5734

Расчет статически неопределимых рам методом перемещений

Реферат

Производство и промышленные технологии

Расчет статически неопределимых рам методом перемещений Сущность метода перемещений В методе сил за лишние неизвестные принимались усилия в лишних связях (силы и моменты). Определив значения «лишних» неизвестных, можно найти внутренние усилия M...

Русский

2012-12-18

628.5 KB

235 чел.

Расчет статически неопределимых рам методом перемещений

1. Сущность метода перемещений

В методе сил за лишние неизвестные принимались усилия в «лишних» связях (силы и моменты). Определив значения «лишних» неизвестных, можно найти внутренние усилия M, Q и N в любых сечениях, а также перемещения (линейные и угловые) любой точки конструкции. В стержневой системе с учетом принятых ранее допущений и гипотез, заданной нагрузке однозначно отвечают перемещения – вспомним гипотезу о линейной связи нагрузки и перемещений.

Сформулируем следующую проблему: можно ли найти внутренние усилия по соответствующим им перемещениям и, разумеется, известной внешней нагрузке? Эта проблема обратна уже имеющемуся решению – по заданной внешней нагрузке и найденным внутренним усилиям найти перемещение искомого сечения.

Рассмотрим статически неопределимую раму (рис. 1) под действием внешней нагрузки и попытаемся установить, какие перемещения следует знать, чтобы однозначно по ним найти внутренние усилия.

Очевидно, что внешняя нагрузка вызовет изгиб и сжатие-растяжение стержней, а также повороты жестких узлов и их линейные перемещения. Если пренебречь изменением длины стержней в результате изгиба и растяжения-сжатия, то линейные смещения концов стержня будут одинаковы. Угловые перемещения концов стержней, входящих в одни жесткий узел (жестко соединенных друг с другом) также будут одинаковы. Следовательно, в незагруженных внешней нагрузкой стержнях внутренние усилия возникают в результате угловых и линейных перемещений их концов. В загруженных внешней нагрузкой стержнях к внутренним усилиям от смещения концов стержней добавляются усилия от заданной нагрузки. Когда рассматриваем расчет стержней на заданную нагрузку, то перемещения концов стержней в этом случае отсутствуют – стержни являются кинематически определимыми. Сказанное позволяет разбить задачу о расчете статически неопределимой (да и статически определимой) стержневой системы на два этапа:

1. Расчет на заданную нагрузку в предположении, что концы стержней не смещаются, т.е. расчет кинематически определимой рамы.

2. Расчет на действие, нам неизвестных, угловых и линейных перемещений  концов стержней при отсутствии внешней нагрузки. Следовательно, угловые и линейные перемещения концов стержней следует принять за неизвестные.

С точки зрения неизвестных перемещений приведенная на рис. 1 рама будет трижды неопределима, или, как принято говорить – трижды кинематически неопределима, так как требуется найти угловые перемещения узлов 1 и 2, а также их линейное смещение, которое одинаково у них, так как они связаны стержнем, изменением длины которого пренебрегаем.

Итак, степень кинематической неопределимости находим по формуле:

H = ny + nл, где

ny  – число жестких узлов в стержневой системе;

nл – число возможных независимых линейных смещений концов стержней.

2. Основная система метода перемещений. Канонические уравнения.

Чтобы найти решение рамы как сумму решений двух задач – кинематически определимой от внешней нагрузки и от действительных перемещений узлов, следует сформировать основную систему по некоторым универсальным правилам, а именно:

– в жесткие узлы вводятся защемления, препятствующие только их повороту;

– от линейных смещений концы стержня закрепляются одностержневыми шарнирными опорами (одна наложенная связь препятствует только одному перемещению).

Наложенные на раму связи, обеспечивающие ее кинематическую определимость, называются фиктивными связями.

На рис. 2 показана основная система метода перемещений для рамы, приведенной на рис. 1.

Из анализа основной системы, сформированной по определенным правилам, следует, что она представляет собой набор отдельных стержней, концы которых жестко защемлены или шарнирно оперты. Мы можем, в самом общем виде, рассчитать их на возможные случаи внешнего нагружения, используя, где надо, метод сил. Получим библиотеку решений, которую можем при необходимости расширить. Очевидно, что в таком случае расчет кинематически определимой рамы на внешнюю нагрузку будет формален, так как заключается в наборе эпюр внутренних усилий для каждого отдельного стержня по заранее известным решениям.

Второй этап решения связан с действительными перемещениями концов стержней, а они-то нам и неизвестны! Следовательно, надо найти действительные перемещения концов стержней.

Вернемся к анализу основной системы метода перемещений. Основная система отличается от заданной и нам следует сформулировать условия, при которых они будут эквивалентны. Такими условиями однозначно является отсутствие введенных «фиктивных» связей. Формулировка таких условий достигается условием равенства нулю реакций во всех введенных связях от заданной внешней нагрузки и действительных, пока неизвестных, перемещений концов стержней. Для основной системы, показанной на рис. 2, запишем:

.

