57843

Означення квадратного рівняння. Неповні квадратні рівняння

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Сприяти знайомству учнів з поняттям квадратного рівняння та його елементів неповних квадратних рівнянь та організувати діяльність з розробки алгоритму їх розвязування. Добрий день Я дуже рада вітати вас на тренінгу Неповні...

Украинкский

2014-05-21

174.5 KB

0 чел.

Урок-тренінг з алгебри

В 8 класі (2год)

На тему:

                                                                                                 Вчитель: Шаманська.В.Н

                                                                                                    Вища категорія

                                                                                                       Вчитель-методист

                                                             М.Дніпропетровськ

                                                                       

                                                                 2012

 

Мета:Сприяти знайомству учнів з поняттям квадратного рівняння та його елементів, неповних квадратних рівнянь та організувати діяльність з розробки алгоритму їх розв’язування.

Розвивати увагу, математичне мовлення, вміти виконувати дії за аналогією, порівнювати і робити висновки.

Сприяти вихованню позитивного ставлення до себе:«я можу», «  у мене все вийде», створюючи ситуацію успіху;почуття колективізму в процесі роботи в групах; інтересу до теми математики в цілому.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Обладнання: таблиця, картки, стікер, бумага А-3, А-4, маркери, бейджики, м’яч, плакат, «Очікування», правила поведінки на уроці-А-4 та в групах-А-4.

Девіз уроку: Необхідно, щоб той, хто що-небудь уміє, навчив цього інших, які мають у цьому потребу.

                                                 Альберт Дюрер.


Вступна частина (5-7 хв.)

1.Знайомство. Добрий день!

           Я дуже рада вітати вас на тренінгу «Неповні квадратні рівняння».Пропоную познайомитися, порівняти себе з певним явищем природи.

Я-Валя,

 Якби була явищем природи, то була б сонцем.(…Дощ, вітер, сніг…)

…Підсумок: при всій індивідуальній різниці всі відповіді належать до спільних категорій. Так і ми, всі учасники тренінгу-особистості, але подібні один до одного, тому що являємо собою команду.

2. Привітання «Комплімент».

Учасники стоять у колі.

Тренер пропонує придумати комплімент партнеру.

Перший говорить комплімент і кидає м’яч учаснику, якому цей комплімент адресує: І так щоб кожен по черзі одержував комплімент.

Тренер: Ось ми і познайомилися і привіталися.

Поаплодували собі хорошим!

   

Щоб робота наша була плідною зараз ми проговоримо правила роботи на уроці.

                                                                  Правила!


Тренер :Добре друзі!

Ви засвоїли правила, а значить можна продовжити тренінг. Для цього об’єднуємося в пари ( сусіди) і повторимо матеріал про вивченні види рівнянь. А допоможуть нам це зробити пара: літератор – історик: (  казка + історичні відомості про появу квадратних рівнянь).

3. Кожна пара відповідає на питання за « колобка», щоб його врятувати:

Види рівняння та кількість його коренів.

а) ах=в; - лінійне з одною змінною.           Коренів: х= -один; а0

                                                                        0х=0-безліч а=а, в=0

                                                                        0 х=в –жодного, а=а, в0

          

б)ах+ву=с- лінійне з двома змінними

в) ( 2х+6=12)( 4х-5=7) –рівносильні, бо  мають рівні корені.

       х=3                 х=3

г)(0×х=5)(0×х+8=-3)- рівносильні, бо не мають коренів.

    хєØ                  хєØ

Д) Це були лінійні рівняння, а сьогодні ми будемо знайомитися з квадратними рівняннями, поглиблюючи свої знання,   доповнюючи їх новими знаннями.

Необхідність розв'язування рівнянь другої степені, в тому числі й квадратних, у стародавні часи була викликана потребою вирішувати проблеми пов'язані з поділом землі, знаходженням її площі, земельними роботами військового характеру, а також із розвитком таких наук, як математика й астрономія. Квадратні рівняння вміли вирішувати вавилоняни близько 2000 років до н.е. Серед клинописних текстів були знайдені приклади розв'язання неповних, а також часткових випадків повних квадратних рівнянь. Відомо, що їхні методи розв'язання майже збігаються із сучасними, проте невідомо, яким чином вавилоняни дійшли до цих методів: майже на всіх знайдених до цього часу клинописних текстах збереглися лиш вказівки до знаходження коренів рівнянь, але не вказано, як вони були виведені. Однак, не зважаючи на розвинутість математики у ті часи, в цих текстах немає ані найменшої згадки про від'ємні числа і про загальні методи розв'язання рівнянь.

В стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язання повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.

Квадра́тне рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду

де .

Заслугою Вієта було те, що він першим почав позначати буквами не лише невідомі, а й дані величини, тобто коефіцієнти рівнянь. Це дало можливість записувати властивості рівнянь і їх коренів загальними формулами.

Відомі величини та коефіцієнти Вієт позначав приголосними буквами b, с, d, а невідомі голосними а, о, е,...

У житті Вієта був цікавий факт. Під час війни Франції з Іспанією іспанці використовували для свого листування складний шифр, який французи ніяк не могли розгадати. Король Франції Генріх IV звернувся до Вієта з пропозицією розшифрувати іспанські листи. Після наполегливої роботи йому вдалося це зробити. Протягом двох років французи перехоплювали і прочитували таємні листи до іспанського двору. Це давало великі переваги французькому командуванню. Армія Франції завдала ряд поразок армії Іспанії. Іспанці зрозуміли причину своїх невдач і дізналися, хто розшифрував їхній тайнопис. Іспанські інквізитори, які відзначалися особливою жорстокістю, вважали, що людині не під силу розкрити таємницю їхнього шифру, і звинуватили Ф. Вієта в спілкуванні з нечистою силою. Ф. Вієта було засуджено до спалення. На щастя, Генріх IV не видав його інквізиції.

Правило знаходження коренів рівняння, зведеного до вигляду ax2 + bx = c уперше дав індійський вчений Брахмагупта.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Виводом формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Франсуа Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 — 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язання квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

Необхідність розв'язування рівнянь другої степені, в тому числі й квадратних, у стародавні часи була викликана потребою вирішувати проблеми пов'язані з поділом землі, знаходженням її площі, земельними роботами військового характеру, а також із розвитком таких наук, як математика й астрономія. Квадратні рівняння вміли вирішувати вавилоняни близько 2000 років до н.е. Серед клинописних текстів були знайдені приклади розв'язання неповних, а також часткових випадків повних квадратних рівнянь. Відомо, що їхні методи розв'язання майже збігаються із сучасними, проте невідомо, яким чином вавилоняни дійшли до цих методів: майже на всіх знайдених до цього часу клинописних текстах збереглися лиш вказівки до знаходження коренів рівнянь, але не вказано, як вони були виведені. Однак, не зважаючи на розвинутість математики у ті часи, в цих текстах немає ані найменшої згадки про від'ємні числа і про загальні методи розв'язання рівнянь.

В стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язання повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.

Правило знаходження коренів рівняння, зведеного до вигляду ax2 + bx = c уперше дав індійський вчений Брахмагупта.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Виводом формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Франсуа Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 — 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язання квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

Тренер: Перш ніж продовжити тренінг треба ознайомитися з правилами роботи в групах: ( на робочих місцях)

  •  Виконувати завдання вчасно;
  •  Слухати один одного;
  •  Говорити, піднімаючи руку і по суті;
  •  Добровільність.                    
  •  Правило «Усмішка»
  •   Очікування:Тренер ще раз називає тему тренінгу, мету,мотивацію. Учні записують свої очікування на рибках і прикріпляють їх на хвилях річки.

Молодці! Поаплодуємо собі хорошим.

5.Руханка-5хв.

                 Рельсы,рельсы

            Шпалы, шпалы.

            Ехал поезд запоздалый.

           Вдруг посыпались горошки

                         Вышли гуси, пощипали.

                          Вышли куры, поклевали.

                             Вышел слон, потоптал.

                        Вышел дворник, позаметал.

Молодці! Поаплодуємо  собі!

  1.  Основна частина.

