57582

ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ В ЕКОНОМІЦІ

Книга

Педагогика и дидактика

Традиційно практичне застосування похідної використовується при дослідженні функції розвязуванні задач фізичного чи геометричного змісту. Яким же буде оптимальний обсяг випуску для фірми...

Украинкский

2014-04-13

148.5 KB

9 чел.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ШОСТКИНСЬКА ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА

І – ІІІ СТУПЕНІВ № 4

Практикум з теми

ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ

В ЕКОНОМІЦІ

         

       Підготувала вчитель-методист

       ШЗШ І – ІІІ ступенів № 4,

       м. Шостки Сумської області

       Сафронюк Галина Василівна

Шостка 2010

Вступ

Останнім часом з’явилася велика кількість шкіл і класів, учні яких обирають економічні спеціальності в якості своєї подальшої діяльності.  Як правило, в таких класах поглиблено вивчається економіка та математика, але мало часу приділяється застосуванню математичного моделювання до вирішення економічних завдань. Не є винятком і тема, присвячена застосуванню диференціального числення в інших областях знань.

Традиційно практичне застосування похідної використовується при дослідженні функції,  розвязуванні задач фізичного чи геометричного змісту.

Разом з тим,  диференціальне числення дає багатий математичний апарат для моделювання і дослідження процесів, що відбуваються в економіці.


Подібно  до того, як Архімед, відкривши закон важеля,

сказав: «Дайте мені точку опори, і я зрушу Землю»,

так і Ньютонові сучасники говорили: «Складіть нам

                                     диференціальні  рівняння усіх рухів у природі і навчіть

    нас їх інтегрувати, тоді ми будемо подібні до Бога, бо за

допомогою обчислень точно знатимемо майбутні події».

Д. .О. Граве

Задачі

Задача 1: вибрати оптимальний обсяг виробництва фірмою, функція прибутку  якої може бути змодельована залежністю:   f (q) = q2 - 8q + 10, де q – обсяг продукції.

Розв’язання:   f '(q) = 2q - 8 =2(q-4)

 

                                  -              +  

                                    4                   х

                             мал.1

При q < 4 прибуток зменшується, при q> 4 прибуток зростає, при q = 4 прибуток приймає мінімальне значення (мал. 1).

Яким же буде оптимальний обсяг випуску для фірми?  Розглянемо схематично графік функції f(q).

                     y

            10

                        0         x     

                                   4         8

мал. 2.

Якщо фірма не може проводити за аналізований період більше 8 одиниць продукції (f(8)=f(0)=10), то оптимальним рішенням буде взагалі нічого не виробляти, а отримувати дохід від здачі в оренду приміщень  або обладнання.

Якщо ж фірма здатна виробляти більше 8 одиниць, то оптимальним для фірми буде випуск на межі своїх виробничих потужностей.

Задача 2: Друкований текст (разом з проміжками між рядками) однієї сторінки книжки має займати площу Sсм. Ширина верхніх і нижніх полів сторінки має бути а см, бічних полів  - b см. Які розміри сторінки є найвигіднішими, якщо враховувати лише економію паперу.

      Розв’язання:   

                B        C

                        N                          K

b

      M              a          L               

             A                                         D

мал. 3.

Нехай x, y  - розміри сторінки. S, AB=x, BC=y (мал. 2.3.) S  

MN=x-2a, NK=, тоді BC=NK+2b=, y=.

S.

Розглянемо функцію f(x)= , х>2a.

Знайдемо, при яких значеннях змінної х значення функції набуває найбільшого значення.   f '(х)= .

 2aS=2b(x-2a);

(x-2a)=, х-2а=, х= +2а.

На проміжку, де х>2a, функція має єдину критичну точку, яка очевидно є точкою максимума. Отже, якщо х==2а, а y=, то функція приймає найбільшу значення. Ці розміри сторінки і є найвигіднішими.

