55715
Розв’язування рівнянь та побудова графіків, що містять цілу та дробову частини числа
Реферат
Педагогика и дидактика
Розвязування рівнянь що містять цілу і дробову частини. У роботі проаналізовано окремі способи розвязування рівнянь зі змінною під знаком цілої та дробової частин зокрема графічний та аналітичні.
Украинкский
2014-03-28
712 KB
151 чел.
Шосткинська гімназія Шосткинської міської ради Сумської області
Розв’язування рівнянь та побудова графіків,
що містять цілу та дробову частини числа
Підготувала
вчитель математики
Шосткинської гімназії
Шосткинської міської ради
Сумської області
Шулежко Валентина Миколаївна
Шостка - 2012
Зміст
Вступ…………………………………………………………………………….3
Розділ 1 Теоретичні відомості
- Ціла та дробова частини числа………………………………………….4
- Методи розв’язування рівнянь з цілою та дробовою частинами……..4
- Способи побудови графіків, які містять цілу і дробову частини……..5
Розділ 2 Практична частина
- Розв’язування рівнянь, що містять цілу і дробову частини…………..7
- Побудова графіків, що містять цілу та дробову частини…………….23
Список використаних джерел…………………………………………………33
Вступ
Вибір теми не випадковий. Адже рівняння, в яких змінна міститься під знаком цілої та дробової частини та побудова графіків функцій, що містять цілу та дробову частину числа, у шкільному курсі не вивчаються.
У роботі проаналізовано окремі способи розв’язування рівнянь зі змінною під знаком цілої та дробової частин, зокрема, графічний та аналітичні.
До аналітичних способів належить:
1. Зведення рівняння до мішаної системи з цілим параметром k.
2. Метод локалізації та перебору.
3. Використання означення цілої та дробової частин.
4. Введення нової змінної.
Звичайно, вибирають найбільш доцільний з вище зазначених способів.
Рівняння про, які говорилось вище, можуть мати різну множину розв’язків.
Розв’язування таких рівнянь сприяє розвитку розумових здібностей, збагаченню математичної культури кожного, хто цікавиться математикою.
В роботі також викладено алгоритм побудови графіків функцій, що містять цілу та дробову частину числа.
Робота може бути використана учнями та вчителями при підготовці до олімпіад, конкурсів, вступу до вищих навчальних закладів.
Розділ 1
Теоретичні відомості
1.1 Ціла та дробова частини числа
Цілою частиною дійсного числа х називається найбільше ціле число, що не більше за х.
Позначають: [х]
З означення випливає, що
[х] ≤ х, то [х] ≤ х < [х]+1
Наприклад:
[0,2]=0; [-585]=-585; [8,5]=8;
[-5,6]=-6; []=-2; []=1.
Дробовою частиною дійсного числа х називається різниця між числом та його цілою частиною.
Позначають: {х}
З означення випливає, що
{х}= х- [х], 0≤{х}<1
Наприклад:
{3,2}=0,2; {-5,7}=-5,7+6=0,3=-5,7-(-6);
{8}=0; {}=.
1.2 Методи розв’язування рівнянь з цілою та дробовою частинами
Серед найпростіших рівнянь зі змінною під знаком цілої частини часто пропонують рівняння виду: f(х) =[g(х)], де f(х) і g(х) – відомі функції.
Залежно від складності функцій f(х) і g(х) рівняння розв’язують наступними методами.
1. Зведення рівняння до мішаної системи з цілим параметром k:
2. Метод локалізації та перебору.
Під локалізацією розуміється виділення області допустимих значень рівняння, на якій знаходяться його розв’язки. Зокрема це можна робити так. Замінивши у рівнянні f(х) =[g(х)] цілу частину функції g(х) її дробовою частиною, перейдемо до рівносильного рівняння . Оскільки , то розв’язки рівняння варто шукати лише на множині . Перебираючи підмножини цієї множини, де , перейдемо до рівняння , до яких можна застосувати відомі методи розв’язування рівнянь.
3. Графічний метод.
Побудувати в одній системі координат графіки функцій, які входять до даного рівняння. Розв’язками рівняння будуть абсциси спільних точок графіків функцій.
4. Використання означення цілої та дробової частин.