Тренер: перед вами  проблема завдання: скласти рівняння до задачі (текст у кожної пари на руках-карточка)

Задача: Перед вами проблема огородити ділянку перед фасадом будинку, що прилягає до стіни.Довжина використаної стінки становить 42м., а площа ділянки яку огородили – 216м2

Яка довжина й ширина ділянки?

(Відповідь на дошці для перевірки: х(42-2х)=216

                                                            42х-2х2=216    

Представник пари коментує введення позначень і розкриття дужок.

Тренер: Чи схоже це рівняння на лінійне?

             Чим не схоже?

              Чи можемо його ми розв’язувати?                  


                 Інформаційне повідомлення

Тренер: Означення квадратного рівняння читаємо в підручнику  (сам.)

Рівняння вигляду ах2+вх+с=0,

                              де х – змінна

                              а, в, с- деякі числа

                                           та а≠0.

  Називають квадратним.

а-називають першим коефіцієнтом;

в-називають другим коефіцієнтом;

с-вільним членом.

(Учні роблять записи в зошитах, сидячи в парах за партами).

Питання для пар:

1-й читає питання

2-й відповідає

  •  Чому означене рівняння називається квадратним?  3х2+4х+5=0
  •  Навіщо накладені обмеження для першого коефіцієнта   а?
  •  Яких значень можуть набувати коефіцієнти?наведи приклади.
  •  Назвіть коефіцієнти  у  квадратному рівнянні і записати у дужці:
  •  а)3х2+8х+6=0;                           б)6х2-3х+10=0

  •  в)-2х2+7х-3=0                              г*)3х-5х2=5

  •  Назвіть квадратне рівняння, якщо

  •  а=4;   в=-8;  с=4;      або     а=-6;  в=15;  с=1    або    а=-3;  в=0;  с=7.

Записи останніх двох завдань зробити в зошитах.

                   Молодці!Дякую.Поаплодуємо собі успішним!

                                         

Тренер: А зараз ми знову розташовуємося колом, щоб об’єднатися для роботи в три групи за назвами квітів: Я-роза, Я- астра, Я-тюльпан.

                 «Астра»:- на плакаті записати складені квадратні рівняння за даними коефіцієнтами.

            а

         1

          -4

        15

        25

            в

         2

           5

         0

        -3

            с

         3

           6

        -4

         0

  1.  й
  2.  й      учасники
  3.  й
  4.  й

«Тюльпан»:             Виписати коефіцієнти квадратних рівнянь.

        а

       в

     с

учасники

2+3х-2=0

    1-й

2х-3х2+7=0

    2-й

2-6х+9=0

    3-й

2+3=0

    4-й

х2-6х=0

    5-й

«Роза»:Записати квадратні рівняння, в яких хоча б один коефіцієнта дорівнювали нулю.

Як їх можна назвати в порівнянні з повним квадратним рівнянням.

                                               ах2+вх+с=0?

Учасники

         а=0

          в=0

      с=0

    в=0   і

  1-й

        

         але

      але

                с=0

   2-й

         с≠0

      в≠0

   3-й

  4-й

Взаємоперевірка  і аналіз помилок «А»→ «Т»

                                                            «Т»→  «Р»

                                                             «Р»→«А»

Тренер; А зараз від кожної групи до ватману запрошуються знавці математики для складання алгоритму розв’язування неповних квадратних рівнянь.(в кінці всі записують в зошит).

Інші учасники груп опрацьовують цей же матеріал з підручником).

З повного квадратного рівняння ах2+вх+с=оскласти не повне і розв’язати його.

                  «А»                                                              «Т»                     «Р»                                                                                                                         

в= о;со

с=о;во

В=о4с=о

ах2= -с

ах2+вх =о

ах2

х2 = -

х (ах+в)=о

х2

Х1,2=  

х=о або ах+в=о

             ах=-в

             ах =-

х2

х1,2=

х=о

Якщо -< О

Відповідь х1=о;

                 х2=-

Відповідь;х=о

Відповідь;х1=

х2=

або коренів немає

Молодці!Поаплодуємо собі!

Руханки;  Ми добре з вами попрацювали, втомилися треба трішечки відпочити і порахуватися.(в колі)

Ах  какая стрекоза   (руками рухи як крилами)

  Как горошины глаза  (масаж очей)      

   Влево  вправо повернулись  (руки на пояс)        

    И друг другу улыбнулись.