Задача 3: Цементний завод виробляє x т. цементу на день. За договором він повинен щодня поставляти будівельній фірмі не менше 20 т. цементу. Виробничі потужності заводу такі, що випуск цементу не може перевищувати 90 т. на день.

Визначити, при якому обсязі виробництва питомі витрати будуть найбільшими (найменшими), якщо функція витрат має вигляд: Y =- х3 +98 х2 +200 х. Питомі витрати складуть  Y/x =- х2 +98 х +200. Наше завдання зводиться до відшукання найбільшого і найменшого значення функції У =-х2 +98х+ 200 на проміжку [20, 90].

Висновок: x = 49, критична точка функції. Обчислюємо значення функції на кінцях проміжку і в критичній точці. f (20) = 1760 f (49) = 2601 f (90) = 320.

Таким чином, при випуску 49 тонн цементу в день питомі витрати максимальні, це економічно не вигідно, а при випуску 90 тонн на день мінімальні, отже можна порадити працювати заводу на граничній потужності і знаходити можливості удосконалити технологію, тому що далі буде діяти закон спадної прибутковості . І без реконструкції не можна буде збільшити випуск продукції. Задача 4: Підприємство виробляє Х одиниць деякої однорідної продукції в місяць. Встановлено, що залежність фінансових нагромаджень підприємства від обсягу випуску виражається формулою f (x) =- 0,02 x3 +600 x -1000. Дослідити потенціал підприємства.

Функція досліджується за допомогою похідної .

f '(x)= -3, де x>0. Визначимо знак похідної за допомогою методу інтервалів (мал. 3).

                                            +                    -

           -100                                 100              х

                                  мал.  4

 Отримуємо, що при x=100 функція досягає максимуму.

Висновок: фінансові накопичення підприємства зростають зі збільшенням обсягу виробництва до 100 одиниць, при х=100 вони досягають максимуму і обсяг нагромадження дорівнює 39 000 грошових одиниць. Подальше зростання виробництва призводить до скорочення фінансових накопичень.

Еластичність функції

Задача 5: Для дослідження економічних процесів та вирішення інших прикладних задач використовується поняття еластичності функції.

Означення: Еластичністю функції Еx (y) називається границя відношення відносного приросту функції у до відносного приросту змінної х при х  0:

  

Еластичнісіь функції наближено відображає, на скільки відсотків зміниться функція у = f (х) при зміні незалежної змінної х на 1%.

Приклад: Залежність між собівартістю одиниці продукції у (тис. грош. од.) та випуском продукції х (млрд. грош, од.) виражається функцією у=0,5х+80. Знайти еластичність собівартості за умови випуску продукції в розмірі 60 млрд. грош. од.

Розв'язок: За формулою  еластичністі собівартості

При х = 60 , тобто при виробництві продукції в розмірі 60 млн. грош. од., збільшення її на 1% викличе зменшення собівартості на 0,6%.

Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та пропозиції.

Задача 6:Попит - це кількість товару, яка потрібна покупцю. Цінова еластичність попиту ED - це величина, яка характеризує те, як попит реагує на зміну ціни. Якщо |ED|> 1, то попит називається еластичним, якщо |ED| <1, то – не еластичним. У разі ED = 1 попит називається абсолютно не еластичним, тобто зміна ціни не призводить ні до якої зміни попиту [8].

Навпаки, якщо найменше зниження ціни спонукає покупця збільшити покупки від 0 до межі своїх можливостей, кажуть, що попит є абсолютно еластичним. У залежності від поточної еластичності попиту, підприємець приймає рішення про зниження або підвищення цін на продукцію.

Приклад: За допомогою досліду були  встановлені функції попиту та пропозиції , де q та sкількість товарів, відповідно що купується і пропонується для продажу за одиницю часу, р — ціна товару. Знайти: а) рівноважну ціну, тобто ціну, за якої попит та пропозиція врівноважуються; б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни.

