5783

Статья. О структурном синтезе передаточных механизмов

Научная статья

Производство и промышленные технологии

О структурном синтезе передаточных механизмов Настоящая статья является продолжением работы. Рассматривается метод образования структуры пространственных передаточных механизмов с использованием схем плоских механизмов. Метод основан на построен...

Русский

2013-06-06

820 KB

1 чел.

О структурном синтезе передаточных механизмов

Настоящая статья является продолжением работы [1]. Рассматривается метод образования структуры пространственных передаточных механизмов с использованием схем плоских механизмов. Метод основан на построении геометрических систем, описанных в работе [2].

Рассматривается геометрическая система, составленная из подвижных фигур I и II (рис. 1, а). Фигура I представляет треугольник 1,2,3 и жестко связанную с ним линию L4, перпендикулярную плоскости треугольника. Фигура II представлена треугольником 4,5,6 и перпендикулярной к нему линией L5. Фигура I может перемещаться в плоскости П1, фигура II – в плоскости П2, при этом точки 3, 4 будут перемещаться по линии L3.

Известными параметрами являются: А(x,y,z), , В(x,y,z), , а также размеры фигур I и II. Орт    перпендикулярен плоскости П1, орт  - плоскости П2.

Степень подвижности геометрической системы равна:

ΣS = 2(1, L1) + 1(2, П1) + 2(3, L3) + 2(4, L3) + 1(5, П2) + 2(6, L2) = 10,

                                       W = 6 ∙ n – ΣS = 6 ∙ 2 – 10 = 2.                                        (1)

Из (1) следует, что на рис. 1, а представлена двухподвижная геометрическая система. За первую обобщенную координату можно принять угол α поворота фигуры I вокруг орта .

Задается угол α и определяются координаты точки 1(x1, y1, z1). Расчет целесообразно выполнять в локальной системе А(см. рис. 1). Ось А проводится параллельно орту , следовательно  А –  la, ma, na . Ось А проводится параллельно линии L3(l1, m1, n1), представляющей пересечение плоскостей  П1 и П2 . Находятся  величины l1, m1, n1 из векторного произведения  ортов  и . Направляющие косинусы оси Аопределяются из векторного произведения осей А и  А:

                                                  l1= ma nbna mb;       

                                                  m1= na lbla nb;

                                                  n1= la mb  ma lb;                                                    (2)   

       

                                                  l2= m1 nan1 ma;                                                                   

                                                 m2= n1 lal1 na;                                

                                                 n2= l1 mam1 la.                                                     (3)

Итак, параметры локальной системы Аимеют вид: А(l1, m1, n1); А( la, ma, na); А(l2, m2, n2).

Риc . 1,  а – двухподвижная геометрическая система;

б – шестизвенный передаточный механизм

Рис. 2,  а – одноподвижная геометрическая система;

б – частный случай механизма, показанного на рис. 1,  б

Рис. 2,  а – одноподвижная геометрическая система;

б – семизвенный передаточный механизм

Определяются координаты точки 1(,,):

                       1 = –R1· sinα;  1 = 0;   1 = R1· cosα.                                          (4)

Вычисляются координаты точки 1(x,y,z):

x1 = xA + l11 + l21;

                                         y1 = yA + m11 + m21;                                                        (5)

z1 = zA + n11 + n21.

Положение точки 3 находится решением системы уравнений

(xx1)2 + (yy1)2 + (zz1)2 = (1,3)2 ;

                                 la (xxA) + ma (yyA) + na (zzA) = 0;                                                (6)

lb (xx1) + mb (yy1) + nb (zz1) = 0.

Здесь первое уравнение описывает сферу с центром в точке 1 и радиусом 1, 3, второе – плоскость П1, третье – плоскость П2.

Для решения системы (6) целесообразно воспользоваться формулами (14) ÷ (18), приведенными в работе [1].

Координаты точки 2 вычисляются по формулам

l1,3 = (x3 x1) : (1,3);                              l1,4 = ma n1,3na m1,3;

                 m1,3 = (y3 y1) : (1,3);                             m1,4 = na l1,3  la n1,3;                             (7)                       

n1,3 = (z3 z1) : (1,3);                              n1,4 = la m1,3  ma l1,3;

x2 = x1 + l1,3 x2 + l1,4 y2;

                                     y2 = y1 + m1,3 x2 + m1,4 y2;                                                      (8)

z2 = z1 + n1,3 x2 + n1,4 y2 .

Здесь l1,3; m1,3; n1,3 и l1,4; m1,4; n1,4 – направляющие косинусы локальной системы  1xyz (см. рис. 1,  а).

