57888

Сума перших n членів арифметичної і геометричної прогресій

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Дидактична мета: вивести формулу перших n членів арифметичної та геометричної прогресій; домогтися розуміння та засвоєння формул; сформувати вміння застосовувати формули до розв’язування задач.

Украинкский

2014-04-16

263.5 KB

3 чел.

Алгебра 9 клас.

Тема уроку:

Сума перших n членів арифметичної і геометричної прогресій.

Дидактична мета: вивести формулу перших n членів арифметичної та геометричної прогресій; домогтися розуміння та засвоєння формул; сформувати вміння застосовувати формули до розв’язування задач.

Розвивальна мета: розвивати вміння працювати в групі, розвивати життєво-наочні уявлення про великі числа, оскільки це потрібно для того, щоб уявити конкретні свідомості з географії, біології, історії, фізики, астрономії. З великими числами часто приходиться зустрічатись в повсякденному житті.

Виховна мета: виховувати інтерес до нових знань і прагнення їх набувати.

Обладнання: дошка, крейда, картки для групової роботи учнів, мультимедійний проектор, таблиці (фабричні).

Тип уроку: вивчення нового матеріалу.

Хід уроку.

І. Організаційний момент.

1. Привітання вчителя.

Діти! Я вас хочу бачити розумними, працьовитими, старанними.

Життя вам довгого,

Здоровя доброго,

Щастя безхмарного,

Настрою гарного.

 

2. Учитель роздає картки для виконання інтерактивних вправ «Знайди помилку», «Мікрофон».

3. Відкриває розв’язок домашнього завдання на «секретній дошці».

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Самоперевірка домашнього завдання за допомогою «секретної дошки».

ІІІ. Актуалізація опорних знань з використанням інтерактивних методик.

1) «Знайди помилку!» (Опитування відбувається за допомогою «естафети»: учень, який отримав «паличку з кольоровою кулькою», відповідає і передає наступному учню, якого сам і обирає).

1) an= a1 – (n-1) d                                 4) q = bn+1  bn

2) bn=b1qn+1                                          5) bn =bn-1bn+1

3) d = an+1 + an                                      6) an=

2) «Мікрофон» («Естафета» продовжується.)

● Яку прогресію називають арифметичною?

● Яку прогресію називають геометричною?

● Чому дорівнює будь-який член арифметичної прогресії, крім першого?

● Чому дорівнює будь-який член геометричної прогресії, крім першого?

● Чому дорівнює сума (добуток) двох членів арифметичної та геометричної прогресій?

За вікторину групи отримують бали.

IV. Сприйняття і засвоєння навчального матеріалу (групи сидять за «круглим» столами з табличками).

На екран проектуються задачі і завдання, які потрібно виконати для кожної прогресії. Пропонується вести записи відповідей учнів на розгорнутих сторінках. На лівій сторінці записати: «сума n – перших членів арифметичної прогресії», а на правій сторінці – «сума n – перших членів геометричної прогресії». (Спочатку учні виконують всю роботу на дошці і в зошитах для арифметичної, а потім для геометричної прогресії).

(Завдання для лівої сторінки).

Задача. Знайти суму натуральних чисел від 1 до 100.

З обчисленням суми членів арифметичної прогресії повязана така цікава історія. У відомого німецького математика Карла Гауса (17771875р) ще в школі помітили зразкові математичні здібності. Якось учитель запропонував знайти суму натуральних чисел від 1 до 100; думав, що учні довго будуть додавати 100 чисел. Тільки вчитель закінчив читати умову, як маленький Гаус підняв руку: «Готово!». Весь клас був здивований швидкістю, з якою він порахував. Як рахував Гаус?

Завдання.

  1.  Спробуйте ви виконати усно.
  2.  Запишіть арифметичну прогресію від 1 до 100.
  3.  Запишіть шукану суму двома способами.
  4.  Додайте отримані рівності і знайдіть суму чисел від 1 до 100.
  5.  Запишіть в загальному вигляді скінчену арифметичну прогресію.
  6.  Користуючись ідеєю попередньої задачі запишіть суму двома способами.
  7.  Додайте отримані рівності і знайдіть Sn.
  8.  Підставте до цієї формули замість an вираз a1+d(n1).
  9.  Коли зручно користуватись першою формулою, коли другою?

