5636

Дискретная математика. Теория вероятностей и математическая статистика

Книга

Математика и математический анализ

Учебно-методическое пособие разработано по дисциплине Математика и содержит краткий теоретический материал и упражнения по двум разделам дисциплины: дискретная математика, теория вероятностей и математическая статистика. Для организации самостоятель...

Русский

2012-12-16

1.01 MB

262 чел.

Учебно-методическое пособие разработано по дисциплине Математика и содержит краткий теоретический материал и упражнения по двум разделам дисциплины: дискретная математика, теория вероятностей и математическая статистика.

Для организации самостоятельной работы студентов в каждом разделе приводится разбор решений типовых задач, вопросы и упражнения для самопроверки, примерные варианты контрольных работ.

Подобранные в пособии упражнения для проведения практических занятий ориентированы на студентов гуманитарных факультетов. В конце пособия имеются ответы к упражнениям.

Учебно-методическое пособие предназначается студентам I курса специальности «Психология» Социально – психологического факультета.


СОДЕРЖАНИЕ

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

3.1. Элементы теории множеств ………..……….……………………….......

4

3.2. Элементы математической логики ..……….………………………........

9

3.3. Элементы комбинаторики ..……….……………………….......................

14

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

4.1. Вероятность случайного события …………….………………..............

17

4.2. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей

22

4.3. Полная вероятность. Формула Байеса …………………………………

26

4.4. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли ……..

29

Контрольная работа по теме: «Вероятность случайного события»

(Тренировочный вариант) ……………………………………………………

33

4.5. Случайные величины …………………………………………………….

34

4.6. Числовые характеристики случайных величин …………………………

39

4.7. Элементы математической статистики ………………………………….

44

Литература ………………………………………………………………………

49

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица I. Значения функции  ………………………………

50

Таблица II. Значения функции  ………………………

51

Таблица III. Значения функции ……………………………

52

Таблица IV. Значения функции   ………………………

53


ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

3.1. Элементы теории множеств

Понятие множества является одним из основных первичных понятий математики. Множество – понятие неопределяемое.

Множество можно представить как совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

Множество состоит из элементов. В зависимости от их числа множества различают как конечные или бесконечные. Конечные множества могут состоять из одного или нескольких элементов.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается .

Множество обозначают заглавными буквами, а его элементы – прописными. Для записи множества используют фигурные скобки. Например, множество натуральных чисел: N = {1, 2, …}.

Говоря об определенном множестве, мы полагаем, что для каждого объекта имеется две возможности: либо он входит в рассматриваемое множество, т.е. является его элементом, принадлежит ему (); либо нет ().

Способы задания множества:

перечисление всех элементов множества, например, множество однозначных неотрицательных чисел  X  = {0, 1, 2, …, 9};

указание общего свойства, которым обладают все элементы множества, например, множество четных натуральных чисел X = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …} или  X = { x : x = 2n };

реккурентно, например: ,    и др.

В математике приняты стандартные обозначения для некоторых числовых множеств: N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество действительных чисел.

Множество А называют подмножеством множества В (), если каждый элемент множества А является также элементом множества В.

Множества А и В называют равными (), если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества В и наоборот, т.е. если  и . Другими словами, два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

Множество I  называется универсальным множеством (множество всех подмножеств) для некоторой системы множеств, если каждое множество этой системы является подмножеством I , т.е. {A, B, C, …} : , , , …

Дополнением множества А () называется  множество, состоящее из тех и только тех элементов универсального множества, которые не входят в множество А.

Суммой (объединением) двух множеств А и В ( или ) называется множество С, состоящее из тех элементов, которые принадлежат или множеству А, или В, или А  и  В одновременно.

Произведением (пересечением) двух множеств А и В ( или ) называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам  А  и  В одновременно.

Разностью двух множеств А и В ( или ) называется множество тех элементов множества А , которые не принадлежат множеству В:

.

Свойства операций над множествами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;  5) ;

6) ;  7) ;

8) ;     9) , .

Прямым (декартовым) произведением двух множеств А и В () называется множество, состоящее из упорядоченных пар элементов, в которых первый элемент принадлежит множеству А, а второй – множеству В.

Бинарным отношением называется всякое подмножество прямого произведения.

Свойства бинарного отношения:

Пусть R – бинарное отношение на множестве .

Рефлексивность: .

Симметричность: .

Транзитивность:.

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Взаимно однозначным соответствием между множествами А и В называется такое соответствие, при котором каждому элементу  соответствует единственный элемент  и наоборот.

Множества А и В называются эквивалентными или равномощными (А  В), если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Множество А является бесконечным, если оно эквивалентно некоторому своему собственному подмножеству; в противном случае множество Аконечное. Всякое бесконечное множество, эквивалентное множеству действительных чисел, называется множеством мощности континуума. Всякое бесконечное множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным.

Количество элементов конечного множества называется мощностью и обозначается .

Для определения мощности объединения (суммы) конечных множеств можно использовать правило суммы:

● если  и ,, то .

● если  и ,, , то

● в случае трех множеств

и т.д.

Теорема (о мощности прямого произведения множеств).

Пусть   конечные множества и , , ..., . Тогда мощность множества  равна произведению мощностей множеств : .

Пример 3.1.1. Заданы два множества: А = {-2, -1, 0, 1, 2} и B = {0, 2, 4, 5}. Определить множества ; ; ; ; ;  и их мощность.

Множество А = {-2, -1, 0, 1, 2} состоит из пяти элементов, следовательно мощность этого множества равна 5: .

Аналогично, B = {0, 2, 4, 5} содержит четыре элемента: .

Для наглядности, в перечислении элементов заданных множеств выделим жирным курсивом повторяющиеся (общие) элементы:

А = {-2, -1, 0, 1, 2} и B = {0, 2, 4, 5}.

По определению пересечение двух множеств состоит только из общих для обоих множеств элементов, следовательно, = {0, 2} и .

По определению объединение двух множеств состоит из всех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В, следовательно,

= {-2, -1, 0, 1, 2, 4, 5} и  или по правилу суммы .

Множество  является разностью двух множеств А и В и состоит из элементов множества А, которые одновременно не принадлежат множеству В, следовательно  {-2, -1, 1} и .

Аналогично,  {4, 5} и .

Прямое (декартово) произведение:

= {(-2, 0); (-2, 2); (-2, 4); (-2, 5);  (-1, 0); (-1, 2); (-1, 4); (-1, 5); (0, 0); (0, 2); (0, 4); (0, 5); (1, 0); (1, 2); (1, 4); (1, 5);  (2, 0); (2, 2); (2, 4); (2, 5)}

= {(0, -2); (0, -1); (0, 0); (0, 1); (0, 2); (2, -2); (2, -1); (2, 0); (2, 1); (2, 2); (4, -2); (4, -1); (4, 0); (4, 1); (4, 2); (5, -2); (5, -1); (5, 0); (5, 1); (5, 2)}

Из этого примера видно, что , но при этом .

Пример 3.1.2. Староста одного курса дал следующие сведения о студентах: ”На курсе учатся 45 человек, в том числе 25 юношей. 30 человек учатся на хорошо и отлично, в том числе 16 юношей. Спортом занимаются 28 человек, в том числе 18 юношей и 17 человек, учащихся на хорошо и отлично. 15 юношей учатся на хорошо и отлично и занимаются спортом.” Проверьте непротиворечивость приведенных старостой сведений.

Решение: 

Для проверки правильности (непротиворечивости) приведенных данных используем теорию множеств и введем следующие обозначения.

Множество юношей обозначим буквой Ю, и по данным старосты количество юношей .

Множество спортсменов обозначим С и .

Множество отличников и хорошистов обозначим О и .

Кроме того, для наглядности, изобразим полученные данные на диаграмме Венна.

При этом из условия, что 30 человек учатся на отлично и хорошо, в том числе 16 юношей, имеем .  

Из условия, что спортом занимаются 28 человек, в том числе 18 юношей и 17 человек, учащихся на отлично и хорошо, следует  и .

Из условия, что 15 юношей учатся на отлично и хорошо и занимаются спортом, следует .

По правилу суммы, исходя из полученных от старосты данных, общее количество студентов курса, т.е. , должно быть равно

25 + 28 + 30 – 18 – 17 – 16 + 15 = 47.

Однако это противоречит исходному условию, что на курсе учатся всего 45 студентов.

Вывод: в сведениях, поданных старостой курса, содержится ошибка.

Вопросы и упражнения для самоконтроля

  1.  Укажите смысловые связки естественного языка, соответствующие основным операциям над множествами: дополнение, объединение (сумма), пересечение (произведение), разность.
  2.  Доказать, что .
  3.  Показать, при каком условии множество X удовлетворяет следующим свойствам: а) ; б)  .
  4.  Пусть множество сотрудников некоторого предприятия; множество всех сотрудников старше 40 лет; множество сотрудников, имеющих стаж более 10 лет; множество служащих; множество рабочих. Каков содержательный смысл каждого из нижеследующих множеств?

4.1. ;

4.5. ;

4.9. ;

4.2. ;

4.6. ;

4.10.

4.3. ;

4.7.;

4.11. ;

4.4. ;

4.8.

4.12. .

  1.  Во время отпуска 12 дней шел дождь, 8 дней дул сильный ветер, причем 5 дней были дождливы и ветрены. Сколько же всего было дней с плохой погодой?

УПРАЖНЕНИЯ

  1.  Пусть {2, 3}; {3, 4}; {1, 0}. Найти:

а) ;  б) ;  в) ;   г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

  1.  Заданы два множества: А = {1, 5, 7, 9, 12} и B = {5, 7, 9, 11, 13}. Найти множества ; ; ;  и их мощность.
    1.  По заданным промежуткам А и B на числовой оси определить ; ; ; ; .

а)  и ;    б)  и ;

в)  и ;  г)  и

  1.  В группе из 30 студентов каждый знает, по крайней мере, один иностранный язык – английский или немецкий. Английский знают 22 студента, немецкий – 17. Сколько студентов знают оба языка? Сколько студентов знают немецкий язык, но не знают английский?
    1.  В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. 6 человек из них знают английский, 6 – немецкий, 7 – французский, 4 – английский и немецкий, 2 – английский и французский, 3 – немецкий и французский, 1 человек знает все три языка.

а) Сколько человек работает в отделе?

б) Сколько из них знают только английский язык?

в) Сколько человек знают только один язык?

  1.  В группе занимаются 40 человек, из них 20 человек изучают французский, 20 человек – английский язык, 14 человек – немецкий; английский и французский языки – 9 человек; немецкий и английский – 7 человек; немецкий и французский – 5 человек; все три языка – 2 человека. Сколько человек не изучают ни одного языка?


3.2. Элементы математической логики

Основными объектами логики являются высказывания (или утверждения) – (повествовательные) предложения, которые могут быть либо истинными, либо ложными. Предметом логики является анализ различных логических связей и методы построения на их основе правильных логических рассуждений.

Способы построения новых высказываний из заданных с помощью логических связок и способы установления истинности высказываний, построенных таким образом, изучаются в логике высказываний.

Основные логические связки это связки: и, или, не, если … то…, которые в логике высказываний имеют специальные названия и обозначения. Иногда к ним добавляют еще две связки либо …, либо …(или …, или …);  если, и только если (тогда и только тогда).

Для одной и той же связки в разных источниках используются разные названия и обозначения, которые приведены в таблице 1.

