57780

Экстремальные задачи

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Цель: ознакомить учащихся с понятием экстремальные задачи; составить алгоритм их решения с помощью производной; раскрыть область применения производной, показать, что производная – способ исследования процессов действительности и современного производства.

Русский

2014-04-15

2.81 MB

11 чел.

Тема. Экстремальные задачи                                                      11класс

М-М16,17,18                     Содержательно-поисковый

Цель: ознакомить учащихся с понятием экстремальные задачи; составить алгоритм их решения с помощью производной; раскрыть область применения производной, показать, что производная – способ исследования процессов действительности и современного производства. Формировать единую научную картину мира. Развивать исследовательские навыки; познавательный интерес, логическое мышление, умение анализировать, сравнивать, видеть аналогию задач.

Воспитывать трудолюбие, внимание, ответственность, требовательность к себе; волю и настойчивость в достижении конечной цели; развивать навыки коллективной работы.

Компетентности: информационная, поликультурная, коммуникативная, социальная, саморазвития и самообразования, продуктивной творческой деятельности.

Оборудование: компьютер, проектор, презентации, выставка исследовательских работ.

Методы и приемы: проблемно-поисковые, индуктивные, словесные, практические, самостоятельная работа.

Ожидаемые результаты: после этого урока учащиеся усвоят понятие экстремальные задачи и  научатся решать их по алгоритму.

Алгоритм М-М16.

  1.  Организационный момент.

За неделю до начала урока учащиеся объединились в группы «Историки», «Исследователи», «Знатоки», «Практики». Каждая группа получила задание: отработать дополнительную литературу, справочники, интернет и найти в разных сферах экстремальные задачи, а также подготовить исторический материал. Собранный материал представить в виде презентаций.

Группы докладывают о готовности к уроку. Каждому ученику выдается  оценочный лист, в котором он  выставляет себе баллы за участие в каждом этапе модуля.

  1.  Проверка домашней работы.

Тетради с домашним заданием собираются в конце урока.

  1.  Мотивация учебной деятельности.

На экране портрет И.Ньютона.

Учитель. Ребята, представьте: Англия, 1666год. И.Ньютон, ему лишь 23 года, и именно он делает прорыв в математике – открывает производную. И все. Жизнь Европы с этого момента кардинально изменилась..

Развитие научно-технического прогресса, войны, изготовление оружия, эпидемии и открытие целительного пенициллина, запуск космических ракет и создание ядерных реакторов – основанием всему послужило дифференциальное исчисление. От высоких достижений до стремительных падений шагала рядом производная.

Ученица декламирует стихотворение «Производная и ее применение».

Вона на вигляд недолуга:

Стришок маленький, та й усе.

Але яку значну потугу

Цей ледь помітний знак несе!

 Це символ моря знань високих,

 Яке не має меж і дна.

 Не ступите не раз, ні кроку

 Без терміну, що зветься «похідна».

Відкрий секрети нам науки,

Поживу дай уму й душі,

Хай вдячно нам потиснуть руки

Ньютон и Лейбніц, і Коші.

 На предыдущих уроках вы познакомились с применением производной для исследования и построения графиков функций, нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

А сегодня вы узнаете, как с помощью производной можно решать интересные задачи прикладного характера.

  1.   Объявление темы, цели, задач урока.

Достичь успеха можно только тогда, когда определена цель и задачи, который каждый ставит перед собой. Сегодня наша цель – усвоить какие задачи называются экстремальными и научиться решать их по алгоритму.

  1.  Актуализация опорных знаний.

Устные упражнения

  1.  Задание в тестовой форме проектируется на экран. По сигналу учителя правильный ответ показывают с помощью карточек. Каждый правильный ответ оценивается в 0,5 балла.

Найти производную (презентация №1):

Слайд 1

Слайд 2

Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

  1.  По схематическому графику функции в окрестности точки х0 охарактеризуйте поведение f ׳(x0) и f ׳(x), определите вид критической точки x0.