За вторую обобщенную координату системы можно принять величину перемещения точки 4 вдоль линии L3. Если положить (условно) расстояние между точками 3 и 4 постоянным в процессе перемещения фигур I и II, то положение точки 4 можно вычислить по формулам

x4 = x3l1 (3,4);

                                             y4 = y3m1 (3,4);                                                             (9)

z4 = z3n1 (3,4).

Вычисляются координаты точек 5, 6 фигуры II. Определяются направляющие косинусы вектора 4В (l3, m3, n3):

X3 = xBx4;                         l3 = X3  : Δ 3;

                          Y3 = yBy4;                         m3 = Y3  : Δ 3;                                        (10)

Z3 = zBz4;                                         n3 = Z3  : Δ 3.

Δ3 = .

Вычисляются величины отрезка 4, 7 из прямоугольных треугольников 6, 7, 4 и  6 , 7,  В (см. рис. 1,  а).

  

 x7 = x4 + l3 (4,7);                                                           (11)

y7 = y4 + m3 (4,7);

z7 = z4 + n3 (4,7).     

         

Положение точки 6 определяется решением системы уравнений

(x-xВ)2 + (y-yВ)2 + (z-zВ)2 = ;

                                                lb (x-xB) + mb (y-yB) + nb (z-zB) = 0;                                               (12)

l3 (x-x7) + m3 (y-y7) + n3 (z-z7) = 0.

Система (12) решается с помощью формул (14) ÷ (18) [1].

Координаты точки 5 определяются с помощью формул преобразования систем 4 и Оxyz (см. рис. 1, а).  Вначале  находятся  направляющие  косинусы  осей 4(l4, m4, n4) и 4 (l5, m5, n5):

                                 l5 = (x6 x4) : (4,6);           l4 = m5 nbn5 mb;                           

                                           m5 = (y6 – y4) : (4,6);                                                                 (13)  

                                 m4 = n5 lbl5 nb;                                                                                         

                                            n5 = (z6 – z4) : (4,6);          n4 = l5 mbm5 lb.                              (14)

                                          x5 = x4 + l45 +  l55 ;      

                                          y5 = y4 + m45 +  m55;                                                  (15)   

                                          z5 = z4 + n45 +  n55 .  

Первоначальное предположение постоянства расстояний между точками 3 и 4 во время перемещения фигур I и II возможно реализовать введением фигуры III, представляющей скрещивающиеся линии L7 и L8, жестко связанные общим перпендикуляром L6 (см. рис. 1, а) Угол между линиями принимается равным β,

              cos β = la lb + ma mb + na nb.                                                  (16)

Длина перпендикуляра L6 принимается равным расстоянию (3, 4). Эта величина считается известной.

Присоединение фигуры III заключается в совмещении линии L6 с отрезком (3, 4), линии L7 – с линией L4 и линии L8 – с линией L5.

Из рис. 1, а следует, что во время перемещения фигур I и II фигура III будет совершать возвратно-поступательное движение вдоль линии L3, перемещаясь при этом по плоскостям  П1 и П2.

На рис. 1, б показана кинематическая схема передаточного механизма, построенная на основе геометрической системы.

Если за обобщенную координату принять величину перемещения ползуна III вдоль линии L3, то возможно преобразовать поступательное движение одновременно в два вращательных движения.

Если через линию L3 провести дополнительно плоскость П3, П4… Пn, то возможно число преобразований увеличить в несколько раз.

На рис. 2, а представлен частный случай геометрической системы, где расстояние между точками 3 и 4 равно нулю. Степень подвижности вновь полученной системы равна:

ΣS = 2(1, L1) + 1(2, П1) + 2(3, L3) + 3(3, 4) + 1(5, П2) + 2(6, L2) = 11,   

    

                                        W = 6 ∙ n – ΣS = 6 ∙ 2 – 11 = 1.                                        (17)

В рассматриваемом примере фигура III будет представлять пересекающиеся линии L7 и L8 с углом β между ними.

На рис. 2, б показан частный случай кинематической схемы передаточного механизма.

Из формулы (17) следует, что соприкосновение фигур I и II в точках 3, 4 образует трехподвижное соединение. В этом случае связь фигур I и II возможно осуществить присоединением к линиям 2, 3 и 4, 6 системы из подвижных фигур Q и F, показанной на рис.10 работы [1]. Основу вновь полученной системы (рис. 3, а) составляют соприкасающиеся фигуры I и II. Положения точек фигур однозначно определяются формулами (2)÷(8) и (10)÷(15). Присоединение фигур Q и F к системе приведет к возникновению пассивных связей, поскольку они не оказывают влияния на траектории перемещений фигур I и II (на рис. 3, а фигуры с пассивными связями показаны пунктирными линиями). Следовательно, степень подвижности системы, вычисленная по (17) остается прежней.

