57582

ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ В ЕКОНОМІЦІ

Книга

Педагогика и дидактика

Традиційно практичне застосування похідної використовується при дослідженні функції розвязуванні задач фізичного чи геометричного змісту. Яким же буде оптимальний обсяг випуску для фірми...

Украинкский

2014-04-13

148.5 KB

11 чел.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ШОСТКИНСЬКА ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА

І – ІІІ СТУПЕНІВ № 4

Практикум з теми

ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ

В ЕКОНОМІЦІ

         

       Підготувала вчитель-методист

       ШЗШ І – ІІІ ступенів № 4,

       м. Шостки Сумської області

       Сафронюк Галина Василівна

Шостка 2010

Вступ

Останнім часом з’явилася велика кількість шкіл і класів, учні яких обирають економічні спеціальності в якості своєї подальшої діяльності.  Як правило, в таких класах поглиблено вивчається економіка та математика, але мало часу приділяється застосуванню математичного моделювання до вирішення економічних завдань. Не є винятком і тема, присвячена застосуванню диференціального числення в інших областях знань.

Традиційно практичне застосування похідної використовується при дослідженні функції,  розвязуванні задач фізичного чи геометричного змісту.

Разом з тим,  диференціальне числення дає багатий математичний апарат для моделювання і дослідження процесів, що відбуваються в економіці.


Подібно  до того, як Архімед, відкривши закон важеля,

сказав: «Дайте мені точку опори, і я зрушу Землю»,

так і Ньютонові сучасники говорили: «Складіть нам

                                     диференціальні  рівняння усіх рухів у природі і навчіть

    нас їх інтегрувати, тоді ми будемо подібні до Бога, бо за

допомогою обчислень точно знатимемо майбутні події».

Д. .О. Граве

Задачі

Задача 1: вибрати оптимальний обсяг виробництва фірмою, функція прибутку  якої може бути змодельована залежністю:   f (q) = q2 - 8q + 10, де q – обсяг продукції.

Розв’язання:   f '(q) = 2q - 8 =2(q-4)

 

                                  -              +  

                                    4                   х

                             мал.1

При q < 4 прибуток зменшується, при q> 4 прибуток зростає, при q = 4 прибуток приймає мінімальне значення (мал. 1).

Яким же буде оптимальний обсяг випуску для фірми?  Розглянемо схематично графік функції f(q).

                     y

            10

                        0         x     

                                   4         8

мал. 2.

Якщо фірма не може проводити за аналізований період більше 8 одиниць продукції (f(8)=f(0)=10), то оптимальним рішенням буде взагалі нічого не виробляти, а отримувати дохід від здачі в оренду приміщень  або обладнання.

Якщо ж фірма здатна виробляти більше 8 одиниць, то оптимальним для фірми буде випуск на межі своїх виробничих потужностей.

Задача 2: Друкований текст (разом з проміжками між рядками) однієї сторінки книжки має займати площу Sсм. Ширина верхніх і нижніх полів сторінки має бути а см, бічних полів  - b см. Які розміри сторінки є найвигіднішими, якщо враховувати лише економію паперу.

      Розв’язання:   

                B        C

                        N                          K

b

      M              a          L               

             A                                         D

мал. 3.

Нехай x, y  - розміри сторінки. S, AB=x, BC=y (мал. 2.3.) S  

MN=x-2a, NK=, тоді BC=NK+2b=, y=.

S.

Розглянемо функцію f(x)= , х>2a.

Знайдемо, при яких значеннях змінної х значення функції набуває найбільшого значення.   f '(х)= .

 2aS=2b(x-2a);

(x-2a)=, х-2а=, х= +2а.

На проміжку, де х>2a, функція має єдину критичну точку, яка очевидно є точкою максимума. Отже, якщо х==2а, а y=, то функція приймає найбільшу значення. Ці розміри сторінки і є найвигіднішими.

Задача 3: Цементний завод виробляє x т. цементу на день. За договором він повинен щодня поставляти будівельній фірмі не менше 20 т. цементу. Виробничі потужності заводу такі, що випуск цементу не може перевищувати 90 т. на день.

Визначити, при якому обсязі виробництва питомі витрати будуть найбільшими (найменшими), якщо функція витрат має вигляд: Y =- х3 +98 х2 +200 х. Питомі витрати складуть  Y/x =- х2 +98 х +200. Наше завдання зводиться до відшукання найбільшого і найменшого значення функції У =-х2 +98х+ 200 на проміжку [20, 90].

Висновок: x = 49, критична точка функції. Обчислюємо значення функції на кінцях проміжку і в критичній точці. f (20) = 1760 f (49) = 2601 f (90) = 320.

