56524

Решение простейших тригонометрических уравнений

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Решить уравнение Решение. Решить уравнение Решение. Решить уравнение Решение. Ответ: уравнение не имеет решений Учащиеся уровня А заполняют карточки с подсказками.

Русский

2014-04-07

782 KB

4 чел.

10 класс

Тема урока:  Решение простейших тригонометрических уравнений.

 Уравнения   .

Цель урока:  доказать формулы корней уравнений ; формировать у     учащихся умения и навыки применения формул при решении простейших     тригонометрических уравнений; показать возможности компьютера в процессе    изучения алгебры; развивать у учащихся интерес к математике, логическое    мышление, умение самостоятельно добывать знания.

Тип урока:  урок усвоения знаний и умений.

Оборудование:  персональные компьютеры, компьютерная программа «Курс математики     для школьников и абитуриентов» (автор Л.Я.Боревский),

      карточки - путеводители у каждого учащегося.

Ход урока:

І. Организационный момент.

ІІ. Проверка домашнего задания.

  1.  Фронтальный опрос класса.

  1.  Какую тему мы изучаем?
  2.  Какие тригонометрические функции вы знаете?
  3.  Дайте определение арксинуса.
  4.  Вычислите:

  1.  Дайте определение арккосинуса.

  1.  Вычислите:

  1.  Найдите область определения функции:

  1.  ;   2)   ;  3)   ;
  2.  ;   5)   ;   6)   

  1.  Решите уравнения:

1) ;            2)   ;            3)   ;            4)   

  1.  По три человека из каждой группы (уровень Б) проверяют правильность выполнения заданий из домашней работы с помощью компьютера. Учащиеся получают карточки с указанием пути.

№ 11.47

Найти область определения функции

Решение.

Находим область определения внешней функции арктангенс:

Находим область определения внутренней функции корень квадратный:

Ответ:

№ 11.49

Найти область определения функции

Решение.

Находим область определения внешней функции корень арифметический :

Ответ:

№ 11.53

Найти область определения функции

Решение.

Находим область определения внешней функции арксинус :

Ответ:

№ 11.57

Решить уравнение  

Решение.

Ответ:

№ 11.61

Решить уравнение  

Решение.

Ответ:

№ 11.63

Решить уравнение  

Решение.

Ответ: уравнение не имеет решений

Учащиеся уровня А заполняют карточки с подсказками.

х

0

arcsin x

Подсказка.

Укажи точку на единичной окружности

х

0

arccos x

Подсказка.

Укажи точку на единичной окружности

ІІІ. Мотивация учебного процесса.

В ІХ веке узбекский математик Мухамед аль-Хорезми написал книгу об уравнениях и их свойствах, которая называлась «Китаб аль-джебр аль-укабала». Конечно же это были простейшие уравнения. Позже эту книгу перевели на латынь, взяв для названия только ее второе слово, которое стали писать Algebr. Отсюда и пошло название науки об уравнениях – алгебра. И правда, какой бы раздел алгебры мы с вами не изучали, обязательным является решение уравнений. Вспомните, какие уравнения вы умеете решать? Какой раздел алгебры мы изучаем? Что мы уже знаем? Приходим к выводу, что учащиеся уже готовы решать тригонометрические уравнения. Какое же уравнение можно назвать тригонометрическим?

 

О п р е д е л е н и е. Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, в которых     переменная входит только под знак тригонометрической функции.

Сегодня на уроке мы должны научиться решать простейшие тригонометрические уравнения вида  . (Записываем в тетради тему урока)

IV. Восприятие и осмысление материала о решении уравнения  .

  1.  Изложение нового материала (слайды демонстрируем на интерактивной доске)

   

Решим с помощью единичной окружности уравнение .

Найдем решение уравнения  для случая  .

 

  1.  Нарисуем единичную окружность и отметим на ней ось синусов  (синий отрезок).

  1.  Отложим на оси синусов заданное число а  (красна точка).

  1.  Проведем горизонтальную пунктирную прямую через отмеченную точку а.  Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках (зеленые точки).

  1.  Соединим центр окружности с двумя точками пересечения и получим два центральных угла.

  1.  По определению синуса угла, синусы этих углов равны заданному числу а.

  1.  Отметим на единичном круге область центральных углов , в которой определен арксинус (желтая дуга).

  1.  Замечаем, что один из углов попадает в область определения арксинуса и, следовательно, частное решение для этого случая будет иметь вид . Для получения общего решения надо добавить период синуса.

.

