5793

Ортогональные разложения Котельникова для непрерывных сигналов

Реферат

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Ортогональные разложения Котельникова для непрерывных сигналов. Сигналы с ограниченными и полосовыми спектрами. С целью упрощения задач анализа сигналов в инженерных расчетах учитывают только ту часть спектра, в которой сосредоточено до 80...95%...

Русский

2012-12-21

55 KB

18 чел.

Ортогональные разложения Котельникова для непрерывных сигналов.

1. Сигналы с ограниченными и полосовыми спектрами.

С целью упрощения задач анализа сигналов в инженерных расчетах учитывают только ту часть спектра, в которой сосредоточено до 80...95% энергии сигнала. Поэтому чаще всего большинство сигналов рассматривают как сигналы с ограниченными спектрами. Для их анализа наряду с разложением Фурье широко применяют разложение Котельникова.

Рассмотрим основные особенности этого разложения.

Ортогональное разложение Котельникова для непрерывных сигналов с ограниченными спектрами позволяет представлять их в виде импульсных последовательностей (см. рис.) Теоретической основой разложения служит теорема Котельникова (теорема отсчетов): любая непрерывная функция S(t), не содержащая частот выше F, полностью определяется последовательностью значений в моменты, отстоящие друг от друга на время t=1/2F.

Общее число отсчетов n для сигнала длительностью Т будет равно n=T/t=2FT=. Число называют базой сигнала.

Для сигнала S(t), спектр которого лежит в интервале [0,F], ортогональное разложение Котельникова имеет вид

                                          (44)

где S(kt)=Sk - отсчет сигнала в момент времени tk ;                  [sin2F(t-kt)]/[2F(t-kt)] - базисная система ортогональных функций с общей нормой 1/2F; t=1/2F-интервал дискретизации, равный норме базисных функций. Функция gk=[sin2F(t-kt)]/[2F(t-kt)]  называют функциями отсчетов, а значения S(kt) - отсчетами. График функции отсчетов имеет следующий вид (см. рис.).

Ортогональность функций отсчетов проверяют путем вычисления интеграла

                                              

                                                 

Интервал дискретизации не превышает половины периода наиболее высокой частоты спектра сигнала, что уменьшает число членов в данном разложении по сравнению с разложением Фурье при одинаковой точности аппроксимации. Точность аппроксимации так же как и в случае разложения Фурье определяется равенством (12). При этом мощность сигнала, через заданную последовательность временных выборок, выражается равенством Парсеваля ( формула (8)):

- энергия сигнала Е=                     (45)

- мощность сигнала за период колебания

                                  P=.                             (46)    

Из последнего выражения следует, что средняя за период Т мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборки. Усреднение производится по всем интервалам, число которых 2FT.

Достоинства ортогонального разложения Котельникова следующие : базисная система ортогональных функций выбрана так, что ряд (44) носит формальный характер, т.е. в любой момент отсчета tk он дает одно значение Sk, остальные составляющие ряда вырождаются в нуль; коэффициенты ряда (44) можно не вычислять; их определяют путем измерения значений сигнала или из его аналитической формы ; зная длительность сигнала Т и граничную частоту F, определяют требуемое число отсчетов n=2FT и энергию сигнала из (45); относительная простота реализации как разложения    ( т.е. дискретизации) непрерывного сигнала в импульсную последовательность, так и последующего его восстановления.

Остановимся более подробно на последней особенности. Для этого рассмотрим физический смысл разложения Котельникова. Каждый член суммы (44) представляет собой отклик идеального фильтра нижних частот gk (см. рис.) с частотой среза F на очень короткий импульс, приходящий в момент tk=kt и имеющий площадь S(kt). Поэтому при дискретной передаче сигнала S(t) с ограниченным спектром необходимо через равные интервалы времени t брать отсчеты мгновенных значений сигнала и передавать по каналу последовательность достаточно коротких импульсов длительностью , причем /t<<1. Амплитуду импульсов Ak в момент времени tk=kt выбирают так, чтобы Ak=S(kt)=Sk. В приемном устройстве выделенная последовательность видеоимпульсов пропускается через фильтр нижних частот, на выходе которого восстанавливается переданный непрерывный сигнал. Длительность импульсов  может быть сколь угодно малой, но выбирают ее исходя из полосы прозрачности канала связи. Частота дискретизации ( тактовая частота ) равна 2F.

2. Сигналы с полосовыми спектрами.

Если сигнал S(t) непрерывный, имеет полосовой спектр с шириной F1=f1-f2, то его можно представить в виде ортогонального разложения следующего вида :

  (46)

где 0=2(f1+f2)/2 - среднее значение угловой частоты спектра сигнала; t=1/2F1; S(k/F1); (k/F1) - отсчеты амплитуды и фазы сигнала в моменты tk=kt. Из формулы видно, что для сигналов с полосовыми спектрами необходимо через интервал дискретизации отсчитывать мгновенные значения не только амплитуд, но и фаз. Так, в частности, дискретизируют однополосные колебания - сигналы с полосовыми спектрами.                                      

Основные особенности ортогонального разложения Котельникова вида (46) следующие : базисная система включает совокупность ортогональных функций отсчетов, каждая из которых представляет собой модулированное по амплитуде колебание с несущей частотой 0 и огибающей, определяемой функцией gk(t); помимо отсчетов амплитуд берутся отсчеты фаз; если длительность сигнала Т, то число отсчетных точек n=T/t=2TF1.

В целом, все ортогональные разложения Котельникова - теоретическая основа большинства методов дискретной передачи непрерывных сигналов. Они позволяют с единых позиций рассматривать передачу как дискретных, так и непрерывных сигналов.

