57783

Применение производной к исследованию функции

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Цели урока: сформировать навыки исследования и построения графиков функции с помощью производной. Учитель записывает на доске а ученики в тетради: Применение производной при исследовании функции.

Русский

2014-04-15

1.89 MB

3 чел.

Коммунальное учреждение «ЛУГАНСКАЯ СРЕДНЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ

ШКОЛА I-III СТЕПЕНЕЙ №18»

Выполнил работу

учитель математики

Мельник М.С.


Тема урока:
Применение производной к исследованию функции

Цели урока: сформировать навыки исследования и построения графиков функции с помощью  производной. Развивать алгоритмическое мышление, память. Воспитывать у учащихся требовательность к себе, критическое отношение к результатам своей работы, настойчивость в достижении цели.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, проблемный, эвристический.

Форма обучения: наглядная, практическая, словесная

Оборудование: мультимедийный проектор, презентация, карточки с заданием для групп, ватманы и маркеры для групп.

Структура урока

  1.  Организационный момент
  2.  Сообщение темы, цели и задач урока
  3.  Актуализация опорных знаний учащихся
  4.  Первичное восприятие и осознание учащимися нового материала
  5.  Первичное применение приобретённых знаний
  6.  Подведение итогов урока
  7.  Сообщение домашнего задания

Ход урока

 ӏ  Организационный момент:

   -приветствие учащихся;

   - отметить отсутствующих на уроке;

   - записать дату урока, классная работа в тетради.

ӏӏ Сообщение темы, цели и задач урока.

 Учитель записывает на доске, а ученики в тетради: Применение производной при исследовании функции.

Цель нашего урока: научиться исследовать функцию и строить её график с использованием производной. Эта тема в дальнейшем упростит нахождение свойств функции и построение графиков функций.

Задача урока: научиться пользоваться алгоритмом исследования функции.

ӏӏӏ  Актуализация опорных знаний учащихся.

 (Фронтальный опрос  учащихся).

 Вопросы:

  1.  Что называется функцией?

        Если каждому значению переменной Х из некоторого множества D соответствует        единственное значение переменной У, то такое соответствие называется функцией. При этом Х называют независимой переменной, или аргументом, а У  -зависимой переменой, или функцией.

  1.  Что называется областью определения и областью значения функции?

        Множество всех значений, которые может принимать аргумент, называют областью определения данной функции и обозначают D. Множество значений, которые может принимать функция, называют областью значений и обозначают буквой Е.

  1.  Какая функция называется чётной (нечётной)?

       Функция называется чётной (нечётной), если область её определения симметрична относительно числа  0 и для каждого значения Х из области определения  f(-x)=f(x), (f(-x)=-f(x) ).

  1.  Какие точки называются критическими?

        Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называют – критическими точками функции.

  1.  Дать определение, на каком промежутке функция возрастает, убывает, постоянная.

        Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке   возрастает. Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает. Если производная функции в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

  1.  Как можно определить промежутки возрастания и убывания функции  f(x)?

        ӏ способ: нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0.

        ӏӏ способ: найти все критические точки функции, разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает.

  1.  Что называется точкой минимума (максимума) функции?

       Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если для всех х (х≠х0) из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x0)<f(x) (f(x0)>f(x)).

  1.  Как, одним словом назвать точки максимума и минимума функции?

       Точки экстремума.

  1.  Как определить точки экстремума?

        Точка х0, при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «+» на «-» является точкой максимума, а точка при переходе через которую производная меняет знак с «-» ни «+»-точкой минимума.

ӏv  Восприятие и первичное осознание учащимися нового материала.

   Итак, теперь переходим к изучению новой темы.

   Исследовать функцию – это значит установить её свойства: указать D(f), E(f), промежутки возрастания и убывания, промежутки на которых функция принимает положительные значения, на которых принимает отрицательные, выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т.д.

   На слайде представлен график функции

  1.  D(f)=(-∞;+∞)
  2.  Функция ни чётная и ни нечётная
  3.  Нули функции: (-2;0) и (2;0)- с осью ОХ, (0;-8)-с осью ОУ
  4.  Функция возрастает на (-∞;-2] и [1;+∞), и убывает на [-2;1]
  5.  Точки экстремума Xmax =-2, Xmin=1. Экстремумы функции Ymax=0, Ymin=9,5

Учитель продолжает объяснять новую тему: в данном случае, если нам известен график функции, то перечислить все свойства этой функции не составит труда.