                                           

                                                           

                                       Молодці!Поаплодували собі!

3.Практична частина.

Тренер;   Наше робота продовжується, це  були лише квіточки, а щоб отримані знання та навички не розгубити  нам треба машини. Тому об’єднаємося в групи за назвами машин; «Я-Лада»,  «Я-Мерседес», «Я- Тойота», «Я-Волга».

Кожна група матиме завдання практичне розв’язати квадратні рівняння а алгоритм його розв’язування буде пояснювати представник іншої групи;

 (Л-М                      М-Т                            Т-В                               ,В-Л)

№734(1)-            №736(1)                 №738*(1)                       №739*       

             (В зошиті записувати лише рівняння інших груп)

Молодці!

 

Дебати;( «мікрофон»)

Чи достатньо, ми сьогодні вивчили нового, щоб розв’язувати рівняння, що дістали під час розв’язування проблемної задачі?(Ні)

  •  До якого рівняння воно відноситься?(Повне)
  •  Який коефіцієнт дорівнює нулю?(жоден)
  •  Скільки коренів воно може мати?(Не більше двох)

Висновок Значить таке рівняння ми ще не зможемо розв’язати сьогодні. Але уже на слідуючому уроці ми познайомимося з формулами коренів цього повного квадратного рівняння.

IV Заключна частина

Кожен з вас може зараз оцінити на якому рівні ви особисто засвоїли сьогоднішній матеріал. У цьому вам допоможуть тести:

                                                  1-рівень

                                    (Розпізнати та розрізняти)

1.Квадратним рівнянням називається рівняння виду

 

              А)ах+в=с;     В)ах2+вх+с=0    С)ах2+вх.+с=0;  

                                             

                                   Д)ах2+вх2+сх+d=0

2. Коефіцієнти квадратного рівняння мають назву:

                             а-…..   в-…..   с-…… .

3.Неповними квадратними рівняннями є рівняння, коли ………..

4.Неповне квадратне рівняння немає рівняння  коренів,коли

             А)-с/а>0;      В)-с/а<0;     С)-с/а=0   Д)с/а>0.

5.Зведення квадратним рівнянням є

         А)3х2-х+5=0;    В)-х2+2х+4=0;    С)х2-8х-10=0;   Д)4х2+5=0.

                                                2-рівень

1.Які з поданих рівнянь (3бали)

 

                А)11х2=121;    В)х2-3х=0;   С)х2-3х=-11

     - повні квадратні рівняння?...

   - неповні  квадратні рівняння?...

 - мають корені  і    

                                         

  3-рівень

1.Розвязати неповні квадратні рівняння:

  1.  2=7                              А)       В);         С)       Д)
  2.  х2-5х=0                            А)0і5;      В)0і-5;         С)5;     Д)-5

Тренер; Результати  тестів допоможуть кожному зараз визначитися, чи справдилися його очікування. Якщо так, то свою рибку треба помістити в акваріум ближче до дна, якщо не повністю то посередині, якщо дуже мало, або зовсім ні, то поверх води в акваріумі.

Рефлексія

«Мыкрофон»

  •  Що сподобалось під час уроку найбільше?
    •  «Мені сподобалося, що …?»
      •  «Я дізналась, що …?»
      •  «Мене здивувало, що …?»
      •  «Можливо. Було краще, якби …?»

Тренер; Мені найбільше сподобалося, що всі працювали активно, демонстрували взаємодопомогу один одному і взаєморозуміння в групах.

А в результаті одержали такі оцінки.

Записуємо Д/з  п.20. вчити і відповідати на питання;

№735(1,5)                             №737(3,4)                              №789   

А завершити тренінг пропоную вправою

                                      «Імпульс»

Стали в коло.

Починаючи з тренера, передають по колу потиск руки із словами; «Я дякую за роботу собі, сусідам, тренеру».

Тренер;так як ви передавали цей імпульс один одному, щоб і знання,отримані на цьому тренінгу, ви передавали своїм друзям.

А я гадаю що мені вдалося передати кожному з вас прийоми розв’язування неповних квадратних рівнянь.