  1.  Второй частный ответ получим в силу симметрии тоже легко: .

И опять  для получения второго общего решения надо добавить период синуса.

.

Таким образом, общий ответ записываем в виде совокупности:

Хотя этот ответ абсолютно правильный в математике принято записывать его в хитром, но зато более лаконичном виде:

.

Теперь убедимся, что эта хитрая формула дает тот же ответ, который мы получили так просто. Для этого рассмотрим два случая:

  1.  При четном

;

;

.

Итак, мы пришли к первому из полученных нами решений.

  1.  При нечетном

;

        ;

       .

Итак, мы пришли ко второму из полученных нами решений.

Для случая  мы уравнение решили. Ясно, что для области  мы получим точно такой же ответ. А вот если  или , то решение не существует, поскольку значения синуса ограничены отрезком .

Пример 1

Решить уравнение .

Решение.

Ответ:  .

Пример 2

Решить уравнение .

Решение.

Ответ:

Пример 3

Решить уравнение

Решение.

Так как , то уравнение  решений  не имеет.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим частные случаи решения уравнения по таблице, предложенной каждому учащемуся в карточке-путеводителе.

Уравнение

Уравнение не имеет решений, так как

Уравнение не имеет решений, так как

Частные случаи

                         

                                          

                                  

                              

         

                    

                                                      

 

                                   

                                            

  1.  Работа в малых группах.

Каждая малая группа получает задание и обсуждает его решение в течение 1 – 2 минут. По истечении времени лист с решением сдается учителю. После чего учащиеся объединяются в новые группы и обсуждают решения заданий в других группах.

В это же время по два человека из каждой группы решают задания на компьютере.

№ 11.01

Решить уравнение

№ 11.02

Решить уравнение

№ 11.03

Решить уравнение

V. Восприятие и осмысление материала о решении уравнения

  1.  Предлагаем учащимся уровня А изучить теорию с помощью компьютера. Учащиеся получают карточки с указанием пути.

  1.  Учащиеся уровня Б пишут математический диктант. Один ученик работает у переносной доски.

Математический диктант

  1.  Начертите единичную окружность.
  2.  Выделите синим цветом ось косинусов.
  3.  Выберите на оси косинусов точку  красным цветом.
  4.  Через точку а  проведите вертикальную пунктирную черту и обозначьте точки пересечения ее с окружностью в І четверти , в ІV четверти .
  5.  Запишите значение центрального угла , которое соответствует точке .
  6.  Запишите значение центрального угла , которое соответствует точке .
  7.  Начертите три единичные окружности и покажите частные случаи решения уравнения  при .

Учащиеся, изучающие теорию с помощью компьютера, возвращаются в группы.

Проверяем выполнение математического диктанта с помощью интерактивной доски и таблицы в карточке-путеводителе

Уравнение

Уравнение не имеет решений, так как

Уравнение не имеет решений, так как

       

Частные случаи

                         

                                          

                           

                              

         

                                                

                                  

                                  

                       

                                                        

3.    По три человека с каждой группы за компьютером решают упражнения  №№ 11.07, 11.09, 11.11.   Остальные учащиеся работают в тетрадях.

№ 11.07

Решить уравнение

№ 11.09

Решить уравнение

№ 11.11

Решить уравнение

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

VІ. Подведение итогов урока (по интерактивной технологии «Микрофон»)

  1.  Что нового вы узнали на уроке?
  2.  Как записывают общее решение уравнения ?
  3.  Как записывают общее решение уравнения ?
  4.  Зачем определяют частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений?
  5.  Что понравилось (не понравилось) на уроке?

VII. Домашнее задание

  1.  

Карточка-путеводитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

       Не пугайтесь слова «аркус»

                 «arcus» – это лиш дуга

Тема урока:  «Решение простейших тригонометрических уравнений.

 Уравнения »

Цель урока:  научиться решать простейшие тригонометрические уравнения

Решение устных упражнений

  1.  
  2.  

  1.  

  1.  
  2.  

  1.  

Проверка домашнего задания

  1.  

  1.  
  2.  

  Работаем на компьютере

  1.  

  1.  

Компьютер 1 –  № 11.47                    Компьютер 3 –  № 11.53                    Компьютер 5 –  № 11.61

Компьютер 2 –  № 11.49                    Компьютер 4 –  № 11.57                    Компьютер 6 –  № 11.63

            Заполняем карточки с подсказками.

х

0

arcsin x

Подсказка.

Укажи точку на единичной окружности

х

0

arccos x

Подсказка.