Реакция в первой связи (реактивный момент) будет состоять:

– реакция в первой связи от действительного поворота первой фиктивной связи (узла);

– реакция в первой связи от действительного смещения второй фиктивной связи (узла);

– реакция в первой связи от действительного смещения третьей фиктивной связи (узлов 1 и 2);

– реакция в первой фиктивной связи от действия заданной нагрузки.

Тогда

.

По аналогии с методом сил, результат действия неизвестных перемещений представим как:

, где

rij – реакция в i-й связи от единичного смещения j-й связи;

Zj – действительное (искомое) смещение j-й связи.

Тогда можем записать следующую систему канонических уравнений метода перемещений:

.

Из решения полученной системы канонических уравнений найдем искомые действительные перемещения Zj.

3. Определение реакций балок от перемещений связей и нагрузки

Рассмотрим ряд примеров расчета стержней на действие ряда внешних факторов – нагрузки и единичных перемещений для формирования библиотеки готовых решений. Для нас представляют интерес два типа стержней – жестко защемленные и с одной шарнирной опорой, а другой жесткой.

Рассмотрим жестко защемленный стержень (рис. 3). Покажем возможные внешние воздействия на него (силовые и осадка опор). Степень статической неопределимости будет: W = 6 – 31 – 20 = 3.

Стержень симметричен, поэтому основную систему метода сил примем симметричной.

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных неизвестных (рис. 3), при этом обратим внимание на то, что х1 кососимметрично, а х2, х3 – симметричны.

Найдем коэффициенты канонических уравнений (без свободных членов), ибо они одинаковы для всех случаев внешнего воздействия:

;

– эпюра  кососимметрична, а  симметрична;

– так как эпюра  нулевая;

.

Система канонических уравнений метода сил примет следующий вид:

.

Рассмотрим последовательно отдельные случаи внешнего воздействия.

1. Жестко защемленная балка под действием распределенной нагрузки (рис. 4).

Найдем свободные члены канонических уравнений:

;

.

Запишем канонические уравнения в явном виде:

,

откуда:

;

.

Откорректированная эпюра М2 и окончательная эпюра Мок показаны на рис. 4.

2. Жестко защемленная балка под действием сосредоточенной силы, приложенной в середине пролета (рис. 5).

Разложим внешнюю сосредоточенную силу на две равных, чтобы учесть симметрию основной системы.

Найдем свободные члены канонических уравнений:

,.

Каноническое уравнение в явном виде:

, откуда

.

Откорректированная эпюра М2 и окончательная эпюра Мок показаны на рис. 5.

3. Жестко защемленная балка при повороте левой опоры на угол  (рис. 6).

Найдем свободные члены:

,

.

Система канонических уравнений в явном виде:

.

Решение:

, .

Откорректируем эпюры изгибающих моментов от единичных неизвестных и сложим:

Окончательная эпюра показана на рис. 6.

4. Жестко защемленная балка при линейном смещении правой опоры на .

Найдем свободные члены:

; .

Каноническое уравнение:

,

откуда .

Откорректируем эпюру  (обратим внимание на знак найденного неизвестного усилия х1). Окончательная эпюра показана на рис.

Дополните самостоятельно библиотеку готовых решений для данного типа стержня.

Рассмотрим балку с жестко защемленным левым концом и шарнирно опертым правым под действием различных силовых факторов (рис. 8).

Выберем основную систему метода сил (балка один раз статически неопределима) и построим эпюру от единичного неизвестного (рис. 8).

Каноническое уравнение:

.

Найдем значение коэффициента :

.

Рассмотрим ряд частных случай нагружения.

1. Балка загружена равномерно распределенной нагрузкой (рис. 9).

Эпюра изгибающих моментов от распределенной нагрузки показана на рис. 9.

Найдем свободный член :

.

Каноническое уравнение в явном виде:

,

откуда

.

Откорректированная эпюра М1 и окончательная эпюра Мок показаны на рис. 9.

2. Балка загружена сосредоточенной силой, приложенной в середине пролета (рис. 10) .

Эпюра МР показана на этом же рисунке.

Найдем свободный член :

.

Каноническое уравнение:

, откуда

.

Откорректированная эпюра М1 и окончательная эпюра Мок показаны на рис. 10.

3. Балка при единичном повороте защемления  (рис. 11).

Свободный член

(перемещение противоположно принятому направлению неизвестного усилия х1).

Каноническое уравнение

, откуда

.

Откорректированная эпюра М1 и окончательная эпюра Мок показаны на рис. 11.

4. Балка при единичном вертикальном смещении левой опоры – защемления: (рис. 12).

Свободный член

(перемещение противоположно принятому направлению неизвестного усилия х1).

Каноническое уравнение

, откуда

.

Откорректированная эпюра М1 и окончательная эпюра Мок показаны на рис. 12.

Другие случаи нагружения рассмотрите самостоятельно.

4. Порядок расчета рам методом перемещений

1. Определяется степень кинематической неопределимости рамы по формуле:

H = ny + nл, где

ny  – число жестких узлов в стержневой системе;

nл – число возможных независимых линейных смещений концов стержней.

Для рамы, показанной на рис. 13 степень кинематической неопределимости будет:

, , .

