57745

Многогранники навколо нас

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Діапазон застосувань геометрії у різних сферах діяльності людини дуже широкий тому на даному занятті студенти розглядають многогранники з математичної точки зору означення властивості моделі п’яти правильних многогранників...

Украинкский

2014-04-15

598 KB

52 чел.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

СЛОВЯНСЬКИЙ КОЛЕДЖ ТРАНСПОРТНОЇ ІНФРАСТРУКТУРИ

Словянськ – 2013


Методична розробка заняття “Многогранника навколо нас” з дисципліни “Математика”. Підготувала Боєвець Н.В. – викладач Слов’янського коледжу транспортної інфраструктури – 2013.

Викладено методику проведення семінару з використанням інтерактивних методів і комп’ютерних технологій.

Для викладачів математики вищих навчальних закладів 1 – 2 рівнів акредитації.

Рецензенти:

         Потапова С.М. – голова методичного об’єднання викладачів математики Слов’янського регіону, викладач математики Дружківського машинобудівного технікуму Донбаської державної машинобудівної академії, спеціаліст вищої категорії; 

         Філатов В.Є. – викладач математики Слов’янського технікуму залізничного транспорту, спеціаліст вищої категорії

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії природничо-математичних дисциплін.

Протокол № ____ від __________________

Голова циклової комісії _______________ Н.В.Боєвець


ЗМІСТ

Передмова                                                                     

План заняття                  

Хід заняття           

Перелік використаних джерел                

Додаток А. Комп’ютерна презентація                                               

Додаток Б.

Додаток В.

               

                 


ПЕРЕДМОВА

Геометрія невичерпна і багатогранна, її особливості різнобічні і захоплюючі. Одного підкорює її логічна будова, другого-абстрактний метод, третій цінує в ній велику користь. Єдність особливостей геометрії це теж особливість, яка і становить її красу. Діапазон застосувань геометрії у різних сферах діяльності людини дуже широкий, тому на даному занятті студенти розглядають многогранники з математичної точки зору (означення, властивості, моделі пяти правильних многогранників), звязали тему з історією математики (стародавні греки встановили назву для многогранників та втілювали в них чотири суті або «стихії»), знайшли звявок з природою ( у молекулі метану, у морському мікроорганізмові феодарії, у кристалах куховарської солі), розглянули використання многогранників майстрами епохи Відродження.

Крім того, до семінару входять такі найпростіші многогранники як призма та піраміда. Тут розглядаються їх властивості і розвязуються задачі. Запропоновані також тестові завдання на два варіанта.

Для проведення даного семінару запропонованого використовувати компютерну презентацію через мультимедійний проектор, що дозволяє зосередити увагу на основних питаннях вивченого матеріалу і зробити висновок про многогранність математики і як важливо її вивчати.


Тема заняття: «Многогранники навколо нас»

Мета заняття:

методична: удосконалити методику організації навчальної діяльності студентів під час проведення семінару з використанням комп’ютерних технологій;   

навчальна:      узагальнити та систематизувати знання студентів з теми  «Многогранники», удосконалити вміння і навички розв’язування задач; 

розвиваюча:   розвивати логічне мислення і просторову уяву;

виховна:          сприяти вихованню всебічно розвиненої особистості; формувати вміння об’єктивно оцінювати результати своєї та                                           колективної роботи.

Вид заняття:  семінар

Тип заняття:  узагальнення та систематизація знань студентів 

Методи та форми проведення заняття: репродуктивна бесіда, робота в групах, «Мозковий штурм», тестовий контроль, «Презентація у Power Point»

Міжпредметні зв’язки:

забезпечуючі: історія, біологія, креслення, хімія

забезпечувані: інженерна графіка

Технічні засоби навчання: комп’ютер, мультимедійний проектор        

Методичне забезпечення:  моделі многогранників, портрети Платона, Піфагора, Евкліда, Архімеда, Кеплера

Випереджувальні завдання: студенти поділені на чотири групи: «Математики», «Історики», «Біологи» та «Мистецтвознавці та архітектори», які готують доповіді «Практичне застосування многогранників у житті»

Література:

основна:

  1.  Геометрия. Математика для техникумов. Г. Н. Яковлева, М. И. Каченовский, Ю. М. Колягин, А.Д. Кутасов М.: Наука, 1982.
  2.  Геометрия. П. П. Андреев, Э. З. Шувалов М.: Наука, 1975.
  3.  Геометрія: Стереометрія: Підруч. для 10-11 кл. серед. шк. – 4-те вид. – К.: Освіта, 1998.

