57498

Показательные уравнения и методы их решения

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Цели урока. Систематизировать способы решения показательных уравнений; Расширить и углубить знания учащихся о методах решения показательных уравнений; Усиливать мотивацию обучения за счёт изобразительных средств обучения

Русский

2014-04-12

1.55 MB

15 чел.

Тема. Показательные уравнения и методы их решения.

Тип урока. Системно – обобщающий.

Цели урока.

Обучающие :

  •  Систематизировать способы решения показательных уравнений;
  •  Расширить и углубить знания учащихся о методах решения показательных уравнений;
  •  Усиливать мотивацию обучения за счёт изобразительных средств обучения

           ( презентация);

  •  Осуществлять контроль с обратной связью и оценкой результата.

Развивающие:

  •  Развивать у учащихся творческие способности, внимание, навыки поисковой работы;
  •  Самоконтроль, познавательную активность;
  •  Формировать умение обобщать и делать выводы;
  •  Правильно формулировать свои мысли;
  •  Умения работать с дополнительной литературой.

Воспитательные:

  •  Формировать умения сотрудничества в ходе общей обучающей деятельности;
  •  Формировать навыки индивидуальной и коллективной работы;
  •  Стимулировать учащихся к самооценке образовательной деятельности.

Оборудование урока:  компьютер, презентация к уроку, раздаточный печатный материал.

Время: 3 модуля по 30 минут.

Ход урока.

I .Организационный момент. (2 мин)

 

Формулирую тему и цели урока.  Ученики всего класса записывают число и тему урока в тетрадях. Проверяю состав групп, на которые класс был разбит на предыдущем уроке.

II.  Устный счет. (5 - 7минут)

   

1.Какая из данных функций является показательной:

А

Б

В

Г

у = sin

у = 

у =

у = πх

2.Какие из заданных функций  являются возрастающими, убывающими?

А

Б

В

Г

у = (0,18)х

у = х

у =х

у = πх

3.  Через какую из приведенных точек проходит график функции у = 2х + 1?

А

Б

В

Г

( 3; 3)

( 3; 8)

( 3; 9)

( 4; 8)

4.  При каких значениях а верно равенство:   3а = .

А

Б

В

Г

-

другой ответ

5.  Решите уравнения.

  1.  3х7х = ;                      х = 3
  2.  5х = 5;                            х = 5/3
  3.  3х = ;                                 х = 4/3
  4.  3х• = .                   х = - 3

6.  Найдите ординату точки А (sin 30; у), принадлежащей графику функции

     у = 9 х.

7.  Точка М ( х; 16sin ) принадлежит графику функции у = 2х. Найдите х.

Ответы.

1

2

3

4

5

6

7

ответ

Г

В, Г

А, Б

В

В

3, , , - 3

3

3

III.  .Актуализация опорных  знаний учащихся (30 мин). 

Обращаю  внимание учащихся на то, что  показательные уравнения входят в задания ВНО. Представители каждой группы с помощью презентации домашнего задания показывают теоретические и практические знания при решении показательных  уравнений.

Задание 1 группы:

Определение. Показательными называются уравнения, содержащие   неизвестное в   показателе степени.

Основные методы решения показательных уравнений.

  1.  Простейшие показательные уравнения имеют вид  а= b (a > 0, a).

При b0, уравнение а= b не имеет решений. При b > 0 данное уравнение решается путём логарифмирования обеих частей уравнения по основанию a;  В результате получается уравнение равносильное данному:

 log а= logb ;  х = logb.

Пример1.  Решите уравнение:  8= - 8

Данное уравнение решений не имеет, т.к. – 8 < 0, а показательная функция принимает только положительные значения.

 Пример2.    Решить уравнение :  8х = 3.

Прологарифмируем уравнение по основанию 8, получим:

  log8= log3;   х log8 =  log3;   х =  log3;                  Ответ: log3.

Пример 3.  Решить уравнение:    = 16.

