57785

Застосування похідної в різних галузях науки

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета: Навчальна: дати учням всебічні поглиблені і розширені знання про предмет вивчення його цілісну картину досягти засвоєння учнями систематичних знань про поняття похідної її геометричний та фізичний зміст.

Украинкский

2014-04-15

1.1 MB

82 чел.

Тема. Застосування похідної в різних галузях науки.

Мета:

Навчальна: дати учням всебічні (поглиблені і розширені) знання про предмет вивчення, його цілісну картину, досягти засвоєння учнями систематичних знань про поняття похідної, її геометричний та фізичний зміст. Показати міжпредметний зв'язок на прикладі математичного моделювання, застосування похідної при вирішенні життєво-важливих задач. Навчити застосовувати отримані знання на практиці.

Розвивальна: формувати вміння учнів працювати з науковою літературою, систематизувати та аналізувати інформацію, створювати презентації; будувати математичну модель, досліджувати її методами математики, інтерпретувати отримані результати. Продовжувати формувати математичні компетентності.

Виховна: підвищувати інтерес учнів до занять математикою, виховувати навички індивідуальної і колективної  роботи, розширювати їх кругозір.

Обладнання: мультимедійний проектор, комп’ютер, картки, творчі роботи учнів(презентації).

Хід уроку

І. Організаційний момент

 Тема нашого інтегрованого уроку, який дозволить об'єднати знання з математики, фізики і економіки – «Застосування похідної в різних галузях науки ».

В ході уроку ми повинні переконатися в значущості знань, одержуваних на уроках математики, їх прикладному характері і ефективності використовування при розв’язанні задач. Тільки усвідомлене використання знань, оволодіння математичним апаратом, уміння логічно мислити дозволить досягти успіхів у підкоренні вершин інших наук.

 Епіграфом до уроку хочу взяти слова М.І.Лобачевського:    

    «…немає жодної галузі в математиці, яка коли-небудь не виявиться застосовною до явищ сучасного світу…»

                                   

Активізація знань учнів. На одному з перших уроків вивчення похідної я вас запитав: Ми  вивчаємо похідну. А чи так це важливо в житті?

Ви не змогли відповісти, так як у вас не вистачало відповідних знань. Тоді я вам запропонував  попрацювати над проектами – провести самостійне дослідження з теми «Похідна. Застосування похідної в різних галузях науки». Думаю, що сьогодні ми зможемо дати відповідь на багато запитань.

ІІ. Актуалізація опорних знань учнів

А почнемо з повторення теоретичної бази теми «Похідна».

1. Дайте відповіді на запитання:

а)   що називається похідною функції в точці?

 Відповідь: похідною функції у = f(x) у точці х0  називають границю відношення приросту функції в точці х0 до приросту аргументу, коли приріст  аргументу прямує до нуля.      

б)   який геометричний зміст похідної?

Відповідь: значення похідної  f '(x) в точці  х0  дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка  функції в точці з абсцисою х0  і дорівнює кутовому коефіцієнту k цієї дотичної: k = tgφ = f '(x0).

в)   який фізичний зміст похідної?

 Відповідь: миттєва швидкість  v нерівномірного прямолінійного  руху є похідною від функції, яка виражає залежність пройденого шляху  s від часу t:   s '(t) = (t).

г) запишіть правило знаходження похідної  добутку двох функцій.

Відповідь:    (uv)'=u'v+uv'

д) запишіть правило знаходження похідної  частки   двох функцій.

Відповідь:(  '=    

2. На рисунках зображено графіки функцій і дотичні до них в точці а. Вкажіть функцію, похідна якої в точці а дорівнює 1.  

1

1)

2)

)

4

 

Відповідь: 3.

Щоб ефективно використовувати похідну при розв’язанні конкретних задач, необхідно, як таблицю множення, знати таблицю похідних елементарних функцій.

Переконаємося в тому, що ви цю таблицю знаєте досконало.

3. Знайдіть відповідність між функцією та її похідною.

