5571

Основы цифровой обработки сигналов

Реферат

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Основы цифровой обработки сигналов 1.Основные понятия Под цифровой обработкой сигналов (ЦОС) понимают операции над дискретными во времени величинами (отсчетами сигналов). Дискретную величину, поступающую на вход устройства ЦОС в n-ый момент времени ...

Русский

2012-12-15

497 KB

69 чел.

Основы цифровой обработки сигналов

1.Основные понятия

Под цифровой обработкой сигналов (ЦОС) понимают операции над дискретными во времени величинами (отсчетами сигналов). Дискретную величину, поступающую на вход устройства ЦОС в n-ый момент времени (n=0,1,2,…), обозначим x(n). Дискретную величину, получаемую на выходе устройства ЦОС в n-й момент времени, обозначим y(n). Обычно входные величины поступают на устройство ЦОС и выдаются этим устройством с неизменным шагом Δ. Тогда можно записать:

                                       x(n)=x(nΔ), y(n)=y(nΔ).

Чаще всего Δ<1/2Fв является шагом равномерной дискретизации непрерывного сигнала x(t), поступающего на обработку.

Сигналы на входе и выходе современных ЦОС дискретны не только во времени, но и квантованы по уровню, т.е. являются цифровыми сигналами. Однако, в основном мы будем рассматривать работу ЦОС только с дискретными сигналами (так проще и нагляднее), а в конце этого раздела обсудим погрешности, возникающие в устройствах ЦОС из-за квантования дискретных сигналов по уровню.

ЦОС имеет ряд существенных преимуществ перед аналоговой обработкой сигналов:

  1.  Достигается значительно более высокая точность обработки сигналов по сложным алгоритмам;
  2.  Возможна гибкая оперативная перестройка алгоритмов обработки сигналов, обеспечивающая как создание многорежимных устройств, так и реализацию адаптивных (подстраивающихся) систем;
  3.  Достигается высокая технологичность изготовления устройств ЦОС, связанная с отсутствием необходимости настройки при изготовлении и регулировки в процессе эксплуатации;
  4.  Обеспечивается высокая степень совпадения и повторяемости характеристик реализованных устройств с расчетными характеристиками;
  5.  Существуют большие возможности автоматизации проектирования устройств;
  6.  Обеспечиваются высокостабильные эксплуатационные характеристики устройств ЦОС.

Структурно одноканальную систему передачи сообщений (как непрерывных, так и дискретных) с использованием устройств ЦОС на передаче и приеме можно представить следующим образом

                                                                                                   

                                                                                         

                              

                                                                                                 

Структурная схема передачи сообщений с использованием устройств ЦОС.

ЦФПС - цифровой формирователь первичного сигнала;

ЦМ - цифровой модулятор;

ЦПФ - цифровой полосовой фильтр;

ЦД - цифровой детектор (демодулятор);

ЦФНЧ - цифровой фильтр нижних частот;

ЛС - линия связи.

В системах передачи непрерывных сообщений (в том числе и цифровыми методами) помимо отмеченных на рисунке функций решаются и задачи цифрового компандирования первичного сигнала на входе модулятора (сжатия динамического диапазона) и цифрового эспандирования (расширения динамического диапазона) сигналов на входе детектора.

Наиболее широкое применение нашли линейные устройства ЦОС, в которых сигналы входа и выхода связаны линейными соотношениями. Такими являются все фильтры в рассмотренной схеме, а также схемы ЦМ и ЦД, построенные на основе перемножения двух функций. Кроме того, практически все ЦФ являются стационарными устройствами (свойства не зависят от времени).

2.Спектр дискретного сигнала

Определим дискретный сигнал xд(t) через совокупность отсчетов непрерывной функции x(t):

x(k)=x(t=kΔ)                                                            (1)

Тогда сам дискретный сигнал можно записать в виде модели:

xд(t)=x(t)fn(t),                                                           (2)

где  безразмерная периодическая (с периодом Δ)

решетчатая функция.

Покажем, что дискретный сигнал (1) имеет спектр по Фурье вида:

            (3)

где Śx(f) - спектр исходного непрерывного сигнала x(t). Из (3) следует, что спектр дискретного сигнала повторяется с периодом частоты дискретизации Fд (см. рис.).

