56527

Розв’язування тригонометричних рівнянь

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Розглянемо такі тригонометричні рівняння. Рівняння які зводяться до квадратних відносно тригонометричної функції. Рівняння які розвязуються за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій. Лінійні рівняння відносно синуса і косинуса.

Украинкский

2014-04-07

2.9 MB

18 чел.

Тема: Розвязування тригонометричних рівнянь.

Дидактична мета: узагальнення і систематизація знань учнів по розв’язуванню різних типів тригонометричних рівнянь.

Виховна мета: розвивати логічне мислення, формувати вміння переносити набуті знання у нові ситуації, підтримувати в учнів бажання займатись математикою і самостійно здобувати нові знання.

Тип уроку: узагальнення і систематизації знань.

Обладнання: таблиці «Загальні розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь», «Основні тотожності і співвідношення обернених тригонометричних функцій».

Структура уроку-семінару

  1.  Вступне слово вчителя.
  2.  Виступи учнів. Узагальнення і систематизація знань по розв’язуванню різних типів тригонометричних рівнянь.
  3.  Колективні обговорення.
  4.  Домашнє завдання.
  5.  Підсумок семінару.

Хід семінару

І. Вчитель повідомляє тему і мету семінару та питання, які виносяться на семінарське заняття. На попередніх уроках ми розв’язували різні типи тригонометричних рівнянь, які зводяться до найпростіших. Оскільки вивчення розділу завершується, то виникає необхідність систематизувати вивчені прийоми розв’язування тригонометричних рівнянь. Загального методу розв’язування тригонометричних рівнянь не існує. Розглянемо такі тригонометричні рівняння.

1. Рівняння, які зводяться до квадратних відносно тригонометричної функції.

2. Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь.

3. Рівняння, які розв’язуються за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій.

4. Лінійні рівняння відносно синуса і косинуса.

5. Тригонометричні рівняння, які розв’язуються за допомогою формул додавання та формул пониження степеня.

6. Рівняння із змінною у знаменнику.

7. Розв'язування тригонометричних рівнянь за допомогою перетворень добутків тригонометричних функцій у суму.

ІІ. Актуалізація опорних знань

(фронтальне опитування)

  1.  Яке рівняння називається тригонометричним?
  2.  Який алгоритм розв’язування тригонометричних рівнянь?

а) встановлюють ОДЗ даного рівняння;

б) здійснюють послідовно перетворення від даного рівняння до рівняння, розв’язування якого очевидне;

в) знаходять корені одержаного рівняння;

г) перевіряють, чи є знайдені корені коренями даного рівняння.

  1.  За таблицею «Загальні розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь» повторити розв’язання рівнянь (таблиця 1).

Чи функції  обмежені?

  1.  Повторити основні тригонометричні формули.
  2.  Повторити основні тригонометричні тотожності і співвідношення тригонометричних функцій, які використали при розв’язуванні тригонометричних рівнянь(таблиця 2).
  3.  Чи змінюється при перетвореннях тригонометричних рівнянь ОДЗ невідомого?

Таблиця 1

Рівняння

Загальні розв'язки рівняння

Обмеження

Таблиця 2

Тотожність

Область визначення

ІІІ. Виступи учнів

Перший учень. Розглянемо рівняння, які зводяться до квадратних відносно однієї їз тригонометричних функцій. Рівняння виду:

Розв’язати рівняння

№1.

Розв’язання. Нехай , тоді , матимемо

отже

 

                    

- рівняння не має коренів, оскільки .

Відповідь: .

№2.

Розв'язання.

Нехай , тоді , матимемо

отже

;    

;    .

Відповідь: , .

Другий учень. Розв’язування однорідних тригонометричних рівнянь.

а) рівняння виду  називається однорідним тригонометричним рівнянням першого степеня відносно  і . Воно розв’язується діленням обох частин на . Тоді одержимо рівняння

б) рівняння виду  називається однорідним рівнянням другого степеня відносно  і ,  або які-небудь два з них відмінні від нуля. Якщо , розділимо обидві частини рівняння на ,

Якщо ж , то матимемо рівняння

Розв’язати рівняння

№1. .

Розв’язання. Оскільки  (бо тоді повинна виконуватись рівність , але косинус і синус не можуть одночасно дорівнювати нулю), то поділимо обидві частини рівняння на (або ).

Нехай , тоді , матимемо

Отже

;    .

;    

Відповідь:

№2.

Розв'язання.

або

або ;    .

Відповідь:

Третій учень. Рівняння, які розв’язуються за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій. Це рівняння виду

Розглянемо таблицю

Рівняння

Загальний розв'язок рівняння

Обмеженість

Розв’язати рівняння

№1.

Розв'язання.

 

 

 

Або можна розв’язати так:

 або

,  або ,

.

Відповідь:

№2.

Розв’язання:  

 тоді

               

                  k

                       k

Відповідь: , k

Четвертий учень. Рівняння лінійні відносно .

Рівняння виду  де a,b,cсталі коефіцієнти, називається лінійним відносно .

Дане рівняння можна розв’язувати різними способами. (Декілька учнів розв’язують рівняння на дошці різними способами)

а) За допомогою введення допоміжного аргументу, замінюємо вираз  на  для цього обидві частини рівняння

 ділимо на

Нехай  тоді .

Розв’язати рівняння

№1.

