5793

Ортогональные разложения Котельникова для непрерывных сигналов

Реферат

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Ортогональные разложения Котельникова для непрерывных сигналов. Сигналы с ограниченными и полосовыми спектрами. С целью упрощения задач анализа сигналов в инженерных расчетах учитывают только ту часть спектра, в которой сосредоточено до 80...95%...

Русский

2012-12-21

55 KB

19 чел.

Ортогональные разложения Котельникова для непрерывных сигналов.

1. Сигналы с ограниченными и полосовыми спектрами.

С целью упрощения задач анализа сигналов в инженерных расчетах учитывают только ту часть спектра, в которой сосредоточено до 80...95% энергии сигнала. Поэтому чаще всего большинство сигналов рассматривают как сигналы с ограниченными спектрами. Для их анализа наряду с разложением Фурье широко применяют разложение Котельникова.

Рассмотрим основные особенности этого разложения.

Ортогональное разложение Котельникова для непрерывных сигналов с ограниченными спектрами позволяет представлять их в виде импульсных последовательностей (см. рис.) Теоретической основой разложения служит теорема Котельникова (теорема отсчетов): любая непрерывная функция S(t), не содержащая частот выше F, полностью определяется последовательностью значений в моменты, отстоящие друг от друга на время t=1/2F.

Общее число отсчетов n для сигнала длительностью Т будет равно n=T/t=2FT=. Число называют базой сигнала.

Для сигнала S(t), спектр которого лежит в интервале [0,F], ортогональное разложение Котельникова имеет вид

                                          (44)

где S(kt)=Sk - отсчет сигнала в момент времени tk ;                  [sin2F(t-kt)]/[2F(t-kt)] - базисная система ортогональных функций с общей нормой 1/2F; t=1/2F-интервал дискретизации, равный норме базисных функций. Функция gk=[sin2F(t-kt)]/[2F(t-kt)]  называют функциями отсчетов, а значения S(kt) - отсчетами. График функции отсчетов имеет следующий вид (см. рис.).

Ортогональность функций отсчетов проверяют путем вычисления интеграла

                                              

                                                 

Интервал дискретизации не превышает половины периода наиболее высокой частоты спектра сигнала, что уменьшает число членов в данном разложении по сравнению с разложением Фурье при одинаковой точности аппроксимации. Точность аппроксимации так же как и в случае разложения Фурье определяется равенством (12). При этом мощность сигнала, через заданную последовательность временных выборок, выражается равенством Парсеваля ( формула (8)):

- энергия сигнала Е=                     (45)

- мощность сигнала за период колебания

                                  P=.                             (46)    

Из последнего выражения следует, что средняя за период Т мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборки. Усреднение производится по всем интервалам, число которых 2FT.

Достоинства ортогонального разложения Котельникова следующие : базисная система ортогональных функций выбрана так, что ряд (44) носит формальный характер, т.е. в любой момент отсчета tk он дает одно значение Sk, остальные составляющие ряда вырождаются в нуль; коэффициенты ряда (44) можно не вычислять; их определяют путем измерения значений сигнала или из его аналитической формы ; зная длительность сигнала Т и граничную частоту F, определяют требуемое число отсчетов n=2FT и энергию сигнала из (45); относительная простота реализации как разложения    ( т.е. дискретизации) непрерывного сигнала в импульсную последовательность, так и последующего его восстановления.

Остановимся более подробно на последней особенности. Для этого рассмотрим физический смысл разложения Котельникова. Каждый член суммы (44) представляет собой отклик идеального фильтра нижних частот gk (см. рис.) с частотой среза F на очень короткий импульс, приходящий в момент tk=kt и имеющий площадь S(kt). Поэтому при дискретной передаче сигнала S(t) с ограниченным спектром необходимо через равные интервалы времени t брать отсчеты мгновенных значений сигнала и передавать по каналу последовательность достаточно коротких импульсов длительностью , причем /t<<1. Амплитуду импульсов Ak в момент времени tk=kt выбирают так, чтобы Ak=S(kt)=Sk. В приемном устройстве выделенная последовательность видеоимпульсов пропускается через фильтр нижних частот, на выходе которого восстанавливается переданный непрерывный сигнал. Длительность импульсов  может быть сколь угодно малой, но выбирают ее исходя из полосы прозрачности канала связи. Частота дискретизации ( тактовая частота ) равна 2F.