Число 16 можно представить виде 24, тогда   = 24,    х2 – х – 2 = 4,

  х2 – х – 6 = 0,   х1,2 = 0,5  = 0,5 ;   х1 = 3;   х2 = - 2.              

                                                                                                Ответ: 3; - 2.

Пример 4.   Решить уравнение:   4х = 82х – 3.

Приведём обе части уравнения к основанию 2:  4х = ( 22)х = 2;  82х – 3 =

= ( 23)2х – 3 = 26х – 9. Получим  2 = 26х – 9, 2х = 6х – 9,  4х = 9,  х = 2,25.

                                                                                                 Ответ:  2,25.

                          

Задание 2 группы:

1. Решение показательных уравнений методом уравнивания показателей, т.е. преобразование данного уравнения к виду а, а затем к виду

 f(x) = g(x).

Пример1.  Решите уравнение:    

Преобразуем обе части уравнения таким образом, чтобы в основании было число  0,2,  получим уравнение:  (0,2),

(0,2),  х = 2х – 3,   х = 3;

                                                                                                       Ответ: 3. 

Пример 2.  Решить уравнение:     = ( ) х + 1.

Преобразуем обе части уравнения таким образом, чтобы в основании было число 3, получим:   ,   ,    

2х + 2 = 3 ( х2 – х – 2),  3х2 – 5х – 8 = 0;  

  х1, 2 =  = ;    х1 = ,      х2 = - 1.                    

Ответ: ,  - 1.      

  1.  Решение показательных  уравнений методом вынесения общего множителя за скобки.

Пример3.   Решите уравнение:   33х + 1 - 427х – 1 + 91,5х – 1 = 80.

 33х + 1 – 4 33х – 3 + 3 3х – 2 = 80,   3 ( 3 -     3• = 80,

3• = 80,   3 = 27,    3 = 33,   3х = 3,    х = 1.                            

    Ответ:  1.

Пример 4.  Решить уравнение:  5х + 1 - 35х – 2 = 122.

55х - 3 = 122,  5х ( 5 - ) = 122,   5х• = 122,  5х = 25,   5х = 52, х = 2.

Ответ: 2.

 Задание 3 группы:

1.  Решение показательных уравнений способом подстановки.

С помощью удачной замены переменных некоторые показательные уравнения удается свести к алгебраическому виду, чаще всего к квадратному уравнению.

Пример1.   Решите уравнение :   9х + 1 + 263х – 3 = 0.

Решение.    32х + 2 + 263х – 3 = 0,   93 + 263х – 3 = 0.  Пусть 3х = у, у > 0, тогда  9у2 + 26у – 3 = 0,   у1, 2 =  = ;   у1 = ;     у2 = - 3 – не удовлетворяет ОДЗ уравнения.  Вернёмся в замену, получим:  3х  = 3- 2,

х = - 2.                                                                                           Ответ:   - 2.

Пример 2.     Решить уравнение:     -  = 2.

Решение.   Пусть  2х = у, у > 0, тогда получим:  = 2;

ОЗ:  ( у + 2) ( у – 3).                                            ОДЗ: у ≠ - 2;  у ≠ 3.

4( у – 3) – у – 2 = 2 ( у + 2) (у – 3),     4у – 12 – у – 2 = 2у2 – 2у – 12,

2 – 5у + 2 = 0,    у1, 2 =  = ,    у1 = 2,     у2 = .

Вернёмся в замену:

  2х = 2,        х = 1;

  2х = 2 -1,     х = - 1.                                                                            Ответ:  1, - 1.

Пример 3.   Решить уравнение:  ( ) х + (  ) х = 4.

Заметим, что ( ) (  )  = 4 – 3 = 1.

