56527

Розв’язування тригонометричних рівнянь

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Розглянемо такі тригонометричні рівняння. Рівняння які зводяться до квадратних відносно тригонометричної функції. Рівняння які розв’язуються за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій. Лінійні рівняння відносно синуса і косинуса.

Украинкский

2014-04-07

2.9 MB

15 чел.

Тема: Розвязування тригонометричних рівнянь.

Дидактична мета: узагальнення і систематизація знань учнів по розв’язуванню різних типів тригонометричних рівнянь.

Виховна мета: розвивати логічне мислення, формувати вміння переносити набуті знання у нові ситуації, підтримувати в учнів бажання займатись математикою і самостійно здобувати нові знання.

Тип уроку: узагальнення і систематизації знань.

Обладнання: таблиці «Загальні розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь», «Основні тотожності і співвідношення обернених тригонометричних функцій».

Структура уроку-семінару

  1.  Вступне слово вчителя.
  2.  Виступи учнів. Узагальнення і систематизація знань по розв’язуванню різних типів тригонометричних рівнянь.
  3.  Колективні обговорення.
  4.  Домашнє завдання.
  5.  Підсумок семінару.

Хід семінару

І. Вчитель повідомляє тему і мету семінару та питання, які виносяться на семінарське заняття. На попередніх уроках ми розв’язували різні типи тригонометричних рівнянь, які зводяться до найпростіших. Оскільки вивчення розділу завершується, то виникає необхідність систематизувати вивчені прийоми розв’язування тригонометричних рівнянь. Загального методу розв’язування тригонометричних рівнянь не існує. Розглянемо такі тригонометричні рівняння.

1. Рівняння, які зводяться до квадратних відносно тригонометричної функції.

2. Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь.

3. Рівняння, які розв’язуються за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій.

4. Лінійні рівняння відносно синуса і косинуса.

5. Тригонометричні рівняння, які розв’язуються за допомогою формул додавання та формул пониження степеня.

6. Рівняння із змінною у знаменнику.

7. Розв'язування тригонометричних рівнянь за допомогою перетворень добутків тригонометричних функцій у суму.

ІІ. Актуалізація опорних знань

(фронтальне опитування)

  1.  Яке рівняння називається тригонометричним?
  2.  Який алгоритм розв’язування тригонометричних рівнянь?

а) встановлюють ОДЗ даного рівняння;

б) здійснюють послідовно перетворення від даного рівняння до рівняння, розв’язування якого очевидне;

в) знаходять корені одержаного рівняння;

г) перевіряють, чи є знайдені корені коренями даного рівняння.

  1.  За таблицею «Загальні розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь» повторити розв’язання рівнянь (таблиця 1).

Чи функції  обмежені?

  1.  Повторити основні тригонометричні формули.
  2.  Повторити основні тригонометричні тотожності і співвідношення тригонометричних функцій, які використали при розв’язуванні тригонометричних рівнянь(таблиця 2).
  3.  Чи змінюється при перетвореннях тригонометричних рівнянь ОДЗ невідомого?

Таблиця 1

Рівняння

Загальні розв'язки рівняння

Обмеження

Таблиця 2

Тотожність

Область визначення

ІІІ. Виступи учнів

Перший учень. Розглянемо рівняння, які зводяться до квадратних відносно однієї їз тригонометричних функцій. Рівняння виду:

Розв’язати рівняння

№1.

Розв’язання. Нехай , тоді , матимемо

отже

 

                    

- рівняння не має коренів, оскільки .

Відповідь: .

№2.

Розв'язання.

Нехай , тоді , матимемо

отже

;    

;    .

Відповідь: , .

Другий учень. Розв’язування однорідних тригонометричних рівнянь.

а) рівняння виду  називається однорідним тригонометричним рівнянням першого степеня відносно  і . Воно розв’язується діленням обох частин на . Тоді одержимо рівняння

б) рівняння виду  називається однорідним рівнянням другого степеня відносно  і ,  або які-небудь два з них відмінні від нуля. Якщо , розділимо обидві частини рівняння на ,

Якщо ж , то матимемо рівняння

Розв’язати рівняння

№1. .