додаткова:

  1.  Математика: Підручник / О. М. Афанасьєва, Я. С. Бродський, О. Л. Павлов, А. К. Сліпенко. – 2-ге вид., стер. – К.: Вища шк., 2002.
    1.  Бевз Г.П. та інші. Геометрія: Підручник для 10 – 11 кл. загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Вежа, 2004.
    2.  «За страницами учебника математики» Книга для учащихся 10-11 классов, М.: Просвещение АО «Учебная литература», 1996.


Хід заняття

  1.  Організація навчальної діяльності

Привітання студентів.

Підготовка аудиторії до заняття, перевірка наявності студентів.

  1.  Повідомлення теми, формування мети заняття, мотивація навчальної діяльності (слайд № 1)

Вступне слово викладача

Епіграф:

«Немає жодної галузі математики, якою б абстрактною вона не була, що коли-небудь не виявиться застосованою для явищ дійсного світу» 

(М.І.Лобачевський)

Діапазон практичного застосування математики величезний. Яку б науку ви не вивчали, до якого б навчального закладу не вступали, у якій би галузі ви не працювали, всюди обов’язково потрібні знання з математики.

«Математика – наука молодих. Інакше бути не може. Заняття математикою – це така гімнастика розуму, для якої потрібна вся гнучкість і вся витривалість молодості» (Р.Віккер)

«Хто в дитинстві займається математикою, той розвиває увагу, тренує мозок, волю, виховує в собі наполегливість і завзятість у досягненні мети» (А.Марушевич)

Тема нашого семінару є складовою одного з розділів математики –геометрії. Частину геометрії, яка вивчає положення, форму, взаємне розташування елементів просторових тіл, називають стереометрією (від грецький слів «стереос» - просторовий і «метрео» - вимірюю). Стереометрія виникла пізніше, ніж планіметрія, але також з потреб людини.

 Жодні геометричні тіла не мають такої досконалості і

краси, як правильні многогранники. "Правильних многогранників так мало, - писав Л. Кэрролл, - але цей дуже скромний за чисельністю загін зумів пробратися в самі глибини різних наук" (слайд № 2).

У житті і практичній діяльності ми дуже часто зустрічаємось із многогранниками, а тому нам потрібно добре знати їх характеристики, властивості і вміти застосовувати їх для розв’язування різноманітних задач.

Сьогодні на занятті ми узагальнимо знання з теми, а також перевіримо ваші дослідницькі вміння. Минулого заняття чотири групи студентів «Математики», «Історики», «Біологи» та «Мистецтвознавці та архітектори» отримали завдання – підготувати доповіді «Практичне застосування многогранників у житті»

  1.  Сприйняття й засвоєння навчального матеріалу

3.1 Доповідь групи «Математики»

Група «Математиків» дає означення правильних многогранників (опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многокутниками з однією й тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині сходиться одне й те ж число ребер) (слайди № 3, 4).

Ознаки правильних многогранників (многогранник опуклий, всі його грані рівні  правильні многокутники, в кожній вершині сходиться одне й те ж число ребер, рівні всі двогранні кути) (слайд № 5).

Демонструють їх моделі, дають характеристику для кожного многогранника (тетраедра, куба, октаедра, додекаедра, ікосаедра) (слайд № 6-10).

Доводять існування тільки п’яти правильних многогранників, (слайд № 11).

Яка ж ця зухвало мала кількість і чому їх саме стільки. А скільки? Виявляється, рівно п'ять – ні більше, ні менше. Підтвердити це можна за допомогою розгортки опуклого багатогранного кута. Насправді, для того, щоб отримати який-небудь правильний многогранник згідно з його визначенням, в кожній вершині повинна сходитися однакова кількість граней, кожна з яких є правильним багатокутником. Сума плоских кутів багатогранного кута має бути менше 360о|, інакше ніякої багатогранної поверхні не вийде. Перебираючи можливі  рішення нерівностей: 60к| < 360, 90к| < 360 і 108к| < 360, можна довести, що правильних многогранників рівно п'ять ( к - число плоских кутів, що сходяться в одній вершині многогранника).

