5783

Статья. О структурном синтезе передаточных механизмов

Научная статья

Производство и промышленные технологии

О структурном синтезе передаточных механизмов Настоящая статья является продолжением работы. Рассматривается метод образования структуры пространственных передаточных механизмов с использованием схем плоских механизмов. Метод основан на построен...

Русский

2013-06-06

820 KB

1 чел.

О структурном синтезе передаточных механизмов

Настоящая статья является продолжением работы [1]. Рассматривается метод образования структуры пространственных передаточных механизмов с использованием схем плоских механизмов. Метод основан на построении геометрических систем, описанных в работе [2].

Рассматривается геометрическая система, составленная из подвижных фигур I и II (рис. 1, а). Фигура I представляет треугольник 1,2,3 и жестко связанную с ним линию L4, перпендикулярную плоскости треугольника. Фигура II представлена треугольником 4,5,6 и перпендикулярной к нему линией L5. Фигура I может перемещаться в плоскости П1, фигура II – в плоскости П2, при этом точки 3, 4 будут перемещаться по линии L3.

Известными параметрами являются: А(x,y,z), , В(x,y,z), , а также размеры фигур I и II. Орт    перпендикулярен плоскости П1, орт  - плоскости П2.

Степень подвижности геометрической системы равна:

ΣS = 2(1, L1) + 1(2, П1) + 2(3, L3) + 2(4, L3) + 1(5, П2) + 2(6, L2) = 10,

                                       W = 6 ∙ n – ΣS = 6 ∙ 2 – 10 = 2.                                        (1)

Из (1) следует, что на рис. 1, а представлена двухподвижная геометрическая система. За первую обобщенную координату можно принять угол α поворота фигуры I вокруг орта .

Задается угол α и определяются координаты точки 1(x1, y1, z1). Расчет целесообразно выполнять в локальной системе А(см. рис. 1). Ось А проводится параллельно орту , следовательно  А –  la, ma, na . Ось А проводится параллельно линии L3(l1, m1, n1), представляющей пересечение плоскостей  П1 и П2 . Находятся  величины l1, m1, n1 из векторного произведения  ортов  и . Направляющие косинусы оси Аопределяются из векторного произведения осей А и  А:

                                                  l1= ma nbna mb;       

                                                  m1= na lbla nb;

                                                  n1= la mb  ma lb;                                                    (2)   

       

                                                  l2= m1 nan1 ma;                                                                   

                                                 m2= n1 lal1 na;                                

                                                 n2= l1 mam1 la.                                                     (3)

Итак, параметры локальной системы Аимеют вид: А(l1, m1, n1); А( la, ma, na); А(l2, m2, n2).

Риc . 1,  а – двухподвижная геометрическая система;

б – шестизвенный передаточный механизм

Рис. 2,  а – одноподвижная геометрическая система;

б – частный случай механизма, показанного на рис. 1,  б

Рис. 2,  а – одноподвижная геометрическая система;

б – семизвенный передаточный механизм

Определяются координаты точки 1(,,):

                       1 = –R1· sinα;  1 = 0;   1 = R1· cosα.                                          (4)

Вычисляются координаты точки 1(x,y,z):

x1 = xA + l11 + l21;

                                         y1 = yA + m11 + m21;                                                        (5)

z1 = zA + n11 + n21.

Положение точки 3 находится решением системы уравнений

(xx1)2 + (yy1)2 + (zz1)2 = (1,3)2 ;

                                 la (xxA) + ma (yyA) + na (zzA) = 0;                                                (6)

lb (xx1) + mb (yy1) + nb (zz1) = 0.

Здесь первое уравнение описывает сферу с центром в точке 1 и радиусом 1, 3, второе – плоскость П1, третье – плоскость П2.

Для решения системы (6) целесообразно воспользоваться формулами (14) ÷ (18), приведенными в работе [1].

