56524

Решение простейших тригонометрических уравнений

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Решить уравнение Решение. Решить уравнение Решение. Решить уравнение Решение. Ответ: уравнение не имеет решений Учащиеся уровня А заполняют карточки с подсказками.

Русский

2014-04-07

782 KB

4 чел.

10 класс

Тема урока:  Решение простейших тригонометрических уравнений.

 Уравнения   .

Цель урока:  доказать формулы корней уравнений ; формировать у     учащихся умения и навыки применения формул при решении простейших     тригонометрических уравнений; показать возможности компьютера в процессе    изучения алгебры; развивать у учащихся интерес к математике, логическое    мышление, умение самостоятельно добывать знания.

Тип урока:  урок усвоения знаний и умений.

Оборудование:  персональные компьютеры, компьютерная программа «Курс математики     для школьников и абитуриентов» (автор Л.Я.Боревский),

      карточки - путеводители у каждого учащегося.

Ход урока:

І. Организационный момент.

ІІ. Проверка домашнего задания.

  1.  Фронтальный опрос класса.

  1.  Какую тему мы изучаем?
  2.  Какие тригонометрические функции вы знаете?
  3.  Дайте определение арксинуса.
  4.  Вычислите:

  1.  Дайте определение арккосинуса.

  1.  Вычислите:

  1.  Найдите область определения функции:

  1.  ;   2)   ;  3)   ;
  2.  ;   5)   ;   6)   

  1.  Решите уравнения:

1) ;            2)   ;            3)   ;            4)   

  1.  По три человека из каждой группы (уровень Б) проверяют правильность выполнения заданий из домашней работы с помощью компьютера. Учащиеся получают карточки с указанием пути.

№ 11.47

Найти область определения функции

Решение.

Находим область определения внешней функции арктангенс:

Находим область определения внутренней функции корень квадратный:

Ответ:

№ 11.49

Найти область определения функции

Решение.

Находим область определения внешней функции корень арифметический :

Ответ:

№ 11.53

Найти область определения функции

Решение.

Находим область определения внешней функции арксинус :

Ответ:

№ 11.57

Решить уравнение  

Решение.

Ответ:

№ 11.61

Решить уравнение  

Решение.

Ответ:

№ 11.63

Решить уравнение  

Решение.

Ответ: уравнение не имеет решений

Учащиеся уровня А заполняют карточки с подсказками.

х

0

arcsin x

Подсказка.

Укажи точку на единичной окружности

х

0

arccos x

Подсказка.

Укажи точку на единичной окружности

ІІІ. Мотивация учебного процесса.

В ІХ веке узбекский математик Мухамед аль-Хорезми написал книгу об уравнениях и их свойствах, которая называлась «Китаб аль-джебр аль-укабала». Конечно же это были простейшие уравнения. Позже эту книгу перевели на латынь, взяв для названия только ее второе слово, которое стали писать Algebr. Отсюда и пошло название науки об уравнениях – алгебра. И правда, какой бы раздел алгебры мы с вами не изучали, обязательным является решение уравнений. Вспомните, какие уравнения вы умеете решать? Какой раздел алгебры мы изучаем? Что мы уже знаем? Приходим к выводу, что учащиеся уже готовы решать тригонометрические уравнения. Какое же уравнение можно назвать тригонометрическим?

 

О п р е д е л е н и е. Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, в которых     переменная входит только под знак тригонометрической функции.

Сегодня на уроке мы должны научиться решать простейшие тригонометрические уравнения вида  . (Записываем в тетради тему урока)

IV. Восприятие и осмысление материала о решении уравнения  .

  1.  Изложение нового материала (слайды демонстрируем на интерактивной доске)

   

Решим с помощью единичной окружности уравнение .

Найдем решение уравнения  для случая  .

 

  1.  Нарисуем единичную окружность и отметим на ней ось синусов  (синий отрезок).

  1.  Отложим на оси синусов заданное число а  (красна точка).

  1.  Проведем горизонтальную пунктирную прямую через отмеченную точку а.  Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках (зеленые точки).

  1.  Соединим центр окружности с двумя точками пересечения и получим два центральных угла.

  1.  По определению синуса угла, синусы этих углов равны заданному числу а.

  1.  Отметим на единичном круге область центральных углов , в которой определен арксинус (желтая дуга).

  1.  Замечаем, что один из углов попадает в область определения арксинуса и, следовательно, частное решение для этого случая будет иметь вид . Для получения общего решения надо добавить период синуса.

.

  1.  Второй частный ответ получим в силу симметрии тоже легко: .

И опять  для получения второго общего решения надо добавить период синуса.

.

Таким образом, общий ответ записываем в виде совокупности:

Хотя этот ответ абсолютно правильный в математике принято записывать его в хитром, но зато более лаконичном виде:

.