Каждый правильный ответ оценивается в 0,5 балла:

Схематический вид графика функции    f׳(x) в окрестностях точки x0

Ожидаемый ответ

  1.  Поведение f ׳(x0)
  2.  Поведение f ׳(x)
  3.  Критическая точка x0

2.1.

                                                       x

  1.  f ׳(x0)=0
  2.  f ׳(x) изменяет знак с «+» на «-»
  3.  x0 – точка максимума

2.2.

                                                       x

  1.  f ׳(x0)=0
  2.  f ׳(x) изменяет знак с «-» на «+»
  3.  x0 – точка минимума

2.3.

                                                           x

f ׳(x0) не существует

f ׳(x) изменяет знак с «-» на «+»

x0 – точка минимума

2.4.

                                                           x

  1.  f ׳(x0)=0
  2.  f ׳(x) не меняет знака
  3.  x0 – точка перегиба

2.5.

                                                          x

  1.  f ׳(x0) не существует
  2.  f ׳(x) изменяет знак с «+» на «-»
  3.  x0 – точка максимума

2.6.

                                                            x

  1.  f ׳(x0)=0
  2.  f ׳(x) не меняет знака
  3.  x0 – точка перегиба

 

3. Презентация (Задание №3):                              

 

   

VI/ Восприятие и усвоение новых знаний.

Группа «Историки» - историческая справка (презентация оценивается в 5 баллов)

Нашей группе было поручено выяснить, кто из ученых ввел понятие экстремальные задачи. Работать над проектом «История возникновения экстремальных задач» было не только легко и интересно, но и эффективно.

С незапамятных времен перед человеком возникают практические проблемы нахождения наибольшего и наименьшего, наилучшего и наихудшего. Как правило, в задачах подобного рода достижение некоторого результата может быть осуществлено не единственным способом и приходится отыскивать наилучший способ достижения  результата.

Однако в одной и той же задаче в разных ситуациях наилучшими могут быть совершенно разные решения. Здесь все зависит от выбранного или заданного критерия. Например, каковы должны быть наилучшие очертания судна? Ответы будут разными в зависимости от того, для каких целей предназначается судно. Для разных целей различны будут и главные критерии. Критерии могут быть следующими:

1) необходимо, чтобы судно при движении испытывало в воде наименьшее сопротивление (это главный критерий быстроходного судна);

  2) необходимо, чтобы судно было максимально, устойчивым при сильном волнения и сильном ветре;

3) необходимо, чтобы судно имело наименьшую осадку (в случае, если судно предназначается для эксплуатации на мелких водоемах).

Задачи такого характера, получившие название экстремальных задач, возникают  в самых различных областях человеческой деятельности.

Содержание рассматриваемых задач самое разнообразное, разнообразны и методы их решения. Однако общее в решении экстремальных задач заключается в самом характере применения того или иного математического метода.

Задачи на отыскание максимума и минимуме называются экстремальными задачами. Почти тот же смысл вкладывается в термин «задачи оптимизации». Разные причины побуждают людей решать задачи на экстремум. Добиться наивысшего при заданных условиях результата (прибыли, мощности, скорости) или понести наименьшие потери (времени, материалов, энергии) — желание вполне понятное и естественное. Поэтому задачи оптимизации играют большую роль в экономике и технике.

Другая причина может показаться неожиданной: как выяснилось, многие законы природы основаны на экстремальных принципах. Например, луч света распространяется по самому быстрому пути. Пифагору принадлежит высказывание: «Прекраснейшим телом является шар, а прекраснейшей плоской фигурой — круг». Почему круг и шар — «прекраснейшие»? Николай Коперник в бессмертной книге «Об обращениях небесных сфер» даёт такой ответ: «Мир является шарообразным... потому, что эта форма обладает наибольшей вместимостью, что более всего приличествует тому, что должно объять всё». Иначе говоря, размышляя о строении мира, Коперник полагал, что его «архитектура» подчинена принципам экстремальности и совершенства.

