57783

Применение производной к исследованию функции

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Цели урока: сформировать навыки исследования и построения графиков функции с помощью производной. Учитель записывает на доске а ученики в тетради: Применение производной при исследовании функции.

Русский

2014-04-15

1.89 MB

5 чел.

Коммунальное учреждение «ЛУГАНСКАЯ СРЕДНЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ

ШКОЛА I-III СТЕПЕНЕЙ №18»

Выполнил работу

учитель математики

Мельник М.С.


Тема урока:
Применение производной к исследованию функции

Цели урока: сформировать навыки исследования и построения графиков функции с помощью  производной. Развивать алгоритмическое мышление, память. Воспитывать у учащихся требовательность к себе, критическое отношение к результатам своей работы, настойчивость в достижении цели.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, проблемный, эвристический.

Форма обучения: наглядная, практическая, словесная

Оборудование: мультимедийный проектор, презентация, карточки с заданием для групп, ватманы и маркеры для групп.

Структура урока

  1.  Организационный момент
  2.  Сообщение темы, цели и задач урока
  3.  Актуализация опорных знаний учащихся
  4.  Первичное восприятие и осознание учащимися нового материала
  5.  Первичное применение приобретённых знаний
  6.  Подведение итогов урока
  7.  Сообщение домашнего задания

Ход урока

 ӏ  Организационный момент:

   -приветствие учащихся;

   - отметить отсутствующих на уроке;

   - записать дату урока, классная работа в тетради.

ӏӏ Сообщение темы, цели и задач урока.

 Учитель записывает на доске, а ученики в тетради: Применение производной при исследовании функции.

Цель нашего урока: научиться исследовать функцию и строить её график с использованием производной. Эта тема в дальнейшем упростит нахождение свойств функции и построение графиков функций.

Задача урока: научиться пользоваться алгоритмом исследования функции.

ӏӏӏ  Актуализация опорных знаний учащихся.

 (Фронтальный опрос  учащихся).

 Вопросы:

  1.  Что называется функцией?

        Если каждому значению переменной Х из некоторого множества D соответствует        единственное значение переменной У, то такое соответствие называется функцией. При этом Х называют независимой переменной, или аргументом, а У  -зависимой переменой, или функцией.

  1.  Что называется областью определения и областью значения функции?

        Множество всех значений, которые может принимать аргумент, называют областью определения данной функции и обозначают D. Множество значений, которые может принимать функция, называют областью значений и обозначают буквой Е.

  1.  Какая функция называется чётной (нечётной)?

       Функция называется чётной (нечётной), если область её определения симметрична относительно числа  0 и для каждого значения Х из области определения  f(-x)=f(x), (f(-x)=-f(x) ).

  1.  Какие точки называются критическими?

        Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называют – критическими точками функции.

  1.  Дать определение, на каком промежутке функция возрастает, убывает, постоянная.

        Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке   возрастает. Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает. Если производная функции в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

  1.  Как можно определить промежутки возрастания и убывания функции  f(x)?

        ӏ способ: нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0.

        ӏӏ способ: найти все критические точки функции, разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает.

  1.  Что называется точкой минимума (максимума) функции?

       Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если для всех х (х≠х0) из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x0)<f(x) (f(x0)>f(x)).

  1.  Как, одним словом назвать точки максимума и минимума функции?

       Точки экстремума.

  1.  Как определить точки экстремума?

        Точка х0, при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «+» на «-» является точкой максимума, а точка при переходе через которую производная меняет знак с «-» ни «+»-точкой минимума.

ӏv  Восприятие и первичное осознание учащимися нового материала.

   Итак, теперь переходим к изучению новой темы.

   Исследовать функцию – это значит установить её свойства: указать D(f), E(f), промежутки возрастания и убывания, промежутки на которых функция принимает положительные значения, на которых принимает отрицательные, выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т.д.

   На слайде представлен график функции

  1.  D(f)=(-∞;+∞)
  2.  Функция ни чётная и ни нечётная
  3.  Нули функции: (-2;0) и (2;0)- с осью ОХ, (0;-8)-с осью ОУ
  4.  Функция возрастает на (-∞;-2] и [1;+∞), и убывает на [-2;1]
  5.  Точки экстремума Xmax =-2, Xmin=1. Экстремумы функции Ymax=0, Ymin=9,5

Учитель продолжает объяснять новую тему: в данном случае, если нам известен график функции, то перечислить все свойства этой функции не составит труда.

Решим обратную задачу: по известному аналитическому заданию функции перечислим все её свойства.