На основе геометрической системы построена кинематическая схема семизвенного передаточного механизма (рис. 3, б). Построение механизма следует выполнять с соблюдением условия:

                                            βmaxδmax,                                                                                              (18)

где β – угол между линиями L4 и L5,  δ – угол между линиями 2, 3 и 4, 6.

Степень подвижности механизмов определяется по известной формуле [3]:

                               W = 6 ∙ n – 5Р5 = 6 ∙ 6 – 5∙7 = 1.                                              (19)

Трехподвижное соединение фигур I и II (см. рис. 3, а) возможно представить эквивалентной сферической парой. На основе такого соединения строится новая кинематическая схема передаточного механизма (рис. 4). Степень подвижности механизма равна:

                           

               W = 6 ∙ n – 5Р5 – 3Р3 = 6 ∙ 4 – 5 ∙ 4 – 3 ∙ 1  = 1.                                       (20)

Рис. 4. Передаточный механизм со сферической парой

В геометрической системе, показанной на рис. 5, а, точка 3 фигуры I может одновременно перемещаться по линиям L3 и L2. Степень подвижности такой системы равна:

ΣS = 2(1, L1) + 1(2, П1) + 2(3, L3) + 2(3, L2) + 1(5, П2) + 3(6, В) = 11,  

      

                                          W = 6 ∙ n – ΣS = 6 ∙ 2 – 11 = 1.                                      (21)

Рис. 5,  а – геометрическая система; б – передаточный механизм с поступательной парой

В формуле (21) отсутствует связь точки 4 с плоскостью П2. Объясняется это тем, что линия однозначно определяется двумя точками (в рассматриваемом примере – точками В и 3). Любая третья точка, расположенная на линии, будет составлять пассивную связь.

Рис. 6,  а – геометрическая система с подвижной фигурой I;

б – четырехзвенный передаточный механизм

Положение точек фигуры I вычисляется по формулам (2) ÷ (8). Координаты точки 4 фигуры II определяются по формулам:

                               X6 = x3xВ;                      l6 = X6  : Δ 6;

                               Y6 = y3yВ;                       m6 = Y6  : Δ 6;                                     (22)

                               Z6 = z3zВ;                                           n6 = Z6  : Δ 6.

                                                Δ6 = ;

                                                         

                                                 x4 = xВ + l6 (4,6);

                                                 y4 = yВ + m6 (4,6);                                                    (23)                            

                                                 z4 = zВ + n6 (4,6).

Вычисляются координаты точки 5:

                              l7 = m6 nbn6 mb;                          x5 = xВ + l65 +  l75 ;      

                          m7 = n6 lbl6 nb;                             y5 = yВ + m65 +  m75;        (24)                                 

                          n7 = l6 mbm6 lb;                           z5 = zВ + n65 +  n75 .  

По геометрической системе строится кинематическая схема передаточного механизма (рис. 5, б).

На рис. 6, а показана геометрическая система с одной подвижной фигурой. Степень подвижности системы равна:

ΣS = 1(1, П1) + 3(2, А) + 1(3, П2) = 5,

                                                W =  6 ∙ 1 – 5 = 1.                                                 (25)

За обобщенную координату системы можно принять угол α поворота точки 1 вокруг точки А. Координаты точки 1 можно вычислить по формулам (2)÷(5).

Положение точки 3 находится решением системы уравнений:

                                 (x-xТ)2 + (y-yТ)2 + (z-zТ)2 = (Т,3)2;

                                 lb (x-xB) + mb (y-yB) + nb (z-zB) = 0;                                          (26)

                                 l8 (x-xТ) + m8 (y-yТ) + n8 (z-zТ) = 0.

Здесь третье уравнение описывает плоскость, проведенную через точку Т перпендикулярно вектору А1(l8, m8, n8). Вычисляются параметры вектора А1:

                                

                                l8 = (x1 xА) : (1,2);                        xT = xA + l8 (T,2);

                                m8 = (y1 – yА) : (1,2);                       yT = yA + m8 (T,2);                      (27)                     

                                n8 = (z1 – zА) : (1,2);                        zT = zA + n8 (T,2).

Система  (26) решается с помощью формул (14) ÷ (18) [1].

На рис. 6. б показана построенная на основе геометрической системы кинематическая схема четырехзвенного механизма, являющегося дополнением к механизмам, описанным в работе [1]. Механизм может быть использован для передачи вращательного движения между пересекающимися осями.

