57782

Похідна та її застосування

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета проекту: показати широке застосування похідної; довести що похідна засіб дослідження процесів дійсності і сучасного виробництва; розвивати вміння досліджувати систематизувати вивчені факти...

Украинкский

2014-04-15

76 KB

6 чел.

Рожнівський навчально-виховний комплекс

"Гуцульщина"  ім. Ф.Погребенника НаУКМА

(УРОК-ПРОЕКТ)

                              Вчитель математики

                  Орися Михайлівна Шкрібляк

                     

с. Рожнів – 2011 рік

Тема навчального проекту.   Похідна та її застосування.

Мета проекту:  показати широке застосування похідної;

 довести, що похідна – засіб дослідження процесів дійсності і

                   сучасного виробництва;

  розвивати вміння досліджувати, систематизувати  вивчені

факти;

 виховувати волю та наполегливість у досягненні кінцевого

результату.

           Девіз:   Найкращий спосіб вивчити

що-небудь – відкрити

його самостійно.

                        Д.Пойа

Тип: дослідницький.

Форма захисту: урок.

Тривалість: короткочасний.

За кількістю учасників: груповий (11 клас).

      ЕТАПИ ПРОЕКТУ

І. Підготовчий (планування проектної діяльності):

-  проблемні завдання;

- розробка та планування основних дій роботи груп.

ІІ. Діяльнісний:

  •  дослідження проблеми;
  •  підготовка зібраних матеріалів для захисту.

ІІІ. Рефлексійний:

  •  презентація результатів роботи;
  •  оцінка, аналіз, висновки.

Завдання проекту:

  •  пошук інформації про застосування похідної у виробництві та військовій справі;
  •  створення ситуації успіху під час виконання проекту;
  •  формувати єдину наукову картину світу.

Презентація проекту: розробка уроку (додається).

При захисті враховується:

  •  творчі здібності; уміння самостійно знаходити інформацію;
  •  уміння і навички спілкування;
  •  використання наочності;
  •  уміння презентувати результати своєї праці.

Значення проекту:

  •  поєднання традиційного підходу з інноваційними методами навчання;
  •  формування практичної компетентності учнів;
  •  вміння працювати самостійно і в команді.


Тема уроку. Застосування похідної.

Прийом «Дерево цілей».

 На картках, які роздано учням, із переліку цілей до різних уроків, вибрати ті цілі, які можна реалізувати на даному уроці. Із відповідей учнів сформулювати мету уроку.

Мета уроку. Ознайомити учнів з різними типами прикладних задач та методами їх розв’язання за допомогою похідної; формуваи вміння застосовувати знання та способи дій у різних навчальних ситуаціях; поглибити знання учнів про моделювання процесів дійсності за допомогою похідної. Розвивати пізнавальний інтерес, навички колективної праці.

Обладнання. Комп’ютер, малюнки, графіки, таблиці.

ХІД УРОКУ

  1.  Мотивація навчальної діяльності учнів.
  2.  Вступне слово вчителя. Постановка проблеми.
  3.  Виступ груп учнів.
  4.  Висновки.
  5.  Підсумок уроку.

             Епіграф уроку.    Найкращий спосіб вивчити

що-небудь – відкрити

його самостійно.

                        Д.Пойа

І. Мотивація навчальної діяльності.

Те, про що ми будемо говорити на сьогоднішньому уроці, уже відкрито. Але, можливо, щось нове ви відкриєте сьогодні для себе.

На попередніх уроках ви засвоїли один із фундаментальних понять алгебри і початків аналізу – похідну. За допомогою похідної ми досліджували і будували графіки функції, знаходили найбільше і найменше значення функції на відрізку, складали рівняння дотичної. І, мабуть, у вас виникало питання: «А навіщо?».

І наш урок повинен бути відповіддю на це запитання.

 

Англія, 1666 рік. І.Ньютон, якому лише 23 роки, робить прорив у математиці – відкриває похідну. І все. Життя Європи полетіло так швидко, що вчені не могли навіть уявити такого.

Розвиток науково-технічного прогресу, війни, виготовлення зброї, епідемії і відкриття цілющого пеніциліну, запуск космічної ракети і створення ядерних реакторів – основою цього всього послужило диференціальне числення. Від високих досягнень  до стрімких падінь крокувала поряд похідна, кидаючи свої максимуми і мінімуми¸ похідна, яка миттєво змінила світ.

Подібно тому, як Архімед відкривши закон важеля, сказав: «Дайте мені точку опори і я зрушу Землю», так і сучасники Ньютона казали: «Складіть нам диференціальне рівняння усіх рухів у природі і навчіть їх інтегрувати, тоді ми будемо подібні Богу, оскільки за допомогою обчислень точно будемо знати майбутні події». Д.О.Дравс

Готуючись до уроку, ви об’єдналися в групи, отримали проблемні завдання, щоб відповісти на запитання «А навіщо?».