Отже, було з'ясовано, що правильних многогранників рівно п'ять. А як визначити в них кількість ребер, граней, вершин? Це неважко зробити для многогранників з невеликим числом ребер, а як, наприклад, отримати такі відомості для ікосаедра? Знаменитий математик Л.Ейлер отримав формулу В+Г-Р=2, яка пов'язує число вершин В, граней Г і ребер Р| будь-якого многогранника. Простота цієї формули полягає в тому, що вона не пов'язана ні з відстанню, ні з кутами. Для знаходження кількості граней, вершин і ребер правильного многогранника використовуємо формули. Після цього неважко заповнити таблицю, в якій приведені відомості про елементи правильних многогранників.

Правильний многогранник

Число граней (Г)

Число вершин (В)

Число ребер (Р)

Число граней та вершин (Г+В)

Ейлерова характеристика

(Г+В-Р)

тетраедр

4

4

6

8

2

гексаедр

6

8

12

14

2

октаедр

8

6

12

14

2

додекаедр

12

20

30

32

2

ікосаедр

20

12

30

32

2

Розгляд теореми Ейлера і заповнення таблиці властивостей правильних          многогранників. (слайди № 12 – 14).

3.2  «Мозковий штурм» (слайд № 15)

Задача: Визначити кількість граней, вершин та ребер многогранника, який зображений на рисунку. Перевірити здійснення формули Ейлера

                   Розв’язок

                    Г=12; В=10; Р=20;

                    Г+В=22; Р+2=22

                    Г+В=Р+2

3.3 Доповідь групи «Історики»

Група «Історики» пов’язали тему з історією математики та сакральною геометрією.

Назви правильних многогранників прийшли з Греції. У дослівному перекладі з грецького "тетраедр", "октаедр", "гексаедр", "додекаедр", "ікосаедр" означають: "чотиригранник", "восьмигранник", "шестигранник", "дванадцятигранник", "двадцятигранник". Цим красивим тілам присвячена 13-а книга "Начал" Евкліда. Їх ще називають тілами Платона, оскільки вони займали важливе місце у філософській концепції Платона про пристрій всесвіту. Чотири многогранники втілювали в ній чотири суті або "стихії": тетраедр символізував вогонь, оскільки його вершина спрямована вгору, ікосаедр - воду, оскільки він найбільш обтічний, куб - землю, як "найстійкіший, октаедр - повітря, як саме "повітря", п'ятий многогранник, додекаедр, утілював у собі "усе суще", символізував увесь всесвіт, вважався головним. Гармонійні стосунки древні греки вважали основою Всесвіту, тому чотири стихії у них були пов'язані такою пропорцією: земля/вода = повітря/вогонь. Атоми "стихій" влаштовувалися Платоном в досконалих консонансах, як чотири струни ліри. Консонансом називається приємне співзвуччя. Слід відзначити, що своєрідні музичні стосунки в Платонових тілах не мають під собою ніякої геометричної основи. Цими стосунками не пов'язано ні число вершин Платонових тіл, ні об'єми правильних многогранників, ні число ребер або граней. У зв'язку з цими тілами доречно підкреслити, що перша система елементів, що включала чотири елементи - землю, воду, повітря і вогонь, - була канонізована Арістотелем. Ці елементи залишалися чотирма наріжними каменями всесвіту впродовж багатьох віків. Цілком можливо ототожнити їх, з відомими нам, чотирма станами речовини – твердим, рідким, газоподібним і плазмовим. Слайд № 16-18

Важливе місце займали правильні многогранники в системі гармонійного устрою світу І. Кеплера. Все та ж віра в гармонію, красу і математично закономірний устрій всесвіту привела І. Кеплера до думки про те, що оскільки існує п'ять правильних многогранників, то їм відповідають тільки шість планет. На його думку, сфери планет пов'язані між собою вписаними в них Платоновими тілами. Оскільки для кожного правильного многогранника центри вписаної і описаної сфер співпадають, то уся модель матиме єдиний центр, у якому знаходитиметься Сонце. Виконавши величезну обчислювальну роботу, в 1596 р. І. Кеплер в книзі "Таємниця всесвіту" опублікував результати свого відкриття. У сферу орбіти Сатурну він вписує куб, в куб - сферу Юпітера, в сферу Юпітера - тетраедр, і так далі послідовно вписуються один в одного сфера Марса - додекаедр, сфера Землі - ікосаедр, сфера Венери - октаедр, сфера Меркурія. Таємниця всесвіту здається відкритою. Сьогодні можна з упевненістю сказати, що відстані між планетами не пов'язані ні з якими многогранниками. Втім, можливо, що без "Таємниці всесвіту", "Гармонії світу" І. Кеплера, правильних многогранників не було б трьох знаменитих законів І. Кеплера, які відіграють важливу роль в описі руху планет. (Cлайди № 19 – 20).