Розв'язок:     а)    Рівноважна     ціна    визначається     з    умови     q = s, , звідки р = 2, тобто рівноважна ціна дорівнює 2 грош. од. б) Знайдемо еластичності попиту та пропозиції за формулою:

Для рівноважної ціни р = 2 маємо Ер=2(q) = -0,3,   Ep=2(s) = 0,8.

Тому що отримані значення еластичності за абсолютною величиною менші 1, то попит і пропозиція даного товару за рівноважної (ринкової) ціни нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна ціна не приведе до різкої зміни попиту та пропозиції. Так, при збільшенні ціни p на 1% попит зменшиться на 0,3%, а пропозиція збільшиться на 0,8%.

Граничний аналіз

Важливий розділ методів диференціального числення, що використовуються в економіці - методи граничного аналізу, тобто сукупність прийомів дослідження змінних величин на основі аналізу їх граничних значень[9].

 Граничний показник функції - це її похідна.

В економіці часто використовуються середні величини: середня продуктивність праці, середні витрати, середній дохід, середній прибуток тощо. Але часто потрібно дізнатися, на яку величину зросте результат, якщо будуть збільшені витрати або навпаки, наскільки зменшиться результат, якщо витрати скоротяться. За допомогою середніх величин відповідь на це питання отримати неможливо. У подібних завданнях потрібно визначити межу відносини приростів результату і витрат, тобто знайти граничний ефект.

Отже, для їх вирішення необхідне застосування методів диференціального числення.

Задача 7: Залежність між витратами виробництва у і обсягом продукції х, що випускається, визначається функцією у = 50х - 0,05х3 (грош. од.). Визначити середні та граничні витрати за умови, що обсяг продукції 10 одиниць.

Розв'язок: Функція середніх витрат (на одиницю продукції) виражається відношенням  при х = 10 середні витрати (на одиницю продукції) дорівнюють  (грош. од.). Функція граничних витрат виражається похідною у'(x) = 50-0,15x2 ; при х = 10 граничні витрати складають у'(10) = 50-0,15·102 =35 (грош. од.). Отже, якщо середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 45 грош. од., то граничні витрати, тобто додаткові затрати на виробництво додаткової одиниці продукції за умови даного рівня виробництва (обсягу продукції, що випускається 10 од.), складають 35 грош. од.

Використані інформаційні джерела

  1.  Курс математического анализа : учеб. пособие для пед. ин-тов: в 2-х т. Т. 1 / И. М. Уваренков, М. З. Маллер. - М. : Просвещение, 1966.
  2.  Математический анализ  / А.А. Дадаян, В.А. Дударенко. - Минск : Выcш. шк., 1990. - Б. ц.
  3.  Дифференциальное и интегральное исчисление: В 2 тт: Т. 1: Учебник для втузов. Пискунов Н. С., 2001 г., Изд.: Интеграл-Пресс .
  4.  Математические методы в экономике. О.О.Замков, А.В.Толстопятенко, Ю.Н.Черемных. Москва: Дело и Сервис, 2003.
  5.  Краткий курс математики для экономистов. Учебное пособие. Автор: А.Н. Колесников Изд: ИНФРА-М, 2001
  6.  Петров М.А. Математический анализ в производственных задачах: Учеб. пособие. - М.: Просвещение, 1990.
  7.  http://www.prostobiz.ua/biznes/razvitie_biznesa
  8.  http://revolution.allbest.ru/economy
  9.  http://www.br.com.ua
  10.  http://www.inventech.ru/lib/micro


