57889

Урок-ділова гра на тему: Похідна та її застосування

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Нехай функція u = ut відображає кількість виробленої продукції u за час t і необхідно знайти продуктивність праці в момент часу t0. За період часу від t0 до t0Δt кількість виробленої продукції зміниться від значення u0 = uto до значення u0 Δu = ut0Δt.

Украинкский

2014-04-16

345 KB

32 чел.

Міністерство освіти і науки України

Відділ освіти Козелецької райдержадміністрації

Чернігівської області

Методична розробка

Урок - ділова гра

на тему: «Похідна та її застосування»

                                             

                                               вчителя математики

                                             Остерської гімназії

Шостак Лариси Федорівни

м. Остер

КОМПАНІЯ

МОБІЛЬНОГО

ЗВ'ЯЗКУ

«LIMES»

РОЗШИРЮЄМ

ГРАНИЦІ

СПІЛКУВАННЯ

Урок - ділова гра

на тему: «Похідна та її застосування».

Мета уроку: систематизувати й узагальнити теоретичні знання;

формувати вміння та навички  застосовувати набуті знання для розв’язування прикладних задач; активізувати пізнавальну діяльність, розвивати креативне мислення;

показати актуальність математики в бізнесовій сфері як шлях до майбутньої професійної діяльності.

Тип уроку: урок-гра.

Форма роботи: групова.

Обладнання: компютер, діапроектор, екран.

ХІД УРОКУ.

  1.  Слово вчителя: Процеси і явища, що відбуваються в світі, тісно переплітаються. Найрізноманітніші науки, що вивчають ці процеси і явища, пов’язані одна з одною і з математикою, завдяки використанню математичних методів дослідження, які неможливі без теоретичних знань математики, її фундаментальних понять та формул.

З метою узагальнення і систематизації знань з теми «Похідна та її застосування» ми проведемо нетрадиційний урок, урок - ділова гра. Уявімо себе працівниками компанії мобільного зв’язку «Limes», слоганом діяльності якої є вислів «Розширюємо границі спілкування». На уроці ми продемонструємо не тільки знання з математики, а й уміння застосовувати набуті знання на практиці під час розгляду ситуативних завдань. Також ми переконаємось ще раз в прикладній спрямованості математики, її зв’язком з виробництвом. Покажемо актуальність математики в сфері бізнесу та можливої професійної діяльності в майбутньому.

Першим етапом ділової зустрічі є засідання ради директорів, яке відбудеться за участі:

  •  директора відділу з розвитку та стратегічного планування;
  •  директора відділу економіки;
  •  директора відділу маркетингу;
  •  директора відділу фінансів.

Директори підготували презентації про результати своєї діяльності. Надамо їм слово.

  1.  Виступи директорів.
  2.  Операція «Мозковий штурм». Відділи обмінюються запитаннями та інформацією (повторення теоретичного матеріалу: означення похідної, її геометричний та механічний зміст, правила обчислення похідних, таблиця похідних елементарних функцій).
  3.  Практикум з розв’язування практичних задач (робота у відділах). Кожен відділ одержує своє завдання, розв’язки задач записуються учнями маркером на ватмані.
  4.  Захист виконаної роботи, коментарі, пояснення, обґрунтування.
  5.  Підсумок уроку.

Слово вчителя: сьогодні на уроці ми переконалися в тісному зв’язку математики з підприємницькою діяльністю. Ви відчули себе учасниками виробничої сфери і, я думаю, це допоможе вам у виборі професії. Ми повторили і опрацювали масу теоретичного та практичного матеріалу і хай вашим життєвим кредо будуть слова Давида Файєрмарка: «Бачить той, хто дивиться. Перемагає той, хто знає».

Директор з маркетингу

Я хочу вам доповісти про вплив похідної в різних сферах діяльності. Розглянемо задачу про продуктивність праці.

