57498

Показательные уравнения и методы их решения

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Цели урока. Систематизировать способы решения показательных уравнений; Расширить и углубить знания учащихся о методах решения показательных уравнений; Усиливать мотивацию обучения за счёт изобразительных средств обучения

Русский

2014-04-12

1.55 MB

15 чел.

Тема. Показательные уравнения и методы их решения.

Тип урока. Системно – обобщающий.

Цели урока.

Обучающие :

  •  Систематизировать способы решения показательных уравнений;
  •  Расширить и углубить знания учащихся о методах решения показательных уравнений;
  •  Усиливать мотивацию обучения за счёт изобразительных средств обучения

           ( презентация);

  •  Осуществлять контроль с обратной связью и оценкой результата.

Развивающие:

  •  Развивать у учащихся творческие способности, внимание, навыки поисковой работы;
  •  Самоконтроль, познавательную активность;
  •  Формировать умение обобщать и делать выводы;
  •  Правильно формулировать свои мысли;
  •  Умения работать с дополнительной литературой.

Воспитательные:

  •  Формировать умения сотрудничества в ходе общей обучающей деятельности;
  •  Формировать навыки индивидуальной и коллективной работы;
  •  Стимулировать учащихся к самооценке образовательной деятельности.

Оборудование урока:  компьютер, презентация к уроку, раздаточный печатный материал.

Время: 3 модуля по 30 минут.

Ход урока.

I .Организационный момент. (2 мин)

 

Формулирую тему и цели урока.  Ученики всего класса записывают число и тему урока в тетрадях. Проверяю состав групп, на которые класс был разбит на предыдущем уроке.

II.  Устный счет. (5 - 7минут)

   

1.Какая из данных функций является показательной:

А

Б

В

Г

у = sin

у = 

у =

у = πх

2.Какие из заданных функций  являются возрастающими, убывающими?

А

Б

В

Г

у = (0,18)х

у = х

у =х

у = πх

3.  Через какую из приведенных точек проходит график функции у = 2х + 1?

А

Б

В

Г

( 3; 3)

( 3; 8)

( 3; 9)

( 4; 8)

4.  При каких значениях а верно равенство:   3а = .

А

Б

В

Г

-

другой ответ

5.  Решите уравнения.

  1.  3х7х = ;                      х = 3
  2.  5х = 5;                            х = 5/3
  3.  3х = ;                                 х = 4/3
  4.  3х• = .                   х = - 3

6.  Найдите ординату точки А (sin 30; у), принадлежащей графику функции

     у = 9 х.

7.  Точка М ( х; 16sin ) принадлежит графику функции у = 2х. Найдите х.

Ответы.

1

2

3

4

5

6

7

ответ

Г

В, Г

А, Б

В

В

3, , , - 3

3

3

III.  .Актуализация опорных  знаний учащихся (30 мин). 

Обращаю  внимание учащихся на то, что  показательные уравнения входят в задания ВНО. Представители каждой группы с помощью презентации домашнего задания показывают теоретические и практические знания при решении показательных  уравнений.

Задание 1 группы:

Определение. Показательными называются уравнения, содержащие   неизвестное в   показателе степени.

Основные методы решения показательных уравнений.

  1.  Простейшие показательные уравнения имеют вид  а= b (a > 0, a).

При b0, уравнение а= b не имеет решений. При b > 0 данное уравнение решается путём логарифмирования обеих частей уравнения по основанию a;  В результате получается уравнение равносильное данному:

 log а= logb ;  х = logb.

Пример1.  Решите уравнение:  8= - 8

Данное уравнение решений не имеет, т.к. – 8 < 0, а показательная функция принимает только положительные значения.

 Пример2.    Решить уравнение :  8х = 3.

Прологарифмируем уравнение по основанию 8, получим:

  log8= log3;   х log8 =  log3;   х =  log3;                  Ответ: log3.

Пример 3.  Решить уравнение:    = 16.

Число 16 можно представить виде 24, тогда   = 24,    х2 – х – 2 = 4,

  х2 – х – 6 = 0,   х1,2 = 0,5  = 0,5 ;   х1 = 3;   х2 = - 2.              

                                                                                                Ответ: 3; - 2.

Пример 4.   Решить уравнение:   4х = 82х – 3.

