57783
Применение производной к исследованию функции
Конспект урока
Педагогика и дидактика
Цели урока: сформировать навыки исследования и построения графиков функции с помощью производной. Учитель записывает на доске а ученики в тетради: Применение производной при исследовании функции.
Русский
2014-04-15
1.89 MB
5 чел.
Коммунальное учреждение «ЛУГАНСКАЯ СРЕДНЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
ШКОЛА I-III СТЕПЕНЕЙ №18»
Выполнил работу
учитель математики
Мельник М.С.
Тема урока: Применение производной к исследованию функции
Цели урока: сформировать навыки исследования и построения графиков функции с помощью производной. Развивать алгоритмическое мышление, память. Воспитывать у учащихся требовательность к себе, критическое отношение к результатам своей работы, настойчивость в достижении цели.
Тип урока: урок усвоения новых знаний.
Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, проблемный, эвристический.
Форма обучения: наглядная, практическая, словесная
Оборудование: мультимедийный проектор, презентация, карточки с заданием для групп, ватманы и маркеры для групп.
Структура урока
- Организационный момент
- Сообщение темы, цели и задач урока
- Актуализация опорных знаний учащихся
- Первичное восприятие и осознание учащимися нового материала
- Первичное применение приобретённых знаний
- Подведение итогов урока
- Сообщение домашнего задания
Ход урока
ӏ Организационный момент:
-приветствие учащихся;
- отметить отсутствующих на уроке;
- записать дату урока, классная работа в тетради.
ӏӏ Сообщение темы, цели и задач урока.
Учитель записывает на доске, а ученики в тетради: Применение производной при исследовании функции.
Цель нашего урока: научиться исследовать функцию и строить её график с использованием производной. Эта тема в дальнейшем упростит нахождение свойств функции и построение графиков функций.
Задача урока: научиться пользоваться алгоритмом исследования функции.
ӏӏӏ Актуализация опорных знаний учащихся.
(Фронтальный опрос учащихся).
Вопросы:
- Что называется функцией?
Если каждому значению переменной Х из некоторого множества D соответствует единственное значение переменной У, то такое соответствие называется функцией. При этом Х называют независимой переменной, или аргументом, а У -зависимой переменой, или функцией.
- Что называется областью определения и областью значения функции?
Множество всех значений, которые может принимать аргумент, называют областью определения данной функции и обозначают D. Множество значений, которые может принимать функция, называют областью значений и обозначают буквой Е.
- Какая функция называется чётной (нечётной)?
Функция называется чётной (нечётной), если область её определения симметрична относительно числа 0 и для каждого значения Х из области определения f(-x)=f(x), (f(-x)=-f(x) ).
- Какие точки называются критическими?
Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называют – критическими точками функции.
- Дать определение, на каком промежутке функция возрастает, убывает, постоянная.
Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает. Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает. Если производная функции в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.
- Как можно определить промежутки возрастания и убывания функции f(x)?
ӏ способ: нужно решить неравенства f᾽(x)>0 и f᾽(x)<0.
ӏӏ способ: найти все критические точки функции, разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает.
- Что называется точкой минимума (максимума) функции?
Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если для всех х (х≠х0) из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x0)<f(x) (f(x0)>f(x)).
- Как, одним словом назвать точки максимума и минимума функции?
Точки экстремума.
- Как определить точки экстремума?
Точка х0, при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «+» на «-» является точкой максимума, а точка при переходе через которую производная меняет знак с «-» ни «+»-точкой минимума.
ӏv Восприятие и первичное осознание учащимися нового материала.
Итак, теперь переходим к изучению новой темы.
Исследовать функцию – это значит установить её свойства: указать D(f), E(f), промежутки возрастания и убывания, промежутки на которых функция принимает положительные значения, на которых принимает отрицательные, выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т.д.
На слайде представлен график функции
- D(f)=(-∞;+∞)
- Функция ни чётная и ни нечётная
- Нули функции: (-2;0) и (2;0)- с осью ОХ, (0;-8)-с осью ОУ
- Функция возрастает на (-∞;-2] и [1;+∞), и убывает на [-2;1]
- Точки экстремума Xmax =-2, Xmin=1. Экстремумы функции Ymax=0, Ymin=9,5
Учитель продолжает объяснять новую тему: в данном случае, если нам известен график функции, то перечислить все свойства этой функции не составит труда.
Решим обратную задачу: по известному аналитическому заданию функции перечислим все её свойства.
Пусть функция задана в виде y=f(x), тогда необходимо выполнить исследование функции по следующей схеме (схема перед глазами учащихся на слайде презентации):
- Найти область определения функции
- Исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность
- Найти нули функции (точки пересечения графика функции с осями координат)
- Исследовать функцию на монотонность (найти промежутки возрастания и убывания функции)
- Найти точки экстремума и экстремальные значения функции
- Найти дополнительные точки (если нужно)
- Построить график функции
Учитель на доске показывает образец выполнения задания. (Учащиеся активно берут участие в исследовании функции и записывают решение в тетради).