Таблица 1

Связка

Название

Обозначение

Высказывание,

полученное

с помощью связки

Математическая

запись

1. и

конъюнкция

(или логическое

умножение)



А и В

А  В

А В

А В, АВ

2. или

дизъюнкция



А или В

А  В

А+ В

3. не

отрицание,

инверсия



не А

, А

4. если …,

то …

импликация



если А, то В

(А влечет В)

5.  либо …,

либо …

исключающее или,

неравнозначность

,

либо А, либо В

А  В

А В

6. если и только если

эквивалентность,

равнозначность

~

А, если и только если В

А  В

А~ В

В последней колонке табл. 1 записаны формулы, или выражения логики высказываний.

С помощью букв, обозначающих высказывания, связок и скобок можно построить разнообразные формулы.

Исследование свойств таких формул и способов установления их истинности и является основным предметом логики высказываний.

Существует два подхода к построению логики высказываний, которые образуют два варианта этой логики: алгебру логики и исчисление высказываний.

Алгебра логики рассматривает логические формулы как алгебраические выражения, которые можно преобразовать по определенным правилам.

В формулах алгебры логики переменные являются логическими (или двоичными), т.е. принимающими только два значения –  ложь и истина, которые обозначаются либо 0 и 1, либо Л и И, либо false и true.

Знаки операций обозначают логические операции (логические связки).

Каждая формула задает логическую функцию: функцию от логических переменных, которая сама может принимать только два логических значения.

Наборы логических функций, с помощью которых можно выразить любые другие логические функции называются функционально полными наборами или базисами.

Наиболее известный и изученный базис – это набор и – или – не (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание).

Множество всех логических функций, на котором определены эти три операции называется булевой алгеброй. Операции и формулы булевой алгебры также часто называют булевыми.

Законы булевой алгебры:

  1.  Коммутативность:  .
  2.  Ассоциативность:  

    

  1.  Дистрибутивность:

    

  1.  Идемпотентность (отсутствие степеней и коэффициентов):

    

  1.  Закон двойного отрицания (отрицание отрицания):  .
  2.  Свойства констант 0 и 1:

    

  1.  Правила де Моргана: .
  2.  Закон (не)противоречия: ;
  3.  Закон исключенного третьего: .

Из законов 5 и 7 следует, что, используя отрицание, дизъюнкцию можно выразить через конъюнкцию и наоборот.

Это означает, что наборы {и, не} и {или, не} также являются функционально полными.

Другие соотношения, часто применяемые в преобразованиях булевых формул, проще выводить с помощью основных законов.

Приведем три наиболее распространенных соотношения:

1) поглощение: ; 2)  склеивание: ;   3).

Другие функции двух переменных представляются в булевой алгебре следующими формулами:

импликация:   ;

эквивалентность:   ~;

либо …, либо …:   .

Исчисление высказываний – это формальная система, с помощью которой из исходного множества формул, называемых аксиомами, выводятся с помощью правил вывода (или доказываются) другие формулы.

Для описания внутренней логической структуры простых высказываний (т.е. высказываний, не содержащих связок) используются другие средства, которые вместе с логикой высказываний образуют логику предикатов.

Множество объектов, о которых делаются утверждения, называется предметной областью, а сами утверждения об отношениях между  объектами называются nместными предикатами:

nместный предикат – это функция  от  переменных, причем переменные принимают значения из предметной области, а функция  принимает два логических значения – истинно и  ложно.

Из предикатов можно получать конкретные высказывания, не содержащих предметных констант, а утверждающих нечто обо всей предметной области. Такие высказывания записываются с помощью специальных знаков – кванторов.

Квантор общности  для всех ”; “для каждого ”; “для любого ”; “для всякого ” и т.п.

Квантор существования  существует (такой) ”; “найдется ”; “хотя бы один ” и т.п.

Присоединение квантора с переменной  к предикатной формуле, содержащей , называется навешиванием квантора на переменную . Переменная  при этом называется связанной, вместо нее подставлять предметные константы уже нельзя.

Логические основы математики

Аксиома (постулат) – математическое предложение (утверждение), истинность которого принимается без доказательста.

Теорема – математическое предложение (утверждение), истинность которого устанавливается путем доказательства. Формулировка любой теоремы содержит две части (два высказывания): условие или посылка теоремы () и заключение (). При доказательстве теоремы в предположении истинности посылки устанавливается истинность заключения: .

Высказывание, из которого следует высказывание А, называется достаточным условием для А. Условие В достаточно для А, если истинна импликация В  А. Достаточное условие – это условие, из которого следует, что утверждение справедливо.

Высказывание, которое следует из А. называется необходимым условием для А. Высказывание В необходимо для А, если истинна импликация А  В. Необходимое условие – это условие, без выполнения которого данное утверждение неверно.

В случае, если истинны импликации А  В (В необходимо для А ) и В  А (В достаточно для А), то условие В называется необходимым и достаточным для А.

Теоремы А  В и В  А называются обратными друг другу. Первую называют прямой теоремой, другую – обратной.

Из двух взаимно обратных теорем А  В и В  А в общем случае каждая может оказаться верной или неверной.

Если справедливы прямая и обратная теоремы: А  В и В  А, то используют запись А  В. В этом случае говорят, что каждое из высказываний А и В является необходимым и достаточным условием для другого.

Если в некоторой теореме А  В заменить и условие, и заключение их отрицаниями, то получится новая теорема , которая называется противоположной исходной. Теорема  будет называться противоположной обратной теореме. Противоположная теорема – это теорема, условие и заключение которой являются отрицаниями условия и заключения исходной теоремы.

На равносильности высказываний А  В и  основан метод доказательства от противного: если в предположении истинности высказывания  доказана истинность  (т.е. доказана теорема ), тогда исходную теорему А  В тоже считают доказанной.

Вопросы и упражнения для самоконтроля

  1.  Укажите правильную запись высказывания: «всякое рациональное число равно самому себе».

а) ;   б) ;

в) ;   г) .

  1.  На языке логики запишите высказывание: «найдется такое натуральное число, что любое целое число делится на него без остатка»; определите истинность данного высказывания.
  2.  Для теоремы Пифагора «В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы»

а) укажите посылку (условие) и заключение (вывод);

б) сформулируйте обратную и противоположную теоремы;

в) запишите прямую, обратную и противоположную теоремы Пифагора на языке логики высказываний.

  1.  Опыт состоит в бросании двух монет медной и серебряной. Рассматриваются следующие события (высказывания):

А = “орел” выпал на медной монете”;     В = “решка” выпала на медной монете”;

С = “орел” выпал на серебряной монете”;  

D = “решка” выпала на серебряной монете”;

M = “выпал хотя бы один “орел”;    F = “выпала хотя бы одна “решка”;

G = “выпал один “орел” и одна “решка”;

H = “не выпало ни одного “орла”;    K = “выпало два “орла”.

Каким высказываниям из этого списка соответствуют следующие записи:

1) ;    2) ;   3) ;    4) ;  

5) ;    6) ;    7) ?   

УПРАЖНЕНИЯ

  1.  Пусть А, В, С  три произвольных события. Записать на языке математической логики высказывания, состоящих в том, что из событий А, В, С:

а) произошло только А;   

б) произошло А и В, но С не произошло;

в) все три события произошли;

г) произошло, по крайней мере, одно из этих событий;

д) произошло, по крайней мере, два события;

е) произошло только одно событие;

ж) ни одно событие не произошло;

з) произошло не более двух событий.

  1.  Мишень состоит из 10 кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусом , причем . Пусть высказывание  попадание в круг радиуса . Что означают записи: ; ; ?
    1.  Предполагается пять бросков мяча в баскетбольную корзину. Пусть высказывания  означают:  ни одного попадания в корзину;   одно попадание в корзину и т. д. Что означают записи: , ?
    2.  Отец играет с сыном в теннис до первого поражения сына. Каждая игра состоит из одного сэта. Высказывание  =выигрыш сыном i-го сэта ,  проигрыш i-го сэта сыном ( i = 1,2,). Записать с помощью  и  следующие высказывания: В = состоялась только одна игра; С = состоялось только три игры; D  = состоялось не более трех игр.
    3.  Пусть высказывания Р = “логика – забава”, Q = “сегодня пятница”. Запишите каждое из следующих составных высказываний в символьной форме и определите их истинность.

а) Логика не забава, и сегодня пятница.

б) Сегодня не пятница, да и логика – не забава.

в) Либо логика – забава, либо сегодня пятница.

г) Если логика – забава, то сегодня пятница.


3.3. Элементы комбинаторики

Правило суммы: Если элемент x можно выбрать n способами, а элемент y  m способами, причем ни один способ выбора элемента x не совпадает с каким-либо способом выбора элемента y, то выбор x или y можно сделать n + m способами. Или: Если два взаимно исключающие друг друга действия могут выполняться m и n способами, то выполнить одно любое из этих действий можно m + n способами.

Правило произведения: Пусть даны два множества X и Y, состоящие соответственно из n и m элементов. Если элемент x можно выбрать n способами, а элемент y  m способами, то пару (x, y) (x и y) можно выбрать nm  способами.

Или: Если требуется выполнить одно за другим какие-то k действий, которые можно выполнять соответственно  способами, то все k действий вместе (одновременно) могут быть выполнены  способами.

Факториалом натурального числа n называется произведение первых n натуральных чисел:

Пусть дано множество N, состоящее из n объектов.

Всевозможные последовательности из всех n объектов называют перестановками. 

Две перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов (при одном и том же составе).

Общее число перестановок из n элементов (без повторений) равно: .

Пример 3.3.1. Сколькими способами можно разместить на полке четыре (разные) книги?

Так как расстановки 4-х книг на полке могут различаться между собой только порядком, то число способов (вариантов) можно вычислить по формуле перестановок:

Сочетаниями из n элементов по m называют неупорядоченные m – элементные подмножества n – элементного множества N. Два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (т.е. составом элементов).

Общее число сочетаний из n элементов по m (без повторений), т. е. число способов, сколькими можно из данного n – элементного множества выбрать подмножество, состоящее из m различных элементов, равно: .

Число сочетаний из n элементов по m (с повторениями) равно: .

Свойства сочетаний:

если , то ;    ; ;

Пример 3.3.2. Сколькими способами читатель может выбрать три (различных) книги из пяти?

Так как при выборе 3-х книг из пяти читателя интересует только состав этого выбора (порядок в котором он выберет эти книги, в данном случае не имеет значения), то число способов (вариантов) выбора можно вычислить по формуле сочетаний (без повторений):

Пример 3.3.3. Сколькими способами можно составить набор из 8 пирожных 4-х видов?

Поскольку порядок выбора пирожных в данном случае не играет роли, то для определения числа вариантов выбора следует использовать формулу расчета числа сочетаний. Тот факт, что пирожных выбирается гораздо больше, чем предлагается их видов, указывает на необходимость применения формулы расчета числа сочетаний с повторениями:

Размещениями из n элементов по m называют упорядоченные m –элементные подмножества данного n – элементного множества N. Размещения отличаются составом элементов и/или порядком их следования.

Общее число размещений из n элементов по m (без повторений):

.

Число размещений из n элементов по m (с повторениями): .

Свойства размещений:   при m = n: ;   

Пример 3.3.4. Сколькими способами могут быть присуждены 1-я, 2-я и 3-я премии трем лицам, если число соревнующихся равно 10?

При присуждении премий важен состав (кому эти премии присуждаются) и порядок (какую премию кому следует присудить), поэтому для вычисления числа способов (вариантов) присуждения премий следует использовать формулу числа размещений без повторений (так как премии очевидно разные):

.

