57905

Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Цели: Обобщить, расширить и углубить знания учащихся по изученной теме Развивать творческие способности, умения самостоятельно добывать знания, активизировать познавательную деятельность, формировать навыки коллективной работы.

Русский

2014-04-17

854.5 KB

105 чел.

            Урок-конференция по алгебре и началам анализа.

"Обобщение и систематизация знаний по теме « Показательная функция .Показательные уравнения и неравенства". 11-й класс

                                                                                      

                                                                                          “Три пути ведут к знанию:

                                                                                           путь размышления – это путь самый благородный,

                                                                                           путь подражания – это путь самый лёгкий

                                                                                           и путь опыта – это путь самый горький”.

                                                                                                                                                     Конфуций

Цели:

Обобщить, расширить и углубить знания учащихся по  изученной теме Развивать творческие способности , умения самостоятельно добывать знания, активизировать познавательную деятельность, формировать навыки коллективной работы.

Подготовка к уроку.

Для участия в конференции класс поделили   на группы по интересам.

“Теоретики” получают задание изучить исторические сведения о показательной функции и показательных уравнениях. Сделать презентацию найденного материала.

“Практики” готовят задания, предлагаемые в экзаменационных работах.

“Исследователи” занимаются исследованием и решением более сложных уравнений.

Специалисты” по прикладной математике изучают процессы и явления, которые можно задать показательной функцией.

Ход урока:

Вводное слово учителя:      Сегодня у нас урок конференция по теме

“ Показательные уравненияи неравенства ”. В работе конференции принимают участие 4 группы, которые готовили материал по данной теме.

Слово предоставляется теоретикам: 

                         

                                    История показательной функции

Историю представим мы немного, события расставив по порядку: вы знаете, еще 40 веков назад в египетском папирусе записан ряд. Про семь домов, где кошек 49, и каждая из них по 7 мышей съедает и тем всем столько зерен сохраняет, что мер 17000 составляет.

О том еще известна нам легенда, что как-то у арабского царя изобретатель шахматной доски, наверно потребовал за доску ту зерна. Причем за клетку первую – зерно, а за вторую – два просил изобретатель, за третью – снова больше раза в два, немало времени царь на подсчет потратил. Когда же подсчитали – прослезились: число двадцатизначно получилось! Хватило б зернами засеять нам всю сушу и миллионы лет пришлось зерно бы кушать.

Все знают, что такое ростовщик. Тот человек проценты брать привык.

Они встречались в Вавилоне древнем, где пятую часть “лихвы” взимали в среднем!

Пятнадцатый век – рожденье банков, дающих деньги людям под процент, тогда и встал вопрос довольно ярко о дробном показателе, сомненья нет.

Его развили математик Штифель, Оресм, Шюке, затем Исаак Ньютон. И в завершении Бернулли Иоганном был термин “показательной” введен. На множестве всех чисел он ее нам ввел, как открыватель функции в историю вошел.

Учитель:

А сейчас проведем небольшой математический диктант, состоящий из простейших показательных уравнений. Вы должны решить уравнения и составить слово из букв, данных по предложенной схеме, считывая буквы в том порядке, какой диктуется списком уравнений.   

                                                 Математический диктант.

 ф

т

е

ш

л

ь

и

  -

-1

0,2

-2

1,5

3

0

1)   ( = 9,            х = - 2

2).= ,           х = - 1

3– = 0,        х = 0

4). = 16х ,     х = -

5).  = 1,        х = 0,2

6).  = 2,            х = 1,5

7).   4х-2 6 =24 ,            х=3

Сообщение о М. Штифеле.

Штифель Михаил ( ок. 1486 – 1567) – знаменитый немецкий математик. Михаил Штифель учился в католическом монастыре, затем увлёкся идеями Лютера и стал сельским протестантским пастором. Изучая библию, старался найти в ней математическое истолкование. В результате своих изысканий предсказал конец  мира на 19 октября 1533 года, который, конечно, не произошёл, а Михаил Штифель был заключен в Вюртембергскую тюрьму, из которой его вызволил сам Лютер.

После этого Штифель посвящает свою работу математике, в которой он был гениальным самоучкой. Он опубликовал несколько научных трудов, и среди них знаменитая – “ Полная арифметика”.

