56524

Решение простейших тригонометрических уравнений

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Решить уравнение Решение. Решить уравнение Решение. Решить уравнение Решение. Ответ: уравнение не имеет решений Учащиеся уровня А заполняют карточки с подсказками.

Русский

2014-04-07

782 KB

4 чел.

10 класс

Тема урока:  Решение простейших тригонометрических уравнений.

 Уравнения   .

Цель урока:  доказать формулы корней уравнений ; формировать у     учащихся умения и навыки применения формул при решении простейших     тригонометрических уравнений; показать возможности компьютера в процессе    изучения алгебры; развивать у учащихся интерес к математике, логическое    мышление, умение самостоятельно добывать знания.

Тип урока:  урок усвоения знаний и умений.

Оборудование:  персональные компьютеры, компьютерная программа «Курс математики     для школьников и абитуриентов» (автор Л.Я.Боревский),

      карточки - путеводители у каждого учащегося.

Ход урока:

І. Организационный момент.

ІІ. Проверка домашнего задания.

  1.  Фронтальный опрос класса.

  1.  Какую тему мы изучаем?
  2.  Какие тригонометрические функции вы знаете?
  3.  Дайте определение арксинуса.
  4.  Вычислите:

  1.  Дайте определение арккосинуса.

  1.  Вычислите:

  1.  Найдите область определения функции:

  1.  ;   2)   ;  3)   ;
  2.  ;   5)   ;   6)   

  1.  Решите уравнения:

1) ;            2)   ;            3)   ;            4)   

  1.  По три человека из каждой группы (уровень Б) проверяют правильность выполнения заданий из домашней работы с помощью компьютера. Учащиеся получают карточки с указанием пути.

№ 11.47

Найти область определения функции

Решение.

Находим область определения внешней функции арктангенс:

Находим область определения внутренней функции корень квадратный:

Ответ:

№ 11.49

Найти область определения функции

Решение.

Находим область определения внешней функции корень арифметический :

Ответ:

№ 11.53

Найти область определения функции

Решение.

Находим область определения внешней функции арксинус :

Ответ:

№ 11.57

Решить уравнение  

Решение.

Ответ:

№ 11.61

Решить уравнение  

Решение.

Ответ:

№ 11.63

Решить уравнение  

Решение.

Ответ: уравнение не имеет решений

Учащиеся уровня А заполняют карточки с подсказками.

х

0

arcsin x

Подсказка.

Укажи точку на единичной окружности

х

0

arccos x

Подсказка.

Укажи точку на единичной окружности

ІІІ. Мотивация учебного процесса.

В ІХ веке узбекский математик Мухамед аль-Хорезми написал книгу об уравнениях и их свойствах, которая называлась «Китаб аль-джебр аль-укабала». Конечно же это были простейшие уравнения. Позже эту книгу перевели на латынь, взяв для названия только ее второе слово, которое стали писать Algebr. Отсюда и пошло название науки об уравнениях – алгебра. И правда, какой бы раздел алгебры мы с вами не изучали, обязательным является решение уравнений. Вспомните, какие уравнения вы умеете решать? Какой раздел алгебры мы изучаем? Что мы уже знаем? Приходим к выводу, что учащиеся уже готовы решать тригонометрические уравнения. Какое же уравнение можно назвать тригонометрическим?

 

О п р е д е л е н и е. Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, в которых     переменная входит только под знак тригонометрической функции.

Сегодня на уроке мы должны научиться решать простейшие тригонометрические уравнения вида  . (Записываем в тетради тему урока)

IV. Восприятие и осмысление материала о решении уравнения  .

  1.  Изложение нового материала (слайды демонстрируем на интерактивной доске)

   

Решим с помощью единичной окружности уравнение .

Найдем решение уравнения  для случая  .

 

  1.  Нарисуем единичную окружность и отметим на ней ось синусов  (синий отрезок).

  1.  Отложим на оси синусов заданное число а  (красна точка).

  1.  Проведем горизонтальную пунктирную прямую через отмеченную точку а.  Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках (зеленые точки).

  1.  Соединим центр окружности с двумя точками пересечения и получим два центральных угла.

  1.  По определению синуса угла, синусы этих углов равны заданному числу а.

  1.  Отметим на единичном круге область центральных углов , в которой определен арксинус (желтая дуга).