3.4 Доповідь групи «Біологи»

Група «Біологи» знайшла звязок многогранників з природою.

Де ще можна побачити ці дивні тіла? У книзі німецького біолога початку нашого століття Е.Геккеля "Краса форм у природі" можна прочитати такі рядки: "Природа вигодовує на своєму лоні невичерпну кількість дивного створення, яке по красі і різноманітності далеко перевершує усі створені мистецтвом людини форми" (слайд № 21).

Створення природи, подане в цій книзі, красиве і симетричне. Ця невід'ємна властивість природної гармонії. Але тут видно і одноклітинні організми - феодарії|, форма яких точно передає ікосаедр. Чим же викликана така природна геометризація? Можливо, тим, що з усіх многогранників з такою ж кількістю граней саме ікосаедр має найбільший об’єм| і найменшу площу поверхні. Ця геометрична властивість допомагає морському мікроорганізмові долати тиск водної товщі (слайд № 22).

Цікаво і те, що саме ікосаедр опинився в центрі уваги біологів в їх суперечках відносно форми вірусів. Вірус не може бути абсолютно округлим, як вважалося раніше. Щоб встановити його форму, брали різні многогранники, направляли на них світло під тими ж кутами, що і потік атомів на вірус.

Виявилось, що тільки один многогранник дає таку саму тінь - ікосаедр. Його геометричні властивості, про які говорилося вище, дозволяють економити генетичну інформацію (слайд № 23).

                Правильні многогранники - найвигідніші фігури. І природа цим широко користується. Кристали деяких знайомих нам речовин мають форму правильних многогранників. Так, куб передає форму кристалів куховарської солі NaCl, монокристал алюмінієво-калієвих| квасців| (KAlSO4) 2 12Н2О| має форму октаедра, кристал сірчистого колчедану FeS має форму додекаедра, сурменистий| сірчанокислий натрій - тетраедра, бор - ікосаедра. Правильні многогранники визначають форму кристалічних решіток деяких хімічних речовин (слайд № 24).

3.5 Доповідь групи «Мистецтвознавці та архітектори» (слайди № 26 – 34).

Мистецтвознавці та архітектори знайшли використання многогранників в архітектурі та мистецтві. В епоху Відродження великий інтерес до форм правильних многогранників виявили скульптори. Знаменитий художник, що захоплювався геометрією Альбрехт Дюрер (1471 - 1528), у відомій гравюрі «Меланхолия» на передньому плані зобразив додекаедр.

Великий учений і винахідник епохи Відродження Леонардо да Вінчі

(1452 – 1519) неодноразово на своїх полотнах зображав многогранники і інші симетричні фігури.

До списку найбільших майстрів епохи Відродження, що часто зображали і глибоко вивчили геометрію, зокрема многогранники, окрім Леонардо да Вінчі можна по праву внести: Альбрехта  Дюрера (1471 – 1528) та П’єро де ла Франческа (біля 1420 – 1492).

Многогранники в архітектурі

З погляду форми архітектура завжди була переважно кубічною.

Зрідка зустрічалися і інші Платонові тіла, тобто призми, конуси, піраміди, сфери, але все-таки куб мав перевагу. Таким чином куб лежав в основі будь-якої архітектурної форми декількох останніх тисячоліть.

Прикладом застосування в архітектурі інших Платонових тіл може бути Велика піраміда в Гізі. Вона має форму правильного тетраедра і  є якнайдавнішим з Семи чудес старовини.

Також прикладом архітектурних споруд з використанням многогранників є Фороський маяк. Маяк був побудований на маленькому острові Форос в Середземному морі, біля берегів Олександрії. Він складався з трьох мармурових башт, що стояли на підставі з масивних кам'яних блоків.