Исследовать функцию и построить её график f(x)=x3-3x2+2
- D(f)=(-∞:+∞)
- f(-x)=(-x)3-3(-x)2+2=-x3-3x2+2 f(-x)≠f(x);
f(-x)≠-f(x) функция ни чётная и ни нечётная
- Нули функции:
а) с осью ОХ: у=0 x3-3x2+2=0;
х3-х2-2х2+2=0;
(х3-х2)-2(х2-1)=0;
х2(х-1)-2(х-1)(х+1)=0;
(х-1)(х2-2х-2)=0;
х-1=0 или х2-2х-2=0;
х1=1 D=(-2)2-4*1*(-2)=4+8=12;
х2= =1+, х3= =1-;
А(1;0), В(1+;0), С(1-;0).
б) с осью ОУ: х=0 f(х)=03-2*02+2=2 D(0;2)
4. Монотонность функции
f᾽(x)=3х2-6х;
f᾽(x)=0 3х2-6х=0;
3х(х-2)=0;
3х=0 или х-2=0;
х1=0; х2=2
|
х |
(-∞;0) |
0 |
(0;2) |
2 |
(2;+∞) |
|
f᾽(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f(х) |
2 |
-2 |
|||
|
max |
min |
f᾽(-1)=3*(-1)2-6*(-1)=3+6=9, 9>0
f᾽(1)=3*12-6*1=3-6=-3, -3<0
f᾽(3)=3*32-6*3=27-18=9, 9>0
- Точки экстремума. Экстремальные значения функции.
xmax=0 ymax=03-3*02+2=2 E(0;2)
xmin=2 ymin=23-3*22+2=8-12+2=-2 F(2;-2)
v Первичное применение приобретённых знаний
Ученики заранее поделены на пять групп, каждая из которых получает карточку с заданием. В каждой группе назначается ответственный за выполнение задания и ходом его решения. Как только в группе будет найден ответ на первый пункт схемы исследования своей функции, сразу один из учеников выходит к доске и записывает его и так далее до конца (в ходе выполнения задания все учащиеся группы выйдут к доске минимум один раз). Каждой группе выдан ватман и маркер, на котором ученики строят график своей функции с целью экономии времени и места на доске, так как одновременно все пять групп записывают исследование своей функции на заранее разделенной на пять частей доске.
Задание группы №1
Исследовать функцию и построить её график f(x)=x3-2х2
- D(f)=(-∞:+∞)
f(-x)=(-x)3-2(-x)2=-x3-2x2 =-(х3+2х2) f(-x)≠f(x);
f(-x)≠-f(x) функция ни чётная и ни нечётная
- Нули функции:
а) с осью ОХ: у=0 x3-2x2=0;
х2(х-2)=0;
х2=0 или х-2=0;
х1=0, Х2=2 А(0;0), В(2;0)
б) с осью ОУ: х=0 f(х)=03-2*02=0 А(0;0)
4. Монотонность функции
f᾽(x)=3х2-4х;
f᾽(x)=0 3х2-4х=0;
х(3х-4)=0;
х1=0, 3х-4=0
х2=1
|
х |
(-∞;0) |
0 |
(0;1) |
1 |
(1;+∞) |
|
f᾽(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f(х) |
0 |
-1 |
|||
|
max |
min |
f᾽(-1)=3*(-1)2-4*(-1)=3+4=7, 7>0
f᾽(1)=3*12-4*1=3-4=-1, -1<0
f᾽(2)=3*22-4*2=12-8=4, 4>0
- Точки экстремума. Экстремальные значения функции.
xmax=0 ymax=03-2*02=0 С(0;0)
xmin= ymin=(3-2*()2=8-12+2=- =-1 D(2;-2)
Задание группы №2
Исследовать функцию и построить её график f(x)=3x-x3
- D(f)=(-∞:+∞)
f(-x)=3(-х)-(-x)3=-3х-x3 =-(3х-х3) f(-x)=-f(x) функция нечётная
- Нули функции:
а) с осью ОХ: у=0 3х-x3=0,
х(3-х2)=0,
х1=0, 3-х2=0,
х2=3,
х2=, х3=- А(0;0), В(,0), С(-,0)
б) с осью ОУ: х=0 f(х)=3*0-03 =0 А(0;0)
4. Монотонность функции
f᾽(x)=3-3х2,
f᾽(x)=0 3-3х2=0,
3(1-х2)=0,
х2=1,
х1=1, х2=-1
|
х |
(-∞;-1) |
-1 |
(-1;1) |
1 |
(1;+∞) |
|
f᾽(x) |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
|
f(х) |
-2 |
2 |
|||
|
min |
max |
f᾽(-2)=3-3*(-2)2=3-12=-9, -9<0
f᾽(0)=3-3*02=3, 3>0
f᾽(2)=3-3*22=3-12=-9, -9<0
- Точки экстремума. Экстремальные значения функции.