[х] ≤ х, то [х] ≤ х < [х]+1;
{х}= х- [х], 0≤{х}<1.
1.3 Методи побудови графіків функцій, які містять цілу і дробову частини
1. Побудувати графік функції y=[f(x)].
Для побудови графіка функції y=[f(x)] будують спочатку графік допоміжної функції υ=f(x), а потім прямими y=n (n є Z) розбивають координатну площину на смуги, що містяться між кожною парою цих прямих ( тобто між y=n та y=n+1). Ординати точок перетину графіка υ=f(x) з прямими y=n є цілими числами, тому ці точки перетину належать графіку y=[f(x)]. Щоб знайти інші точки графіка, проектують частини графіка υ=f(x), що лежать між y=n та y=n+1, на пряму y=n.
Множина збудованих у такий спосіб напіввідкритих ( в окремих випадках – відкритих) відрізків і утворюють шуканий графік.
2.Побудувати графік функції y={f(x)}.
Для побудови графіків функції виду y={f(x)} як і в попередньому випадку, розбивають координатну площину з побудованими на ній допоміжним графіком υ=f(x) на горизонтальні смуги прямими y=n (n є Z). Через точки перетину проведених прямих з графіком функції υ=f(x) проводять ще одну серію прямих, паралельних осі . Ті частини графіка, що попали в утворені прямокутники, будуть відповідати шуканому графіку, якщо змістити їх в напрямі осі абсцис на n одиниць з верхньої півплощини та на n+1- з нижньої.
3.Побудувати графік функції y=f([x]).
Побудову графіка функції y=f([x]) виконаємо в такій послідовності:
- будуємо графік y=f(x);
- будуємо прямі х=n, де n є Z і розглядаємо смуги, утворені прямими х=n та х=n+1, n є Z;
точки перетину графіка функції y=f(x) з цими прямими належать графіку функції y=f([x]), оскільки їх абсциси – цілі точки; інші точки графіка функції y=f([x]) у розглядуваній смузі одержимо як проекції частини графіка функції y=f(x), що знаходиться в цій смузі на пряму у=f(n), оскільки будь-яка точка цієї частини графіка має таку абсцису , що тобто
4.Побудувати графік функції y=f({x}).
Функція y=f({x}) на проміжку періодична з періодом 1.
Тому побудова графіка виконуємо в такій послідовності:
1)Будуємо графік функції на проміжку ;
2)Будуємо такий самий графік на кожному з проміжків , n є Z, враховуючи властивість періодичності функції.
Розділ 2
Практична частина
2.1 Розв’язування рівнянь, що містять цілу і дробову частини
Наприклад. Розв’язати рівняння 2+3[х]=4х
Розв’язання.
Використаємо означення цілої частини числа, утворимо систему:
Знайдемо при яких k є Z система має розв’язки. Для цього розв’яжемо нерівність:
, ,
, так як , то
Отже,
Відповідь:
Наприклад. Розв’язати рівняння
Розв’язання.
Використовуючи означення цілої частини, прийдемо до системи:
Де - цілі невідомі числа.
Розв’яжемо нерівність:
Піднесемо обидві частини нерівності до квадрата:
,
так як , то .
Отже,
Відповідь:
Наприклад. Розв’язати рівняння
Розв’язання.
1 спосіб. Використовуючи означення цілої частини, перейдемо до системи:
Розв’яжемо нерівність:
,
Так як , то
Відповідь:
2 спосіб. Застосуємо метод локалізації:
Оскільки, то , то
Якщо , то
Якщо , то
Якщо , то
Якщо , то
Відповідь:
Наприклад. Розв’язати рівняння
Розв’язання.
Використаємо графічний метод.
Замінимо рівняння рівносильним і побудуємо графіки функцій і . - графік є кубічна парабола, яка зміщена на 3 одиниці вниз вздовж осі ординат. - графік цілої частини.
-мають єдину спільну точку бо
Відповідь:
Наприклад. Розв’язати рівняння .
Розв’язання.
Використовуючи означення цілої частини, перейдемо до системи:
Для сумісництва систем необхідно, щоб:
То при
Відповідь:
Наприклад. Розв’язати рівняння .
Розв’язання.