Поэтому (  ) =  . Тогда исходное уравнение принимает вид

( 2 +  х/2 + ( 2 +  ) – х/2 = 4,   и заменой   ( 2 +  х/2 = у,  у > 0

сводится к уравнению  у +  = 4   ⇔  = 0,  у1, 2 = 2 ±  = 2 ±

    у1 = 2 + ;                                      ( 2 +  х/2  = 2 +           

    у2 =  = ( 2 + ) – 1 ;    ( 2 +  х/2  =  ( 2 + ) – 1;   

       = 1;

       = - 1.    х1 = 2,   х2 = - 2.

Ответ: ± 2.

Задание 4 группы.

1.  Метод почленного деления.

Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения, содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.

Пример1.  Решите уравнение:   4х - 214х - 349х = 0.  

 Решение.   2 - 22х7х - 37 = 0,    ( : 72х  ≠ 0),  получим:

- 2(х – 3 = 0.   Пусть (, где y > 0, тогда  y

у1, 2 = 1 ± 2;    у1 = 3,    у2 = - 1 – не удовлетворяет ОДЗ уравнения.

Получим:   (        х = log ;                                             Ответ:  log .

Пример 2.  Решить уравнение.  1081 х + 9225 х - 9625 х = 0.

Решение.    103 + 915 2х  - 95 4х = 0   103  + 93 5 -  95 4х = 0.

Разделим обе части уравнения на    5 4х ≠ 0, получим:

10(   + 9(    - 9 = 0 .  Пусть  (    = у,   у > 0, тогда получим:    

10у2 + 9у – 9 = 0,    у1, 2 =  =  ,   у1 = ,   у2 = - 1,5 – не

удовлетворяет ОДЗ уравнения.  Вернёмся в замену:  

(   =        2х = 1    х = 0,5.

Ответ: 0,5.

                                             

2. Способ группировки.

Способ группировки заключается в том, чтобы собрать степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней.

Пример 3.  Решить уравнение.  34х +  9х + 2 = 64х + 1 -  9х + 1.

Решение. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

34х - 64х + 1 = - 9х + 1 -  9х + 2. Вынесем из каждой части уравнения общие множители:   34х ( 1 – 8) = 9 х ( -  – 27 )      - 214х = -  9х .

Разделим обе части уравнения на 9х ≠ 0, получим:

=        (  = (      2х = - 1   х = - 0,5.

Ответ:  - 0,5.

Пример 4. Решить уравнение.   252 х + 5х – 10 х = 25.

Решение.   Сгруппируем слагаемые следующим образом:

( 252 х – 25) – (10 х - 5х) = 0    25 ( 2 х – 1) – 5 х (2 х – 1) = 0  

( 2 х – 1) ( 25 - 5х ) = 0             

      2 х = 1,                     х = 0,

      5х = 25.       ⇔       х = 2.

Ответ: 0;  2.

IV. Углубление знаний учащихся.    (20 минут)

1. Решение показательных уравнений методом подбора.

При решении показательных уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а затем  доказывают, что  этот корень единственный, с использованием свойства монотонности показательной функции.

Пример 1.  Решить уравнение:  5х + 12 х = 13 х.

Решение.  Не трудно заметить, что х = 2 - корень исходного уравнения.

Все функции, составляющие уравнение имеют одинаковый характер монотонности – возрастают. Поэтому, чтобы убедиться в единственности этого корня, разделим обе части уравнения почленно на 12х. Получим:

( х + 1 = ( ) х.  Функция у = ( х + 1 убывает, а функция у = ( ) х возрастает, значит согласно теоремы о монотонности показательной функции

х = 2 – единственный корень этого уравнения.

Ответ: 2.

Пример 2.  Решить уравнение.  4 х +  = 19.

Решение.  Поскольку функции у = 4 х и  у =  монотонно возрастающие на R,

то и функция  у = 4 х +  также монотонно возрастает на R. Значит данное уравнение на множестве действительных чисел имеет не более одного корня.

Легко заметить, что х = 2 удовлетворяет уравнению.

Ответ:  2.

Пример 3.  Решить уравнение.  6 х – 2 х = 32.

