5570

Анализ нелинейных цепей

Реферат

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Анализ нелинейных цепей 1. Общие понятия об элементах нелинейных цепей Цепи, которые изучались ранее, относятся к классу линейных цепей. Параметры элементов этих цепей. Параметры элементов этих цепей - сопротивлений, индуктивностей, емкостей - не за...

Русский

2012-12-15

297 KB

51 чел.

Анализ нелинейных цепей

1. Общие понятия об элементах нелинейных цепей

Цепи, которые изучались ранее, относятся к классу линейных цепей. Параметры элементов этих цепей. Параметры элементов этих цепей - сопротивлений, индуктивностей, емкостей - не зависит от значений приложенных к ним напряжений или протекающих через них токов.

В действительности любой реальный элемент таким постоянством не обладает и линейная теория оказывается справедливой только в определенных пределах значений напряжений и токов. Существует также обширный класс исключительно важных элементов и устройств, параметры, которых существенно зависят от токов или напряжений. Такие элементы называются нелинейными. Им нельзя приписать какой-то постоянный параметр даже при изменении переменных в ограниченном диапазоне. Для количественного описания свойств нелинейных элементов необходимо задавать зависимости, называемые характеристиками. Рассмотрим в общем виде характеристики основных нелинейных идеализированных элементов.

2. Модели нелинейных элементов

2.1 Нелинейный резистивный элемент (НЭ) полностью определяется зависимостью между током i и напряжением U (т.е. ВАХ):  i=i(U) или U=U(i). Резистивный НЭ обозначается:. Одна из форм ВАХ может быть, например, такой (см. рис.).

Определить нелинейный резистивный элемент - значит задать его вольтамперную характеристику полностью. В каждой точке ВАХ, заданной конкретным значением напряжения и тока U=U0, i=i(U0)=i0, можно ввести понятие статического сопротивления

                       

и динамического (дифференциального) сопротивления, равного котангенсу угла наклона касательной к ВАХ в данной точке: (см. рис.)

                                               

Общая классификация видов ВАХ резистивных НЭ рассматривает их свойства по положению ВАХ по квадрантам в плоскости (U, i), (см. рис.). Если график располагается только в первом и третьем квадрантах, то ВАХ относится к пассивному элементу, поскольку потребляемая мощность (а,б). Для пассивного элемента i(0)=0. Если же часть графика попадает во второй, или в четвертый квадрант, то говорят, что элемент является активным (в). Это означает, что в его цепи есть источник                                                                                                                                                                                              электрической энергии.

                                                                                                                 

Другим общим свойством резистивных НЭ является монотонность или немонотонность ВАХ.

Немонотонные ВАХ имеют знакопеременное дифференциальное сопротивление. На предыдущем рисунке показаны три типа ВАХ по монотонности: а - монотонная, б - N - образная, в - S - образная.

Монотонность ВАХ играет особую роль при анализе цепей, поскольку при решении уравнений приходится оперировать зависимостями U=U(i) и наоборот  i=i(U). Зависимость, обратная к монотонной, также монотонная и особых проблем при обращении не возникает. Для немонотонных зависимостей необходимо решать уравнения с многозначными функциями. Геометрически, обращение монотонной ВАХ соответствует симметричному отражению графика около биссектрисы первого - третьего квадрантов (см. рис.).

Реально в качестве резистивных НЭ используются диоды (1), варисторы (2), туннельные диоды (3), денисторы (4) (см. след. рис.).

2.2 Безынерционные нелинейные четырехполюсники

Четырехполюсники, на полюсах которых мгновенные значения токов и напряжений полностью задается функциями двух переменных х1 и х2, отражающих мгновенные значения токов и напряжений на других полюсах [F1(x1, x2), F2(x1, x2)], называют безынерционными нелинейными четырехполюсниками (см. рис.) (БНЧ).

БНЧ могут быть описаны уравнениями, отражающими зависимости токов от напряжений на полюсах:

или напряжений от токов:

либо уравнениям смешанного типа

Реальными объектами, которые могут быть описаны как БНЧ, являются, например, биполярный и полевой транзисторы.

