57561

тематика й астрономія Що спільного між заходом Сонця в Донецьку і функцією синус Мотивація і плануван.

Конспект урока

Педагогика и дидактика

За допомогою відривного календаря легко помітити момент сходу та заходу Сонця для різних міст України на кожне число кожного місяца. Перше що залежить від різниці довготи Києва та інших міст України додається до часу сходу та заходу...

Украинкский

2014-04-13

60 KB

0 чел.

Математика й астрономія

Що спільного між заходом Сонця в Донецьку і функцією синус

 

Мотивація і планування

Період, коли Сонце знаходиться над обрієм, зменшується з 16 годин під час літнього сонцестояння  до 13.40 (на широті Донецька), а до кінця вересня день стає коротшим за ніч.

За допомогою відривного календаря легко помітити момент сходу та заходу Сонця для різних міст України на кожне число кожного місяца. Для цього потрібно внести в розміщені в усіх відривних календарях відомості для Києва два уточнення. Перше, що залежить від різниці довготи Києва та інших міст України, додається до часу сходу та заходу Сонця, зазначеному в таблиці, друге – залежить від географічної широти  обраного міста (в нашому випадку - м. Донецька).

Складемо таблицю заходу Сонця на 1 день кожного місяця 2012 року в Києві та Донецьку і, поєднавши отримані крапки плавною лінією, побудуємо два графіки, взявши за вісь абсцис середній час заходу Сонця – 18 годину.

 

Місяць

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

1.06

1.07

1.08

1.09

1.10

1.11

1.12

Київ

1605

1651

1740

1930

2018

2100

2113

2042

1943

1836

1634

1557

Донецьк

1546

1630

1714

1859

1943

2022

2033

2006

1910

1808

1610

1537

Графік заходу Сонця на 1 день кожного місяця 2012 року

у Києві та Донецьку

Розглянемо графік, що отримали: всі крапки розташовано вздовж хвильової лінії.

Учні швидко помічають можливість уточнення цієї лінії, за умови нанесення на графік ще 10-15 точок впродовж кожного місяця, розраховуючи, що в місяці приблизно 30 днів. Можна побудувати аналогічну таблицю і графік для моментів сходу сонця.

Учні починають згадувати, що аналогічні графіки отримували в курсі алгебри 10 класу під час вивчення теми „Графіки тригонометричних функцій”, фізики 11 класу, вивчаючи взаємний зв’язок обертального руху зі змінами напруги в генераторі змінного струму.

При подальшій бесіді можна навести ще кілька прикладів, включаючи механічні коливання, рух при плаванні, рух повзучої змії та інші, а також вказати на аналогічний рух планет, хоча беспосередні спостереження  їх руху впродовж  людського життя не завжди досить наочні.

                                 

                                    Аналогії  з властивостями функцій

Наведений метод може бути використаний не тільки для обговорення властивостей функцій  y=sinx та  y=a sinx, а й для організації узагальнюючого повторення матеріалу при підготовці до ЗНО.

Необхідно окремо сказати про крайні умови і межі застосування цієї моделі. Так, деяка „сплющеність” земної кулі вздовж полярної осі може привести до деяких відхилень від „ідеального” графіка синусу. Відхилення обумовлені  і нерівномірністю руху Землі (по еліптичній, а не по круговій орбіті), і деякими вимірами тривалості кроку в таблиці, тобто розглянутої одиниці часу „ 1 календарний день” при наведеному дискретному визначенні значень функції.

Ці два спрощення – сплющеність Землі і нерівномірність руху незначною мірою викривляють графік; побудова дискретних точок графіка є швидше перевагою даного методу. Деякі учні одразу говоритимуть про задання функції на множині цілих чисел, але не на множині дійсних чисел.

Щоб виключити 29 лютого, можна нумерувати дні на вісі абсцис по черзі (це може бути додатковим завданням учням), але зменшить наочність, тобто уявлення про „календарний рік”, що буде розглянуто в курсі астрономії 11 класу.

Уявлення про функцію

Функцією зветься однозначна відповідність, за якою кожному елементу х множини Х ставиться в відповідність єдиний елемент у з множини У, хоча зворотня відповідність виконується не завжди.

Кожному дню ставиться в відповідність тільки одна мить заходу Сонця; дня, коли Сонце не зайде, не існує, причому для полярних областей ситуація інша. У якості контрприкладу можна навести співвідношення: день → схід (чи захід) Місяця; в ньому однозначне співвідношення порушується.

Отже, кожному дню вподовж  року відповідає визначений момент заходу Сонця. Зворотня співвідносність не є однозначною: за часом заходу Сонця неможливо визначити дату, навіть якщо виключити періоди сонцестояння, коли майже цілий тиждень захід (схід) відбувається в один і той же час.

Для більш підготовлених учнів можна запропонувати вирішити цікавішу проблему: теоретично розрахувати моменти заходу Сонця в період 20-25 червня з точністю до секунд.

Область визначення

Сонячна система існує достатньо довго як в минулому, так й існуватиме в майбутньому. Деякі учні можуть стверджувати, що область визначення цієї функції  - це (- ∞< х <+∞), це не є грубою помилкою. Дотримуються такої ж версії  під час опису змін напруги в генераторі змінного струму, хоча зрозуміло, що генератор був відключений у якийсь визначений момент часу.

Область припустимих значень

Спостереження показали, що момент заходу Сонця для заданої географічної широти завжди знаходиться в певних межах. Наприклад, для Донецька з 15.45 до 20.33. Отже, захід Сонця в нашому регіоні о 13.30 чи о 0.04, чи о 07.38 – подія неймовірна.