Геометрическая система, показанная на рис. 7, а, построена на основе системы с одной подвижной фигурой (см. рис. 6, а) путем присоединения фигуры II.

Степень подвижности вновь полученной системы равна:

ΣS = 3(2, А) + 1(1, П1) + 1(3, П2) + 3(3, 4) + 1(5, П2) + 2(6, П2) = 11,      

  

                                              W = 6 ∙ n – ΣS = 6 ∙ 2 – 11 = 1.                                  (28)

За обобщенную координату системы можно принять угол α поворота точки 1 вокруг точки А. Положения точек 1,3 фигуры I можно определить по (2) ÷ (5) и (26) ÷ (27), положения точек 5, 6 фигуры II – по (10) ÷ (15).

На рис. 7, б показана эквивалентная кинематическая схема передаточного механизма.

На рис. 8, а показана модификация геометрической системы (см. рис. 7, а) путем совмещения точки 6 фигуры II с точкой В и заменой трехподвижного соединения фигур I и II двухподвижным соединением точки 3 с линией 4, 6.

Степень подвижности системы равна:

ΣS = 3(2, А) + 1(1, П1) + 1(3, П2) + 2(3, L2) + 1(5, П2) + 3(6, B) = 11,  

      

                                              W = 6 ∙ n – ΣS = 6 ∙ 2 – 11 = 1.                                  (29)

Положения точек фигуры I  определяются по (2) ÷ (5) и (26) ÷ (27), положения точек фигуры II – по (22) ÷ (24).

На рис. 8, б показана эквивалентная кинематическая схема передаточного механизма.

На рис. 9, а показана плоскость П с расположенными на ней линиями L1 и L2, представляющими собой окружность и эллипс. Последняя является линией пересечения цилиндра с плоскостью. Фигура I представляет собой треугольник 1, 2, 3 и линию L3, перпендикулярную треугольнику. Степень подвижности системы равна:

ΣS = 2(1, L1) + 1(2, П) + 2(3, L2) = 5,   

    

                                                     W = 6 ∙ 1 – 5 = 1.                                                (30)

Положения точек фигуры I первоначально целесообразно определять в системе Т(см. рис. 9,  а). Вычисляются параметры Т :

                

                                           (31)

zT = zВ nb · ρ1;                           zК = zВ nа · ρ2.

ρ2 =  lа (xВ xА) + ma (yВ yА) + na (zВ zА),

                                         

Рис. 7,  а – геометрическая система с двумя подвижными фигурами;

б – шестизвенный передаточный механизм

Рис. 8,  а – модификация системы, показанной на рис. 7. а;

б – разновидность шестизвенного передаточного механизма

Рис. 9,  а – геометрическая система; б – передаточный  механизм с цилиндрической парой

Определяются направляющие косинусы осей Т(l9, m9, n9) и Т(l10, m10, n10):

                  X9 = xК xT;             l9 = X9  : Δ 9;              l10 = m9 nan9 ma;

                  Y9 = yКyT;             m9 = Y9  : Δ 9;            m10 = n9 lal9 na;                     (32)

                  Z9 = zКzT;             n9 = Z9  : Δ 9;             n10 = l9 mam9 la.

                                       

Δ9 = .

Здесь точка K – проекция точки В на плоскость П.

Приняв за обобщенную координату угол α поворота точки 1 вокруг точки А, можно вычислить координаты точки 1 по (2) ÷ (5). Положение точки 3 определяется решением системы уравнений

                                            ,                                        (33)

здесь γ – угол между ортом  и плоскостью П,

                                                     .    

Положение точки 2 вычисляется по (7) ÷ (8).

К фигуре I и образующей цилиндра можно присоединить фигуру II, представляющую собой пересекающиеся под углом β линии  L4 и L5. β – угол между ортами  и . Значение угла определяется по (16). В процессе присоединения линию  L4 совмещают с линией L3, линию L5 – с образующей цилиндра. Фигура II будет обладать пассивной связью, т.к. ее присоединение не оказывает влияние на траекторию движения фигуры I.

На основе геометрической системы строится схема передаточного механизма с цилиндрической парой (рис. 9,  б).

Из рассмотренных примеров можно сделать выводы: 1) передачу вращательного движения между произвольно расположенными в пространстве скрещивающимися осями возможно выполнить механизмами, представляющими совокупность плоских механизмов с общим (пространственным) звеном. 2) Если механизмы, показанные на рис. 1,  б, рис. 2, б и рис. 4 выполнить симметричными (аналогично рис. 18 [1]), то возможно построить механизмы передачи равных угловых скоростей.

