56527

Розв’язування тригонометричних рівнянь

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Розглянемо такі тригонометричні рівняння. Рівняння які зводяться до квадратних відносно тригонометричної функції. Рівняння які розвязуються за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій. Лінійні рівняння відносно синуса і косинуса.

Украинкский

2014-04-07

2.9 MB

17 чел.

Тема: Розвязування тригонометричних рівнянь.

Дидактична мета: узагальнення і систематизація знань учнів по розв’язуванню різних типів тригонометричних рівнянь.

Виховна мета: розвивати логічне мислення, формувати вміння переносити набуті знання у нові ситуації, підтримувати в учнів бажання займатись математикою і самостійно здобувати нові знання.

Тип уроку: узагальнення і систематизації знань.

Обладнання: таблиці «Загальні розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь», «Основні тотожності і співвідношення обернених тригонометричних функцій».

Структура уроку-семінару

  1.  Вступне слово вчителя.
  2.  Виступи учнів. Узагальнення і систематизація знань по розв’язуванню різних типів тригонометричних рівнянь.
  3.  Колективні обговорення.
  4.  Домашнє завдання.
  5.  Підсумок семінару.

Хід семінару

І. Вчитель повідомляє тему і мету семінару та питання, які виносяться на семінарське заняття. На попередніх уроках ми розв’язували різні типи тригонометричних рівнянь, які зводяться до найпростіших. Оскільки вивчення розділу завершується, то виникає необхідність систематизувати вивчені прийоми розв’язування тригонометричних рівнянь. Загального методу розв’язування тригонометричних рівнянь не існує. Розглянемо такі тригонометричні рівняння.

1. Рівняння, які зводяться до квадратних відносно тригонометричної функції.

2. Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь.

3. Рівняння, які розв’язуються за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій.

4. Лінійні рівняння відносно синуса і косинуса.

5. Тригонометричні рівняння, які розв’язуються за допомогою формул додавання та формул пониження степеня.

6. Рівняння із змінною у знаменнику.

7. Розв'язування тригонометричних рівнянь за допомогою перетворень добутків тригонометричних функцій у суму.

ІІ. Актуалізація опорних знань

(фронтальне опитування)

  1.  Яке рівняння називається тригонометричним?
  2.  Який алгоритм розв’язування тригонометричних рівнянь?

а) встановлюють ОДЗ даного рівняння;

б) здійснюють послідовно перетворення від даного рівняння до рівняння, розв’язування якого очевидне;

в) знаходять корені одержаного рівняння;

г) перевіряють, чи є знайдені корені коренями даного рівняння.

  1.  За таблицею «Загальні розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь» повторити розв’язання рівнянь (таблиця 1).

Чи функції  обмежені?

  1.  Повторити основні тригонометричні формули.
  2.  Повторити основні тригонометричні тотожності і співвідношення тригонометричних функцій, які використали при розв’язуванні тригонометричних рівнянь(таблиця 2).
  3.  Чи змінюється при перетвореннях тригонометричних рівнянь ОДЗ невідомого?

Таблиця 1

Рівняння

Загальні розв'язки рівняння

Обмеження

Таблиця 2

Тотожність

Область визначення

ІІІ. Виступи учнів

Перший учень. Розглянемо рівняння, які зводяться до квадратних відносно однієї їз тригонометричних функцій. Рівняння виду:

Розв’язати рівняння

№1.

Розв’язання. Нехай , тоді , матимемо

отже

 

                    

- рівняння не має коренів, оскільки .

Відповідь: .

№2.

Розв'язання.

Нехай , тоді , матимемо

отже

;    

;    .

Відповідь: , .

Другий учень. Розв’язування однорідних тригонометричних рівнянь.

а) рівняння виду  називається однорідним тригонометричним рівнянням першого степеня відносно  і . Воно розв’язується діленням обох частин на . Тоді одержимо рівняння

б) рівняння виду  називається однорідним рівнянням другого степеня відносно  і ,  або які-небудь два з них відмінні від нуля. Якщо , розділимо обидві частини рівняння на ,

Якщо ж , то матимемо рівняння

Розв’язати рівняння

№1. .

Розв’язання. Оскільки  (бо тоді повинна виконуватись рівність , але косинус і синус не можуть одночасно дорівнювати нулю), то поділимо обидві частини рівняння на (або ).