Координаты точки 2 вычисляются по формулам

l1,3 = (x3 x1) : (1,3);                              l1,4 = ma n1,3na m1,3;

                 m1,3 = (y3 y1) : (1,3);                             m1,4 = na l1,3  la n1,3;                             (7)                       

n1,3 = (z3 z1) : (1,3);                              n1,4 = la m1,3  ma l1,3;

x2 = x1 + l1,3 x2 + l1,4 y2;

                                     y2 = y1 + m1,3 x2 + m1,4 y2;                                                      (8)

z2 = z1 + n1,3 x2 + n1,4 y2 .

Здесь l1,3; m1,3; n1,3 и l1,4; m1,4; n1,4 – направляющие косинусы локальной системы  1xyz (см. рис. 1,  а).

За вторую обобщенную координату системы можно принять величину перемещения точки 4 вдоль линии L3. Если положить (условно) расстояние между точками 3 и 4 постоянным в процессе перемещения фигур I и II, то положение точки 4 можно вычислить по формулам

x4 = x3l1 (3,4);

                                             y4 = y3m1 (3,4);                                                             (9)

z4 = z3n1 (3,4).

Вычисляются координаты точек 5, 6 фигуры II. Определяются направляющие косинусы вектора 4В (l3, m3, n3):

X3 = xBx4;                         l3 = X3  : Δ 3;

                          Y3 = yBy4;                         m3 = Y3  : Δ 3;                                        (10)

Z3 = zBz4;                                         n3 = Z3  : Δ 3.

Δ3 = .

Вычисляются величины отрезка 4, 7 из прямоугольных треугольников 6, 7, 4 и  6 , 7,  В (см. рис. 1,  а).

  

 x7 = x4 + l3 (4,7);                                                           (11)

y7 = y4 + m3 (4,7);

z7 = z4 + n3 (4,7).     

         

Положение точки 6 определяется решением системы уравнений

(x-xВ)2 + (y-yВ)2 + (z-zВ)2 = ;

                                                lb (x-xB) + mb (y-yB) + nb (z-zB) = 0;                                               (12)

l3 (x-x7) + m3 (y-y7) + n3 (z-z7) = 0.

Система (12) решается с помощью формул (14) ÷ (18) [1].

Координаты точки 5 определяются с помощью формул преобразования систем 4 и Оxyz (см. рис. 1, а).  Вначале  находятся  направляющие  косинусы  осей 4(l4, m4, n4) и 4 (l5, m5, n5):

                                 l5 = (x6 x4) : (4,6);           l4 = m5 nbn5 mb;                           

                                           m5 = (y6 – y4) : (4,6);                                                                 (13)  

                                 m4 = n5 lbl5 nb;                                                                                         

                                            n5 = (z6 – z4) : (4,6);          n4 = l5 mbm5 lb.                              (14)

                                          x5 = x4 + l45 +  l55 ;      

                                          y5 = y4 + m45 +  m55;                                                  (15)   

                                          z5 = z4 + n45 +  n55 .  

Первоначальное предположение постоянства расстояний между точками 3 и 4 во время перемещения фигур I и II возможно реализовать введением фигуры III, представляющей скрещивающиеся линии L7 и L8, жестко связанные общим перпендикуляром L6 (см. рис. 1, а) Угол между линиями принимается равным β,

              cos β = la lb + ma mb + na nb.                                                  (16)

Длина перпендикуляра L6 принимается равным расстоянию (3, 4). Эта величина считается известной.

Присоединение фигуры III заключается в совмещении линии L6 с отрезком (3, 4), линии L7 – с линией L4 и линии L8 – с линией L5.

Из рис. 1, а следует, что во время перемещения фигур I и II фигура III будет совершать возвратно-поступательное движение вдоль линии L3, перемещаясь при этом по плоскостям  П1 и П2.

На рис. 1, б показана кинематическая схема передаточного механизма, построенная на основе геометрической системы.

Если за обобщенную координату принять величину перемещения ползуна III вдоль линии L3, то возможно преобразовать поступательное движение одновременно в два вращательных движения.

Если через линию L3 провести дополнительно плоскость П3, П4… Пn, то возможно число преобразований увеличить в несколько раз.

