57791

Геометрична прогресія

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Ціль нашого уроку: застосування формул nго члена геометричної прогресії визначення геометричної прогресії а також властивостей членів геометричної прогресії для розвязування задач.

Украинкский

2014-04-15

109 KB

18 чел.

РОЗРОБКА УРОКУ З АЛГЕБРИ ДЛЯ УЧНІВ 9 КЛАСУ З ТЕМИ: «Геометрична прогресія»

учителя математики,

вищої кваліфікаційної категорії

Шосткинської гімназії

Шосткинської міської ради Сумської області

Бугай Наталії Володимирівни

Мета уроку: 

формувати в учнів вміння знаходити члени прогресії за формулою n-го члена;

навчати знаходити невідомий член прогресії;

удосконалювати обчислювальні навички;

Учні повинні:

знати властивості геометричної прогресії, формулу n-го члена геометричної прогресії;

свідомо застосовувати вищезазначені формули та властивості до розв’язування різнорівневих вправ.

Тип уроку: закріплення знань і формування вмінь.

Обладнання:

графо проектор,

картки з самостійною роботою,

на дошці написаний девіз уроку: „Око бачить далеко, а розум ще дальше.” (Народна мудрість)

М.І Бурда; О, Я. Білянін. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з алгебри. 9 клас.

А.Г.Мерзляк; В.Б.Полонський; М.С.Якір. Алгебра. Підручник для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Харків, «Гімназія», 2009.

Очікувані результати:

вміння застосовувати формули знаходження n-го члена геометричної прогресії;

вміння знаходити невідомий член прогресії; знаменник геометричної прогресії.

Девіз уроку: “Око бачить далеко, а розум ще дальше.” (Народна мудрість)

                     Структура уроку.

Організаційний момент.

Актуалізація опорних знань.    

Усні вправи.

Розв’язування задач.

Підсумок уроку.

Домашнє завдання.

                           Хід уроку

 

І. Організаційний момент.

Повідомлення теми, мети, девізу уроку.

Добрий день!

Слайд 1.

Тема нашого сьогоднішнього уроку „Розв’язування текстових задач з теми:

 „ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСІЯ.”

Яка, ви вважаєте, ціль нашого уроку?

Ціль нашого уроку: застосування формул n-го члена геометричної  прогресії, визначення геометричної прогресії, а також властивостей членів геометричної прогресії для розв’язування задач.

Будемо розвивати творчі здібності, шляхом розв’язання задач творчого характеру.

Виховувати любов і повагу до предмету математики.

План проведення уроку, я пропоную, такий:

Організаційний момент.

Актуалізація опорних знань (на якому ми пригадаємо теоретичні відомості про геометричну прогресію).     

Усні вправи ( де ми застосуємо теоретичні відомості про геометричну прогресію для розв’язання усних задач).     

  Розв’язування задач (на даному етапі уроку, ми розважимо задачі  

  творчого характеру).

   Підсумок уроку (на при кінці уроку відзначимо найбільш активних учнів, підведемо підсумок уроку).

Загадаємо домашнє завдання на наступному етапі уроку

    Домашнє завдання.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

 Щоб досягти поставленої цілі, систематизуємо теоретичний матеріал і дамо відповідь на слідуючи запитання..

Інтерактивна гра „Мікрофон”.

Слайд 2.

Яка числова послідовність називається геометричною прогресією?

Серед наведених послідовностей виберіть геометричну прогресію, назвіть її знаменник. З’ясуйте, яка вона зростаюча чи спадна?:

     а) 5, 8, 10, 15,.........;

     б) 3, 6, 12, 24,.........;

     в) 4,  9, 16, 25,........;

     г) 81, 27, 9, 3,.........;

3.  Назвіть формулу n-го члена геометричної прогресії.

4.  Сформулювати властивості геометричної прогресії.

ІІІ.  Усні вправи.

Інтерактивний метод „Мозковий штурм”.

 Застосуємо даний теоретичний матеріал для розв’язання усних вправ. При проведенні, яких я пропоную дотримуватись такого порядку проведення: Слайд 3.

не кажіть усе, що спаде вам на думку;

не обговорюйте і не критикуйте висловлювань інших;

можна повторювати ідеї, запропоновані іншими;

розширення запропонованої ідеї заохочується.

Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією?

Слайд 4.

А) 2; 6; 18; 36;                                    В) 4; 8; 16; 32;

Б) 80; 40; 20; 5;                                   Г)2; -10; 50; 250.

