57905

Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Цели: Обобщить, расширить и углубить знания учащихся по изученной теме Развивать творческие способности, умения самостоятельно добывать знания, активизировать познавательную деятельность, формировать навыки коллективной работы.

Русский

2014-04-17

854.5 KB

104 чел.

            Урок-конференция по алгебре и началам анализа.

"Обобщение и систематизация знаний по теме « Показательная функция .Показательные уравнения и неравенства". 11-й класс

                                                                                      

                                                                                          “Три пути ведут к знанию:

                                                                                           путь размышления – это путь самый благородный,

                                                                                           путь подражания – это путь самый лёгкий

                                                                                           и путь опыта – это путь самый горький”.

                                                                                                                                                     Конфуций

Цели:

Обобщить, расширить и углубить знания учащихся по  изученной теме Развивать творческие способности , умения самостоятельно добывать знания, активизировать познавательную деятельность, формировать навыки коллективной работы.

Подготовка к уроку.

Для участия в конференции класс поделили   на группы по интересам.

“Теоретики” получают задание изучить исторические сведения о показательной функции и показательных уравнениях. Сделать презентацию найденного материала.

“Практики” готовят задания, предлагаемые в экзаменационных работах.

“Исследователи” занимаются исследованием и решением более сложных уравнений.

Специалисты” по прикладной математике изучают процессы и явления, которые можно задать показательной функцией.

Ход урока:

Вводное слово учителя:      Сегодня у нас урок конференция по теме

“ Показательные уравненияи неравенства ”. В работе конференции принимают участие 4 группы, которые готовили материал по данной теме.

Слово предоставляется теоретикам: 

                         

                                    История показательной функции

Историю представим мы немного, события расставив по порядку: вы знаете, еще 40 веков назад в египетском папирусе записан ряд. Про семь домов, где кошек 49, и каждая из них по 7 мышей съедает и тем всем столько зерен сохраняет, что мер 17000 составляет.

О том еще известна нам легенда, что как-то у арабского царя изобретатель шахматной доски, наверно потребовал за доску ту зерна. Причем за клетку первую – зерно, а за вторую – два просил изобретатель, за третью – снова больше раза в два, немало времени царь на подсчет потратил. Когда же подсчитали – прослезились: число двадцатизначно получилось! Хватило б зернами засеять нам всю сушу и миллионы лет пришлось зерно бы кушать.

Все знают, что такое ростовщик. Тот человек проценты брать привык.

Они встречались в Вавилоне древнем, где пятую часть “лихвы” взимали в среднем!

Пятнадцатый век – рожденье банков, дающих деньги людям под процент, тогда и встал вопрос довольно ярко о дробном показателе, сомненья нет.

Его развили математик Штифель, Оресм, Шюке, затем Исаак Ньютон. И в завершении Бернулли Иоганном был термин “показательной” введен. На множестве всех чисел он ее нам ввел, как открыватель функции в историю вошел.

Учитель:

А сейчас проведем небольшой математический диктант, состоящий из простейших показательных уравнений. Вы должны решить уравнения и составить слово из букв, данных по предложенной схеме, считывая буквы в том порядке, какой диктуется списком уравнений.   

                                                 Математический диктант.

 ф

т

е

ш

л

ь

и

  -

-1

0,2

-2

1,5

3

0

1)   ( = 9,            х = - 2

2).= ,           х = - 1

3– = 0,        х = 0

4). = 16х ,     х = -

5).  = 1,        х = 0,2

6).  = 2,            х = 1,5

7).   4х-2 6 =24 ,            х=3

Сообщение о М. Штифеле.

Штифель Михаил ( ок. 1486 – 1567) – знаменитый немецкий математик. Михаил Штифель учился в католическом монастыре, затем увлёкся идеями Лютера и стал сельским протестантским пастором. Изучая библию, старался найти в ней математическое истолкование. В результате своих изысканий предсказал конец  мира на 19 октября 1533 года, который, конечно, не произошёл, а Михаил Штифель был заключен в Вюртембергскую тюрьму, из которой его вызволил сам Лютер.

После этого Штифель посвящает свою работу математике, в которой он был гениальным самоучкой. Он опубликовал несколько научных трудов, и среди них знаменитая – “ Полная арифметика”.