Теперь убедимся, что эта хитрая формула дает тот же ответ, который мы получили так просто. Для этого рассмотрим два случая:

  1.  При четном

;

;

.

Итак, мы пришли к первому из полученных нами решений.

  1.  При нечетном

;

        ;

       .

Итак, мы пришли ко второму из полученных нами решений.

Для случая  мы уравнение решили. Ясно, что для области  мы получим точно такой же ответ. А вот если  или , то решение не существует, поскольку значения синуса ограничены отрезком .

Пример 1

Решить уравнение .

Решение.

Ответ:  .

Пример 2

Решить уравнение .

Решение.

Ответ:

Пример 3

Решить уравнение

Решение.

Так как , то уравнение  решений  не имеет.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим частные случаи решения уравнения по таблице, предложенной каждому учащемуся в карточке-путеводителе.

Уравнение

Уравнение не имеет решений, так как

Уравнение не имеет решений, так как

Частные случаи

                         

                                          

                                  

                              

         

                    

                                                      

 

                                   

                                            

  1.  Работа в малых группах.

Каждая малая группа получает задание и обсуждает его решение в течение 1 – 2 минут. По истечении времени лист с решением сдается учителю. После чего учащиеся объединяются в новые группы и обсуждают решения заданий в других группах.

В это же время по два человека из каждой группы решают задания на компьютере.

№ 11.01

Решить уравнение

№ 11.02

Решить уравнение

№ 11.03

Решить уравнение

V. Восприятие и осмысление материала о решении уравнения

  1.  Предлагаем учащимся уровня А изучить теорию с помощью компьютера. Учащиеся получают карточки с указанием пути.

  1.  Учащиеся уровня Б пишут математический диктант. Один ученик работает у переносной доски.

Математический диктант

  1.  Начертите единичную окружность.
  2.  Выделите синим цветом ось косинусов.
  3.  Выберите на оси косинусов точку  красным цветом.
  4.  Через точку а  проведите вертикальную пунктирную черту и обозначьте точки пересечения ее с окружностью в І четверти , в ІV четверти .
  5.  Запишите значение центрального угла , которое соответствует точке .
  6.  Запишите значение центрального угла , которое соответствует точке .
  7.  Начертите три единичные окружности и покажите частные случаи решения уравнения  при .

Учащиеся, изучающие теорию с помощью компьютера, возвращаются в группы.

Проверяем выполнение математического диктанта с помощью интерактивной доски и таблицы в карточке-путеводителе

Уравнение

Уравнение не имеет решений, так как

Уравнение не имеет решений, так как

       

Частные случаи

                         

                                          

                           

                              

         

                                                

                                  

                                  

                       

                                                        

3.    По три человека с каждой группы за компьютером решают упражнения  №№ 11.07, 11.09, 11.11.   Остальные учащиеся работают в тетрадях.

№ 11.07

Решить уравнение

№ 11.09

Решить уравнение

№ 11.11

Решить уравнение

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

VІ. Подведение итогов урока (по интерактивной технологии «Микрофон»)

  1.  Что нового вы узнали на уроке?
  2.  Как записывают общее решение уравнения ?
  3.  Как записывают общее решение уравнения ?
  4.  Зачем определяют частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений?
  5.  Что понравилось (не понравилось) на уроке?

VII. Домашнее задание

  1.  

Карточка-путеводитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

       Не пугайтесь слова «аркус»

                 «arcus» – это лиш дуга

Тема урока:  «Решение простейших тригонометрических уравнений.

 Уравнения »

Цель урока:  научиться решать простейшие тригонометрические уравнения

Решение устных упражнений

  1.  
  2.  

  1.  

  1.  
  2.  

  1.  

Проверка домашнего задания

  1.  

  1.  
  2.  

  Работаем на компьютере

  1.  

  1.  

Компьютер 1 –  № 11.47                    Компьютер 3 –  № 11.53                    Компьютер 5 –  № 11.61

Компьютер 2 –  № 11.49                    Компьютер 4 –  № 11.57                    Компьютер 6 –  № 11.63

            Заполняем карточки с подсказками.

х

0

arcsin x

Подсказка.

Укажи точку на единичной окружности

х

0

arccos x

Подсказка.