(Завдання для правої сторінки).

Задача. Одного разу незнайомець постукав у вікно до багатого купця і запропонував таку угоду: «Я буду кожного дня протягом 30 днів приносити тобі по 100.000 крб., а ти мені першого дня за 100.000 крб. даси 1коп., другого дня за 100.000 крб. – 2 коп. і так кожного дня будеш збільшувати винагороду в 2 рази. Якщо ти зацікавився цією угодою, то з завтрашнього дня почнемо». Купець зрадів такій пропозиції розбагатіти. Він підрахував, що за 30 днів отримає від незнайомця 3.000.000 крб.. Наступного дня пішли вони до нотаріуса і підписали угоду. Виникла проблемна ситуація. Хто в цій угоді програв: купець чи незнайомець?

Легенда про шахову дошку.

Шахова дошка була винайдена в Індії і коли індуський цар побачив її, то захопився різноманітністю можливих у ній комбінацій. Він захотів щедро нагородити винахідника.

Винахідник, його звали Сета, з’явився до повелителя.

– Назви сам нагороду, – запропонував йому Шерам.

– Накажи видати мені за першу клітинку шахової дошки 1 пшеничне зерня, за другу – 2 зерня, за третю – 4, за четверту – 8, …. Скільки повинен видати Шерам пшеничного зерня Сету за 64 квадрата шахової дошки?

Завдання.

  1.  Запишіть чому дорівнює b1, q, n?
  2.  Запишіть геометричну прогресію.
  3.  Знайдіть суму її членів S64.
  4.  Обидві частини рівності помножте на 2.
  5.  Знайдіть різницю 2S64 – S64 (тобто S64).
  6.  Запишіть розрахунок зерна за 64 клітинки шахової дошки

    18      446     744    073       709        551     615

  1.  Запишіть в загальному вигляді скінчену геометричну прогресію.
  2.  Користуючись прийомом попередньої задачі запишіть її суму; та помножте обидві частини рівності на q.
  3.  Знайдіть різницю SnqSn (тобто Sn).
  4.   Замість bn в формулу підставте вираз  b1 qn-1.
  5.   Коли зручно користуватись першою формулою, а коли другою?

У вигляді гри учням пропонується задача, яка має життєві факти, але при розв’язанні якої виникла потреба вивести нову формулу. Сума n членів геометричної прогресії.

Учитель пропонує розвязати задачу.

Учні складають послідовність чисел 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256.

Переконуються, що і числа утворюють геометричну прогресію з знаменником q=2, першим членом а1=1 та кількістю членів n=30. Більшість учнів намагається скласти всю послідовність, щоб потім знайти всю суму.

Але бачать, що це дуже довго. І звертаються до вчителя: «Чи можна вивести формулу суми n членів геометричної прогресії?».

Вчитель відповідає, що можна і при цьому посилює проблемність, розповідаючи старовинну легенду: кількість зерен, про які йде мова є сума шістдесяти чотирьох членів геометричної прогресії, b1=1, q=2, n=64.

(Під керівництвом вчителя учні знаходять S64).

(Записи відповідей учнів, яких по черзі викликають до дошки від кожної групи.)

1.

1+2+3=4+5+6+…+99+100=? 

1.

b1=1,   q=2,    n=64

2.

1; 2; 3; 4; 5; … 99; 100

2.

1; 2; 22; 23;…; 264, 263

3.

S100=1+2+3+…+98+99+100

+

S100=100+99+98+…+3+2+1

3.

S64=1+2+22+…+262+263

4.

2S100=101+101+101+…+101

+101+101

+2S100= 101∙100

S100  =  = 5050

1+2+3+4+…+99+100=5050

4.

2S64=2+22+23+…+262+263+264

5.

а1; а2; а3;…;аn

5.

2S64=2+22+23+…+263+264

 

S64=1 + 2 + 22 + 23 + …  +263

2S64 –S64=-1+0+0+0+…+0+264

S64=264  1

6.

Sn =а1 + а2+ а3+…+аn 

+

Snn + аn-1+ аn-2+…+а1

6.

18квантиліонів446квадриліонів744триліони073мільярда 709мільонів551тисяча615

Математики порахували, що все зерно буде мати вагу 700 мільярдів тон. Багатий Раджа був приголомшений, коли дізнався, що він не в змозі задовольнити скромне бажання мудреця. Переконуємося, що Раджа програв.