Решим обратную задачу: по известному аналитическому заданию функции перечислим все её свойства.

Пусть функция задана в виде y=f(x), тогда необходимо выполнить исследование функции по следующей схеме (схема перед глазами учащихся на слайде презентации):

  1.  Найти область определения функции
  2.  Исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность
  3.  Найти нули функции (точки пересечения графика функции с осями координат)
  4.  Исследовать функцию на монотонность (найти промежутки возрастания и убывания функции)
  5.  Найти точки экстремума и экстремальные значения функции
  6.  Найти дополнительные точки (если нужно)
  7.  Построить график функции

Учитель на доске показывает образец  выполнения задания. (Учащиеся активно берут участие в исследовании функции и записывают решение в тетради).

Исследовать функцию и построить её график  f(x)=x3-3x2+2

  1.  D(f)=(-∞:+∞)
  2.  f(-x)=(-x)3-3(-x)2+2=-x3-3x2+2            f(-x)≠f(x);

                                                              f(-x)≠-f(x)           функция ни чётная и ни нечётная

  1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0           x3-3x2+2=0;

                                                        х32-2х2+2=0;

                                                       (х32)-2(х2-1)=0;

                                                        х2(х-1)-2(х-1)(х+1)=0;

                                                        (х-1)(х2-2х-2)=0;

                                                        х-1=0 или х2-2х-2=0;

                                                        х1=1           D=(-2)2-4*1*(-2)=4+8=12;

                                                         х2= =1+,     х3= =1-;

             А(1;0), В(1+;0), С(1-;0).

            б) с осью ОУ: х=0               f(х)=03-2*02+2=2            D(0;2)

     4.    Монотонность функции

            f(x)=3х2-6х;

            f(x)=0              3х2-6х=0;

                                     3х(х-2)=0;

                                     3х=0  или х-2=0;

                                     х1=0;   х2=2

х

(-∞;0)

0

(0;2)

2

(2;+∞)

f(x)

+

0

-

0

+

f(х)

2

-2

max

min

           f(-1)=3*(-1)2-6*(-1)=3+6=9, 9>0

           f(1)=3*12-6*1=3-6=-3, -3<0

           f(3)=3*32-6*3=27-18=9, 9>0

  1.  Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=0            ymax=03-3*02+2=2           E(0;2)

xmin=2            ymin=23-3*22+2=8-12+2=-2          F(2;-2)

 v  Первичное применение приобретённых знаний

Ученики заранее поделены на пять групп, каждая из которых получает карточку с заданием. В каждой группе назначается ответственный за выполнение задания и ходом его решения. Как только в группе будет найден ответ на первый пункт схемы исследования своей функции, сразу один из учеников выходит к доске и записывает его  и так далее до конца (в ходе выполнения задания все учащиеся группы выйдут к доске минимум один раз). Каждой группе выдан ватман и маркер, на котором ученики строят график своей функции с целью экономии времени и места на доске, так как одновременно все пять групп  записывают исследование своей функции на заранее разделенной на пять частей доске.

 Задание группы №1

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x3-2х2

  1.  D(f)=(-∞:+∞)
  2.  

f(-x)=(-x)3-2(-x)2=-x3-2x2 =-(х3+2х2)                  f(-x)≠f(x);

                                                                              f(-x)≠-f(x)           функция ни чётная и ни нечётная

  1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0           x3-2x2=0;

                                                        х2(х-2)=0;

                                                        х2=0  или  х-2=0;

                                                        х1=0, Х2=2            А(0;0), В(2;0)

            б) с осью ОУ: х=0               f(х)=03-2*02=0             А(0;0)

      4. Монотонность функции

            f(x)=3х2-4х;

            f(x)=0              3х2-4х=0;

                                 х(3х-4)=0;

                                 х1=0,  3х-4=0

                                            х2=1

х

(-∞;0)

0

(0;1)

1

(1;+∞)

f(x)

+

0

-

0

+

f(х)

0

-1

max

min

           f(-1)=3*(-1)2-4*(-1)=3+4=7, 7>0

           f(1)=3*12-4*1=3-4=-1, -1<0

           f(2)=3*22-4*2=12-8=4, 4>0

  1.  Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=0            ymax=03-2*02=0           С(0;0)

xmin=            ymin=(3-2*()2=8-12+2=-  =-1                 D(2;-2)