Решение.  Легко заметить, что уравнение удовлетворяет значение х = 2. Докажем, что других корней нет. Для этого представим уравнение в виде

3 х – 1  =  .   Правая часть уравнения – убывающая функция, левая – возрастающая, согласно теоремы о монотонности показательной функции

х =2 – единственный корень этого уравнения.

Ответ:  2.

Пример 4.     Решить уравнение:  (х+3) = (х+3) .

Решение.  Выражения в левой и правой частях уравнения представляют собой функцию, содержащую переменную, как в основании, так и в показателе степени. Решение показательно-степенного уравнения вида

=   сводится к таким случаям:

  1.   = 1,
  2.   = - 1,
  3.   = 0,        проверка корней, найденных в 2, 3 и 4 случаях
  4.   = т.                                        обязательна.

Решение.  

  1.  Если х+3=1, то  х = - 2.   ( 1 - верное равенство);
  2.  Если  х + 3 = - 1,  то х = - 4.  (   ( - 1)13 ≠ ( - 1)-8 ), посторонний корень;
  3.  Если х+3 = 0, то х= - 3.  ( 0≠  0), посторонний корень;
  4.  Если  х2 – 3 = 2х, то  х2 – 2х – 3 = 0,  х1 = 3,   х2 = - 1. В результате проверки убеждаемся, что это корни уравнения.

Ответ: -2; -1; 3.

Пример 5.  Решить уравнение.  (   = ( х – 2) 11х – 20.

Решение.

  1.  Если   х – 2 = 1,   х = 3.        ( 115 = 1 13 – верное равенство)
  2.  Если  х – 2 = - 1,  х = 1.        (  ( - 1) 3 = ( - 1)- 9 – верное равенство)
  3.  Если  х – 2 = 0,   х = 2.         ( 08 = 02 – верное равенство)
  4.  Если  х2 + 2х = 11х – 20, то  получим:

х2 – 9х + 20 = 0,   х1, 2 = 4,5 ±  = 4,5 ± 0,5,  х1 = 5,  х2 = 4. Проверкой убеждаемся, что найденные корни удовлетворяют уравнению.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

V.  Закрепление изученного материала. Ярмарка задач . (15 минут).

Каждой группе учащихся в конвертах даются уравнения не менее 6и каждой группе (соответствующей степени сложности).  Консультант раздает каждому ученику по одному уравнению и через 10 - 15 минут решения собираются и сдаются учителю. Затем продолжается обсуждение  и решение в группе  остальных уравнений.

Задания  группам:  

Банк показательных уравнений.

Решить уравнение                                                    Ответы

  1.                                              7; - 3.
  2.      х + 33 х = 288                                      2.
  3.      = 14.                                        2.
  4.   х + 3 – 2х = 112                                     4.
  5.  хх =                                          3.
  6.    = 96                                        4.
  7.    3х + 1 = 5х – 2                                  0,125.
  8.                                               8.

  1.   = 625                                             16.

10.  8 х – 3 = 9 х  -3                                        3.

11.  5 х – 3 – 5 х – 4 - 165 х – 5 = 2х – 3          5.

12.  216х – 2 – 4 2х – 2 = 15.                  0,75.

13.  9 3 + х + 3 2х + 2 = 738                       - 2.

14.   4 х – 3х – 0,5= 3х + 0,5 – 2 2х – 1                1,5.

15.   5 = 56                     16.

16.   916 х + 6416 х – 1- 25616 х – 2       1,25.

17.  3 5х – 4 + 3 = 82                                 0,8.

18.  23 х + 2 - 53 х – 3 = 1443                    4.

19.                                162.

20.  23 х + 1 - 59 х – 2 =81                    4;  4 - .

21.  3 х + 2 + 9 х +1 = 810                               2.

22.  53 х -  = 7                                      3.

23.  3= 20                                 8.

24.  2 х + 1 - 56 х + 32х + 1 = 0                      0; - 1.

