5662

Математические модели вибрации

Практическая работа

Математика и математический анализ

Математические модели вибрации. Цель: провести исследование нескольких возможных моделей вибрации. Постановка задачи: на основе теоретических знаний создать нескольких возможных моделей вибрации. 1. Параметры вибрации и единицы измерений Вибрация, к...

Русский

2012-12-16

181.54 KB

45 чел.

Математические модели вибрации.

Цель: провести исследование нескольких возможных моделей вибрации.

Постановка задачи: на основе теоретических знаний создать нескольких возможных моделей вибрации.

1. Параметры вибрации и единицы измерений

Вибрация, как протекающий во времени процесс, описывается соответствующим законом колебаний и характеризуется определенными параметрами этого закона. Гармоническая вибрация описывается тремя независимыми параметрами: амплитудой, частотой и начальной фазой. Частота вибрации измеряется в Гц, а связанные с нею период колебаний и круговая частота измеряются в с и рад/с соответственно. Фаза измеряется в радианах или угловых градусах (1рад= 57,295°).

Единицы измерений амплитуды вибрации зависят от измеряемой колебательной величины. Вибрационные смещения измеряются – в м, скорости – в  м/с, ускорения – в  м/с2. Широко распространена практическая система единиц: смещения измеряются в миллиметрах, скорости – в мм/с, ускорения – в единицах нормализованного ускорения силы тяжести

                                         lg = 9,807м/с2.                                                 (1)       

Связь амплитуд ускорений в практической и международной системах выражается формулой:

                                     .                                                       (2)

Иногда употребляется безразмерный коэффициент , равный отношению вибрационного ускорения к ускорению земного притяжения:

                                                  .                                                    (3)

Этот параметр называют коэффициентом вибрационной перегрузки. Численно он совпадает со значением ускорения, выраженного в .

Пиковое значение вибрации определяется как наибольшее отклонение колебательной величины в ту или другую сторону от нулевого уровня:

                                            .                                                (4)

Пиковое значение смещений  характеризует максимальное отклонение колеблющегося тела, что важно, например, при выборе величин зазоров между колеблющимися телами. Пиковое значение ускорений  используется для оценки наибольших инерционных сил.

Действующее, или эффективное значение вибрации

                                                                                  (5)

имеет определенный физический смысл в случаи виброскорости, так как энергия колебаний в общем случае пропорциональна квадрату скорости вибрации.

Среднее значение вибрации определяется как среднее арифметическое мгновенных значений (без учета знака; среднее значение с учетом знака за полный период равно нулю):

                                      .                                              (6)

Оно используется для оценки общей интенсивности вибрации.

Отношение действующего значения к среднему называется коэффициентом формы:

                                              ,                                                    (7)

а пикового к действующему – коэффициентом амплитуды или пик-фактором:

                                               .                                                  (8)

В случаи гармонической вибрации:

                                                                              (9)

Иногда употребляются относительные единицы измерения вибрации. Уровень интенсивности скорости вибрации в децибелах определяется как двадцатикратный десятичный логарифм отношения абсолютного значения виброскорости к некоторому начальному уровню :

                                          .                                         (10)

За начальный уровень интенсивности вибрации принимается действующее значение виброскорости . Измеряемый параметр шума – звуковое давление .

                                  

                                   2.  Математические модели вибрации

При решении вибрационных задач используются различные математические модели реальной вибрации.

В основу большинства моделей основных составляющих вибрации положено представление их в виде узкополосного процесса с медленно изменяющейся во времени амплитудой и фазой.

В основу моделирования широкополосной вибрации положено представление ее в виде линейного наложения основных составляющих и вибрационного шума. Далее рассмотрим несколько возможных моделей вибрации.

                                  2.1. Квазидетерминированная  вибрация

Такая вибрация представляет собой вырожденный случайный процесс, реализации котрого описываются функциями времени определенного вида, содержащими один или несколько случайных параметров, не зависящих от времени. Пусть реализации отдельных составляющих вибрации представляют собой гармоническое колебание со случайной начальной фазой. Тогда ансамбль реализаций каждой составляющей имеет вид:

,                                     (11)

где  и  фиксированы. Предположим, что фаза распределена равномерно на периоде :

                           .                                    (12)

Корреляционная функция вибрации (11) представляет собой гармоническое колебание той же частоты (рис. 2.1.1):

                        ,                                             (13)

а спектральная плотность представляется одной дискретной линией на частоте :

                     ,                                      (14)

где - дельта-функция Дирака.

Рис.2.1.1 Характеристики квазидетерминированной вибрации.

Широкополосная квазидетерминированная вибрация может содержать несколько гармонических составляющих (11), т.е. представляет собой полигармонический процесс:

                   ,                                  (15)

у которого один или несколько параметров случайны. Спектрально-временные характеристики такой вибрации показаны в нижней части на Рис.2.1.1 . На графике штриховой линией показана частотная характеристика фильтра, выделяющего составляющие, и вид составляющих на выходе фильтра.        Реализации составляющих квазидетерминированной вибрации могут отличаться также частотами или амплитудами. В последнем случае, например, одномерная плотность вероятности принимает вид:

                  ,                                        (16)

где – закон распределения амплитуд реализаций.