Приведём обе части уравнения к основанию 2:  4х = ( 22)х = 2;  82х – 3 =

= ( 23)2х – 3 = 26х – 9. Получим  2 = 26х – 9, 2х = 6х – 9,  4х = 9,  х = 2,25.

                                                                                                 Ответ:  2,25.

                          

Задание 2 группы:

1. Решение показательных уравнений методом уравнивания показателей, т.е. преобразование данного уравнения к виду а, а затем к виду

 f(x) = g(x).

Пример1.  Решите уравнение:    

Преобразуем обе части уравнения таким образом, чтобы в основании было число  0,2,  получим уравнение:  (0,2),

(0,2),  х = 2х – 3,   х = 3;

                                                                                                       Ответ: 3. 

Пример 2.  Решить уравнение:     = ( ) х + 1.

Преобразуем обе части уравнения таким образом, чтобы в основании было число 3, получим:   ,   ,    

2х + 2 = 3 ( х2 – х – 2),  3х2 – 5х – 8 = 0;  

  х1, 2 =  = ;    х1 = ,      х2 = - 1.                    

Ответ: ,  - 1.      

  1.  Решение показательных  уравнений методом вынесения общего множителя за скобки.

Пример3.   Решите уравнение:   33х + 1 - 427х – 1 + 91,5х – 1 = 80.

 33х + 1 – 4 33х – 3 + 3 3х – 2 = 80,   3 ( 3 -     3• = 80,

3• = 80,   3 = 27,    3 = 33,   3х = 3,    х = 1.                            

    Ответ:  1.

Пример 4.  Решить уравнение:  5х + 1 - 35х – 2 = 122.

55х - 3 = 122,  5х ( 5 - ) = 122,   5х• = 122,  5х = 25,   5х = 52, х = 2.

Ответ: 2.

 Задание 3 группы:

1.  Решение показательных уравнений способом подстановки.

С помощью удачной замены переменных некоторые показательные уравнения удается свести к алгебраическому виду, чаще всего к квадратному уравнению.

Пример1.   Решите уравнение :   9х + 1 + 263х – 3 = 0.

Решение.    32х + 2 + 263х – 3 = 0,   93 + 263х – 3 = 0.  Пусть 3х = у, у > 0, тогда  9у2 + 26у – 3 = 0,   у1, 2 =  = ;   у1 = ;     у2 = - 3 – не удовлетворяет ОДЗ уравнения.  Вернёмся в замену, получим:  3х  = 3- 2,

х = - 2.                                                                                           Ответ:   - 2.

Пример 2.     Решить уравнение:     -  = 2.

Решение.   Пусть  2х = у, у > 0, тогда получим:  = 2;

ОЗ:  ( у + 2) ( у – 3).                                            ОДЗ: у ≠ - 2;  у ≠ 3.

4( у – 3) – у – 2 = 2 ( у + 2) (у – 3),     4у – 12 – у – 2 = 2у2 – 2у – 12,

2 – 5у + 2 = 0,    у1, 2 =  = ,    у1 = 2,     у2 = .

Вернёмся в замену:

  2х = 2,        х = 1;

  2х = 2 -1,     х = - 1.                                                                            Ответ:  1, - 1.

Пример 3.   Решить уравнение:  ( ) х + (  ) х = 4.

Заметим, что ( ) (  )  = 4 – 3 = 1.

Поэтому (  ) =  . Тогда исходное уравнение принимает вид

( 2 +  х/2 + ( 2 +  ) – х/2 = 4,   и заменой   ( 2 +  х/2 = у,  у > 0

сводится к уравнению  у +  = 4   ⇔  = 0,  у1, 2 = 2 ±  = 2 ±

    у1 = 2 + ;                                      ( 2 +  х/2  = 2 +           

    у2 =  = ( 2 + ) – 1 ;    ( 2 +  х/2  =  ( 2 + ) – 1;   

       = 1;

       = - 1.    х1 = 2,   х2 = - 2.

Ответ: ± 2.

Задание 4 группы.

1.  Метод почленного деления.

Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения, содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.

Пример1.  Решите уравнение:   4х - 214х - 349х = 0.  