2. Сигналы с полосовыми спектрами.

Если сигнал S(t) непрерывный, имеет полосовой спектр с шириной F1=f1-f2, то его можно представить в виде ортогонального разложения следующего вида :

  (46)

где 0=2(f1+f2)/2 - среднее значение угловой частоты спектра сигнала; t=1/2F1; S(k/F1); (k/F1) - отсчеты амплитуды и фазы сигнала в моменты tk=kt. Из формулы видно, что для сигналов с полосовыми спектрами необходимо через интервал дискретизации отсчитывать мгновенные значения не только амплитуд, но и фаз. Так, в частности, дискретизируют однополосные колебания - сигналы с полосовыми спектрами.                                      

Основные особенности ортогонального разложения Котельникова вида (46) следующие : базисная система включает совокупность ортогональных функций отсчетов, каждая из которых представляет собой модулированное по амплитуде колебание с несущей частотой 0 и огибающей, определяемой функцией gk(t); помимо отсчетов амплитуд берутся отсчеты фаз; если длительность сигнала Т, то число отсчетных точек n=T/t=2TF1.

В целом, все ортогональные разложения Котельникова - теоретическая основа большинства методов дискретной передачи непрерывных сигналов. Они позволяют с единых позиций рассматривать передачу как дискретных, так и непрерывных сигналов.

3. Теорема отсчетов в частотной области.

При анализе сигналов с непрерывными спектрами часто бывает необходимо представить сигнал с помощью частотных выборок спектральной функции , а не временных выборок функции S(t).

Для функции  можно составить ряд, аналогичный выражению (44), на основании взаимной заменяемости переменных t и в паре преобразований Фурье (36), (37). Применительно к выражению (44) это означает, что t следует заменить на , 2=2F на Т, t=1/2F на =2/T.

Таким образом получаем

  (47)

Расстановка частотных выборок иллюстрируется следующим рисунком.

Если ранее временной интервал между двумя соседними выборками не должен был превышать 2/2, то теперь частотный интервал не должен превышать 2/T. При ширине спектра 2, охватывающей область частот   -<<, число выборок равно 2/=2FT, т.е. как и при представлении сигнала рядом (44).