Задачи на максимумы и минимумы всегда привлекали внимание математиков. Встречаются они и в трудах трёх величайших геометров Древней Греции — Евклида, Аполлония Пергского и Архимеда.

 

К 30-м гг. XVII в. появилась необходимость отыскать какие-то общие методы решения экстремальных задач. Первый аналитический приём был найден Пьером Ферма. Открытие состоялось, по-видимому, в 1629 г., но впервые автор достаточно полно изложил свой метод только в 1636 г. в знаменитой книге Иоганна Кеплера

«Новая стереометрия винных бочек» (1615 г.), учёный решил множество интересных задач на максимум и минимум. Кеплер писал: «Вблизи максимума изменения <функции> бывают нечувствительными». На геометрическом языке мысль Кеплера и результат Ферма можно выразить так-в точке экстремума касательная к графику функции должна быть горизонтальной (если касательная не горизонтальна, то изменения функции «чувствительны»). Ньютон высказал ту же мысль по-другому: «Когда величина является максимальной или минимальной, она не течёт ни вперёд, ни назад».

В 1684 г. появилась работа Готфрида Вильгельма Лейбница «Новый метод нахождения наибольших и наименьших значений...», в которой заложены основы математического анализа. Уже само название труда показывает, какую важную роль сыграла задача о нахождении экстремума в становлении современной математики. Большинство излагаемых Лейбницем фактов было к тому времени известно Ньютону, но работ на эту тему до 1736 г. он не публиковал.

Следующий шаг в теории экстремума был сделан, когда стали искать кривые,

наилучшие с той или иной точки зрения. Первую задачу такого рода решил Ньютон. Это техническая задача о поверхности вращения, испытывающей наименьшее сопротивление в некой «редкой» среде. (Но решение Ньютона, данное им в «Математических началах натуральной философии» (1687 г.), так до конца и не поняли вплоть до середины XX в., когда появилось новое направление в теории экстремума, названное оптимальным управлением, -- одним из его создателей был российский математик Лев Семёнович Понтрягин.)

  1.  Итог модуля.

Итог модуля проводим в форме интерактивной игры «Микрофон»

Вопрос классу: •на этом модуле мы повторили…?

Ожидаемые ответы: Нахождение производной элементарных и сложных функций; экстремальные точки; нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

•Что нового узнали?

Алгоритм М-М17.

  1.  Восприятие и усвоение новых знаний.

Учитель. Древняя китайская мудрость гласит: «…Покажи мне и я запомню. Дай мне действовать самому – и я научусь…»

У вас была возможность действовать самим. Посмотрим чему вы научились.

 

  1.  Группа «Историки» (Презентация)

Ученик. Поручено создать алгоритм решения экстремальных задач с помощью производной.Работали под девизом «Знания только тогда знания, когда они добываются усилиями своих мыслей, а не только памятью»

  1.  «Исследователи»

Ученик. Получили задание: найти интересные задачи по математике, которые решаются с помощью производной.

Отработали учебники, по которым обучаемся, затем учебники с углубленным изучением математики. Поняли, что без понятия «производная» как без оружия.

Предлагаем решить задачу.

Слайд 1

Слайд 2

Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5

  1.  Группа «Знатоки»

Ученик. Группе поручено найти задачи по физике, которые решаются с помощью производной.

Среди задач мы нашли наиболее характерные.

Слайд 1

Слайд 2

Слайд 3

Слайд 4

  1.  Группа «Практики»

Ученик. Мы ознакомились с задачами, которые встречаются в экономике. Среди них наиболее характерные:

Слайд 1

Слайд 2

Слайд 3

  1.   Итог модуля.
  2.  Воспроизведите алгоритм решения экстремальных задач.
  3.  Оценивание презентаций (оценивается в 5 баллов).

Алгоритм М-М18.

Формирование навыков и умений.

Решение задач (учебник: Алгебра 11, Г.П.Бевз, В.Г.Бевз, Н.Г.Владимирова).