                      

                  АЧХ ФНЧ                          Sxд(f)                  спектр исходного сигнала

                                                                         Sx(f)         

                                                                                                                    f

                                                        0                                                              

                            Fд                                                   Fд

                                             -Fв               +Fв

Амплитудный спектр первичного дискретного сигнала

Из математики известно (задача Парсеваля), что спектр Фурье от произведения двух функций определяется сверткой спектров сомножителей

где Śfn(f) -- спектр по Фурье периодической функции fn(t) c периодом Δ, которую представили комплексным рядом Фурье:

(при интегрировании учтено фильтрующее свойство δ-функции).

Спектральная плотность периодической функции

определяется суммой δ-функций:

С учетом (5) интегрирование (4) дает результат (3). Из спектра (3) можно без искажений восстановить спектр Śx(f), следовательно, и сам непрерывный сигнал x(t) только при условии, если отдельные копии спектра Śx(f-kFд) взаимно не пересекаются (см. предыдущий рис.). Это возможно, если Fд>2Fв (или Δ<1/2Fв). Восстановление осуществляют фильтром нижних частот, АЧХ которого показана на предыдущем рисунке пунктирной линией. Реализация такого фильтра тем проще, чем сильнее выполняется неравенство Fд>2Fв.

Спектр дискретного сигнала можно определить не только по формуле (3), но и путем непосредственного применения прямого преобразования Фурье к функции (1). Это дает следующий результат:

Определим теперь спектр Фурье дискретного финитного

(непериодического) сигнала, определенного на интервале (0;Т). Такой финитный сигнал можно записать в виде:

Спектр сигнала (7) можно найти, если его периодически продолжить направо и налево с периодом Т. Тогда получаем периодический сигнал Хд пер(t) совпадающий с Хдф(t) на интервале (0;Т), для которого комплексные амплитуды Ćn можно получить из (6) при ω=2πn/Т суммированием от k=0 до k=N-1 и с учетом сомножителя 1/Т:

Формула (8) определяет коэффициенты дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Из нее следует, что при заданных N отсчетах x(k) существует N коэффициентов ДПФ (n=0,1,2,3,…,N-1). Коэффициент

определяет постоянную составляющую. При четном N из (8) следует для вещественных x(k):

т.е. коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно N/2, образуют комплексно-сопряженные пары. Можно считать, что коэффициенты ĆN/2, ĆN/2+2,…CN-1 соответствуют отрицательным частотам. Число же амплитуд, образующих спектр ДПФ равно N/2. Это следует из теоремы отсчетов Котельникова при Δ=1/2Fв. При таком условии спектр xдпер(t) содержит Fв/(1/Т)=Т(2Δ)=N/2 амплитуд.

При заданных Ćn (n=0,1,2,3,…N-1) функцию x(k) можно определить с помощью обратного преобразования Фурье (ОДПФ), представляя периодическую функцию xпер(t) c периодом Т рядом Фурье:

Положив в (10) t=, получаем ОДПФ:

Как прямое, так и обратное преобразование Фурье линейны.

3.Алгоритм быстрого преобразования Фурье

При вычислении N коэффициентов ДПФ согласно (8), или ОДПФ, согласно (11), надо выполнить N² достаточно трудоемких операций умножения. При больших массивах N (порядок 10³ и выше) использование (8) и (11) в реальном масштабе времени затруднительно из-за ограниченного быстродействия вычислительных устройств. Задача существенно упрощается с применением алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ), которые сводят обработку заданного массива данных к обработке массивов с меньшим числом членов и, тем самым, существенно уменьшается требуемое число операций умножения.

Сущность одного из алгоритмов БПФ для вычисления коэффициентов Ćn для массива вещественных данных {x()}, объема N=2r, где r - целое число, состоит в следующем.

Разобьем исходный массив данных {x()} на две части с четными и нечетными номерами:

Согласно (8) коэффициенты N·Ćn на первом этапе разбиения равны:

Из (12) следует, что последовательности коэффициентов Ć¹nчет и Ć¹nнеч обладают свойством периодичности с периодом N/2:

Кроме того, для n>N/2  множитель        в (12) можно представить в виде:

С учетом (12), (13) и (14) для всех n=0,1,2,3…N-1 можно записать:

Причем знак "-" соответствует значениям n=N/2, N/2+1,… N-1. Подсчитаем, сколько требуется операций умножения при вычислении всех значений ĆnN по алгоритму (15). Для вычисления всех Ć¹nчет по (12) требуется (N/2)² умножений. Столько же умножения требуется для вычисления всех Ć¹nнеч. Кроме того, потребуется N умножений Ć¹nнеч на число +      .   Следовательно, потребуется 2(N/2)²+N умножений. При больших N  требуемое число умножений равно N²/2=Nlog2N (при N=4), что в 2 раза меньше, чем по алгоритму (8).

