57782

Похідна та її застосування

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета проекту: показати широке застосування похідної; довести що похідна засіб дослідження процесів дійсності і сучасного виробництва; розвивати вміння досліджувати систематизувати вивчені факти...

Украинкский

2014-04-15

76 KB

5 чел.

Рожнівський навчально-виховний комплекс

"Гуцульщина"  ім. Ф.Погребенника НаУКМА

(УРОК-ПРОЕКТ)

                              Вчитель математики

                  Орися Михайлівна Шкрібляк

                     

с. Рожнів – 2011 рік

Тема навчального проекту.   Похідна та її застосування.

Мета проекту:  показати широке застосування похідної;

 довести, що похідна – засіб дослідження процесів дійсності і

                   сучасного виробництва;

  розвивати вміння досліджувати, систематизувати  вивчені

факти;

 виховувати волю та наполегливість у досягненні кінцевого

результату.

           Девіз:   Найкращий спосіб вивчити

що-небудь – відкрити

його самостійно.

                        Д.Пойа

Тип: дослідницький.

Форма захисту: урок.

Тривалість: короткочасний.

За кількістю учасників: груповий (11 клас).

      ЕТАПИ ПРОЕКТУ

І. Підготовчий (планування проектної діяльності):

-  проблемні завдання;

- розробка та планування основних дій роботи груп.

ІІ. Діяльнісний:

  •  дослідження проблеми;
  •  підготовка зібраних матеріалів для захисту.

ІІІ. Рефлексійний:

  •  презентація результатів роботи;
  •  оцінка, аналіз, висновки.

Завдання проекту:

  •  пошук інформації про застосування похідної у виробництві та військовій справі;
  •  створення ситуації успіху під час виконання проекту;
  •  формувати єдину наукову картину світу.

Презентація проекту: розробка уроку (додається).

При захисті враховується:

  •  творчі здібності; уміння самостійно знаходити інформацію;
  •  уміння і навички спілкування;
  •  використання наочності;
  •  уміння презентувати результати своєї праці.

Значення проекту:

  •  поєднання традиційного підходу з інноваційними методами навчання;
  •  формування практичної компетентності учнів;
  •  вміння працювати самостійно і в команді.


Тема уроку. Застосування похідної.

Прийом «Дерево цілей».

 На картках, які роздано учням, із переліку цілей до різних уроків, вибрати ті цілі, які можна реалізувати на даному уроці. Із відповідей учнів сформулювати мету уроку.

Мета уроку. Ознайомити учнів з різними типами прикладних задач та методами їх розв’язання за допомогою похідної; формуваи вміння застосовувати знання та способи дій у різних навчальних ситуаціях; поглибити знання учнів про моделювання процесів дійсності за допомогою похідної. Розвивати пізнавальний інтерес, навички колективної праці.

Обладнання. Комп’ютер, малюнки, графіки, таблиці.

ХІД УРОКУ

  1.  Мотивація навчальної діяльності учнів.
  2.  Вступне слово вчителя. Постановка проблеми.
  3.  Виступ груп учнів.
  4.  Висновки.
  5.  Підсумок уроку.

             Епіграф уроку.    Найкращий спосіб вивчити

що-небудь – відкрити

його самостійно.

                        Д.Пойа

І. Мотивація навчальної діяльності.

Те, про що ми будемо говорити на сьогоднішньому уроці, уже відкрито. Але, можливо, щось нове ви відкриєте сьогодні для себе.

На попередніх уроках ви засвоїли один із фундаментальних понять алгебри і початків аналізу – похідну. За допомогою похідної ми досліджували і будували графіки функції, знаходили найбільше і найменше значення функції на відрізку, складали рівняння дотичної. І, мабуть, у вас виникало питання: «А навіщо?».

І наш урок повинен бути відповіддю на це запитання.

 

Англія, 1666 рік. І.Ньютон, якому лише 23 роки, робить прорив у математиці – відкриває похідну. І все. Життя Європи полетіло так швидко, що вчені не могли навіть уявити такого.

Розвиток науково-технічного прогресу, війни, виготовлення зброї, епідемії і відкриття цілющого пеніциліну, запуск космічної ракети і створення ядерних реакторів – основою цього всього послужило диференціальне числення. Від високих досягнень  до стрімких падінь крокувала поряд похідна, кидаючи свої максимуми і мінімуми¸ похідна, яка миттєво змінила світ.

Подібно тому, як Архімед відкривши закон важеля, сказав: «Дайте мені точку опори і я зрушу Землю», так і сучасники Ньютона казали: «Складіть нам диференціальне рівняння усіх рухів у природі і навчіть їх інтегрувати, тоді ми будемо подібні Богу, оскільки за допомогою обчислень точно будемо знати майбутні події». Д.О.Дравс

Готуючись до уроку, ви об’єдналися в групи, отримали проблемні завдання, щоб відповісти на запитання «А навіщо?».