Розв’язання. Оскільки  (бо тоді повинна виконуватись рівність , але косинус і синус не можуть одночасно дорівнювати нулю), то поділимо обидві частини рівняння на (або ).

Нехай , тоді , матимемо

Отже

;    .

;    

Відповідь:

№2.

Розв'язання.

або

або ;    .

Відповідь:

Третій учень. Рівняння, які розв’язуються за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій. Це рівняння виду

Розглянемо таблицю

Рівняння

Загальний розв'язок рівняння

Обмеженість

Розв’язати рівняння

№1.

Розв'язання.

 

 

 

Або можна розв’язати так:

 або

,  або ,

.

Відповідь:

№2.

Розв’язання:  

 тоді

               

                  k

                       k

Відповідь: , k

Четвертий учень. Рівняння лінійні відносно .

Рівняння виду  де a,b,cсталі коефіцієнти, називається лінійним відносно .

Дане рівняння можна розв’язувати різними способами. (Декілька учнів розв’язують рівняння на дошці різними способами)

а) За допомогою введення допоміжного аргументу, замінюємо вираз  на  для цього обидві частини рівняння

 ділимо на

Нехай  тоді .

Розв’язати рівняння

№1.

Розв’язання.

, , матимемо .

Відповідь:

б) зведення рівняння до однорідного відносно синуса і косинуса

Розв'язати рівняння

№2.

Розв'язання. , матимемо

Відповідь:

в) за допомогою універсальної підстановки

№3.

Розв'язання.

При цій підстановці може бути втрата коренів. Перевіряємо чи буде

 розв'язком даного рівняння:

 є розв'язком рівняння.

Відповідь: ,

г) №5

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату. При цьому можлива поява сторонніх коренів і тому треба виконати перевірку:

Розв’язання.

Запишемо

Перевірка: якщо , то

не є коренем рівняння.

Якщо , то

Отже,  - корінь рівняння.

Якщо , то

Отже,  - корінь рівняння.

Якщо , то

.

Отже,  не є коренем рівняння.

Відповідь:

П’ятий учень. Тригонометричні рівняння, які розв’язуються за допомогою формул додавання, та формул пониження степеня.

Розв’язати рівняння

№1. .

Розв’язання.

Відповідь:

Шостий учень. Рівняння із змінною у знаменнику.

Розв’язати рівняння

№1.

Розв'язання.

Якщо k – парне, тобто  то знаменник рівняння дорівнює нулю, якщо

k – непарне, тобто , тоді

Відповідь: .

Сьомий учень. Розв’язування тригонометричних рівнянь перетворенням добутків тригонометричних функцій.

Розв’язати рівняння

№1.

Розв’язання. Обидві частини даного рівняння перетворимо у суму

 Розв'яжемо сукупність рівнянь

При  якщо  Оскільки, всі значення  містяться у множині розв’язків , то розв'язком даного рівняння буде

Відповідь:

IV. Домашнє завдання

№212(1,2), №213(1), №215(1,2), ст.38.

Мерзляк А.Г. Алгебра і початки аналізу. 10 кл. збірник задач і контрольних робіт/А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М.С. Якір. – Х.: Гімназія, 2012. – 144с.

V. Підсумок семінару.

Вчитель оголошує оцінки учням. Учні діляться враженнями про позитивні і негативні сторони у виступах учнів. Далі вчитель зупиняється тому, що нового дізналися учні на цьому уроці та як здійснювалось практичне застосування вивченої теорії до розв’язування тригонометричних рівнянь, а деяким учням пропонується повторити ще раз окремі формули тригонометрії.

Для підготовки до семінару були запропоновані такі тригонометричні рівняння:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  1)

2)

3)

4)

     III. 1)

           2)

3)

     IV. 1)

2)

3)

4)

5)

      V. 1) cos4

2)

3)

4)

5)

     VI. 1)

2)

3)

4)

    VII. 1)

2)

3)

   VIII. 1)

2)

