56527

Розв’язування тригонометричних рівнянь

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Розглянемо такі тригонометричні рівняння. Рівняння які зводяться до квадратних відносно тригонометричної функції. Рівняння які розвязуються за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій. Лінійні рівняння відносно синуса і косинуса.

Украинкский

2014-04-07

2.9 MB

17 чел.

Тема: Розвязування тригонометричних рівнянь.

Дидактична мета: узагальнення і систематизація знань учнів по розв’язуванню різних типів тригонометричних рівнянь.

Виховна мета: розвивати логічне мислення, формувати вміння переносити набуті знання у нові ситуації, підтримувати в учнів бажання займатись математикою і самостійно здобувати нові знання.

Тип уроку: узагальнення і систематизації знань.

Обладнання: таблиці «Загальні розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь», «Основні тотожності і співвідношення обернених тригонометричних функцій».

Структура уроку-семінару

  1.  Вступне слово вчителя.
  2.  Виступи учнів. Узагальнення і систематизація знань по розв’язуванню різних типів тригонометричних рівнянь.
  3.  Колективні обговорення.
  4.  Домашнє завдання.
  5.  Підсумок семінару.

Хід семінару

І. Вчитель повідомляє тему і мету семінару та питання, які виносяться на семінарське заняття. На попередніх уроках ми розв’язували різні типи тригонометричних рівнянь, які зводяться до найпростіших. Оскільки вивчення розділу завершується, то виникає необхідність систематизувати вивчені прийоми розв’язування тригонометричних рівнянь. Загального методу розв’язування тригонометричних рівнянь не існує. Розглянемо такі тригонометричні рівняння.

1. Рівняння, які зводяться до квадратних відносно тригонометричної функції.

2. Розвязування однорідних тригонометричних рівнянь.

3. Рівняння, які розв’язуються за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій.

4. Лінійні рівняння відносно синуса і косинуса.

5. Тригонометричні рівняння, які розв’язуються за допомогою формул додавання та формул пониження степеня.

6. Рівняння із змінною у знаменнику.

7. Розв'язування тригонометричних рівнянь за допомогою перетворень добутків тригонометричних функцій у суму.

ІІ. Актуалізація опорних знань

(фронтальне опитування)

  1.  Яке рівняння називається тригонометричним?
  2.  Який алгоритм розв’язування тригонометричних рівнянь?

а) встановлюють ОДЗ даного рівняння;

б) здійснюють послідовно перетворення від даного рівняння до рівняння, розв’язування якого очевидне;

в) знаходять корені одержаного рівняння;

г) перевіряють, чи є знайдені корені коренями даного рівняння.

  1.  За таблицею «Загальні розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь» повторити розв’язання рівнянь (таблиця 1).

Чи функції  обмежені?

  1.  Повторити основні тригонометричні формули.
  2.  Повторити основні тригонометричні тотожності і співвідношення тригонометричних функцій, які використали при розв’язуванні тригонометричних рівнянь(таблиця 2).
  3.  Чи змінюється при перетвореннях тригонометричних рівнянь ОДЗ невідомого?

Таблиця 1

Рівняння

Загальні розв'язки рівняння

Обмеження

Таблиця 2

Тотожність

Область визначення

ІІІ. Виступи учнів

Перший учень. Розглянемо рівняння, які зводяться до квадратних відносно однієї їз тригонометричних функцій. Рівняння виду:

Розв’язати рівняння

№1.

Розв’язання. Нехай , тоді , матимемо

отже

 

                    

- рівняння не має коренів, оскільки .

Відповідь: .

№2.

Розв'язання.

Нехай , тоді , матимемо

отже

;    

;    .

Відповідь: , .

Другий учень. Розв’язування однорідних тригонометричних рівнянь.

а) рівняння виду  називається однорідним тригонометричним рівнянням першого степеня відносно  і . Воно розв’язується діленням обох частин на . Тоді одержимо рівняння

б) рівняння виду  називається однорідним рівнянням другого степеня відносно  і ,  або які-небудь два з них відмінні від нуля. Якщо , розділимо обидві частини рівняння на ,

Якщо ж , то матимемо рівняння

Розв’язати рівняння

№1. .

Розв’язання. Оскільки  (бо тоді повинна виконуватись рівність , але косинус і синус не можуть одночасно дорівнювати нулю), то поділимо обидві частини рівняння на (або ).