  1.  Замечаем, что один из углов попадает в область определения арксинуса и, следовательно, частное решение для этого случая будет иметь вид . Для получения общего решения надо добавить период синуса.

.

  1.  Второй частный ответ получим в силу симметрии тоже легко: .

И опять  для получения второго общего решения надо добавить период синуса.

.

Таким образом, общий ответ записываем в виде совокупности:

Хотя этот ответ абсолютно правильный в математике принято записывать его в хитром, но зато более лаконичном виде:

.

Теперь убедимся, что эта хитрая формула дает тот же ответ, который мы получили так просто. Для этого рассмотрим два случая:

  1.  При четном

;

;

.

Итак, мы пришли к первому из полученных нами решений.

  1.  При нечетном

;

        ;

       .

Итак, мы пришли ко второму из полученных нами решений.

Для случая  мы уравнение решили. Ясно, что для области  мы получим точно такой же ответ. А вот если  или , то решение не существует, поскольку значения синуса ограничены отрезком .

Пример 1

Решить уравнение .

Решение.

Ответ:  .

Пример 2

Решить уравнение .

Решение.

Ответ:

Пример 3

Решить уравнение

Решение.

Так как , то уравнение  решений  не имеет.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим частные случаи решения уравнения по таблице, предложенной каждому учащемуся в карточке-путеводителе.

Уравнение

Уравнение не имеет решений, так как

Уравнение не имеет решений, так как

Частные случаи

                         

                                          

                                  

                              

         

                    

                                                      

 

                                   

                                            

  1.  Работа в малых группах.

Каждая малая группа получает задание и обсуждает его решение в течение 1 – 2 минут. По истечении времени лист с решением сдается учителю. После чего учащиеся объединяются в новые группы и обсуждают решения заданий в других группах.

В это же время по два человека из каждой группы решают задания на компьютере.

№ 11.01

Решить уравнение

№ 11.02

Решить уравнение

№ 11.03

Решить уравнение

V. Восприятие и осмысление материала о решении уравнения

  1.  Предлагаем учащимся уровня А изучить теорию с помощью компьютера. Учащиеся получают карточки с указанием пути.

  1.  Учащиеся уровня Б пишут математический диктант. Один ученик работает у переносной доски.

Математический диктант

  1.  Начертите единичную окружность.
  2.  Выделите синим цветом ось косинусов.
  3.  Выберите на оси косинусов точку  красным цветом.
  4.  Через точку а  проведите вертикальную пунктирную черту и обозначьте точки пересечения ее с окружностью в І четверти , в ІV четверти .
  5.  Запишите значение центрального угла , которое соответствует точке .
  6.  Запишите значение центрального угла , которое соответствует точке .
  7.  Начертите три единичные окружности и покажите частные случаи решения уравнения  при .

Учащиеся, изучающие теорию с помощью компьютера, возвращаются в группы.

Проверяем выполнение математического диктанта с помощью интерактивной доски и таблицы в карточке-путеводителе

Уравнение

Уравнение не имеет решений, так как

Уравнение не имеет решений, так как

       

Частные случаи

                         

                                          

                           

                              

         

                                                

                                  

                                  

                       

                                                        

3.    По три человека с каждой группы за компьютером решают упражнения  №№ 11.07, 11.09, 11.11.   Остальные учащиеся работают в тетрадях.

№ 11.07

Решить уравнение

№ 11.09

Решить уравнение

№ 11.11

Решить уравнение

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

VІ. Подведение итогов урока (по интерактивной технологии «Микрофон»)

  1.  Что нового вы узнали на уроке?
  2.  Как записывают общее решение уравнения ?
  3.  Как записывают общее решение уравнения ?
  4.  Зачем определяют частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений?
  5.  Что понравилось (не понравилось) на уроке?

VII. Домашнее задание

  1.  

Карточка-путеводитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

       Не пугайтесь слова «аркус»

                 «arcus» – это лиш дуга

Тема урока:  «Решение простейших тригонометрических уравнений.

 Уравнения »

Цель урока:  научиться решать простейшие тригонометрические уравнения

Решение устных упражнений

  1.  
  2.  

  1.  

  1.  
  2.  

  1.  

Проверка домашнего задания

  1.  