3. Теорема отсчетов в частотной области.

При анализе сигналов с непрерывными спектрами часто бывает необходимо представить сигнал с помощью частотных выборок спектральной функции , а не временных выборок функции S(t).

Для функции  можно составить ряд, аналогичный выражению (44), на основании взаимной заменяемости переменных t и в паре преобразований Фурье (36), (37). Применительно к выражению (44) это означает, что t следует заменить на , 2=2F на Т, t=1/2F на =2/T.

Таким образом получаем

  (47)

Расстановка частотных выборок иллюстрируется следующим рисунком.

Если ранее временной интервал между двумя соседними выборками не должен был превышать 2/2, то теперь частотный интервал не должен превышать 2/T. При ширине спектра 2, охватывающей область частот   -<<, число выборок равно 2/=2FT, т.е. как и при представлении сигнала рядом (44).

В общем случае выборки  являются комплексными числами и в каждой отсчетной точке на оси частот должны быть заданы два параметра - действительная и мнимая части , или модуль и аргумент. Таким образом общее число параметров получается вдвое большим, чем при временном представлении сигнала, когда выборки S(k/2F) - действительные числа. Избыточность представления сигнала в частотной области легко устраняется, если учесть, что  и  являются комплексно-сопряженными функциями, так что задание одной из них однозначно определяет другую. Таким образом, спектр сигнала полностью характеризуется совокупностью комплексных выборок, взятых только в области положительных частот, и число независимых параметров =2FT, как и при представлении сигнала во временной области.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30183. Повышения эффективности использования строительных машин, увеличение срока их службы и надежности в работе 897.6 KB
  Рост парка машин позволил в значительной степени механизировать труд работников в строительстве. Уровень его механизации достиг 80%. Машинами выполняются почти все основные виды строительно-монтажных работ. В этих условиях своевременность и высокое качество сооружения строительных объектов в большой степени зависят от уровня работоспособности машин. Чем он выше, тем больше гарантий в том, что объекты будут построены в установленные сроки и качественно.
30184. Пропозиції щодо поліпшення співробітництва між Україною та ЄС у виробничому секторі 114.5 KB
  Економічне становище регіону, створення належних умов для життя і праці його населення залежить від розвитку виробничої сфери. Виробнича сфера виступає основою для задоволення людських потреб. Потреби, в свою чергу, відіграють роль стимуляторів діяльності людей.
30185. Разработка системы управления электроприводом листоправильной машины, учитывающий переменность статического момента нагрузки и момента инерции, с целью повышения энергетической эффективности стана11×280×2300 3.84 MB
  передачи от двигателя к валку отн. От первого двигателя 24–M1 по ходу металла приводится пять правильных валков три верхних и два нижних находящихся ближе к входу листоправильной машины; от второго двигателя 24–M2 – остальные шесть валков №6–№11. Двигатели предназначены для работы от преобразователей частоты и оснащены каждый датчиком импульсов 24–BN1 24BN2 – контроль скорости вентилятором обдува с электроприводом двигатели 24–M3 24–M4 а также датчиками контроля температуры в обмотках KTY 84–130 – 1 шт и подшипниках...
30186. Разработка проекта межевания земельных участков на землях бывшего колхоза “Россия” Каширского района Воронежской области 3.42 MB
  Земельный кодекс Российской Федерации от 25.10.2001 г. №136-ВЗ является головным отраслевым законом, обладающим приоритетом в регулировании земельных отношений. Кодекс создает правовые гарантии провозглашенных в Конституции РФ земельных прав граждан; устанавливает приоритет охраны земли перед использованием в качестве недвижимости; приоритет охраны жизни и здоровья человека при решении вопроса о затратах
30187. Динамика роста и накопление сухого вещества по фазам развития растений яровой пшеницы в зависимости от условий питания и применения удобрений 80.51 KB
  Народнохозяйственное значение яровой пшеницы. Морфологические и биологические особенности яровой пшеницы. Влияние удобрений на урожайность и качество зерна яровой пшеницы яровых зерновых культур. Динамика роста и накопление сухого вещества по фазам развития растений яровой пшеницы в зависимости от условий питания и применения удобрений.
30188. Развитие композиционных умений учащихся 6-х классов средствами декоративного натюрморта в технике гуашь 1.13 MB
  Одной из основных задач образования является всестороннее созревание личности ребенка, а так же эстетическое воспитание подрастающего поколения. Эстетическое воспитание - это сложный и продолжительный процесс, дети приобретают первые художественные впечатления, изучая различные виды художественной деятельности. Изобразительная деятельность - специфическое, образное постижение действительности, которое может идти всевозможными путями.
30189. ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К СТАНОЧНЫМ ЭЛЕКТРОПРИВОДАМ 113.5 KB
  Так при требуемой точности ПОЗИционирования шпинделя 01максимальной частоте вращения двигателя 30005000 об мин суммарный диапазон изменения частоты вращения должен быть не менее 10000 Электромеханический способ регулирование скорости частоты вращения для приводов главного движения является наиболее перспективным. Требуемый технологический диапазон регулирования скорости шпинделя с постоянной мощностью равный 20 50 при двухступенчатой коробке скоростей можно обеспечить при электрическом регулированни скорости двигателя с постоянной...
30191. Учетная политика общества с ограниченной ответственностью «Релай Авто» 225 KB
  Учётная политика организации по бухгалтерскому учету. Рабочий план счетов организации. Расчет начисления амортизации за квартал 20122013 года с разбивкой по месяцам по любым 23 основным средствам организации.