На рис. 2, а представлен частный случай геометрической системы, где расстояние между точками 3 и 4 равно нулю. Степень подвижности вновь полученной системы равна:

ΣS = 2(1, L1) + 1(2, П1) + 2(3, L3) + 3(3, 4) + 1(5, П2) + 2(6, L2) = 11,   

    

                                        W = 6 ∙ n – ΣS = 6 ∙ 2 – 11 = 1.                                        (17)

В рассматриваемом примере фигура III будет представлять пересекающиеся линии L7 и L8 с углом β между ними.

На рис. 2, б показан частный случай кинематической схемы передаточного механизма.

Из формулы (17) следует, что соприкосновение фигур I и II в точках 3, 4 образует трехподвижное соединение. В этом случае связь фигур I и II возможно осуществить присоединением к линиям 2, 3 и 4, 6 системы из подвижных фигур Q и F, показанной на рис.10 работы [1]. Основу вновь полученной системы (рис. 3, а) составляют соприкасающиеся фигуры I и II. Положения точек фигур однозначно определяются формулами (2)÷(8) и (10)÷(15). Присоединение фигур Q и F к системе приведет к возникновению пассивных связей, поскольку они не оказывают влияния на траектории перемещений фигур I и II (на рис. 3, а фигуры с пассивными связями показаны пунктирными линиями). Следовательно, степень подвижности системы, вычисленная по (17) остается прежней.

На основе геометрической системы построена кинематическая схема семизвенного передаточного механизма (рис. 3, б). Построение механизма следует выполнять с соблюдением условия:

                                            βmaxδmax,                                                                                              (18)

где β – угол между линиями L4 и L5,  δ – угол между линиями 2, 3 и 4, 6.

Степень подвижности механизмов определяется по известной формуле [3]:

                               W = 6 ∙ n – 5Р5 = 6 ∙ 6 – 5∙7 = 1.                                              (19)

Трехподвижное соединение фигур I и II (см. рис. 3, а) возможно представить эквивалентной сферической парой. На основе такого соединения строится новая кинематическая схема передаточного механизма (рис. 4). Степень подвижности механизма равна:

                           

               W = 6 ∙ n – 5Р5 – 3Р3 = 6 ∙ 4 – 5 ∙ 4 – 3 ∙ 1  = 1.                                       (20)

Рис. 4. Передаточный механизм со сферической парой

В геометрической системе, показанной на рис. 5, а, точка 3 фигуры I может одновременно перемещаться по линиям L3 и L2. Степень подвижности такой системы равна:

ΣS = 2(1, L1) + 1(2, П1) + 2(3, L3) + 2(3, L2) + 1(5, П2) + 3(6, В) = 11,  

      

                                          W = 6 ∙ n – ΣS = 6 ∙ 2 – 11 = 1.                                      (21)

Рис. 5,  а – геометрическая система; б – передаточный механизм с поступательной парой

В формуле (21) отсутствует связь точки 4 с плоскостью П2. Объясняется это тем, что линия однозначно определяется двумя точками (в рассматриваемом примере – точками В и 3). Любая третья точка, расположенная на линии, будет составлять пассивную связь.

Рис. 6,  а – геометрическая система с подвижной фигурой I;

б – четырехзвенный передаточный механизм

Положение точек фигуры I вычисляется по формулам (2) ÷ (8). Координаты точки 4 фигуры II определяются по формулам:

                               X6 = x3xВ;                      l6 = X6  : Δ 6;

                               Y6 = y3yВ;                       m6 = Y6  : Δ 6;                                     (22)

                               Z6 = z3zВ;                                           n6 = Z6  : Δ 6.

                                                Δ6 = ;

                                                         

                                                 x4 = xВ + l6 (4,6);

                                                 y4 = yВ + m6 (4,6);                                                    (23)                            

                                                 z4 = zВ + n6 (4,6).

Вычисляются координаты точки 5:

                              l7 = m6 nbn6 mb;                          x5 = xВ + l65 +  l75 ;      

                          m7 = n6 lbl6 nb;                             y5 = yВ + m65 +  m75;        (24)                                 

                          n7 = l6 mbm6 lb;                           z5 = zВ + n65 +  n75 .  