Четные отсчеты исходной последовательности Х¹чет(k) (их всего N/2) разобьем далее на втором этапе разбиения на четные и нечетные компоненты x"(2k) и x"(2k+1) (их число равно N/4). ДПФ последних обозначим Ć"nчет и Ć"nнеч. Тогда можно написать:

Аналогичное разбиение выполняется над нечетными отсчетами исходной последовательности Х¹неч(k). Для вычисления всех ĆnN согласно формулам типа (16)  (по массиву данных                                            )

потребуется число умножений                                           (при N=8).

Процесс разбиений можно продолжать r раз до тех пор, пока не получится последовательность из одного элемента, ДПФ которого совпадает с самим элементом. Далее надо собрать результаты отдельных разбиений для вычисления суммарных значений ĆnN. Анализ показывает, что число операций умножения, необходимых для вычисления БПФ, не больше, чем Nr=Nlog2N, что при больших N  существенно меньше, чем N2. БПФ по рассматриваемому методу осуществляют в следующем порядке. Сначала для получения желательного при обработке сигнала порядке следования отсчетов x(k), k=0,1,2,…,N-1, выполняется двоично-инверсная перестановка исходной последовательности x(q), q=0,1,…, N-1. Для этого записывают порядковые номера элементов x(q) в двоичном коде и инвертируют порядок следования разрядов. Новый порядок следования элементов x(k) определяется номерами, получаемыми после инверсии разрядов.

Пример для N=4

x(q)

x(k)

0®

00®

00®

0®

1®

01®

10®

2®

2®

10®

01®

1®

3®

11®

11®

3®

Новый порядок следования элементов следующий: x(0), x(2), x(1), x(3). После этого поступают так: на первом этапе вычислений определяют 2-х точечные элементы ДПФ "новой" последовательности x(k), объединяя попарно элементы этой последовательности; на втором этапе из 2-х точечных ДПФ получают 4-х точечные ДПФ, пользуясь основной операцией данного метода (об этом ниже); затем 4-х точечные ДПФ объединяются в 8-ми точечные и т.д.

Базовые операции показывают, как два входных числа A и B объединяются для получения двух выходных чисел X и Y. Для метода прореживания во времени базовая операция имеет вид:

- в графическом виде




       

Граф для вычисления БПФ при N=4





                                                          

или в форме уравнений

При вычислении двухточечного ДПФ k=0 и выходные числа X и Y определяются без операции умножения X=A+B, Y=A-B.

Чтобы воспользоваться рассмотренной процедурой БДПФ для вычисления ОДПФ, запишем (11) в виде

*) – комплексно-сопряженные числа.

Вводя массив данных       (вместо x(n)), можно найти сумму в (18) по изложенной выше методике БДПФ, а затем для нахождения x(k) найти комплексно-сопряженное значение полученного результата.

Существуют и другие методы вычисления БДПФ, т.е. другие методы группирования исходных данных x(k).

4. Временные и спектральные методы исследования линейных стационарных цифровых фильтров.

Подобно тому, как отклик аналоговой линейной стационарной системы y(t) на произвольное внешнее воздействие x(t) можно найти временным методом через импульсную характеристику системы g(t)

или спектральным методом через комплексный коэффициент

передачи цепи, так и отклик линейного стационарного цифрового фильтра y(n) на произвольное внешнее воздействие x(n) можно найти через импульсную характеристику ЦФ g(n) или спектральным методом.

Выполнив в (19) дискретизацию по переменным t и t, положив t=kD, t=mD, получаем цифровой аналог свертки (19):

где g(), =0,1,2,…,L – отсчеты импульсной характеристики ЦФ, т.е. отклика на единичный импульс (1,0,0,0,0,0,…), поступающий на вход фильтра в момент времени t=0. Из условий реализуемости ЦФ надо принять

                                   g(-)=0, =1,2…                                                (21)

Если входные отсчеты x(k) начинают поступать в момент t=0, то можно написать

Из условия реализуемости ЦФ (21) следует, что суммирование в (22) фактически выполняется только при k£m:

Если число входных отсчетов x(0), x(1),…,x(N-1) равно N, а число отсчетов импульсной характеристики ЦФ (g(0), g(1),…,x(L)) равно (L+1), то в (23) m принимает значения 0,1,2,…,NS-1 (NS=N+L). Для нахождения одного значения y(m) в соответствии с (23) надо выполнить не более чем (L+1) операций умножения. Для нахождения всех значений y(m) надо выполнить примерно      операций умножения.