В 1544 году Штифель первым в Европе сформулировал правило решения квадратных уравнений, приведенных к к единому каноническому виду. Он занимался изучением арифметической и геометрической прогрессии, систематически сравнивал действия над членами обеих сопоставляемых прогрессий и вводил дробные и отрицательные показатели степени. Штифель первым из математиков рассматривал отрицательные числа, как числа меньшие нуля, и одним из первых ввёл знак корня с целым показателем, круглые скобки и символы для многих неизвестных. Его идеями пользовался при изобретении логарифмов Джон Непер.

Учитель:

Практики подготовили и предлагают дифференцированную самостоятельную работу с последующей проверкой.:

                  Самостоятельная работа.

  1.                            х = -   
  2.                               х = -      
  3.                 х = 2
  4.                        х = 2
  5.                  х = 1
  6.       х =0, х =     

Группа исследователей занималась исследованием и решением более сложных уравнений:   (ученики показывают решение уравнений)

1.

2.

Слово специалистам по прикладной математике:

Итак, показательная функция не случайно родилась, в жизнь органически влилась и движением прогресса занялась.

            Применение показательной функции 

Во многих областях науки при изучении различных явлений и процессов обнаруживается одна общая функциональная зависимость между двумя переменными величинами, участвовавшими в данном процессе.

1. По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т. е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение Австралии кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

2. Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число “потомков” одного растения равнялось бы 243 • 1015 или приблизительно 2000 растений на 1кв.м суши.

3. Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 • 1014. Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечет за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.

4. В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий

в идеальных условиях соответствует процессу органического роста;

5.Радиоактивный распад вещества – процессу органического затухания Явление радиоактивного распада используется для определения возраста археологических находок, например, определен примерный возраст Земли, около 5,5 млрд. лет, для поддержания эталона времени.

 6.Законам органического роста подчиняется рост вклада в банке, восстановление гемоглобина в крови  донора или раненого, потерявшего много крови, рост дрожжей, ферментов, микроорганизмов. Закон органического роста выражается формулой: N=N0 ext           . По этому же закону изменяется количество древесины в дереве, что имеет большое значение для рационального ведения лесного хозяйства.

7. В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемым показательной функцией. Например, температура чайника изменяется со временем (со гласно формуле

Т =  + (100 – ) е–kt

8. Процессы выравнивания также можно наблюдать при включении и выключении электрического тока в цепи при падении тел в воздухе с парашютом.

9. Давление атмосферы, выраженное в миллиметрах ртутного столба, меняется по закону:     Р = Р0 а h 

где h – высота точки над уровнем моря (в м). Эту формулу используют геодезисты для барометрического инвелирования, то есть для определения разности высот над уровнем моря двух точек на земной поверхности

.

10. В биологии процесс выравнивания встречается при разрушении адреналина в крови; о работе почек судят по их способности выводить радиоактивные вещества, количество которых уменьшается по показательному закону.

11. Рост народонаселения. Изменение числа людей в стране на наибольшем отрезке времени описывается формулой: N = N0 e t

N0 – число людей, при t = 0, N – число людей в момент времени t

e, a – consт 

12. Показательная функция также используется при решении некоторых задач судовождения,

                                       слово теоретикам:

В книге Жюля Верна “ Матиас Шандор” выведен силач Матифу. Он совершил много подвигов, среди которых есть такой.

Готовился спуск на воду трабоколо ( трабоколо – небольшой корабль с парусами в форме трапеции). Когда уже начали выбивать из – под киля клинья, удерживающие трабоколо на спусковой дорожке, в гавань влетела нарядная яхта.

Спусковое судно неминуемо должно было врезаться в борт плывущей мимо яхты.

“вдруг из толпы зрителей выскакивает какой – то человек, он хватает канат, висящий на носу трабоколо. Но тщетно старается он, упираясь в землю ногами, удержать в руках канат… поблизости врыта в землю швартовая пушка. В мгновенье ока неизвестный набрасывает на неё канат, который начинает медленно разметываться, а храбрец, рискуя попасть под него и быть раздавленным, сдерживает его с нечеловеческой силой. Это длится секунд десять. Наконец канат лопнул. Трабоколо прошло за кормой яхты на расстоянии не более фута,… яхта была спасена.

Вы, конечно, догадались, что неизвестным, спасшим яхту, был силач Матифу”.

Прочитав классу этот отрывок, мы задаем вопрос: нужна ли была нечеловеческая сила, чтобы удержать корабль?

