5794

Особенности спектрального представления непериодических сигналов

Реферат

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Особенности спектрального представления непериодических сигналов. Разложение в ряд Фурье. Рассмотрим некоторую функцию, отличную от нуля в интервале времени от t1 до t2. Этой функцией описывается непериодическое колебание S(t). По...

Русский

2012-12-21

51.5 KB

19 чел.

Особенности спектрального представления непериодических сигналов.

а) Разложение в ряд Фурье.

Рассмотрим некоторую функцию, отличную от нуля в интервале времени от t1 до t2. Этой функцией описывается непериодическое колебание S(t)  (рис. a) . Поскольку не известен период повторения, то непосредственно в ряд Фурье по дискретным составляющим колебание S(t) разложить нельзя. Чтобы разрешить эту проблему функцию S(t) следует представить в виде периодического колебания V(t) c периодом  T (рис. б). В этом случае V(t)  и  S(t) cвязаны между собой соотношением

                                                                   (30)

Формула (30) - есть представление непериодического колебания S(t)  в виде периодического колебания V(t).

Последнее уже может быть представлено рядом Фурье, например, с помощью экспоненциальных функций комплексного аргумента :

                          ,                      (31)      

где                                          (32)

                          .

С учетом (31) и (32) из (30) имеем :

                  (33)

Ряд (33) определяет периодическую функцию V(t), полученную повторением функции S(t) c периодом T. Если период образованной последовательности T , то все импульсы, кроме исходного, “уйдут” в бесконечность и периодическая последовательность V(t) станет одиночным импульсом S(t). Это означает, что предел левой части (33) при T есть функция S(t) :

                                               (34)

Рассмотрим правую часть (34) при T. Очевидно, что частота основной гармоники ряда Фурье будет стремиться к нулю, т.к. 0=2/T, а T . При этом соседние спектральные составляющие ряда Фурье будут сближаться и при T станут сколь угодно близкими друг к другу (k+1-k=00), т.е. дискретный спектр станет сплошным. Поэтому в формуле (33) можно заменить k на текущую частоту, , 0 - на , а сумму на интеграл. Таким образом, при T от ряда Фурье в виде (33), переходим к двойному интегралу и с учетом (34) запишем :

                                               (35)

Внутренний интеграл обозначают обычно

                                                                      (36)

и называют спектральной плотностью или спектральной характеристикой непериодического сигнала. Как видно она зависит только от формы сигнала S(t). Формулу (36) называют прямым преобразованием Фурье и она позволяет по форме сигнала определить его спектральную характеристику.

С учетом (36) из (35) получаем

                                                                (37)

Эту формулу называют обратным преобразованием Фурье. Она позволяет по форме спектральной характеристики восстанавливать исходный сигнал.

Формулы (36) и (37) называют еще парой преобразований. Фурье и в этом случае обозначают : .

Комплексная функция  может быть записана в виде . Модуль спектральной плотности S() называют АЧХ  непериодического сигнала, а фазу () - его ФЧХ.

По физическому смыслу величина 2S() есть амплитуда колебания с частотой отнесенная к полосе частот в 1Гц. Т.к. формулы коэффициентов ряда Фурье и спектральной плотности отличаются только множителем 1/T, то модуль спектральной плотности импульса и огибающая дискретного сигнала периодической последовательности таких импульсов совпадают по форме.

б) Распределение энергии в спектре непериодического колебания.

Раньше для периодического колебания мы ввели понятие средней мощности, определяемой как количество энергии, приносимой сигналом за конечный интервал времени или период колебания. Если же колебание непериодическое, то его период T и средняя мощность такого колебания равна нулю. Поэтому для характеристики непериодических колебаний вводят другую величину - спектральную плотность энергии колебания, т.е. энергии, приходящейся на единицу полосы частот.

Для вывода соотношения для спектральной плотности воспользуемся соотношением, которое устанавливает связь между произведением двух сигналов f(t) и g(t) и их спектральными плотностями, соответственно  и . В математике оно известно  как теорема Парсеваля, согласно которой “если интегралы  и  существуют, то  где - величина, комплексно - сопряженная ”.

Предположим теперь, что f(t) и g(t) представляют собой одно и то же колебание S(t), т.е.

f(t)=g(t)=S(t)

В соответствии с формулой (8) интеграл  Э

определяет энергию колебания S(t), а произведение спектральных плотностей сигнала

равно квадрату модуля спектральной плотности этого колебания. С учетом теоремы Парсеваля приходим к соотношению для энергии непериодического колебания :  

              Э                (38)

Это соотношение устанавливает связь между энергией непериодического колебания и модулем его спектральной плотности. По аналогии с формулой (8) его называют равенством Парсеваля.

Величину (1/)S2()=dЭ/d  называют спектральной плотностью энергии колебания ( имеет смысл энергии, приходящейся на единицу полосы частот).

1.3.5. Исследование сигналов с помощью преобразований Лапласа.

Для разложения в ряд Фурье периодические и непериодические функции должны удовлетворять условию абсолютной интегрируемости :

Однако, на практике встречаются важные функции, не удовлетворяющие этому требованию, например, функция Хевисайда 1(t), или пакет из нескольких колебаний, включенных на некоторое время.