В 1544 году Штифель первым в Европе сформулировал правило решения квадратных уравнений, приведенных к к единому каноническому виду. Он занимался изучением арифметической и геометрической прогрессии, систематически сравнивал действия над членами обеих сопоставляемых прогрессий и вводил дробные и отрицательные показатели степени. Штифель первым из математиков рассматривал отрицательные числа, как числа меньшие нуля, и одним из первых ввёл знак корня с целым показателем, круглые скобки и символы для многих неизвестных. Его идеями пользовался при изобретении логарифмов Джон Непер.

Учитель:

Практики подготовили и предлагают дифференцированную самостоятельную работу с последующей проверкой.:

                  Самостоятельная работа.

  1.                            х = -   
  2.                               х = -      
  3.                 х = 2
  4.                        х = 2
  5.                  х = 1
  6.       х =0, х =     

Группа исследователей занималась исследованием и решением более сложных уравнений:   (ученики показывают решение уравнений)

1.

2.

Слово специалистам по прикладной математике:

Итак, показательная функция не случайно родилась, в жизнь органически влилась и движением прогресса занялась.

            Применение показательной функции 

Во многих областях науки при изучении различных явлений и процессов обнаруживается одна общая функциональная зависимость между двумя переменными величинами, участвовавшими в данном процессе.

1. По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т. е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение Австралии кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

2. Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число “потомков” одного растения равнялось бы 243 • 1015 или приблизительно 2000 растений на 1кв.м суши.

3. Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 • 1014. Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечет за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.

4. В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий

в идеальных условиях соответствует процессу органического роста;

5.Радиоактивный распад вещества – процессу органического затухания Явление радиоактивного распада используется для определения возраста археологических находок, например, определен примерный возраст Земли, около 5,5 млрд. лет, для поддержания эталона времени.

 6.Законам органического роста подчиняется рост вклада в банке, восстановление гемоглобина в крови  донора или раненого, потерявшего много крови, рост дрожжей, ферментов, микроорганизмов. Закон органического роста выражается формулой: N=N0 ext           . По этому же закону изменяется количество древесины в дереве, что имеет большое значение для рационального ведения лесного хозяйства.

7. В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемым показательной функцией. Например, температура чайника изменяется со временем (со гласно формуле

Т =  + (100 – ) е–kt

8. Процессы выравнивания также можно наблюдать при включении и выключении электрического тока в цепи при падении тел в воздухе с парашютом.

9. Давление атмосферы, выраженное в миллиметрах ртутного столба, меняется по закону:     Р = Р0 а h 

где h – высота точки над уровнем моря (в м). Эту формулу используют геодезисты для барометрического инвелирования, то есть для определения разности высот над уровнем моря двух точек на земной поверхности

.

10. В биологии процесс выравнивания встречается при разрушении адреналина в крови; о работе почек судят по их способности выводить радиоактивные вещества, количество которых уменьшается по показательному закону.

11. Рост народонаселения. Изменение числа людей в стране на наибольшем отрезке времени описывается формулой: N = N0 e t

N0 – число людей, при t = 0, N – число людей в момент времени t

e, a – consт 

12. Показательная функция также используется при решении некоторых задач судовождения,

                                       слово теоретикам:

В книге Жюля Верна “ Матиас Шандор” выведен силач Матифу. Он совершил много подвигов, среди которых есть такой.

Готовился спуск на воду трабоколо ( трабоколо – небольшой корабль с парусами в форме трапеции). Когда уже начали выбивать из – под киля клинья, удерживающие трабоколо на спусковой дорожке, в гавань влетела нарядная яхта.

Спусковое судно неминуемо должно было врезаться в борт плывущей мимо яхты.

“вдруг из толпы зрителей выскакивает какой – то человек, он хватает канат, висящий на носу трабоколо. Но тщетно старается он, упираясь в землю ногами, удержать в руках канат… поблизости врыта в землю швартовая пушка. В мгновенье ока неизвестный набрасывает на неё канат, который начинает медленно разметываться, а храбрец, рискуя попасть под него и быть раздавленным, сдерживает его с нечеловеческой силой. Это длится секунд десять. Наконец канат лопнул. Трабоколо прошло за кормой яхты на расстоянии не более фута,… яхта была спасена.

Вы, конечно, догадались, что неизвестным, спасшим яхту, был силач Матифу”.

Прочитав классу этот отрывок, мы задаем вопрос: нужна ли была нечеловеческая сила, чтобы удержать корабль?