Идеализированными моделями БНЧ являются управляемые источники с нелинейными коэффициентами передачи, например, идеализированная модель полевого транзистора (см. рис.), в которой зависимость тока стока от напряжения затвор-исток представляется некоторой линейно функцией I(U) (iс =ic(Uзи)).

2.3. Нелинейная емкость

В нелинейной емкости, условное обозначение которой показано на рис., накопленный заряд зависит от приложенного напряжения нелинейным образом: q=q(u). Если определить временную зависимость тока i(t), протекающего через нелинейную емкость под воздействием напряжения U(t) то, поскольку i(t)=dq/dt, дифференцируя сложную функцию, получаем

    

Функцию C(U)=dq/dU называют вольт-фазовой характеристикой (см. рис.). С учетом этого модель нелинейной емкости имеет вид

                                     

К реальным объектам, моделями которых являются нелинейные емкости, относится, например, варикап (обозначение - см. рис.).

2.4. Нелинейная индуктивность.

Обозначение -   

Нелинейная индуктивность, определяется исключительно связью потока сцепления y и тока i: y=y(i).

Поскольку напряжение индукции, возникающее при изменении магнитного поля, равно производной от потока сцепления: U(t)=  =d y/dt, то дифференцируя y  как сложную функцию, получаем

                              

Величина L(i) называется нелинейной индуктивностью.

Нелинейными индуктивностями описываются катушки с ферромагнитными сердечниками.

3. Аналог цепей с безынерционными элементами

3.1. Общие сведения

Цепи, не содержащие емкостей и индуктивностей, т.е. энергоемких элементов, называются резистивными. Их математическими моделями являются системы нелинейных уравнений.

В общем случае также уравнения не решаются аналитически. Для их решения используют графоаналитический и численный методы.

Обычно при анализе нелинейных резистивных цепей рассматривают задачу в такой формулировке.

Задана цепь с известными характеристиками НЭ, параметры линейных элементов и параметрами источников постоянного напряжения и тока. Пусть на входе цепи действует один источник переменного сигнала S(t), действующем на входе цепи. Требуется найти реакцию цепи y(t):  т.е напряжение или ток на ее входе (1) или выходе (2).

Если сигнал напряжения а отклик ток, то цепь можно рассматривать как двухполюсник (рис. а), если это пара напряжений или пара токов, то как

четырехполюсник (рис. б).

 

               а)                                  б)

Выходной характеристикой резистивного двухполюсника называют зависимость мгновенного значения реакции на входе y(t) от мгновенного значения входного сигнала S(t), т.е. функцию y=y(S). Чаще всего эту функцию называют и передаточной характеристикой резистивного двухполюсника, и определяют последующую зависимость мгновенного значения реакции на выходе y(t) от мгновенного значения входного сигнала S(t), т.е. функцию y(s), т.е. это одно и тоже. Эти характеристики можно измерить экспериментально, подключив в качестве S(t) источник регулируемого напряжения (тока) и регистрируя значения выходной величины в зависимости от входной.

На рис. показана схема и результат экспериментального измерения ВАХ НЭ (двухполюсника).

3.2. Графический метод анализа

Рассмотрим применение графического метода на примере анализа процесса прохождения тока через диод с ВАХ, показанной на рис.

Решение начинают с построения характеристики нелинейного элемента в системе координат вход-выход. В данном случае этой характеристикой является ВАХ, входной величиной - напряжение на двухполюснике, а выходной величиной - ток через него. Теперь необходимо построить график входного процесса (здесь напряжения) как зависимость от времени и

расположить оси координат согласованно с осью входных величин. При этом ось времени оказывается направленной вниз. Далее, справа строят оси системы координат для получения графика выходного процесса. Ось входной величины (в данном случае тока) располагается также согласованно по отношению к осям ВАХ. Выберем произвольный момент времени t1 и отложим соответствующую ему точку на осях t входной и выходной величины. Спроецируем точку, соответствующую мгновенному значению входного напряжения, на график ВАХ и проведем горизонтальную прямую до пересечения с перпендикуляром к оси t в точку t1 графика выходного процесса. Это будет первая точка, показывающая мгновенное значение выходного тока в момент времени t1. Аналогично, в другие моменты времени, точки с графика входного процесса переносят в систему координат для выходного процесса. В результате получают весь график выходного тока.