№828 (коллективно):

Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник, вписанный в фигуру, ограниченную осью Ох и графиком функции у = 4-х2 (рис.1).                                    рис.1

№826 – работа в парах (3 балла):

Какими должны быть размеры бассейна объемом 32м3 с квадратным дном и вертикальными стенами, чтобы на его облицовку использовали наименьшее количество плитки?

 

№831 - работа в группах (4 балла).

Емкость легких человека, возраст которого не менее 10 лет приближенно выражается функцией t(x)=, где х є [10;100]  - возраст человека в годах, t(x) – емкость легких человека  в литрах. Установите, в каком возрасте емкость легких человека максимальная и чему она равна.

ІІ.    Итог модуля.

 Оценивание учащихся.

ІІІ. Домашнеее задание.

Решить задачу №834 (учебник: Алгебра 11, Г.П.Бевз, В.Г.Бевз, Н.Г.Владимирова):

  1.  в общем  виде;
  2.  выполнить вычисления, взяв реальные размеры банки:

  - под консервированную кукурузу;

  - под консервированные ананасы.

  1.  Сравнить и ответить на вопрос: «Несут ли нерациональные затраты на изготовление банки производственники?»

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11491. Возрастная психология. Конспект лекций 978.5 KB
  Возрастная психология. Конспект лекций Непосредственной сдаче экзамена или зачета по любой учебной дисциплине всегда предшествует краткий период когда студент должен сосредоточиться систематизировать свои знания. Выражаясь компьютерным языком он должен вывести и
11492. Волновые явления на границе раздела двух сред при падении плоской электромагнитной волны 515 KB
  Лабораторная работа № 2 Волновые явления на границе раздела двух сред при падении плоской электромагнитной волны. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Изучить волновые явления возникающие на границе раздела двух сред при падении плоско
11493. Физические принципы радиосвязи 899.5 KB
  Лабораторная работа №21 Физические принципы радиосвязи ЦЕЛЬ РАБОТЫ: 1.Изучить физические основы радиопередачи и радиоприема. 2.Научиться настраивать передающий и приемный стенды наблюдать осциллограммы процессов во всех блоках стендов. ПРИБОРЫ И ОБОРУДО
11494. Исследование механических характеристик электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением 329.5 KB
  Целью работы является исследование механических характеристик двигателя постоянного тока с независимым возбуждением в двигательном и тормозных режимах. Основные сведения Под механической характеристикой электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждени...
11495. Информатика в 8 классе. Все уроки 2.76 MB
  Правила работы и безопасного поведения в компьютерном классе. Повторение структуры программы, типов данных, арифметических операций, организации ввода-вывода данных. Составление и Реализация алгоритмов с использованием операторов цикла. Применение текстового процессора в разработке документов из различных предметных областей...
11496. Алгоритмы растровой графики 153 KB
  Алгоритмы растровой графики Растром называется прямоугольная сетка точек формирующих изображение на экране компьютера. Каждая точка растра характеризуется двумя параметрами: своим положением на экране и своим цветом если монитор цветной или степенью яркости если м...
11497. Алгоритм вывода прямой линии 412 KB
  Алгоритм вывода прямой линии Поскольку экран растрового дисплея с электроннолучевой трубкой ЭЛТ можно рассматривать как матрицу дискретных элементов пикселов каждый из которых может быть подсвечен нельзя непосредственно провести отрезок из одной точки в другую.
11498. Текстовый редактор WORD. Поиск и замена фрагментов текста 43.5 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 Тема: Текстовый редактор WORD. Поиск и замена фрагментов текста. Режим поиска удобно использовать для того чтобы быстро найти в документе заданный фрагмент текста. Режим замены используется в тех случаях когда нужно не только найти какую...
11499. Природа медицинских данных 1.65 MB
  Природа медицинских данных. В медицинской практике часто используются выражения сбор данных или получение информации. Эти выражения могут трактоваться неверно на основе предположения что медицинская информация содержится в реальном мире в состоянии доступност