Посмотрим, как происходит швартовка корабля. С парохода на пристань бросают канат, на конце которого сделана широкая петля. Человек, стоящий на пристани, надевает петлю на причальную тумбу, а матрос на корабле укладывает канат между кнехтами ( небольшими тумбами), укреплёнными на борту судна, сила трения между тросами и кнехтами и останавливает судно. Обычно матрос, обернув канат несколько раз вокруг кнехтов, просто придерживает свободный конец ногой, прижимая его к палубе. Предположим, что после одного оборота каната вокруг столба сила F0, приложенная к одному концу каната, удерживает в К раз большую силу, приложенную к другому концу. После ещё одного оборота каната удерживаемая сила возрастает ещё в К раз и становится к2 раз больше, чем сила F0. Для пенькового каната и деревянного столба К = 2 1,75. поэтому, оборачивая канат вокруг столба три раза, получаем увеличение в 1800 раз.

Примерную силу, необходимую для удержания спускаемого корабля будем считать равной 400 кН, а поскольку канат, медленно разматывался, можно сделать вывод, что Матифу сумел обернуть его вокруг швартовой пушки хотя бы 3 раза. Отсюда составляем уравнение: 400000 = 1800 F0, тогда F0=220 Н, что эквивалентно 22 кг. Приложить силу в 22 кг. Вполне может любой здоровый взрослый человек.

Описанное выше явление мы используем ежедневно, например, завязывая шнурки на ботинках. Узел – это веревка, обвитая вокруг другой верёвкой, он тем крепче, чем больше раз одна часть веревки сплетается с другой.

Учитель:

Во всех этих примерах функции, где основание const, а показатель изменяется приведены примеры показательной функции

II.  Практическая часть конференции.

Ученики получают карточки с примерами и должны их решить, кто скорее. Класс заканчивает работу, подводится итог.

Игра«Догонялка».

  

      

Ответы:     1) х≤1/2

                    2) х≥ 4

                    3) (- ∞;0); (1;∞)

                  4) [0; 1/2]

                  5) х>3

Самостоятельная работа.***

Ученики получают карточки с самостоятельной работой и выбирают вариант.

Итог урока: Сегодня мы с вами повторили и обобщили знания методов решения показательных уравнений и неравенств на основе свойств показательной функции. Мы сказали, что понятие показательной функции было введено в XVII веке. Так вот сейчас ваши знания в этой области находятся на уровне знаний ученых  того времени. Сейчас на дворе XXI век , так что перспектива развития ваших знаний велика.

Подведение итогов. Выставление отметок.

Домашнее задание.Повт.п.29,30

п


                            Приложения.

1.               Математический диктант.

 ф

т

е

ш

л

ь

и

  

 

 

 

1)   ( = 9,            

2).= ,           

3– = 0

4). = 16х ,     

5).  = 1,        

6).  = 2,            

7).   4х-2·6 =24 ,            

  2.     Самостоятельная работа.(Работа группы практиков)

  1.                             (1б)
  2.                                (1б)
  3.                 (2б)
  4.                         (2б)
  5.                     (3б)
  6.      (3б)

 3. Решить неравенства  Игра«Догонялка».

Самостоятельная работа.***

Уровень А ( 1 уровень) (по 1 баллу)

    Уровень В   ( 2 уровень)  (по 2 балла)

 Уровень С (3 уровень)  (по 3 балла) 

                           Лист оценивания для групп.Теоретики

Ф.И.

ученика

Теоретическя     

    часть

Математ.

диктант

Показат.урав

(сам.работа практиков)

Показат.

Неравенст

Само

оценка

Оценка учителя

Нестерук Н.

Лазюк Д.

Нечаев А.

                           Лист оценивания для групп.  Прикладная математика        

Ф.И.

ученика

Теоретическя     

    часть

Математ.

диктант

Показат.урав

(сам.работа практиков)

Показат.

Неравенст

Само

оценка

Оценка учителя

Дзюбан В.

Покинтелица

                             Лист оценивания для групп.Практики

Ф.И.

ученика

Теоретическя     

    часть

Математ.

диктант

Показат.урав

(сам.работа практиков)

Показат.

Неравенст

Само

оценка

Оценка учителя

Дунаев А.

Шаповалов.В.

                          Лист оценивания для групп.Специалисты

Ф.И.

ученика

Теоретическя     

    часть

Математ.

диктант

Показат.урав

(сам.работа практиков)

Показат.