3.3. Графоаналитический метод

Графический метод прост, но громоздок и не точен при получении количественных результатов. Для количественных оценок используют аппроксимацию графических входных или передаточных характеристик аналитически заданными функциями. Такой метод называется графоаналитическим. Наиболее типична аппроксимация многочленами:

          

Если известны коэффициенты аппроксимирующего многочлена для характеристики безынерционного нелинейного четырехполюсника, то выходной сигнал находят простой подставной:

 

3.4. Численные методы

Если для безынерционного нелинейного четырехполюсника нельзя или очень трудно задать графически входную или передаточную характеристику, то графический и графоаналитический методы неприменимы. В этих случаях составляют полную систему уравнений цепи по законам Кирхгофа и Ома и исходят ее численные методы.

Поясним этот подход на примере. Пусть задана резистивная цепь, схема которой приведена на рис. Составим уравнение цепи

Это нелинейное уравнение, решить которое относительно U(t) можно для любого значения e(t) методы простым итераций, методом Ньютона или любым другим методом численного решения нелинейных уравнений.

4. Преобразование спектров сигналов в нелинейных цепях и его практическое применение.

4.1. Общие положения

Одним из важнейших свойств нелинейных цепей является преобразование спектра входных сигналов. Оно заключается в том, что при действии на входе цепи гармонического или импульсного сигнала, состоящего из суммы нескольких гармонических колебаний различных частот, реакция (т.е. ток или напряжение любой ветви) будет содержать не только гармоники воздействия, но и новые гармоники, которых нет во входном сигнале.

Такое свойство преобразование спектра принципиально невозможно в линейных цепях с постоянными параметрами (RLC - цепях). Там токи и напряжения в любой ветви состоят только из гармоник, содержащихся во входном сигнале.

Пусть задана нелинейная резистивная цепь с передаточной (или входной) характеристикой, заданной в виде степенного полинома. Пусть это, например, ВАХ в виде:

                            (1)

Рассмотрим сначала действия на цепь гармонического сигнала

                                 (2)

Подставим (2) в (1), получаем

                              

Из тригонометрии  известно, что

                             

Как видно, гармоническая функция степени n эквивалентна сумме функций кратных частот, причем четная степень содержит только четные гармоники, нечетная - только нечетные. Очевидно, что наибольшая частота гармоник, равная nw, определяется старшей степенью полинома характеристики цепи:

                             

В общем виде можно записать

                          

На рис. изображен дискретный спектр входного и выходного сигналов для нелинейности общего вида (а), четной (б) и нечетной (в) функций i(U).

Рассмотрим теперь действие на цель сигнала, состоящего из суммы двух гармонических функций с частотами w1 и w2:

                         

Реакция цепи будет состоять из суммы степеней двучленов

                       

При n=2, 3 степени двучленов будут таким

                            

В отличие от воздействия одного сигнала при воздействии сигнала в виде суммы двух функций в отклике имеются еще и дополнительные слагаемые в виде произведения степеней (), где m=1,2,...,n. При этом все степени гармонических функций дают суммы гармоник кратных частот.

Произведения двух гармонических функций дают гармонические функции с частотами, равными разностям и суммам частот сомножителей. В качестве первого приближения можно записать

                 

 

Таким образом, в произведении степеней имеем в общем случае частоты wmn=±m w1±n w2, m=1, 2, ..., n. Колебания с частотами wmn называется комбинационными, а сумма  - порядком комбинационного колебания.

Спектр сигнала на выходе безынерционного нелинейного четрырехполюсника в случае действия на него четырехполюсника в случае сигналов на входе суммы двух гармонических сигналов приведен на следующем рисунке.

Таким образом в общем случае при действии суммы двух гармонических сигналов отклик цепи содержит колебания комбинационных частот

              (3)

Появление в спектре выходного сигнала нелинейного элемента составляющих, которых не было во входном сигнале, широко используют в технике.

Важнейшими применениями этого явления являются умножение частоты, модуляция и детерминирование (демодуляция). Во всех устройствах, в которых производится эти преобразования, нелинейные элементы используются совместно с линейными цепями - фильтрами.