2. Формируем основную систему метода перемещений путем введения фиктивных связей, препятствующих повороту жестких узлов и линейным смещениям концов стержней (рис. 14).

3. Запишем в общем виде систему канонических уравнений метода перемещений:

.

В нашем случае (для рассматриваемой рамы):

.

4. В основной системе метода перемещений построим эпюры изгибающих моментов от поочередного единичного смещения фиктивных связей () и заданной нагрузки ().

Построение эпюр  и  в большей степени формально, так как заключается в переносе на основную систему полученных ранее решений. Для рассматриваемой рамы на рис. 6.15 показаны соответствующие эпюры.

5. Определим коэффициенты канонических уравнений  и .

Коэффициент  представляет собой реакцию –й фиктивной связи от единичного смещения –й фиктивной связи.

Свободный член  является реакцией в –й фиктивной связи от заданной нагрузки.

Для определения реактивного момента в –м фиктивном защемлении необходимо в соответствующей эпюре  или вырезать –й узел с фиктивной связью и из условия равновесия  находим искомую реакцию  или .

Если найденная опорная реакция совпадает с направлением единичного перемещения связи – по часовой стрелке для защемления и слева направо для шарнирной опоры, то она считается


положительной.

Для рассматриваемой рамы определение опорных реакций показано на рис. 16.

Для определения реакций в фиктивных одностержневых  опорах необходимо рассмотреть равновесие всей рамы или ее части при том или ином воздействии, предварительно определив, из соответствующих эпюр изгибающих моментов  или, опорные реакции в действительных опорах или поперечные силы в сечениях.

Примеры определения коэффициентов ,  и  и доказательства выполнения закона парности коэффициентов  


показаны на рис. 1

6. Из решения канонических уравнений находим действительные смещения .

Окончательная эпюра изгибающих моментов строится путем сложения откорректированных эпюр  с эпюрой :

.

8. Правильность эпюры  устанавливается при помощи деформационной проверки:

, где

– эпюра изгибающих моментов в основной системе метода сил от единичного –го неизвестного.

9. По эпюре  и заданной нагрузке строится эпюра поперечных сил с использованием уже известной формулы:

.

10. По эпюре Q из условий равновесия узлов найдем нормальные силы и построим эпюру N.

11. Правильность эпюр Q и N установим проверкой статического равновесия всей рамы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10059. Характеристика экспертных процедур 42.5 KB
  Характеристика экспертных процедур Эвристические методы или методы экспертных оценок методы использующие результаты опыта и интуицию. Особенностью эвристических методов и моделей является отсутствие строгих математических доказательств оптимальности получаемы...
10060. Общая схема экспертизы 40.5 KB
  Общая схема экспертизы Общая схема экспертных вопросов включает следующие основные этапы: подбор экспертов и формирование экспертных групп, формирование опросов и составление анкет, работу с экспертами, формирование правил определения суммарных оценок н
10061. Риски в окружающем нас мире 30 KB
  Риски в окружающем нас мире. Риски и связанная с ними неопределенность постоянно окружают нас в реальной действительности. Поэтому мы интуитивно понимаем смысл этих понятий без дополнительных объяснений со стороны знающих людей толкового словаря или учебников. Доста...
10062. Риск и неопределенность 24.5 KB
  Риск и неопределенность. Деятельность субъекта хозяйствования постоянно сопряжена с неопределенностью ситуаций которые обусловливают принятие возможных альтернативных решений и действий в условиях риска. Возникают также ситуации связанные с риском когда любой ал...
10063. Покрытие убытка на основе поддержки государственных и/или муниципальных органов 25 KB
  Покрытие убытка на основе поддержки государственных и/или муниципальных органов Метод покрытия убытка на основе поддержки государственных и/или муниципальных органов Budget support означает снижение участия самой фирмы в возмещении ущерба за счет полной или частичной пер
10064. Объективное и субъективное понимание риска 26.5 KB
  Объективное и субъективное понимание риска. Исходя из вышесказанного можно выделить два взаимосвязанных компонента категории риска: объективный и субъективный. Риск с объективной позиции отражает ту или иную неопределенность в среде активности субъекта. Как субъект
10065. Основные методы снижения экономического риска и их характеристика 59 KB
  Основные методы снижения экономического риска и их характеристика В системе управления риском важная роль принадлежит правильному выбору мер предупреждения и минимизации риска которые в значительной степени определяют ее эффективность. Следует отметить что в миро...
10066. Сущность хозяйственного риска, предмет, объекты и субъекты хозяйственного риска 27 KB
  Сущность хозяйственного риска предмет объекты и субъекты хозяйственного риска. Таким образом хозяйственный риск это решение или действие в условиях неопределенности связанное с производством продукции товаров услуг их реализацией товарноденежными и финансовы...
10067. Элементы хозяйственного риска, формы их проявления 27.5 KB
  Элементы хозяйственного риска формы их проявления. Осознание степени риска происходит благодаря выделению в рискованной ситуации основных элементов характеристика взаимосвязи и взаимодействия которых составляет сущность и содержание хозяйственного риска а именн...