56527

Розв’язування тригонометричних рівнянь

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Розглянемо такі тригонометричні рівняння. Рівняння які зводяться до квадратних відносно тригонометричної функції. Рівняння які розвязуються за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій. Лінійні рівняння відносно синуса і косинуса.

Украинкский

2014-04-07

2.9 MB

17 чел.

Тема: Розвязування тригонометричних рівнянь.

Дидактична мета: узагальнення і систематизація знань учнів по розв’язуванню різних типів тригонометричних рівнянь.

Виховна мета: розвивати логічне мислення, формувати вміння переносити набуті знання у нові ситуації, підтримувати в учнів бажання займатись математикою і самостійно здобувати нові знання.

Тип уроку: узагальнення і систематизації знань.

Обладнання: таблиці «Загальні розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь», «Основні тотожності і співвідношення обернених тригонометричних функцій».

Структура уроку-семінару

  1.  Вступне слово вчителя.
  2.  Виступи учнів. Узагальнення і систематизація знань по розв’язуванню різних типів тригонометричних рівнянь.
  3.  Колективні обговорення.
  4.  Домашнє завдання.
  5.  Підсумок семінару.

Хід семінару

І. Вчитель повідомляє тему і мету семінару та питання, які виносяться на семінарське заняття. На попередніх уроках ми розв’язували різні типи тригонометричних рівнянь, які зводяться до найпростіших. Оскільки вивчення розділу завершується, то виникає необхідність систематизувати вивчені прийоми розв’язування тригонометричних рівнянь. Загального методу розв’язування тригонометричних рівнянь не існує. Розглянемо такі тригонометричні рівняння.

1. Рівняння, які зводяться до квадратних відносно тригонометричної функції.

2. Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь.

3. Рівняння, які розв’язуються за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій.

4. Лінійні рівняння відносно синуса і косинуса.

5. Тригонометричні рівняння, які розв’язуються за допомогою формул додавання та формул пониження степеня.

6. Рівняння із змінною у знаменнику.

7. Розв'язування тригонометричних рівнянь за допомогою перетворень добутків тригонометричних функцій у суму.

ІІ. Актуалізація опорних знань

(фронтальне опитування)

  1.  Яке рівняння називається тригонометричним?
  2.  Який алгоритм розв’язування тригонометричних рівнянь?

а) встановлюють ОДЗ даного рівняння;

б) здійснюють послідовно перетворення від даного рівняння до рівняння, розв’язування якого очевидне;

в) знаходять корені одержаного рівняння;

г) перевіряють, чи є знайдені корені коренями даного рівняння.

  1.  За таблицею «Загальні розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь» повторити розв’язання рівнянь (таблиця 1).

Чи функції  обмежені?

  1.  Повторити основні тригонометричні формули.
  2.  Повторити основні тригонометричні тотожності і співвідношення тригонометричних функцій, які використали при розв’язуванні тригонометричних рівнянь(таблиця 2).
  3.  Чи змінюється при перетвореннях тригонометричних рівнянь ОДЗ невідомого?

Таблиця 1

Рівняння

Загальні розв'язки рівняння

Обмеження

Таблиця 2

Тотожність

Область визначення

ІІІ. Виступи учнів

Перший учень. Розглянемо рівняння, які зводяться до квадратних відносно однієї їз тригонометричних функцій. Рівняння виду:

Розв’язати рівняння

№1.

Розв’язання. Нехай , тоді , матимемо

отже

 

                    

- рівняння не має коренів, оскільки .

Відповідь: .

№2.

Розв'язання.

Нехай , тоді , матимемо

отже

;    

;    .

Відповідь: , .

Другий учень. Розв’язування однорідних тригонометричних рівнянь.

а) рівняння виду  називається однорідним тригонометричним рівнянням першого степеня відносно  і . Воно розв’язується діленням обох частин на . Тоді одержимо рівняння

б) рівняння виду  називається однорідним рівнянням другого степеня відносно  і ,  або які-небудь два з них відмінні від нуля. Якщо , розділимо обидві частини рівняння на ,

Якщо ж , то матимемо рівняння

Розв’язати рівняння

№1. .

Розв’язання. Оскільки  (бо тоді повинна виконуватись рівність , але косинус і синус не можуть одночасно дорівнювати нулю), то поділимо обидві частини рівняння на (або ).