25.  43 х - 92 х = 5•                      4.

26.  34 х + 29 х = 5•                     0;  1.

27.  225 х - 510 х +2•                    

28.   8 х + 18 х = 227 х                                 0.

29.  2 х + 3х + 4х = 99                                    3.

30.  ( = ( 5х – 8)10х                   1,8; 3.

31.  ( х + 5) х – 9 = 1                                        - 4; 9.

32.  ( 4 – х) 3х + 2 = 4 – х                                   3;  - .

33.   9                                      2.

34.  (3                                               - 2;  1.

VI. Проверка и обсуждение заданий: (10 - 12 минут). 

Готовые решения одного из заданий записываются на доске каждой группой. Выдвинутый группой ученик объясняет решение, основываясь на теории, выдвигает алгоритм действий. Объяснения длятся около 4 минут. Другие группы могут задать вопросы по решению уравнения. 

Решение некоторых  уравнений  № 33 и 34 из банка.

  1.  Решить уравнение:       9

Решение:  

  9

Получаем: 9;9 - 7; Пусть > 0;

Тогда 9 - 7y - 16y= 0;   16y+7y-9=0;  y=;  y< 0 – посторонний корень.

Вернёмся в замену, получим:   ;  (;  х=2;   

Ответ: 2.

  1.  Решить  уравнение:    (3    

  Решение: Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысл.

  1.  3;   3;   х; х = 2 и х = - 2.

При  х = 2  подкоренное выражение отрицательно, значит, число 2 не является корнем уравнения.

2)  при х = 1. Это число является корнем данного уравнения, так как выражение 3 имеет смысл при любом х.

Ответ: - 2 ;1.

 

V II. Итог урока:  (3 - 5минут)

1)Учитель задает вопросы классу: Какими методами можно решать  показательные уравнения?

2)Оценка знаний учащихся: Учитель оценивает деятельность каждой группы. Учитель ставит итоговые отметки, оценив деятельность каждой группы.

 

V III. Домашнее задание:  стр46, №169(б; г); №173(а);№175(а; в);№176(а;г); Алгебра и начала анализа. Учебник для 11 класса общеобразовательных учебных заведений: академический уровень, профильный уровень/ Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, Н. Г. Владимирова. – К.: Освіта, 2011. 


Список  литературы.

  1.  А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир.  Алгебраический тренажер.  Киев « А. С. К», 1997
  2.  А. Г. Гайштут, Р. П. Ушаков «Сборник задач по математике с примерами  решений».  Киев « А. С. К.», 2002.
  3.  А. Г. Мордкович «Беседы с учителями математики». Москва «ОНИКС 21 век» «Мир и Образование» 2005.
  4.  В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордкович «Практикум по решению математических задач». Москва: Просвещение, 1984.
  5.  М. С. Фурман «Збірник задач з алгебри і початків аналізу. 11 клас. Харків. Видавнича група «Основа» 2010.
  6.  Алгебра и начала анализа. Учебник для 11 класса общеобразовательных учебных заведений: академический уровень, профильный уровень/ Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, Н. Г. Владимирова. – К.: Освіта, 2011. 
  7.  И. Т. Бородуля. Показательные и логарифмические уравнения и   неравенства.  Пособие для учителя. М., «Просвещение», 1967.