Число операций можно существенно сократить, если использовать спектральный метод расчета ЦФ и методы БПФ. Чтобы это показать, напишем сначала дискретную свертку (23) в нормированном виде:

Дополнив последовательность из N входных отсчетов x(k) L нулями, представим x(k) через ОДПФ:

Дополнив последовательность из (Q+1) отсчетов импульсной характеристикой ЦФ (N+1) нулями, определим ОДПФ:

где         - коэффициенты ДПФ для импульсной характеристики ЦФ.

Подставляя (25) и (26) в (24), получаем:

Справедливо условие

Равенство суммы N при n= очевидно. Равенство же суммы нулю при n ¹ объясняется тем, что в этом случае имеем сумму единичных векторов, образующих в совокупности правильный N-угольник. Сумма эта, естественно, равна нулю.

С учетом (28) формула (27) принимает вид

Уравнение (29) определяет ОДПФ выходных отсчетов ЦФ, если ДПФ над этими отсчетами определяется произведением ДПФ входных отсчетов и отсчетов импульсной характеристики фильтра:

Если методами БПФ найти спектральные компоненты

а затем и ОДПФ от их произведения                        , то можно при больших N существенно экономить в вычислительных операциях по сравнению с непосредственными вычислениями y(m) по формуле дискретной свертки.

5. Использование Z-преобразования в теории стационарных линейных цифровых фильтров.

Это преобразование можно получить из преобразования Лапласа или Фурье для дискретного сигнала xg(t)

Определим одностороннее преобразование Лапласа (для сигналов, определенных при t ³0 для дискретного сигнала вида (1)):

При p=j w из (31) следует преобразование Фурье для дискретного сигнала.

Если обозначить:

то преобразование Лапласа (31) переходит в Z- преобразование дискретного сигнала Xg(t):

Очевидно, что из преобразования Фурье дискретного сигнала Xg(t) при

следует также Z-преобразование X(z).

Справедливо и обратное утверждение: из Z-преобразования X(z) дискретного сигнала (33) при             следует его преобразование Лапласа. (Или из X(z) при       следует преобразование Фурье сигнала).

Если дискретный сигнал Xg(t) определен и при t<0, то вместо (33) можно ввести более общее преобразование для такого сигнала:

Следует оговорить сходимость X(z) при неограниченном числе слагаемых в (33) или (35). Отсчеты x(k) всегда удовлетворяют условию |x(k)|<CRk, k>0, C>0 и R>0 постоянные вещественные числа. Тогда  (33) сходится при всех Z , для которых │z│>R (т.е. в кольцевой области с радиусом сходимости R). В области сходимости X(z) представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую в этой области ни полюсов, ни существенно особых точек.

Для нахождения x(k) по X(z) (т.е. обратного Z-преобразования) умножим левую и правую части (33) на Zn-1

Возьмем от левой  и правой частей (36) интеграл по z по замкнутому контуру в области аналитичности, охватывающей все полюсы функции X(z)zn-1. Получим следующий результат:

Этот результат следует из теоремы Коши при интегрировании функции комплексного переменного z:

Наиболее важное свойство Z-преобразования связано со сдвигом сигнала во времени:

Таким образом, Z-преобразование дискретного сигнала y(t), у которого все отсчеты смещены на один такт (в сторону запаздывания) относительно дискретного сигнала Xg(t), равно произведению z-1 на X(z). Можно сказать, что z-1 является оператором сдвига на один такт в сторону запаздывания. Для доказательства (39) запишем Z-преобразование последовательности{y(k)=x(k-1)}:

Вводя переменную k-1=n, из (40) получим (39). Очевидно, если

y(k)=x(k-n), то Y(z)=z-1X(z).

Рассмотрим дискретную свертку конечной протяженности :

Найдем Z-преобразование этой свертки:

Таким образом, свертка двух дискретных сигналов соответствует произведению их Z-преобразований.