1 варіант                                             2 варіант

1

sinx

2

3

const

4

tgx

5

  1

6

 0

7 

8
sinx

9    

10

 x

11

  

12
   

13

cosx

14

 2x

15 ctgx

16

17

18

19

 

20

cosx

1 

tgx

2

ctgx

3

  0

4

 const

5

   1

6

7

  x

8

 

9

10

 2x

11

sinx

12

13

  

14

 

15

16

sinx

17

18

19

cosx

20

cosx

Відповіді:   1 -20, 3 – 6, 4 – 18,        Відповіді:   1 – 12, 2 – 9, 4 – 3,

7 – 9, 10 – 5, 11 – 2, 13 – 8,             7 – 5, 8 – 17, 11 – 19, 14 – 13, 15 – 6,

15 – 16, 17 – 14, 19 – 12.                 18 – 10, 20 – 16.                               

Завдання виконано. Будь ласка, підніміть руки, хто з вас написав без єдиної помилки? Зробив не більше двох помилок? Молодці!

Проте, формальне знання таблиці похідних - це тільки інструмент, за допомогою якого можна розв’язувати задачі, як в математиці, фізиці, так і в економіці, біології та інших науках.

 Перейдемо до наступного етапу уроку, який покаже, як ви володієте цим ефективним і універсальним інструментом - похідною.

4.Вам пропонуються два графіка функцій. Будь ласка, дайте відповідь на наступні запитання:

а) на першому графіку визначте знак кутового коефіцієнта дотичної, проведеної до графіка функції  у = f(x) в точках з абсцисами  х1  та х2.

б)  на другому графіку вкажіть точки, в яких похідна рівна нулю, і точки, в яких похідна не існує.

1) 2)

          

Відповіді до завдань:

а) знак кутового коефіцієнта в точці з абсцисою х2 –  мінус, в точці з абсцисою х1 кутовий  коефіцієнт  дорівнює нулю.

б) на другому графіку похідна рівна нулю в точках з абсцисою -3 і -1,
не існує в точках з абсцисою 1 і 5.

5. Виконаємо завдання з підручника(Є.П.Нелін, О.Є.Долгова Алгебра 11. Академічний рівень, профільний рівень): №3(ст.65).

Функція у = f(х) означена на проміжку

(-6;3). На рисунку зображено графік її похідної. Укажіть проміжки зростання та спадання функції.

Відповідь: зростає на [-3;-1]; спадає на  

(-6;-3]   та   [-1;3).

ІІІ. Застосування отриманих знань.

Систематизація знань

Будь-яке відкриття в математиці люди робили завдяки своїй практичній діяльності, похідна не стала винятком. Про історію появи похідної розкажуть учні І групи «Історичні відомості про похідну функції». (додаток 2)

Під час презентацій ви будете заповнювати опорний конспект.(додаток 1)

Завдання. Поставте у відповідність ім’я вченого та його відкриття:

  1.  Ісаак Ньютон
  2.  Жозеф Луї  Лагранж
  3.  Готфрід Вільгельм фон Лейбніц
  1.  Позначення?′(x)
  2.  Фізичний зміст похідної
  3.  Геометричний зміст похідної

Відповіді до завдань:1-2, 2-1, 3-3.

Похідна має дуже широке використання в фізиці. За допомогою похідної розв’язується дуже багато фізичних задач. Ці задачі найрізноманітніші – на відшукання швидкості, прискорення, прискорення вільного падіння, густини, теплоємності тощо. Ми на уроках такі задачі розв’язували. Як застосувати похідну в нестандартній ситуації розкажуть учні ІІ групи, які представлять проект «Використання похідної в фізиці». (додаток 3)                                                                                                                                      

А зараз підведемо підсумки двох етапів уроку, відповівши на питання:                                               

1. Що дають нам знання про похідну?

  1.  Які задачі можна розв’язувати, використовуючи фізичний та геометричний зміст похідної?

Ви вірно відповіли на питання, і це дозволяє нам переходити до виконання наступного завдання: перевірити, як кожен з вас може такі задачі розв’язувати. За «мить» всі випускники  будуть здавати ЗНО. Я пропоную вам добірку завдань з даної теми, що пропонувались на тестуванні 2008 – 2011 років. До дошки виходять по 3 учні(по одному з кожної групи одного рівня).  

  1.  Знайти значення похідної функції   f(х) = 2 – 5  у точці = -1

А  –7            Б  6                 В  –11                Г  1          Д    5

2.  Знайти похідну функції   f(х) =  + 3cosх

А   4 + 3sinх     Б   4х – 3sinх     В   4  – 3sinх     Г     – 3sinх  

       3. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) = - 2+ 4t. Визначити прискорення його руху в момент часу  t =10с.

