57889

Урок-ділова гра на тему: Похідна та її застосування

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Нехай функція u = ut відображає кількість виробленої продукції u за час t і необхідно знайти продуктивність праці в момент часу t0. За період часу від t0 до t0Δt кількість виробленої продукції зміниться від значення u0 = uto до значення u0 Δu = ut0Δt.

Украинкский

2014-04-16

345 KB

33 чел.

Міністерство освіти і науки України

Відділ освіти Козелецької райдержадміністрації

Чернігівської області

Методична розробка

Урок - ділова гра

на тему: «Похідна та її застосування»

                                             

                                               вчителя математики

                                             Остерської гімназії

Шостак Лариси Федорівни

м. Остер

КОМПАНІЯ

МОБІЛЬНОГО

ЗВ'ЯЗКУ

«LIMES»

РОЗШИРЮЄМ

ГРАНИЦІ

СПІЛКУВАННЯ

Урок - ділова гра

на тему: «Похідна та її застосування».

Мета уроку: систематизувати й узагальнити теоретичні знання;

формувати вміння та навички  застосовувати набуті знання для розв’язування прикладних задач; активізувати пізнавальну діяльність, розвивати креативне мислення;

показати актуальність математики в бізнесовій сфері як шлях до майбутньої професійної діяльності.

Тип уроку: урок-гра.

Форма роботи: групова.

Обладнання: компютер, діапроектор, екран.

ХІД УРОКУ.

  1.  Слово вчителя: Процеси і явища, що відбуваються в світі, тісно переплітаються. Найрізноманітніші науки, що вивчають ці процеси і явища, пов’язані одна з одною і з математикою, завдяки використанню математичних методів дослідження, які неможливі без теоретичних знань математики, її фундаментальних понять та формул.

З метою узагальнення і систематизації знань з теми «Похідна та її застосування» ми проведемо нетрадиційний урок, урок - ділова гра. Уявімо себе працівниками компанії мобільного зв’язку «Limes», слоганом діяльності якої є вислів «Розширюємо границі спілкування». На уроці ми продемонструємо не тільки знання з математики, а й уміння застосовувати набуті знання на практиці під час розгляду ситуативних завдань. Також ми переконаємось ще раз в прикладній спрямованості математики, її зв’язком з виробництвом. Покажемо актуальність математики в сфері бізнесу та можливої професійної діяльності в майбутньому.

Першим етапом ділової зустрічі є засідання ради директорів, яке відбудеться за участі:

  •  директора відділу з розвитку та стратегічного планування;
  •  директора відділу економіки;
  •  директора відділу маркетингу;
  •  директора відділу фінансів.

Директори підготували презентації про результати своєї діяльності. Надамо їм слово.

  1.  Виступи директорів.
  2.  Операція «Мозковий штурм». Відділи обмінюються запитаннями та інформацією (повторення теоретичного матеріалу: означення похідної, її геометричний та механічний зміст, правила обчислення похідних, таблиця похідних елементарних функцій).
  3.  Практикум з розв’язування практичних задач (робота у відділах). Кожен відділ одержує своє завдання, розв’язки задач записуються учнями маркером на ватмані.
  4.  Захист виконаної роботи, коментарі, пояснення, обґрунтування.
  5.  Підсумок уроку.

Слово вчителя: сьогодні на уроці ми переконалися в тісному зв’язку математики з підприємницькою діяльністю. Ви відчули себе учасниками виробничої сфери і, я думаю, це допоможе вам у виборі професії. Ми повторили і опрацювали масу теоретичного та практичного матеріалу і хай вашим життєвим кредо будуть слова Давида Файєрмарка: «Бачить той, хто дивиться. Перемагає той, хто знає».

Директор з маркетингу

Я хочу вам доповісти про вплив похідної в різних сферах діяльності. Розглянемо задачу про продуктивність праці.

Нехай функція u = u(t) відображає кількість виробленої продукції u за час t і необхідно знайти продуктивність праці в момент часу t0. За період часу від t0 до t0t  кількість виробленої продукції зміниться від значення u0 = u(to) до значення         u0 + Δu = u(t0t). Тоді середня продуктивність праці за цей період часу:

Продуктивність праці в момент часу t0 можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від t0 до t0+Δt, при умові, що Δt0, тобто

Таким чином, продуктивність праці є похідна від обсягу виробленої продукції за певний період часу.

Математичні засоби дослідження деяких проблем економіки, зокрема аналізу і прогнозу попиту, обсягу виробництва, витрат і т.д. основані на понятті маржиналізм — граничний (marginal — франц.). Основні маржиналістські концепції - гранична корисність, гранична продуктивність, гранична ефективність капіталу. Це питання з розряду областей прикладної математики.

Директор з економіки

Розглянемо поняття, яке ілюструє економічний зміст похідної. Витрати виробництва будемо розглядати як функцію кількості продукції X, що виробляється.

Нехай ΔХ - приріст продукції, тоді ΔY — приріст витрат виробництва  —  середній приріст витрат виробництва на одиницю продукції.