В общем случае выборки  являются комплексными числами и в каждой отсчетной точке на оси частот должны быть заданы два параметра - действительная и мнимая части , или модуль и аргумент. Таким образом общее число параметров получается вдвое большим, чем при временном представлении сигнала, когда выборки S(k/2F) - действительные числа. Избыточность представления сигнала в частотной области легко устраняется, если учесть, что  и  являются комплексно-сопряженными функциями, так что задание одной из них однозначно определяет другую. Таким образом, спектр сигнала полностью характеризуется совокупностью комплексных выборок, взятых только в области положительных частот, и число независимых параметров =2FT, как и при представлении сигнала во временной области.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27011. Построение запросов с использованием обобщающих функций 86 KB
  Таблица 3: onum номер заявки amt сумма заявкиodate дата cnum номер покупателя snun номер продавца Чтобы найти сумму на которую сделаны заявки: SELECT SUMamt FROM Orders; Подсчитать число продавцов имеющих заказы: SELECT COUNTDISTINCT snum FROM Orders; Результат: 5. Подсчитать количество читателей имеющих отчество Иванович Подсчитать количество книг которое числится за каждым читателем Отыскать читателя который взял максимальное число книг. Подсчитать общее число экземпляров книг издательства Мир Подсчитать...
27012. Создание и использование представлений 77 KB
  Введение в представления. В отличии от них представления это таблицы которые содержат данные других таблиц. В действительности представления это запросы выполняемые всякий раз когда представление является объектом команды. Например: CREATE VIEW СотрудникиМН AS SELECT FROM СОтрудники WHERE №отд = ‘О2; В результате создается представление СотрудникиМН с этим представлением можно выполнять любые операции то есть формировать запросы удалять вставлять соединять с другими таблицами и представлениями.
27013. Учет расчетов с подотчетными лицами 14.51 KB
  В бухгалтерском учете операции с подотчетными лицами отражаются следующими проводками: 1 выдан аванс на командировочные расходы: Дебет счета 71 Расчеты с подотчетными лицами Кредит счета 50 Касса; 2 отражены расходы по найму жилого помещения без учета НДС: Дебет счета 44 Расходы на продажу Кредит счета 71 Расчеты с подотчетными лицами; 3 учтена сумма НДС уплаченная за найм жилого помещения: Дебет счета 19 Налог на добавленную стоимость по приобретенным ценностям Кредит счета 71 Расчеты с подотчетными лицами; 4 возврат...
27014. Учет вложений в нефинансовые активы 15.97 KB
  Учет операций по вложениям в объекты основных средств нематериальных непроизведенных активов при их приобретении в том числе в сумме затрат связанных с выполнением научноисследовательских опытноконструкторских технологических работ отражается по дебету соответствующих счетов аналитического учета счета 010600000 Вложения в нефинансовые активы 010611310 010613330 010631310 010632320 с кредитом соответствующих счетов аналитического учета счета 010700000 Нефинансовые активы в пути 010711310 010731310 в случае приобретения объектов...
27015. Документальное оформление, оценка и учет отгрузки (отпуска) и продажи продукции, работ и услуг покупателям и заказчикам. Аналитический и синтетический учет отгрузки и реализации продукции 22.19 KB
  Аналитический и синтетический учет отгрузки и реализации продукции.Учет готовой продукции осуществляется в количественных и стоимостных показателях. Оценка готовой продукции ГП учитывается по фактическим затратам связанным с ее изготовлением по фактической производственной себестоимости включающей затраты связанные с использованием в процессе производства ос сырья материалов топлива энергии трудовых ресурсов и других затрат на производство продукции.
27016. Система нормативного регулирования бюджетного учета 14.8 KB
  Система нормативного регулирования бюджетного учета Бухгалтерский учет упорядоченная система сбора регистрации и обобщения информации в денежном выражении об имуществе обязательствах организаций и их движении путем сплошного непрерывного и документального учета всех хозяйственных операций. Бюджетный учет представляет собой упорядоченную систему сбора регистрации и обобщения информации в денежном выражении о состоянии финансовых и нефинансовых активов и обязательств Российской Федерации субъектов Российской Федерации и муниципальных...
27017. Анализ состояния и использования ОФ 18.16 KB
  Анализ состояния и использования ОФ Задачами анализа состояния и эффективности использования основных производственных фондов являются: установление обеспеченности предприятия и его структурных подразделений основными фондами соответствия величины состава и технического уровня фондов потребности в них; выяснение выполнения плана их роста обновления и выбытия; изучение технического состояния основных средств и особенно наиболее активной их части машин и оборудования; определение степени использования основных ...
27018. Аудиторские доказательства 13.93 KB
  Аудиторские доказательства Аудиторские доказательства это информация полученная аудитором при проведении проверки и результаты анализа указанной информации на которых основывается мнение аудитора. К аудиторским доказательствам относятся первичные документы и бухгалтерские записи являющиеся основой финансовой бухгалтерской отчетности а также письменные разъяснения уполномоченных сотрудников аудируемого лица и информация полученная из различных источников от третьих лиц. ОЦЕНКА Аудитор должен выбрать и выполнить уместные в рамках...
27019. Документальное оформление и учет поступления основных средств. Определение их первоначальной стоимости в зависимости от способа поступления 25.05 KB
  оформляют типовыми формами первичной учетной документации № формы Наименование формы ОС1 Акт о приемепередаче объекта ос кроме зданий сооружений ОС1а Акт о приемепередаче здания сооружения ОС1б Акт о приемепередаче групп объектов ос кроме зданий сооружений ОС2 Накладная на внутреннее перемещение объектов ос ОС3 Акт о приемесдаче отремх реконстрх модернизых объектов ос ОС4 Акт о списании объекта ос кроме автотранспортных средств ОС4а Акт о списании автотранспортных средств ОС4б Акт о списании групп объектов ос кроме...