Пример 3.3.5. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг (три горизонтальные цветные полосы равной ширины), если имеется материал только двух различных цветов?  

Так как флаги могут отличаться и цветом (составом) полос, и порядком их следования (сравните российский и французский государственные флаги), то для определения числа различных вариантов (способов) для пошива флагов, в данном случае, следует использовать формулу числа размещений с повторениями (так как число полос флагов больше числа имеющихся цветов ткани):

.


Вопросы и упражнения для самоконтроля

  1.  Вычислите: а) ;   б) ;   в) ;  г) .
  2.  Бросают две игральные кости белую и красную. Вычислите число элементарных событий (a, b), где а   число очков, выпавших на белой кости, b  на красной.
  3.  Из города А в город В ведет 3 дороги, а в город С  2 дороги. В город Д из города В ведет 4 дороги, а из города С 5 дорог. Города В и С дорогами не соединены. Сколько различных автобусных маршрутов можно провести между городами А и Д?
  4.  Сколькими способами из 20 членов правления фирмы можно отобрать трех для замещения вакансий вице-президентов, отвечающих соответственно за производство, финансы и реализацию продукции?   
  5.  Сколькими способами можно из 20 присяжных заседателей отобрать трех для участия в судебном процессе?  

УПРАЖНЕНИЯ

  1.  Пять книг различных авторов и трехтомник одного автора помещены на одной книжной полке. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?
    1.  Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнить переводы с любого из 5 языков: русского, английского, немецкого, французского и испанского на любой другой из этих языков?  
    2.  Пароль, открывающий доступ к компьютеру, состоит из шести символов. Первые два из них – строчные буквы латинского алфавита (всего 26 букв), а оставшиеся четыре могут быть как цифрами, так и строчными буквами. Сколько можно придумать различных паролей?
    3.  Из 20 сотрудников лаборатории 5 человек должны выехать в командировку. Сколько может быть различных составов отъезжающей группы, если заведующий лабораторией и два ведущих инженера одновременно уезжать не должны?
    4.  Сколько различных костюмов можно составить из пяти пиджаков, восьми рубашек и семи галстуков?
    5.  Сколько разных нарядов можно составить из шести платьев, пяти юбок и трёх блузок?
    6.  Сколько разных “слов” можно составить из слова: ЛЕТО, СОЛНЦЕ.
    7.  Группа туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает по жребию 5 человек для приготовления ужина. Сколько существует способов, при которых в эту ”пятёрку” попадут:

а) одни девушки;  б) только 2 девушки;

в) только 1 юноша;  г) одни юноши.  


ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

4.1. Вероятность случайного события

Стохастический эксперимент  это эксперимент, результат которого заранее (до его проведения) предугадать нельзя.

Каждый неразложимый исход опыта (эксперимента) называется элементарным событием и обозначается . Множество всех элементарных событий, относящихся к одному и тому же эксперименту, называется пространством элементарных событий  и обозначается .

Случайным событием или просто событием называется любое подмножество пространства элементарных событий . События обозначают прописными буквами латинского алфавита  A, B, C, . . .

Свойства элементарных событий:

  •  элементарные события являются взаимно исключающими друг друга;
  •  в результате опыта обязательно происходит одно из элементарных событий;
  •  каково бы ни было случайное событие А, по наступившему элементарному событию можно сказать о том, произошло или не произошло событие А.

Пусть   пространство элементарных событий рассматриваемого опыта. Для каждого возможного в этом опыте события А выделим совокупность всех элементарных событий, наступление которых необходимо влечет наступление А. Говорят, что эти элементарные события благоприятствуют событию А. (Множество этих элементарных событий обозначают тем же символом А, что и соответствующее событие).

Таким образом, событие А состоит в том, что произошло одно из элементарных событий, входящих в указанное множество А. То есть мы отождествляем событие А и соответствующее ему множество А элементарных событий.

Событие, состоящее из всех возможных элементарных событий , называется достоверным и обозначается  (так же, как и пространство элементарных событий). (Достоверное событие наступает в результате появления любого элементарного события. Но тогда ему благоприятствует любое ).

Невозможным называется событие, не наступающее ни при каком элементарном событии. Ему соответствует пустое множество элементарных событий: .

Соотношения между событиями:

1. Если каждое появление события А сопровождается появлением события В, то говорят, что А влечет В, или А является частным случаем В, или В является следствием события А, или  А благоприятствует В (). Если , то каждое элементарное событие, входящее в А, содержится в событии В.

2. События А и В называются равносильными (равными, эквивалентными) (), если они состоят из одних и тех же элементарных событий, т.е. всегда происходят или не происходят одновременно.

3. Суммой (объединением) событий А и В ( или ) называется событие, которое состоит из элементарных событий, входящих хотя бы в одно из событий А и В, т. е. событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А и В (или А или В)

Очевидно, что: ;   ,   А + А = А.

4. Произведением (пересечением) двух событий А и В (АВ или ) называется событие, которое состоит из элементарных событий, входящих и в событие А, и в событие В одновременно, т. е. событие, происходящее только тогда, когда происходит и событие А, и событие В.

Очевидно, что: ;  ;  .

5. Два события называются несовместными, если их одновременное появление  в опыте невозможно. Следовательно, если А и В несовместны, то АВ = .

Элементарные события попарно несовместны:  при .

6. Событием, противоположным событию А () называется событие, которое состоит из всех элементарных событий, не входящих в А. Противоположное событие происходит тогда и только тогда, когда А не происходит.

Очевидно, что:  ;  .

7. Разностью событий А и В ( или ) называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А и не происходит событие В.

Очевидно, что:   ; .

8. События  образуют полную группу событий, если  и .

Свойства операций над событиями:

1. ;  2. ;

3. ;  4. A + B = B + A,   AB = BA ;

5. A(BC) = (AB)C,    A + (B + C) = (A + B) + C ;

6. A(B + C) = AB + AC ;  7. .

Рассмотрим пространство элементарных событий , соответствующее некоторому стохастическому эксперименту, и пусть F  некоторая система случайных событий.

Система событий F называется алгеброй событий, если выполняются условия: 1) ; 2) если ; 3) если А и В  и .

Отсюда следует, что, применяя любые из введенных выше операций к произвольной системе событий из F, получим событие, так же принадлежащее F.  Таким образом, алгеброй событий называется класс событий, замкнутый относительно операций объединения, пересечения и дополнения.

Вероятность события характеризует степень объективной возможности этого события.

Пусть   пространство элементарных событий некоторого стохастического эксперимента и в  выделена система событий F, являющаяся алгеброй событий.

Определение: Если каждому событию  поставлено в соответствие число р(А) и верны свойства:

1) ;  2) ;

3) если А и В несовместны , то р(А+В) = р(А) + р(В),

тогда число р(А) называется вероятностью случайного события А.

Свойства вероятности:

1. ;

2. Если события A и В  несовместны, то р(А+В) = р(А) + р(В);

3. .

Пространство элементарных событий  с выделенной в нем алгеброй событий F и определенной на измеримом пространстве (, F) вероятностной мерой р(А), , называется вероятностным пространством и обозначается (, F, p(A)).

Классическое определение вероятности

Если множество элементарных событий  состоит из n равновозможных элементарных событий, то вероятность р(А) события  А равна числу m элементарных событий, входящих в А, деленному на число всех элементарных событий, т. е. .

Геометрическое определение вероятности

Пусть в область G бросается наудачу точка, т.е. брошенная точка может попасть в любую точку области G.

Вероятность попасть в какую-либо часть области G пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему) и не зависит от ее расположения и формы.

Таким образом, если g  часть области G, то вероятность попадания в область g по определению равна: .

Здесь пространство  представляет собой совокупность всех точек области G и, значит, состоит из бесконечного множества элементарных событий. Следовательно, определение “геометрической вероятности” можно рассматривать как обобщение определения “классической вероятности” на случай опытов с бесконечным числом исходов.

Пример 4.1.1. Брошены три монеты. Найти вероятность того, что выпадут две “решки”.

Пространство элементарных событий данного стохастического эксперимента: = {ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР} состоит из 8 равновозможных исходов (). Число благоприятных элементарных исходов для события A = «выпали две “решки”» = {ОРР, РОР, РРО} равно 3 (). Следовательно, .

Пример 4.1.2. В студенческой группе из 15 девушек и 10 юношей по жребию разыгрывается билет в театр. Какова вероятность, что билет достанется девушке?

Событию A = «билет достался девушке» благоприятствует 15 элементарных событий () из 25 равновозможных ().

Следовательно, .

Пример 4.1.3. В ящике лежат 12 белых и 8 красных одинаковых на ощупь шаров. Наудачу вынимают два шара. Определить вероятности событий:

А = «вынуты белые шары»; В = «вынут хотя бы один красный шар»;

С = «вынуты разноцветные шары».

Число всевозможных событий стохастического эксперимента «вынуты 2 шара из 20» можно определить по формуле числа сочетаний (без повторений), т.к. в данном случае элементарные исходы могут отличаться только составом вынутых шаров (порядок здесь не важен):

.

Число элементарных событий, благоприятствующих событию А = «вынуты белые шары» = «вынуты 2 белых шара (из 12)», также можно определить по формуле числа сочетаний без повторений:

.

Следовательно, .

Вероятность события В = «вынут хотя бы один красный шар» проще всего определить через вероятность противоположного события  «вынуто ни одного красного» =«вынуты 2 белых шара» = A:

Число элементарных событий, благоприятствующих событию С = «вынуты разноцветные шары» = «вынуты 1 белый И 1 красный», определяется по правилу произведения .

Следовательно, .

Пример 4.1.4. В круг радиуса R наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что это точка окажется: а) внутри, b) вне вписанного в круг правильного треугольника.

Вероятность попадания в область правильного треугольника (g), вписанного в круг (G), по геометрическому определению вероятности равна

.

Тогда, вероятность не попасть в область треугольника, как вероятность противоположного события, равна .

Вопросы и упражнения для самоконтроля

  1.  Какие события называются достоверными; невозможными? Чему равны их вероятности?
  2.  Бросают правильный кубик, с пронумерованными гранями.

Какова вероятность того, что при броске этого кубика выпадет 6 очков?

Какой кубик называется правильным?

Зачем в условии задачи оговаривается, что кубик – правильный?

  1.  Из слова “НАУГАД” выбирается одна буква. Какова вероятность того, что это буква Я? Какова вероятность того, что эта буква гласная?
  2.  Слово МОЛНИЯ разрезали на буквы, берут наугад четыре буквы и выкладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МИЛЯ?
  3.  Замок открывается только при наборе шифра – трехзначное число без повторения цифр, причем: а) в любом порядке (одновременно); b) последовательно (одна за другой). Какова вероятность того, что замок откроется, если шифр набран случайно?
  4.  Восемь различных книг расставляются на одной полке случайным образом. Какова вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом?
  5.  После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?