Покажем, что импульсная характеристика ЦФ {g(0), g(1)…g()} является его откликом на единичный импульс (1,0,0,0,0,…). Действительно, при воздействии единичного импульса формула (41) принимает вид:

                                       y()=g(),=0,1,2…                                      (43)

Если импульсная характеристика ЦФ финитна, то

                                       y()=0 при =Q+1,                                        (44)

где (L+1)- число тактовых отрезков на интервале финитности.

Рассмотрим прохождение через линейный ЦФ гармонической последовательности вида x(t)=ej(wt+ j) или в дискретном виде:

                                            x(k)=ej (wkD   + j)                                           (45)

Согласно формуле свертки (41) с учетом (45) находим выходной сигнал:

Введем над знаком суммы новый индекс суммирования q-k=n и учтем, что из соображений реализуемости g(n)=0 при n<0. Тогда:

где

- комплексная передаточная характеристика ЦФ. Импульсная характеристика ЦФ в реальном масштабе времени будет иметь вид:

причем Ќцф(f) является преобразованием Фурье от дискретного сигнала вида (48).

Как следует из (47), Ќцф(f) является периодической функцией частоты дискретизации Fg=1/Δ (как и спектр дискретного сигнала).

Если в (47) ввести переменную z=ejwD, то получим Z-преобразование импульсной характеристики ЦФ:

H(z) называют системной функцией стационарного линейного ЦФ.

Из (42) при замене G(z) на H(z) видно, что системная функция ЦФ определяется как отношение Z-преобразования выходного сигнала фильтра к Z-преобразованию входного сигнала:

Если в системной функции ЦФ положить    , получим частотную характеристику ЦФ

Таким образом, применение Z-преобразований позволяет проводить анализ цифровых фильтров теми же методами, что и анализ аналоговых линейных цепей.

6. Основы реализации цифровых фильтров.

В общем случае в линейном стационарном цифровом фильтре k-й выходной отсчет y(k) (в момент времени t=) линейно зависит от k-го входного отсчета x(k) и некоторого количества предшествующих отсчетов x() (<k), а также от некоторого количества выходных отсчетов y() (<k):

Числа L и M в разностном уравнении (52) называют соответственно относительной памятью ЦФ по входу и выходу. ЦФ с памятью по входу называются рекурсивным, а без такой памяти нерекурсивными.

Алгоритмы работы различных ЦФ отличаются параметрами Q и M и набором коэффициентов {a} и {bi}. Рассмотрим сначала реализацию нерекурсивных ЦФ, когда все bi=0 (т.е. М=0).

В этом случае разностное уравнение (52) принимает вид:

Структурная схема ЦФ, реализующая алгоритм (53) приведена на следующем рисунке:

 

Структурная схема построения нерекурсивного (трансверсального) ЦФ

Основными элементами ЦФ являются блоки задержки отсчетных значений на один тактовый интервал (условно обозначены символом z-1), а также масштабные блоки aq (усилители). Сигналы с последних собираются в сумматор, образуя входной отсчет. Посредством разностного уравнения (53) можно построить лишь ЦФ с финитной (конечной) импульсной характеристикой {g(0), g(1)…g(Q)}.Если на вход схемы трансверсального типа подать единичный импульс (1,0,0,0,…), то по определению отклик ЦФ есть его импульсная характеристика g(t). Это возможно лишь при условии, что в трансверсальном ЦФ отсчеты импульсной характеристики g(q) совпадают с коэффициентами a, ℓ=0,1,2,…Q.

Взяв Z-преобразование от левой и правой частей (53) получаем:

Тогда системная функция трансверсального фильтра будет иметь вид:

Равенство (54) определяет дробно-рациональную функцию от Z . Она имеет L-кратный полюс при Z=0 и L нулей, определяемых корнями полинома числителя формулы (54). Последние зависят от отсчетов импульсной характеристики ЦФ g(ℓ)=a. Частотная характеристика трансверсального цифрового фильтр согласно (54) и (51) имеет вид:

Рассмотрим теперь работу ЦФ, работающего по общему алгоритму (52).

x(k)

a0                     a1                                                                      aq

                                                                                                           y(k)

             bM                                                                           b1

Структурная схема построения рекурсивного ЦФ.