7.

2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+...

+(an+a1)

(a1+an) = (a2+an-1) = (a3+an-2) =…

2Sn= (a1+an)∙n

            (1)

7.

b1; b2; d3;; bn-1;  bn

8.

an=a1 d(n-1)

Sn=∙n =  ∙ n

(2)

8.

Sn= b1+b2+b3+…+bn-1+bn

Sn q=b1q+b2q+b3q+…+bn-1q+bnq

9.

Sn q=b2+b3+…+bn+bnq

 

Sn=b1 + b2 + b3 +…+ bn-1+  bn   

Sn qSn= –b1+0+0+…+0+  bnq

Sn (q – 1)=bnq - b1

(1) 

10

bn= b1 qn-1 

Sn== =  )

(2)

Підводяться підсумки роботи в групах другого етапу гри.

V. Закріплення вивченого матеріалу.

Гра «Математичне лото».

Для підготовки гри необхідно виготовити дві групи однакових за розміром карток. На картці №1 записані завдання.

Група 1.

Чому дорівнює сума семи перших членів арифметичної прогресії (an). Якщо а1 = 9 і а7 = 15?

Обчисліть суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії 8; 6; 4;…

Знайти суму перших шести членів геометричної прогресії (bn), в якій b1= –3; q=2.

Знайти суму п’яти перших членів геометричної прогресії (bn): 3; 6; 12;…

На картці №2 (це може бути листівка) записати відповіді до завдань. Відповіді розташовують у зворотному порядку до порядку відповідних завдань.

84

189

220

33

Група 2.

Чому дорівнює сума шести перших членів арифметичної прогресії (an), якщо а1 =19 і а6 = 14?

Обчисліть суму восьми перших членів арифметичної прогресії 23;   20;…

Знайти суму перших чотирьох  членів геометричної прогресії (bn), в якій b1= 0,5; q=2

Знайти суму перших п’яти  членів геометричної прогресії (bn): ; ; ;…

99

88

7,5

Група 3.

Чому дорівнює сума шістдесяти перших членів арифметичної прогресії (an). Якщо а1 = 3 і а60 = 57?

Обчисліть суму перших десяти членів арифметичної прогресії  3; 9; 15;…

Знайти суму перших п’яти членів геометричної прогресії  (bn), в якій b1= 8; q=2.

Знайти суму п’яти перших членів геометричної прогресії  (bn): 0,2; 0,6; 1,8;…

1800

300

243

72,6

Картку №2 розрізняють на прямокутники та переміщують їх. Для гри кожна група отримує картку №1 і всі фрагменти розрізаної картки №2 з відповідями.

Виконавши завдання, учні групи закривають його на картці №1 прямокутником з відповідною відповіддю (рисунком догори). Якщо група правильно виконала завдання, то вона відповідно склала і рисунок.

Група, якій вдалося скласти рисунок першій, отримує 4 бали, другою 3 бали, третьою 2бали. 

Самоперевірка (розв’язання з відповідями проектуються на екран. У процесі перевірки розбираються запитання, які виникли під час виконання завдань).

V. Підсумок уроку.

1. Слово вчителя: Наскільки я бачу: всі групи впоралися з завданнями і виявили достатній рівень знань з нової теми. Мені ваша робота сподобалась. Я вам бажаю якомога швидшого опанування знаннями з даної теми.

2. “Мікрофон”

● Якими знаннями, уміннями збагатив вас цей урок?

● Які пізнавальні процеси були задіяні під час уроку найбільше (мислення, пам’ять, увага)?

● Чи отримали ви задоволення від власної праці?

● Охарактеризуйте свій емоційний стан протягом уроку (хвилювались, боялись, дивувались, зосереджувались) та наприкінці уроку (задоволені, виснажені, впевнені, раді, успішні).

3.Оцінювання.

Проводиться підсумкове оцінювання роботи в групах, яка на І місці, яка на ІІ, яка на ІІІ.