Нехай , тоді , матимемо

Отже

;    .

;    

Відповідь:

№2.

Розв'язання.

або

або ;    .

Відповідь:

Третій учень. Рівняння, які розв’язуються за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій. Це рівняння виду

Розглянемо таблицю

Рівняння

Загальний розв'язок рівняння

Обмеженість

Розв’язати рівняння

№1.

Розв'язання.

 

 

 

Або можна розв’язати так:

 або

,  або ,

.

Відповідь:

№2.

Розв’язання:  

 тоді

               

                  k

                       k

Відповідь: , k

Четвертий учень. Рівняння лінійні відносно .

Рівняння виду  де a,b,cсталі коефіцієнти, називається лінійним відносно .

Дане рівняння можна розв’язувати різними способами. (Декілька учнів розв’язують рівняння на дошці різними способами)

а) За допомогою введення допоміжного аргументу, замінюємо вираз  на  для цього обидві частини рівняння

 ділимо на

Нехай  тоді .

Розв’язати рівняння

№1.

Розв’язання.

, , матимемо .

Відповідь:

б) зведення рівняння до однорідного відносно синуса і косинуса

Розв'язати рівняння

№2.

Розв'язання. , матимемо

Відповідь:

в) за допомогою універсальної підстановки

№3.

Розв'язання.

При цій підстановці може бути втрата коренів. Перевіряємо чи буде

 розв'язком даного рівняння:

 є розв'язком рівняння.

Відповідь: ,

г) №5

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату. При цьому можлива поява сторонніх коренів і тому треба виконати перевірку:

Розв’язання.

Запишемо

Перевірка: якщо , то

не є коренем рівняння.

Якщо , то

Отже,  - корінь рівняння.

Якщо , то

Отже,  - корінь рівняння.

Якщо , то

.

Отже,  не є коренем рівняння.

Відповідь:

П’ятий учень. Тригонометричні рівняння, які розв’язуються за допомогою формул додавання, та формул пониження степеня.

Розв’язати рівняння

№1. .

Розв’язання.

Відповідь:

Шостий учень. Рівняння із змінною у знаменнику.

Розв’язати рівняння

№1.

Розв'язання.

Якщо k – парне, тобто  то знаменник рівняння дорівнює нулю, якщо

k – непарне, тобто , тоді

Відповідь: .

Сьомий учень. Розв’язування тригонометричних рівнянь перетворенням добутків тригонометричних функцій.

Розв’язати рівняння

№1.

Розв’язання. Обидві частини даного рівняння перетворимо у суму

 Розв'яжемо сукупність рівнянь

При  якщо  Оскільки, всі значення  містяться у множині розв’язків , то розв'язком даного рівняння буде

Відповідь:

IV. Домашнє завдання

№212(1,2), №213(1), №215(1,2), ст.38.

Мерзляк А.Г. Алгебра і початки аналізу. 10 кл. збірник задач і контрольних робіт/А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М.С. Якір. – Х.: Гімназія, 2012. – 144с.

V. Підсумок семінару.

Вчитель оголошує оцінки учням. Учні діляться враженнями про позитивні і негативні сторони у виступах учнів. Далі вчитель зупиняється тому, що нового дізналися учні на цьому уроці та як здійснювалось практичне застосування вивченої теорії до розв’язування тригонометричних рівнянь, а деяким учням пропонується повторити ще раз окремі формули тригонометрії.

Для підготовки до семінару були запропоновані такі тригонометричні рівняння:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  1)

2)

3)

4)

     III. 1)

           2)

3)

     IV. 1)

2)

3)

4)

5)

      V. 1) cos4

2)

3)

4)

5)

     VI. 1)

2)

3)

4)

    VII. 1)

2)

3)

   VIII. 1)

2)