Укажіть серед наведених послідовностей  геометричну  прогресію?

Слайд 5.

А) 6; 18; 54; 162;                                В) 3; 8; 13; 18;

Б) 1; 2; 3; 5;                                         Г) 21; 19; 17; 15.

Знайдіть знаменник геометричної прогресії  (bn), якщо b6 = 14 / 15     

   b7 =2 /3.

Слайд 6.

А) 3/7;                   Б) 5/7;               В) 7/5;              Г) 7/3.

Знайдіть перший член  геометричної прогресії, якщо її другий член      b2 =12, знаменник q = -3.

Слайд 7.

А) 4;                      Б) -4;                 В) 36;               Г) -36.

Чому дорівнює п’ятий член  геометричної прогресії, якщо її перший член b1 = 405, а знаменник q = -⅓?

Слайд 8.

А)-5;                      Б) 5;                  В)-3;                 Г) 3.

 

Знайти невідомий член геометричної прогресії: 3;  х; 27; 81.

Слайд 9.

А)9;                      Б) 9;                  В)3;                 Г) 343.

 ІV.  Розв’язування задач.             

А) 

Інтерактивний метод” Робота в групах”

Застосуємо дані теоретичні відомості для розв’язування задач творчого характеру.

Клас розбивається на три групи, кожна група на дві підгрупи. У кожній підгрупі є учні, які навчаються на високому або на достатньому рівні. Кожна група отримує однотипні завдання, але різні методи розв’язання.

Перша група розв’язує задачу, застосовуючи формулу n-го члена геометричної прогресії. Друга на застосування властивості  геометричної прогресії, яка має обмежену кількість членів. А  третя на застосування формули n-го члена геометричної прогресії.

На виконання завдання відводиться 10 хв.

Час відведений на виконання завдання минув. Представник ІІІ групи розписує своє виконання на дошці, а представники І  і ІІ груп розповідають, по черзі, про свої розв’язки біля екрану. Усі учні уважно слухають і доповняють або виправляють відповідь, учня відповідаючого біля дошки. Слово надається представнику І групи.

Слайд 10.

 І група

 Між числами 5 і 1280 вставте три таких числа, щоб вони разом із даними числами утворювали геометричну прогресію.

Розв’язання

Нехай ( bn  ) – дана  геометрична прогресія.

    b1 = 5,  b5 = 1280

Знайти  b2; b3; b4

Застосуємо формулу n-го члена геометричної прогресії  bn  = b1 × q

                        b5 = b1 × q4       

                        5 × q4 =1280      

                          q4 = 1280: 5

                        q4 = 256

                        q4 = 44

                        |q| = 4                                   

                 q = 4 або q = -4                                       

     Якщо    q = 4,     то                               b2 =  b1 × q         b2 =  5 × 4 = 20,                 

                                                                    b3 =  b2 × q         b3 =   20 × 4 = 80,

                                                                    b4 =  b3 × q         b4 =  80 × 4 = 320;

     Якщо   q = -4,    то                                b2 =  b1 × q         b2 =  5 × (-4)= -20,                 

                                                                    b3 =  b2 × q         b3 =   -20 ×(-4) = 80,

                                                                    b4 =  b3 × q         b4 =  80 ×(-4) = -320.

                                                                              Відповідь: 20, 80, 320;

                                                                                            або                                                             

                                                                                              - 20, 80, -320.

Діти, у вас така відповідь?

Слово надається представнику ІІ групи.

ІІ група

Між числами 4 і 2500 вставте три таких числа, щоб вони разом із даними числами утворювали геометричну прогресію.

Розв’язання

Нехай ( bn  ) – дана  геометрична прогресія.

 b1 = 4,  b5 = 2500

Знайти  b2; b3; b4

Застосуємо властивість  геометричної прогресії, яка має певну кількість членів:

b1× b5 = b2 × b4 = b32      

b32  = 4 × 2500

b32 = 10000

 |b3| = 100

   b3 = 100 або  b3 = - 100

    Якщо b3 = 100, то застосуємо формулу n-го члена  геометричної прогресії  bn  = b1 × q

 b3 =  b1 × q 2          100 =  4 × q 2,                 

                                q 2 = 25                    

                                |q| = 5                      

                         q  = 5 або q  = -5  

          

            Якщо q  =5, то b2 =  b1× q      b2 =   4 × 5 = 20,    

                                     b4 =  b3 × q      b4 =  100 × 5 = 500;

            Якщо q  = -5, то  b2 =  b1× q      b2 =   4 × (-5) = -20,    

                                        b4 =  b3 × q      b4 =  100 × (-5) = -500

 

      Якщо b3 = -100, то застосуємо формулу n-го члена геометричної прогресії  bn  = b1 × q

 b3 =  b1 × q 2         - 100 =  4 × q 2,                 

                                 q 2 =-25     немає розв’язку               

                                                                Відповідь: 20, 100, 500;

                                                                            або

                                                                                   -20, 100, -500.