А  164 м/       Б  60 м/  В  36 м/     Г  20 м/    Д 10м/

      4. Знайти значення похідної функції  f(х) = 4cosх + 5  у точці = π/2

А  –4            Б  0            В  5         Г  1         Д  9  

5.  Матеріальна точка рухається за законом s(t) = 2+ 3t, де s вимірюється в метрах, а t – в секундах. Знайти значення t при якому миттєва швидкість точки дорівнює 76м/с.

6.  Задано функцію f(х)=3- 4- 12. Знайти проміжки зростання та спадання функції, екстремуми.

А як ви вважаєте, від чого залежить рівень життя людей? Так, вірно. Від економіки. І саме похідна дозволяє розв’язувати багато завдань цієї галузі. Учні ІІІ групи представлять свою презентацію «Застосування похідної в економіці». (додаток 4)                                                                                                                                      

ІV. Підсумок уроку

 Похідна застосовується скрізь, де є нерівномірне протікання процесу: це і нерівномірний механічний рух, і змінний струм, і хімічні реакції, і радіоактивний розпад речовини тощо.

Ми переконалися в важливості вивчення цієї теми, її ролі в дослідженні процесів науки і техніки, в можливості конструювання за реальними подіями математичних моделей і розв’язувати важливі задачі… А тепер оцінимо вашу роботу на уроці. Виберіть смайлик, що відповідає вашому стану.

1.  Все зміг зрозуміти!

 

2.  Не зовсім

все зрозумів,

але хочу зрозуміти

3.  Нічого  не зрозумів

  1.  

І не хочу

розуміти

розуміти

Наприкінці уроку хочу прочитати такі слова: 

«Музика може возвеличити або заспокоїти душу,

Живопис – радувати око,

Поезія – пробуджувати почуття,

Філософія – задовольняти потреби розуму,

Інженерна справа – удосконалювати матеріальну сторону життя людей,

А математика здатна досягти усіх цих цілей.»

Так сказав американський математик Моріс Клайн.

Дякую за роботу!


Література

1. Глейзер Г.И. История математики в школе: ІХ-Х кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение,  1983. -  351 с., ил.

2. Нелін Є.П. Алгебра. 11 клас: підруч. для загальноосвіт. навч. закладів: академ. рівень, проф. рівень /Є.П.Нелін, О.Є.Долгова. – Х.:Гімназія, 2011. – 448 с.: іл.

3. Перельман Я.И. Занимательная физика. Книги первая и вторая. Издание двадцать третье. Под редакцией А.В.Митрофанова. – М.: Наука, 1991. – 496с.


Додаток 1

Опорний конспект

з теми «Застосування похідної в різних галузях науки»

Поставте у відповідність ім’я  вченого та його відкриття:

  1.  Ісаак Ньютон
  2.  Жозеф Луї  Лагранж
  3.  Готфрід Вільгельм фон Лейбніц
  1.  Позначення?′(x)
  2.  Фізичний зміст похідної
  3.  Геометричний зміст похідної

Похідна у фізиці

1.Швидкість руху тіла є похідною відстані як функції часу:

2.Прискорення руху тіла є похідна швидкості або друга похідна відстані як функцій часу

3.Кутова швидкість руху є похідною кута як функції часу. Кутове прискорення є похідною кутової швидкості або другою похідною кута як функцій часу

4.Лінійна густина стержня є похідною його маси як функції довжини стержня

d(l)=m(l)

5.Сила струму є похідною кількості електричного заряду як функції часу

6.Потужність є похідною роботи як функції від часу

N(t) = A(t)

7.Теплоємність є похідною кількості тепла як функції часу

C(t) = Q(t)

Пароплав “Челюскін” в лютому 1934 року успішно пройшов  увесь північний морський шлях, але в Беринговій затоці опинився затиснутим у лід, який виніс його на північ і розчавив.

Чому сталася катастрофа? 

Сила Р тиску льоду розкладається на дві: F і R. R – перпендикулярна до борту, F – напрямлена по дотичній. Кут між P і R – α – кут нахилу борту до вертикалі.  Q – сила тертя льоду об борт пароплава.       Q = 0,2 R (0,2 – коефіцієнт тертя).

Якщо Q < F, то F затягує напираючий лід під воду, лід не завдає шкоди;                                                               якщо  Q > F, то тертя заважає ковзанню льоду, і лід може зім’яти і продавити борт.

0,2R < R tg α, tg α > 0,2        Q < F, якщо α > 110.