По геометрической системе строится кинематическая схема передаточного механизма (рис. 5, б).

На рис. 6, а показана геометрическая система с одной подвижной фигурой. Степень подвижности системы равна:

ΣS = 1(1, П1) + 3(2, А) + 1(3, П2) = 5,

                                                W =  6 ∙ 1 – 5 = 1.                                                 (25)

За обобщенную координату системы можно принять угол α поворота точки 1 вокруг точки А. Координаты точки 1 можно вычислить по формулам (2)÷(5).

Положение точки 3 находится решением системы уравнений:

                                 (x-xТ)2 + (y-yТ)2 + (z-zТ)2 = (Т,3)2;

                                 lb (x-xB) + mb (y-yB) + nb (z-zB) = 0;                                          (26)

                                 l8 (x-xТ) + m8 (y-yТ) + n8 (z-zТ) = 0.

Здесь третье уравнение описывает плоскость, проведенную через точку Т перпендикулярно вектору А1(l8, m8, n8). Вычисляются параметры вектора А1:

                                

                                l8 = (x1 xА) : (1,2);                        xT = xA + l8 (T,2);

                                m8 = (y1 – yА) : (1,2);                       yT = yA + m8 (T,2);                      (27)                     

                                n8 = (z1 – zА) : (1,2);                        zT = zA + n8 (T,2).

Система  (26) решается с помощью формул (14) ÷ (18) [1].

На рис. 6. б показана построенная на основе геометрической системы кинематическая схема четырехзвенного механизма, являющегося дополнением к механизмам, описанным в работе [1]. Механизм может быть использован для передачи вращательного движения между пересекающимися осями.

Геометрическая система, показанная на рис. 7, а, построена на основе системы с одной подвижной фигурой (см. рис. 6, а) путем присоединения фигуры II.

Степень подвижности вновь полученной системы равна:

ΣS = 3(2, А) + 1(1, П1) + 1(3, П2) + 3(3, 4) + 1(5, П2) + 2(6, П2) = 11,      

  

                                              W = 6 ∙ n – ΣS = 6 ∙ 2 – 11 = 1.                                  (28)

За обобщенную координату системы можно принять угол α поворота точки 1 вокруг точки А. Положения точек 1,3 фигуры I можно определить по (2) ÷ (5) и (26) ÷ (27), положения точек 5, 6 фигуры II – по (10) ÷ (15).

На рис. 7, б показана эквивалентная кинематическая схема передаточного механизма.

На рис. 8, а показана модификация геометрической системы (см. рис. 7, а) путем совмещения точки 6 фигуры II с точкой В и заменой трехподвижного соединения фигур I и II двухподвижным соединением точки 3 с линией 4, 6.

Степень подвижности системы равна:

ΣS = 3(2, А) + 1(1, П1) + 1(3, П2) + 2(3, L2) + 1(5, П2) + 3(6, B) = 11,  

      

                                              W = 6 ∙ n – ΣS = 6 ∙ 2 – 11 = 1.                                  (29)

Положения точек фигуры I  определяются по (2) ÷ (5) и (26) ÷ (27), положения точек фигуры II – по (22) ÷ (24).

На рис. 8, б показана эквивалентная кинематическая схема передаточного механизма.

На рис. 9, а показана плоскость П с расположенными на ней линиями L1 и L2, представляющими собой окружность и эллипс. Последняя является линией пересечения цилиндра с плоскостью. Фигура I представляет собой треугольник 1, 2, 3 и линию L3, перпендикулярную треугольнику. Степень подвижности системы равна:

ΣS = 2(1, L1) + 1(2, П) + 2(3, L2) = 5,   

    

                                                     W = 6 ∙ 1 – 5 = 1.                                                (30)

Положения точек фигуры I первоначально целесообразно определять в системе Т(см. рис. 9,  а). Вычисляются параметры Т :

                

                                           (31)

zT = zВ nb · ρ1;                           zК = zВ nа · ρ2.