Таким чином, при випуску 49 тонн цементу в день питомі витрати максимальні, це економічно не вигідно, а при випуску 90 тонн на день мінімальні, отже можна порадити працювати заводу на граничній потужності і знаходити можливості удосконалити технологію, тому що далі буде діяти закон спадної прибутковості . І без реконструкції не можна буде збільшити випуск продукції. Задача 4: Підприємство виробляє Х одиниць деякої однорідної продукції в місяць. Встановлено, що залежність фінансових нагромаджень підприємства від обсягу випуску виражається формулою f (x) =- 0,02 x3 +600 x -1000. Дослідити потенціал підприємства.

Функція досліджується за допомогою похідної .

f '(x)= -3, де x>0. Визначимо знак похідної за допомогою методу інтервалів (мал. 3).

                                            +                    -

           -100                                 100              х

                                  мал.  4

 Отримуємо, що при x=100 функція досягає максимуму.

Висновок: фінансові накопичення підприємства зростають зі збільшенням обсягу виробництва до 100 одиниць, при х=100 вони досягають максимуму і обсяг нагромадження дорівнює 39 000 грошових одиниць. Подальше зростання виробництва призводить до скорочення фінансових накопичень.

Еластичність функції

Задача 5: Для дослідження економічних процесів та вирішення інших прикладних задач використовується поняття еластичності функції.

Означення: Еластичністю функції Еx (y) називається границя відношення відносного приросту функції у до відносного приросту змінної х при х  0:

  

Еластичнісіь функції наближено відображає, на скільки відсотків зміниться функція у = f (х) при зміні незалежної змінної х на 1%.

Приклад: Залежність між собівартістю одиниці продукції у (тис. грош. од.) та випуском продукції х (млрд. грош, од.) виражається функцією у=0,5х+80. Знайти еластичність собівартості за умови випуску продукції в розмірі 60 млрд. грош. од.

Розв'язок: За формулою  еластичністі собівартості

При х = 60 , тобто при виробництві продукції в розмірі 60 млн. грош. од., збільшення її на 1% викличе зменшення собівартості на 0,6%.

Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та пропозиції.

Задача 6:Попит - це кількість товару, яка потрібна покупцю. Цінова еластичність попиту ED - це величина, яка характеризує те, як попит реагує на зміну ціни. Якщо |ED|> 1, то попит називається еластичним, якщо |ED| <1, то – не еластичним. У разі ED = 1 попит називається абсолютно не еластичним, тобто зміна ціни не призводить ні до якої зміни попиту [8].

Навпаки, якщо найменше зниження ціни спонукає покупця збільшити покупки від 0 до межі своїх можливостей, кажуть, що попит є абсолютно еластичним. У залежності від поточної еластичності попиту, підприємець приймає рішення про зниження або підвищення цін на продукцію.

Приклад: За допомогою досліду були  встановлені функції попиту та пропозиції , де q та sкількість товарів, відповідно що купується і пропонується для продажу за одиницю часу, р — ціна товару. Знайти: а) рівноважну ціну, тобто ціну, за якої попит та пропозиція врівноважуються; б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни.

Розв'язок:     а)    Рівноважна     ціна    визначається     з    умови     q = s, , звідки р = 2, тобто рівноважна ціна дорівнює 2 грош. од. б) Знайдемо еластичності попиту та пропозиції за формулою:

Для рівноважної ціни р = 2 маємо Ер=2(q) = -0,3,   Ep=2(s) = 0,8.

Тому що отримані значення еластичності за абсолютною величиною менші 1, то попит і пропозиція даного товару за рівноважної (ринкової) ціни нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна ціна не приведе до різкої зміни попиту та пропозиції. Так, при збільшенні ціни p на 1% попит зменшиться на 0,3%, а пропозиція збільшиться на 0,8%.

Граничний аналіз

Важливий розділ методів диференціального числення, що використовуються в економіці - методи граничного аналізу, тобто сукупність прийомів дослідження змінних величин на основі аналізу їх граничних значень[9].

 Граничний показник функції - це її похідна.

В економіці часто використовуються середні величини: середня продуктивність праці, середні витрати, середній дохід, середній прибуток тощо. Але часто потрібно дізнатися, на яку величину зросте результат, якщо будуть збільшені витрати або навпаки, наскільки зменшиться результат, якщо витрати скоротяться. За допомогою середніх величин відповідь на це питання отримати неможливо. У подібних завданнях потрібно визначити межу відносини приростів результату і витрат, тобто знайти граничний ефект.

Отже, для їх вирішення необхідне застосування методів диференціального числення.

Задача 7: Залежність між витратами виробництва у і обсягом продукції х, що випускається, визначається функцією у = 50х - 0,05х3 (грош. од.). Визначити середні та граничні витрати за умови, що обсяг продукції 10 одиниць.