 Група № 1 «Знавці»

Ми отримали завдання: визначити найхарактерніші задачі, які розв’язуються  за допомогою похідної. Опрацьовуючи, в першу чергу, підручники, за якими навчаємось, ми зробили висновок, що за допомогою похідної можна:

  •  знаходити найбільше  та найменше значення функції на відрізку;
  •  досліджувати та будувати графіки функцій;
  •  розв’язувати рівняння;
  •  доводити нерівності;
  •  розв’язувати рівняння із параметрами;
  •  виконувати завдання з наближеними обчисленнями.

Приклади розв’язування таких задач

1 учень. Довести нерівність:  sin  x  <   x, при  x  >  o;

2 учень. Знайти наближено значення функції

                            f  (x)  =  x7    2x6 + 3x2   x  + 3

                   у точці хо  = 2,02

3 учень. Наближені обчислення квадратних коренів та степенів.

              (Виступи учнів)

4 учень. А я хочу звернутись до відомої повісті І.П.Котляревського

             «Енеїда».

Еней після багатьох пригод пристав до берега і потрапив до міста.

В тім городі жила Дідона,

А город звався Карфаген,

Розумна пані і моторна,

Для неї трохи сих імен:

Трудяща, дуже працьовита,

Весела, гарна, сановита.

 

Так розповідає легенда. 825 років до н.е. фінікійська царівна Дідона з невеликим військом вибрала зручне місце на північному узбережжі Тунійської затоки. Король Нумібії Ярб погодився  продати їй ділянку землі, обмежену «шкурою бика». Дідона не розгубилася. Вона розрізала шкуру на тоненькі смужки, якими обміряла територію найбільшої площі. Так було засновано Карфаген. Якщо ця територія  - прямокутник, то які його розміри?

Учень розв’язує задачу: які розміри матиме  прямокутник найбільшої площі, периметр якого 22 км?

Висновок. Серед прямокутників найбільшу площу має квадрат.

Група № 2 «Пошук»

1 учень. Завдання: знайти задачі з фізики, які розв’язуються за допомогою похідної.

З-поміж задач ми знайшли найбільш характерні. Це знаходження:

- швидкості та прискорення прямолінійного руху тіла чи матеріальної точки;

- кутової швидкості тіла обертання;

- швидкості зростання маси кристалів;

- швидкості зміни температури в результаті  нагрівання;

- визначення освітленості електричної лампочки.

2 учень. Я пропоную вам розв’язання однієї цікавої прикладної задачі.

Задача. Посудина з вертикальною стінкою і висотою h розміщена на горизонтальній площині. На якій глибині треба розмістити отвір, щоб дальність витікання води з отвору  була найбільшою (швидкість рідини, що витікає, за законом Торрічелі дорівнює 2gх,  де х – глибина розміщення отвору, g– прискорення вільного падіння).

                             (Слайд 1)

3 учень. Розв’язує задачу такого змісту.

Є прямокутний лист жерсті розміром 80 х 50 см. Треба виготовити з нього відкриту зверху коробку найбільшої місткості, вирізавши по краях квадрат й загнувши краї. Якою повинна бути довжина сторони такого квадрата.                         

    (Слайд 2)

 Група № 3.  «Дослідники»

 

Наша група працювала під  девізом: «Усе, що пізнаю, я знаю, для чого це мені потрібно, де і як можу застосувати ці знання».

                       В.Кильпатрик

Опрацьовуючи довідкову літературу, матеріал підручників, ми визначили задачі, які зустрічаються в економіці і розв’язуються  за допомогою похідної. Серед них найбільш характерні:

  •  визначення загальної вартості утримання різних видів транспорту;
  •  визначення продуктивності праці;
  •  визначення попиту на товари, зміни прибутку в результаті підвищення ціни;
  •  визначення витрат підприємства залежно від об’єму продукції, що випускається;
  •  знаходження оптимальних розмірів продукції з найбільшим (найменшим) об’ємом (чи площею).

1 учень пропонує розв’язання задачі.

Задача. Визначте розміри циліндричної закритої  консервної банки, об’єм  якої дорівнює V см3, щоб її повна поверхня була найменшою, тобто затрати жерсті на її виготовлення були найменшими.

         (Слайд 3)

2 учні демонструють консервні банки і свої обчислення.

                                         (Слайд 4,5)

     Запитання учням. Чому виробники несуть такі нераціональні витрати?

 Можливі відповіді учнів.

  •  шпроти мають довжину близько 10 см. Тоді і висота банки була б 10 см, значить ціна такої консерви була б у 5 разів більша. Чи купували б її?;
  •  виробнику вигідно, бо в ціну консерви, напевне, закладена і ціна жерсті;
  •  отже, ми купуємо не тільки шпроти, але й жерсть;
  •  людям найбільш гармонічними здаються прямокутні форми. Дуже рідко можна побачити банки, в перерізі яких квадрат.