 Решение.   2 - 22х7х - 37 = 0,    ( : 72х  ≠ 0),  получим:

- 2(х – 3 = 0.   Пусть (, где y > 0, тогда  y

у1, 2 = 1 ± 2;    у1 = 3,    у2 = - 1 – не удовлетворяет ОДЗ уравнения.

Получим:   (        х = log ;                                             Ответ:  log .

Пример 2.  Решить уравнение.  1081 х + 9225 х - 9625 х = 0.

Решение.    103 + 915 2х  - 95 4х = 0   103  + 93 5 -  95 4х = 0.

Разделим обе части уравнения на    5 4х ≠ 0, получим:

10(   + 9(    - 9 = 0 .  Пусть  (    = у,   у > 0, тогда получим:    

10у2 + 9у – 9 = 0,    у1, 2 =  =  ,   у1 = ,   у2 = - 1,5 – не

удовлетворяет ОДЗ уравнения.  Вернёмся в замену:  

(   =        2х = 1    х = 0,5.

Ответ: 0,5.

                                             

2. Способ группировки.

Способ группировки заключается в том, чтобы собрать степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней.

Пример 3.  Решить уравнение.  34х +  9х + 2 = 64х + 1 -  9х + 1.

Решение. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

34х - 64х + 1 = - 9х + 1 -  9х + 2. Вынесем из каждой части уравнения общие множители:   34х ( 1 – 8) = 9 х ( -  – 27 )      - 214х = -  9х .

Разделим обе части уравнения на 9х ≠ 0, получим:

=        (  = (      2х = - 1   х = - 0,5.

Ответ:  - 0,5.

Пример 4. Решить уравнение.   252 х + 5х – 10 х = 25.

Решение.   Сгруппируем слагаемые следующим образом:

( 252 х – 25) – (10 х - 5х) = 0    25 ( 2 х – 1) – 5 х (2 х – 1) = 0  

( 2 х – 1) ( 25 - 5х ) = 0             

      2 х = 1,                     х = 0,

      5х = 25.       ⇔       х = 2.

Ответ: 0;  2.

IV. Углубление знаний учащихся.    (20 минут)

1. Решение показательных уравнений методом подбора.

При решении показательных уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а затем  доказывают, что  этот корень единственный, с использованием свойства монотонности показательной функции.

Пример 1.  Решить уравнение:  5х + 12 х = 13 х.

Решение.  Не трудно заметить, что х = 2 - корень исходного уравнения.

Все функции, составляющие уравнение имеют одинаковый характер монотонности – возрастают. Поэтому, чтобы убедиться в единственности этого корня, разделим обе части уравнения почленно на 12х. Получим:

( х + 1 = ( ) х.  Функция у = ( х + 1 убывает, а функция у = ( ) х возрастает, значит согласно теоремы о монотонности показательной функции

х = 2 – единственный корень этого уравнения.

Ответ: 2.

Пример 2.  Решить уравнение.  4 х +  = 19.

Решение.  Поскольку функции у = 4 х и  у =  монотонно возрастающие на R,

то и функция  у = 4 х +  также монотонно возрастает на R. Значит данное уравнение на множестве действительных чисел имеет не более одного корня.

Легко заметить, что х = 2 удовлетворяет уравнению.

Ответ:  2.

Пример 3.  Решить уравнение.  6 х – 2 х = 32.

Решение.  Легко заметить, что уравнение удовлетворяет значение х = 2. Докажем, что других корней нет. Для этого представим уравнение в виде

3 х – 1  =  .   Правая часть уравнения – убывающая функция, левая – возрастающая, согласно теоремы о монотонности показательной функции

х =2 – единственный корень этого уравнения.

Ответ:  2.

Пример 4.     Решить уравнение:  (х+3) = (х+3) .

Решение.  Выражения в левой и правой частях уравнения представляют собой функцию, содержащую переменную, как в основании, так и в показателе степени. Решение показательно-степенного уравнения вида

=   сводится к таким случаям:

  1.   = 1,
  2.   = - 1,
  3.   = 0,        проверка корней, найденных в 2, 3 и 4 случаях
  4.   = т.                                        обязательна.

Решение.  