Те ж відноситься і до функцій  y= sinx, (-1≤ у ≤1) та  y=a sin x, (-а ≤ у ≤ а). Також  допустимий час заходу Сонця може змінитися з моменту його заходу в день зимового сонцестояння до моменту заходу в  день літнього сонцестояння.

Побудувавши криву момента заходу Сонця для Донецька, можна отримати аналогічний  графік для більш високих широт шляхом вертикального розтягнення, а для більш низьких широт -  шляхом стиснення існуючої кривої (для міст, які знаходяться на тій же довготі).

Для населених пунктів Південної півкулі коефіцієнт розтягнення (стиснення) буде від’ємним, а для пунктів Північної півкулі, розташованих на такій же відстані від екватора, крива буде дзеркальним відображенням існуючої кривої. Для пунктів на екваторі крива співпаде з віссю абсцис ( в нашому випадку вісь абсцис відповідає часу заходу Сонця о 18.00, а це є аналогом функції y = 0∙sin x).

Проте через нахил земної осі до площини екліптики пряму не отримаємо, буде лише сплюснута синусоїда.

Найменший період

      Легко перевірити, що по закінченні року всі моменти заходу Сонця повторюються в тій же послідовності. Причиною цих повторень є повне обертання Землі навколо Сонця за рік, який триває 365 діб, оскільки розгляд високосного року ускладнює розрахунки.

      Таким чином, якщо маємо час, коли заходить Сонце 15 квітня 2009 року, то 15 квітня 2010, 2011, 2012 р. тощо, воно зійде в той же час. Щорічні  відхилення невеликі, ними в першому наближенні можна знехтувати.

      Таким чином, при графічному зображенні функції досить обмежитися одним періодом, наприклад з 1 січня по 31 грудня.

Проміжки монотонності

       Приблизно з 21 грудня по 21 червня тривалість світового часу доби (коли Сонце знаходиться над обрієм) зростає, захід Сонця з кожним днем все пізніший та пізніший. Ця закономірність не порушується  ні на один день. Сплющеність Землі та нерівномірність її руху ролі не відіграють. Тривалість дня монотонно зростає впродовж всього вищезазначеного півріччя, а після 21 червня до 21 грудня навпаки зменшується.

                             Корені (нульові точки функції)

      У вибраній системі координат початок астрономічної осені, як і початок весни, відповідає нульовим значенням функції – „вузликам” хвильової лінії, причому не тільки для Донецька, а й для всіх пунктів, які знаходяться на тій же широті, якщо кожен раз говорити про місцевий час зазначеного пункта. Коли на одному графіку побудувати криві для Донецька і Чернівців (5 зона за календарем), то крива для Чернівців буде зсунута вздовж осі абсцис по відношенню до „донецької”. Те ж саме можна отримати шляхом зсуву самої осі.

Важливі точки

      Щоб побудувати графік функції y = sin x в інтервалі    0˚ ≤ х ≤ 360˚ (або

 0 ≤ х ≤ 2π), учні повинні пам’ятати  положення  точок (0˚;0), (90˚;0), (180˚;0), (270˚;0), (360˚;0) в градусному чи радіанному вимірі на осі абсцис.

У додатку до кривої часу заходу Сонця це особливі крапки, які вивчались протягом тисячоліть і отримали назви початку астрономічних весни, літа, осені, зими. Постійно треба пам’ятати про симетрію синусоїди.

Переваги розглянутої моделі

      Графік отримали за результатами „нематематичної” моделі, пов’язаної з повсякденним життям, шляхом складання таблиці значень часу заходу Сонця. Графік не  задається в готовому вигляді, а будується поступово.

У майбутньому модель може бути пов’язана з подальшим матеріалом з астрономії 11 класу.

      Запропонований метод установлює міжпредметні зв’язки під час вивчення  математики, фізики, астрономії.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2060. Изучение аэродинамических и геометрических характеристик решеток 567 KB
  Цель работы: ознакомиться с методикой экспериментального изучения аэродинамических и геометрических характеристик решеток, экспериментально определить эти характеристики.
2061. Экспериментальное исследование электродинамического микрофона 551.62 KB
  Способы измерения параметров и получение экспериментальных характеристик микрофонов.
2062. Аэродинамические и геометрические характеристиками турбинной решетки 802.95 KB
  Турбинная решетка и её характеристики. Основные геометрические характеристики турбинной решетки. Классификация профилей.
2063. Создание и редактирование базы данных 345.56 KB
  Создание таблицы в режиме конструктора. Редактирование базы данных. Создание запросов. Настройка Параметров запуска базы данных.
2064. Аналіз сучасного стану управління транспортними потоками Жовтневого району м. Харкова 74.85 KB
  Аналіз методів організації дорожнього руху. північна частина Жовтневого району м. Харкова. Характеристики транспортних потоків. Характеристики технічних засобів регулювання дорожнього руху.
2065. Цитологические основы полового и бесполого размножения 39.65 KB
  В основе бесполого размножения лежит митоз. Митоз состоит из четырех фаз: профазы, метафазы, анафазы, телофазы.
2066. Закономерности наследования признаков, установленные Менделем 37.29 KB
  Часть открытий из области основных закономерностей наследования признаков принадлежит Менделю. Он проводил опыты по гибридизации гороха. Он отбирал растения, отличающиеся парой альтернативных признаков.
2067. Основные положения хромосомной теории наследственности, сформулированной Морганом 37.93 KB
  Поскольку число генов у каждой особи намного больше числа хромосом, в одной хромосоме располагается множество генов. Т. Морган и его ученики обнаружили, что гены, локализованные в одной хромосоме, наследуются совместно, то есть сцеплено.
2068. Типы взаимодействия генов 39.77 KB
  Различают следующие основные типы взаимодействия генов: 1) комплементарность, 2) элистаз, 3) полимерия, 4) модифицирующее действие генов.