УПРАЖНЕНИЯ

  1.  При наборе телефонного номера абонент забыл последнюю цифру и набрал ее наудачу, помня только, что эта цифра нечетная. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
    1.  Набирая номер телефона, абонент забыл последние 2 цифры, и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.  
    2.  При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры, и, помня только, что эти цифры нечетные и разные, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
    3.  На шести одинаковых карточках написаны буквы АВКМОС. Карточки раскладываются наугад в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МОСКВА?
    4.  На шести одинаковых по форме и размеру карточках написаны буквы слова ТАЛАНТ – по одной букве на каждой карточке. Карточки брошены в мешок и тщательно перемешаны. Затем их вынимают наудачу и располагают на столе одну за другой в порядке появления. Какова вероятность снова получить слово ТАЛАНТ?  
    5.  На пяти одинаковых на ощупь карточках написаны буквы: на двух карточках – буква Л и на трех карточках – буква И. Эти карточки выкладываются наугад в один ряд. Какова вероятность того, что выложится слово ЛИЛИИ?
    6.  В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов: а)  все отличники; b) только пять отличников.
    7.  В коробке пять одинаковых на ощупь изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся:

а) одно окрашенное изделие;

b) два окрашенных изделия;

c) хотя бы одно окрашенное изделие.

  1.  В урне 3 белых и 7 черных шаров.

а) Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара окажутся: черными; белыми; разноцветными?

b) Какова вероятность того, что среди вынутых наугад двух шаров будет хотя бы один белый?

c) Какова вероятность того, что среди вынутых наугад двух шаров будет хотя бы один черный?

  1.  В окружность вписан квадрат. Наудачу бросают точку. Какова вероятность, что эта точка:  а) попадет в квадрат?  b) не попадет в квадрат?
    1.  Мишень состоит из 10 кругов, ограниченных концентрическими окружностями. Радиус большего круга 1 м и попадание в него гарантирует хотя бы одно очко. Радиус каждого следующего круга на 10 см меньше. Считая, что стрелок обязательно попадет в мишень, определить вероятность выбить а) 10 очков, b) 7 очков; c) не менее 9, если попадание в любую точку мишени равновозможно.

4.2. Условная вероятность.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Условной вероятностью  называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В уже наступило.

Условная вероятность  события А при условии, что событие В произошло, определяется формулой , где .

Условная вероятность  обладает всеми свойствами безусловной вероятности.

События А и В – называются независимыми, если выполняется равенство .

Очевидно, что для независимых событий справедливо:

.

Смысл определения независимости событий заключается в том, что если произошло одно из независимых событий, то это никак не влияет на вероятность появления другого события.

События  называются независимыми в совокупности, если для любых k  из них  выполняется соотношение:

.

Если это соотношение выполняется при = 2, то события  называются попарно независимыми.

Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

p(А+В) = p(А) + p(В) – p(АВ).

Если события  А и В несовместны, то p(А+В) = p(А) + p(В).

Теорема умножения. Вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие наступило: .

Если события А и В независимы, то .

Пример 4.2.1. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все эти вопросы.

Рассмотрим событие А = ”студент знает ответы на все три заданных вопроса”. Оно состоит из событий: ”студент знает ответ на 1-ый вопрос” () И ”студент знает ответ на 2-ой вопрос” () И ”студент знает ответ на 3-ий вопрос” ().

. Если студент ответил на первый вопрос, то всего осталось 19 вопросов, которые он знает из 24 оставшихся, следовательно, вероятность второго события, при условии, что первое произошло равна . Аналогично .

Таким образом, по теореме умножения вероятностей

.

(Или по классическому определению вероятности: , где число благоприятных событий число сочетаний из 20 знакомых вопросов по три; число всевозможных событий  число сочетаний из всех 25 вопросов по три.)

Пример 4.2.2. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает для первого и второго датчиков соответственно равны 0,9 и 0,95. Найти вероятность того, что при пожаре сработает: а) хотя бы один датчик; б) только один датчик.

Обозначим: вероятность срабатывания 1-го датчика, тогда вероятность его несрабатывания равна ; вероятность срабатывания 2-го датчика, тогда вероятность его несрабатывания равна .

Вероятность того, что при возгорании сработает хотя бы один датчик (событие А) можно вычислить по теореме сложения вероятностей:  или через противоположное событие (оба датчика не сработали): .

Вероятность того, что при возгорании сработает только один датчик (событие В) равна .

Вопросы и упражнения для самоконтроля

  1.  Какие события называются зависимыми?
  2.  В каких случаях применяются теоремы сложения и умножения вероятностей?
  3.  Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется счастливым.
  4.  Вероятности успешной сдачи экзамена по первому, второму и третьему предметам у данного студента соответственно равны 0,6; 0,7 и 0,75. Найти вероятность того, что он успешно сдаст все экзамены.
  5.  Шифр сейфа состоит из семи цифр. Чему равна вероятность, что вор с первого раза наберет его верно?
  6.  Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей шесть очков появится хотя бы на одной из костей.
  7.  Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8; а вторым стрелком – 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

УПРАЖНЕНИЯ

  1.  Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос, преподаватель задает еще только один вопрос?
    1.  Достаточным условием сдачи коллоквиума является ответ на один из двух вопросов, предлагаемых студенту преподавателем. Студент не знает ответов на 8 вопросов из тех 40, которые могут быть ему заданы. Какова вероятность того, что студент сдаст коллоквиум?
    2.  Слово ПАПАХА составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами тщательно перемешиваются. Четыре карточки извлекаются по очереди и раскладываются в ряд. Какова вероятность получить таким путем слово “ПАПА”?
    3.  В ящике 10 красных носков и 6 синих. Вынимаются наудачу два носка. Какова вероятность того, что носки будут парными (одноцветными)?
    4.  В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
    5.  Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из 3-х проверенных изделий только два изделия высшего сорта.   
    6.  В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.
    7.  Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0.9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий:

а) только одно стандартное; б) хотя бы одно стандартное.

  1.  Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятности попадания при 1-м, 2-м и 3-м выстрелах равны соответственно 0,4; 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов окажется:

а) одно попадание в мишень;  б) хотя бы одно попадание.

  1.  Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7; а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет:

а) только один из стрелков;  б) хотя бы один из стрелков.

  1.  Три стрелка стреляют по цели, вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8; для второго – 0,75; для третьего – 0,7.

а) какова вероятность хотя бы одного попадания?

б) какова вероятность ровно одного попадания?

в) какова вероятность ровно двух попаданий?

  1.  Предположим, что для одной торпеды вероятность потопить корабль равна 1/2. Какова вероятность того, что четыре торпеды потопят корабль, если для потопления корабля достаточно одного попадания торпеды в цель?
    1.  Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
    2.  Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7; а вторым – 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень.

4.3. Полная вероятность. Формула Байеса

Если событие А может наступить только при появлении одного из несовместных событий (гипотез) , то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности: , где   вероятность гипотезы ;   условная вероятность события А при этой гипотезе; и .

Если до опыта вероятности гипотез были , а в результате опыта появилось событие А, то с учетом этого события “новые”, т.е. условные, вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:

,

где   полная вероятность события А и

Пример 4.3.1. Имеются две урны: в первой – 3 белых шара и 2 черных; во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение: Вероятность события А = “вынут белый шар (из второй урны)” зависит от того, какие шары были переложены из первой. И здесь возможно несколько вариантов (гипотез):

= «переложили 1 белый шар и 1 черный» и

= «переложили 2 белых шара» и

= «переложили 2 черных шара» и

Проверка: .

После того, как во второю урну переложат 2 шара, в ней окажется уже 10 шаров. При этом, если из первой урны переложили 1 белый шар и 1 черный (), то во второй урне окажется 5 белых шаров из 10. Тогда вероятность события А при условии, что произошло событие  будет равна .

Аналогично,  и .

Следовательно, полная вероятность события А будет равна

.

Пример 4.3.2. В студенческой группе 70% юношей. Калькулятор носят с собой 20% юношей и 40% девушек. После занятий в аудитории был найден кем-то забытый калькулятор. Что вероятнее, этот калькулятор принадлежал девушке или юноше?

Решение: Прежде чем, ответить на поставленный вопрос, необходимо найти полную вероятность события А = “имелся калькулятор”. Вероятность этого события зависит от гипотез:  ”девушка”;  “юноша”.

Так как в группе 70% юношей, то  и .

Вероятность того, что калькулятор принесла девушка равна .

Вероятность того, что калькулятор принес юноша – .

Тогда полная вероятность события А = “имелся калькулятор” будет равна

.

Теперь можно найти вероятность того, что принесенный (и забытый) калькулятор принадлежал девушке:

.

Аналогично, вероятность того, что принесенный калькулятор принадлежал юноше равна: .

Следовательно, вероятнее всего забытый калькулятор принадлежал юноше.

Вопросы и упражнения для самоконтроля

  1.  В каких случаях применяется формула полной вероятности?
  2.  Для чего служит формула Байеса?
  3.  Имеются два ящика с шарами. В первом ящике – 2 белых и 1 черный шар, во втором – 1 белый и 4 черных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него один шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым?
  4.  В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7.

а) Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет выстрел из наудачу взятой винтовки.

б) Что вероятнее стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него, если известно, что стрелок поразил мишень?

УПРАЖНЕНИЯ

  1.  В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне – 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
    1.  В пункте проката имеется 8 новых и 10 подержанных (т.е. хотя бы раз использованных) автомобилей. 3 машины взяли наудачу в прокат и спустя некоторое время вернули. После этого вновь наудачу взяли в прокат два автомобиля. Какова вероятность, что оба автомобиля новые?
    2.  В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9; для велосипедиста – 0,8; для бегуна – 0,75. Найти вероятность, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
    3.  Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса –  4, из второй – 6, из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студент 1-ой, 2-ой и 3-ей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0,9, 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежит этот студент?
    4.  В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень из винтовки с оптическим прицелом, равна 0.95, для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0.8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
    5.  Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3 к 2 (3:2). Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0.1, для легковой машины эта вероятность равна 0.2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это – грузовая машина.
    6.  В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, трое подготовлены отлично, четверо – хорошо, двое – удовлетворительно и один – плохо. Имеется 20 вопросов, причем отлично подготовленный студент может ответить на все, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно подготовленный – на 10 и плохо подготовленный – на 5. Найти вероятность того, что а) случайно выбранный студент сможет ответить на доставшийся ему вопрос; б) вероятность того, что этот студент плохо подготовлен, и ему просто повезло с вопросом.
    7.  В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке – 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной (событие А); нестандартной (событие В).
    8.  Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй – 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

4.4. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли

Вероятность того, что в n независимых и однородных (одинаковых) испытаниях успех наступит m раз, выражается формулой Бернулли: 

,

где р – вероятность появления успеха в каждом испытании;  – вероятность неудачи.

Вероятность события, заключающегося в том, что при n испытаниях событие А появится не менее  и не более  раз, равна:

.

Число наступлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, называют наивероятнейшим и обозначают , если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях  раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний. Наивероятнейшее число  определяют из двойного неравенства: .

Пример 4.4.1. Прибор состоит из пяти независимо работающих элементов (). Вероятность отказа элемента в момент включения прибора равна 0,2 ( и ).

Наивероятнейшее число отказавших элементов в таком случае можно определить по формуле: :   

Вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов будет равна (по формуле Бернулли): .

Вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы четыре элемента равна

Применение формулы Бернулли при больших значениях n приводит к произведению очень больших (n!) и очень малых чисел ( и ), что плохо с вычислительной точки зрения, поэтому приходится пользоваться приближенными, асимптотическими формулами:

Формула Пуассона.

При достаточно большом n и малом p () хорошее приближение для формулы Бернулли дает формула Пуассона: , где .

Формула Пуассона используется в задачах, относящихся к редким событиям (с вероятностью p << 1) при достаточно большом числе повторений ().