Оплесками  дякуємо собі за  плідну роботу під час тренінгу.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20143. Контрольные испытания по методу последовательного анализа 392 KB
  Если говорить о испытаниях основанных на обработке некоторого заранее запланированного объема информации то там результат обработки сравнивают с заданным показателем надежности и на основании сравнения делается вывод либо о соответствии либо о несоответствии полученных и требуемых результатов. есть основания считать что изделие удовлетворяет требования по надежности; б прекратить испытания т. есть основания считать что изделие не удовлетворяет требованиям по надежности; в продолжить испытания т. нет основания для вывода по...
20144. Методы исследовательских испытаний на надёжность 27 KB
  для исследования надёжности приборов значение имеют неразрушающие методы испыт: метод акустической эмиссии кот. методы базир. методы базир. методы ультразвук.
20145. Определение оптимального уровня надежности 324.5 KB
  С=СрСпСэ Ср затраты на разработку; Сп затраты на производство; Сэ затраты на эксплуатацию. Из приведенного графика видно что с ростом безотказной работы увеличиваются затраты на эксплуатацию.
20146. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ТОЧНОСТИ 34 KB
  Многообразие направлений рассмотрения вопросов точности измерительных устройств в значительной мере определяющих погрешность измерения можно отнести к трем стадиям: Проектирование Производство Эксплуатация При проектировании осуществляется обеспечение точности при котором решаются прямая или обратная задача теории точности. Задачи теории точности: Прямая задача синтеза выбор структуры устройства определение номинальных значений параметров пределов их допустимых значений номинальных отклонений т. Изучение методов решения прямой и...
20147. Однокоординатные механические приборы, работающие по принципу сравнения со штриховой мерой 125 KB
  Объединяет все штангенприборы единая конструкция отсчетных устройств основанных на применении линейного нониуса. Принцип действия нониуса состоит в совмещении соответствующих штрихов двух линейных шкал интервалы деления которых отличаются на определенную величину. Конструкция нониуса использует то обстоятельство что невооруженный человеческий глаз не способный непосредственно количественно оценивать малые значения несовмещения штрихов в то же время способен фиксировать наличие весьма малых смещений двух штрихов от их симметричного...
20148. Оптико-механические однокоординатные приборы, работающие по принципу сравнения со штриховой мерой 696.5 KB
  Длинномеры Окулярные длинномеры Спилярный окулярный микрометр В спиральном окулярном микрометре вместо микрометрической пары используется спиральная сетка с помощью которой определяются доли интервалов основной шкалы. Отсчетная часть Поток лучей от источника 1 с изображением штрихов основной шкалы 6 проходит объектив 7 проходит неподвижную пластину 8 со шкалой имеющей интервал 01мм. В месте изображения штрихов основной шкалы 6 и неподвижной шкалы 8 круговой шкалы 10 и витков двойной спирали поток лучей попадает в окуляр 11. В эту...
20149. Электрические и оптоэлектронные приборы, работающие по принципу сравнения со штриховой мерой 138.5 KB
  Длинномеры с аналоговым преобразованием. Длинномеры обеспечивают дискретность перемещения порядка 001002 мм за счет электронного интерполирования. Для линейных измерений преимущественное применение находят дифференциальные индуктивные длинномеры. Такие длинномеры содержат уже 2 сердечника 1 и 2 которые смещены относительно друг друга на величину Т 22к1 где к=1234 Тогда при перемещении якоря 3 относительно сердечников полное сопротивление Z и Zкатушек будут изменяться по закону близкому к синусоидальному причем эти зависимости...
20150. Однокоординатные механические приборы, работающие по принципу сравнения с концевой мерой 285 KB
  i=l2 l1 зубчатые головки шаг t=πm радиус R=mz 2 i=z2 z12Rстр mz3 погрешность колеблется 816 мкм. Если растягивать ленточку сечением 8x100 мкм на 1 мкм то стрелка повернётся на 30; если 5x80 мкм то на 70. Стрелочка стеклянная трубочка у основания 60 мкм а у вершины 20 мкм на конце находится стрелочный указатель из алюминиевой фольги. Погрешность приборов: 08 мкм.