Взяв Z-преобразование от левой и правой частей (52) получим:

Отсюда следует выражение для системной функции цифрового рекурсивного фильтра:

В реализуемых цифровых фильтрах обычно M>Q. При таких условиях дробно-рациональная функция (56) имеет на Z-плоскости: L нулей, определяемых корнями Zoi уравнения:

M-L-кратный ноль в точке Z=0;

М полюсов, определяемых корнями Zni уравнения

    Если коэффициенты b (ℓ=1,M) вещественны, то корни уравнения (57) (т.е полюса H(z)) лежат либо на вещественной оси, либо образуют комплексно сопряженные пары.

Системной функции (56) соответствует частотная характеристика ЦФ:

где Ro,i=ejwD-zo,i,Rп,i= ejwD- zo,i

АЧХ фильтра (в децибелах) определяется формулой:

За счет наличия обратной связи рекурсивные ЦФ характеризуются нефинитной (длящейся неограниченно) импульсной характеристикой (откликом на единичный импульс (1,0,0,0,…)).

Система с обратной связью нуждается в исследовании на устойчивость. ЦФ устойчив, если │yn│при n→∞  не превышает некоторого положительного числа А, независимо от выбора начальных условий в схеме. Чтобы исследовать устойчивость схемы, надо исследовать поведение свободных колебаний, т.е. уравнение (52) при отсутствии внешнего воздействия:

Известно, что отдельное свободное колебание в линейной стационарной системе определяется выражением. При t=, имеем             . Обозначив                                            решение уравнения (58) можно искать  в виде:

Подставляя (59) в (58) получаем характеристическое уравнение, определяющее λ:

Уравнение (60) совпадает с уравнением (57), которому удовлетворяю полюсы системной функции рекурсивного ЦФ (классический алгебраический критерий устойчивости Раусса-Гурвица).                                                                                         

При найденных корнях уравнения (60) или (57)   λk=zk, k=1,M, общее решение уравнения (58) можно представить в виде:

где ограниченные коэффициенты А1, А2, …Аm определяются начальными условиями.

Для момента времен с номером (k+1) из (61) следует:

Если все полюса системной функции (56) удовлетворяют условию

 

т.е. они лежат внутри единичного круг с центром в точке z=0, то на основании (61) и (62) можно прийти к заключению, что все свободные колебания во времени определяются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии и фильтр будет устойчивым.

Недостатком рассмотренной схемы рекурсивного ЦФ является наличие отдельных элементов задержки для входных и выходных отсчетов.

Это недостаток устранен в так называемой канонической схеме рекурсивного ЦФ, использующего общие элементы задержки для входных и выходных отсчетов, при M=L.

                                                               a0

                                                               a1

                                                              a2

x(k)                                                                                  aL

                                    b1

                                    b2

                                    bM 

Каноническая схема реализации рекурсивного ЦФ

Каноническая схема идентична ранее рассмотренной схеме рекурсивного ЦФ. Чтобы это доказать, определим системную функцию ЦФ по канонической схеме. Обозначим значения дискретного отсчета в k-й момент времени на выходе первого сумматора через W(k). Согласно схеме, очевидна справедливость уравнения

Дискретный сигнал на выходе второго сумматора в k-й момент времени

Выполним Z-преобразование над правой и левой частями (64-65). Получим:

Приравняв значения W(z) из (66) и (67), имеем

Полученный результат не отличается от (56), что доказывает идентичность полной и канонической схем рекурсивного ЦФ.

7. Синтез цифровых фильтров.

Большое практическое значение имеют методы синтеза ЦФ с требуемым видом импульсной или частотной характеристик ЦФ. Рассмотрим некоторые приемы синтеза ЦФ по заданным характеристикам их аналоговых прототипов.

7.1. Синтез по заданной импульсной характеристики аналогового прототипа g(t).

ЦФ строится с импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации g(t), т.е. ее k-й отсчет g(k)=g(). Если в импульсной характеристике Цф ограничится конечным числом слагаемых, получаем реализацию в виде трансверсального фильтра. При неограниченном числе компонент g(k) следует реализация в виде рекурсивного фильтра.

7.2. Синтез ЦФ по заданной частотной характеристике ќ(ω) (или операторного коэффициента передачи K(p)).