Діти, у вас така відповідь?

Слово надається представнику ІІІ групи.

 ІІІ група          

                                                              

Знайдіть перший член геометричної прогресії, яка складається з шести членів, якщо сума трьох її членів з непарними номерами дорівнює 546, а сума трьох інших членів дорівнює 182.

Розв’язання                                                                           

Нехай ( bn  ) – дана  геометрична прогресія.

b1 +  b3  +  b5 = 546

b2 +  b4 + b6 = 182

Знайти b1.

Застосуємо формулу n-го члена геометричної прогресії  bn  = b1 × q

b2 = b1 × q               

b3 = b1 × q2 

b4 = b1 × q3            b1 + b1 × q2 + b1 × q4 = 546              b1× ( 1+ q2 +q4 ) =546

 b5 = b1 × q4            b1 × q + b1 × q3 + b1 × q5 =182         b1 × q ×( 1+ q2 +q4 ) =182   

 b6 = b1 × q5            Поділимо друге рівняння на перше       

                           q = 182: 546

                           q =⅓

Підставимо значення   q =⅓ у перше рівняння системи

 b1×( 1+ (⅓)2 +(⅓)4 )  =546                                                        

 b1 =  546: ( 1+ (⅓)2 +(⅓)4 )                              

 b1 = 6×81

 b1 =  486                                                        Відповідь: 486.

Перевірте чи така відповідь?

При розв’язанні даних задач, ми застосували різні методи розв’язання.

Застосували формулу n- го члена геометричної прогресії, застосували властивості  геометричної прогресії, яка має обмежену кількість членів,  застосували формулу  n- го члена геометричної прогресії.

Б)

Інтерактивний метод „ Метеоритний дощ ”

У курсі математики зустрічаються задачі, де членами геометричної прогресії являються не числа, а буквені вирази. Розв’яжемо одну з таких задач.

Перед нами ставиться нове завдання, Розв’язати задачу творчого характеру, для розв’язання, якої необхідно застосувати властивість геометричної прогресії.

Кожна група учнів отримує завдання  на картках. На виконання даного завдання відводиться 10 хв. Представник групи, яка першою виконала завдання, розповідає і заповнює на дошці, змите дощем розв’язання.

Слайд 11.

При якому значенні х числа 2х – 1, х + 3, х + 15 будуть послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть ці числа.

 Слайд 12.   Слайд 13.

Розв’язання

За властивістю геометричної прогресії: будь-який член прогресії, крім першого, є середнє геометричне між сусідніми членами.

       х + 3 =√ (2х – 1) × (х + 15)

   ( х + 3)² = (2х – 1) × (х + 15)

    х² + 6х + 9 = 2х² + 30х – х –15

    х²2х² + 6х – 30х + х + 9 + 15 = 0

² 23х + 24 = 0  поділимо дане рівняння на -1

 х² +23х - 24 = 0  

За теоремою Вієта   х1 + х2 = -23 і  х1 × х2 =-24,  то     х 1 =-24 ;  х 2= 1

Якщо  х = -24,

                         то  2х – 1 = 2 ×(-24) - 1 = - 48 - 1 =- 49,

                               х + 3 = - 24 + 3 = - 21,

                               х + 15 = - 24 + 15 = - 9.

Якщо  х = 1,

                     то 2х – 1 = 2 × 1 – 1 =2 – 1 = 1,

                          х + 3 =1 + 3 = 4,

                          х + 15 = 1 + 15 = 16.

                                                      Відповідь:  х = -24,

                                                                              - 49, - 21, - 9.

                                                                        або

                                                                            х = 1;

                                                                                  1, 4, 16.

V. Підсумок уроку.

Слайд 14.

  •  Що нового дізнались на уроці?
  •  Чим займались ми сьогодні на уроці?
  •  Яку історичну інформацію про геометричну прогресію ви можете повідомити?

