5734

Расчет статически неопределимых рам методом перемещений

Реферат

Производство и промышленные технологии

Расчет статически неопределимых рам методом перемещений Сущность метода перемещений В методе сил за лишние неизвестные принимались усилия в лишних связях (силы и моменты). Определив значения «лишних» неизвестных, можно найти внутренние усилия M...

Русский

2012-12-18

628.5 KB

237 чел.

Расчет статически неопределимых рам методом перемещений

1. Сущность метода перемещений

В методе сил за лишние неизвестные принимались усилия в «лишних» связях (силы и моменты). Определив значения «лишних» неизвестных, можно найти внутренние усилия M, Q и N в любых сечениях, а также перемещения (линейные и угловые) любой точки конструкции. В стержневой системе с учетом принятых ранее допущений и гипотез, заданной нагрузке однозначно отвечают перемещения – вспомним гипотезу о линейной связи нагрузки и перемещений.

Сформулируем следующую проблему: можно ли найти внутренние усилия по соответствующим им перемещениям и, разумеется, известной внешней нагрузке? Эта проблема обратна уже имеющемуся решению – по заданной внешней нагрузке и найденным внутренним усилиям найти перемещение искомого сечения.

Рассмотрим статически неопределимую раму (рис. 1) под действием внешней нагрузки и попытаемся установить, какие перемещения следует знать, чтобы однозначно по ним найти внутренние усилия.

Очевидно, что внешняя нагрузка вызовет изгиб и сжатие-растяжение стержней, а также повороты жестких узлов и их линейные перемещения. Если пренебречь изменением длины стержней в результате изгиба и растяжения-сжатия, то линейные смещения концов стержня будут одинаковы. Угловые перемещения концов стержней, входящих в одни жесткий узел (жестко соединенных друг с другом) также будут одинаковы. Следовательно, в незагруженных внешней нагрузкой стержнях внутренние усилия возникают в результате угловых и линейных перемещений их концов. В загруженных внешней нагрузкой стержнях к внутренним усилиям от смещения концов стержней добавляются усилия от заданной нагрузки. Когда рассматриваем расчет стержней на заданную нагрузку, то перемещения концов стержней в этом случае отсутствуют – стержни являются кинематически определимыми. Сказанное позволяет разбить задачу о расчете статически неопределимой (да и статически определимой) стержневой системы на два этапа:

1. Расчет на заданную нагрузку в предположении, что концы стержней не смещаются, т.е. расчет кинематически определимой рамы.

2. Расчет на действие, нам неизвестных, угловых и линейных перемещений  концов стержней при отсутствии внешней нагрузки. Следовательно, угловые и линейные перемещения концов стержней следует принять за неизвестные.

С точки зрения неизвестных перемещений приведенная на рис. 1 рама будет трижды неопределима, или, как принято говорить – трижды кинематически неопределима, так как требуется найти угловые перемещения узлов 1 и 2, а также их линейное смещение, которое одинаково у них, так как они связаны стержнем, изменением длины которого пренебрегаем.

Итак, степень кинематической неопределимости находим по формуле:

H = ny + nл, где

ny  – число жестких узлов в стержневой системе;

nл – число возможных независимых линейных смещений концов стержней.

2. Основная система метода перемещений. Канонические уравнения.

Чтобы найти решение рамы как сумму решений двух задач – кинематически определимой от внешней нагрузки и от действительных перемещений узлов, следует сформировать основную систему по некоторым универсальным правилам, а именно:

– в жесткие узлы вводятся защемления, препятствующие только их повороту;

– от линейных смещений концы стержня закрепляются одностержневыми шарнирными опорами (одна наложенная связь препятствует только одному перемещению).

Наложенные на раму связи, обеспечивающие ее кинематическую определимость, называются фиктивными связями.

На рис. 2 показана основная система метода перемещений для рамы, приведенной на рис. 1.

Из анализа основной системы, сформированной по определенным правилам, следует, что она представляет собой набор отдельных стержней, концы которых жестко защемлены или шарнирно оперты. Мы можем, в самом общем виде, рассчитать их на возможные случаи внешнего нагружения, используя, где надо, метод сил. Получим библиотеку решений, которую можем при необходимости расширить. Очевидно, что в таком случае расчет кинематически определимой рамы на внешнюю нагрузку будет формален, так как заключается в наборе эпюр внутренних усилий для каждого отдельного стержня по заранее известным решениям.