4.2. Умножение частоты

Умножение частоты осуществляют преобразование вида: Acosw0t®Bcosnw0t. Такие устройства представляют собой соединение нелинейного элемента и полосового фильтра, настроенного в резонанс на частоту выделяемой гармоники. Могут быть построены, например, на базе

резонансного усилителя, работающего в режиме с отсечкой тока стока (см. рис.)

Пусть . Найдем сначала ток i0(t). Допустим, что нелинейная характеристика полевого транзистора описывается квадратичным полиномом

                                        

Тогда

                         

Выберем E0 так, чтобы в отсутствии входного переменного сигнала ток был равен нулю, т. е. чтобы

                                 

Тогда при действии переменного напряжения ток будет равен:

                    

 Рассмотрим спектры входного сигнала e(t) и ток i0(t), последний состоит из двух гармоник. Падение напряжения на контуре, как на любом линейном двухполюснике, может быть рассчитано в частотной области:

       

Сопротивление параллельного RLC контура описывается соотношением:

             

Зависимость  при малых отклонениях R/L, т.е. при большой добротности  имеет явно выражений избирательной характер (см. рис.). Так для частоты w0 имеем  На резонансной частоте wp=2w0 получаем

    ,

где  - характеристическое сопротивление. Следовательно спектр выходного сигнала будет содержать одну гармонику с частотой 2w0:

                                      

Если требуется умножение частоты на 3, т.е. n=3, то необходимо иметь нелинейность I(U) не ниже многочлена 3-го порядка и настраивать RLC-контур на частоту 3w0. Аналогично для умножения на n требуется порядок нелинейности не ниже n.

4. Амплитудная модуляция

Амплитудные модуляторы производят преобразования вида  Процесс амплитудной модуляции состоит в преобразовании “ медленного” сигнала S(t), называемого модулирующим, в быстро осциллирующий сигнал, амплитуда которого меняется по закону S(t):

                                     

Здесь Acosw0t - функция, называемая несущим колебанием, m - коэффициент модуляции (m1), где ; Smax=max|S(t), где S(t) – информационная функция.

(5)

Например, если S(t) - сигнал вида (см. рис.), то соответствующий ему АМ-сигнал имеет вид следующего графика (см. рис.).

Определим спектр амплитудно-модулированного колебания.

Пусть АМ-колебание описывается функцией V(t)=f(t)cosw0t. На основании прямого преобразования Фурье спектр этой функции будет содержать 2 группы гармоник: суммарной и разностной частот

                           

Поскольку по определению в выражении  есть спектр функции ,  то формула (*) означает, что при АМ-модуляции спектр НЧ колебания переносится в область ВЧ колебания и раздваивается.

В нашем случае , где . Спектр такой функции состоит из двух частей:   (**). Следовательно, на основании формулы (*), спектр АМ-колебания будет иметь вид:

          

На рис. Изображены спектры модулирующего сигнала, несущего и АМ-колебания. Как видно, в результате модуляции спектр информационного сигнала переносится в область несущего колебания.

Процесс амплитудной модуляции является типичным преобразованием спектра сигнала S(t) и может быть осуществлен только в цепи с нелинейным элементом. Поскольку получение АМ-колебания требует двух сигналов: модулирующего S(t) и несущего Acosw0t, на нелинейный элемент должна действовать сумма этих сигналов.

Включенный последовательно с нелинейным элементом линейный полосовой фильтр (ПФ) – например колебательный контур, настроенный на несущую частоту w0, - выделяет полосу частот, соответствующую АМ-колебанию (см. рис.).

                                                     Проанализируем эту модель.

Пусть ВАХ безынерционного нелинейного элемента описывается многочленом второй степени

Определим входной ток полосового фильтра:

    Рассмотрим спектральный состав тока, пологая что резонансная частота контура w0 можно больше максимальной частоты wmax в спектре S(t) (см. пред. рис.). На этом рис. НЧ спектр S1 обусловлен постоянной составляющей  и членами с S(t) и S2(t), а спектры S2 и S3 образуются сигналами, пропорциональными cosw0t и cos2w0t, соответственно. Если теперь принять, что полоса пропускания полосового фильтра сосредоточена вблизи w0 (пунктир на графике), то он будет выделять колебание, пропорциональное cosw0t, которое и представляет собой АМ-колебание.