Похідна  — виражає граничні витрати виробництва і наближено характеризує додаткові витрати на виробництво одиниці додаткової продукції. Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількості продукції, що випускається) X і визначаються не постійними виробничими витратами, а лиш змінними (на сировину, паливо та ін.). Аналогічним чином можуть бути визначені гранична виручка, граничний прибуток, граничний продукт, гранична корисність, гранична продуктивність та інші граничні величини. Застосування диференційного числення для дослідження економічних об'єктів та процесів на основі аналізу граничних величин дістало назву граничного аналізу. Граничні величини характеризують процес зміни економічного об'єкта.

Похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного процесу за певний проміжок часу.

Фінансовий директор

Я хочу в якості прикладу розглянути співвідношення між середнім та граничним прибуток в умовах монопольного та конкурентного ринків.

Сумарний прибуток (виручка) від реалізації продукції г можна визначити як добуток ціни одиниці продукції р на кількість продукції q , тобто

г=pq

В умовах монополії одна або декілька фірм повністю контролюють пропозицію певної продукції, а отже і її ціну. При цьому із збільшенням ціни попит на продукцію падає.

Вважаю, що цей процес проходить по прямій, тобто крива попиту P(q) є лінійна спадна функція:

P=aq+b, де а<0, b>0.

Звідси сумарний прибуток від реалізованої продукції складає

r=(aq+b)q=aq2+bq.

В цьому випадку середній прибуток на одиницю продукції

а граничний прибуток, тобто додатковий прибуток від реалізації одиниці додаткової продукції складатиме:

r'(q)=2aq+b.

Звідси в умовах монопольного ринку зі зростанням кількості реалізованої продукції граничний прибуток зменшується, внаслідок чого відбувається зменшення середнього прибутку.

В умовах ринку вільної конкуренції, на відміну від монопольного ринку, середній та граничний прибутки збігаються.

Для дослідження економічних процесів та вирішення інших прикладних задач використовується поняття еластичності функції.

Еластичністю функції  Е(х) називається границя відношення відносного приросту функції у до відносного приросту аргументу х, при Δх→0.

Це знову ж таки похідна і геометричний зміст еластичності нагадує геометричний зміст похідної - це тангенс кута, який утворює дотична до кривої в даній точці з додатним напрямком осі ОХ.

Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та пропозиції.

Директор з розвитку і стратегічного планування

Я доповім вам про дослідження в сфері диференціалу.

Похідна - диференціал (Differential - латинською різниця).

Дійсно, похідною називається границя різницевого відношення приросту функції до приросту аргументу, за умови, що приріст аргументу прямує до 0.

Термін “границя” і відповідний символ lim (латинське limes - границя) вперше був введений англійським математиком і механіком Ісааком Ньютоном (1643-1727р.)

Відкриттю похідної і основ диференціального числення передували роботи французького математика Пєра Ферма (1601-1665). Далі продовжували розвивати теорію Декарт, Лейбніц, Ньютон, Ейлер, Лагранж. Позначення похідної у' і f '(x) ввів французький математик Лагранж.

Ейлер перший почав використовувати грецьку букву Δ для позначення приросту аргументу Δх = х21, і приросту функції Δу = у21.

Найпростіші диференціальні рівняння з'являються в працях Ньютона і Лейбніца.

Саме Лейбніцу належить термін “диференціальне рівняння”. Диференціальні рівняння мають велике значення в прикладній математиці. Вони є знаряддям дослідження багатьох задач в механіці, хімії та інших науках.

Рене Декарт висловив таку думку: «Усе навколо нас відбувається математичним шляхом». Вивчивши тему «Похідна. Застосування похідної» ми переконались, що Рене Декарт був правий.


Завдання для працівників відділу фінансів

  1.  Залежність між витратами виробництва у і обсягом продукції х, що випускається, визначається функцією:

У=50 х2 - 0,05х (грошових одиниць)

Визначити граничні витрати за умови, що обсяг продукції-100 од.

  1.  Складіть і розв’яжіть рівняння:

              a) f(x) = f'(-2),                                    б)   f'(x) = f(x)-2x,                            

                 якщо  ;                          якщо  .                    

    

  1.  Складіть і розв’яжіть нерівність

а) f(x)=x4-4x2

 

  1.  Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції

 

в точці з ординатою -1.

Завдання для працівників відділу маркетингу

  1.  Обсяг виробленої продукції змінюється за законом

U(t)=t3-2t2+5

Знайти продуктивність праці протягом однієї декади.

  1.  Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції

f(x)в точці х0, якщо:

    f(x) = 2 1)(x3 + х), х0 = -1; 

3. Знайдіть похідні функцій:

а)f(x) = 5- ;  б) f(x) = ( + 1)х3.  

 

4.     Тіло масою m кг рухається за законом x(t) — в метрах t в секундах). Знайдіть силу, яка діє на тіло в момент часу t0, якщо

m= -3,  t0= 2,

х(t) = 0,25t4 +  t3-7t + 2.


Завдання для працівників відділу економіки

  1.  Знайдіть тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції f(x)

в точці х0 :

а) f(x) = Зх2 - 12х + 5,  х0 = -1;   

б) f(x) = 4соs x +х, х0 =.