Второй этап решения связан с действительными перемещениями концов стержней, а они-то нам и неизвестны! Следовательно, надо найти действительные перемещения концов стержней.

Вернемся к анализу основной системы метода перемещений. Основная система отличается от заданной и нам следует сформулировать условия, при которых они будут эквивалентны. Такими условиями однозначно является отсутствие введенных «фиктивных» связей. Формулировка таких условий достигается условием равенства нулю реакций во всех введенных связях от заданной внешней нагрузки и действительных, пока неизвестных, перемещений концов стержней. Для основной системы, показанной на рис. 2, запишем:

.

Реакция в первой связи (реактивный момент) будет состоять:

– реакция в первой связи от действительного поворота первой фиктивной связи (узла);

– реакция в первой связи от действительного смещения второй фиктивной связи (узла);

– реакция в первой связи от действительного смещения третьей фиктивной связи (узлов 1 и 2);

– реакция в первой фиктивной связи от действия заданной нагрузки.

Тогда

.

По аналогии с методом сил, результат действия неизвестных перемещений представим как:

, где

rij – реакция в i-й связи от единичного смещения j-й связи;

Zj – действительное (искомое) смещение j-й связи.

Тогда можем записать следующую систему канонических уравнений метода перемещений:

.

Из решения полученной системы канонических уравнений найдем искомые действительные перемещения Zj.

3. Определение реакций балок от перемещений связей и нагрузки

Рассмотрим ряд примеров расчета стержней на действие ряда внешних факторов – нагрузки и единичных перемещений для формирования библиотеки готовых решений. Для нас представляют интерес два типа стержней – жестко защемленные и с одной шарнирной опорой, а другой жесткой.

Рассмотрим жестко защемленный стержень (рис. 3). Покажем возможные внешние воздействия на него (силовые и осадка опор). Степень статической неопределимости будет: W = 6 – 31 – 20 = 3.

Стержень симметричен, поэтому основную систему метода сил примем симметричной.

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных неизвестных (рис. 3), при этом обратим внимание на то, что х1 кососимметрично, а х2, х3 – симметричны.

Найдем коэффициенты канонических уравнений (без свободных членов), ибо они одинаковы для всех случаев внешнего воздействия:

;

– эпюра  кососимметрична, а  симметрична;

– так как эпюра  нулевая;

.

Система канонических уравнений метода сил примет следующий вид:

.

Рассмотрим последовательно отдельные случаи внешнего воздействия.

1. Жестко защемленная балка под действием распределенной нагрузки (рис. 4).

Найдем свободные члены канонических уравнений:

;

.

Запишем канонические уравнения в явном виде:

,

откуда:

;

.

Откорректированная эпюра М2 и окончательная эпюра Мок показаны на рис. 4.

2. Жестко защемленная балка под действием сосредоточенной силы, приложенной в середине пролета (рис. 5).

Разложим внешнюю сосредоточенную силу на две равных, чтобы учесть симметрию основной системы.

Найдем свободные члены канонических уравнений:

,.

Каноническое уравнение в явном виде:

, откуда

.

Откорректированная эпюра М2 и окончательная эпюра Мок показаны на рис. 5.

3. Жестко защемленная балка при повороте левой опоры на угол  (рис. 6).

Найдем свободные члены:

,

.

Система канонических уравнений в явном виде:

.

Решение:

, .

Откорректируем эпюры изгибающих моментов от единичных неизвестных и сложим:

Окончательная эпюра показана на рис. 6.

4. Жестко защемленная балка при линейном смещении правой опоры на .

Найдем свободные члены:

; .

Каноническое уравнение:

,

откуда .

Откорректируем эпюру  (обратим внимание на знак найденного неизвестного усилия х1). Окончательная эпюра показана на рис.

Дополните самостоятельно библиотеку готовых решений для данного типа стержня.

Рассмотрим балку с жестко защемленным левым концом и шарнирно опертым правым под действием различных силовых факторов (рис. 8).