Нахил бортів корабля до вертикалі під кутом α > 110 забезпечує безпечне плавання  у льодові.

Похідна в економіці

   П(t)= v (t) – продуктивність праці, де v(t) – обєм продукції; 

    J(x)= y′(x) – граничні витрати виробництва, де у(x)  – витрати виробництва в залежності від обсягу, що випускається.

  

Задача. Підприємство випускає х одиниць деякої однорідної продукції в місяць. Встановлено, що залежність фінансових накопичень підприємства від об’єму випуску виражається функцією f(х) = - 0,02 +600х – 1000. Дослідити потенціал підприємства.

Розв’язання. Функція досліджується за допомогою похідної на найбільше значення:       f(х) =                                ;

                  f(х) =                                          = 0, х = ± 100

                          f(х)          

     f(х)  х

                                             -100          100

Отже, при х =        функція досягає максимуму. Це означає, що фінансові накопичення зростають зі зростанням виробництва до 100 одиниць; при х=100 вони досягають максимуму і об’єм накопичень дорівнює:

f(100)=                                                = 39000 грошових одиниць.

Подальший ріст виробництва призводить до скорочення фінансових накопичень.


Додаток 2

Історичні відомості про похідну функції  

                                                

Математиків XV - XVII ст. довго хвилювало питання про знаходження загального методу для побудови дотичної в будь-якій точці кривої. Ця задача  була пов'язана також з вивченням рухів тіл і з відшуканням екстремумів найбільших і найменших значень різних функцій.

Деякі окремі випадки вирішення таких задач були дані ще в стародавні часи. Так у "Початках" Евкліда описано спосіб побудови дотичної до кола,  Архімед побудував дотичну до спіралі, що носить його ім'я, Аполлоній - до еліпса, гіперболи і параболи. Однак давньогрецькі вчені не вирішили задачу до кінця, тобто не знайшли загального методу, придатного для побудови дотичної до будь-якої плоскої кривої в даній точці.

Із самого початку XVII ст. чимало вчених, у тому числі Торрічеллі, Вівіані, Роберваль, Барроу, намагалися знайти вирішення цього питання. Перший загальний спосіб побудови дотичної до алгебраїчної кривої був викладений у "Геометрії" Декарта. Більш загальним і важливим для розвитку диференціального числення був метод побудови дотичних Ферма.

Лише в середині 60-х років ХVII ст.  І.Ньютон і дещо пізніше Г.Лейбніц незалежно один від одного побудували теорію диференціального числення. І.Ньютон прийшов до поняття  похідної, розв’язуючи задачі про миттєву швидкість (фізичний зміст похідної), а  Г.Лейбніц – розглядаючи геометричну задачу про проведення дотичної до кривої (геометричний зміст похідної).

 Позначення похідної, що використовується і дотепер, запропонував Лейбніц. Якщо вираз y =?(x) розглядається як функціональна залежність між залежною і незалежною змінними, то перша похідна позначається як: .

І.Ньютон функцію  називав флюентою, тобто поточною величиною (від латинського fluere - текти), похідну ж - флюксіей (від того ж fluere). Він позначав функції останніми літерами латинського алфавіту u, x, y, z, а їх флюксії, тобто похідні від флюент за часом, - відповідно тими ж літерами з крапкою над ними.

Позначення у та?′(x), найбільш поширених сучасних позначень для похідної, ввів Жозеф-Луї Лагранж


Додаток 3

Використання похідної в фізиці

Швидкість руху тіла є похідною відстані як функції часу:   υ(t) = х(t).

Прискорення руху тіла є похідна швидкості або друга похідна відстані як функцій часу:  a (t)=υ (t).

Кутова швидкість руху є похідною кута як функції часу. Кутове прискорення є похідною кутової швидкості або другою похідною кута як функцій часу:   ω (t)= φ(t),  а (t)= ω(t).  

Лінійна густина стержня є похідною його маси як функції довжини стержня: d(l)=m(l)

Сила струму є похідною кількості електричного заряду як функції часу: J (t) = q(t)

Потужність є похідною роботи як функції від часу:  N(t) = A(t)

Теплоємність є похідною кількості тепла як функції часу: C(t) = Q(t)

Пароплав “Челюскін” в лютому 1934 року успішно пройшов  увесь північний морський шлях, але в Беринговій затоці опинився затиснутим у лід, який виніс його на північ і розчавив.