                  2.2. Квазигармоническая вибрация

Отдельные составляющие суммарной вибрации представляют собой узкополосную вибрацию и по форме напоминают модулированное гармоническое колебание, почему и названы квазигармоническими. Квазигармоническая вибрация возникает, например, при воздействии широкополосной случайной вибрации на колебательную систему с одной степенью свободы при слабом демпфировании. Если возбуждающая широкополосная вибрация стационарна и нормальна, то стационарной и нормальной будет и квазигармоническая вибрация динамической системы.                                                  

Спектральная плотность квазигармонической вибрации сконцентрирована вокруг собственной частоты :

                   ,                                (17)

а корреляционная функция представляет собой затухающее колебание частоты :

           .                      (18)

Здесь - спектральная плотность возбуждения системы;

          - коэффициент демпфирования динамической системы.

Одномерная плотность вероятности нормальной квазигармонической вибрации описывается законом Гаусса:

                    .                                 (19)

Огибающую  можно определить в виде:

                            .                                           (20)

Одномерная плотность вероятности огибающей описывается распределением Релея:

                         .                                     (21)

Среднее значение огибающей:

                            .                                        (22)

Среднеквадратичное значение:

                        .                                        (23)

Среднеквадратичное отклонение огибающей:

            .                        (24)

Коэффициент вибрации амплитуд:

                      .                                   (25)

Справедливо и обратное утверждение: если огибающая квазигармонической вибрации не подчиняется закону Релея, то такая вибрация не нормальна.

Спектрально-временные характеристики ее показаны на Рис.2.2.1 .

Рис.2.2.1 . Характеристики нормальной квазигармонической вибрации.

Сумма квазидетерминированной вибрации и вибрационного шума

Составляющие вибрации представляются в виде:

                            ,                                                    (26)

где  определяется по (11), а  - стационарный нормальный шум с нулевым средним значением и среднеквадратическим значением . Если гармоническая составляющая и шум статистически независимы и комбинируются аддитивно, то плотность вероятности суммарной вибрации (26) определяется выражением (рис. 6):

      (27)

.

Этот результат распространяется на случай, когда гармоническая составляющая имеет фиксированную фазу. На Рис. 2.2.2 показаны характеристики суммы гармонической вибрации и нормального шума.

Рис. 2.2.2. Характеристики суммы гармонической вибрации и нормального шума.

Вследствие статистической независимости корреляционная функция и спектральная плотность суммарной вибрации равны корреляционным функциям и спектральным плотностям слагаемых соответственно (рис. 2.2.2):

                 ;                                     (28)

                 .                                    (29)

Плотность вероятности огибающей описывается законом Райса:

 ,                    (30)

где  – функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента.

Если гармоническая составляющая отсутствует, то распределение Райса переходит в распределение Релея (22). Если энергия шума мала по сравнению с энергией гармонической составляющей, то распределение Райса приближается к распределению Гаусса с параметрами:

                        ; .                                        (31)

Широкополосная вибрация может содержать нескольких составляющих:

         .                             (32)

2.3. Амплитудно-модулированная вибрация

Отдельная составляющая вибрации имеет вид:

           .                              (33)

Если - стационарный случайный процесс с функцией корреляции , фаза  распределена и не зависит от , то корреляционная функция вибрации определяется выражением:

                .                                   (34)

Спектральная плотность определяется через корреляционную функцию и имеет вид дискретной линии на частоте  и симметричных боков полос (Рис. 2.3.1 ).

Широкополосная вибрация может включать несколько амплитудно-модулированных колебаний:

    .                         (35)

Рис. 2.3.1 . Характеристики амплитудно-модулированной вибрации.

Приведенные модели не исчерпывают всех возможностей, особенно при моделировании широкополосной вибрации. Иногда может встретиться необходимость использовать при составлении модели широкополосной вибрации несколько типов моделей узкополосной вибрации, ее образующей.

Виброграмма (Рис. 2.3.2 ) содержит несколько записей вибрации в различных точках исследуемой системы и записи вспомогательных параметров (числа оборотов двигателя, меток времени и др.), поэтому измерительная система должна быть многоканальной. Из условий работы вытекает требование дистанционности. Расстояние от датчиков до измерительной системы может исчисляться десятками и сотнями метров.

При определении требований к измерительному каналу его рассматривают как единую физическую систему, преобразующую входной сигнал (вибрацию)  в выходной (вибродиаграмму) .

Амплитудная характеристика канала должна быть линейной в пределах измеряемых значений амплитуд вибрации – от минимальной  до максимальной :

,                                               (36)

где  – чувствительность канала в измеряемом диапазоне частот.

Согласно типовым спектрам общий частотный диапазон виброизмерительной аппаратуры можно принять равным , поскольку интенсивность составляющих вибрации с частотами вне этого диапазона обычно мала.

Результат: в ходе работы были получены некоторые модели вибраций, которые описываются соответствующими закономи колебаний и характе-ризуется определенными параметрами этих законов.