ρ2 =  lа (xВ xА) + ma (yВ yА) + na (zВ zА),

                                         

Рис. 7,  а – геометрическая система с двумя подвижными фигурами;

б – шестизвенный передаточный механизм

Рис. 8,  а – модификация системы, показанной на рис. 7. а;

б – разновидность шестизвенного передаточного механизма

Рис. 9,  а – геометрическая система; б – передаточный  механизм с цилиндрической парой

Определяются направляющие косинусы осей Т(l9, m9, n9) и Т(l10, m10, n10):

                  X9 = xК xT;             l9 = X9  : Δ 9;              l10 = m9 nan9 ma;

                  Y9 = yКyT;             m9 = Y9  : Δ 9;            m10 = n9 lal9 na;                     (32)

                  Z9 = zКzT;             n9 = Z9  : Δ 9;             n10 = l9 mam9 la.

                                       

Δ9 = .

Здесь точка K – проекция точки В на плоскость П.

Приняв за обобщенную координату угол α поворота точки 1 вокруг точки А, можно вычислить координаты точки 1 по (2) ÷ (5). Положение точки 3 определяется решением системы уравнений

                                            ,                                        (33)

здесь γ – угол между ортом  и плоскостью П,

                                                     .    

Положение точки 2 вычисляется по (7) ÷ (8).

К фигуре I и образующей цилиндра можно присоединить фигуру II, представляющую собой пересекающиеся под углом β линии  L4 и L5. β – угол между ортами  и . Значение угла определяется по (16). В процессе присоединения линию  L4 совмещают с линией L3, линию L5 – с образующей цилиндра. Фигура II будет обладать пассивной связью, т.к. ее присоединение не оказывает влияние на траекторию движения фигуры I.

На основе геометрической системы строится схема передаточного механизма с цилиндрической парой (рис. 9,  б).

Из рассмотренных примеров можно сделать выводы: 1) передачу вращательного движения между произвольно расположенными в пространстве скрещивающимися осями возможно выполнить механизмами, представляющими совокупность плоских механизмов с общим (пространственным) звеном. 2) Если механизмы, показанные на рис. 1,  б, рис. 2, б и рис. 4 выполнить симметричными (аналогично рис. 18 [1]), то возможно построить механизмы передачи равных угловых скоростей.

Рассмотренные в работе механизмы для наглядности представлены на рис. 10 совокупностью плоских схем с общим (пространственным) звеном. Механизм, показанный на рис. 10, з получен заменой шатунов II и IV (см. рис. 10, а) на ползуны II и IV.

Рис. 10. Условное изображение передаточных механизмов с использованием плоских

кинематических схем.  а – механизм, показанный на рис. 1. б; б –на  рис. 2. б; в – на рис. 3. б; г –на  рис. 4;  д – на рис. 5. б;  е –на  рис. 7. б;  ж –на  рис. 8. б; з – модификация рис. 10. а

