5662

Математические модели вибрации

Практическая работа

Математика и математический анализ

Математические модели вибрации. Цель: провести исследование нескольких возможных моделей вибрации. Постановка задачи: на основе теоретических знаний создать нескольких возможных моделей вибрации. 1. Параметры вибрации и единицы измерений Вибрация, к...

Русский

2012-12-16

181.54 KB

39 чел.

Математические модели вибрации.

Цель: провести исследование нескольких возможных моделей вибрации.

Постановка задачи: на основе теоретических знаний создать нескольких возможных моделей вибрации.

1. Параметры вибрации и единицы измерений

Вибрация, как протекающий во времени процесс, описывается соответствующим законом колебаний и характеризуется определенными параметрами этого закона. Гармоническая вибрация описывается тремя независимыми параметрами: амплитудой, частотой и начальной фазой. Частота вибрации измеряется в Гц, а связанные с нею период колебаний и круговая частота измеряются в с и рад/с соответственно. Фаза измеряется в радианах или угловых градусах (1рад= 57,295°).

Единицы измерений амплитуды вибрации зависят от измеряемой колебательной величины. Вибрационные смещения измеряются – в м, скорости – в  м/с, ускорения – в  м/с2. Широко распространена практическая система единиц: смещения измеряются в миллиметрах, скорости – в мм/с, ускорения – в единицах нормализованного ускорения силы тяжести

                                         lg = 9,807м/с2.                                                 (1)       

Связь амплитуд ускорений в практической и международной системах выражается формулой:

                                     .                                                       (2)

Иногда употребляется безразмерный коэффициент , равный отношению вибрационного ускорения к ускорению земного притяжения:

                                                  .                                                    (3)

Этот параметр называют коэффициентом вибрационной перегрузки. Численно он совпадает со значением ускорения, выраженного в .

Пиковое значение вибрации определяется как наибольшее отклонение колебательной величины в ту или другую сторону от нулевого уровня:

                                            .                                                (4)

Пиковое значение смещений  характеризует максимальное отклонение колеблющегося тела, что важно, например, при выборе величин зазоров между колеблющимися телами. Пиковое значение ускорений  используется для оценки наибольших инерционных сил.

Действующее, или эффективное значение вибрации

                                                                                  (5)

имеет определенный физический смысл в случаи виброскорости, так как энергия колебаний в общем случае пропорциональна квадрату скорости вибрации.

Среднее значение вибрации определяется как среднее арифметическое мгновенных значений (без учета знака; среднее значение с учетом знака за полный период равно нулю):

                                      .                                              (6)

Оно используется для оценки общей интенсивности вибрации.

Отношение действующего значения к среднему называется коэффициентом формы:

                                              ,                                                    (7)

а пикового к действующему – коэффициентом амплитуды или пик-фактором:

                                               .                                                  (8)

В случаи гармонической вибрации:

                                                                              (9)

Иногда употребляются относительные единицы измерения вибрации. Уровень интенсивности скорости вибрации в децибелах определяется как двадцатикратный десятичный логарифм отношения абсолютного значения виброскорости к некоторому начальному уровню :

                                          .                                         (10)

За начальный уровень интенсивности вибрации принимается действующее значение виброскорости . Измеряемый параметр шума – звуковое давление .

                                  

                                   2.  Математические модели вибрации

При решении вибрационных задач используются различные математические модели реальной вибрации.

В основу большинства моделей основных составляющих вибрации положено представление их в виде узкополосного процесса с медленно изменяющейся во времени амплитудой и фазой.

В основу моделирования широкополосной вибрации положено представление ее в виде линейного наложения основных составляющих и вибрационного шума. Далее рассмотрим несколько возможных моделей вибрации.

                                  2.1. Квазидетерминированная  вибрация

Такая вибрация представляет собой вырожденный случайный процесс, реализации котрого описываются функциями времени определенного вида, содержащими один или несколько случайных параметров, не зависящих от времени. Пусть реализации отдельных составляющих вибрации представляют собой гармоническое колебание со случайной начальной фазой. Тогда ансамбль реализаций каждой составляющей имеет вид:

,                                     (11)

где  и  фиксированы. Предположим, что фаза распределена равномерно на периоде :

                           .                                    (12)

Корреляционная функция вибрации (11) представляет собой гармоническое колебание той же частоты (рис. 2.1.1):

                        ,                                             (13)

а спектральная плотность представляется одной дискретной линией на частоте :

                     ,                                      (14)

где - дельта-функция Дирака.

Рис.2.1.1 Характеристики квазидетерминированной вибрации.