Нехай , тоді , матимемо

Отже

;    .

;    

Відповідь:

№2.

Розв'язання.

або

або ;    .

Відповідь:

Третій учень. Рівняння, які розв’язуються за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій. Це рівняння виду

Розглянемо таблицю

Рівняння

Загальний розв'язок рівняння

Обмеженість

Розв’язати рівняння

№1.

Розв'язання.

 

 

 

Або можна розв’язати так:

 або

,  або ,

.

Відповідь:

№2.

Розв’язання:  

 тоді

               

                  k

                       k

Відповідь: , k

Четвертий учень. Рівняння лінійні відносно .

Рівняння виду  де a,b,cсталі коефіцієнти, називається лінійним відносно .

Дане рівняння можна розв’язувати різними способами. (Декілька учнів розв’язують рівняння на дошці різними способами)

а) За допомогою введення допоміжного аргументу, замінюємо вираз  на  для цього обидві частини рівняння

 ділимо на

Нехай  тоді .

Розв’язати рівняння

№1.

Розв’язання.

, , матимемо .

Відповідь:

б) зведення рівняння до однорідного відносно синуса і косинуса

Розв'язати рівняння

№2.

Розв'язання. , матимемо

Відповідь:

в) за допомогою універсальної підстановки

№3.

Розв'язання.

При цій підстановці може бути втрата коренів. Перевіряємо чи буде

 розв'язком даного рівняння:

 є розв'язком рівняння.

Відповідь: ,

г) №5

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату. При цьому можлива поява сторонніх коренів і тому треба виконати перевірку:

Розв’язання.

Запишемо

Перевірка: якщо , то

не є коренем рівняння.

Якщо , то

Отже,  - корінь рівняння.

Якщо , то

Отже,  - корінь рівняння.

Якщо , то

.

Отже,  не є коренем рівняння.

Відповідь:

П’ятий учень. Тригонометричні рівняння, які розв’язуються за допомогою формул додавання, та формул пониження степеня.

Розв’язати рівняння

№1. .

Розв’язання.

Відповідь:

Шостий учень. Рівняння із змінною у знаменнику.

Розв’язати рівняння

№1.

Розв'язання.

Якщо k – парне, тобто  то знаменник рівняння дорівнює нулю, якщо

k – непарне, тобто , тоді

Відповідь: .

Сьомий учень. Розв’язування тригонометричних рівнянь перетворенням добутків тригонометричних функцій.

Розв’язати рівняння

№1.

Розв’язання. Обидві частини даного рівняння перетворимо у суму

 Розв'яжемо сукупність рівнянь

При  якщо  Оскільки, всі значення  містяться у множині розв’язків , то розв'язком даного рівняння буде

Відповідь:

IV. Домашнє завдання

№212(1,2), №213(1), №215(1,2), ст.38.

Мерзляк А.Г. Алгебра і початки аналізу. 10 кл. збірник задач і контрольних робіт/А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М.С. Якір. – Х.: Гімназія, 2012. – 144с.

V. Підсумок семінару.

Вчитель оголошує оцінки учням. Учні діляться враженнями про позитивні і негативні сторони у виступах учнів. Далі вчитель зупиняється тому, що нового дізналися учні на цьому уроці та як здійснювалось практичне застосування вивченої теорії до розв’язування тригонометричних рівнянь, а деяким учням пропонується повторити ще раз окремі формули тригонометрії.

Для підготовки до семінару були запропоновані такі тригонометричні рівняння:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  1)

2)

3)

4)

     III. 1)

           2)

3)

     IV. 1)

2)

3)

4)

5)

      V. 1) cos4

2)

3)

4)

5)

     VI. 1)

2)

3)

4)

    VII. 1)

2)

3)

   VIII. 1)

2)