  1.  Если х+3=1, то  х = - 2.   ( 1 - верное равенство);
  2.  Если  х + 3 = - 1,  то х = - 4.  (   ( - 1)13 ≠ ( - 1)-8 ), посторонний корень;
  3.  Если х+3 = 0, то х= - 3.  ( 0≠  0), посторонний корень;
  4.  Если  х2 – 3 = 2х, то  х2 – 2х – 3 = 0,  х1 = 3,   х2 = - 1. В результате проверки убеждаемся, что это корни уравнения.

Ответ: -2; -1; 3.

Пример 5.  Решить уравнение.  (   = ( х – 2) 11х – 20.

Решение.

  1.  Если   х – 2 = 1,   х = 3.        ( 115 = 1 13 – верное равенство)
  2.  Если  х – 2 = - 1,  х = 1.        (  ( - 1) 3 = ( - 1)- 9 – верное равенство)
  3.  Если  х – 2 = 0,   х = 2.         ( 08 = 02 – верное равенство)
  4.  Если  х2 + 2х = 11х – 20, то  получим:

х2 – 9х + 20 = 0,   х1, 2 = 4,5 ±  = 4,5 ± 0,5,  х1 = 5,  х2 = 4. Проверкой убеждаемся, что найденные корни удовлетворяют уравнению.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

V.  Закрепление изученного материала. Ярмарка задач . (15 минут).

Каждой группе учащихся в конвертах даются уравнения не менее 6и каждой группе (соответствующей степени сложности).  Консультант раздает каждому ученику по одному уравнению и через 10 - 15 минут решения собираются и сдаются учителю. Затем продолжается обсуждение  и решение в группе  остальных уравнений.

Задания  группам:  

Банк показательных уравнений.

Решить уравнение                                                    Ответы

  1.                                              7; - 3.
  2.      х + 33 х = 288                                      2.
  3.      = 14.                                        2.
  4.   х + 3 – 2х = 112                                     4.
  5.  хх =                                          3.
  6.    = 96                                        4.
  7.    3х + 1 = 5х – 2                                  0,125.
  8.                                               8.

  1.   = 625                                             16.

10.  8 х – 3 = 9 х  -3                                        3.

11.  5 х – 3 – 5 х – 4 - 165 х – 5 = 2х – 3          5.

12.  216х – 2 – 4 2х – 2 = 15.                  0,75.

13.  9 3 + х + 3 2х + 2 = 738                       - 2.

14.   4 х – 3х – 0,5= 3х + 0,5 – 2 2х – 1                1,5.

15.   5 = 56                     16.

16.   916 х + 6416 х – 1- 25616 х – 2       1,25.

17.  3 5х – 4 + 3 = 82                                 0,8.

18.  23 х + 2 - 53 х – 3 = 1443                    4.

19.                                162.

20.  23 х + 1 - 59 х – 2 =81                    4;  4 - .

21.  3 х + 2 + 9 х +1 = 810                               2.

22.  53 х -  = 7                                      3.

23.  3= 20                                 8.

24.  2 х + 1 - 56 х + 32х + 1 = 0                      0; - 1.

25.  43 х - 92 х = 5•                      4.

26.  34 х + 29 х = 5•                     0;  1.

27.  225 х - 510 х +2•                    

28.   8 х + 18 х = 227 х                                 0.

29.  2 х + 3х + 4х = 99                                    3.

30.  ( = ( 5х – 8)10х                   1,8; 3.

31.  ( х + 5) х – 9 = 1                                        - 4; 9.

32.  ( 4 – х) 3х + 2 = 4 – х                                   3;  - .

33.   9                                      2.

34.  (3                                               - 2;  1.

VI. Проверка и обсуждение заданий: (10 - 12 минут). 

Готовые решения одного из заданий записываются на доске каждой группой. Выдвинутый группой ученик объясняет решение, основываясь на теории, выдвигает алгоритм действий. Объяснения длятся около 4 минут. Другие группы могут задать вопросы по решению уравнения. 

Решение некоторых  уравнений  № 33 и 34 из банка.

  1.  Решить уравнение:       9

Решение:  

  9

Получаем: 9;9 - 7; Пусть > 0;

Тогда 9 - 7y - 16y= 0;   16y+7y-9=0;  y=;  y< 0 – посторонний корень.

Вернёмся в замену, получим:   ;  (;  х=2;   

Ответ: 2.

  1.  Решить  уравнение:    (3    

  Решение: Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысл.