Пусть функция задана в виде y=f(x), тогда необходимо выполнить исследование функции по следующей схеме (схема перед глазами учащихся на слайде презентации):

  1.  Найти область определения функции
  2.  Исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность
  3.  Найти нули функции (точки пересечения графика функции с осями координат)
  4.  Исследовать функцию на монотонность (найти промежутки возрастания и убывания функции)
  5.  Найти точки экстремума и экстремальные значения функции
  6.  Найти дополнительные точки (если нужно)
  7.  Построить график функции

Учитель на доске показывает образец  выполнения задания. (Учащиеся активно берут участие в исследовании функции и записывают решение в тетради).

Исследовать функцию и построить её график  f(x)=x3-3x2+2

  1.  D(f)=(-∞:+∞)
  2.  f(-x)=(-x)3-3(-x)2+2=-x3-3x2+2            f(-x)≠f(x);

                                                              f(-x)≠-f(x)           функция ни чётная и ни нечётная

  1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0           x3-3x2+2=0;

                                                        х32-2х2+2=0;

                                                       (х32)-2(х2-1)=0;

                                                        х2(х-1)-2(х-1)(х+1)=0;

                                                        (х-1)(х2-2х-2)=0;

                                                        х-1=0 или х2-2х-2=0;

                                                        х1=1           D=(-2)2-4*1*(-2)=4+8=12;

                                                         х2= =1+,     х3= =1-;

             А(1;0), В(1+;0), С(1-;0).

            б) с осью ОУ: х=0               f(х)=03-2*02+2=2            D(0;2)

     4.    Монотонность функции

            f(x)=3х2-6х;

            f(x)=0              3х2-6х=0;

                                     3х(х-2)=0;

                                     3х=0  или х-2=0;

                                     х1=0;   х2=2

х

(-∞;0)

0

(0;2)

2

(2;+∞)

f(x)

+

0

-

0

+

f(х)

2

-2

max

min

           f(-1)=3*(-1)2-6*(-1)=3+6=9, 9>0

           f(1)=3*12-6*1=3-6=-3, -3<0

           f(3)=3*32-6*3=27-18=9, 9>0

  1.  Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=0            ymax=03-3*02+2=2           E(0;2)

xmin=2            ymin=23-3*22+2=8-12+2=-2          F(2;-2)

 v  Первичное применение приобретённых знаний

Ученики заранее поделены на пять групп, каждая из которых получает карточку с заданием. В каждой группе назначается ответственный за выполнение задания и ходом его решения. Как только в группе будет найден ответ на первый пункт схемы исследования своей функции, сразу один из учеников выходит к доске и записывает его  и так далее до конца (в ходе выполнения задания все учащиеся группы выйдут к доске минимум один раз). Каждой группе выдан ватман и маркер, на котором ученики строят график своей функции с целью экономии времени и места на доске, так как одновременно все пять групп  записывают исследование своей функции на заранее разделенной на пять частей доске.

 Задание группы №1

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x3-2х2

  1.  D(f)=(-∞:+∞)
  2.  

f(-x)=(-x)3-2(-x)2=-x3-2x2 =-(х3+2х2)                  f(-x)≠f(x);

                                                                              f(-x)≠-f(x)           функция ни чётная и ни нечётная

  1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0           x3-2x2=0;

                                                        х2(х-2)=0;

                                                        х2=0  или  х-2=0;

                                                        х1=0, Х2=2            А(0;0), В(2;0)

            б) с осью ОУ: х=0               f(х)=03-2*02=0             А(0;0)

      4. Монотонность функции

            f(x)=3х2-4х;

            f(x)=0              3х2-4х=0;

                                 х(3х-4)=0;

                                 х1=0,  3х-4=0

                                            х2=1

х

(-∞;0)

0

(0;1)

1

(1;+∞)

f(x)

+

0

-

0

+

f(х)

0

-1

max

min

           f(-1)=3*(-1)2-4*(-1)=3+4=7, 7>0

           f(1)=3*12-4*1=3-4=-1, -1<0

           f(2)=3*22-4*2=12-8=4, 4>0

  1.  Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=0            ymax=03-2*02=0           С(0;0)

xmin=            ymin=(3-2*()2=8-12+2=-  =-1                 D(2;-2)

Задание группы №2

Исследовать функцию и построить её график f(x)=3x-x3

  1.  D(f)=(-∞:+∞)
  2.  

f(-x)=3(-х)-(-x)3=-3х-x3 =-(3х-х3)                f(-x)=-f(x)             функция нечётная

  1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0           3х-x3=0,

                                                       х(3-х2)=0,

                                                       х1=0, 3-х2=0,

                                                   х2=3,

                                                    х2=, х3=-                А(0;0), В(,0), С(-,0)