Широкополосная квазидетерминированная вибрация может содержать несколько гармонических составляющих (11), т.е. представляет собой полигармонический процесс:

                   ,                                  (15)

у которого один или несколько параметров случайны. Спектрально-временные характеристики такой вибрации показаны в нижней части на Рис.2.1.1 . На графике штриховой линией показана частотная характеристика фильтра, выделяющего составляющие, и вид составляющих на выходе фильтра.        Реализации составляющих квазидетерминированной вибрации могут отличаться также частотами или амплитудами. В последнем случае, например, одномерная плотность вероятности принимает вид:

                  ,                                        (16)

где – закон распределения амплитуд реализаций.

                  2.2. Квазигармоническая вибрация

Отдельные составляющие суммарной вибрации представляют собой узкополосную вибрацию и по форме напоминают модулированное гармоническое колебание, почему и названы квазигармоническими. Квазигармоническая вибрация возникает, например, при воздействии широкополосной случайной вибрации на колебательную систему с одной степенью свободы при слабом демпфировании. Если возбуждающая широкополосная вибрация стационарна и нормальна, то стационарной и нормальной будет и квазигармоническая вибрация динамической системы.                                                  

Спектральная плотность квазигармонической вибрации сконцентрирована вокруг собственной частоты :

                   ,                                (17)

а корреляционная функция представляет собой затухающее колебание частоты :

           .                      (18)

Здесь - спектральная плотность возбуждения системы;

          - коэффициент демпфирования динамической системы.

Одномерная плотность вероятности нормальной квазигармонической вибрации описывается законом Гаусса:

                    .                                 (19)

Огибающую  можно определить в виде:

                            .                                           (20)

Одномерная плотность вероятности огибающей описывается распределением Релея:

                         .                                     (21)

Среднее значение огибающей:

                            .                                        (22)

Среднеквадратичное значение:

                        .                                        (23)

Среднеквадратичное отклонение огибающей:

            .                        (24)

Коэффициент вибрации амплитуд:

                      .                                   (25)

Справедливо и обратное утверждение: если огибающая квазигармонической вибрации не подчиняется закону Релея, то такая вибрация не нормальна.

Спектрально-временные характеристики ее показаны на Рис.2.2.1 .

Рис.2.2.1 . Характеристики нормальной квазигармонической вибрации.

Сумма квазидетерминированной вибрации и вибрационного шума

Составляющие вибрации представляются в виде:

                            ,                                                    (26)

где  определяется по (11), а  - стационарный нормальный шум с нулевым средним значением и среднеквадратическим значением . Если гармоническая составляющая и шум статистически независимы и комбинируются аддитивно, то плотность вероятности суммарной вибрации (26) определяется выражением (рис. 6):

      (27)

.

Этот результат распространяется на случай, когда гармоническая составляющая имеет фиксированную фазу. На Рис. 2.2.2 показаны характеристики суммы гармонической вибрации и нормального шума.

Рис. 2.2.2. Характеристики суммы гармонической вибрации и нормального шума.

Вследствие статистической независимости корреляционная функция и спектральная плотность суммарной вибрации равны корреляционным функциям и спектральным плотностям слагаемых соответственно (рис. 2.2.2):

                 ;                                     (28)

                 .                                    (29)

Плотность вероятности огибающей описывается законом Райса:

 ,                    (30)

где  – функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента.

Если гармоническая составляющая отсутствует, то распределение Райса переходит в распределение Релея (22). Если энергия шума мала по сравнению с энергией гармонической составляющей, то распределение Райса приближается к распределению Гаусса с параметрами:

                        ; .                                        (31)

Широкополосная вибрация может содержать нескольких составляющих:

         .                             (32)

2.3. Амплитудно-модулированная вибрация

Отдельная составляющая вибрации имеет вид:

           .                              (33)

Если - стационарный случайный процесс с функцией корреляции , фаза  распределена и не зависит от , то корреляционная функция вибрации определяется выражением:

                .                                   (34)

Спектральная плотность определяется через корреляционную функцию и имеет вид дискретной линии на частоте  и симметричных боков полос (Рис. 2.3.1 ).

Широкополосная вибрация может включать несколько амплитудно-модулированных колебаний:

    .                         (35)

Рис. 2.3.1 . Характеристики амплитудно-модулированной вибрации.

Приведенные модели не исчерпывают всех возможностей, особенно при моделировании широкополосной вибрации. Иногда может встретиться необходимость использовать при составлении модели широкополосной вибрации несколько типов моделей узкополосной вибрации, ее образующей.