Розв'язок: Функція середніх витрат (на одиницю продукції) виражається відношенням  при х = 10 середні витрати (на одиницю продукції) дорівнюють  (грош. од.). Функція граничних витрат виражається похідною у'(x) = 50-0,15x2 ; при х = 10 граничні витрати складають у'(10) = 50-0,15·102 =35 (грош. од.). Отже, якщо середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 45 грош. од., то граничні витрати, тобто додаткові затрати на виробництво додаткової одиниці продукції за умови даного рівня виробництва (обсягу продукції, що випускається 10 од.), складають 35 грош. од.

Використані інформаційні джерела

  1.  Курс математического анализа : учеб. пособие для пед. ин-тов: в 2-х т. Т. 1 / И. М. Уваренков, М. З. Маллер. - М. : Просвещение, 1966.
  2.  Математический анализ  / А.А. Дадаян, В.А. Дударенко. - Минск : Выcш. шк., 1990. - Б. ц.
  3.  Дифференциальное и интегральное исчисление: В 2 тт: Т. 1: Учебник для втузов. Пискунов Н. С., 2001 г., Изд.: Интеграл-Пресс .
  4.  Математические методы в экономике. О.О.Замков, А.В.Толстопятенко, Ю.Н.Черемных. Москва: Дело и Сервис, 2003.
  5.  Краткий курс математики для экономистов. Учебное пособие. Автор: А.Н. Колесников Изд: ИНФРА-М, 2001
  6.  Петров М.А. Математический анализ в производственных задачах: Учеб. пособие. - М.: Просвещение, 1990.
  7.  http://www.prostobiz.ua/biznes/razvitie_biznesa
  8.  http://revolution.allbest.ru/economy
  9.  http://www.br.com.ua
  10.  http://www.inventech.ru/lib/micro


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10936. Технологія обпилювання металевих заготовок напилками 29 KB
  Тема 5:Технологія обпилювання металевих заготовок напилками. Мета: Навчальна: сформувати знання вміння та навички обпилювання металевих заготовок напилками. Виховна: виховувати в учнів культуру праці та бережливе ставлення до інструментів. Розвиваюча: розвиват
10937. Технологія свердлильних робіт. Свердла, кути заточування свердел. 29 KB
  Тема 6: Технологія свердлильних робіт. Свердла кути заточування свердел. Мета: Навчальна: сформувати знання навички та вміння свердління виробів з тонколистового металу. Виховна: виховувати в учнів бережливе ставлення до інструментів та культуру...
10938. Закономірності і принципи формоутворення предметного середовища 63 KB
  Тема 7: Вступ. Закономірності і принципи формоутворення предметного середовища. Мета: Навчальна: сформувати знання про предмет дизайнrdquo; вміння та навички повязані з даним поняттям. Виховна: виховувати в учнів культуру праці та бережливе ставлення до інструмент...
10939. Основи художнього конструювання 28 KB
  Тема 8:Основи художнього конструювання. Мета: Навчальна: сформувати знання вміння та навички повязані з даними поняттями. Виховна: виховувати в учнів культуру праці та бережливе ставлення до чужої праці. Естетичне сприймання предметів. Розвиваюча: розвивати у ш
10940. Макетування автомобіля 45 KB
  Тема. Макетування. Мета: Навчальна: сформувати знання вміння та навички повязані з макетуванням. Виховна: виховувати в учнів естетичне сприймання предметів культуру праці та бережливе ставлення до чужої праці. Розвиваюча: розвивати у школярів спеціальні здібно...
10941. Поняття про метали та їхні властивості 42.5 KB
  Тема. Поняття про метали та їхні властивості. Мета: ознайомити учнів із металами їх призначенням та використанням; сформувати поняття про їхні основні властивості як конструкційних матеріалів уміння розпізнавати види металів характеризувати властивості металів м
10942. Поняття про проекції. Види проеціювання 47.5 KB
  Тема 2:Поняття про проекції. Види проеціювання. Мета: Навчальна: сформувати знання вміння та навички повязані з преціюванням. Виховна: виховувати в учнів бережливе ставлення до чужої праці. Естетичне сприймання предметів культуру праці. Розвиваюча: розвивати у
10943. Орієнтовні плани-конспекти уроків технічної праці за новою програмою для 6 класу 1.07 MB
  Орієнтовні планиконспекти уроків технічної праці за новою програмою для 6 класу Урок 1. Вступ 1 год. Мета уроку: Засвоєння знань про основні галузі виробництва промисловість сільське господарство транспорт зв...
10944. Розмічання за шаблоном, площинне розмічання. Технологія виконання розмітки 72.5 KB
  Тема уроку: Розмічання за шаблоном площинне розмічання. Технологія виконання розмітки. Практична робота. Інструменти та пристрої для роботи з листовим металом Мета уроку: Засвоєння знань про слюсарні вимірювальні та допоміжні інструменти. Формування знань про інс