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32468. Задачи технического и технологического оснащения предприятий 27.5 KB
  Технология совокупность методов обработки изготовления изменения состояния свойств формы сырья материала или полуфабриката применяемых в процессе производства для получения готовой продукции наука о способах воздействия на сырье материалы и полупродукты соответствующими орудиями производства. Развитие науки и техники способствует совершенствованию средств массового производства туристских услуг материальнотехнической базы в гостиничном хозяйстве на транспорте в бюро путешествий.
32469. Модернизация технических средств предприятий СКС и Т 26 KB
  Бурное развитие туристкой индустрии в последнее десятилетие связано в 2мя факторами: развитием гражданской авиации и созданием компьютерных систем бронирования. В свою очередь увеличение числа авиалиний самолетов а так же рост объемов авиаперевозок закономерно привели к необходимости создания и использования компьютерных систем бронированияCRS которые стали основным инструментом для резервирования авиабилетов. Теперь в системах бронирования заложена информация не только о наличие мест но и общая информация о рейсах.
32470. Технология художественных изделий из керамики 498.54 KB
  Обжиг керамических изделий 3й разряд Сформировать знания о процессе обжига керамических изделий его видах и способах. Назначение и суть обжига керамических изделий. Виды и способы обжига. Объясняет назначение обжига керамических изделий виды и способы обжига правила загрузки и выгрузки изделий устройство обжиговых печей.
32471. Формование керамических изделий и его виды 103.77 KB
  Способы формования керамических изделий Исходя из содержания воды в формовочной массе различают следующие основные способы формовки: способ литья содержание воды 2534; пластический способ воды 1625 это свободная лепка формование на гончарном круге ручной оттиск в форме формование по вращающейся гипсовой форме с помощью шаблона или ролика; полусухой способ 716 влажности; сухой способ 27 влажности. Литье Этот способ широко применяется в производстве художественных керамических изделий что объясняется возможностью...
32472. Ручная роспись керамических изделий, подготовка, инструменты 32.21 KB
  Пером расписывают изделия прошедшие утельный или политой обжиг. Кистью можно наносить на изделия цветные массы ангобы глазурь. Роспись на изделиях можно производить без нанесения предварительного контура и по заранее нанесенному припорохом рисунку. На отводку поступают изделия предварительно оформленные основным декором.
32473. Декорирование изделий в сыром виде 15.92 KB
  Способы нанесения декора на керамический материал Декорирование является важным этапом в общем цикле технологического процесса по изготовлению художественных керамических изделий. Декорирование керамических изделий можно вести как живописным так и скульптурным методом. К живописному относят роспись изделий а также нанесение на них сплошных или частичных декоративных покрытий керамическими красками глазурями ангобами люстрами и эмалями.
32474. Сушка изделий, ее назначение, виды сушки 13.79 KB
  Сушка керамических изделий полуфабрикатов может быть естественной на открытом воздухе под навесами в сараях и т. К недостаткам туннельных сушилок относятся: большое количество вагонеток и необходимость их пополнения подверженность металлических изделий вагонеток коррозии неравномерность сушки изделий по поперечному сечению туннеля вверху температура теплоносителя выше чем внизу и необходимость круглосуточной загрузки и разгрузки вагонеток. Недостатки камерных сушилок: неравномерная сушка изделий изза различной температуры...
32475. Виды обжига керамических изделий 16.73 KB
  Периоды обжига: подъем температуры нагревание наиболее ответственный; выдержка при постоянной температуре; снижение температуры охлаждение. Составляющие режима обжига: скорость нагрева и охлаждения время выдержки при постоянной температуре температура обжига среда обжига окислительная в условиях свободного доступа воздуха; восстановительная в условиях прекращения доступа воздуха и избытка угарного газа; нейтральная. После сушки изделия имеют остаточную влажность около 24 и эта влага удаляется в начальный период обжига в...
32476. Виды декорирования – декалькомания, шелкография 39.41 KB
  Перед нанесением рисунка бумага акклиматизируется в печатном цехе в течение 34 дней иначе при многокрасочной печати может получиться несовпадение красок на рисунках изза неодинаковой влажности бумаги и воздуха в цехе.При больших тиражах и плоских или цилиндрических поверхностях наиболее экономичными являются методы прямой печати. Нагрев краски в зоне печати производится внешним источником инфракрасного излучения или пропусканием тока через саму металлическую сетку. Основные экономические особенности печати термопластичными красками...