     IX. 1)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80785. Плата за негативное воздействие на окружающую среду 31.12 KB
  Некоторые общие требования относительно платы за негативное воздействие на окружающую среду определяются в Федеральном законе Об охране окружающей среды ст. Определение размеров и взимание платы за загрязнение окружающей среды регламентируется на федеральном уровне достаточно подробно документом утвержденным постановлением Правительства Порядок определения платы и ее предельных размеров за загрязнение окружающей природной среды размещение отходов другие виды вредного воздействия. Исходными при определении платы за негативное воздействие на...
80786. Экологическое страхование 30.07 KB
  Для экологического страхования главным образом имеют значения положения ПС содержащиеся в статьях 927929931966 которые прямо закрепляют некоторые аспекты относящиеся к страхованию ответственности а именно: Обязательное страхование гражданской ответственности за причинение экологического вреда осуществляется в силу прямого указания закона Данный вид страхования может осуществляться хозяйствующими субъектами как за свой счет так и за счет заинтересованных лиц. Однако обязательное страхование ответственности за счет бюджета не...
80787. Понятие и виды юридической ответственности за нарушение правовых экологических требований 30.62 KB
  Под юридической ответственностью за экологические правонарушения понимается отношение между государством в лице специально уполномоченных органов в области охраны окружающей среды правоохранительных органов иными уполномоченными субъектами и совершившим экологическое правонарушение лицом физическим должностным или юридическим по применению к нарушителю соответствующего взыскания. Сущность юридической ответственности заключается в неблагоприятных последствиях наступающих для нарушителя. Посредством применения юридической ответственности...
80788. Ответственность за экологические преступления 30.98 KB
  К числу таковых отнесены незаконная добыча водных животных и растений незаконная охота нарушение законодательства Российской Федерации о континентальном шельфе и исключительной экономической зоне нарушение правил охраны и использования недр незаконная порядка леса уничтожение или повреждение лесов загрязнение водоемов и атмосферного воздуха загрязнение моря вредными веществами нарушение режима особо охраняемых природных территорий и природных объектов нарушение правил обращения экологически опасных веществ и отходов и др. Субъектами...
80789. Дисциплинарная и материальная ответственность за экологические правонарушения 31.43 KB
  Материальная ответственность заключается в обязанности работника возместить в установленном порядке и в определенных размерах имущественный ущерб причиненный по его вине предприятию организации в результате ненадлежащего исполнения им своих трудовых обязанностей. Для привлечения работника к материальной ответственности необходимы следующие условия ее наступления: 1 причинение работником прямого действительного ущерба. Неполученные доходы улучшенная выгода взысканию с работника не подлежат ст.
80790. Административная ответственность за экологические правонарушения 35.2 KB
  Понятие и виды экологического вреда. Принципы и порядок возмещения экологического вреда Вред причиняемый нарушением правовых экологических требований называется в доктрине экологического права экологическим или экогенным вредом. Новым для российского экологического права элементом экологического вреда является моральный вред. Так как природа удовлетворяет эстетические духовные потребности человека уничтожение к примеру зеленых насаждений в городах также может рассматриваться как фактор причинения морального вреда и соответственно должно...
80791. Правовая охрана земель 36.31 KB
  Охрана земель осуществляется на основе комплексного подхода к земельным угодьям как к сложным природным образованиям и ставит следующие цели: предотвратить деградацию и разрушение земель другие неблагоприятные последствия хозяйственной деятельности путем стимулирования природоохранных технологий производства; обеспечить улучшение и восстановление земель подвергшихся деградации или нарушению; создать механизм учета и проверки экологического состояния земель ст. 100 Земельного кодекса РСФСР. Законодательством предусматривается...
80792. Правовая охрана недр 49.69 KB
  правовые меры охраны водных объектов Статья 55. Основные требования к охране водных объектов 1. Собственники водных объектов осуществляют мероприятия по охране водных объектов предотвращению их загрязнения засорения и истощения вод а также меры по ликвидации последствий указанных явлений. Охрана водных объектов находящихся в федеральной собственности собственности субъектов Российской Федерации собственности муниципальных образований осуществляется исполнительными органами государственной власти или органами местного самоуправления в...
80793. Правовые меры охраны морской воды 36.9 KB
  Конкретизированы экологически значимые виды деятельности которые могут ими осуществляться проведение исследований разведка и разработка добыча водных биологических ресурсов и других природных ресурсов внутренних морских вод и территориального моря а также другая деятельность в том числе с борта летательного аппарата. Экономические отношения по эксплуатации природных ресурсов внутренних морских вод и территориального моря строятся на основе принципов: платности пользования; ответственности за нарушения условий хозяйственной...