  1.  3;   3;   х; х = 2 и х = - 2.

При  х = 2  подкоренное выражение отрицательно, значит, число 2 не является корнем уравнения.

2)  при х = 1. Это число является корнем данного уравнения, так как выражение 3 имеет смысл при любом х.

Ответ: - 2 ;1.

 

V II. Итог урока:  (3 - 5минут)

1)Учитель задает вопросы классу: Какими методами можно решать  показательные уравнения?

2)Оценка знаний учащихся: Учитель оценивает деятельность каждой группы. Учитель ставит итоговые отметки, оценив деятельность каждой группы.

 

V III. Домашнее задание:  стр46, №169(б; г); №173(а);№175(а; в);№176(а;г); Алгебра и начала анализа. Учебник для 11 класса общеобразовательных учебных заведений: академический уровень, профильный уровень/ Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, Н. Г. Владимирова. – К.: Освіта, 2011. 


Список  литературы.

  1.  А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир.  Алгебраический тренажер.  Киев « А. С. К», 1997
  2.  А. Г. Гайштут, Р. П. Ушаков «Сборник задач по математике с примерами  решений».  Киев « А. С. К.», 2002.
  3.  А. Г. Мордкович «Беседы с учителями математики». Москва «ОНИКС 21 век» «Мир и Образование» 2005.
  4.  В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордкович «Практикум по решению математических задач». Москва: Просвещение, 1984.
  5.  М. С. Фурман «Збірник задач з алгебри і початків аналізу. 11 клас. Харків. Видавнича група «Основа» 2010.
  6.  Алгебра и начала анализа. Учебник для 11 класса общеобразовательных учебных заведений: академический уровень, профильный уровень/ Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, Н. Г. Владимирова. – К.: Освіта, 2011. 
  7.  И. Т. Бородуля. Показательные и логарифмические уравнения и   неравенства.  Пособие для учителя. М., «Просвещение», 1967.

PAGE   \* MERGEFORMAT 14


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56032. Здоров`я - це скарб 44 KB
  Unser Zeil ist heute tiber die Rolle des Sportes und tiber die Rolle des Sportes und tiber die gesunde Lebensweise zu sprechen und am Ende der Stunde unseren kleinem Schulem die Vorschl ge zu diesem Thema zu prasentieren.
56033. Від цікавого до складного 78 KB
  Смак до вивчення математики приходить під час розв?язування задач, які потребують логічного мислення, просторової уяви та кмітливості. Таке заняття цікаве, але водночас і складне.
56034. Таємниця острова скарбів 40.5 KB
  Матеріал: лист в конверті карта острова з окремих частин скриня на семи замках ключі від скрині декорації острова іграшкові тварини кросворди загадки кольорові олівці роздатковий матеріал художнє слово.
56035. В пошуках скарбів космічного пірата 57.5 KB
  Діти проговорюючи текст ідуть один за одним і виконують тренувальні вправи готуючись до польоту: Чекають нас ракети Чекають нас планети. Діти розбігаються і попарно займають ракети.
56036. Подорож до казки 52 KB
  Доброго дня, мої дорогі друзі. Ось і знову ми до вас прийшли, казку принесли. Казки наші старовинні - не короткі, не довгі. А ось тепер, друзі дивіться і слухайте. Починаємо казку для тебе, для вас і для всіх нас.
56037. Исследование методики учета и реализации реализации готовой продукции в ООО «Белль Бимбо плюс» 455 KB
  Изучение положений и правил, регулирующих порядок, организацию и методику проведения финансово-хозяйственного контроля в Республике Беларусь; изучение нормативно-правовой, методической и другой специальной литературы, относящейся непосредственно к выбранной теме...
56038. Сложение и вычитание десятичных дробей 314.5 KB
  Правила: За каждый правильный ответ команда получает красную фишку если есть мелкие ошибки зеленую фишку неправильный ответ синяя фишка. Побеждает команда которая наберет больше всего красных фишек...
56040. В мире сказок 43.5 KB
  Ребята первый этап нашего конкурса звучит так: Определи название сказки по ее началу. Второй этап нашего конкурса называется Словесный портрет в сказочной галерее. А жюри пока подсчитает сколько баллов набрала каждая команда в первом этапе конкурса.