Нехай . Виразимо з рівняння дробову частину:
За означенням дробової частини , то маємо :
Знайдемо з нерівності [х]
Отже,
Так як то
Якщо то
то
то
то
то
Відповідь:
Наприклад. Розв’язати рівняння
Розв’язання.
Якщо х- розв’язок цього рівняння, то рівняння буде виконуватися лише за умови, що
Де
Для сумісництва останньої системи необхідно, щоб виконувались нерівності:
, так як , то
Розв’язуємо систему:
При
1)
2)
3)
4)
Відповідь:
Наприклад. Знайти всі натуральні n, при яких є простим ( тут - найбільше ціле число, що не перевищує .
Розв’язання.
а) просте
б) просте
в) тут простих не буває.
Відповідь:
Наприклад. Розв’язати рівняння
Розв’язання.
З означення випливає, що
За умовою , то
Відповідь:
Наприклад. Розв’язати рівняння
Розв’язання.
З означення випливає, що
За умовою , то
Можливі випадки
1) , тоді
2) , тоді
Отже,
Відповідь:
Наприклад. Розв’язати рівняння
Розв’язання.
З означення випливає, що
За умовою , то
.
Так як , то
Відповідь:
Наприклад. Знайти цілі невід’ємні розв’язки рівняння
Розв’язання.
Нехай і
Система матиме розв’язки, якщо
Якщо k=0, то
Якщо k=1, то
Якщо k=2, то
Якщо k=3, то
Якщо k=4, то
Відповідь:
Наприклад. Розв’язати рівняння
Розв’язання.
Так як то . Тоді
Можливі випадки:
1)
2)
3)
Відповідь:
Наприклад. Розв’язати рівняння
Розв’язання.
то
Оскільки ціла частина числа х- це найбільше ціле число, яке не більше за х.
Оскільки [х]- це число то і ,
Тоді
Підставимо
Оскільки - ціле додатне, то t ціле додатне ( ).
Оскільки , то
Відповідь:
Наприклад. Розв’язати рівняння
Розв’язання.
Використаємо спосіб введення нової змінної.
Нехай .Так як - ціле число, то .
Підставимо в рівняння замість х одержане значення
За означенням цілої частини маємо :
Якщо t=0, то
Якщо t=1, то
Відповідь:
Наприклад. Розв’язати рівняння
Розв’язання.
Спосіб введення нової змінної.
Нехай тоді
ціле, додатне.
Підставимо в рівняння
Якщо t=1, то
Якщо t=2, то
Якщо t=3, то
Відповідь:
Наприклад. Розв’язати рівняння
Розв’язання.
Так як то де
Рівняння матиме розв’язки, якщо для значень k виконуватиметься умова:
то
Так як то
Якщо k=0, то і
Маємо
Якщо k=1, то і
Маємо
Якщо k=2, то і
Маємо
Відповідь:
Наприклад. Розв’язати рівняння
Розв’язання.
Так як і , то можливі випадки:
1)
2)
3)
Відповідь:
2.2. Побудова графіків функцій, що містять цілу та дробову частини
Наприклад. Побудувати графік функції
Розв’язання.
Будуємо графік допоміжної функції
1) , то Графіком є гілка параболи.
- вершина: , .
Перетин з осями координат.
З , то
З , то
2) , то Графіком є гілка параболи.
- вершина:
З , то
З , то
Наприклад. Побудувати графік
Розв’язання.
Будуємо допоміжний графік
Наприклад. Побудувати графік
Розв’язання.
Будуємо допоміжний графік
Наприклад. Побудувати графік функції
Розв’язання.
Будуємо графік допоміжної функції
- парабола, гілки напрямлені вгору;
- вершина: ;
Точки перетину з осями координат З , то
З , то
Перетнувши цей графік прямими y=n (n є Z) та враховуючи означення функції υ={x}, тобто 0 ≤ {x} < 1, дістанемо шуканий графік.
Наприклад. Побудувати графік функції
Розв’язання.
Будуємо графік
1., то .
Якщо .
Якщо , то .
2. < , то .
Якщо , то .
Якщо , то .
Перетнувши цей графік прямими та врахувавши означення функції дістанемо шуканий графік.
Наприклад. Побудувати графік функції
Розв’язання.