3.6 Проект ”Найпростіші многогранники: призма та піраміда“

Група розбивається на дві підгрупи, кожна з яких створює проект на запропоновану тему: група 1 – ”Призма“, група 2 –  ”Піраміда“.

Слайди  № 35-40

 

По моделі:

  1.  Призма належить до великої родини многогранників і має ряд властивостей, які відрізняють її з-поміж інших фігур.
  2.  Призма складається з двох плоских многокутників, які називаються основами. Вони лежать у паралельних площинах.
  3.  Відрізки, які сполучають відповідні вершини основ, називаються бічними ребрами. Всі бічні ребра паралельні  і рівні.
  4.  Поверхня складається з бічної поверхні і основ. Бічна поверхня складається з паралелограмів.
  5.  Висота визначається відстанню між площинами основ.
  6.  Призма може бути прямою, якщо її ребра перпендикулярні до основ, і похилою, якщо – ні. Якщо основи – правильні многокутники, то призма буде не лише пряма, але й правильна.

Задача. Основа прямої призми – ромб; діагоналі призми дорівнюють 8 см і 5см, висота 2см.Знайти сторону основи.

    Розв’язок                                                                                   

    1) Із трикутника

               2) Із трикутника

                                 

 3) Для основи:

                           

«Усе на світі боїться часу, але час боїться пірамід» - арабське прислів’я.

Піраміда має дуже просту геометричну форму. Назву її одні виводять від грецького слова «пір», що означає «вогонь», інші – від слова «пірос» тобто пшениця.

По моделі:

  1.  Піраміда складається з плоского многокутника – основи піраміди, точки, яка не лежить у площині основи – вершини піраміди і всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи;
  2.  Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами;
  3.  Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней;
  4.  Кожна бічна грань – трикутники;
  5.  Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи;
  6.  Піраміда називається правильною, якщо основою є правильний многокутник, а висота проходить через центр основи;
  7.  Апофема – висота бічної грані.

        

Задача. Знайти бічне ребро правильної чотирикутної піраміди, у якої сторона основи дорівнює 14 см, а площа переріза діагонального 14

Розвязок

  1.  Із трикутника DСА:

   2)  

  3)Із трикутника SOC:

  1.  Систематизація та узагальнення вивченого матеріалу

Виконання тестових завдань

І варіант

1  Якщо чотирикутна піраміда правильна, то її основою є…….. (1б)

А

Б

В

Г

прямокутник

ромб

квадрат

трапеція

2  Яке з тверджень неправильне для правильної чотирикутної піраміди: (2б)

А

Б

В

Г

Діагональний переріз піраміди - квадрат

Основою піраміди є квадрат

Бічна грань піраміди – рівнобедрений трикутник

Основа висоти піраміди – точка перетину діагоналей

     

       3  Яке з тверджень є правильним? (2б)

А

Б

В

Г

Вершина піраміди належить її основі

Основа висоти піраміди є центр кола, вписаного в ромб

Основа висоти піраміди рівновіддалена від вершин ромба

Бічні ребра піраміди однаково нахилені до її основи

   

      4  В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник із катетами 6 і 8 см.   

   Висота призми дорівнює 10 см. Знайти обєм призми. (3б)

А

Б

В

Г

5  Якщо площа поверхні куба дорівнює , то його обєм дорівнює:  (3б)

А

Б

В

Г

ІІ варіант

1 Діагональним перерізом чотирикутної піраміди є: (1б)

А

Б

В

Г

чотирикутник

трикутник

трапеція

діагональ основи

2  У правильної чотирикутної піраміди всі грані: (2б)

А

Б

В

Г

прямокутні трикутники

різносторонні трикутники

рівнобедрені трикутники

квадрати

3  Яке з тверджень неправильне: (2б)

А

Б

В

Г

Бічна грань піраміди – рівнобедрений трикутник

Основа висоти піраміди – точка перетину діагоналей

Діагональний переріз піраміди - квадрат

Основою піраміди є квадрат

 

4 У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 3см, бічне ребро – 5см.   

  Знайдіть об’єм піраміди. (3б)

А

Б

В

Г

5  Якщо об’єм куба дорівнює , то площа його поверхні дорівнює:  (3б)

А

Б

В

Г

Оцінювання відбувається методом взаємоперевірки.