Нехай , тоді , матимемо

Отже

;    .

;    

Відповідь:

№2.

Розв'язання.

або

або ;    .

Відповідь:

Третій учень. Рівняння, які розв’язуються за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій. Це рівняння виду

Розглянемо таблицю

Рівняння

Загальний розв'язок рівняння

Обмеженість

Розв’язати рівняння

№1.

Розв'язання.

 

 

 

Або можна розв’язати так:

 або

,  або ,

.

Відповідь:

№2.

Розв’язання:  

 тоді

               

                  k

                       k

Відповідь: , k

Четвертий учень. Рівняння лінійні відносно .

Рівняння виду  де a,b,cсталі коефіцієнти, називається лінійним відносно .

Дане рівняння можна розв’язувати різними способами. (Декілька учнів розв’язують рівняння на дошці різними способами)

а) За допомогою введення допоміжного аргументу, замінюємо вираз  на  для цього обидві частини рівняння

 ділимо на

Нехай  тоді .

Розв’язати рівняння

№1.

Розв’язання.

, , матимемо .

Відповідь:

б) зведення рівняння до однорідного відносно синуса і косинуса

Розв'язати рівняння

№2.

Розв'язання. , матимемо

Відповідь:

в) за допомогою універсальної підстановки

№3.

Розв'язання.

При цій підстановці може бути втрата коренів. Перевіряємо чи буде

 розв'язком даного рівняння:

 є розв'язком рівняння.

Відповідь: ,

г) №5

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату. При цьому можлива поява сторонніх коренів і тому треба виконати перевірку:

Розв’язання.

Запишемо

Перевірка: якщо , то

не є коренем рівняння.

Якщо , то

Отже,  - корінь рівняння.

Якщо , то

Отже,  - корінь рівняння.

Якщо , то

.

Отже,  не є коренем рівняння.

Відповідь:

П’ятий учень. Тригонометричні рівняння, які розв’язуються за допомогою формул додавання, та формул пониження степеня.

Розв’язати рівняння

№1. .

Розв’язання.

Відповідь:

Шостий учень. Рівняння із змінною у знаменнику.

Розв’язати рівняння

№1.

Розв'язання.

Якщо k – парне, тобто  то знаменник рівняння дорівнює нулю, якщо

k – непарне, тобто , тоді

Відповідь: .

Сьомий учень. Розв’язування тригонометричних рівнянь перетворенням добутків тригонометричних функцій.

Розв’язати рівняння

№1.

Розв’язання. Обидві частини даного рівняння перетворимо у суму

 Розв'яжемо сукупність рівнянь

При  якщо  Оскільки, всі значення  містяться у множині розв’язків , то розв'язком даного рівняння буде

Відповідь:

IV. Домашнє завдання

№212(1,2), №213(1), №215(1,2), ст.38.

Мерзляк А.Г. Алгебра і початки аналізу. 10 кл. збірник задач і контрольних робіт/А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М.С. Якір. – Х.: Гімназія, 2012. – 144с.

V. Підсумок семінару.

Вчитель оголошує оцінки учням. Учні діляться враженнями про позитивні і негативні сторони у виступах учнів. Далі вчитель зупиняється тому, що нового дізналися учні на цьому уроці та як здійснювалось практичне застосування вивченої теорії до розв’язування тригонометричних рівнянь, а деяким учням пропонується повторити ще раз окремі формули тригонометрії.

Для підготовки до семінару були запропоновані такі тригонометричні рівняння:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  1)

2)

3)

4)

     III. 1)

           2)

3)

     IV. 1)

2)

3)

4)

5)

      V. 1) cos4

2)

3)

4)

5)

     VI. 1)

2)

3)

4)

    VII. 1)

2)

3)

   VIII. 1)

2)