4 учень

Артилеристи ведуть прицільний вогонь із гармати, розміщеної на осі Ох, по бойовій точці противника М   (   19П ; 1964).

                         20

Рельєф місцевості  змінюється за законом   h (x) = cos2 x   cos x

Вважаючи рух снаряда напрямленим похилою до пагорба в точці М, визначити траєкторію снаряда (рівняння руху і кут підняття ствола, що необхідно для знищення вогневої точки).

         (Слайд 6,7)

Підбиття підсумку уроку.

РЕФЛЕКСІЯ

Вправа «Закінчи речення»

  1.  Ми сьогодні говорили…
  2.  Ми сьогодні виконували…
  3.  Ми сьогодні дізналися…
  4.  Найбільше зацікавило…

Вправа для рефлексії

Учитель. Розтуліть свою ліву долоню і покладіть на неї той досвід, з яким ви прийшли сьогодні на урок. Відчуйте його значення для вас. А тепер покажіть свою праву долоню і покладіть на неї ту інформацію і той досвід, який ви здобули сьогодні. Відчуйте його цінність для вас.  А тепер з’єднайте долоні, об’єднайте ці досвіди, і нехай вони допоможуть вам успішно здати  зовнішнє незалежне оцінювання. Успіхів вам!

Домашнє завдання

А.Р.Гальперіна «Математика» (Типові тестові завдання. Збірник)

В-1    № 9, 31

В-2    № 16, 28

В-3    № 8

В-4    № 26


   
   Література

  1.  Є.П. Нелін, О.Є.Долгова.

             Алгебра і початки аналізу. 11 клас. – Х, Світ дитинства, 2008

  1.  Г.П.Бевз, В.Г.Бевз.

   Математика, 11 – К.Генеза, 2011

  1.  А.Г.Конфорович

             Добрий день. Архімеде! Цікаві задачі. Ігри, головоломки. –

    К. Молодь, 1988

  1.  Математика в школах України. - 2010


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4863. Структура программы C++. Служебные слова. Комментарии. Базовые типы данных и операции над ними 75.5 KB
  Структура программы C++. Служебные слова. Комментарии. Базовые типы данных и операции над ними. Логические операции. Побитовые операции. Преобразование типов. Базовый ввод, вывод. Служебные слова. Язык С++ имеет набор зарезервированных служебных сло...
4864. Условные операторы и операторы цикла 40.5 KB
  Условные операторы и операторы цикла. Условные операторы. Язык С++ располагает несколькими условными операторами, позволяющими организовать ветвление в программе. Оператор if реализует простое ветвление, относительно выполнения условия: if ( условие...
4865. Системы счисления. Двоичная система счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Машинное представление базовых типов С++ 67.5 KB
  Системы счисления. Двоичная система счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Перевод целой части. Перевод дробной части. Машинное представление базовых типов С++. Системы счисления. Под числом понимают некоторую абстрактную меру...
4866. Одномерные и многомерные массивы 36.5 KB
  Одномерные и многомерные массивы Массив представляет собой набор переменных одного типа. Элементы массива размещаются в памяти последовательно и индексируются начиная с 0. Доступ к элементам осуществляется напрямую по индексу. Размерность массива оп...
4867. Массивы символов. Работа со строками 47 KB
  Массивы символов. Работа со строками. Несмотря на то, что в состав стандартной библиотеки С++ входит специализированный тип данных для работы со строками string, очень часто для работы со строками используются массивы символов (char). Считается, что...
4868. Указатели. Адресная арифметика. Ссылки 41 KB
  Указатели. Адресная арифметика. Ссылки. Указатели – особый тип данных. Указатель хранит адрес, по которому в памяти располагается некоторый объект (переменная, массив, функция). Можно упрощенно представить память компьютера в виде массива после...
4869. Указатели и массивы. Способы распределения памяти. Динамическое распределение памяти. Операции new и delete 37.5 KB
  Указатели и массивы. Способы распределения памяти. Динамическое распределение памяти. Операции new и delete. Динамические массивы. Как уже было сказано ранее, массивы представляют собой последовательно размещенную в памяти последовательность перемен...
4870. Функции. Способы передачи параметров. Значения по умолчанию. Рекурсия 46.5 KB
  Функции. Способы передачи параметров. Значения по умолчанию. Рекурсия. Функцией называют поименованный блок программного кода. Передача управления этому блоку в процессе работы программе осуществляется в виде вызова функции. Функция может иметь па...
4871. Функции и массивы. Аргументы командной строки. 52.5 KB
  Функции и массивы. Аргументы командной строки. Массив в С++ никогда не передается по значению, а только как указатель на его первый (т.е. имеющий индекс 0) элемент. Все три следующие объявления функций эквивалентны: void sort( int ) void sort( in...