xmax=1 ymax=03-2*02=0 D(1;2)
xmin=-1 ymin=3*1-13=3-1=2 E(-1;-2)
Задание группы №3
Исследовать функцию и построить её график f(x)=x3-6x
- D(f)=(-∞:+∞)
f(-x)=(-x)3-6(-x)=-x3+6x =-(х3-6x) f(-x)=-f(x) функция нечётная
- Нули функции:
а) с осью ОХ: у=0 x3-6x=0,
х(х2-6)=0,
х1=0, х2-6=0,
х2=, х3=- А(0;0), В(,0), С(-,0)
б) с осью ОУ: х=0 f(х)=03-6*0 =0 А(0;0)
4. Монотонность функции
f᾽(x)=3х2-6,
f᾽(x)=0 3х2-6=0,
3(х2-2)=0,
х2=2,
х1=, х2=-
|
х |
(-∞;-) |
|
(-;) |
|
(;+∞) |
|
f᾽(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f(х) |
4 |
-4 |
|||
|
max |
min |
f᾽(-2)=3*(-2)2-6=12-6=6, 6>0
f᾽(0)=3*02-6=-6, -6<0
f᾽(2)=3*22-6=12-6=6, 6>0
- Точки экстремума. Экстремальные значения функции.
xmax=- ymax=(-3-6*( - )=-2 +6 =4 D(-;4)
xmin= ymin=3-6=2-6=-4 E(;-4)
Задание группы №4
Исследовать функцию и построить её график f(x)=-2х4+2х2
- D(f)=(-∞:+∞)
f(-x)=-2(-х)4+2(-х)2=-2х4+2х2 f(-x)=f(x) функция чётная
- Нули функции:
а) с осью ОХ: у=0 -2х4+2х2=0,
-2х2(х2-1)=0,
х1=0, х2-1=0,
х2=1, х3=-1 А(0;0), В(1;0), С(-1;0)
б) с осью ОУ: х=0 f(х)=-2*04+2*02=0 А(0;0)
4. Монотонность функции
f᾽(x)=-8х3+4х,
f᾽(x)=0 -8х3+4х =0,
-4х(2х2-1)=0,
-4х=0 или 2х2-1=0
х1=0, х2=,
х2=, х3=-
|
х |
(-∞;-) |
|
(-;0) |
(0; |
|
( |
|
|
f᾽(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
|
f(х) |
|
0 |
|
||||
|
max |
min |
max |
f᾽(-1)=-8*(-1)3+4*(-1)=8-4=4, 4 >0,
f᾽(-)=-8*(-)3+4*(-)=1-2=-1, -1<0,
f᾽()=-8*()3+4*=-1+2=1, 1>0,
f᾽(1)=-8*13+4*1=-8*4=-4, -4<0,
- Точки экстремума. Экстремальные значения функции.
xmax=- ymax=-2*(- )4+2*(- )2=-2*+2* =- +1= D(-;)
xmin=0 ymin=-2*04+2*02=0 А(0;0)
xmax= ymax=-2*( )4+2*( )2=-2*+2* =- +1= Е(;)
Задание группы №5
Исследовать функцию и построить её график f(x)=3х4-6х2
- D(f)=(-∞:+∞)
f(-x)=3(-х)4-6(-х)2=3х4-6х2 f(-x)=f(x) функция чётная
- Нули функции:
а) с осью ОХ: у=0 3х4-6х2=0,
3х2(х2-2)=0,
х1=0, х2-2=0,
х2=, х3=- А(0;0), В(;0), С(-;0)
б) с осью ОУ: х=0 f(х)=3*04-6*02=0 А(0;0)
4. Монотонность функции
f᾽(x)=12х3-12х,
f᾽(x)=0 12х3-12х =0,
12х(х2-1)=0,
12х=0 или х2-1=0
х1=0, х2=1,
х2=1, х3=-1
|
х |
(-∞;-1) |
-1 |
(-1; 0) |
(0;1 |
1 |
(1 |
|
|
f᾽(x) |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f(х) |
-3 |
0 |
-3 |
||||
|
min |
max |
min |
f᾽(-2)=12*(-2)3-12*(-2)=12*(-8)+24=-96+24=-72, -72<0,
f᾽(-)=12*(-)3-12*(-)=-+6=-1,5+6=4,5 4,5>0,
f᾽()=12*()3-12*=-6=1,5-6=-4,5 -4,5<0,
f᾽(2)=12*23-12*2=12*8-24=96-24=72, 72>0,
- Точки экстремума. Экстремальные значения функции.
xmin=-1 ymin=3*(-1)4-6*(-1)2=3-6=-3 D(-1;-3)
xmax=0 ymax=3*04-6*02=0 А(0;0)
xmin=1 ymin=3*14-6*12=3-6=-3 Е(1;-3)
vӏ Подведение итогов урока.
Учитель выставляет оценки за роботу на уроке
Учащиеся повторяют алгоритм исследования функции.
vӏӏ Сообщение домашнего задания.