  1.  Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) в точці х0 :

f(x) = , x0 = 2.  

  1.  Матеріальна точка рухається за законом

x(t) = t4- 4t3 + 12t2 -3 

(xв метрах, t в секундах).

Визначте швидкість точки в момент, коли її прискорення мінімальне.

  1.  Пряма проходить через точки

А(-4;-2) і 5(0; 1).

Визначте, в якій точці вона дотикається до графіка функції

                                                     

Завдання

для працівників відділу розвитку та стратегічного планування

1. Знайдіть приріст функції:

а) f(x) = 2х-3,                                   б) f(x) = х2 + 2,

якщо х0 = 1, Δх = 0,2;                                якщо х0 = -2, Δх = 0,01.

2.Користуючись означенням, знайдіть похідну функції f(x) в точці x0:

f(x) = -х, х0=2; 

3. Користуючись означенням, знайдіть похідну  функції f(x) в кожній точці D(f): 

а) у =; 

б) f(x) = -7.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77353. ОДИН ПОДХОД К ВЫЧИСЛЕНИЯМ ПО ЗАПРОСУ 33.5 KB
  Проект содержит в себе способ запуска программы перечень входных данных способ их передачи к программе способ сбора результатов вычисления. В данном подходе среда может автоматически решить задачу построения графического интерфейса создав его по описанию входных и выходных данных. Также автоматизируется: передача данных между интерфейсом и программой учет пользователей запусков и результатов контроль ресурсов. Методы распределённых вычислений на основе модели потока данных.
77354. On practice of views design in computer visualization systems 13.5 KB
  For correct nd effective visul representtion it is necessry to understnd ccurtely wht sttes nd fetures of the given object re under interest becuse representtion of fetures sttes nd chnges of sttes there is primry gol of visuliztion. View one my define s the...
77355. ONE APPROACH TO COMPUTING ON DEMAND 26.5 KB
  Consider sitution when we wnt to provide remote ccess to such progrm using the grphicl interfce. It is not esy for mthemticin to upgrde his progrm to the scenrio described bove. This project contins description how to run the progrm list of input dt wy to trnsfer it to the progrm nd the wy to collect the results.
77356. Описание параллельных вычислений при помощи замыканий 35 KB
  Переменная n из множества NMES принимает значение истина только в том случае когда вычислен блок данных с именем являющимся и именем n. Для вычисления в функцию F передаются 1 список аргументов RGS 2 битовый вектор со значениями переменных NMES и 3 вычисленные блоки данных имена которых совпадают с именами переменных из...
77357. ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФЕНОМЕНА ПРИСУТСТВИЯ В ВИРТУАЛЬНОЙ СРЕДЕ 103 KB
  Цель данной работы определить круг основных понятий связанных с человеческим фактором в контексте виртуальной реальности. В литературе приводятся такие понятия как виртуальная реальность среда виртуальной реальности виртуальная среда иммерсивная виртуальная среда присутствие англ.
77358. О реальности автоматизации отладки счетных программ 26.5 KB
  Современные отладчики позволяя осуществлять мониторинг по ходу исполнения программы помогают в локализации ошибок. Для таких систем нужна эталонная программа или эталонный запуск сохраняющий информацию о ходе выполнения программы. В частности о неправильности может сигнализировать сбой программы типа деления на ноль некорректного обращения к памяти или срабатывания ssertусловия. В случае плавающей ошибки анализируя выдачи программы при разных запусках можно попытаться обнаружить отличающиеся значения.
77359. Средства визуальной поддержки процесса распараллеливания последовательных программ 187 KB
  Одной из важных задач поддержки и организации супервычислений является задача распараллеливания огромных объемов прокладных программ, созданных в предшествующую эпоху для последовательных ЭВМ. Эти программы успешно решали задачи математической физики, моделирования химических процессов, небесной механики и др. После появления современных параллельных вычислителей с 1000 и 10 000 процессоров встает проблема превращения надежных и проверенных кодов в эффективные и мобильные параллельные программы.
77360. Параллельный рендеринг воксельной графики 27.5 KB
  В данной статье описывается разработка средств распараллеливание воксельной графики используемой для представления больших объемов данных получаемых в результате компьютерного моделирования сложных процессов. Обычно данных представляются в виде 3х мерного массива. Затем вычисляется ближайшая точка пересечения этого луча с областью данных параллелограммом. После этого алгоритм движется по трёхмерному массиву данных с шагом в одну ячейку до попадания в не пустую точку.
77361. Вопросы выбора архитектуры интерактивного взаимодействия с параллельными программами 120 KB
  озможность интерактивного взаимодействия с суперкомпьютерной программой при проведении расчётов по сравнению с пакетной обработкой задач может существенно повысить эффективность труда исследователя. Однако организация такого взаимодействия сопряжена с рядом трудностей связанных с устоявшейся методикой программирования и проведения расчётов. Один из ключевых моментов построения такого взаимодействия выбор правил и принципов построения связи со счетными программами.