Неравенст

Само

оценка

Оценка учителя

Калус А.

Журило Е.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24842. Сети кампусов 58.51 KB
  Сети этого типа объединяют множество сетей различных отделов одного предприятия в пределах отдельного здания или в пределах одной территории покрывающей площадь в несколько квадратных километров. Службы такой сети включают взаимодействие между сетями отделов доступ к общим базам данных предприятия доступ к общим факссерверам высокоскоростным модемам и высокоскоростным принтерам. Пример сети кампуса Именно на уровне сети кампуса возникают проблемы интеграции неоднородного аппаратного и программного обеспечения.
24843. Корпоративные сети 65.42 KB
  Сети масштаба предприятия корпоративные сети объединяют большое количество компьютеров на всех территориях отдельного предприятия. Для соединения удаленных локальных сетей и отдельных компьютеров в корпоративной сети применяются разнообразные телекоммуникационные средства в том числе телефонные каналы радиоканалы спутниковая связь. Пример корпоративной сети Непременным атрибутом такой сложной и крупномасштабной сети является высокая степень гетерогенности нельзя удовлетворить потребности тысяч пользователей с помощью однотипных...
24844. Вычислительная сеть 18.62 KB
  Качество доступа к ресурсу как глобальная характеристика функционирования сети может быть описана многими показателями выбор которых зависит от задач стоящих перед вычислительной сетью. Производительность вычислительной сети может быть оценена с разных позиций. С точки зрения пользователя важным числовым показателем производительности сети является время реакции системы особенно в той части которая относится к работе сети.
24845. Стандартные стеки коммуникационных протоколов 21.42 KB
  Три основных момента: Существует множество протоколов и хотя все они участвуют в реализации связи каждый протокол имеет различные цели выполняет различные задачи обладает своими преимуществами и ограничениями. Несколько протоколов могут работать совместно. В этом случае они образуют так называемый стек или набор протоколов Работа различных протоколов должна быть скоординирована так чтобы исключить конфликты или незаконченные операции.
24846. К локальным сетям - Local Area Networks (LAN) 13.54 KB
  Изза коротких расстояний в локальных сетях имеется возможность использования относительно дорогих высококачественных линий связи которые позволяют применяя простые методы передачи данных достигать высоких скоростей обмена данными порядка 100 Мбит с. В связи с этим услуги предоставляемые локальными сетями отличаются широким разнообразием и обычно предусматривают реализацию в режиме online.
24847. Глобальные сети - Wide Area Networks (WAN) 13.78 KB
  Так как прокладка высококачественных линий связи на большие расстояния обходится очень дорого в глобальных сетях часто используются уже существующие линии связи изначально предназначенные совсем для других целей. Изза низких скоростей таких линий связи в глобальных сетях десятки килобит в секунду набор предоставляемых услуг обычно ограничивается передачей файлов преимущественно не в оперативном а в фоновом режиме с использованием электронной почты. Для устойчивой передачи дискретных данных по некачественным линиям связи применяются...
24848. Оценка стоимости облигационного займа 27 KB
  Стоимость облигационного займа приблизительно равна доходу который получает держатель облигаций. Проценты по облигационным займам выплачиваются из чистой прибыли поэтому корректировка стоимости облигационного займа на налог на прибыль не производится.
24849. Повышение рыночной стоимости 31.5 KB
  Управление стоимостью компании это современная стратегия менеджмента ориентированная на повышение инвестиционной привлекательности конкурентных преимуществ и устойчивой работы в рыночной среде в расчете на длительную перспективу. Отмечено что повышение рыночной стоимости компании является стратегической целью управления. Фактор создания стоимости представляется как некоторый элемент социальноэкономической системы влияющий на количественные и качественные параметры компании от которых зависит ее рыночная цена а управление стоимостью ...
24850. Подходы к оценке интеллектуальной собственности 34.5 KB
  При рыночном подходе используется метод сравнения продаж когда рассматриваемый актив сравнивается с аналогичными объектами интеллектуальной собственности или интересами в этих объектах либо с ценными бумагами обеспеченными неосязаемыми активами которые были проданы на открытом рынке. Могут применяться несколько методов оценки затрат на создание ОИС: Метод стоимости замещения объекта оценки заключается в суммировании затрат на создание ОИС аналогичного объекту оценки в рыночных ценах существующих на дату проведения оценки с учетом износа...