Виброграмма (Рис. 2.3.2 ) содержит несколько записей вибрации в различных точках исследуемой системы и записи вспомогательных параметров (числа оборотов двигателя, меток времени и др.), поэтому измерительная система должна быть многоканальной. Из условий работы вытекает требование дистанционности. Расстояние от датчиков до измерительной системы может исчисляться десятками и сотнями метров.

При определении требований к измерительному каналу его рассматривают как единую физическую систему, преобразующую входной сигнал (вибрацию)  в выходной (вибродиаграмму) .

Амплитудная характеристика канала должна быть линейной в пределах измеряемых значений амплитуд вибрации – от минимальной  до максимальной :

,                                               (36)

где  – чувствительность канала в измеряемом диапазоне частот.

Согласно типовым спектрам общий частотный диапазон виброизмерительной аппаратуры можно принять равным , поскольку интенсивность составляющих вибрации с частотами вне этого диапазона обычно мала.

Результат: в ходе работы были получены некоторые модели вибраций, которые описываются соответствующими закономи колебаний и характе-ризуется определенными параметрами этих законов.

Список литературы:

  1.  Журавлев В.Г. Применение динамического программирования для оптимизации внутристанционного режима ГЭС. – «Электрические станции», 1965, №12, с. 32-37
  2.  Алексеев С.П. Борьба с вибрациями и шумами в промышленности. М., Стройиздат, 1969.
  3.  Е. Г. Саймоленко. Гидроэнергетическое оборудование гидро- и  гидроаккумулирующих электростанций. Учебник. \ Запорожье: Издательство ЗГИА 2006. – 410 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67080. Конспект уроку з міжпредметними зв’язками (Я і Україна, рідна мова) «У царстві тварин» 170 KB
  Мета: ознайомити учнів з різноманітним світом тварин; формувати поняття комахи птахи звірі навчати їх розпізнавати за істотними зовнішніми ознаками; розвивати логічне мислення через завдання на порівняння доведення вилучення зайвого встановлення взаємозвязку між рослинами і тваринами між самими тваринами...
67081. Зима щедра святами. Інтегрований урок з курсу «Я і України» та позакласного читання 98 KB
  Сьогодні ми з вами більш детальніше зупинимося на дні Святого Миколая, Новому році та Різдві Христовому. У кожного з вас є картка із зображенням або ялинкових прикрас, або зірочок, або чобітків. Я пропоную вам пересісти за той стіл, де назва свята пов'язана, на вашу думку, із зображенням на картці.
67082. Я і Україна та математика. У царстві тварин 150.5 KB
  Продовжити знайомство учнів з різноманітним світом тварин; формувати поняття комахи птахи звірі навчати їх розпізнавати за істотними зовнішніми ознаками;продовжити формувати навички та вміння розпізнавати серед чотирикутників прямокутники розв'язування складених задач на знаходження невідомого доданку; знаходити значення буквених виразів...
67084. Різноманітність тваринного світу. Інтегрований урок (природознавство, математика, трудове навчання) 174.5 KB
  Учити розрізняти групи тварин: хребетні безхребетні; формувати вміння визначити істотні ознаки тварин. Закріплювати знання нумерації багатоцифрових чисел: читати записувати представляти число у вигляді суми розрядних доданків; удосконалювати обчислювальні навички вміння розвязувати задачі та знаходження площі і периметру...
67085. Інтегрований урок мови й мовлення. «Мелодія осіннього саду» 45 KB
  Мета: закріплювати знання учнів з теми Речення та члени речення; розширювати узагальнювати знання учнів з теми Осінь; розвивати вміння добирати виразні мовні засоби для передання того що вразило уяву усно вміння висловлювати свої почуття збагачувати словниковий запас...
67086. Курс «Я і Україна. Природознавство». Південний берег Криму. Математика. Додавання та віднімання багатоцифрових чисел 70.5 KB
  Мета: курс « Я і Україна. Природознавство »: ознайомити дітей із розташуванням, кліматом, рослинним і тваринним світом Південного берегу Криму, представити Крим як всеукраїнську здравницю; розвивати усне мовлення, увагу, уяву; виховувати дбайливе ставлення до багатства природи України; математика: повторити прийоми додавання та віднімання багатоцифрових чисел...
67087. Счастливый случай интеллектуальная игра 55.5 KB
  За одну минуту каждая команда должна дать наибольшее количество ответов. команда у капусты лист у мандарина долька у чеснока зубок морской разбойник пират 1 4 часа 15 минут дерево у Лукоморья дуб зубной врач стоматолог рыбная похлебка уха сказочная обувь кота сапоги усатая рыба сом край воды...