ID: 57783

Название работы: Применение производной к исследованию функции

Категория: Конспект урока

Предметная область: Педагогика и дидактика

Описание: Цели урока: сформировать навыки исследования и построения графиков функции с помощью производной. Учитель записывает на доске а ученики в тетради: Применение производной при исследовании функции.

Язык: Русский

Дата добавления: 2014-04-15

Размер файла: 1.89 MB

Работу скачали: 5 чел.

Коммунальное учреждение «ЛУГАНСКАЯ СРЕДНЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ

ШКОЛА I-III СТЕПЕНЕЙ №18»

Выполнил работу

учитель математики

Мельник М.С.

Тема урока: Применение производной к исследованию функции

Цели урока: сформировать навыки исследования и построения графиков функции с помощью  производной. Развивать алгоритмическое мышление, память. Воспитывать у учащихся требовательность к себе, критическое отношение к результатам своей работы, настойчивость в достижении цели.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, проблемный, эвристический.

Форма обучения: наглядная, практическая, словесная

Оборудование: мультимедийный проектор, презентация, карточки с заданием для групп, ватманы и маркеры для групп.

Структура урока

1.  Организационный момент
2.  Сообщение темы, цели и задач урока
3.  Актуализация опорных знаний учащихся
4.  Первичное восприятие и осознание учащимися нового материала
5.  Первичное применение приобретённых знаний
6.  Подведение итогов урока
7.  Сообщение домашнего задания

Ход урока

 ӏ  Организационный момент:

   -приветствие учащихся;

   - отметить отсутствующих на уроке;

   - записать дату урока, классная работа в тетради.

ӏӏ Сообщение темы, цели и задач урока.

 Учитель записывает на доске, а ученики в тетради: Применение производной при исследовании функции.

Цель нашего урока: научиться исследовать функцию и строить её график с использованием производной. Эта тема в дальнейшем упростит нахождение свойств функции и построение графиков функций.

Задача урока: научиться пользоваться алгоритмом исследования функции.

ӏӏӏ  Актуализация опорных знаний учащихся.

 (Фронтальный опрос  учащихся).

 Вопросы:

1.  Что называется функцией?

        Если каждому значению переменной Х из некоторого множества D соответствует        единственное значение переменной У, то такое соответствие называется функцией. При этом Х называют независимой переменной, или аргументом, а У  -зависимой переменой, или функцией.

1.  Что называется областью определения и областью значения функции?

        Множество всех значений, которые может принимать аргумент, называют областью определения данной функции и обозначают D. Множество значений, которые может принимать функция, называют областью значений и обозначают буквой Е.

1.  Какая функция называется чётной (нечётной)?

       Функция называется чётной (нечётной), если область её определения симметрична относительно числа  0 и для каждого значения Х из области определения  f(-x)=f(x), (f(-x)=-f(x) ).

1.  Какие точки называются критическими?

        Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называют – критическими точками функции.

1.  Дать определение, на каком промежутке функция возрастает, убывает, постоянная.

        Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке   возрастает. Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает. Если производная функции в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

1.  Как можно определить промежутки возрастания и убывания функции  f(x)?

        ӏ способ: нужно решить неравенства f᾽(x)>0 и f᾽(x)<0.

        ӏӏ способ: найти все критические точки функции, разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает.

1.  Что называется точкой минимума (максимума) функции?

       Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если для всех х (х≠х0) из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x0)<f(x) (f(x0)>f(x)).

1.  Как, одним словом назвать точки максимума и минимума функции?

       Точки экстремума.

1.  Как определить точки экстремума?

        Точка х0, при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «+» на «-» является точкой максимума, а точка при переходе через которую производная меняет знак с «-» ни «+»-точкой минимума.

ӏv  Восприятие и первичное осознание учащимися нового материала.

   Итак, теперь переходим к изучению новой темы.

   Исследовать функцию – это значит установить её свойства: указать D(f), E(f), промежутки возрастания и убывания, промежутки на которых функция принимает положительные значения, на которых принимает отрицательные, выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т.д.

   На слайде представлен график функции

1.  D(f)=(-∞;+∞)
2.  Функция ни чётная и ни нечётная
3.  Нули функции: (-2;0) и (2;0)- с осью ОХ, (0;-8)-с осью ОУ
4.  Функция возрастает на (-∞;-2] и [1;+∞), и убывает на [-2;1]
5.  Точки экстремума Xmax =-2, Xmin=1. Экстремумы функции Ymax=0, Ymin=9,5

Учитель продолжает объяснять новую тему: в данном случае, если нам известен график функции, то перечислить все свойства этой функции не составит труда.

Решим обратную задачу: по известному аналитическому заданию функции перечислим все её свойства.

Пусть функция задана в виде y=f(x), тогда необходимо выполнить исследование функции по следующей схеме (схема перед глазами учащихся на слайде презентации):

1.  Найти область определения функции
2.  Исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность
3.  Найти нули функции (точки пересечения графика функции с осями координат)
4.  Исследовать функцию на монотонность (найти промежутки возрастания и убывания функции)
5.  Найти точки экстремума и экстремальные значения функции
6.  Найти дополнительные точки (если нужно)
7.  Построить график функции

Учитель на доске показывает образец  выполнения задания. (Учащиеся активно берут участие в исследовании функции и записывают решение в тетради).