Укажи точку на единичной окружности

Изучаем новую тему

О п р е д е л е н и е. Тригонометрическими уравнениями называются _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  

Изучаем теорию     (решение уравнений вида )

                                                                                                         Опорный конспект

Уравнение

Уравнение не имеет решений, так как

Уравнение не имеет решений, так как

Частные случаи

                         

                                          

                                  

                              

         

                    

                                                      

 

                                   

                                            

Приводим примеры    (решение уравнений вида )

Работаем в группах

По два человека из каждой группы решают задания на компьютере: № 11.01, № 11.02, № 11.03

Изучаем теорию     (решение уравнений вида )

 Изучаем теорию с помощью компьютера:

Пишем математический диктант

                                                                                                         Опорный конспект

Уравнение

Уравнение не имеет решений, так как

Уравнение не имеет решений, так как

       

Частные случаи

                         

                                          

                           

                              

         

                                                

                                  

                                  

                       

                                                        

Решаем упражнения   (решение уравнений вида )

Решаем уравнения с помощью компьютера:

Записываем решение в тетрадь:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Домашнее задание

  1.  

  1.  
  2.  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32113. La syntaxe expressive 13.61 KB
  Y. Skrebnev considere comme neutre une proposition а deux termes, а lordre des mots direct et qui ne contient pas de transposition, cest а dire quil ny a pas dasymetrie forme/fonction (ils communiquent а la proposition des caracteristiques specifiques dordre fonctionnel, emotionnel, expressif)
32114. Les figures de construction 12.9 KB
  Les constructions parallиles, ce sont deux ou plusieurs phrases ou expressions ayant la meme structure syntaxique où setablissent les correspondances entre les idées: Quand un Anglais rencontre un Anglais, il lui dit
32115. Linversion 11.24 KB
  Le COD se place normalement apres le verbe. Mais il se place en tete de la proposition. EX : Aux multitudes asservies, martyrisйes, provisoirement vaincues, Barbusse indiquait le chemin de la libйration.
32116. La definition et les types de figures La figure consiste а detourner le sens par un emploi expressif qui secarte de lemploi canonique de l'unitee linguistique 11.74 KB
  es orateurs employaient les figures pour retenir lattention du public, pour attenuer leurs idees, pour frapper limagination par loriginalitee de lexpression et de points de vue. Mais le role stylistique des figures depasse de beaucoup le champ de la rhetorique
32117. les tropes (figure de sens) 12.8 KB
  Le même réfèrent peut être désigné directement, par le mot au sens propre et indirectement, par son indice secondaire.«Le sens imagé, cest la vision cumulée de deux images » (V.G. Gak).
32118. les comparaisons, leurs typoes et fonctions 12.88 KB
  L stylistique étudie les comprisons imgées qui peuvent être figées stbles ou occsionnelles. Les comprisons imgées rpprochent les rélités différentes pr leur nture elles se distinguent pr l'originlité de cette similitude. que tel comprble ressembler en de les verbes dire croire u Conditionnel etc.
32119. La metaphore. Se base sur le transfert de la nomination d’un referent sur l’autre liee au premier par la ressemblensce. C’est une comparaison en raccourci 12.18 KB
  On distingue : L metp 3 termes : vous netes quune pie bevrde 2 termes : le desert une mer de sble un terme : mon oiseux u point de vue grmmt les met puvent etre nominles Mon beu nvire o m memoire verble lombre violente des touffes de giroflee eclboussit le mur rugueux. djectivlemon esprit mer dverbileJi quitee Mdrid prcournt philosophiquement les des Cstilles L semntique des imges on distingue : l met sptile Une mer de sble nthropomorphique quel princesse nimlomorphique : Le troupeuconcret de ponts...
32120. La metonimie et ses variantes, la synecdoque et l’antonomase sont des figures basees sur la contiguitee(sur le rapport de voisinage, d’interdependance) et ne depend pas de la vision personnele de l’auteur 11.84 KB
  Types de metonimies : on prend le contennt pour le contenu et vice vers : boire une bouteille=boisson on prend le producteur pour le produit : un beu Millet=tbleu on prend le lieu dorigine pour le produit : un bordeuxvin fbriquee Bordeux on prend l consequence pour l cuse et vicevers : ce trvil est remrqubleresultt On prend le concret pour lbstrit : l botteloppression l tyrnnie On prend l qulitee pour le porteur de cette qulitee :l bontee memeune femme tres bonne On prend le tout pour l prtie et...