     IX. 1)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36372. Методы формализации управленческих задач 16.83 KB
  методы формализации управленческих задач Проблемы разработки внедрения и эксплуатации АСУ имеют множество задач. Однако одним из важнейших вопросов их создания является выбор или разработка вновь методов формализации управленческих задач обеспечивающих выявление из бесчисленного множества допустимых решений оптимального или определенно эффективного решения. Кроме того цель формализации передача производства решения экономических задач АСУ. Методы формализации решения экономических задач представлены широким классом математических...
36373. Цифровые регуляторы. Достоинства. Структурная схема 34.77 KB
  Структурная схема состоит из входного устройства I вычислительного устройства II выходного устройства III входное устройство представляет собой совокупность блоков и включает в себя: АД аналоговый датчик АЗ аналоговый задатчик АО блок аналоговых отклонений АЦП аналогоцифровой преобразователь. Выходным сигналом является сигнал в цифровом коде Х [nT] который подается на вход вычислительного устройства. На выходе ВУ выдают управляющие воздействия Y[nТ] в цифровой форме которая поступает на вход выходного устройства.
36374. Чертежи общих видов щитов, пультов систем автоматизации. Правила выполнения 26.86 KB
  Чертеж общего вида единичного щита содержит следующие элементы: авид спереди фасадная плоскость; бвид на внутренние плоскости; втехнические требования; гтаблицу надписей табло и в рамках; дтаблицы для монтажа электрических и трубных проводок; еперечень составных частей; жосновную надпись и дополнительные графы. Чертеж общего вида составного щита содержит: вид спереди фронтальная плоскость; перечень составных частей; основную надпись и дополнительные графы. На чертежах общего вида щиты изображаются в следующих масштабах: 1:10...
36375. Моделирование как способ изучения, прогнозирования поведения и отображения объектов. Типы объектов. Виды моделирования 11.57 KB
  Существует два класса моделей: 1 физические которые представляют собой установки устройства воспроизводящие в том или ином масштабе исследуемый объект при сохранении физического подобия объекта. 2 абстрактные модели в них производится описание объекта на какомлибо языке как то речь чертеж схема математика. Совокупность математических соотношений описывающих характеристики объекта называется математической моделью объекта. Математическая модель отображает алгоритм функционирования объекта.
36376. ПИД – регулятор 31.47 KB
  Пропорциональная составляющая формирует на выходе управляющее воздействие пропорциональное ошибке Е. Дифференциальная составляющая формирует воздействие пропорциональное скорости изменения ошибки обеспечивает минимальное быстродействие ошибка Е по модулю всегда больше нуля. Интегральная составляющая формирует управляющее воздействие пропорционально площади ошибки т. Пропорциональная составляющая вырабатывает выходной сигнал противодействующий отклонению регулируемой величины от заданного значения наблюдаемому в данный момент времени.
36377. Прикладные программы 12.43 KB
  Прикладные программы предназначены для обработки данных пользователей ЭВМ. С помощью прикладных программ осуществляется решение: как отдельных задач так и системы взаимосвязанных задач. Область применения прикладных программ все отрасли человеческой деятельности. Эти программы находятся в постоянном развитии и расширении особенно в направлении применения оптимизирующих алгоритмов и представляются не в виде некоторого одного универсального комплекса а нескольких каждый из которых представлен совокупностью программ для разрешения вполне...
36378. Принцип действия пирометров спектрального отношения 125 KB
  Пирометры спектрального отношения измеряют цветовую температуру объекта по отношению интенсивностей излучения Еλ1 и Еλ2 в двух определенных участках спектра каждый из которых характеризуется эффективной длиной волны λ1 и λ2.Следовательно осуществив в приборе операцию логарифмирования можно свести измерение отношения интенсивностей излучения к измерению разности их логарифмов. Каждой температуре соответствует определенная длина волны на которой интенсивность излучения максимальна. В цветовых пирометрах определяется отношение интенсивности...
36379. Состав САПР. Компоненты видов обеспечения САПР 45.5 KB
  Составными частями САПР жестко связанными с организационной структурой проектной организации являются подсистемы в которых при помощи специализированных комплексных средств решается последовательность задач проектирования. Проектирующие подсистемы имеют объектную ориентацию и реализуют определенный этап проектирования или группы непосредственно связанных проектных задач например эскизное проектирование изделий проектирование корпусных деталей проектирование ТП механической обработки. Компоненты видов обеспечения Средства...
36380. Схемы внешних электрических и трубных проводок. Основные требования и правила выполнения 36 KB
  Схемы внешних электрических и трубных проводок. Схема соединений внешних проводок это комбинированная схема на которой показывают электрические и трубные связи между приборами и средствами автоматизации установленными на технологическом оборудовании вне щитов и на щитах а также подключения проводок к приборам и щитам. Схему подключения допускается не выполнять если все подключения могут быть показаны на схеме соединений внешних проводок. При необходимости раздельного изображения электрических и трубных проводок цеха участка...