Исследовать функцию и построить её график  f(x)=x3-3x2+2

1.  D(f)=(-∞:+∞)
2.  f(-x)=(-x)3-3(-x)2+2=-x3-3x2+2            f(-x)≠f(x);

                                                              f(-x)≠-f(x)           функция ни чётная и ни нечётная

1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0           x3-3x2+2=0;

                                                        х3-х2-2х2+2=0;

                                                       (х3-х2)-2(х2-1)=0;

                                                        х2(х-1)-2(х-1)(х+1)=0;

                                                        (х-1)(х2-2х-2)=0;

                                                        х-1=0 или х2-2х-2=0;

                                                        х1=1           D=(-2)2-4*1*(-2)=4+8=12;

                                                         х2= =1+,     х3= =1-;

             А(1;0), В(1+;0), С(1-;0).

            б) с осью ОУ: х=0               f(х)=03-2*02+2=2            D(0;2)

     4.    Монотонность функции

            f᾽(x)=3х2-6х;

            f᾽(x)=0              3х2-6х=0;

                                     3х(х-2)=0;

                                     3х=0  или х-2=0;

                                     х1=0;   х2=2

х	(-∞;0)	0	(0;2)	2	(2;+∞)
f᾽(x)	+	0	-	0	+
f(х)		2		-2
		max		min

           f᾽(-1)=3*(-1)2-6*(-1)=3+6=9, 9>0

           f᾽(1)=3*12-6*1=3-6=-3, -3<0

           f᾽(3)=3*32-6*3=27-18=9, 9>0

1.  Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=0            ymax=03-3*02+2=2           E(0;2)

xmin=2            ymin=23-3*22+2=8-12+2=-2          F(2;-2)

 v  Первичное применение приобретённых знаний

Ученики заранее поделены на пять групп, каждая из которых получает карточку с заданием. В каждой группе назначается ответственный за выполнение задания и ходом его решения. Как только в группе будет найден ответ на первый пункт схемы исследования своей функции, сразу один из учеников выходит к доске и записывает его  и так далее до конца (в ходе выполнения задания все учащиеся группы выйдут к доске минимум один раз). Каждой группе выдан ватман и маркер, на котором ученики строят график своей функции с целью экономии времени и места на доске, так как одновременно все пять групп  записывают исследование своей функции на заранее разделенной на пять частей доске.

 Задание группы №1

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x3-2х2

1.  D(f)=(-∞:+∞)
2.  

f(-x)=(-x)3-2(-x)2=-x3-2x2 =-(х3+2х2)                  f(-x)≠f(x);

                                                                              f(-x)≠-f(x)           функция ни чётная и ни нечётная

1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0           x3-2x2=0;

                                                        х2(х-2)=0;

                                                        х2=0  или  х-2=0;

                                                        х1=0, Х2=2            А(0;0), В(2;0)

            б) с осью ОУ: х=0               f(х)=03-2*02=0             А(0;0)

      4. Монотонность функции

            f᾽(x)=3х2-4х;

            f᾽(x)=0              3х2-4х=0;

                                 х(3х-4)=0;

                                 х1=0,  3х-4=0

                                            х2=1

х	(-∞;0)	0	(0;1)	1	(1;+∞)
f᾽(x)	+	0	-	0	+
f(х)		0		-1
		max		min

           f᾽(-1)=3*(-1)2-4*(-1)=3+4=7, 7>0

           f᾽(1)=3*12-4*1=3-4=-1, -1<0

           f᾽(2)=3*22-4*2=12-8=4, 4>0

1.  Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=0            ymax=03-2*02=0           С(0;0)

xmin=            ymin=(3-2*()2=8-12+2=-  =-1                 D(2;-2)

Задание группы №2

Исследовать функцию и построить её график f(x)=3x-x3

1.  D(f)=(-∞:+∞)
2.  

f(-x)=3(-х)-(-x)3=-3х-x3 =-(3х-х3)                f(-x)=-f(x)             функция нечётная

1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0           3х-x3=0,

                                                       х(3-х2)=0,

                                                       х1=0, 3-х2=0,

                                                   х2=3,

                                                    х2=, х3=-                А(0;0), В(,0), С(-,0)

               б) с осью ОУ: х=0               f(х)=3*0-03 =0             А(0;0)

      4. Монотонность функции

            f᾽(x)=3-3х2,

            f᾽(x)=0              3-3х2=0,

                                      3(1-х2)=0,

                        х2=1,

                        х1=1, х2=-1

х	(-∞;-1)	-1	(-1;1)	1	(1;+∞)
f᾽(x)	-	0	+	0	-
f(х)		-2		2
		min		max

           f᾽(-2)=3-3*(-2)2=3-12=-9, -9<0

           f᾽(0)=3-3*02=3, 3>0

           f᾽(2)=3-3*22=3-12=-9, -9<0

1.  Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=1            ymax=03-2*02=0           D(1;2)

xmin=-1           ymin=3*1-13=3-1=2                 E(-1;-2)