Розв’язання.

, , матимемо .

Відповідь:

б) зведення рівняння до однорідного відносно синуса і косинуса

Розв'язати рівняння

№2.

Розв'язання. , матимемо

Відповідь:

в) за допомогою універсальної підстановки

№3.

Розв'язання.

При цій підстановці може бути втрата коренів. Перевіряємо чи буде

 розв'язком даного рівняння:

 є розв'язком рівняння.

Відповідь: ,

г) №5

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату. При цьому можлива поява сторонніх коренів і тому треба виконати перевірку:

Розв’язання.

Запишемо

Перевірка: якщо , то

не є коренем рівняння.

Якщо , то

Отже,  - корінь рівняння.

Якщо , то

Отже,  - корінь рівняння.

Якщо , то

.

Отже,  не є коренем рівняння.

Відповідь:

П’ятий учень. Тригонометричні рівняння, які розв’язуються за допомогою формул додавання, та формул пониження степеня.

Розв’язати рівняння

№1. .

Розв’язання.

Відповідь:

Шостий учень. Рівняння із змінною у знаменнику.

Розв’язати рівняння

№1.

Розв'язання.

Якщо k – парне, тобто  то знаменник рівняння дорівнює нулю, якщо

k – непарне, тобто , тоді

Відповідь: .

Сьомий учень. Розв’язування тригонометричних рівнянь перетворенням добутків тригонометричних функцій.

Розв’язати рівняння

№1.

Розв’язання. Обидві частини даного рівняння перетворимо у суму

 Розв'яжемо сукупність рівнянь

При  якщо  Оскільки, всі значення  містяться у множині розв’язків , то розв'язком даного рівняння буде

Відповідь:

IV. Домашнє завдання

№212(1,2), №213(1), №215(1,2), ст.38.

Мерзляк А.Г. Алгебра і початки аналізу. 10 кл. збірник задач і контрольних робіт/А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М.С. Якір. – Х.: Гімназія, 2012. – 144с.

V. Підсумок семінару.

Вчитель оголошує оцінки учням. Учні діляться враженнями про позитивні і негативні сторони у виступах учнів. Далі вчитель зупиняється тому, що нового дізналися учні на цьому уроці та як здійснювалось практичне застосування вивченої теорії до розв’язування тригонометричних рівнянь, а деяким учням пропонується повторити ще раз окремі формули тригонометрії.

Для підготовки до семінару були запропоновані такі тригонометричні рівняння:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  1)

2)

3)

4)

     III. 1)

           2)

3)

     IV. 1)

2)

3)

4)

5)

      V. 1) cos4

2)

3)

4)

5)

     VI. 1)

2)

3)

4)

    VII. 1)

2)

3)

   VIII. 1)

2)

     IX. 1)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4491. Программная модель микропроцессора 47.29 KB
  Программная модель микропроцессора На современном компьютерном рынке наблюдается большое разнообразие различных типов компьютеров. Поэтому возможно предположить возникновение у потребителя вопроса — как оценить возможности конкретного типа (или...
4492. Структура программы на ассемблере 80.09 KB
  Структура программы на ассемблере Программа на ассемблере представляет собой совокупность блоков памяти, называемых сегментами памяти. Программа может состоять из одного или нескольких таких блоков-сегментов. Каждый сегмент содержит совокупность пре...
4493. Описание системы команд микропроцессоров Intel 231.11 KB
  Описание системы команд микропроцессоров Intel Материал, приведенный в данном разделе справочной системы, на котором мы рассматривали формат машинной команды микропроцессора и систему его команд в целом. Выберите тему: Знакомство ...
4494. Типы данных при программировании на языке ассемблера 73.96 KB
  Типы данных при программировании на языке ассемблера При программировании на языке ассемблера используются данные следующих типов: Непосредственные данные, представляющие собой числовые или символьные значения, являющиеся частью команды...
4495. Массивы на языке ассемблера 35.65 KB
  Массивы на языке ассемблера Дадим формальное определение: массив - структурированный тип данных, состоящий из некоторого числа элементов одного типа. Для того чтобы разобраться в возможностях и особенностях обработки массивов в программах на ассембл...
4496. Двухмерные массивы. Типовые операции с массивами на языке ассемблер 33.53 KB
  Двухмерные массивы. Типовые операции с массивами на языке ассемблер С представлением одномерных массивов в программе на ассемблере и организацией их обработки все достаточно просто. А как быть если программа должна обрабатывать двухмерный массив? Вс...
4497. Структуры в языке ассемблер 33.87 KB
  Структуры в языке ассемблер Рассмотренные нами выше массивы представляют собой совокупность однотипных элементов. Но часто в приложениях возникает необходимость рассматривать некоторую совокупность данных разного типа как некоторый единый тип. Это о...
4498. Объединения в языке ассемблер 24.14 KB
  Объединения в языке ассемблер Представим ситуацию, когда мы используем некоторую область памяти для размещения некоторого объекта программы (переменной, массива или структуры). Вдруг после некоторого этапа работы у нас отпала надобность в использова...
4499. Записи в языке ассемблер 40.08 KB
  Записи в языке ассемблер Наша хозяйка-программист становится все более экономной. Она уже хочет работать с продуктами на молекулярном уровне, без любых отходов и напрасных трат. Подумаем, зачем тратить под некоторый программный индикатор со значение...