 

Принципиально нельзя создать ЦФ, частотная характеристики которого ќцф(ω) повторяла бы частотную характеристику аналогового прототипа ќ(ωа), т.к. ќцф(ω) является периодической функцией частоты дискретизации ωg. Однако, можно потребовать, чтобы весь интервал частот ωа, характеризующий аналоговую цепь, был преобразован в отрезок частот ωц ЦФ, на котором сохраняется форма характеристики ќ(ωа), причем

Если для перехода от р-плоскости (отображающей аналоговый прототип) к z-плоскости (отображающей цифровой фильтр) воспользоваться соотношением

то формально мы от частотной характеристики аналогового эквивалента переходим к системной функции ЦФ. Однако, если                   подставить в выражения для передаточной функции аналогового прототипа ќ(р), которая для цепей с сосредоточенными параметрами представляет собой отношение двух полиномов от Р (дробно-рациональную функцию), получим физически нереализуемую системную функцию ЦФ, т.к. она не выражается отношение двух полиномов от z.

Надо найти такое преобразование Р в Z, которое привело бы к реализуемому фильтру, но вместе с тем сохраняло бы основное свойство преобразование (69): т.е. переводило бы точки мнимой оси на плоскости Р (точки )  в точки единичной окружности в z-плоскости.

Для синтеза ЦФ получило широкое распространение билинейное преобразование:

Для выяснения сущности преобразования (70) положим                  , т.е. комплексно-значные точки z лежат на единичной окружности и характеризуются аргументом (угловым сдвигом) ωцΔ. Тогда правая часть (70) принимает вид:

Воспользовавшись формулами                                                       ,(71) можно представить так:

Последнему соотношению, согласно (70) соответствует мнимая аналоговая часть вида а, следовательно,

При выполнении неравенства

        следует, что:

В более общем случае надо учесть изменение масштаба по оси частот ЦФ.

8. Учет погрешности цифровой фильтрации из-за квантования сигнала по уровням.

Появление быстродействующих многоразрядных процессоров цифровой обработки сигналов самых различных типов сделало возможным производить цифровую обработку сигналов не только речи и вещания, но и телевидения. Однако, даже при такой совершенной технике необходимо учитывать погрешности работы ЦФ, обусловленную квантованием уровней сигналов.

Пусть хmax и xmin – наибольшее и наименьшее значение уровня сигнала на выходе аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Если для квантования сигналов используется Q уровней, то при равномерном квантовании шаг квантования определяется соотношением

Квантованные отсчеты хкв(k) описывают мгновенные значения аналогового дискретного сигнала x(k) с определенной погрешностью (с шумом квантования): ε(k)=xкв(k)-x(k). Эта погрешность уменьшается (по модулю) с уменьшением Δх. Будем считать, что квантователь работает по следующим правилам: в качестве дискретного принимается уровень, ближайший к истинному. Если действительный входной уровень x(k) находится в середине между дискретными номерами q и (q+1) – выбирается любой из них. При оговоренных условиях погрешность εвх(k) лежит в пределах

Чаще всего считается, что случайная погрешность Eвх (при

различных k) равномерно распределена на отрезке                . Тогда

ее математическое ожидание (МО) равно нулю, а дисперсия

                      

Определим погрешность работы линейного стационарного фильтра, обусловленную шумом квантования εвх(k). Дискретный входной отсчет ЦФ, обусловленный шумом квантования εвх(k), согласно (41) равен

                                                                                                                 

Математическое ожидание выходного шума Eвых=0. Для нахождения дисперсии выходного шума  предположим, что отдельные отсчеты входного шума Eвх(k) – независимые случайные величины с

равномерным распределением и дисперсией                        . Тогда

                            .

Выходной шум ЦФ, обусловленный квантованием сигнала, тем меньше, чем быстрее убывают отсчеты импульсной характеристики фильтра. Относительную погрешность ЦФ, обусловленную шумом квантования, можно определить так

Оценим влияние шума квантования на работу цифрового перемножителя. Из-за шума квантования квантованные отсчеты входного и опорного сигналов можно записать в виде

 

          Тогда

 

     Схема цифрового

      перемножителя

Ошибка цифрового перемножителя из-за шума квантования будет такой

                              Eвых(k)=x(k)Ef(k)+f(k)Ex(x)+Ex(k)Ef(k)

При сделанных ранее предположениях о шуме квантования  математическое ожидание                      . Предполагая шумы квантования сигналов x(t) и f(t) независимыми стационарными случайными процессами, получаем для дисперсии выходного шума перемножителя следующее выражение

Если сигналы x(t) и f(t) квантуются с одинаковым шагом D x=Dt=p, то

Относительная погрешность работы цифрового перемножителя, обусловленная шумом квантования, будет такой

9. Выводы.