Вероятность события, заключающегося в том, что оно появится не более k раз, вычисляется по формуле: .

При проведении расчетов по формуле Пуассона удобно пользоваться таблицами, приведенными в приложении (Таблицы I и II).

Пример 4.4.2. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды (). Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003 (). Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.

Так как , то для расчета вероятностей в данной ситуации следует воспользоваться приближенными формулами Пуассона.

Вероятность того, что магазин получит хотя бы одну разбитую бутылку равна  [по таблице I Приложения при  и ].

Вероятность того, что магазин получит ровно 2 разбитых бутылки равна  [по таблице I Приложения при  и ].

Вероятность того, что магазин получит менее 2-х разбитых бутылок равна  [по таблице II Приложения при  и ].

Вероятность того, что магазин получит более 2-х разбитых бутылок равна  [по таблице II Приложения при  и ].

Локальная и интегральная формулы Муавра – Лапласа.

При достаточно большом n и не слишком малых p и q формула Пуассона дает значительную погрешность и тогда применяется другое приближение – формула Муавра – Лапласа.

Локальная формула. Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно m раз, равна

где  .

Значения функции  приводятся в приложении (Таблица III), причем, так как функция четная: , то таблица ее значений составлена только для .

Интегральная формула. Вероятность того, что в n независимых испытаниях число успехов m находится между  и , равна

,

где  ; .

  (интеграл от ) называется функцией Лапласа. Поскольку функция Лапласа   нечетная: , и быстро приближается к своему асимптотическому значению 0.5, то таблица ее значений (Таблица IV) составлена только для x: . Для  принимают .

Пример 4.4.3. На сборы приглашают 120 спортсменов. Вероятность того, что случайно выбранный спортсмен выполнит норматив, равна 0,7. Определить вероятность того, что выполнят норматив ровно 80 спортсменов и не менее 80 спортсменов.

Так как  (число спортсменов) достаточно велико, а выполнение норматива каждым спортсменом нельзя отнести к редким событиям ( и ), то для расчета вероятностей в данной ситуации следует воспользоваться приближенными формулами Муавра - Лапласа.

По локальной формуле Муавра – Лапласа , вероятность того, что норматив выполнят ровно 80 () спортсменов равна

[здесь значение  найдено по таблице III Приложения].

По интегральной формуле Муавра – Лапласа вероятность того, что норматив выполнят не менее  (и соответственно, не более ) спортсменов равна

.

[здесь значения  и  найдены по таблице IV Приложения с учетом свойств функции Лапласа ].

Вопросы и упражнения для самоконтроля

  1.  Опишите схему независимых испытаний Бернулли.
  2.  В каких случаях применяются формулы Бернулли, Пуассона, Муавра-Лапласа?
  3.  Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.
  4.  Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней три дня окажутся дождливыми?
  5.  Известно, что при транспортировке и разгрузке керамической плитки повреждается 2,5 %. Найти вероятность того, что в партии из 200 плиток поврежденными окажется: а) ровно 4 плитки; б) не более 6 плиток.
  6.  Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит пять бракованных книг.
  7.  В жилом доме имеется 6000 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено между 2600 и 3200.
  8.  Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

УПРАЖНЕНИЯ

  1.  Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет: а) два раза;  б) не более восьми раз; в) хотя бы один раз.
    1.  Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину равна 0,7. Проведено 10 бросков. Что вероятнее: он забросит мяч в корзину 6 или 8 раз?
    2.  Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна 0.4. Найти вероятность того, что из шести сотрудников фирмы заболеет:

а) ровно четыре; б) не более четырех; в) хотя бы два не заболеют.

  1.  Вероятность рождения мальчика равна 0,51. В некоторой семье пять детей. Найти вероятность того, что среди них:

а) не более двух мальчиков; б) два мальчика; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков.

  1.  Батарея произвела шесть выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект при одном выстреле равна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий; б) вероятность того, что объект будет разрушен, если для этого достаточно хотя бы двух попаданий..
    1.  Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти вероятность наивероятнейшего числа удачных опытов, если общее их количество равно 7.
    2.  Вероятность госпитализации пациента при эпидемии гриппа равна 0,002. Найти вероятность того, что из 2000 заболевших поликлиника направит на госпитализацию не более 5 пациентов.
    3.  Вероятность допустить ошибку при наборе некоторого текста, состоящего из 1200 знаков, равна 0,005. Найти вероятность того, что при наборе будет допущено: а) шесть ошибок; б) хотя бы одна ошибка.
    4.  Считая вероятность рождения мальчика равной 0,51, найти вероятность того, что из 12300 родившихся в течение года детей: а) мальчиков будет меньше, чем девочек; б) девочек и мальчиков будет поровну.

Контрольная работа по теме: «Вероятность случайного события»

(тренировочный вариант)

№ 1. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов – пять отличников.                Ответ: 0,5.

№ 2. Мишень состоит из 10 кругов, ограниченных концентрическими окружностями. Радиус большего круга 50 см и попадание в него гарантирует хотя бы одно очко. Радиус каждого следующего круга на 5 см меньше. Определить вероятность выбить 5 очков, если попадание в любую точку мишени равновозможно.                  Ответ: 0,11.

№ 3. Из букв И, И, О, Л, М, Н разрезной азбуки выбирают наудачу по одной и выкладывают в ряд. Найти вероятность того, что получится слово ЛИМОН.

Ответ: 0,003.

№ 4. Двое охотятся на лису, причем каждый делает только по одному выстрелу. Для первого охотника вероятность попадания в цель равна 0.5, для второго 0.7.

а) Какова вероятность попадания в лису?           Ответ: 0,85.

б) Какова вероятность попадания в лису только одним стрелком?       Ответ: 0,5.

№ 5. В магазин поступают в среднем 40 % йогурта фирмы N, 30 % фирмы К и 30 % фирмы М. Вероятность истечения срока годности до продажи йогурта N равна 0.4; для йогуртов К и М эти вероятности соответственно равны 0.7 и 0.8. У некоторого йогурта истек срок годности. Найти вероятность того, что этот йогурт фирмы N.            Ответ: 0,26.

№ 6. Вероятность того, что изделие содержит некоторый производственный брак, равна 0,002. Какова вероятность того, что из 500 проверяемых изделий 5 штук будут отбракованы?                Ответ: 0,0031.

№ 7. Вероятность того, что зашедший в ресторан посетитель сделает заказ, равна 0,8. Определить вероятность того, что не менее 75% посетителей сделают заказ.                  Ответ: 0,8944.

№ 8. В магазин вошли восемь покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого равна 0,3. Найти наивероятнейшее число покупателей, которые сделают покупки и вероятность этого числа.             Ответ: 0,2964.


4.5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

В зависимости от вида множества возможных значений все случайные величины (СВ) можно разбить на два класса: дискретные  и непрерывные.

Дискретной называют СВ, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Множество возможных значений дискретной СВ может быть или конечным, или счетным.

Законом распределения дискретной СВ называется правило, по которому каждому возможному значению случайной величины  ставится в соответствие вероятность , с которой СВ может принять это значение. Закон распределения дискретной СВ может быть задан:  

аналитически (формулой): ;

таблично (ряд распределения):

графически (многоугольник распределения, полигон): по точкам , соединенным отрезками прямых.

Поскольку в результате опыта СВ  может принять одно и только одно из возможных значений, то события, заключающиеся в том, что  примет значения , попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие. Откуда следует, что .

Дискретные СВ  и  называются независимыми, если независимы события  и  при любых  и .

Для любой случайной величины  можно ввести функцию распределения , равную вероятности того, что случайная величина  примет значение, меньшее x: .

Если   дискретная СВ, принимающая значения  с вероятностями , то функция распределения строится по формуле: , где суммируются вероятности тех значений , которые меньше заданного x.

Функция распределения  дискретной СВ является ступенчатой, сохраняющей постоянное значение на каждом интервале, не содержащем точек , и терпящей в этих точках скачок, равный .


Свойства функции распределения:

1) ; 2) ; 3) ;

4) Функция распределения неубывающая функция, т.е. если ,  то .

Пример 4.5.1. Из партии в 25 изделий, среди которых имеются 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения и функцию распределения случайного числа бракованных изделий, содержащихся в выборке. Определить вероятность того, что в выборке будет не более одного бракованного изделия.

Случайная величина X = ”число бракованных изделий (в выборке из 3-х изделий)” может принимать значения 0, 1, 2 и 3.

Для построения ряда распределения СВ X необходимо рассчитать вероятности каждого из ее возможных значений.

В опыте, заключающемся в выборе 3-х изделий из 25, число всевозможных исходов

Событию ”в выборке из 3-х изделий нет (0) бракованных” благоприятствует .

Следовательно, вероятность того, что СВ величина X примет значение 0 равна .

Аналогично, ,  и .

Можно заметить, что вероятность принять значение  данной СВ в общем случае определяется по формуле .

Таким образом, ряд распределения СВ X = ”число бракованных изделий (в выборке из 3-х изделий)” имеет вид:

0

1

2

3

Проверка:

0,42

0,45

0,12

0,01

Построение функции распределения СВ : :

  1.  вероятность того, что СВ  примет значение меньше 0 как вероятность невозможного события равна 0, т.е. ;
    1.  событию ” примет значение меньше 1” благоприятствует только событие ”” с вероятностью , т.е. ;
      1.  событию ”” благоприятствуют (несовместные) события ”” и ”” с вероятностями  и , т.е. ;
      2.  

или ;

  1.  вероятность того, что СВ  примет значение меньше 4 (и более) как вероятность достоверного события равна 1, т.е.  при  или  для всех .

Таким образом, функция распределения СВ X = ”число бракованных изделий (в выборке из 3-х изделий)” имеет вид:

Вероятность того, что в выборке будет не более одного бракованного изделия можно найти по функции распределения СВ X:

.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины –бесконечно.

Распределение вероятностей непрерывной СВ  можно задать либо функцией распределения , либо ее производной , называемой плотностью распределения вероятности или плотностью вероятности.

В точках, где производная не определена, будем считать, что  .

Свойства плотности распределения вероятности:

1)  – свойство неотрицательности;

2)  – свойство нормированности;

3)  и ;

4) 

Пример 4.5.2. 

а) Если непрерывная СВ  задана функцией распределения

Тогда плотность распределения вероятности  данной СВ  будет равна

б) Если непрерывная СВ  задана плотностью распределения вероятности

то функцией распределения

Таким образом,

в) Найдем вероятность того, что в результате испытания величина  примет значение, заключенное в интервале :

или сразу с помощью функции распределения вероятностей:

.

Вопросы и упражнения для самоконтроля

  1.  Что называется случайной величиной? Чем отличаются случайные величины от случайных событий?
  2.  В чем заключается принципиальное различие между дискретными и непрерывными случайными величинами? Как это различие отражается на способах представления дискретных и непрерывных случайных величинах?
  3.  Что отражают ряд распределения и функция плотности вероятности? Укажите их сходство и различия.
  4.  Какой содержательный смысл вкладывается в понятие функции распределения? Перечислите свойства функции распределения случайной величины.
  5.  Постройте полигон и график функции распределения для случайной величины из примера 4.5.1.
  6.  Построить ряд и функцию распределения числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания равна 0,4.
  7.  Случайная величина  задана функцией распределения:

Найти: а) плотность вероятности ; б) вероятность попадания величины  в интервалы (1; 2,5) и (2,5; 3).