Задание группы №3

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x3-6x

1.  D(f)=(-∞:+∞)
2.  

f(-x)=(-x)3-6(-x)=-x3+6x =-(х3-6x)                f(-x)=-f(x)             функция нечётная

1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0           x3-6x=0,

                                                       х(х2-6)=0, 

                                                       х1=0, х2-6=0,

                                                                 х2=, х3=-               А(0;0), В(,0), С(-,0)

             б) с осью ОУ: х=0               f(х)=03-6*0 =0             А(0;0)

      4. Монотонность функции

            f᾽(x)=3х2-6,

            f᾽(x)=0              3х2-6=0,

                                      3(х2-2)=0,

                        х2=2,

                        х1=, х2=-

х	(-∞;-)		(-;)		(;+∞)
f᾽(x)	+	0	-	0	+
f(х)		4		-4
		max		min

           f᾽(-2)=3*(-2)2-6=12-6=6, 6>0

           f᾽(0)=3*02-6=-6, -6<0

           f᾽(2)=3*22-6=12-6=6, 6>0

1.    Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=-              ymax=(-3-6*( - )=-2 +6 =4              D(-;4)

xmin=               ymin=3-6=2-6=-4                 E(;-4)

Задание группы №4

Исследовать функцию и построить её график f(x)=-2х4+2х2

1.  D(f)=(-∞:+∞)
2.  

f(-x)=-2(-х)4+2(-х)2=-2х4+2х2                f(-x)=f(x)             функция чётная

1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0          -2х4+2х2=0,

                                                       -2х2(х2-1)=0, 

                                                        х1=0, х2-1=0,

                                                                 х2=1, х3=-1               А(0;0), В(1;0), С(-1;0)

             б) с осью ОУ: х=0               f(х)=-2*04+2*02=0                 А(0;0)

      4. Монотонность функции

            f᾽(x)=-8х3+4х,

            f᾽(x)=0              -8х3+4х =0,

                                      -4х(2х2-1)=0,

                                      -4х=0 или  2х2-1=0

                         х1=0,    х2=,

                                      х2=,  х3=-

х	(-∞;-)		(-;0)		(0;		(
f᾽(x)	+	0	-	0	+	0	-
f(х)				0
		max		min		max

           f᾽(-1)=-8*(-1)3+4*(-1)=8-4=4,  4  >0,

           f᾽(-)=-8*(-)3+4*(-)=1-2=-1, -1<0,

           f᾽()=-8*()3+4*=-1+2=1, 1>0,

           f᾽(1)=-8*13+4*1=-8*4=-4, -4<0,

1.    Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=-              ymax=-2*(- )4+2*(- )2=-2*+2*  =- +1=                    D(-;)

xmin=0               ymin=-2*04+2*02=0             А(0;0)

xmax=              ymax=-2*( )4+2*( )2=-2*+2*  =- +1=                    Е(;)

Задание группы №5

Исследовать функцию и построить её график f(x)=3х4-6х2

1.  D(f)=(-∞:+∞)
2.  

f(-x)=3(-х)4-6(-х)2=3х4-6х2                f(-x)=f(x)             функция чётная

1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0           3х4-6х2=0,

                                                        3х2(х2-2)=0, 

                                                        х1=0, х2-2=0,

                                                                 х2=, х3=-                   А(0;0), В(;0), С(-;0)

             б) с осью ОУ: х=0               f(х)=3*04-6*02=0                 А(0;0)

      4. Монотонность функции

            f᾽(x)=12х3-12х,

            f᾽(x)=0               12х3-12х  =0,

                                      12х(х2-1)=0,

                                      12х=0 или  х2-1=0

                         х1=0,    х2=1,

                                      х2=1, х3=-1

х	(-∞;-1)	-1	(-1; 0)		(0;1	1	(1
f᾽(x)	-	0	+	0	-	0	+
f(х)		-3		0		-3
		min		max		min

           f᾽(-2)=12*(-2)3-12*(-2)=12*(-8)+24=-96+24=-72,  -72<0,

           f᾽(-)=12*(-)3-12*(-)=-+6=-1,5+6=4,5    4,5>0,

           f᾽()=12*()3-12*=-6=1,5-6=-4,5    -4,5<0,

           f᾽(2)=12*23-12*2=12*8-24=96-24=72, 72>0,

1.    Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmin=-1               ymin=3*(-1)4-6*(-1)2=3-6=-3                    D(-1;-3)

xmax=0                ymax=3*04-6*02=0                  А(0;0)

xmin=1               ymin=3*14-6*12=3-6=-3              Е(1;-3)

vӏ Подведение итогов урока.

 Учитель выставляет оценки за роботу на уроке

  Учащиеся повторяют алгоритм исследования функции.

vӏӏ Сообщение домашнего задания.