Выберем основную систему метода сил (балка один раз статически неопределима) и построим эпюру от единичного неизвестного (рис. 8).

Каноническое уравнение:

.

Найдем значение коэффициента :

.

Рассмотрим ряд частных случай нагружения.

1. Балка загружена равномерно распределенной нагрузкой (рис. 9).

Эпюра изгибающих моментов от распределенной нагрузки показана на рис. 9.

Найдем свободный член :

.

Каноническое уравнение в явном виде:

,

откуда

.

Откорректированная эпюра М1 и окончательная эпюра Мок показаны на рис. 9.

2. Балка загружена сосредоточенной силой, приложенной в середине пролета (рис. 10) .

Эпюра МР показана на этом же рисунке.

Найдем свободный член :

.

Каноническое уравнение:

, откуда

.

Откорректированная эпюра М1 и окончательная эпюра Мок показаны на рис. 10.

3. Балка при единичном повороте защемления  (рис. 11).

Свободный член

(перемещение противоположно принятому направлению неизвестного усилия х1).

Каноническое уравнение

, откуда

.

Откорректированная эпюра М1 и окончательная эпюра Мок показаны на рис. 11.

4. Балка при единичном вертикальном смещении левой опоры – защемления: (рис. 12).

Свободный член

(перемещение противоположно принятому направлению неизвестного усилия х1).

Каноническое уравнение

, откуда

.

Откорректированная эпюра М1 и окончательная эпюра Мок показаны на рис. 12.

Другие случаи нагружения рассмотрите самостоятельно.

4. Порядок расчета рам методом перемещений

1. Определяется степень кинематической неопределимости рамы по формуле:

H = ny + nл, где

ny  – число жестких узлов в стержневой системе;

nл – число возможных независимых линейных смещений концов стержней.

Для рамы, показанной на рис. 13 степень кинематической неопределимости будет:

, , .

2. Формируем основную систему метода перемещений путем введения фиктивных связей, препятствующих повороту жестких узлов и линейным смещениям концов стержней (рис. 14).

3. Запишем в общем виде систему канонических уравнений метода перемещений:

.

В нашем случае (для рассматриваемой рамы):

.

4. В основной системе метода перемещений построим эпюры изгибающих моментов от поочередного единичного смещения фиктивных связей () и заданной нагрузки ().

Построение эпюр  и  в большей степени формально, так как заключается в переносе на основную систему полученных ранее решений. Для рассматриваемой рамы на рис. 6.15 показаны соответствующие эпюры.

5. Определим коэффициенты канонических уравнений  и .

Коэффициент  представляет собой реакцию –й фиктивной связи от единичного смещения –й фиктивной связи.

Свободный член  является реакцией в –й фиктивной связи от заданной нагрузки.

Для определения реактивного момента в –м фиктивном защемлении необходимо в соответствующей эпюре  или вырезать –й узел с фиктивной связью и из условия равновесия  находим искомую реакцию  или .

Если найденная опорная реакция совпадает с направлением единичного перемещения связи – по часовой стрелке для защемления и слева направо для шарнирной опоры, то она считается


положительной.

Для рассматриваемой рамы определение опорных реакций показано на рис. 16.

Для определения реакций в фиктивных одностержневых  опорах необходимо рассмотреть равновесие всей рамы или ее части при том или ином воздействии, предварительно определив, из соответствующих эпюр изгибающих моментов  или, опорные реакции в действительных опорах или поперечные силы в сечениях.

Примеры определения коэффициентов ,  и  и доказательства выполнения закона парности коэффициентов  


показаны на рис. 1

6. Из решения канонических уравнений находим действительные смещения .

Окончательная эпюра изгибающих моментов строится путем сложения откорректированных эпюр  с эпюрой :

.

8. Правильность эпюры  устанавливается при помощи деформационной проверки:

, где

– эпюра изгибающих моментов в основной системе метода сил от единичного –го неизвестного.

9. По эпюре  и заданной нагрузке строится эпюра поперечных сил с использованием уже известной формулы:

.

10. По эпюре Q из условий равновесия узлов найдем нормальные силы и построим эпюру N.