Задание группы №2

Исследовать функцию и построить её график f(x)=3x-x3

  1.  D(f)=(-∞:+∞)
  2.  

f(-x)=3(-х)-(-x)3=-3х-x3 =-(3х-х3)                f(-x)=-f(x)             функция нечётная

  1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0           3х-x3=0,

                                                       х(3-х2)=0,

                                                       х1=0, 3-х2=0,

                                                   х2=3,

                                                    х2=, х3=-                А(0;0), В(,0), С(-,0)

               б) с осью ОУ: х=0               f(х)=3*0-03 =0             А(0;0)

      4. Монотонность функции

            f(x)=3-3х2,

            f(x)=0              3-3х2=0,

                                      3(1-х2)=0,

                        х2=1,

                        х1=1, х2=-1

х

(-∞;-1)

-1

(-1;1)

1

(1;+∞)

f(x)

-

0

+

0

-

f(х)

-2

2

min

max

           f(-2)=3-3*(-2)2=3-12=-9, -9<0

           f(0)=3-3*02=3, 3>0

           f(2)=3-3*22=3-12=-9, -9<0

  1.  Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=1            ymax=03-2*02=0           D(1;2)

xmin=-1           ymin=3*1-13=3-1=2                 E(-1;-2)

Задание группы №3

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x3-6x

  1.  D(f)=(-∞:+∞)
  2.  

f(-x)=(-x)3-6(-x)=-x3+6x =-(х3-6x)                f(-x)=-f(x)             функция нечётная

  1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0           x3-6x=0,

                                                       х(х2-6)=0, 

                                                       х1=0, х2-6=0,

                                                                 х2=, х3=-               А(0;0), В(,0), С(-,0)

             б) с осью ОУ: х=0               f(х)=03-6*0 =0             А(0;0)

      4. Монотонность функции

            f(x)=3х2-6,

            f(x)=0              3х2-6=0,

                                      3(х2-2)=0,

                        х2=2,

                        х1=, х2=-

х

(-∞;-)

(-;)

(;+∞)

f(x)

+

0

-

0

+

f(х)

4

-4

max

min

           f(-2)=3*(-2)2-6=12-6=6, 6>0

           f(0)=3*02-6=-6, -6<0

           f(2)=3*22-6=12-6=6, 6>0

  1.    Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=-              ymax=(-3-6*( - )=-2 +6 =4              D(-;4)

xmin=               ymin=3-6=2-6=-4                 E(;-4)

Задание группы №4

Исследовать функцию и построить её график f(x)=-2х4+2х2

  1.  D(f)=(-∞:+∞)
  2.  

f(-x)=-2(-х)4+2(-х)2=-2х4+2х2                f(-x)=f(x)             функция чётная

  1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0          -2х4+2х2=0,

                                                       -2х22-1)=0, 

                                                        х1=0, х2-1=0,

                                                                 х2=1, х3=-1               А(0;0), В(1;0), С(-1;0)

             б) с осью ОУ: х=0               f(х)=-2*04+2*02=0                 А(0;0)

      4. Монотонность функции

            f(x)=-8х3+4х,

            f(x)=0              -8х3+4х =0,

                                      -4х(2х2-1)=0,

                                      -4х=0 или  2х2-1=0

                         х1=0,    х2=,

                                      х2=,  х3=-

х

(-∞;-)

(-;0)

(0;

(

f(x)

+

0

-

0

+

0

-

f(х)

0

max

min

max

           f(-1)=-8*(-1)3+4*(-1)=8-4=4,  4  >0,

           f(-)=-8*(-)3+4*(-)=1-2=-1, -1<0,

           f()=-8*()3+4*=-1+2=1, 1>0,

           f(1)=-8*13+4*1=-8*4=-4, -4<0,

  1.    Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=-              ymax=-2*(- )4+2*(- )2=-2*+2*  =- +1=                    D(-;)

xmin=0               ymin=-2*04+2*02=0             А(0;0)

xmax=              ymax=-2*( )4+2*( )2=-2*+2*  =- +1=                    Е(;)

Задание группы №5

Исследовать функцию и построить её график f(x)=3х4-6х2

  1.  D(f)=(-∞:+∞)
  2.  

f(-x)=3(-х)4-6(-х)2=3х4-6х2                f(-x)=f(x)             функция чётная

  1.  Нули функции:

             а) с осью ОХ: у=0           3х4-6х2=0,

                                                        3х22-2)=0, 

                                                        х1=0, х2-2=0,

                                                                 х2=, х3=-                   А(0;0), В(;0), С(-;0)