     IX. 1)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32602. Учет денежных средств в кассе‚ на расчетных и других счетах в банке 74.5 KB
  Порядок хранения и расходования денежных средств в кассе установлен Инструкцией ЦБ РФ Порядок ведения кассовых операций в РФ от 4. Поступление денежных средств учитывается по дебету списание по кредиту. Для обеспечения надлежащего контроля за сохранностью денежных средств ежемесячно проводится инвентаризация кассы комиссией утвержденной руководителем предприятия.
32603. Учет денежных средств и расчетов в крестьянском фермерском хозяйстве 33.5 KB
  Такие средства представляют собой сумму наличных денежных средств в кассе предприятия свободные денежные средства на расчетном валютном и других счетах в банке ценные бумаги и прочие денежные средства предприятия.2000 N 94н используются следующие счета в КФХ: 50 Касса ; 51 Расчетные счета ; 52 Валютные счета в редких КФХ которые только занимаются экспортом сельскохозяйственной продукции. Порядок открытия расчетного счета определяется банком. Для его открытия крестьянское фермерское хозяйство представляет учреждению банка: заявление...
32604. Учет долгосрочных и краткосрочных кредитов и займов 48.5 KB
  Операции связанные с получением и погашением банковских кредитов и займов отражаются в бухгалтерском учете на счетах 66 Расчеты по краткосрочным кредитам и займам и 67 Расчеты по долгосрочным кредитам и займам . Причитающиеся по полученным кредитам и займам проценты к уплате отражают по кредиту счета 66 67 в корреспонденции с дебетом счета 91. Суммы полученных организацией краткосрочных кредитов и займов отражаются по кредиту счета 66 Расчеты по краткосрочным кредитам и займам и дебету счетов 50 Касса 51 Расчетные счета 52...
32605. Калькулирование себестоимости продукции животноводства 52.5 KB
  Данные первичных документов по учёту приплода и прироста живой массы систематизируются в отчёте о движении скота и птицы на фермах форма №223АПК. Если мы приходуем приплод и прирост живой массы то Д11 К 20 2 Если мы приходуем молоко шерсть яйца то Д 43 2 К 20 2. Калькулирование себестоимости продукции животноводства Порядок исчисления себестоимости продукции КРС молочного направления В молочном скотоводстве по основному стаду выделяют два объекта калькулирования приплод и молоко по животным на выращивании прирост живой массы и...
32606. Вспомогательными производства 42 KB
  Учёт затрет во вспомогательных производствах ведется на счете 23 Вспомогательные производства. Он имеет следующие субсчета: 23 1 Ремонтные мастерские; 23 2 Ремонт зданий и сооружений; 23 3 Машиннотракторный парк; 23 4 Автомобильный транспорт; 23 5 Энергетические производства хозяйства; 23 6 Водоснабжение; 23 7 Гужевой транспорт; 23 8 Прочие вспомогательные производства. Аналитический учёт по счёту 23 ведут в производственных отчётах по вспомогательным производствам форма № 83АПК который открывается на...
32607. Особенности организации учёта и исчисления себестоимости продукции основных видов промышленных производств 52 KB
  Для первичных документов по учету сырья и выхода готовой продукции предусмотрен отчёт о переработке продукции форма № 180АПК. В первом разделе отчёта учитывается количество израсходованного сырья во втором количество полученной продукции. Схема учета затрат на производство и выхода продукции животноводства представлена на рисунке 6. По дебету счета собираются затраты а по кредиту учитывается выход продукции в течении года по плановой себестоимости с доведением в конце года или месяца до фактической в зависимости от вида производств.
32609. Докладно описати вантажні станції, розташовані на під’їзних коліях, виділивши: 1) умови розміщення станцій; 2) характеристика портових станцій і станцій паромних переправ; 3) характеристика перевантажувальних станцій 146 KB
  Докладно описати вантажні станції розташовані на підїзних коліях виділивши: 1 умови розміщення станцій; 2 характеристика портових станцій і станцій паромних переправ; 3 характеристика перевантажувальних станцій. 1 В пунктах стикування залізниць різної колії залізничних доріг з іншими видами транспорту і на п к підприємств споруджуються спеціальні вантажні станції. На основній станції виконується передача вагонів від УЗ на п к розформування поїздів і підбір вагонів по окремим пунктам подавання вагонів на вантажні станції або...
32610. Основні норми проектування плану і поздовжнього профілю дільничних станцій 311.5 KB
  Розміщення колій на горизонтальному майданчику полегшує умови рушення поїздів в обох напрямках знижує небезпеку уходу вагонів від товчка при маневрах або під впливом вітру. Станція окремі парки і витяжні колії повинні розташовуватися в плані на прямих дільницях що поліпшує умови видимості під час руху поїзда і маневрової роботи рушенні поїздів з місця. Головні колії на підходах до станції слід проектувати на прямих або кривих можливо більшого радіусу що створює умови для забезпечення безпечності і плавності руху поїздів....