1. Устройства ЦОС обладают рядом преимуществ перед устройствами обработки сигналов в непрерывном времени и широко применяются на практике в системах передачи как дискретных, так и непрерывных сообщений.

2. Наиболее широко применяются в системах связи линейные стационарные фильтры и перемножители.

3. Спектр Фурье дискретного сигнала является периодической функцией частоты дискретизации.

4. Линейчатый спектр дискретного (периодического) сигнала с числом отсчетов N определяется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Число компонент такого спектра Ćn равно N, а число амплитуд – N/2. По спектральным компонентам Ćn дискретные отсчеты x(k) определяются через ОДПФ.

5. Существует методы быстрого преобразования Фурье, позволяющие существенно сократить число операций, выполняемых при расчете ЦФ спектральными методами.

6. При анализе и синтезе ЦФ широко используется

Z-преобразование для получения спектральных характеристик входного и выходного сигналов, и самого цифрового фильтра (его системной функции H(z)). Обратным Z-преобразованием определяются временные характеристики входных и выходных сигналов, а также ЦФ.

7. Частотный коэффициент передачи ЦФ определяется системной функцией фильтра при z=ejwD.

Линейные стационарные цифровые фильтры с финитной импульсной характеристикой реализуются трансверсальной схемой, а с неограниченной импульсной характеристикой – рекурсивной схемой (с обратной связью с выхода на вход).

9. Рекурсивные цифровые фильтры устойчивы, если все корни полинома знаменателя системной функции H(z) лежат внутри единичного круга с центром в начале координат.

10. ЦФ часто строятся по аналоговому эквиваленту. Находят применение методы синтеза ЦФ по заданной импульсной характеристике аналогового эквивалента, по заданному дифференциальному уравнению аналогового эквивалента, по заданной частотной характеристике аналогового эквивалента.

11. Выходной шум ЦФ, обусловленный квантованием, тем меньше, чем быстрее убывают отсчеты импульсной характеристики.

12. Выходной шум цифрового перемножителя зависит как от значений отсчетов перемножаемых сигналов, так и от их цифровых компонент.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71183. Создание базы данных для хранения информации о файловой системе 430.04 KB
  Запустив это приложение без параметров, мы имеем только права на чтение. Т.е. никаких изменений в базе данных мы сделать не можем. Это связано с тем, что при запуске этой сессии мы не передавали никаких учетных данных.
71185. Индексы. Ограничения. Создание и удаление 52.08 KB
  Причина состоит в том, что для поля id нет индекса, поэтому не может быть создано ограничение типа FOREIGN KEY. Попробуйте создать внешний ключ на поле id в следующих случаях (Внимание: перед выполнением каждого нового пункта из данного раздела удалите сначала все сделанные изменения)...
71186. Транзакции 496.74 KB
  Транзакция позволяет объединить операторы в группу и гарантировать что все операции внутри группы будут выполнены успешно. Если часть транзакции выполнится со сбоем, результаты выполнения всех операторов до места сбоя отменятся...
71187. MySQL+Lazarus: Работа и базой данных из Lazarus. TMySQL50Connection, TSQLTransaction, TSQLQuery – компоненты для работы с базой данных 937.82 KB
  Создайте пустой проект. В папку проекта необходимо скопировать библиотеку DLL для работы с MySQL. Скачать ее можно здесь: libmysql.dll. Разместите на форме компоненты TMySQL50Connection, TSQLTransaction, TSQLQuery из панели SQLbd; и компонент TDatasource из панели Data Access.
71189. Дополнительные возможности пакета программ SolidWorks 267 KB
  Цель: Изучить дополнительные возможности пакета программ SolidWorks. После занятия студент должен: Знать: Дополнительные возможности пакета программ SolidWorks. Уметь: Использовать в своей работе дополнительные возможности пакета программ SolidWorks.
71190. Создание эскизов в пакете программ SolidWorks 1.77 MB
  Цель: Изучить основные приемы создания эскизов в пакете программ SolidWorks. После занятия студент должен: Знать: Методику создания эскизов. Уметь: Создать эскиз различными методами.
71191. Создание трехмерной модели в программе SolidWorks 531.5 KB
  Цель: Изучить основные приемы создания трехмерных моделей в пакете программ SolidWorks. После занятия студент должен: Знать: Методику создания трехмерных моделей. Уметь: Создать трехмерные модели различными методами.