№ завдання

І варіант

ІІ варіант

1

В

Б

2

А

В

3

Б

В

4

Г

Г

5

В

Г

Норми оцінювання:  10-11 балів – оцінка “10”;

                           7-9 балів – оцінка “8”;

                           5-6 балів – оцінка “5”.  

  1.  Рефлексія

«Якщо залишається час…» (слайди № 42 – 43)

Піфагор був не лише великим математиком, а й філософом. Його вислови актуальні і в наш час.

  •  Роби лише те, що в результаті не засмутить тебе і не примусить каятися.
  •  Не роби ніколи того, чого ти не знаєш. Але навчися усього, що варто знати, і тоді будеш вести спокійне життя.
  •  Не закривай очей, коли хочеться спати, не проаналізувавши успіх своїх вчинків за минулий день.
  •  Не порушуй справедливість.
  •  Не сідай на подушку (тобто не зупиняйся на досягнутому) 
  •  Твори велике, не обіцяючи великого.
  •  Тимчасова невдача краще тимчасової удачі.
  •  Живи з людьми так, щоб твої друзі не стали недругами, а недруги стали друзями.

  1.  Підсумок заняття

6.1 Слово викладача (слайд № 44)

 Працюючи над проектом, ми дізналися про історію появи многогранників, про учених, які займалися вивченням властивостей цих цікавих геометричних тіл.

Ми ще раз переконалися в тому, яка велика сфера застосування многогранників в живописі і архітектурі, дізналися про різноманіття їх видів.

Абсолютно несподіваним відкриттям для нас стало те, що многогранники з давніх пір є символами стихій. А також нас уразило те, що ми дуже часто стикаємося з ними в нашому повсякденному житті і іноді навіть не помічаємо цього.

6.2 Оцінювання роботи групи в цілому і студентів зокрема.

7 Домашнє завдання (слайд  № 45 – 46)

  1.  Розвязати задачу

У прямій трикутній призмі сторони основи дорівнюють 10см, 17см і 21см, а висота призми 18 см. Знайдіть площу перерізу, проведеного через бічне ребро і меншу висоту основи.

Одного разу звичайний англійський хлопчик Джеймс, захопившись виготовленням моделей многогранників, написав в листі до батька: «...я зробив тетраедр, додекаедр і ще два едра, для яких не знаю правильної назви». Ці слова ознаменували народження  в доки нічим не примітному хлопчику великого фізика Джеймса Кларка Максвелла. Думаю, що і вас, і ваших рідних захопить виготовлення моделей геометричних тіл. Виготовте модель бджолиного осередку.


Перелік використаних джерел

  1.  Геометрия. Математика для техникумов. Г. Н. Яковлева, М. И. Каченовский, Ю. М. Колягин, А.Д. Кутасов М.: «Наука», 1982.
  2.  Геометрия. П. П. Андреев, Э. З. Шувалов М.: «Наука», 1975.
  3.  Геометрія: Стереометрія: Підруч. для 10-11 кл. серед. шк. – 4-те вид. – К.: Освіта, 1998.
  4.  Математика: Підручник / О. М. Афанасьєва, Я. С. Бродський, О. Л. Павлов, А. К. Сліпенко. – 2-ге вид., стер. – К.: Вища шк., 2002.
  5.  Бевз Г.П. та інші. Геометрія: Підручник для 10 – 11 кл. загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Вежа, 2004.
  6.  «За страницами учебника математики» Книга для учащихся 10-11 классов, М.: «Просвещение» АО «Учебная литература», 1996.

7. Геометрия. Учебное пособие для 10 – 11 классов гуманитарного профиля. И. М.Смирнова. Москва “Просвещение”, 1997.

8. Двадцать уроков гармонии. Гуманитарно-математический курс. А.И.Азевич. Москва “Школа-Пресс”, 1998.

9. “ Математика и искусство” А. В. Волошинов, Москва, “Просвещение”, 2000.

10. Эстетика урока математики. Пособие для учителей. И.Г.Зенкевич. Москва “Просвещение”, 1981.

11. Гуманитарная математика. В. И. Рыжик. Газета “Математика” № 41, 1997 г. Изд. дом “Первое сентября”.

12. Краткий очерк истории математики. Д. Я. Стройк, изд. “Наука”, Москва, 1969.

13. “За страницами учебника математики” Книга для учащихся 10 – 11 классов, Москва, “Просвещение” АО “Учебная литература”, 1996.