Рассмотренные в работе механизмы для наглядности представлены на рис. 10 совокупностью плоских схем с общим (пространственным) звеном. Механизм, показанный на рис. 10, з получен заменой шатунов II и IV (см. рис. 10, а) на ползуны II и IV.

Рис. 10. Условное изображение передаточных механизмов с использованием плоских

кинематических схем.  а – механизм, показанный на рис. 1. б; б –на  рис. 2. б; в – на рис. 3. б; г –на  рис. 4;  д – на рис. 5. б;  е –на  рис. 7. б;  ж –на  рис. 8. б; з – модификация рис. 10. а

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1.  Романцев А.А. Исследование структур рычажных механизмов с вращательными парами. // Теория механизмов и машин. 2006. № 2(8). C. 13-22.
  2.  Романцев А.А. Основы кинематической геометрии. – Ульяновск, 2004. – 150 с.
  3.  Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. – М.: Наука, 1975.      C.19-135.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26497. Марковские модели принятия решений 2.13 MB
  Системному аналитику или управляющему алгоритму предоставлено право выбора одной из общих стратегий Z. И каждая из этих стратегий соответствует матрицам переходных вероятностей Rij где элементы матрицы задают вероятность перехода из состояния i в котором находилась система в момент времени tn1 в состояние j в следующий момент времени. Необходимо для каждого из моментов принятия решений выбрать такую последовательность общих стратегий Z которая будет обеспечивать максимальный суммарный выигрыш от функционирования системы за N этапов. Если...
26498. Модели задач принятия решений в стратегических играх 29.79 KB
  Постановка задачи в моделях матричной игры. Кроме стратегических игр различают еще статистические и позиционные игры. Позиционные игры предполагают пошаговую последовательность принятия решений причем решение принятое на первом этапе определяет множество возможных решений на последующих. Математическое описание игры предполагает четкое определение или задание следующих факторов: правила действия сторон.
26499. Статистические и позиционные игры 30.18 KB
  Принятие решений в статистических играх. принятие решений в позиционных играх. Принятие решений в статистических играх. В теории статистических решений известен ряд методик нахождения оптимального решения.
26500. Общая постановка задачи принятия решений. Предметы и задачи дисциплины 20.05 KB
  Предметы и задачи дисциплины. Выбор способа действий метода действий зависит от класса анализируемых задач которые укрупнено можно разделить на следующие задачи: структурированные задачи. слабо структурированные задачи.
26501. Оценка полезности результатов принятия решений 23.21 KB
  Основные положения аксиоматической теории полезности.1 Постановка задачи оценки полезности результата. Одно из основных допущений при оценке полезности результатов – расчет на то что человек делает рациональный выбор.
26502. Теория принятия решений 26.03 KB
  Эти правила отражают смысл принимаемого рационального решения и их содержание приведено в аксиомах теории полезности. Правило последовательности утверждает что для принятия решения необходимо упорядочить альтернативные варианты по степени их прежпочтительности для человека. Окончательным условием рационального решения является выбор такого действия которое максимизирует минимизирует целевую функцию.
26503. Задача ПР(принятие решений) в условиях взаимодействия нескольких целеустремленных систем 16.18 KB
  Основные особенности: 1 носителем информации о системевозможностях системы целевых функциях условиях функционирования является человекоператор разработчик или пользователь. 2 вычислительная система является средством для решения расчетных задач и для проверки простейших логических условий на базе заданных численных параметров. Применение информационного метода оправдано в системах предназначенных для работы в стандартных условиях.
26504. Неолиберализм в политике правящих кругов стран Европы и Америки в 1960-2000 гг. (на примере США и Великобритании) 52 KB
  Понятия социальный либерализм и неолиберализм Основу идеологии соц либерализма составило признание социальной природы личности и взаимной ответственности личности и общества. происходило возвращение к идее соц справедливости. Это вело к осознанию права государства как представителя общественных интересов на необходимые полномочия в сфере регулирования собственнических отношений обеспечения консенсуса между отдельными социальными группами в том числе между работодателями и наемным работниками производителями и потребителями....
26505. Неоконсерватизм в политике правящих кругов Европы и Америки в 1980-2000 гг. (на примере США и Великобритании) 46 KB
  устоев капиталистической экономики ч с свободы личности рыночного механизма как наиболее эффективного инструмента регулиря произва максимальное ограничение вмешатва госва в его функце. Существ изменения в хозяйственном механизме капитализма в его соц структуре и общественном сознании этого периода = вопрос о целесообразности и масштабах государственного вмешательства в эк о харре макроэкономической пки ее целях и методах. Следствием стал кризис реформизма и приход к власти в нач1980х почти во всех развитых странах...