Нехай функція u = u(t) відображає кількість виробленої продукції u за час t і необхідно знайти продуктивність праці в момент часу t0. За період часу від t0 до t0t  кількість виробленої продукції зміниться від значення u0 = u(to) до значення         u0 + Δu = u(t0t). Тоді середня продуктивність праці за цей період часу:

Продуктивність праці в момент часу t0 можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від t0 до t0+Δt, при умові, що Δt0, тобто

Таким чином, продуктивність праці є похідна від обсягу виробленої продукції за певний період часу.

Математичні засоби дослідження деяких проблем економіки, зокрема аналізу і прогнозу попиту, обсягу виробництва, витрат і т.д. основані на понятті маржиналізм — граничний (marginal — франц.). Основні маржиналістські концепції - гранична корисність, гранична продуктивність, гранична ефективність капіталу. Це питання з розряду областей прикладної математики.

Директор з економіки

Розглянемо поняття, яке ілюструє економічний зміст похідної. Витрати виробництва будемо розглядати як функцію кількості продукції X, що виробляється.

Нехай ΔХ - приріст продукції, тоді ΔY — приріст витрат виробництва  —  середній приріст витрат виробництва на одиницю продукції.

Похідна  — виражає граничні витрати виробництва і наближено характеризує додаткові витрати на виробництво одиниці додаткової продукції. Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількості продукції, що випускається) X і визначаються не постійними виробничими витратами, а лиш змінними (на сировину, паливо та ін.). Аналогічним чином можуть бути визначені гранична виручка, граничний прибуток, граничний продукт, гранична корисність, гранична продуктивність та інші граничні величини. Застосування диференційного числення для дослідження економічних об'єктів та процесів на основі аналізу граничних величин дістало назву граничного аналізу. Граничні величини характеризують процес зміни економічного об'єкта.

Похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного процесу за певний проміжок часу.

Фінансовий директор

Я хочу в якості прикладу розглянути співвідношення між середнім та граничним прибуток в умовах монопольного та конкурентного ринків.

Сумарний прибуток (виручка) від реалізації продукції г можна визначити як добуток ціни одиниці продукції р на кількість продукції q , тобто

г=pq

В умовах монополії одна або декілька фірм повністю контролюють пропозицію певної продукції, а отже і її ціну. При цьому із збільшенням ціни попит на продукцію падає.

Вважаю, що цей процес проходить по прямій, тобто крива попиту P(q) є лінійна спадна функція:

P=aq+b, де а<0, b>0.

Звідси сумарний прибуток від реалізованої продукції складає

r=(aq+b)q=aq2+bq.

В цьому випадку середній прибуток на одиницю продукції

а граничний прибуток, тобто додатковий прибуток від реалізації одиниці додаткової продукції складатиме:

r'(q)=2aq+b.

Звідси в умовах монопольного ринку зі зростанням кількості реалізованої продукції граничний прибуток зменшується, внаслідок чого відбувається зменшення середнього прибутку.

В умовах ринку вільної конкуренції, на відміну від монопольного ринку, середній та граничний прибутки збігаються.

Для дослідження економічних процесів та вирішення інших прикладних задач використовується поняття еластичності функції.

Еластичністю функції  Е(х) називається границя відношення відносного приросту функції у до відносного приросту аргументу х, при Δх→0.

Це знову ж таки похідна і геометричний зміст еластичності нагадує геометричний зміст похідної - це тангенс кута, який утворює дотична до кривої в даній точці з додатним напрямком осі ОХ.

Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та пропозиції.

Директор з розвитку і стратегічного планування

Я доповім вам про дослідження в сфері диференціалу.

Похідна - диференціал (Differential - латинською різниця).

Дійсно, похідною називається границя різницевого відношення приросту функції до приросту аргументу, за умови, що приріст аргументу прямує до 0.

Термін “границя” і відповідний символ lim (латинське limes - границя) вперше був введений англійським математиком і механіком Ісааком Ньютоном (1643-1727р.)