             б) с осью ОУ: х=0               f(х)=3*04-6*02=0                 А(0;0)

      4. Монотонность функции

            f(x)=12х3-12х,

            f(x)=0               12х3-12х  =0,

                                      12х(х2-1)=0,

                                      12х=0 или  х2-1=0

                         х1=0,    х2=1,

                                      х2=1, х3=-1

х

(-∞;-1)

-1

(-1; 0)

(0;1

1

(1

f(x)

-

0

+

0

-

0

+

f(х)

-3

0

-3

min

max

min

           f(-2)=12*(-2)3-12*(-2)=12*(-8)+24=-96+24=-72,  -72<0,

           f(-)=12*(-)3-12*(-)=-+6=-1,5+6=4,5    4,5>0,

           f()=12*()3-12*=-6=1,5-6=-4,5    -4,5<0,

           f(2)=12*23-12*2=12*8-24=96-24=72, 72>0,

  1.    Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmin=-1               ymin=3*(-1)4-6*(-1)2=3-6=-3                    D(-1;-3)

xmax=0                ymax=3*04-6*02=0                  А(0;0)

xmin=1               ymin=3*14-6*12=3-6=-3              Е(1;-3)

vӏ Подведение итогов урока.

 Учитель выставляет оценки за роботу на уроке

  Учащиеся повторяют алгоритм исследования функции.

vӏӏ Сообщение домашнего задания.



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74559. СИМПЛЕКСНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ 278 KB
  Розв’язування задачі лінійного програмування симплексним методом. З властивостей розв’язків задачі лінійного програмування відомо: оптимальний розв’язок задачі має знаходитись в одній з кутових точок багатогранника допустимих розв’язків.
74560. Аналіз та управління ризиком в економіці 642.5 KB
  Економічний ризик — це об’єктивно-суб’єктивна категорія у діяльності суб’єктів господарювання, що пов’язана з подоланням невизначеності та конфліктності в ситуації неминучого вибору.
74561. Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику 433.5 KB
  Ймовірність як один з підходів до оцінки ризику. Спрощений підхід до оцінювання ризику. Загальні підходи до кількісної оцінки ступеня ризику Виправданий ризик – необхідний атрибут у стратегії і тактиці ефективного менеджменту.
74562. Ризик у відносному вираженні 775.5 KB
  Для підприємства за базу визначення відносної величини ризику як правило беруть вартість основних фондів та оборотних засобів або плановані сумарні затрати на даний вид ризикованої діяльності маючи на увазі як поточні затрати так і капіталовкладення чи розрахунковий прибуток.
74563. Цілочислове програмування 639 KB
  Геометрична інтерпретація розв’язків цілочислових задач лінійного програмування на площині. Загальна характеристика методів розв’язування цілочислових задач лінійного програмування.
74564. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем 910 KB
  Основні труднощі розв’язування задач нелінійного програмування. Раніше було розглянуто методи розв’язування задач лінійного програмування. Галузі об’єднання та окремі підприємства народного господарства функціонують і розвиваються за умов невизначеності а тому адекватно їх можна описати нелінійними стохастичними динамічними моделями. Зауважимо що сучасний рівень розвитку комп’ютерної техніки і методів математичного моделювання створює передумови для застосування нелінійних методів а це може суттєво підвищити якість розроблюваних планів...
74565. Квадратичне програмування 597.5 KB
  Метод розв’язування задач квадратичного програмування. Система має ненульовий розв’язок якщо. Метод розв’язування задач квадратичного програмування Зазначимо що відомим з теорії аналізу функцій є таке твердження: від’ємно означена квадратична форма є угнутою а додатно означена – опуклою...
74566. Научное знание в Древней Греции 60 KB
  Определение математики как универсального языка способствовало развитию принципов рационального типа мышления. Важнейшей вехой на пути создания математики как теоретической науки были работы пифагорейской школы. Греческие ученые развили прежде всего процедурную и операционную стороны математики выработав понятие доказательства утверждений. Связи между этими двумя областями возникающей математики были двухсторонними.
74567. Научное знание в эпоху Средневековья 43.63 KB
  Все это методологически подготовило формирование опытной науки. На ранних этапах средневековья центрами научнофилософской мысли были монастыри и храмы но с появлением университетов именно они стали центрами развития философии и науки. Их деятельность объективно способствовала развитию науки в экспериментальном направлении. В целом он обосновывал идею опытной науки.