Список литературы:

  1.  Журавлев В.Г. Применение динамического программирования для оптимизации внутристанционного режима ГЭС. – «Электрические станции», 1965, №12, с. 32-37
  2.  Алексеев С.П. Борьба с вибрациями и шумами в промышленности. М., Стройиздат, 1969.
  3.  Е. Г. Саймоленко. Гидроэнергетическое оборудование гидро- и  гидроаккумулирующих электростанций. Учебник. \ Запорожье: Издательство ЗГИА 2006. – 410 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74099. Скиф-сақ әлеміндегі қоғамдық ұйымдар 24.17 KB
  I мыңжылдықтың басы сақ қоғамындағы алғашқы рулық қатынастар ыдырап жаңа әлеуметтік құрылымның қалыптасу үрдісінің жедел жүруімен сипатгалады. Сол кездің өзіндеақ алғашқы ірі қоғамдық еңбек бөлінісінен мыс пен қола металлургиясының тууы мен дамуынан кейін алғашында үлкен патриархаттық ал одан кейін шағын және моногамиялы отбасылар окшаулана бастады. Археологиялық деректер жеке адамдық ал кейін барып отбасылық меншіктің шыққанын айқын көрсетеді. II мыңжылдыктың аяғында және I мыңжылдыктың басында қыш ыдыстар мен кейбір қола заттарға...
74100. Қаңлы мемлекеті 22.17 KB
  II ғасырдың екінші жартысында ЧжанЦянь Қаңлы жерлерінің оңтүстігінде юечжиге ал солтүстігінде ғұндарға тәуелді екенін айтса біздің заманымыздағы I ғасырда мұндағы жағдай өзгереді. Егер Чжан Цянь юечжи әскерін 100200 мың ал қаңлы әскерін 90 мың деп хабарлаған болса ЦаньХаньШу енді қаңлы әскерін 120 мың юечжи әскерін 100 мың дейді14. Бұл кезенде Орта Азиядағы қос өзен аралығында юечжилердің негізгі бөлігінің оңтүстікке сол жағалаудағы Бактрияға ығысуы жерге отырықшылық орын алып жекежеке бес иелікке бөлінгенін мұның өзі қаңлымен...
74101. Қазан Хандығы 21.84 KB
  Қазанға орнығып бұл хандықтың дербес болуына негіз салды. Қазан Хандығы тұрғындарының негізгі кәсібі егіншілік болды; оған қосымша мал шаруашылығы баубақша жабайы араның балын жинау аңшылық балықшылық кәсіптерімен айналысты. Қазан Хандығында жоғары өкімет билігі ханның қолында болды бірақ оған ірі ақсүйектер кеңесі диуан бағыт сілтеп бақылау жүргізіп отырды.
74102. Қазақстан жеріндегі әскери қозғалыстар мен соғысқа кіруі 21.52 KB
  Қазақстан азамат соғысы жылдарында 19181920 жж. Ленин қол қойған халық комитетінің декреті бойынша қырғыз қазақ революциялық комитеті қүрылды. Оның қарамағына Қазақ Совет автономиясы жарияланып өлке Советтерінщ құрылтай съезі шақырылғанға дейін қазақ тұрғындары мекендеген Орал ТорғайАқмола Семей облысы мен Астрахань губерниясы жерівдегі барлық жоғарғы әскериазаматтық басқармалар берілді.
74103. Көтерілістің шығу себептері 21.34 KB
  Қатардағы қарапайым қазақтар жерді солардан жалға алып пайдаланды. Қазақ ақсүйектері орыс помещиктерінен жалға алған жерлерді өздерінің жеке қалауы бойынша қазақ ауылдарынакөтеріңкі қымбат бағаға тағы да қайыра жалға беріп отырды. Сөйтіп қазақтардан әр түрлі айыппұлдар мен алымсалықты еселеп алып тұрды 1836 жылы халық көтерілісі басталды.
74104. соты және олардың қазақ қоғамы өміріндегі атқарған рөлі 21.14 KB
  XIX ғасырдың 20жылдарынан бастап патша үБилер билер соты және олардың қазақ қоғамы өміріндегі атқарған рөлі[өңдеу] Ресей Қазақстан аумағына азаматтық және әскери сот жүйесін енгізгенге дейін мұнда дәстүрлі билер соты болатын. Қазақ қоғамында билер ешқашан сайланып та тағайындалып та қойылмаған. Ондай билердің атақдаңқы жөніндегі хабар дала тұрғындары арасына тез таралатын.
74105. Түрік қағандығы 20.71 KB
  Түрік немесе қажыр қайраттылар деген атпен белгілі болды. Түрік қағанаты Түрік Қағандығының қоғамдық өмірінде әскери іс маңызды орын алды. Түріктер мал шмен аңшылықпен айналысты.
74107. Қыпшақ хандығы 19.99 KB
  Қыпшақтар туралы алғашқы хабар Қытайдың жазба деректерінде кездеседі. Қыпшақтар ең әуелі Алтай Саян тауларының баурайларын мекендеген. VIIX ғасырларда Қазақстан аумағында қыпшақ этникалық қауымдастығының ұзаққа созылған қалыптасу процесі жүрді.