Таким образом АМ-колебания получаются путем нелинейного сложения сигнала модуляции S(t) и несущего колебания. В результате получается выходное напряжение следующего вида.

                  

Практической схемой, осуществляющей процесс АМ-модуляции, является например следующая схема на полевом транзисторе и предварительным сложением модулирующего и несущего колебаний.

Напряжение между затвором и источником UЗИ вычисляется по формуле, полученной на основании законов Кирхгофа в предположении, что :

                                            

Подбором значений сопротивлений R1, R2, R3 и напряжения смещения ЕСМ осуществляется выбор рабочей точки на передаточной характеристике транзистора (см. рис. 2). Наилучшим считается такое положение рабочей точки, когда коэффициенты разложения ВАХ в окружности этой точки обеспечивают максимальное значение коэффициента модуляции по первой гармонике выходного тока.

Модулированный сигнал получается как падение напряжение на колебательном контуре, параметры должны обеспечивать центральную частоту  Сопротивление потерь RП должно быть таким, чтобы добротность  цепи была достаточно большой, такой, чтобы полоса пропускания контура 2Dw << w0 (несущей частоты). С другой стороны, спектр модуляционного сигнала не должен искажаться, должно  Wm < Dw, где 2Wm - ширина спектра модуляционного колебания. Используя равенство 2Dw = w0/Q, получаем неравенства для выбора параметров колебательного контура L, C, RП:

                                          

        Коэффициенты а0, а1, а2, ..., определяющие вид нелинейной характеристики транзистора, зависят от выбора постоянного смещения на затворе, задаваемого сопротивлением R1, R2, R3 Ecм. При изменении этого напряжения будет меняться амплитуда а1АQ выходного напряжения V(t). Зависимость амплитуды первой гармоники тока на выходе нелинейного элемента (или падение напряжения на колебательном контуре на первой гармонике) от поданного напряжения смещения, называют статической модуляционной характеристикой (см. рис.). Величину EОПТ, оптимальную для рабочего модулятора, выбирают в середине линейного участка статической модуляционной характеристики. Амплитуда сигнала Smax не должна выходить за пределы линейного участка модуляционной характеристики. Статическая модуляционная характеристика – это не проходная ВАХ транзистора.

Детектирование АМ-колебаний

Процесс, обратной модуляции, называется демодуляцией или детектированием. При детектировании по колебанию  необходимо восстановить сигнал S(t). Устройство, реализующее эту операцию, называют амплитудным демодулятором или детектором. При детектировании следует преобразовать сигнал V(t) так, чтобы потом можно было выделить сигнал S(t). Такое преобразование можно осуществить с помощью безынерционного нелинейного четырехполюсника с последующей низкочастной фильтрацией (см. рис.).

Предположим, что ВАХ БНЧ описывается квадратичной параболой:

                                             

Тогда

или                

Как видно в спектре этого тока присутствует полезная составляю-щая тока S(t), которая может быть выделена фильтром нижних частот. На рис. приведен спектральный состав тока при условии, что в спектре сигнала S(t) максимальная частота wmax<<w0. В полосу пропускания ФНЧ  могут попасть составляющие, пропорциональные S2(t) (пунктир на рис.). Однако при малых m ими можно пренебречь.

Фильтр нижних частот отфильтровывает все высшие частоты в спектре тока и на его выходе имеется сигнал, пропорциональный S(t) с точностью до постоянной составляющей (см. рис.). Постоянная составляющая может быть легко отфильтрована последовательным включением емкости на выходе ФНЧ.