  1.  
  2.  

  Работаем на компьютере

  1.  

  1.  

Компьютер 1 –  № 11.47                    Компьютер 3 –  № 11.53                    Компьютер 5 –  № 11.61

Компьютер 2 –  № 11.49                    Компьютер 4 –  № 11.57                    Компьютер 6 –  № 11.63

            Заполняем карточки с подсказками.

х

0

arcsin x

Подсказка.

Укажи точку на единичной окружности

х

0

arccos x

Подсказка.

Укажи точку на единичной окружности

Изучаем новую тему

О п р е д е л е н и е. Тригонометрическими уравнениями называются _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  

Изучаем теорию     (решение уравнений вида )

                                                                                                         Опорный конспект

Уравнение

Уравнение не имеет решений, так как

Уравнение не имеет решений, так как

Частные случаи

                         

                                          

                                  

                              

         

                    

                                                      

 

                                   

                                            

Приводим примеры    (решение уравнений вида )

Работаем в группах

По два человека из каждой группы решают задания на компьютере: № 11.01, № 11.02, № 11.03

Изучаем теорию     (решение уравнений вида )

 Изучаем теорию с помощью компьютера:

Пишем математический диктант

                                                                                                         Опорный конспект

Уравнение

Уравнение не имеет решений, так как

Уравнение не имеет решений, так как

       

Частные случаи

                         

                                          

                           

                              

         

                                                

                                  

                                  

                       

                                                        

Решаем упражнения   (решение уравнений вида )

Решаем уравнения с помощью компьютера:

Записываем решение в тетрадь:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Домашнее задание

  1.  

  1.  
  2.  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57576. Біогаз із сміттєзвалищ 343 KB
  Окиснення (аеробний процес) спостерігається тільки у верхніх шарах сміттєзвалища. У нижні шари комунальних відходів кисень не потрапляє. Від моменту перекривання доступу кисню, кисневі процеси відбуваються доволі швидко (кілька, або кільканадцять днів).
57577. Презентація проекту «Роде мій, красний» 41.5 KB
  Повторити значення слів рід родина рідня; дати поняття про щасливу сімю; навчити учнів складати родовідне дерево; виховувати повагу до членів сімї історії традицій своєї сімї.
57578. Свята та розваги в дошкільному навчальному закладі 67 KB
  Методика ознайомлення дітей з довкіллям у дошкільному навчальному закладу. Мовленнєвий розвиток дітей від народження до 7 років. Отже розглядаючи нормативноправові документи з дошкільної освіти можна стверджувати...
57579. Вертолет Ми-8 1.42 MB
  В данной дипломной работе мне предстоит разобрать силовую установку, ознакомиться с ее особенностями. Описать отказ (выключение) одного двигателя в полете, особенности летной и технической эксплуатации, технологию работы членов экипажа в особых случаях полета.
57580. Сучасний урок – цікавий урок 75 KB
  Метою сучасного заняття стає вже не нагромадження знань а пошукова діяльність спрямована на формування вмінь і навичок щодо орієнтації в інформаційному просторі.
57581. "Любовь – это жизнь, это главное…" Тема кохання в ліриці В. В. Маяковського 114.5 KB
  Маяковський під час футуристичного турне приїжджає до Одеси. Маяковський просить благає дати йому ковток води в жаркій пустелі: Мария Имя твоё я боюсь забытькак поэт боится забытькакоето в муках ночейрождённое слововеличием равное Богу.
57582. ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ В ЕКОНОМІЦІ 148.5 KB
  Традиційно практичне застосування похідної використовується при дослідженні функції розвязуванні задач фізичного чи геометричного змісту. Яким же буде оптимальний обсяг випуску для фірми...
57583. Пісня - душа народу 63 KB
  Взагалі хто і навіщо придумав пісню Чому люди співають радіють і сумують разом з нею Чому старовинні пісні що прийшли до нас із глибини віків і досі живуть у народі Чи уявляєте ви хоча б один свій день без пісні що звучить на вулиці вдома...
57584. Сучасність в музиці 40 KB
  Мета: на прикладі нової музики покращувати вміння аналізувати її; розвивати вокальнохорові навички плавне звуковедення мяке наспівне звучання. Вчити вдумливо ставитися до всякого музичного матеріалу...