 Група № 1 «Знавці»

Ми отримали завдання: визначити найхарактерніші задачі, які розв’язуються  за допомогою похідної. Опрацьовуючи, в першу чергу, підручники, за якими навчаємось, ми зробили висновок, що за допомогою похідної можна:

  •  знаходити найбільше  та найменше значення функції на відрізку;
  •  досліджувати та будувати графіки функцій;
  •  розв’язувати рівняння;
  •  доводити нерівності;
  •  розв’язувати рівняння із параметрами;
  •  виконувати завдання з наближеними обчисленнями.

Приклади розв’язування таких задач

1 учень. Довести нерівність:  sin  x  <   x, при  x  >  o;

2 учень. Знайти наближено значення функції

                            f  (x)  =  x7    2x6 + 3x2   x  + 3

                   у точці хо  = 2,02

3 учень. Наближені обчислення квадратних коренів та степенів.

              (Виступи учнів)

4 учень. А я хочу звернутись до відомої повісті І.П.Котляревського

             «Енеїда».

Еней після багатьох пригод пристав до берега і потрапив до міста.

В тім городі жила Дідона,

А город звався Карфаген,

Розумна пані і моторна,

Для неї трохи сих імен:

Трудяща, дуже працьовита,

Весела, гарна, сановита.

 

Так розповідає легенда. 825 років до н.е. фінікійська царівна Дідона з невеликим військом вибрала зручне місце на північному узбережжі Тунійської затоки. Король Нумібії Ярб погодився  продати їй ділянку землі, обмежену «шкурою бика». Дідона не розгубилася. Вона розрізала шкуру на тоненькі смужки, якими обміряла територію найбільшої площі. Так було засновано Карфаген. Якщо ця територія  - прямокутник, то які його розміри?

Учень розв’язує задачу: які розміри матиме  прямокутник найбільшої площі, периметр якого 22 км?

Висновок. Серед прямокутників найбільшу площу має квадрат.

Група № 2 «Пошук»

1 учень. Завдання: знайти задачі з фізики, які розв’язуються за допомогою похідної.

З-поміж задач ми знайшли найбільш характерні. Це знаходження:

- швидкості та прискорення прямолінійного руху тіла чи матеріальної точки;

- кутової швидкості тіла обертання;

- швидкості зростання маси кристалів;

- швидкості зміни температури в результаті  нагрівання;

- визначення освітленості електричної лампочки.

2 учень. Я пропоную вам розв’язання однієї цікавої прикладної задачі.

Задача. Посудина з вертикальною стінкою і висотою h розміщена на горизонтальній площині. На якій глибині треба розмістити отвір, щоб дальність витікання води з отвору  була найбільшою (швидкість рідини, що витікає, за законом Торрічелі дорівнює 2gх,  де х – глибина розміщення отвору, g– прискорення вільного падіння).

                             (Слайд 1)

3 учень. Розв’язує задачу такого змісту.

Є прямокутний лист жерсті розміром 80 х 50 см. Треба виготовити з нього відкриту зверху коробку найбільшої місткості, вирізавши по краях квадрат й загнувши краї. Якою повинна бути довжина сторони такого квадрата.                         

    (Слайд 2)

 Група № 3.  «Дослідники»

 

Наша група працювала під  девізом: «Усе, що пізнаю, я знаю, для чого це мені потрібно, де і як можу застосувати ці знання».

                       В.Кильпатрик

Опрацьовуючи довідкову літературу, матеріал підручників, ми визначили задачі, які зустрічаються в економіці і розв’язуються  за допомогою похідної. Серед них найбільш характерні:

  •  визначення загальної вартості утримання різних видів транспорту;
  •  визначення продуктивності праці;
  •  визначення попиту на товари, зміни прибутку в результаті підвищення ціни;
  •  визначення витрат підприємства залежно від об’єму продукції, що випускається;
  •  знаходження оптимальних розмірів продукції з найбільшим (найменшим) об’ємом (чи площею).

1 учень пропонує розв’язання задачі.

Задача. Визначте розміри циліндричної закритої  консервної банки, об’єм  якої дорівнює V см3, щоб її повна поверхня була найменшою, тобто затрати жерсті на її виготовлення були найменшими.

         (Слайд 3)

2 учні демонструють консервні банки і свої обчислення.

                                         (Слайд 4,5)

     Запитання учням. Чому виробники несуть такі нераціональні витрати?

 Можливі відповіді учнів.

  •  шпроти мають довжину близько 10 см. Тоді і висота банки була б 10 см, значить ціна такої консерви була б у 5 разів більша. Чи купували б її?;
  •  виробнику вигідно, бо в ціну консерви, напевне, закладена і ціна жерсті;
  •  отже, ми купуємо не тільки шпроти, але й жерсть;
  •  людям найбільш гармонічними здаються прямокутні форми. Дуже рідко можна побачити банки, в перерізі яких квадрат.

4 учень

Артилеристи ведуть прицільний вогонь із гармати, розміщеної на осі Ох, по бойовій точці противника М   (   19П ; 1964).

                         20

Рельєф місцевості  змінюється за законом   h (x) = cos2 x   cos x

Вважаючи рух снаряда напрямленим похилою до пагорба в точці М, визначити траєкторію снаряда (рівняння руху і кут підняття ствола, що необхідно для знищення вогневої точки).