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1.  Романцев А.А. Исследование структур рычажных механизмов с вращательными парами. // Теория механизмов и машин. 2006. № 2(8). C. 13-22.
  2.  Романцев А.А. Основы кинематической геометрии. – Ульяновск, 2004. – 150 с.
  3.  Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. – М.: Наука, 1975.      C.19-135.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36864. Исследование недвоичных счетчиков 72.5 KB
  При построении счетчиков с дешифратором состояния наиболее целесообразно использовать счетчики интегрального состояния например 74191 см. Счетчик с дешифратором состояния. D; счетный вход ─ CLK; вход направления счета ─ U суммирование активен высоким уровнем ─ D вычитание активен низким уровнем; вход управления предварительной установкой ─ LOD; выход переноса ─ RCO выход дешифратора состояния активен низким уровнем при достижении последнего состояния счетчика. При выполнении этой части работы необходимо снимать временные диаграммы...
36865. Построение трехмерных графиков в Scilab 676.5 KB
  Функции plot3d и plot3d1 В Scilb поверхность можно построить с помощью функций plot3d или plot3d1. Их отличие состоит в том что plot3d строит поверхность и заливает ее одним цветом а plot3d1 поверхность каждая ячейка которой имеет цвет зависящий от значения функции в каждом соответствующем узле сетки. Обращение к функциям следующее: plot3dxyz[thetlphlegflgebox][keyn=vluen] plot3d1xyz[thetlphlegflgebox][keyn=vluen] здесь x векторстолбец значений абсцисс; y векторстолбец значений ординат; z матрица значений...
36866. ПОДГОТОВКА ДОКУМЕНТА MS EXCEL К ПЕЧАТИ 64.5 KB
  ПОДГОТОВКА ДОКУМЕНТА MS EXCEL К ПЕЧАТИ Цель работы: рассмотреть этапы подготовки документов MS Excel к печати. Вопросы компетенции навыки для освоения: Изучить элементы интерфейса MS Excel служащие для подготовки документа к печати. Освоить технологии и рассмотреть этапы подготовки документов MS Excel к печати. Подготовить к печати документ большого объема.
36867. Построение поверхностей заданных параметрически с помощью функций param3d и param3d1 752 KB
  Затем обратимся к функции prm3d передав ей математические выражения функций y y1 и y2 а также углы в градусах под которыми наблюдатель будет видеть формируемый график 45 и 35 Листинг 6. Построение линии заданной параметрически с помощью функции prm3d t=[0:0. Построение линии заданной параметрически с помощью функции prm3d t=50pi:0. Для построения графиков линий в одной системе координат обратимся к функции prm3d1.
36868. ОСНОВНЫЕ ВСТРОЕННЫЕ ФУНКЦИИ MS EXCEL 284 KB
  Имя функции описывает операцию которая эта функция выполняет. 1 или нажатием кнопки Вставить функция в строке Формул. В этом окне сначала следует выбрать категорию функции из списка Категория а затем в открывшемся алфавитном списке Функция указать нужную функцию. Математические функции Функция СУММ Функция СУММ суммирует множества чисел.
36869. Решение нелинейных уравнений и систем 120.5 KB
  Всякое алгебраическое уравнение относительно x можно записать в виде 0xn1xn−1 n−1xn = 0 где 0 0 n 1 и i коэффициенты алгебраического уравнения nй степени. Решение алгебраического уравнения в Scilb состоит из двух этапов. Примеры символьных операций с полиномами p1=poly[1 2]xc p1 = 1 2x p2=poly[3 7 2]xc p2 = 2 3 7x 2x p1p2 Сложение ns = 2 2 5x 2x p1p2 Вычитание ns = 2 4 9x 2x p1p2 Умножение ns = 2 3 3 13x 16x 4x p1 p2 Деление ns = 1 3 x p1^2 Возведение в...
36870. ВВОД И РЕДАКТИРОВАНИЕ ФОРМУЛ. СТАНДАРТНЫЕ ФУНКЦИИ EXCEL 312 KB
  На первом листе повторитеОбразец 1 Образец 2 Образец 3 и Образец 4 используя команды форматирования ячеек Таблица 1 и средства автозаполнения команда меню Правка Заполнить Прогрессия. Образец 1 Образец 2 Образец 3 Образец 4 Таблица 1 Команда меню вкладка Опции Действие Формат Ячейкивкладка Граница области Все Отдельные и Линии Создание границ таблицы или обрамление таблицы Формат Ячейкивкладка Число список Числовые форматы Изменениечислового формата Формат Ячейкивкладка Выравнивание раскрывающиеся списки по...
36872. Исследование дешифраторов 42 KB
  Цель лабораторной работы: исследовать основные способы построения и работу дешифраторов. Задание: снять временные диаграммы определить таблицы состояний и особенности работы дешифраторов. Порядок выполнения: включить персональную ЭВМ запустить на выполнение программный пакет EWB и далее следовать порядку работы в пакете. В отчете приводится наименование и номер лабораторной работы цель работы программа работы с указанием всех необходимых экспериментов полученных результатов их объяснения и выводов.