Посмотрим, как происходит швартовка корабля. С парохода на пристань бросают канат, на конце которого сделана широкая петля. Человек, стоящий на пристани, надевает петлю на причальную тумбу, а матрос на корабле укладывает канат между кнехтами ( небольшими тумбами), укреплёнными на борту судна, сила трения между тросами и кнехтами и останавливает судно. Обычно матрос, обернув канат несколько раз вокруг кнехтов, просто придерживает свободный конец ногой, прижимая его к палубе. Предположим, что после одного оборота каната вокруг столба сила F0, приложенная к одному концу каната, удерживает в К раз большую силу, приложенную к другому концу. После ещё одного оборота каната удерживаемая сила возрастает ещё в К раз и становится к2 раз больше, чем сила F0. Для пенькового каната и деревянного столба К = 2 1,75. поэтому, оборачивая канат вокруг столба три раза, получаем увеличение в 1800 раз.

Примерную силу, необходимую для удержания спускаемого корабля будем считать равной 400 кН, а поскольку канат, медленно разматывался, можно сделать вывод, что Матифу сумел обернуть его вокруг швартовой пушки хотя бы 3 раза. Отсюда составляем уравнение: 400000 = 1800 F0, тогда F0=220 Н, что эквивалентно 22 кг. Приложить силу в 22 кг. Вполне может любой здоровый взрослый человек.

Описанное выше явление мы используем ежедневно, например, завязывая шнурки на ботинках. Узел – это веревка, обвитая вокруг другой верёвкой, он тем крепче, чем больше раз одна часть веревки сплетается с другой.

Учитель:

Во всех этих примерах функции, где основание const, а показатель изменяется приведены примеры показательной функции

II.  Практическая часть конференции.

Ученики получают карточки с примерами и должны их решить, кто скорее. Класс заканчивает работу, подводится итог.

Игра«Догонялка».

  

      

Ответы:     1) х≤1/2

                    2) х≥ 4

                    3) (- ∞;0); (1;∞)

                  4) [0; 1/2]

                  5) х>3

Самостоятельная работа.***

Ученики получают карточки с самостоятельной работой и выбирают вариант.

Итог урока: Сегодня мы с вами повторили и обобщили знания методов решения показательных уравнений и неравенств на основе свойств показательной функции. Мы сказали, что понятие показательной функции было введено в XVII веке. Так вот сейчас ваши знания в этой области находятся на уровне знаний ученых  того времени. Сейчас на дворе XXI век , так что перспектива развития ваших знаний велика.

Подведение итогов. Выставление отметок.

Домашнее задание.Повт.п.29,30

п


                            Приложения.

1.               Математический диктант.

 ф

т

е

ш

л

ь

и

  

 

 

 

1)   ( = 9,            

2).= ,           

3– = 0

4). = 16х ,     

5).  = 1,        

6).  = 2,            

7).   4х-2·6 =24 ,            

  2.     Самостоятельная работа.(Работа группы практиков)

  1.                             (1б)
  2.                                (1б)
  3.                 (2б)
  4.                         (2б)
  5.                     (3б)
  6.      (3б)

 3. Решить неравенства  Игра«Догонялка».

Самостоятельная работа.***

Уровень А ( 1 уровень) (по 1 баллу)

    Уровень В   ( 2 уровень)  (по 2 балла)

 Уровень С (3 уровень)  (по 3 балла) 

                           Лист оценивания для групп.Теоретики

Ф.И.

ученика

Теоретическя     

    часть

Математ.

диктант

Показат.урав

(сам.работа практиков)

Показат.

Неравенст

Само

оценка

Оценка учителя

Нестерук Н.

Лазюк Д.

Нечаев А.

                           Лист оценивания для групп.  Прикладная математика        

Ф.И.

ученика

Теоретическя     

    часть

Математ.

диктант

Показат.урав

(сам.работа практиков)

Показат.

Неравенст

Само

оценка

Оценка учителя

Дзюбан В.

Покинтелица

                             Лист оценивания для групп.Практики

Ф.И.

ученика

Теоретическя     

    часть

Математ.

диктант

Показат.урав

(сам.работа практиков)

Показат.

Неравенст

Само

оценка

Оценка учителя

Дунаев А.

Шаповалов.В.

                          Лист оценивания для групп.Специалисты

Ф.И.

ученика

Теоретическя     

    часть

Математ.

диктант

Показат.урав

(сам.работа практиков)

Показат.

Неравенст

Само

оценка

Оценка учителя

Калус А.