  

Виставляються оцінки найбільш активним учням.

Аналізується девіз уроку

 Читається вірш „ Треба вчити математику”.  

           

VІ. Домашнє завдання.

Слайд 15.

Параграф  23

    Розв’язати  

  

  •  Початковий і середній рівень.

№ 795; № 797 А.Г.Мерзляк; В.Б.Полонський; М.С.Якір. Алгебра. Підручник для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Харків, «Гімназія», 2009.

  •  Достатній і високий рівень

№ 797; №808 А.Г.Мерзляк; В.Б.Полонський; М.С.Якір. Алгебра. Підручник для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Харків, «Гімназія», 2009.


                        
ВІРШ-ПІДСУМОК

         Треба вчити

                     математику

 

Якщо хочеш досягнути

У житті своїх вершин,

Математику збагнути

Мусиш тонко до глибин.

    Калькулятор і      комп’ютер –

    Хто сьогодні їх не знає.

    Та за пояс їх заткнути

    Може світла голова

Якщо хочеш бізнесменом

Після школи, друже, стати,

Аксіоми й теореми

Мусиш добре пам’ятати.

    Якщо лікарем ти станеш,

    То добре тут затям,

    Коли десь помилишся –

    Хтось поплатиться життям.

Не кажу про космонавтів

Вчителів і моряків.....

То, коли чогось не знав ти,

Швидко починай і вчи.

    Не махай на все рукою,

    Не лінуйся, а учись

    Бо чого навчишся в школі

    Знадобиться ще колись.   

                                                                          Г. Охотська.

PAGE   \* MERGEFORMAT 4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20716. Метрические пространства 68 KB
  Определим действительнозначную функцию ОПР: Если: 1аксиома неотрицательности; 2 аксиома тождественности; 3 аксиома симметрии; 4 аксиома треугольника; то называется расстоянием или метрикой определенной на множестве М. Перечисленные аксиомы называются аксиомами расстояния. 1 1я аксиома выполнена; 2 2я аксиома выполнена; 3 4Для ее проверки составим: Пусть4я аксиома выполнена.к 2 аксиома не выполняется не следует что х=у то данная пара метрическим пространством не является.
20717. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 57 KB
  Чтобы разобраться в этом вопросе рассмотрим понятие фундаментальной последовательности на R. Определение: последовательность {xn} называется фундаментальной если выполняется Пример. ТЕОРЕМАпринцип сходимости Коши Для сходимости последовательности необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной. Понятие фундаментальной последовательности переносится на метрические пространства.
20718. Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд 130.5 KB
  Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора: пусть функция имеет в некотором интервале производные до порядка включительно а точка находится внутри этого интервала. Используя эту теорему можно сделать следующий вывод: если функция имеет на некотором отрезке производные всех порядков раз они имеются все то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной то можно написать формулу Тейлора для любого значения .
20720. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 72.5 KB
  Вопрос о том является ли это решение общим приводит к понятию линейной независимости системы частных решений линейно независимых функций 1 и фундаментальной системы решений 2. Совокупность всех линейнонезависимых частных решений уравнения называется фундаментальной системой решений этого уравнения тогда есть общее решение для уравнения . Таким образом для решения нужно: найти частные решения; выяснить их линейную независимость ; найти общее решение согласно .
20721. Мощность множества. Арифметика счетной мощности 59.5 KB
  Пусть A некоторое счетное мнво тогда по определению A N.Из всякого бесконечного мнва можно выделить счетное подмново.Сумма конечного числа счетных мнв есть счетное мнво. Сумма счетного числа конечных мнв есть счетное мнво.
20722. Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства функции непрерывной на отрезке 29.5 KB
  Иногда говорят что предел функции в точке а : fx=b      х: ха ха и fxb Данное определение называется определением предела функции на языке .3 Если fx=fa то функция назся непрерывной в точке а.4 Если использовать предел функции в точке то определение функции в точке можно оформить в виде:    : ха х[ аb] и fxb Опред.
20723. Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности 62 KB
  Определение: Если каждому по определённому закону можно поставить в соответствие то числа получающиеся при каждом конкретном n образуют числовую последовательность. Если такое имеет место то пишут что последовательность расходится. Теорема Необходимое условие сходимости числовой последовательности: если последовательность {Xn} сходится то она ограничена. Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0 то она называется бесконечно малой последовательностью.