     IX. 1)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34085. Понятие и общая характеристика приватизации земель в Российской Федерации 25 KB
  Приватизация земельных участков может осуществляться одновременно с приватизацией расположенных на нем объектов недвижимости на основании положений Земельного кодекса РФ ФЗ от 21 декабря 2001 г. 3 ФЗ О введении в действие Земельного кодекса Российской Федерации. Приватизация земельных участков может производиться путем продажи их на аукционе или конкурсе продажи посредством публичного предложения или без объявления цены путем внесения земельного участка в качестве вклада в уставный капитал открытого акционерного общества. Цена выкупа...
34086. Пожизненное наследуемое владение земельным участком 24.5 KB
  Право пожизненного наследуемого владения. предоставление земельных участков на праве пожизненного земельного владения не допускается. Основаниями возникновения права пожизненного наследуемого владения являются: принятие наследства в состав которого входит пожизненное наследуемое владение на земельный участок. договор куплипродажи или иная сделка об отчуждении здания строения сооружения расположенные на земельном участке принадлежавшем бывшему собственнику зданий строений сооружений на праве пожизненного наследуемого владения;...
34087. Постоянное (бессрочное) пользование земельным участком 27.5 KB
  Юридические лица могут быть разделены на 3 группы по отношению к этому праву: юридические лица которым и после введения в действие Земельного Кодекса предоставляются земельный участки на данном праве и которые могут использовать земельные участки на праве постоянного бессрочного пользования органы государственной власти органы местного самоуправления государственные и муниципальные учреждения казенные предприятия центры исторического наследия президентов России прекративших исполнение своих полномочий; юридические лица...
34088. Основания возникновения и изменения прав на земельные участки 59 KB
  По договору кули продажи одна сторона продавец обязуется пережать другой стороне покупателю земельный участок за плату. договор дарения: По договору дарения одна сторона даритель безвозмездно передает или обязуется передать земельный участок другой стороне одаряемому в собственность. договор ренты: По договору ренты одна сторона получатель ренты передаёт другой стороне плательщику ренты земельный участок в собственность а плательщик ренты обязуется периодически выплачивать ренту. Рента обременяет земельный участок поэтому...
34089. Основания прекращения прав на земельные участки 38.5 KB
  Основания добровольного прекращения: ликвидация юридического лица; смерть гражданина и отсутствие соответствующих наследников; отчуждение земельного участка другим лицам в порядке установленном гражданским законодательством; добровольный отказ от прав на земельный участок. Процедура различна для собственников и лиц не являющихся собственниками Собственник земельного участка может отказаться от своего права путем подачи заявления в орган осуществляющий государственную регистрацию прав на недвижимое имущество и сделок с ним....
34090. Сделки с земельными участками: понятие и виды сделок 53.5 KB
  Особенности оборота земельных участков находят отражение в содержании соответствующих сделок с землей. Так гражданскоправовой институт наследования имущества применяется и в земельном праве однако в целях предотвращения дробления наследуемого земельного участка между многими наследниками земельным законодательством могут быть установлены особые правила наследования земельных участков. Земельное законодательство предусматривает особенности совершения например сделок куплипродажи земельных участков обусловленные необходимостью обеспечения...
34091. Договор купли-продажи земельных участков 38 KB
  По договору куплипродажи земельного участка продавец обязуется передать в собственность покупателя земельный участок а покупатель обязуется принять земельный участок и уплатить за него определенную денежную сумму.Стороны договора не вправе изменять целевое назначение земельного участка являющегося предметом договора. Также не подлежат самовольному изменению такие условия использования земельного участка как охранные зоны и обременения участка. Продавец при заключении договора обязан предоставить покупателю имеющуюся у него информацию об...
34092. Залог земельных участков 37.5 KB
  Нормативной базой ипотеки является 3 главы 23 ГК РФ и ФЗ N 102ФЗ Об ипотеке залогенедвижимости от 16 июля 1998 г. далее Закон об ипотеке. 1 Закона об ипотеке по договору о залоге недвижимого имущества договору об ипотеке одна сторона залогодержатель являющийся кредитором по обязательству обеспеченному ипотекой имеет право получить удовлетворение своих денежных требований к должнику по этому обязательству из стоимости заложенного недвижимого имущества другой стороны залогодателя преимущественно перед другими...
34093. Договор аренды земельных участков 34 KB
  Договор аренды земельных участков. В основе аренды лежит договор. По договору аренды одна сторона арендодатель обязуется передать другой стороне арендатору земельный участок во временное владение или и пользование за плату. Заключается договор аренды в простой письменной форме.