УПРАЖНЕНИЯ

  1.  Абитуриент сдает два вступительных экзамена: по математике и физике. Построить ряд и функцию распределения случайной величины   числа полученных пятерок, если вероятность получения пятерки по математике равна 0,8; а по физике – 0,6.
    1.  Бросают три монеты. Построить ряд распределения, многоугольник (полигон) и функцию распределения случайной величины , равной числу выпавших “решек”.
    2.  Дискретная СВ  задана рядом распределения

2

1

2

3

0,08

0,40

0,32

0,20

Найти функцию распределения  и построить ее график. Определить вероятности событий , , .

  1.  Дискретная СВ задана рядом распределения

1,1

1,4

1,7

2,0

2,3

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

Построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения  и построить ее график. Определить вероятности событий , .

  1.  Задана функция распределения СВ : .

Построить ряд распределения СВ  и найти вероятности: , .

  1.  Найти плотность распределения вероятности   для СВ , заданной функцией распределения:  
    1.  Построить функцию распределения и ее график для непрерывной случайной величины , заданной плотностью вероятности:

  1.  Найти функцию распределения  для СВ , заданной плотностью вероятностей:  
    1.  Случайная величина  имеет плотность вероятности

а) построить функцию распределения ;

б) найти вероятность того, что в результате испытания величина  примет значение, заключенное в интервале .

  1.  Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения  в интервале ; вне этого интервала . Найти вероятность того, что  примет значение, принадлежащее интервалу .


4.6. Числовые характеристики случайных величин

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат всей оси 0x, определяется равенством , где   плотность распределения случайной величины. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (ab), то .

Свойства математического ожидания:

  1.  , где С – константа;
  2.  ;
  3.  , где  и   независимые случайные величины. Следствие: 

Математическое ожидание является одной из характеристик положения значений СВ, а точнее одной из характеристик центральной тенденции.

Иными словами, математическое ожидания – это точка на числовой оси, около которой , как правило, концентрируется большинство значений случайной величины.

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины относительно математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины  называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: .

Для вычисления дисперсии часто оказывается удобной формула

.

В частности, для дискретной случайной величины:

;

для непрерывной случайной величины:

;

если все возможные значения непрерывной случайной величины  принадлежат интервалу (a, b), то

.

Свойства дисперсии:

  1.  , где С – константа;
  2.  ;
  3.  , где  и    независимые СВ.

Следствие: 

Размерность дисперсии случайной величины равна квадрату размерности самой случайной величины, поэтому в ряде случаев удобно пользоваться квадратным корнем из дисперсии. Эта характеристика имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, и ее называют средним квадратическим отклонением случайной величины: .

Пример 4.6.1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины X, по заданному ряду распределения:

6

3

1

0,2

0,3

0,5

Математическое ожидание .

Дисперсия .

Среднеквадратическое отклонение .

Пример 4.6.2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины , где X – случайная величина из примера 4.6.1.

;

; .

Некоторые законы распределения и их числовые характеристики

Биноминальное распределение

Рассмотрим дискретную случайную величину , равную числу появлений события А при n независимых однородных испытаниях. Возможными значениями  являются все целые числа от 0 до n, а вероятность того, что  примет значение m, определяется формулой Бернулли

,  ,  .

Закон распределения Пуассона

Закон распределения Пуассона выражает вероятность независимых массовых (n велико) редких (р мало) событий: ,

где  m  число появлений события в n независимых испытаниях;

  среднее число появлений события в n испытаниях.

,  .

Нормальный (Гауссовский) закон распределения

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной СВ , плотность которого имеет вид где а  математическое ожидание;   среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Вероятность того, что  примет значение, принадлежащее интервалу , равна: , где   функция Лапласа.

Нормальный закон отличается тем, что наиболее вероятны появления средних значений случайной величины, и чем больше отклонения некоторого значения от среднего (математического ожидания), тем менее оно вероятно.

Равномерный закон распределения

Равномерное распределение случайной величины, определенной на интервале , задается функцией плотности вероятности вида:

Математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на интервале , совпадает с серединой этого интервала: , а дисперсия равна .

Равномерное распределение (непрерывной) случайной величины выражает равновероятное появление любого значения из множества ее возможных значений.

Пример 4.6.3. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке . Определите вид распределения и множество значений случайной величины .

Умножение на число, не равное 0, и сложение (вычитание) с некоторым числом не изменяет вида закона распределения, поэтому случайная величина  будет иметь такой же закон распределения (т.е. равномерный), на отрезке .

Вопросы и упражнения для самоконтроля

  1.  Что характеризует математическое ожидание случайной величины? дисперсия случайной величины?
  2.  Перечислите отличительные черты биноминального, показательного, нормального и равномерного законов распределения.
  3.  Какова по типу будет случайная величина  из примера 4.6.2: дискретная или непрерывная и почему?
  4.  Найти математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины , заданной плотностью вероятности

.

УПРАЖНЕНИЯ

  1.  Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины, по заданному ряду распределения:

0

1

2

0,2

0,6

0,2

  1.  Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р = 0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
    1.  Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 40 билетов, учитывая, что вероятность выигрыша равна 0.05.
    2.  Найти математическое ожидание и характеристики рассеяния случайной величины , заданной функцией распределения

  1.  Случайная величина  в интервале (0, 5) задана плотностью распределения ; вне этого интервала . Найти дисперсию случайной величины .
    1.  Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины  соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания  примет значение, заключенное в интервале (12, 14).
    2.  Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины  соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания  примет значение, заключенное в интервале (12, 14).
    3.  Записать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины , зная, что , .
    4.  Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины  равно а = 3 и среднее квадратическое отклонение . Найти плотность вероятности .

4.7. Элементы математической статистики

Математической статистикой называется наука, разрабатывающая методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов для выявления скрытых в них закономерностях.

Объектом исследования статистики как науки выступает генеральная (статистическая) совокупность.

Генеральная совокупность – это множество потенциальных испытуемых или объектов, которые имеют один или несколько общих существенных признаков и различаются между собой по другим признакам.

Предметом статистики является статистическая закономерность. Закономерности, присущие в целом процессам, протекающим в этих совокупностях, проявляются через индивидуальные различия.

Выборка, выборочная совокупность – это часть объектов генеральной совокупности, выступающих в качестве объектов наблюдения.

Выборка записывается в виде последовательности чисел (измеренных значений) в порядке их появления (). Числа , составляющие выборку, называются ее элементами, а их количество nобъемом выборки.

Первоначально выборка является труднообозримым неупорядоченным множеством. Для дальнейшего изучения выборку обычно подвергают упорядочению и группировке. При группировке в одном ряду приводятся значения признака, в другом – соответствующие частоты.

Частотой  называется количество повторений значения  в выборке. Здесь индекс j меняет свои значения от 1 до k, где k – число разных значений элементов выборки.

Таблицу, в которой представлен ряд распределения, часто еще называют таблицей частот или частотной таблицей.

Относительная частота указывает, какова доля отдельного значения в общем числе наблюдений, и вычисляется как отношение его частоты к объему выборки:  или .

Для графического представления данных на основе частотной таблицы чаще всего используют гистограмму или полигон частот.

Гистограмма – столбчатая диаграмма, где по оси X откладываются различные значения признака  или границы интервалов квантования, по оси Y – соответствующие частоты (абсолютные или относительные).

Столбцы гистограммы непрерывной СВ располагаются вплотную друг к другу. В случае неравных по длине интервалов для наглядности графического представления гистограмму лучше строить по относительным частотам.

Для описания дискретной СВ столбцы гистограммы делают произвольной, но обязательно одинаковой ширины и располагают на расстоянии друг от друга (т.к. дискретная СВ не может принимать промежуточные значения).

Гистограмма, построенная по относительным частотам, соответствует понятию функции плотности вероятности.

Полигон – ломаная линия, которая соединяет точки с координатами , т.е. середины верхних горизонтальных отрезков столбцов гистограммы. Полигон может быть сглажен, и тогда распределение будет выглядеть как плавная кривая.

Основная цель выборочного метода сводится к тому, чтобы, обследуя выборочную совокупность, можно было бы с определенной долей уверенности распространять полученные значения статистических характеристик (статистик) на всю генеральную совокупность.

Оценки числовых характеристик распределения случайной величины

Параметры распределения – это его числовые характеристики, указывающие, где “в среднем” располагаются значения признака, насколько эти значения изменчивы и наблюдается ли преимущественное появление определенных значений признака.

Среднее арифметическое как статистический показатель представляет собой (несмещенную) оценку математического ожидания значений изучаемого признака.

Среднее арифметическое: ,

где   среднее арифметическое значение по выборке;

n – количество наблюдений в выборке;

() или  () различные значения признака, где количество этих значений;

частоты, относительные частоты.

Модой (Mo) называют значение исследуемого признака, наиболее часто встречающееся в выборке. Таким образом, моду легко увидеть в вариационном ряду (в таблице частот) и на гистограмме – этому значению будет соответствовать максимальная частота и самый высокий столбец.

Медиана d) – это значение исследуемого признака, которое делит упорядоченный вариационный ряд, пополам.

Медианой ряда, состоящего из нечетного количества значений, называется значение данного ряда, которое окажется ровно посередине, если этот ряд упорядочить.

Медианой ряда, состоящего из четного количества значений, называется среднее арифметическое двух стоящих посередине значений упорядоченного ряда.

Выборочные характеристики: среднее арифметическое, медиана и мода – являются характеристиками положения значений выборки. Для симметричного генерального распределения все выборочные характеристики положения оценивают центр симметрии распределения.

Числовые характеристики: размах, дисперсия и среднеквадратичное отклонение – относятся к элементарным математическим статистикам, характеризующим рассеяние значений признака.

Размах – мера абсолютного рассеяния наблюдаемых величин, равен разности между максимальным и минимальным выборочными значениями признака: .

Дисперсия показывает разброс значений признака относительно своего среднего арифметического значения:

,

где S 2несмещенная (выборочная) оценка дисперсии,

объем выборки,

выборочные значения признака,

среднее арифметическое выборки;

частоты, относительные частоты;

количество интервалов (в интервальном вариационном ряду;

середины этих интервалов.

Дисперсия выражается в квадратных единицах измерения наблюдаемого признака. Чтобы устранить этот недостаток, в качестве меры рассеивания ряда данных принято рассматривать квадратный корень из дисперсии, который называют средним квадратичным отклонением.

Статистическая оценка среднеквадратичное (стандартное) отклонение характеризует различия между наблюдаемыми выборочными значениями, точнее разброс данных относительно среднего арифметического и равна:

Его размерность соответствует размерности измеряемой величины, в отличие от “квадратного” размера дисперсии.

Интервальное оценивание и стандартные ошибки

Способ оценки неизвестных параметров генеральной совокупности, который рассматривался выше, называется точечным оцениванием, поскольку в качестве оценки параметра определяется одно значение – точка на числовой оси.

С помощью метода интервального оценивания по результатам измерений выборки указывается интервал, который с определенной вероятностью содержит некоторый параметр генеральной совокупности.

Стандартная ошибка означает величину стандартного отклонения распределения данной статистики относительно ее среднего значения при условии извлечения бесконечного числа выборок некоторого объема.

Доверительным интервалом называется интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной вероятностью.

Доверительной вероятностью (доверительным коэффициентом) неизвестного параметра называется вероятность того, что случайно выбранный интервал из совокупности возможных доверительных интервалов будет содержать этот параметр, например, для среднего:

Вопросы и упражнения для самоконтроля

  1.  В таблице приведены данные о времени, затраченном студентом на выполнение домашних заданий в течение одной недели. Определите, какая статистическая характеристика находится в каждом случае.