14. “Гипотеза об истоках золотого сечения” Н.Н.Нафиков. © “Школа-Пресс”. Ж. “Математика в школе” № 3, 1994.

15. “Математическое путешествие в мир гармонии” (устный журнал) Е.С.Смирнова, Н.А. Леонидова (Москва). © “Школа-Пресс”. Ж. “Математика в школе” № 3, 1993.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46192. Сетевая атака. Классификация сетевых атак 82 KB
  Сегодня к Сети подключены миллионы устройств и многие миллионы устройств будут подключены к Интернету в ближайшем будущем поэтому вероятность доступа хакеров к уязвимым устройствам постоянно возрастает. Создатели этой сети не подозревали насколько широкое распространение она получит. Если приложение работает в режиме клиентсервер а аутентификационные данные передаются по сети в читаемом текстовом формате то эту информацию с большой вероятностью можно использовать для доступа к другим корпоративным или внешним ресурсам. Третий способ...
46193. Водоотводящие системы промышленных предприятий 872.67 KB
  Данная работа представляет собой учебный курсовой проект по дисциплине «Очистка сточных вод предприятий железнодорожного транспорта», выданного кафедрой «Гидравлика, водоснабжения, водные ресурсы и экология» СГУПС
46194. Расчет заработной платы 1.04 MB
  Общая схема расчета зарплаты Предпосылки расчета ЗП Этапы расчета зарплаты Описание этапов функции пользователя Внесение и изменение данных в инфотипы релевантные для расчета зарплаты
46195. МОДЕЛИРОВАНИЕ БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 10.84 MB
  Настоящее учебное пособие содержит общие сведения о классификации моделей и подходов к математическому описанию процессов клеточного роста и образования клетками продуктов метаболизма; о применении их при планировании экспериментов, статистической обработке полученных результатов и оптимизации биотехнологических процессов. Удобно для использования при выполнении практических заданий, решении задач, планировании и обработке результатов научно-исследовательских и лабораторных работ по спецдисциплинам, при подготовке коллоквиумов, отчетов по лабораторным и научно-исследовательским практикумам, при выполнении курсовых и дипломных работ
46196. Исследование систем управления 261 KB
  Барнауле Региональная кафедра Менеджмента и маркетинга Конспект лекций по дисциплине Исследование систем управления Составитель – к. Анализ и синтез организационных структур управления Анализ структуры управления фирмы Алгоритм определения предпочтительной организационной структуры управления диверсифицированной фирмы
46197. Оценка эффективности результатов закупочной деятельности 15.21 KB
  При этом должны анализироваться такие например показатели как доля задержанных заказов; доля случаев когда просрочки доставки вызвали ощутимое отсутствие МР ГП на складе; число случаев остановки производства в результате просрочки и т. Следующие параметры позволяют принимать обоснованные решения при выборе продавца: доля просроченных доставок и отказов поставки; доля поставок не соответствующих договорам по качеству продукции; доля заказов доставленных вопреки договоренности не единой партией; качество услуг различных...
46198. Динамика механизмов 522 KB
  К механизму машинного агрегата во время его движения приложены различные силы. Это движущие силы, силы сопротивления (иногда их называют силами полезного сопротивления), силы тяжести, силы трения и многие другие силы. Характер их действия может быть различным...
46199. Понятие лексической семантики. Структура лексического значения. Значение и смысл. (денотативный и коннотативный аспекты значения). Феноменология лексического значения в речи 15.15 KB
  Структура лексического значения. денотативный и коннотативный аспекты значения. Феноменология лексического значения в речи. Лексическая семантика является частью семантики которая занимается значениями подразделяя их на денотат и коннотат отдельных лексических элементов слов морфем и лексем отличаясь таким образом от семантики предложений.
46200. Взаимодействие субъекта с внешним миром и проблема развития интеллекта 15.1 KB
  Взаимодействие субъекта с внешним миром и проблема развития интеллекта. Пиаже интересовало отличает ли субъект внешний мир от внутреннего субъективного мира и каковы границы это различия действует ли внешний мир непосредственно на ум субъекта или его идеи на продукты собственно умственной активности а если субъект активен в познании то какого взаимодействие между его мыслью и явлениями внешнего мира каковы законы которым это взаимодействие подчиняется. Источник знания не в объектах и не в субъектах а в их взаимодействии. С помощью...