Ось опис катастрофи: “Крепкий металл корпуса поддался не сразу, – сообщал по радио начальник экспедиции О.Ю. Шмидт. – Видно было, как льдина вдавливается в борт, и как над ней листы обшивки пучатся, изгибаясь наружу.

Лед продолжал медленное, но неотразимое наступление. Вспученные железные листы обшивки корпуса разорвались по шву. С треском летели заклепки. В одно мгновение левый борт парохода был оторван от носового трюма до кормового конца палубы…”

Чому сталася катастрофа? 

Сила Р тиску льоду розкладається на дві складові: F і R. R – перпендикулярна до борту, F – напрямлена по дотичній. Кут між P і R – α – кут нахилу борту до вертикалі.   Q – сила тертя льоду об борт пароплава.

Q = 0,2 R (0,2 – коефіцієнт тертя).

Якщо Q < F, то F затягує напираючий лід під воду, лід не завдає шкоди; якщо Q > F, то тертя заважає ковзанню льоду, і лід може зім’яти і продавити борт.

0,2R < R tg α, tg α > 0,2

Q < F, якщо α > 110.

Нахил бортів корабля до вертикалі під кутом           α > 110 забезпечує безпечне плавання  у льодові.


Додаток 4

Застосування похідної в економіці

П(t)=v′(t) – продуктивність праці, де v(t) – об’єм продукції;                        J(x)= y′(x) – граничні витрати виробництва, де у(х) – витрати виробництва в залежності від обсягу, що випускається.  

Задача. Підприємство випускає х одиниць деякої однорідної продукції в місяць. Встановлено, що залежність фінансових накопичень підприємства від об’єму випуску виражається функцією f(х) = - 0,02 +600х – 1000. Дослідити потенціал підприємства.

Розв’язання. Функція досліджується за допомогою похідної на найбільше значення:       f(х) = - 0,06+600;

-0,06+600 = 0, х = ± 100

                          f(х)        - + -

     f(х)  х

                                            -100          100

Отже, при х =100 функція досягає максимуму. Це означає, що фінансові накопичення зростають зі зростанням виробництва до 100 одиниць; при х=100 вони досягають максимуму і об’єм накопичень дорівнює:

f(100)= -20000 + 60000 – 1000 = 39000 грошових одиниць.

Подальший ріст виробництва призводить до скорочення фінансових накопичень.

PAGE   \* MERGEFORMAT 4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83705. Разработка приложения для предметной области «Сбор сведений о писателях и их литературных произведениях» 252.8 KB
  Практическая часть работы разделена на следующие этапы: построение логической модели базы данных; описание таблиц и построение физической модели базы данных; разработка базы данных в XML и разработка клиентской части в среде программирования...
83706. Гидравлический расчет наружного объединенного водопровода населенного пункта 152.5 KB
  Определение водопотребителей и расчет потребного расхода воды на хозяйственнопитьевые производственные и пожарные нужды поселка и предприятия. Расчет требуемого расхода воды на хозяйственно-питьевые и производственные нужды. Определение расчетных расходов воды на пожаротушение.
83707. Сооружение гидроизоляционного ограждения шахтного ствола методом тампонажа 326.62 KB
  В ходе выполнения работы следует разработать технологию тампонажа и технологические схемы производства тампонажных работ, выбрать необходимые технические средства для сооружения гидроизоляционной завесы в определенных горнотехнических условиях, основываясь на комплексе исходных данных...
83708. Разработка проекта маркетингового исследования для компании Schwarzkopf 216.5 KB
  Довольно сложно выявить какие-то конкретные недостатки в продукции, разве что индивидуальную непереносимость на какой-либо из компонентов. Но и это маловероятно, потому что состав продукции тщательно разрабатывался, а затем тестировался, чтобы заранее выявить возможные побочные эффекты...
83709. Малое архитектурное сооружение 4.47 MB
  Целью данного курсового проекта являются систематизация, закрепление, углубление, развитие и расширение полученных теоретических и практических знаний по разделу « Теория исследования в проектировании». Основными задачами курсового проекта являются: изучить государственные стандарты изображений...
83711. Влияние распределения внимания на продуктивность деятельности 30.92 KB
  Распределение внимания означает одновременное сосредоточение на двух или более видах деятельности. В исследованиях распределения внимания испытуемым обычно предлагается выполнить две задачи одновременно. Если одна из деятельностей полностью автоматизирована и не требует сознательного контроля...