               б) с осью ОУ: х=0               f(х)=3*0-03 =0             А(0;0)

      4. Монотонность функции

            f(x)=3-3х2,

            f(x)=0              3-3х2=0,

                                      3(1-х2)=0,

                        х2=1,

                        х1=1, х2=-1

х

(-∞;-1)

-1

(-1;1)

1

(1;+∞)

f(x)

-

0

+

0

-

f(х)

-2

2

min

max

           f(-2)=3-3*(-2)2=3-12=-9, -9<0

           f(0)=3-3*02=3, 3>0

           f(2)=3-3*22=3-12=-9, -9<0

  1.  Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=1            ymax=03-2*02=0           D(1;2)

xmin=-1           ymin=3*1-13=3-1=2                 E(-1;-2)

Задание группы №3

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x3-6x

  1.  D(f)=(-∞:+∞)
  2.  

f(-x)=(-x)3-6(-x)=-x3+6x =-(х3-6x)                f(-x)=-f(x)             функция нечётная

  1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0           x3-6x=0,

                                                       х(х2-6)=0, 

                                                       х1=0, х2-6=0,

                                                                 х2=, х3=-               А(0;0), В(,0), С(-,0)

             б) с осью ОУ: х=0               f(х)=03-6*0 =0             А(0;0)

      4. Монотонность функции

            f(x)=3х2-6,

            f(x)=0              3х2-6=0,

                                      3(х2-2)=0,

                        х2=2,

                        х1=, х2=-

х

(-∞;-)

(-;)

(;+∞)

f(x)

+

0

-

0

+

f(х)

4

-4

max

min

           f(-2)=3*(-2)2-6=12-6=6, 6>0

           f(0)=3*02-6=-6, -6<0

           f(2)=3*22-6=12-6=6, 6>0

  1.    Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=-              ymax=(-3-6*( - )=-2 +6 =4              D(-;4)

xmin=               ymin=3-6=2-6=-4                 E(;-4)

Задание группы №4

Исследовать функцию и построить её график f(x)=-2х4+2х2

  1.  D(f)=(-∞:+∞)
  2.  

f(-x)=-2(-х)4+2(-х)2=-2х4+2х2                f(-x)=f(x)             функция чётная

  1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0          -2х4+2х2=0,

                                                       -2х22-1)=0, 

                                                        х1=0, х2-1=0,

                                                                 х2=1, х3=-1               А(0;0), В(1;0), С(-1;0)

             б) с осью ОУ: х=0               f(х)=-2*04+2*02=0                 А(0;0)

      4. Монотонность функции

            f(x)=-8х3+4х,

            f(x)=0              -8х3+4х =0,

                                      -4х(2х2-1)=0,

                                      -4х=0 или  2х2-1=0

                         х1=0,    х2=,

                                      х2=,  х3=-

х

(-∞;-)

(-;0)

(0;

(

f(x)

+

0

-

0

+

0

-

f(х)

0

max

min

max

           f(-1)=-8*(-1)3+4*(-1)=8-4=4,  4  >0,

           f(-)=-8*(-)3+4*(-)=1-2=-1, -1<0,

           f()=-8*()3+4*=-1+2=1, 1>0,

           f(1)=-8*13+4*1=-8*4=-4, -4<0,

  1.    Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=-              ymax=-2*(- )4+2*(- )2=-2*+2*  =- +1=                    D(-;)

xmin=0               ymin=-2*04+2*02=0             А(0;0)

xmax=              ymax=-2*( )4+2*( )2=-2*+2*  =- +1=                    Е(;)

Задание группы №5

Исследовать функцию и построить её график f(x)=3х4-6х2

  1.  D(f)=(-∞:+∞)
  2.  

f(-x)=3(-х)4-6(-х)2=3х4-6х2                f(-x)=f(x)             функция чётная

  1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0           3х4-6х2=0,

                                                        3х22-2)=0, 

                                                        х1=0, х2-2=0,

                                                                 х2=, х3=-                   А(0;0), В(;0), С(-;0)

             б) с осью ОУ: х=0               f(х)=3*04-6*02=0                 А(0;0)

      4. Монотонность функции

            f(x)=12х3-12х,

            f(x)=0               12х3-12х  =0,

                                      12х(х2-1)=0,

                                      12х=0 или  х2-1=0

                         х1=0,    х2=1,

                                      х2=1, х3=-1

х

(-∞;-1)

-1

(-1; 0)

(0;1

1

(1

f(x)

-

0

+

0

-

0

+

f(х)

-3

0

-3

min

max

min

           f(-2)=12*(-2)3-12*(-2)=12*(-8)+24=-96+24=-72,  -72<0,

           f(-)=12*(-)3-12*(-)=-+6=-1,5+6=4,5    4,5>0,

           f()=12*()3-12*=-6=1,5-6=-4,5    -4,5<0,

           f(2)=12*23-12*2=12*8-24=96-24=72, 72>0,

  1.    Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmin=-1               ymin=3*(-1)4-6*(-1)2=3-6=-3                    D(-1;-3)

xmax=0                ymax=3*04-6*02=0                  А(0;0)

xmin=1               ymin=3*14-6*12=3-6=-3              Е(1;-3)

vӏ Подведение итогов урока.