Журило Е.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53172. Урок географии в 6-м классе по теме "Горы суши" 31.5 KB
  Задачи: а сформировать знания: о различиях гор по высоте об изменениях гор во времени под влиянием внешних и внутренних сил о значении гор для человека б развивать практические умения работать с физической картой шкалой высот; научить обозначать горы на контурной карте; Оборудование: географический атлас 6 класса у каждого ученика физическая карта России физическая карта мира видеофрагмент Кавказ Сход лавины в горах презентация урока в POWER POINT песня В. âГоры сушиâ тема сегодняшнего урока. 1 Цели и задачи...
53173. Умный хозяин 127 KB
  Осень – пора богатого урожая, его пестрые краски мы видим на нашем рынке. Поработаем со стихотворением С. Михалкова «Овощи» и узнаем, что хозяйка купила на базаре, по цвету овощей выберем себе настроение...
53174. Конкурсна програма на 8 березня «Найвродливіша, найкмітливіша господарочка» 244.5 KB
  2 вед Усіх затьмарять сьогодні красою Ви мабуть згодні зі мною Тож ми радо всім побажаєм: Щоб сонце світило мирно і ясно А наші жінки щоб були прекрасні 1 вед Доброго дня шановні гості учителі та учні нашої школи 2 вед Сьогодні ми зібралися з вами в цій святковій залі щоб провести конкурс краси і молодості. 1 вед Є у нашій школі мама Над всіма найголовніша Треба їй про все подбати...
53175. Світове господарство. Міжнародний географічний поділ праці 141 KB
  Міжнародний географічний поділ праці. Мета: сформувати в учнів систему уявлень про поняття світове господарство міжнародний поділ праці всесвітня інтеграція ; систематизувати знання учнів про закономірності розвитку світового господарства та його структуру; розвивати навички роботи з картою та комп'ютером; сприяти розвитку глобального світосприйняття учнів; формувати комунікативні інформаційні полікультурні соціальні компетентності; сприяти розвитку економічного мислення учнів; виховувати пізнавальний інтерес до предмету. Міжнародний...
53177. Український етикет. Традиції гостинності і вітання на Україні 42.5 KB
  Діти стають у коло разом з вчителем і вітають один одного хором: Привітаємо сонечко: Здрастуй золотаве Усміхнемось один одному Поглянемо ласкаво Хай сьогодні в кожне серце Зустріч додасть тепла А ми друзів привітаємо Побажаємо добра Вчитель: Любі діти у наш клас Завітали люди щирі. Діти разом: Добрий день в добрий час Заходьте будь ласка до нас Дівчина: Гість у дім радість з ним. Діти а в який гарний день прийшли до нас дорогі гості А скажіть будь ласка яке сьогодні число Який день тижня Яка чудова пора року гостює в...
53178. ПРАВИЛА ГОСТИННОСТІ 43.5 KB
  Арбуз в перекладі з тюркської мови огірок віслюка Ведучий 1 Читання ось найкраща розвага. А ось прикрасити кімнату плакатами виготовленими власноруч ми можемо. Ось і читання і розвага: загадки відгадуємо скоромовки швидко вимовляємо. Ось осінні оси ось Я пасу осінніх ос Мала Маринка має мячик маленький мячик мяко скаче.
53179. В гостях у первой учительницы 30.5 KB
  Дорогие друзья Накануне прекрасного весеннего праздника Международного женского дня мы решили провести устный журнал в вашем классе где ваша учительница Наталья Борисовна была и у многих из нас первой. Итак страница первая Цветы любимой учительнице В весенний день когда все ожидают Прекрасный женский праздник в нетерпенье В семье и в классах обсуждают Какой сюрприз преподнести на удивленье Наталья Борисовна Кроме живых цветов мы дарим Вам особый букет: из сказаний и легенд о цветах художественное чтение на музыкальном...
53180. Учимся интересно, говорим правильно 70 KB
  К таким умениям и навыкам можно отнести следующие: умение фиксировать внимание на фонетических особенностях звучащего слова; умение анализировать свою речь с позиций правильности неправильности и оценки дикции; умение давать аргументированную оценку речи других; умение читать и говорить правильно подражая звучащему образцу; внятно и отчетливо произносить звуки и слова; читать написанное с орфоэпической подготовкой и без таковой; правильно и рационально пользоваться орфоэпическими словарями в которых есть произносительные...