Відкриттю похідної і основ диференціального числення передували роботи французького математика Пєра Ферма (1601-1665). Далі продовжували розвивати теорію Декарт, Лейбніц, Ньютон, Ейлер, Лагранж. Позначення похідної у' і f '(x) ввів французький математик Лагранж.

Ейлер перший почав використовувати грецьку букву Δ для позначення приросту аргументу Δх = х21, і приросту функції Δу = у21.

Найпростіші диференціальні рівняння з'являються в працях Ньютона і Лейбніца.

Саме Лейбніцу належить термін “диференціальне рівняння”. Диференціальні рівняння мають велике значення в прикладній математиці. Вони є знаряддям дослідження багатьох задач в механіці, хімії та інших науках.

Рене Декарт висловив таку думку: «Усе навколо нас відбувається математичним шляхом». Вивчивши тему «Похідна. Застосування похідної» ми переконались, що Рене Декарт був правий.


Завдання для працівників відділу фінансів

  1.  Залежність між витратами виробництва у і обсягом продукції х, що випускається, визначається функцією:

У=50 х2 - 0,05х (грошових одиниць)

Визначити граничні витрати за умови, що обсяг продукції-100 од.

  1.  Складіть і розв’яжіть рівняння:

              a) f(x) = f'(-2),                                    б)   f'(x) = f(x)-2x,                            

                 якщо  ;                          якщо  .                    

    

  1.  Складіть і розв’яжіть нерівність

а) f(x)=x4-4x2

 

  1.  Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції

 

в точці з ординатою -1.

Завдання для працівників відділу маркетингу

  1.  Обсяг виробленої продукції змінюється за законом

U(t)=t3-2t2+5

Знайти продуктивність праці протягом однієї декади.

  1.  Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції

f(x)в точці х0, якщо:

    f(x) = 2 1)(x3 + х), х0 = -1; 

3. Знайдіть похідні функцій:

а)f(x) = 5- ;  б) f(x) = ( + 1)х3.  

 

4.     Тіло масою m кг рухається за законом x(t) — в метрах t в секундах). Знайдіть силу, яка діє на тіло в момент часу t0, якщо

m= -3,  t0= 2,

х(t) = 0,25t4 +  t3-7t + 2.


Завдання для працівників відділу економіки

  1.  Знайдіть тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції f(x)

в точці х0 :

а) f(x) = Зх2 - 12х + 5,  х0 = -1;   

б) f(x) = 4соs x +х, х0 =.

  1.  Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) в точці х0 :

f(x) = , x0 = 2.  

  1.  Матеріальна точка рухається за законом

x(t) = t4- 4t3 + 12t2 -3 

(xв метрах, t в секундах).

Визначте швидкість точки в момент, коли її прискорення мінімальне.

  1.  Пряма проходить через точки

А(-4;-2) і 5(0; 1).

Визначте, в якій точці вона дотикається до графіка функції

                                                     

Завдання

для працівників відділу розвитку та стратегічного планування

1. Знайдіть приріст функції:

а) f(x) = 2х-3,                                   б) f(x) = х2 + 2,

якщо х0 = 1, Δх = 0,2;                                якщо х0 = -2, Δх = 0,01.

2.Користуючись означенням, знайдіть похідну функції f(x) в точці x0:

f(x) = -х, х0=2; 

3. Користуючись означенням, знайдіть похідну  функції f(x) в кожній точці D(f): 

а) у =; 