Простейшей критической схемой АМ-детектора может служить диодный детектор (см. рис.). Здесь в качестве ФНЧ используется RC - цепь. Токи всех высших гармоник протекают через емкость, не создавая сколько-нибудь заметного падения напряжения на ней, и UВЫХ(t) будет пропорционально S(t) (см. след. рис.). Заметим, что не всякий нелинейный элемент пригоден для детектирования, например, нельзя использовать только нечетные нелинейности (почему? - самостоятельно).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20123. Визуальные и регистрирующие отсчетные устройства средств измерений 25.5 KB
  Мера есть средство измерений предназначенное для воспроизведения физической величины заданного размера. Измерительный преобразователь это средство измерений предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме удобной для передачи дальнейшего преобразования обработки и или хранения но не поддающейся непосредственному восприятию наблюдателем. Отсчетное устройство средства измерений часть элементов средства измерений показывающая значение измеряемой величины или связанных с ней величин.
20124. Штриховые и концевые меры длин и углов 25.5 KB
  Меры являются необходимым средством измерений т. Меры как средства измерений могут изготавливаться различных классов точности которые регламентируются соответствующими ГОСТами и поверочными схемами. Меры подразделяют на однозначные и многозначные.
20125. Логометрическая схема соединения звеньев. Погрешность 115.5 KB
  Логометрическая схема делителя тока. Логометрическая схема делителя напряжения. Эта схема удобна для включения низкоомных резистивных преобразователей.
20126. Структурные схемы приборов для измерения линейных и угловых величин. Чувствительные и отсчетные устройства приборов 462.5 KB
  В ШОУ значение измеряемой величины представляется в виде взаимного смещения подвижных элементов шкалы и указателя. Если учесть что а принимают как десятую долю интервала деления шкалы то интервал на практике принимается равным 1 мм. Принятый метод определения интервала деления шкалы происходил из практики отсчета десятой доли интервала. Хотя оценка доли деления шкалы не увеличивает точность измерения т.
20127. Дифференциальный метод отыскания коэффициентов влияния 48 KB
  Коэффициент влияния это отношение изменения сигнала на выходе измерительного устройства к вызвавшей его первичной погрешности. Коэффициент влияния определяет долю влияния конкретной погрешности на суммарную. Ti = ðS ðqi Дифференциальный метод применяют для определения влияния отклонений различных составляющих величин на выходной сигнал математически выраженный через величины входящие в передаточную функцию.
20128. Отыскание коэффициентов влияния методом преобразованной цепи 73 KB
  Для анализа действия первичной погрешности и разработки системы компенсации ошибок и регулирования механизма требуется именно аналит. влияния первичной погрешности отыскивается как передаточное отношение преобразованного механизма. Преобразованный механизм назся механизм с точно выполненными звеньями у крого ведущие звенья закреплены неподвижно а звенья имеющие погрешность преобразованы в ведущие звенья с направлением движения совпадающим с направлением рассматриваемой первичной погрешности. Если обозначить через I передаточное...
20129. Отыскание коэффициентов влияния методом фиктивной нагрузки 72.5 KB
  Суть метода: исследуемый механизм нагружается единичной фиктивной нагрузкой причем эта нагрузка прикладывается к выходному ведомому звену механизма таким образом чтобы она увеличивала значение вых. В качестве единичной фиктивной нагрузки принимается сила Φ если звено движется поступательно или же единичный фиктивный момент М если звено вращается. Где Fi проецируемые реакции от действующей фиктивной нагрузки или приравненных действующих первичных погрешностей.
20130. Сравнение различных методов отыскания коэффициентов 45.5 KB
  Существуют следующие методы отыскания коэффициентов влияния и конечных погрешностей: Методика академика Бруевича методика проф.Калашникова дифференциальный метод отыскания коэффициентов влияния метод преобразованной цепи метод фиктивной нагрузки метод планов малых перемещений геометрический метод метод относительных погрешностей метод плеча и линии действия. Метод рассмотрения первичных погрешностей механизма предложенная академиком Бруевичем позволяет строго определить возможное число первичных погрешностей каждого звена и...
20131. Понятие о векторной первичной погрешности 25.5 KB
  Векторные первичные погрешности ВПП погрешности характеризуемые некоторым направлением и некоторым числовым знем называемым модулем. ВПП могут возникнуть в плоскости движения механизма ПП эксцентриситета или плоского перекоса и не в плоскости движения ПП пространственного перекоса. ВПП образуются из ошибок в технических условиях на изготовление и сборку механизма. Эти погрешности: профиля элементов звеньев в высших парах; несоосность; радиальное и торцевое биение; Все ВПП можно свести к двум видам: 1.