Для осуществления спектрального анализа таких функций используются различные приемы. Наиболее распространенный из них - это введение множителя сходимости, когда неинтегрируемая функция приближенного заменяется похожей интегрируемой, в пределе стремящейся к требуемой.

Например, функция 1(t) заменяется плавным экспоненциальным переходом и получается одиночный импульс, кото -                                                   рый раскладывают в ряд Фурье. Затем совершают предельный переход -                                                    0, e1 при всех t, а t0. В таком виде этот метод не является                                                    общим для всех функций.

Развитием этого метода в свете разложения Фурье, является переход к комплексной частоте : вместо частоты вводится параметр p=+j, при этом параметр , как увидим позднее, является параметром множителя сходимости : e. Для  удобства реализации такого перехода примем, что функция сигнала S(t), определенная при t, состоит из двух функций:

                                                          (33)

где S+(t) определена при t>0,

а S-(t) - при t<0.

Обращаясь к паре преобразований Фурье (35) и (36) совершим переход от к P сначало для функции S+(t). Для этого домножим S+(t) на e1, где 1 выберем таким образом, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции S+(t) в пределах 0<t<.

Тогда после подстановки p=1+j выражение (35) можно привести к виду

                     S+(t)

откуда 

                              S+(t)=                          (40)

где   (41)

Выражение (41) называется преобразованием Лапласа функции S+(t) (или прямым преобразованием Лапласа).

Соотношение (40) по аналогии с выражением (35) часто называют обратным преобразованием Лапласа.

Для функции S-(t) все точно также.  Для всей функции                                                                                                                                                                                       

                                        S(t)=S+(t)+S-(t)  

                                  LS(p)=LS+(p)+LS-(p)                                (40)      

и               S(t)            (43)

Пара соотношений (42) и (43) называются двухсторонними преобразованиями Лапласа.

Введение множителя сходимости р позволяет изменить путь интегрирования функции S(t) так, что ее полюса ( точки, где ) оказываются внутри контура интегрирования и не влияют на величину интеграла.

Метод преобразования Лапласа широко применяется в теории сигналов при спектральном анализе неинтегрируемых функций.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71071. Вивчення конструкції реле серії РН – 50 та перевірка роботи реле 625.5 KB
  Мета: Ознайомитись з конструкцією, технічними даними та принципом роботи реле РН – 50. Обладнання: Лабораторний стенд для перевірки параметрів реле: РН – 50. Знати: Призначення релейного захисту. Класифікацію реле напруги. Будову та використання. Вміти: Підключати реле. Регулювати уставку спрацювання...
71073. Введение в технологию синтеза полимеров. Научные основы получения полимеров с заданными свойствами 1018.18 KB
  По происхождению полимеры делятся на три группы: природные искусственные и синтетические. Искусственные полимеры получают путём обработки природных полимеров при их выделении очистке модификации при этом структура основных цепей остаётся неизменной. Синтетические полимеры получают в результате синтеза из низкомолекулярных веществ.
71074. Исследование ЭМП в условиях мегаполиса 126.58 KB
  При этом на территории занимаемой передающими устройствами не допускается размещение жилых и общественных зданий а на примыкающей к ней территории устанавливаются санитарно-защитные зоны и зоны ограничения застройки. Внешняя граница санитарно-защитной зоны определяется на высоте 2 м от поверхности земли по ПДУ ЭМП...
71075. Создание связей между таблицами 1.17 MB
  Если все сведения поместить в одной таблице, то она станет очень неудобной для работы. В ней начнутся повторы данных. Всякий раз, когда сотрудник Иванов будет работать с какой-либо фирмой, придется прописывать данные о сотруднике и клиенте заново, в результате чего можно допустить множество ошибок.
71076. Создание простейшей базы данных (с помощью шаблонов и конструктора таблиц) 459.37 KB
  Добавление записи Если вы хотите добавить в таблицу новую запись, просто установите курсор в любое поле последней (пустой) строки таблицы и введите значение.Программа автоматически создаст новую запись. Если первичным ключом служит поле с типом Счетчик, то записи будет автоматически присвоен идентификатор.
71077. Зібрати схеми суматорів, досліджувати їх характеристики 362 KB
  Суматори виконують арифметичне (в протилежність логічному) складання і віднімання чисел. Мають самостійне значення і є також ядром схем арифметико-логічних пристроїв (АЛП), що реалізують ряд різних операцій і є неодмінною частиною всіх процесорів. Апаратна складність і швидкодія суматора є дуже важливі параметри і тому розроблено безліч варіантів суматорів...
71079. ДИЛАТОМЕТРИЧНИЙ МЕТОД ДОСЛІДЖЕННЯ ЯК МЕТОД ВИВЧЕННЯ ФАЗОВИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ І ДЕФЕКТІВ У МЕТАЛАХ І СПЛАВАХ 265 KB
  В твердих тілах і рідинах теплове розширення пов’язано з несиметричністю (ангармонізмом) теплових коливань атомів. Завдяки цьому міжатомні відстані з підвищенням температури зазвичай збільшуються. Прості співвідношення (1)-(3) є справедливими для металів і сплавів в температурних інтервалах, в яких відсутні фазові перетворення 1-го роду...