б) f(x) = -7.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77978. Возможности Delphi для ввода и отображения дат и времен. Таймер 193.5 KB
  Таймер Компонент Delphi Timer очень простой компонент который не виден на экране но тем не менее Delphi Timer выполняет очень важные функции в программе. Delphi Timer позволяет вводить необходимые задержки между выполнением тех или иных действий. Компонент Timer имеет всего четыре свойства и одно событие и работать с компонентом Delphi Timer очень просто. Свойство Назначение Enbled Включение-выключение таймера Intervl Интервал срабатывания в миллисекундах Nme Имя компонента в программе Tg Произвольный числовой параметр Помещаем...
77979. Графические файлы в Delphi 63 KB
  У ряда объектов из библиотеки библиотеки визуальных компонент есть свойство Cnvs канва которое предоставляет простой путь для рисования на них. Cnvs является в свою очередь объектом объединяющим в себе поле для рисования карандаш Pen кисть Brush и шрифт Font. Cnvs обладает также рядом графических методов: Drw TextOut rc Rectngle и др. Используя Cnvs вы можете воспроизводить на форме любые графические объекты – картинки многоугольники текст и т.
77980. Итерационные циклы 47 KB
  Для организации итерационных циклов используются операторы цикла с предусловием цикл ПОКА и цикла с постусловием цикл ДО. Эти операторы не задают закон изменения параметра цикла поэтому необходимо перед циклом задавать начальное значение параметра с помощью оператора присваивания а внутри цикла изменять текущее значение этого параметра. Циклы с предусловием используются тогда когда выполнение цикла связано с некоторым логическим условием. Оператор цикла с предусловием имеет две части: условие выполнения цикла и тело цикла.
77981. Кнопки. Диалоговые окна 67.5 KB
  Виды кнопок Кнопки TButton широко используются для управления программами представляет сабой командную кнопку на странице Stndrd. Определяет цвет стиль размер шрифта прилож Cncel: Boolen; Если имеет значение True событие OnClick кнопки возникает при нажатии клавиши Esc Defult: Boolen; Если имеет значение True событие OnClick кнопки возникает при нажатии клавиши Enter События OnClick Возникает при нажатии на кнопке В отличие от большинства других видимых компонентов кнопка TButton является компонентом самой Windows и...
77982. Комбинированные типы 31.5 KB
  В отличии от массивов записи могут объединять значения различных типов и поэтому являются наиболее гибким механихмом построения данных. Запись состоит из фиксированного числа компонентов называемых полями записи. Что бы можно было ссылаться на тот или иной компонент записи поля именуются. Структура объявления типа записи такова: имя типа =RECORD список полей END Здесь: имя типа правильный идентификатор; RECORDEND – зарезервированные словазапись конец; список полей этот список представляет собой последовательность разделов записи...
77983. Компоненты для создания приложений БД 183 KB
  Для использования компонента TDBText нужно: указать в свойстве property DtSource: TDtSource; имя соответствующего компонента TDtSource связанного с НД; указать в параметре property DtField: String; имя поля. Поэтому для TDBEdit необходимо указывать свойства property DtSource: TDtSource; имя компонента DtSource определяющего НД; property DtField: string; имя редактируемого поля; property RedOnly: Boolen; если содержит True значение поля доступно только для чтения если Flse значение поля можно изменять. Свойство property Text:...
77984. Компоненты переключатели 57.5 KB
  TCheckBox независимый переключатель. Независимый переключатель TCheckBox используется для того чтобы пользователь мог указать свое решение типа Да Нет или Да Нет Не совсем в последнем случае в окошке компонента устанавливается флаг выбора но само окошко закрашивается серым цветом. В составе диалогового окна может быть несколько компонентов TCheckBox. Свойства и методы компоненты TCheckBox.
77985. Конструкторы и деструкторы 28.5 KB
  Конструкторы — это специальные методы, создающие и инициализирующие объект. Объект создается выделением для него области в динамически распределяемой памяти. Объявление конструктора выглядит так же, как объявление процедуры, но предваряется ключевым словом constructor. В качестве имени конструктора обычно задают имя Create.
77986. Массивы, одномерные массивы 46 KB
  Каждый элемент массива имеет уникальный номер индекс с помощью которого к элементу массива можно обращаться как к переменной. Имя массива идентификатор составляют тем же правилам что и для переменных. Количество индексов определяет размерность массива. Математическим эквивалентом одномерного массива является вектор.