Так як ,то маємо
Якщо , то
Якщо , то
Наприклад. Побудувати графік функції
Розв’язання.
Так як , то
Складаємо таблицю
|
0 |
||
|
1 |
||
|
2 |
||
|
|
Наприклад. Побудувати графік функції
Розв’язання.
, за означенням, де
Тому
Наприклад. Побудувати графік функції
Розв’язання.
Будуємо графік функції
Проведемо прямі y=n (n є Z). Точки перетину графіків y=n (n є Z) і y=-2х, належать графіку y=[-2x]. Спроектуємо частини графіка y=-2х, що лежать між прямими y=n та y=n+1, n є Z на пряму y=n. Одержимо графік y=[-2x].
Наприклад. Побудувати графік функції
Розв’язання.
Будуємо графік функції , вершина (0;0); гілки вгору. Проведемо прямі y=n (n є Z).
Точки перетину графіків y=n (n є Z) та належать графіку . Спроектуємо частини графіка , що лежать між прямими y=n та y=n+1,
n є Z. Одержимо графік
Наприклад. Побудувати графік функції
Розв’язання.
Будуємо графік функції .
Проведемо прямі y=n (n є Z). Точки перетину графіків y=n (n є Z) та належать графіку Спроектуємо частини графіка , що лежать між прямими y=n та y=n+1, n є Z на прямі y=n, n є Z. Одержимо графік
Наприклад. Побудувати графік функції
Розв’язання.
Будуємо графік функції . Будуємо прямі х=n, n є Z. Точки перетину графіків х=n, n є Z та належать графіку , бо їх абсциси цілі числа. Спроектуємо частини графіка , що лежать між прямими х=n та х=n+1, n є Z на пряму . Одержимо графік .
Наприклад. Побудувати графік функції
Розв’язання.
Будуємо графік функції
Наприклад. Побудувати графік функції:
Розв’язання.
Будуємо графік функції на проміжку , а потім будуємо такий самий графік на кожному з проміжків , n є Z. Одержимо .
Наприклад. Побудувати графік функції:
Розв’язання.
Будуємо графік функції , на проміжку , а потім будуємо такий самий графік на кожному з проміжків , n є Z.
Одержимо .
Наприклад.
З’ясувати графічним способом, скільки розв’язків має рівняння , де - ціла частина числа; - дробова частина числа.
Розв’язання.
Будуємо графік функції , (за означенням цілої частини та дробової), тоді рівняння має вигляд: .
Будуємо в одній системі координат графік правої і лівої частин рівняння: і .
1) ,
Якщо ,
Якщо .
2) ,
Якщо ,
Якщо .
Графіки та мають одну спільну точку.
Отже, рівняння має один розв’язок.
Список використаних джерел
1. В.Н.Березин, Л.Ю.Березина, И.Л.Никольская Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике - М. 1985
2. И.М.Виноградов и др. Математическая энциклопедия т.1-М., 1977
3. А.Егоров Целая и дробная части числа.//Квант, 2002 №5
4. А.П.Карп Даю уроки математики – М. 1982 г
5. Р.Б.Райхмист Графики функций. - М.: Высшая школа, 1991
6. Н.И.Фирсова Целая и дробная части числа в задачах/Математика в школе, 2002, №10.
PAGE 32
k
2
-2
k
2,5
-2,6
-3,5
k
-3,6
3
x
-1
x
1
2
5
x
2
x
3
5
7
x
5
x
5
9
x
8
x
7
11
2
k
-√5
k
-2
√5
x
-1.2
x
-2
3.2
0
2
0
5
x
0
x
0
4
10
x
4
x
5
8
15
x
8
x
10
12
20
x
12
x
15
16
25
x
16
x
20
20
1
x
1/2
x
0
0
1
4/3
x
x
1
2/3
x
1/2
x
0
1
1
x
2/3
1/3
x
1/2
x
1
1
2
13/10
t
-1/30
t
k
-2,45
k
-2,6
3,45
3,62
x
2,6
0,3
x
3
x
-0,7
0
0,7
x
2
1
x
1,6
x
-1,2
-1,6
1,2
SKIPIF 1 < 0
x
x
2
1
x
0,3
x
x
-0,7
-1,2
0,7
1,2
2,6
2 5
x є R
x є [2;5]