PAGE   \* MERGEFORMAT 14


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75938. Межнациональные отношения и миграционные процессы в РФ в начале ХХI века 18.75 KB
  Однако сейчас в современной России безусловно одна из самых острых проблем межнациональные отношения. По мнению эксперта фонда Карнеги Лилии Незамовой Сегодня многонациональность России дополняется и усложняется эффектами полиэтничности иммиграцией из бывших республик Советского Союза вьетнамской китайской афганской и др. Премьерминистр Дмитрий Медведев утвердил в августе федеральную целевую программу Укрепление единства российской нации и этнокультурное развитие народов...
75939. Место и роль России в современных международных процессах: оценки и дискуссии 18.05 KB
  Геополитическое положение России уникально она находится между двумя крупнейшими центрами современной мировой экономики. Вместе с тем геополитическое положение России подразумевает высокую ответственность и требует серьезных усилий при его использовании. Тем не менее в ряде важнейших областей реальное положение России в мире...
75940. Наследие Российской империи и современная внешняя политика Российской Федерации 16.67 KB
  Postimperium как внутренний социальный и политический порядок означает что при доминировании новых начал в экономической и политической жизни России рынок большая открытость в политике предполагающей существование не зависимых от государства акторов она ограничивается институтами и традициями почерпнутыми из имперского прошлого. Зато правящие слои хотят быть глубоко интегрированными по разным линиям деловой в области престижного потребления образования в мировую капиталистическую элиту но при этом внутри России играть по...
75941. Особенности политических конфликтов в России в 1992-1993 годах 19.86 KB
  Еще одна особенность проявляется в том что все более или менее крупные конфликты в России с давних пор чрезмерно идеологизированы. Становление новой социально-экономической и общественно-политической системы России сопровождалось политическими потрясениями и кризисами. Политическая элита России раскололась на два лагеря.
75942. Особенности политических конфликтов в России. Характеристика общего кризиса власти 1992-1993 годах 22.78 KB
  Характеристика общего кризиса власти 1992-1993 гг. Содержание политических конфликтов в отдельной стране зависит от структурных и функциональных характеристик политической власти потребностей политического развития общества состояния идеологии традиций и опыта политической борьбы особенностей политической культуры. Ряд особенностей российской конфликтности тесно связан с элементами византийского влияния откуда берет свое начало российское самодержавие как устойчивая форма ярко выраженной централизованной власти. Характеристика общего...
75943. Осуществление процесса приватизации, дискуссии вокруг этого явления 22.82 KB
  Если пакет Филиппова был ориентирован на сочетание различных форм приватизации инвестиционные вклады продажа акций госпредприятий конкурсы аукционы частичный выкуп и др. в течение 56 лет то пакет Малея значительно более жестко и детерминированно отдавал приоритет коллективной форме приватизации через т. Хронология: Первый этап или доваучерный 19891990 Выкуп арендного имущества; Создание национальных холдингов и спонтанной приватизации; Официальная идеология периода перестройки предполагала постепенное длительное преобразование...
75944. Первая и вторая чеченские компании: сравнительный анализ 18.39 KB
  Чеченский вооруженный конфликт 19941996 годах военные действия между российскими федеральными войсками силами и вооруженными формированиями Чеченской Республики Ичкерии созданными в нарушение законодательства РФ. В сентябре 1999 года началась новая фаза чеченской военной кампании которая получила название контр-террористической операции на Северном Кавказе. Вооруженный конфликт в 19941996 годах первая чеченская война Чеченский вооруженный конфликт 19941996 годах военные действия между российскими федеральными войсками силами и...
75945. Политическая борьба за «ельцинское наследство». Думские выборы 1999 года и их итоги 30.09 KB
  Главный сюжет предвыборной борьбы схватка между двумя партиями власти ОВР и Единством завершается весьма печально для сторонников Лужкова и Примакова. Привычка к атмосфере советского номенклатурного чинопочитания сыграла с лидерами ОВР злую шутку. Дело дошло до того что в Кремле задумались: как после столь сокрушительных побед в предвыборной игре Замочи Лужка удастся наладить отношения с новой Думой в которой как ожидается будут доминировать коммунисты о союзнических отношениях которых с ОВР так много пишет прокремлевская пресса в...
75946. Политические партии в РФ в конце 20 века 18.17 KB
  Политические партии в России в конце 20 в. Стратегическая цель партии построение в России обновленного социализма социализма XXI века. Женщины России. Политическая ориентация фракции умеренный либерализм развитие межнациональных отношений поддержка социальных программ государства сохранение территориальной целостности России поддержка Правительства и Президента России.