День недели

пн.

вт.

ср.

чт.

пт.

сб.

вс.

Время, ч

2,5

3,5

2

3

3,5

1,5

5

а) 5 – 1,5 = 3,5 ………………………………………………………….. 3,5 ч

б) 2,5 + 3,5 + 2 + 3 + 3,5 + 1,5 + 5 = 21;   21 : 7 = 3 ….……………….. 3 ч

в) 2,5; 3,5; 2; 3; 3,5; 1,5; 5 …..………………………………………….. 3,5 ч

г) 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 3,5; 5 …..………………………………………….. 3 ч

  1.  На стадионе “Химик” была зафиксирована следующая посещаемость первых четырех футбольных матчей: 24 532, 18 711, 22 871, 24 334. Какова средняя посещаемость этих матчей? Чему равен размах посещаемости?
  2.  Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 10. Тогда его интервальная оценка может иметь вид …

а) ;  б) ;  в) ;  г) .

УПРАЖНЕНИЯ

  1.  Сдав экзамен, студенты выходили из кабинета и называли полученные оценки. Первые десять оценок таковы: 5, 5, 4, 5, 3, 4, 5, 5, 3, 3.

а) Определите относительные частоты каждой из оценок.

б) Представьте эти данные с помощью гистограммы.

в) Определите наиболее часто встречающуюся оценку.

д) Найдите несмещенную оценку математического ожидания, моду, медиану и выборочное значение среднеквадратического отклонения.

  1.  В одном городе исследовали, сколько детей до 18 лет растет в семьях. Для этого были опрошены 1000 семей. Результаты опроса приведены в следующей таблице:

Количество детей в семье

0

1

2

3

4

5

Количество семей

250

450

204

78

12

6

а) Определите соответствующие относительные частоты.

б) Представьте их с помощью гистограммы.

в) Представьте эти данные с помощью полигона.

г) Определите, сколько детей чаще всего бывает в семье. Назовите полученную статистику.

  1.  Социологи опросили 50 школьников, прося указать, сколько книг каждый из них прочел за прошедший месяц. Были получены следующие данные:

0, 2, 6, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 7, 5, 5, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 4, 3, 4, 3, 3, 4, 4, 0, 0, 0, 3, 3, 3, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 3, 4, 4, 3, 3, 1, 2, 5.

а) Постройте таблицу частот и гистограмму.

б) Найдите выборочную моду, медиану и проинтерпретируйте полученные значения.

в) Рассчитайте несмещенную оценку математического ожидания, размах и выборочное среднеквадратическое отклонение.

  1.  Социологи провели опрос 1000 школьников, выясняя, сколько времени они в среднем тратят в день на приготовление домашнего задания. Результаты опроса показаны на гистограмме:

Частота

350

250

150

50

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

Время, час.

а) Сколько времени делает домашнее задание большинство школьников?

б) Какой процент составляют самые усидчивые школьники?

в) Сколько времени в день в среднем тратит ученик из этой группы на приготовление домашних заданий?

г) Сколько времени тратит средний ученик на приготовление домашних заданий?

  1.  В магазине “Каль-куль” представлены калькуляторы по следующим ценам:

Тип

A

B

C

D

E

F

G

H

Цена (руб.)

119

149

169

149

219

149

129

169

Ответьте на вопросы и назовите полученные статистические характеристики.

а) Какова самая распространенная цена на калькуляторы в данном магазине?

б) Какова средняя цена калькулятора?  

в) Сколько должен стоить “средний” калькулятор?  

ЛИТЕРАТУРА

  1.  Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: Учеб. Пособие для вузов /В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.
  2.  Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст]: Учеб. пособие для вузов /В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2004. – 404 с.
  3.  Кожухов, И.Б. Математика. Школьникам и абитуриентам [Текст]. /И.Б. Кожухов, А.А. Прокофьев. – М.: Махаон, 2005, серия "Новейший справочник". – 480 с.
  4.  Кричевец, А.Н. Математика для психологов [Текст]: Учебник. /А.Н. Кричевец, Е.В. Шикин, А.Г. Дьячков. – М.: Флинта: Московский психолого-социальный институт, 2003. – 376 с.
  5.  Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс [Текст]. /К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко; под ред. С.Н. Федина. – М.: Айрис-пресс, 2005. – 576 с.
  6.  Сборник формул по математике (Карманный справочник) [Текст] – М.: АСТ: Астрель, 2005. – 159 с.
  7.  Турецкий, В.Я. Математика и информатика [Текст]: Учебник. /В.Я. Турецкий. – М.: ИНФРА-М, 2006, серия "Высшее образование". – 560 с.


ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица I. Значения функции

m

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0

0,9048

0,8187

0,7408

0,6703

0,6065

0,5488

1

0,0905

0,1638

0,2222

0,2681

0,3033

0,3293

2

0,0045

0,0164

0,0333

0,0536

0,0758

0,0988

3

0,0002

0,0011

0,0033

0,0072

0,0126

0,0198

4

0,0001

0,0002

0,0007

0,0016

0,0030

5

0,0001

0,0002

0,0004

m

0,7

0,8

0,9

1,0

2,0

3,0

0

0,4966

0,4493

0,4066

0,3676

0,1353

0,0498

1

0,3476

0,3595

0,3659

0,3679

0,2707

0,1494

2

0,1217

0,1438

0,1647

0,1839

0,2707

0,2240

3

0,0284

0,0383

0,0494

0,0613

0,1804

0,2240

4

0,0050

0,0077

0,0111

0,0153

0,0902

0,1680

5

0,0007

0,0012

0,0020

0,0031

0,0361

0,1008

6

0,0001

0,0002

0,0003

0,0005

0,0120

0,0504

7

0,0001

0,0034

0,0216

8

0,0009

0,0081

9

0,0002

0,0027

10

0,0008

11

0,0002

12

0,0001

m

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

0

0,0183

0,0067

0,0025

0,0009

0,0003

0,0001

1

0,0733

0,0337

0,0149

0,0064

0,0027

0,0011

2

0,1465

0,0842

0,0446

0,0223

0,0107

0,0050

3

0,1954

0,1404

0,0892

0,0521

0,0286

0,0150

4

0,1954

0,1755

0,1339

0,0912

0,0572

0,0337

5

0,1563

0,1755

0,1606

0,1277

0,0916

0,0607

6

0,1042

0,1462

0,1606

0,1490

0,1221

0,0911

7

0,0595

0,1044

0,1377

0,1490

0,1396

0,1171

8

0,0298

0,0653

0,1033

0,1304

0,1396

0,1318

9

0,0132

0,0363

0,0688

0,1014

0,1241

0,1318

10

0,0053

0,0181

0,0413

0,0710

0,0993

0,1186

11

0,0019

0,0082

0,0225

0,0452

0,0722

0,0970

12

0,0006

0,0034

0,0113

0,0264

0,0481

0,0728

13

0,0002

0,0013

0,0052

0,0142

0,0296

0,0504

14

0,0001

0,0005

0,0022

0,0071

0,0169

0,0324

15

0,0002

0,0009

0,0033

0,0090

0,0194

16

0,0001

0,0003

0,0015

0,0045

0,0109

17

0,0001

0,0006

0,0021

0,0058

Таблица II. Значения функции

k

0

1

2

3

4

5

6

7

0,1

0,9048

0,9953

0,9999

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,2

0,8187

0,9325

0,9989

0,9999

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,3

0,7408

0,9631

0,9964

0,9997

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,4

0,6703

0,9385

0,9921

0,9992

0,9999

1,0000

1,0000

1,0000

0,5

0,6065

0,9098

0,9856

0,9983

0,9998

1,0000

1,0000

1,0000

0,6

0,5488

0,8781

0,9769

0,9966

0,9996

1,0000

1,0000

1,0000

0,7

0,4966

0,8442

0,9659

0,9943

0,9992

0,9999

1,0000

1,0000

0,8

0,4493

0,8088

0,9526

0,9909

0,9986

0,9998

1,0000

1,0000

0,9

0,4066

0,7725

0,9371

0,9865

0,9977

0,9997

1,0000

1,0000

1,0

0,3679

0,7358

0,9197

0,9810

0,9963

0,9994

0,9999

1,0000

2,0

0,1353

0,4060

0,6767

0,8571

0,9474

0,9834

0,9955

0,9989

3,0

0,0498

0,1992

0,4232

0,6472

0,8153

0,9161

0,9665

0,9881

4,0

0,0183

0,0916

0,2381

0,4335

0,6279

0,8155

0,8888

0,9478

5,0

0,0067

0,0404

0,1247

0,2650

0,4405

0,6160

0,7623

0,8666

6,0

0,0025

0,0174

0,0620

0,1512

0,2851

0,4457

0,6063

0,7440

7,0

0,0009

0,0073

0,0296

0,0818

0,1730

0,3007

0,4497

0,5987


Таблица
III. Значения функции

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,3989

3989

3989

3988

3986

3984

3982

3980

3977

3973

0,1

3970

3965

3961

3956

3951

3945

3939

3932

3925

3918

0,2

3910

3902

3894

3885

3876

3867

3857

3847

3836

3825

0,3

3814

3802

3790

3778

3765

3752

3739

3726

3712

3697

0,4

3683

3668

3653

3637

3621

3605

3589

3572

3555

3538

0,5

3521

3503

3485

3467

3448

3429

3410

3391

3372

3352

0,6

3332

3312

3292

3271

3251

3230

3209

3187

3166

3144

0,7

3123

3110

3079

3056

3034

3011

2989

2966

2943

2920

0,8

2897

2874

2850

2827

2803

2780

2756

2732

2709

2685

0,9

2661

2637

2613

2589

2565

2541

2516

2492

2468

2444

1,0

0,2420

2396

2371

2347

2323

2299

2275

2251

2227

2203

1,1

2179

2155

2131

2107

2083

2059

2036

2012

1989

1965

1,2

1942

1919

1895

1872

1849

1826

1804

1781

1758

1736

1,3

1714

1691

1669

1647

1626

1604

1582

1561

1539

1518

1,4

1497

1476

1456

1435

1415

1394

1374

1354

1334

1315

1,5

1295

1276

1257

1238

1219

1200

1182

1163

1145

1127

1,6

1109

1092

1074

1057

1040

1023

1006

0989

0973

0957

1,7

0940

0925

0909

0893

0878

0863

0848

0833

0818

0804

1,8

0790

0775

0761

0748

0734

0721

0707

0694

0681

0669

1,9

0656

0644

0632

0620

0608

0596

0584

0573

0562

0551

2,0

0,0540

0529

0519

0508

0498

0488

0478

0468

0459

0449

2,1

0440

0431

0422

0413

0404

0396

0387

0379

0371

0363

2,2

0355

0347

0339

0332

0325

0317

0310

0303

0297

0290

2,3

0283

0277

0270

0264

0258

0252

0246

0241

0235

0229

2,4

0224

0219

0213

0208

0203

0198

0194

0189

0184

0180

2,5

0175

0171

0167

0163

0158

0154

0151

0147

0143

0139

2,6

0136

0132

0129

0126

0122

0119

0116

0113

0110

0107

2,7

0104

0101

0099

0096

0093

0091

0088

0086

0084

0081

2,8

0079

0077

0075

0073

0071

0069

0067

0065

0063

0061

2,9

0060

0058

0056

0055

0053

0051

0050

0048

0047

0046

3,0

0,0044

0043

0042

0040

0039

0038

0037

0036

0035

0034

3,1

0033

0032

0031

0030

0029

0028

0027

0026

0025

0025

3,2

0024

0023

0022

0022

0021

0020

0020

0019

0018

0018

3,3

0017

0017

0016

0016

0015

0015

0014

0014

0013

0013

3,4

0012

0012

0012

0011

0011

0010

0010

0010

0009

0009

3,5

0009

0008

0008

0008

0008

0007

0007

0007

0007

0006

3,6

0006

0006

0006

0005

0005

0005

0005

0005

0005

0004

3,7

0004

0004

0004

0004

0004

0004

0003

0003

0003

0003

3,8

0003

0003

0003

0003

0003

0002

0002

0002

0002

0002

3,9

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0001

0001


Таблица
IV. Значения функции  

x

x

x

x

0,00

0,0000

0,41

0,1591

0,82

0,2939

1,23

0,3907

0,01

0,0040

0,42

0,1628

0,83

0,2967

1,24

0,3925

0,02

0,0080

0,43

0,1664

0,84

0,2995

1,25

0,3944

0,03

0,0120

0,44

0,1700

0,85

0,3023

1,26

0,3962

0,04

0,0160

0,45

0,1736

0,86

0,3051

1,27

0,3980

0,05

0,0199

0,46

0,1772

0,87

0,3078

1,28

0,3997

0,06

0,0239

0,47

0,1808

0,88

0,3106

1,29

0,4015

0,07

0,0279

0,48

0,1844

0,89

0,3133

1,30

0,4032

0,08

0,0319

0,49

0,1879

0,90

0,3159

1,31

0,4049

0,09

0,0359

0,50

0,1915

0,91

0,3186

1,32

0,4066

0,10

0,0398

0,51

0,1950

0,92

0,3212

1,33

0,4082

0,11

0,0438

0,52

0,1985

0,93

0,3238

1,34

0,4099

0,12

0,0478

0,53

0,2019

0,94

0,3264

1,35

0,4115

0,13

0,0517

0,54

0,2054

0,95

0,3289

1,36

0,4131

0,14

0,0557

0,55

0,2088

0,96

0,3315

1,37

0,4147

0,15

0,0596

0,56

0,2123

0,97

0,3340

1,38

0,4162

0,16

0,0636

0,57

0,2157

0,98

0,3365

1,39

0,4177

0,17

0,0675

0,58

0,2190

0,99

0,3389

1,40

0,4192

0,18

0,0714

0,59

0,2224

1,00

0,3413

1,41

0,4207

0,19

0,0753

0,60

0,2257

1,01

0,3438

1,42

0,4222

0,20

0,0793

0,61

0,2291

1,02

0,3461

1,43

0,4236

0,21

0,0832

0,62

0,2324

1,03

0,3485

1,44

0,4251

0,22

0,0871

0,63

0,2357

1,04

0,3508

1,45

0,4265

0,23

0,0910

0,64

0,2389

1,05

0,3531

1,46

0,4279

0,24

0,0948

0,65

0,2422

1,06

0,3554

1,47

0,4292

0,25

0,0987

0,66

0,2454

1,07

0,3577

1,48

0,4306

0,26

0,1026

0,67

0,2486

1,08

0,3599

1,49

0,4319

0,27

0,1064

0,68

0,2517

1,09

0,3621

1,50

0,4332

0,28

0,1103

0,69

0,2549

1,10

0,3643

1,51

0,4345

0,29

0,1141

0,70

0,2580

1,11

0,3665

1,52

0,4357

0,30

0,1179

0,71

0,2611

1,12

0,3686

1,53

0,4370

0,31

0,1217

0,72

0,2642

1,13

0,3708

1,54

0,4382

0,32

0,1255

0,73

0,2673

1,14

0,3729

1,55

0,4394

0,33

0,1293

0,74

0,2703

1,15

0,3749

1,56

0,4406

0,34

0,1331

0,75

0,2734

1,16

0,3770

1,57

0,4418

0,35

0,1368

0,76

0,2764

1,17

0,3790

1,58

0,4429

0,36

0,1406

0,77

0,2794

1,18

0,3810

1,59

0,4441

0,37

0,1443

0,78

0,2823

1,19

0,3830

1,60

0,4452

0,38

0,1480

0,79

0,2852

1,20

0,3849

1,61

0,4463

0,39

0,1517

0,80

0,2881

1,21

0,3869

1,62

0,4474

0,40

0,1554

0,81

0,2910

1,22

0,3883

1,63

0,4484


Таблица
IV. Продолжение

x

x

x

x

1,64

0,4495

2,05

0,4798

2,46

0,4931

2,87

0,4979

1,65

0,4505

2,06

0,4803

2,47

0,4932

2,88

0,4980

1,66

0,4515

2,07

0,4808

2,48

0,4934

2,89

0,4981

1,67

0,4525

2,08

0,4812

2,49

0,4936

2,90

0,4981

1,68

0,4535

2,09

0,4817

2,50

0,4938

2,91

0,4982

1,69

0,4545

2,10

0,4821

2,51

0,4940

2,92

0,4982

1,70

0,4554

2,11

0,4826

2,52

0,4941

2,93

0,4983

1,71

0,4564

2,12

0,4830

2,53

0,4943

2,94

0,4984

1,72

0,4573

2,13

0,4834

2,54

0,4945

2,95

0,4984

1,73

0,4582

2,14

0,4838

2,55

0,4946

2,96

0,4985

1,74

0,4591

2,15

0,4842

2,56

0,4948

2,97

0,4985

1,75

0,4599

2,16

0,4846

2,57

0,4949

2,98

0,4986

1,76

0,4608

2,17

0,4850

2,58

0,4951

2,99

0,4986

1,77

0,4616

2,18

0,4854

2,59

0,4951

3,00

0,49865

1,78

0,4625

2,19

0,4857

2,60

0,4953

3,10

0,49903

1,79

0,4633

2,20

0,4861

2,61

0,4955

3,20

0,49931

1,80

0,4641

2,21

0,4864

2,62

0,4956

3,30

0,49952

1,81

0,4649

2,22

0,4868

2,63

0,4967

3,40

0,49966

1,82

0,4656

2,23

0,4871

2,64

0,4959

3,50

0,49977

1,83

0,4664

2,24

0,4875

2,65

0,4960

3,60

0,49984

1,84

0,4671

2,25

0,4878

2,66

0,4961

3,70

0,49989

1,85

0,4678

2,26

0,4881

2,67

0,4962

3,80

0,49993

1,86

0,4686

2,27

04884

2,68

0,4963

3,90

0,49995

1,87

0,4693

2,28

0,4887

2,69

0,4964

4,00

0,499968

1,88

0,4699

2,29

0,4890

2,70

0,4965

4,10

0,499979

1,89

0,4706

2,30

0,4893

2,71

0,4966

4,20

0,499987

1,90

0,4713

2,31

0,4896

2,72

0,4967

4,30

0,499991

1,91

0,4719

2,32

0,4898

2,73

0,4968

4,40

0,499995

1,92

0,4726

2,33

0,4901

2,74

0,4969

4,50

0,4999966

1,93

0,4732

2,34

0,4904

2,75

0,4970

4,60

0,4999979

1,94

0,4738

2,35

0,4906

2,76

0,4971

4,70

0,4999987

1,95

0,4744

2,36

0,4909

2,77

0,4972

4,80

0,4999992

1,96

0,4750

2,37

0,4911

2,78

0,4973

4,90

0,4999995

1,97

0,4756

2,38

0,4913

2,79

0,4974

5,00

0,5

1,98

0,4761

2,39

0,4916

2,80

0,4974

1,99

0,4767

2,40

0,4918

2,81

0,4975

2,00

0,4772

2,41

0,4920

2,82

0,4976

2,01

0,4778

2,42

0,4922

2,83

0,4977

2,02

0,4783

2,43

0,4925

2,84

0,4977

2,03

0,4788

2,44

0,4927

2,85

0,4978

2,04

0,4793

2,45

0,4929

2,86

0,4979


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3588. Сценарій Вернісаж особистостей 14.63 KB
  Сценарій Вернісаж особистостей Ведуча: шановні учні, вчителі! Сьогодні ми зібрались в цій залі, щоб подумати, помріяти, відпочити і підтримувати учасників «Вернісаж особистостей». У конкурсі приймають участь 15 учасників. Ведучий: і як водиться, на ...
3589. Випускний вечір 2012 118.5 KB
  Випускний вечір 2012 Святково прибрана актова зала. Під тиху музику ведуча звертається до присутніх. Ведуча: Доброго вам вечора, шановні батьки, вчителі, гості! Здається, що тільки вчора пролунав останній дзвоник, позаду - напружена пора іспитів, і ...
3590. Відпрацювання навиків розв’язування вправ на застосування відсоткових відношень 112.5 KB
  Відпрацювання навиків розв’язування вправ на застосування відсоткових відношень. розвивати елементи логічного мислення, виховувати культуру математичної мови та запису. Обладнання: ілюстрації до задач, картки із самостійною роботою у вигл...
3591. Використання комп’ютерних мереж у навчальному процесі 114.5 KB
  Використання комп’ютерних мереж у навчальному процесі Відомий американський вчений науковець Джон Нейсбіт в минулому виконавчий директор ІБМ (IBM - International Business Machine Corp., одна з найвідоміших корпорацій у світі, яка займається вип...
3592. Свято зі сльозами на очах 97 KB
  Свято зі сльозами на очах… Сценарій до дня Перемоги. На сценi розвішено плакати часiв Другої світової війни, звучить мелодія пісні «День Перемоги» Ведуча Для юних — це вже давнина Минуло мирних 65 роки. Як з нашої землi ненависна вiйна Втікала ...
3593. Перше ознайомлення з базами даних. СКБД. Моделі, об'єкти баз даних. СКБД Ассеss 295.67 KB
  Перше ознайомлення з базами даних. СКБД. Моделі, об'єкти баз даних. СКБД Ассеss. Проектування бази даних у середовищі СКБД Access. Створення таблиць БД. Сформувати уявлення про бази даних, їх призначення та основних етапів їх створення, формування пізнавальних здібностей, розвиваюча: розвивати логічне мислення, розвиток пам'яті, розвиток уважності
3594. Редагування структури таблиці й даних БД. Впорядкування, пошук та фільтрація даних 151.39 KB
  Редагування структури таблиці й даних БД. Впорядкування, пошук та фільтрація даних Мета: ознайомити учнів із можливостями обробки інформації в базі даних, навчити використовувати команди СКБД Access для зміни структури таблиці, додавання, знищення, ...
3595. Типи зв'язків у таблицях. Створення зв'язків між елементами в таблицях. Запити. Створення запитів 363.27 KB
  Типи зв'язків у таблицях. Створення зв'язків між елементами в таблицях. Запити. Створення запитів. Навчити учнів встановлювати зв’язки між таблицями, створювати запити, Розвивати логічне мислення, розвиток пам'яті, вміння працювати з масивами інформації
3596. Об'єкт БД — форми. Способи створення форм 397.5 KB
  Об'єкт БД — форми. Способи створення форм. Мета: навчальна: ознайомити учнів із типами форм та способами їх створення, розвиваюча: розвивати вміння роботи з БД, логічне мислення, розвиток уважності, виховна: формування навичок зібраності, уважності, акуратності в роботі з табличними даними.