11. Правильность эпюр Q и N установим проверкой статического равновесия всей рамы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41568. Вторичный рынок ценных бумаг 1.09 MB
  Если первичный рынок связан с появлением ценных бумаг на рынке их выпуском и размещением то вторичный рынок создает необходимые условия для их обращения. Рынок ценных бумаг лекция рассматривает сущность обращения ценных бумаг...
41569. Рынок ценных бумаг: сущность и функции 146.65 KB
  Рынок ценных бумаг: сущность и функции. Понятие рынка ценных бумаг и его место в структуре финансового рынка. Функции рынка ценных бумаг. Структура рынка ценных бумаг.
41570. Ценные бумаги: общая характеристика 817.27 KB
  Ценные бумаги: общая характеристика. Понятие ценной бумаги. Понятие инвестиционного качества ценной бумаги. Понятие ценной бумаги.
41571. ЭМИССИЯ ЦЕННЫХ БУМАГ 296.54 KB
  Эмиссионные пенные бумаги. Особенности эмиссии ценных бумаг банков. Эмиссию ценных бумаг следует рассматривать в качестве одного из источников финансовых ресурсов привлекаемых для решения определенных целей. Эмиссия ценных бумаг наряду с Другими источниками финансовых ресурсов может быть привлекательна Для корпораций так как в этом случае можно: варьировать сроки привлечения необходимых денежных средств без ограничения срока при эмиссии акций и выбирать...
41572. ВИДЫ ЦЕННЫХ БУМАГ. АКЦИИ 258.74 KB
  К выпуску акций эмитент прибегает в силу того что: это установленный законом способ формирования уставного капитала; акционерное общество не обязано возвращать инвесторам их капитал вложенный в покупку акций. Покупка ими акций рассматривается как долгосрочное финансирование затрат эмитента держателями акций. Хотя законом предусматриваются случаи когда акционерывладельцы голосующих акций вправе требовать выкупа всех или части принадлежащих им акций если затрагиваются их имущественные права. Получив денежные средства за счет размещения...
41573. Порядок выплаты дохода по облигациям, оценка доходности облигаций 113.43 KB
  Еще одним важным объектом торговли на рынке ценных бумаг являются облигации. Действующее российское законодательство определяет облигацию как “эмиссионную ценную бумагу закрепляющую право ее держателя на получение от эмитента облигации в предусмотренный ею срок ее номинальной стоимости и зафиксированного в ней процента от этой стоимости или иного имущественного эквивалентаâ€. Таким образом облигация это долговое свидетельство которое непременно включает два главных элемента: обязательство эмитента вернуть держателю облигации по...
41574. Понятие векселя. Классификация векселей. Порядок обращения и погашения. Протест векселя 298.97 KB
  Производные ценные бумаги; понятие и общая характеристика Вексель как инструмент кредитнорасчетных отношений является результатом многовекового развития товарноденежного хозяйства. Известно что элементы вексельного обращения появились еще в эпоху средневекового феодализма XII XIV вв. Появление нового расчетного инструмента в средние века многие специалисты истории вексельного права связывают с потребностью средневековых торговцев стремящихся сохранить свой капитал во время переездов и переселений от разбоя на дорогах в заменителе...
41575. Другие основные ценные бумаги 84.25 KB
  Обязательные реквизиты: наименование “депозитный или сберегательный сертификатâ€; указание на причину выдачи сертификата внесение депозита илисберегательного вклада; дата внесения депозита или сберегательного вклада; размер депозита или сберегательного вклада оформленного сертификатом прописью и цифрами; безусловное обязательство банка вернуть сумму внесенную в депозит или на вклад; дата востребования вкладчиком суммы по сертификату; ставка процента за пользование депозитом или вкладом; сумма причитающихся процентов;...
41576. Свопы и соглашения о форвардной ставке 119 KB
  С другой стороны компания выпустившая обязательство под плавающий процент и ожидающая в будущем роста процентных ставок сможет избежать увеличения своих выплат по обслуживанию долга за счет обмена плавающего процента на фиксированный. Например компания А с рейтингом ААА может заимствовать на рынке средства под плавающую ставку LIBOR 05' а компания В с рейтингом ВВВ под ставку LIBOR 075. На рынке облигаций компания А может заимствовать на десять лет средства под 13 а компания В под 145. 2 компания А обладает...