 Учитель выставляет оценки за роботу на уроке

  Учащиеся повторяют алгоритм исследования функции.

vӏӏ Сообщение домашнего задания.



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38363. Організація праці, її ефективність та оплата в умовах ринкових відносин 1.09 MB
  Ключовими проблемами дисципліни ЕП і СТВ є вартісні аспекти відображення витрат праці на створення одиниці продукції, тому, праця як суспільне явище повинна бути доцільно, ефективно та економічно організованою. Це може бути досягнуто за рахунок наукової організації праці, яка пов’язана зі створенням оптимальних організаційних умов поєднання людей і техніки в процесі праці
38364. Фінанси. Курс лекцій 2.83 MB
  Фінансова система України. Проблеми розвитку фінансової системи України та шляхи її вдосконалення. Враховуючи також ланки окремих сфер фінансової системи сучасна фінансова система України має такий вигляд Рис.
38365. Логистика и ее сущность 506.5 KB
  Параметрами материального потока являются: номенклатура ассортимент и количество продукции; габаритные характеристики объем площадь линейные размеры; весовые характеристики общая масса вес брутто вес нетто; физикохимическис свойства; характеристики тары упаковки; условия транспортировки и хранения; стоимостные характеристики и др.Характеристика микро и макрологистики Микрологистика изучает способы и методы оптимизации движения поступающих на предприятия обрабатываемых там и выходящих потоков продукции и сопутствующих...
38366. Міжнародні перевезення 35.31 KB
  Поняття міжнародних перевезень Транспорт одна з найважливіших галузей суспільного виробництва що покликана задовольняти потреби населення та інших галузей суспільного виробництва в перевезеннях. З допомогою транспортних засобів суб'єкти господарювання надають два різновиди послуг: перевезення вантажу пасажирів та їхнього багажу а також транспортування нафти природного газу електроенергії тощо. Міжнародними вважаються перевезення вантажів і пасажирів між двома чи кількома державами. На залізничному транспорті у разі відсутності угоди...
38367. Податкове право і податкове законодавство України 703.5 KB
  Ця структура включає в себе самостійні базові інститути оподаткування інститут оподаткування фізичних осіб; інститут місцевих податків і зборів; інститут податкової відповідальності тощо. Таким чином податкове право: виступає як інститут предметний тобто присвячений строго певному предмету різновиду відносин що складаються з приводу встановлення сплати й стягнення податків і зборів їх зміни й скасування; регулює суспільні відносини щодо встановлення й справляння податкових платежів їх зміни й скасування; розподіл і використання...
38368. Политология как научная дисциплина 284.5 KB
  при правлении Наполеона в Париже была открыта студия полит. Был проведён первый конгресс учённых по проблемам изучения полит. Под эгидой ЮНЕСКО проходит первый международный коллоквиум по проблемам полит. Они пришли к выводу что ПЛ как наука изучает: историю полит.
38369. Политология и ее развитие 246 KB
  Основные этапы развития политологии исторически определенные периоды становления и развития знаний о политике политической власти государстве политическом человеке и других вопросах политической жизни общества. Аквинского о божественном происхождении государства и власти моральном характере правления и другие вопросы оказали заметное влияние на политологию. Марксистсколенинская концепция политики исходила из признания экономического базиса первоосновой политической надстройки классовости политики которую определяла как область...
38370. Основи економічної теорії 212 KB
  Сутність капіталу. Просте і розширене відтворення індивідуального капіталу.Нагромадження капіталу.Форми нагромадження концентрація і централізація капіталу та виробництва.
38371. Міжнародне право 401 KB
  В сучасних умовах розвиток міжнародних звязків України відкритість суспільства зумовили широку трудову міграцію працездатного населення до інших країн у пошуках роботи. При викладанні зазначеного курсу активно використовується порівняльний метод дослідження теоретичних та практичних аспектів трудового та соціального права України з аналогічним правом інших країн США Франція Англія Німеччина Росія та ін.