысл времени на интервале, где S(t) и S(t0-t) существуют одновременно.

Интеграл в правой части (30) является автокорреляционной функцией входного сигнала - BS(t-t0).

Таким образом, приходим к важному выводу, что

                                       (31)

т.е., что сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до постоянного коэффициента А совпадает с автокорреляционной функцией входного сигнала.

Для составления функции SВЫХ(t) на заданной функции BS(t) достаточно в последней t заменить на (t-t0) и учесть коэффициент А. При t=t0, т.е. при t=0, величина BS(0) равна энергии сигнала. Следовательно, как и при спектральном рассмотрении, пиковое значение сигнала (сравнить с (29))

Рассмотрим теперь параметры и статические характеристики шума на выходе согласованного фильтра. При действии белого шума закон распределения его плотности вероятности на выходе линейного фильтра остается таким же, как и на входе. Энергетический спектр шума на выходе фильтра равен

Следовательно, корреляционная функция шума на выходе согласовано фильтра

            

Подставляя K(w)=AS(w) и учитывая (28) и (31), в которых примем t-t0=t, получаем

                (32)

Отсюда следует, что корреляционная функция шума на выходе согласованного фильтра по форме совпадает с корреляционной функцией входного сигнала (и, следовательно, с выходным сигналом).

Приравнивая t=0, находим дисперсию (среднюю мощность) шума на выходе

                            (33)

Составим отношение пикового  значения сигнала SВЫХ(t0) к среднеквадратическому значению шума - . В соответствии с формулами (29) и (33)

                   (34)

Итак, при белом шуме отношение сигнал-шум на выходе фильтра, согласованного с сигналом, зависит только от энергии сигнала и энергетического спектра шума W0. Из этого заключения следует, что при заданных энергии и ширине спектра сигналу можно придавать различную форму, выгодную для решения конкретной задачи. при этом амплитуда А0 и длительность сигнала ТС связаны очевидным соотношением

      

                      А02ТС=const

При измерении длительности сигнала следует обеспечить неизменной ширину его спектра. Это можно осуществить, введя внутриимпульсную модуляцию (частотную или амплитудную).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15513. Етапи входження України до Великого князівсьва Литовського 22.72 KB
  Приєднання українських земель до Великого князівства Литовського Перервана традиція літописання зумовила наявність білих плям в історії польськолитовської доби. Через це частина істориків період існування Великого князівства Литовського до Люблінської унії 1569 р.
15514. Проектирование структуры и содержания дистанционного курса «Использование аудиоинформации при создании цифровых образовательных ресурсов» 1.92 MB
  КУРСОВАЯ РАБОТА Проектирование структуры и содержания дистанционного курса Использование аудиоинформации при создании цифровых образовательных ресурсов Содержание Введение 1. Теоретические основы проектирования дистанционных курсо
15515. Київська митрополія і Флорентійська унія 39.81 KB
  Відокремлення московської митрополії Після входження Києва до ЛитовськоРуської держави відбувається його поступове відродження як духовного та релігійного центру України. В той же час протягом ХIV поч.. ХV ст. у Києві та Москві періодично виникали ситуації коли одно...
15516. Кирило Розумовський 18.34 KB
  Війна мала два важливих наслідки. Поперше переконала російський уряд у неможливості вирішити свої південнозахідні проблеми без економічно сильної України з власним устроєм. Подруге ще раз показала українській громадськості життєву необхідність відновлення гетьманс...
15517. Кирило-Мефодіївське Братство 50 KB
  КирилоМефодіївське Братство Схожі матеріали Культурницький етап українського руху у Східній Україні в ХIХ столітті У 1834 р. цар Микола дозволив відкрити другий в Україні університет ім. св. Володимира в Києві. Засн...
15518. Реєстрове козацтво 16.67 KB
  Реєстрове козацтво Козацька старшина існувала у реєстровому козацькому війську що було створене у 1572 році. На чолі реєстрових козаків стояв гетьман якого обирали за погодженням з королівським урядом на загальній військовій раді. Першим гетьманом реєстрового війська
15519. Під владою Польщі. Зростання козацтва (друга пол. XVI - перша пол. XVII ст.) 19.53 KB
  Під владою Польщі. Зростання козацтва друга пол. XVI перша пол. XVII ст. антифеодальні виступи міщан. Між козаками селянами та міщанами уже сформувалися відносини спільності інтересів взаєморозуміння та взаємопідтримки. У 80х роках XVI ст. відбулося кілька локальних вист
15520. Колонізація після 1569 22.58 KB
  Наслідки Люблинської унії для України були величезні. Україна була розірвана: більша її частина перейшла до Польщі Галичина Холмщина Волинь Поділля Брацлавщина Київщина Підляшшя. За Великим Князівством Литовським залишилися білоруські землі по Вітебськ Оршу та Мс
15521. Конотопська битва або Соснівська битва (27 червня — 29 червня / 7 липня — 9 липня 1659 року) 21.53 KB
  Конотопська битва або Соснівська битва 27 червня 29 червня / 7 липня 9 липня 1659 року битва між військами Гетьмана Івана Виговського та Кримської Орди з одного боку і московським військом з іншого біля міста Конотопа сучасної Сумської області. Наслідки та значення Зв...