VI. Домашнє завдання.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20040. Фрикционные механизмы. Классификация.Расчет 33.5 KB
  К ним относятся фрикционные передачи фрикционные муфты тормозные регуляторы тормоза фиксаторы замедлители и т. В зависимости от расположения осей различают передачи с параллельными и пересекающимися осями. Передачи со скрещивающимися осями используются крайне редко в связи с повышенным износом. По взаимному расположению поверхностей трения существуют передачи с внешним и внутренним контактом.
20041. Опоры вращения с трением качения. Опоры с малым моментом трения 1.29 MB
  Опоры с малым моментом трения. Опоры на ножах Опора состоит из ножа 1 контактирующего с подшипником – подушкой 2. В любом варианте опоры этого типа представляют собой контакт двух цилиндрических поверхностей максимальный угол поворота 10 момент трения минимальный. Опоры на кернах Опора на керне состоит из цапфы конической формы на конце которой выполнена сферическая полированная поверхность радиусом 01 – 015 мм и подшипника с вогнутой сферической поверхностью с радиусом =4 – 12 .
20042. Направляющие прямолинейного движения с трением скольжения 1.8 MB
  Для обеспечения поступательного движения одной детали относительно другой применяют направляющие. Требования к направляющим: надёжность технологичность невысокая стоимость Направляющие с трением скольжения просты в изготовлении имеют небольшие габаритные размеры но чувствительны к изменению температуры и уступают направляющим с трением качения в плавности и лёгкости хода. По конструктивному признаку различают: цилиндрические призматические направляющие. Цилиндрические направляющие наиболее просты в изготовлении но в них трудно...
20043. Направляющие прямолинейного движения с трением качения 1.21 MB
  По форме используемых тел качения различают направляющие на шариках и на роликах. При этом в качестве роликов могут быть использованы стандартные подшипники качения. В зависимости от способа установки различают направляющие с перекатывающимися и вращающимися вокруг своей оси телами качения.
20044. Конструирование механически обрабатываемых деталей 85.5 KB
  Рекомендуется уменьшать количество металла, снимаемого при обработке (в первую очередь это касается отливок); По возможности рекомендуется отказываться от обработки деталей со снятием стружки, переходить на штамповку, вытяжку, гибку;
20045. ОТДЕЛОЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ ОБРАБОТКИ ВАЛОВ. СУПЕРФИНИШИРОВАНИЕ. ПРИТИРКА. ПОЛИРОВАНИЕ. НАКАТЫВАНИЕ РИФЛЕНИЙ 481 KB
  Отделочная обработка группа заключительных финишных операций обработки металлов в результате которых достигается высокая точность размеров и формы деталей и улучшается качество поверхности. Также находят применение такие методы как вальцевание калибровка обкатка и раскатка роликами и шариками дробеструйная обработка в результате которых уменьшается шероховатость поверхности и происходит её упрочнение изза поверхностной пластической деформации. Абразивные бруски пружинами прижимаются к поверхности детали с определенным удельным...
20046. Изготовление втулок. Классификация и заготовки. Последовательность выполнения операций при изготовлении точных втулок. Изготовление втулок на токарно-револьверных станках 27 KB
  Механическую обработку точных втулок осуществляют следующим образом: 1 предварительная токарная обработка вспомогательных и посадочных поверхностей 2 Окончательная токарная обработка посадочных цилиндрических поверхностей 3 обработка вспомогательных поверхностей пазов лысок фасонных поверхностей 4 Отделочная обработка посадочных поверхностей 5 нанесение покрытий. Зенкерование – обработка отверстий под последующее растачивание или развертывание. Возможна обработка сквозных и глухих отверстий с припускомдо 6мм на d. Обработка...
20047. Основные этапы обработки корпусных деталей. Обработка основных отверстий корпусных деталей. Обработка крепежных отверстий 27 KB
  Обработка основных отверстий корпусных деталей. Обработка крепежных отверстий. Для корпусных деталей характерно наличие точных и протяженных плоскостей и точных отверстий. Технологический процесс изготовления состоит из след этапов: 1 получение заготовки 2 термическая обработка 3 механическая обработка 4 изготовление основных отверстий 5 изготовление крепежных отверстий 6 изготовление уступов канавок углублений 7 снятие заусенцев и покрытие.
20048. Нарезание зубчатых колес методом копирования 48.5 KB
  Метод копирования заключается в том что профиль зуба инструмента соответствует профилю впадины колеса. Колеса нарезают на универсальнофрезерных станках. Сущность: Долбятся одновременно все впадины колеса.