Укажи точку на единичной окружности

Изучаем новую тему

О п р е д е л е н и е. Тригонометрическими уравнениями называются _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  

Изучаем теорию     (решение уравнений вида )

                                                                                                         Опорный конспект

Уравнение

Уравнение не имеет решений, так как

Уравнение не имеет решений, так как

Частные случаи

                         

                                          

                                  

                              

         

                    

                                                      

 

                                   

                                            

Приводим примеры    (решение уравнений вида )

Работаем в группах

По два человека из каждой группы решают задания на компьютере: № 11.01, № 11.02, № 11.03

Изучаем теорию     (решение уравнений вида )

 Изучаем теорию с помощью компьютера:

Пишем математический диктант

                                                                                                         Опорный конспект

Уравнение

Уравнение не имеет решений, так как

Уравнение не имеет решений, так как

       

Частные случаи

                         

                                          

                           

                              

         

                                                

                                  

                                  

                       

                                                        

Решаем упражнения   (решение уравнений вида )

Решаем уравнения с помощью компьютера:

Записываем решение в тетрадь:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Домашнее задание

  1.  

  1.  
  2.  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67891. ОСОБЕННОСТИ ЮРИДИЧЕСКОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТИ КРЕДИТНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ ЗА НЕПРЕДСТАВЛЕНИЕ НАЛОГОВЫМ ОРГАНАМ СВЕДЕНИЙ О ФИНАНСОВО-ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ КЛИЕНТОВ 51 KB
  В частности в своей жалобе один из московских банков оспаривал конституционность следующих законоположений: 1 абзаца первого пункта 3 статьи 7 Закона Российской Федерации от 21 марта 1991 г. О налоговых органах Российской Федерации согласно которому налоговые органы наделены правом получать от предприятий...
67892. НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЧАСТНОГО ПРАВА В РОССИИ 59 KB
  Изменение политического курса государства переход от плановой экономики к рыночной отразились на правовой системе России. Ныне многие ученые начинают склоняться к мысли что в основу российской правовой системы может быть положено деление права на публичное и частное.
67893. РОЛЬ ГРАЖДАНСКО-ПРАВОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ В ОБЕСПЕЧЕНИИ БЕЗОПАСНОСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СОБСТВЕННОСТИ 49.5 KB
  В соответствии со статьей 1 Гражданского кодекса Российской Федерации принятой на основании и в развитие статьи 55 Конституции Российской Федерации гражданские права могут быть ограничены на основании федерального закона и только в той мере в какой это необходимо в целях защиты основ конституционного...
67894. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ МАТЕРИАЛЬНОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТИ ВОЕННОСЛУЖАЩИХ 49 KB
  Грибовский ответственность должностных лиц имеет в России громадное значение ввиду чрезвычайно многочисленного класса чиновников с одной стороны и громадного их влияния на общественную и государственную жизнь с другой. Ответственность эта делится на уголовную гражданскую и дисциплинарную.
67895. НАЛОГОВЫЕ ДОГОВОРЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ СРОКОВ УПЛАТЫ НАЛОГОВ И СБОРОВ 86.5 KB
  Предоставление налогового кредита оформляется договором между уполномоченным на то органом и соискателем такого кредита. Жуков в экономическом аспекте данная отсрочка платежа в виде налогового кредита означает предоставление кредита.
67896. ДЕТЕРМИНИЗМ, ИНДЕТЕРМИНИЗМ ИЛИ СВОБОДА ВОЛИ? 104.5 KB
  Детерминизм (от лат. determino — определяю) — учение классической философии о закономерной универсальной взаимосвязи и взаимообусловленности явлений объективной действительности1. Понятие «детерминизм» возникло в средневековье как вид логического определения понятия, противостоящий генерализации...
67897. ПРАВО ДОЛЖНОСТНЫХ ЛИЦ ПРАВООХРАНИТЕЛЬНЫХ ОРГАНОВ НА ОЦЕНКУ СОБСТВЕННЫХ ДЕЙСТВИЙ 66 KB
  В Обращении к сотрудникам органов внутренних дел и военнослужащим внутренних войск МВД России министр внутренних дел Российской Федерации генерал-полковник милиции Р. Однако зачастую милиция может проявить свою самостоятельность и автономию применяя право милиции на оценку собственных действий...
67898. К ВОПРОСУ О ПОНЯТИИ КОРРУПЦИИ И ПУТЯХ ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ ЕЙ 92.5 KB
  Особенности характерные для экономической преступности высокое общественное положение субъектов ее совершения изощренно интеллектуальные способы их действий огромный материальный физический и моральный ущерб ими причиняемый исключительная латентность экономических посягательств и снисходительное...
67899. ПРОБЛЕМЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЗАКОННОСТИ ПРИ ПРИМЕНЕНИИ МЕР АДМИНИСТРАТИВНОГО ПРЕСЕЧЕНИЯ 93 KB
  Исследование применения мер административного пресечения предполагает обращение к проблемам законности при осуществлении данного вида правоприменительной деятельности. К этому подвигает не только важность теоретического анализа механизма обеспечения законных прав и интересов при реализации...