         (Слайд 6,7)

Підбиття підсумку уроку.

РЕФЛЕКСІЯ

Вправа «Закінчи речення»

  1.  Ми сьогодні говорили…
  2.  Ми сьогодні виконували…
  3.  Ми сьогодні дізналися…
  4.  Найбільше зацікавило…

Вправа для рефлексії

Учитель. Розтуліть свою ліву долоню і покладіть на неї той досвід, з яким ви прийшли сьогодні на урок. Відчуйте його значення для вас. А тепер покажіть свою праву долоню і покладіть на неї ту інформацію і той досвід, який ви здобули сьогодні. Відчуйте його цінність для вас.  А тепер з’єднайте долоні, об’єднайте ці досвіди, і нехай вони допоможуть вам успішно здати  зовнішнє незалежне оцінювання. Успіхів вам!

Домашнє завдання

А.Р.Гальперіна «Математика» (Типові тестові завдання. Збірник)

В-1    № 9, 31

В-2    № 16, 28

В-3    № 8

В-4    № 26


   
   Література

  1.  Є.П. Нелін, О.Є.Долгова.

             Алгебра і початки аналізу. 11 клас. – Х, Світ дитинства, 2008

  1.  Г.П.Бевз, В.Г.Бевз.

   Математика, 11 – К.Генеза, 2011

  1.  А.Г.Конфорович

             Добрий день. Архімеде! Цікаві задачі. Ігри, головоломки. –

    К. Молодь, 1988

  1.  Математика в школах України. - 2010


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43548. Геоинформационная система г. Барнаула 554 KB
  Работа с готовым ГИС-проектом осуществляется посредством специального гибкого инструмента запросов. Запрос на получение информации об объектах векторной карты составляется пользователем с помощью специальных условий, по которым ArcView определяет круг объектов, атрибуты которых удовлетворяет заданным условиям. Условия могут быть по нескольким параметрам, т.е. вложенными, но не должны взаимно исключать друг друга
43549. Контроль толщины металлических пленок в процессе изготовления и в готовых структурах 1.5 MB
  При измерении толщины пленки взвешиванием считают, что плотность нанесенного вещества равна плотности массивного. Под эффективной толщиной пленки понимают толщину, которую она имела бы, если бы образующее ее вещество было равномерно распределено по поверхности с плотностью, равной плотности массивного вещества.
43550. Організація будівництва 5-ти поверхового, 2-х секційного, 60-ти квартирного житлового будинку 139.72 KB
  Мета технологичного проектування – знаходження оптимальних технологічних рішень і організаційних умов для виконання будівельних процесів, які забезпечують випуск будівельної продукції в задані строки при мінімальному використанні усіх видів ресурсів.
43551. Статистический анализ факторов, обуславливающий эффективность производства и реализации зерна 252 KB
  Экономико статистический анализ производства и реализации зерна. Показатели эффективности производства и реализации зерна. Прогнозирование основных показателей эффективности производства зерна. Статистический анализ факторов обуславливающий эффективность производства и реализации зерна.
43552. Організація будівництва автомобільної дороги 937 KB
  Обґрунтування строку виконання робіт та визначення змінного темпу будівництва. Вибір метода організації дорожньобудівельних робіт . Визначення обсягів дорожньобудівельних робіт за їх видами . Організація матеріальнотехнічного забезпечення дорожньобудівельних робіт.
43553. Проект Внутрігосподарського землеустрою СВК „Надія” 236.5 KB
  Ружинський район входить до складу лісостепової зони України, яка характеризується достатньою кількістю опадів, помірною зимою, досить теплим літом. Переважаючі вітри: влітку – південно західні, взимку – східні та південно-східні.
43554. Тепловой расчет конвективной туннельной сушильной установки 3.04 MB
  Выполнить тепловой расчет конвективной туннельной сушильной установки, определить длительность сушки, размеры установки, выбрать вентилятор для подачи наружного воздуха, дымосос и циклон, на основании следующих данных.
43555. Модуль 2ННК-М 402 KB
  Для проведення ГК в свердловину опускають детектор γ-опромінення і електронну схему, яка перетворює зареєстровані γ-кванти в імпульси напруги. В інших типах РК вимірюється штучна радіоактивність,створена в породах джерелом гамма (ГГК) або нейтронного стаціонарного (ННК-НТ), ННК-Т, НГК і імпульсного (ІННК,ІНГК) випромінювання.
43556. Створення приймача амплітудно-модульованих сигналів 4.37 MB
  Вибір та розрахунок вибіркових систем тракту проміжної частоти Склад комплекту: пристрій має самостійне призначення може працювати з підсилювачем звукової частоти;Допоміжне обладнання: блок живлення від мережі змінного струму 220В 50Гц; стандартні зєднання з підсилювачем звукової частоти. Необхідну вибірність по сусідньому каналу отримують в каскаді перетворювача частоти за допомогою або фільтрів зосередженої селекції або пєзоелектричних фільтрів а вибірність по дзеркальному каналу забезпечується вхідним колом.