5794

Особенности спектрального представления непериодических сигналов

Реферат

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Особенности спектрального представления непериодических сигналов. Разложение в ряд Фурье. Рассмотрим некоторую функцию, отличную от нуля в интервале времени от t1 до t2. Этой функцией описывается непериодическое колебание S(t). По...

Русский

2012-12-21

51.5 KB

19 чел.

Особенности спектрального представления непериодических сигналов.

а) Разложение в ряд Фурье.

Рассмотрим некоторую функцию, отличную от нуля в интервале времени от t1 до t2. Этой функцией описывается непериодическое колебание S(t)  (рис. a) . Поскольку не известен период повторения, то непосредственно в ряд Фурье по дискретным составляющим колебание S(t) разложить нельзя. Чтобы разрешить эту проблему функцию S(t) следует представить в виде периодического колебания V(t) c периодом  T (рис. б). В этом случае V(t)  и  S(t) cвязаны между собой соотношением

                                                                   (30)

Формула (30) - есть представление непериодического колебания S(t)  в виде периодического колебания V(t).

Последнее уже может быть представлено рядом Фурье, например, с помощью экспоненциальных функций комплексного аргумента :

                          ,                      (31)      

где                                          (32)

                          .

С учетом (31) и (32) из (30) имеем :

                  (33)

Ряд (33) определяет периодическую функцию V(t), полученную повторением функции S(t) c периодом T. Если период образованной последовательности T , то все импульсы, кроме исходного, “уйдут” в бесконечность и периодическая последовательность V(t) станет одиночным импульсом S(t). Это означает, что предел левой части (33) при T есть функция S(t) :

                                               (34)

Рассмотрим правую часть (34) при T. Очевидно, что частота основной гармоники ряда Фурье будет стремиться к нулю, т.к. 0=2/T, а T . При этом соседние спектральные составляющие ряда Фурье будут сближаться и при T станут сколь угодно близкими друг к другу (k+1-k=00), т.е. дискретный спектр станет сплошным. Поэтому в формуле (33) можно заменить k на текущую частоту, , 0 - на , а сумму на интеграл. Таким образом, при T от ряда Фурье в виде (33), переходим к двойному интегралу и с учетом (34) запишем :

                                               (35)

Внутренний интеграл обозначают обычно

                                                                      (36)

и называют спектральной плотностью или спектральной характеристикой непериодического сигнала. Как видно она зависит только от формы сигнала S(t). Формулу (36) называют прямым преобразованием Фурье и она позволяет по форме сигнала определить его спектральную характеристику.

С учетом (36) из (35) получаем

                                                                (37)

Эту формулу называют обратным преобразованием Фурье. Она позволяет по форме спектральной характеристики восстанавливать исходный сигнал.

Формулы (36) и (37) называют еще парой преобразований. Фурье и в этом случае обозначают : .

Комплексная функция  может быть записана в виде . Модуль спектральной плотности S() называют АЧХ  непериодического сигнала, а фазу () - его ФЧХ.

По физическому смыслу величина 2S() есть амплитуда колебания с частотой отнесенная к полосе частот в 1Гц. Т.к. формулы коэффициентов ряда Фурье и спектральной плотности отличаются только множителем 1/T, то модуль спектральной плотности импульса и огибающая дискретного сигнала периодической последовательности таких импульсов совпадают по форме.

б) Распределение энергии в спектре непериодического колебания.

Раньше для периодического колебания мы ввели понятие средней мощности, определяемой как количество энергии, приносимой сигналом за конечный интервал времени или период колебания. Если же колебание непериодическое, то его период T и средняя мощность такого колебания равна нулю. Поэтому для характеристики непериодических колебаний вводят другую величину - спектральную плотность энергии колебания, т.е. энергии, приходящейся на единицу полосы частот.

Для вывода соотношения для спектральной плотности воспользуемся соотношением, которое устанавливает связь между произведением двух сигналов f(t) и g(t) и их спектральными плотностями, соответственно  и . В математике оно известно  как теорема Парсеваля, согласно которой “если интегралы  и  существуют, то  где - величина, комплексно - сопряженная ”.

Предположим теперь, что f(t) и g(t) представляют собой одно и то же колебание S(t), т.е.

f(t)=g(t)=S(t)

В соответствии с формулой (8) интеграл  Э

определяет энергию колебания S(t), а произведение спектральных плотностей сигнала

равно квадрату модуля спектральной плотности этого колебания. С учетом теоремы Парсеваля приходим к соотношению для энергии непериодического колебания :  

              Э                (38)

Это соотношение устанавливает связь между энергией непериодического колебания и модулем его спектральной плотности. По аналогии с формулой (8) его называют равенством Парсеваля.

Величину (1/)S2()=dЭ/d  называют спектральной плотностью энергии колебания ( имеет смысл энергии, приходящейся на единицу полосы частот).

1.3.5. Исследование сигналов с помощью преобразований Лапласа.

Для разложения в ряд Фурье периодические и непериодические функции должны удовлетворять условию абсолютной интегрируемости :

Однако, на практике встречаются важные функции, не удовлетворяющие этому требованию, например, функция Хевисайда 1(t), или пакет из нескольких колебаний, включенных на некоторое время.

Для осуществления спектрального анализа таких функций используются различные приемы. Наиболее распространенный из них - это введение множителя сходимости, когда неинтегрируемая функция приближенного заменяется похожей интегрируемой, в пределе стремящейся к требуемой.

Например, функция 1(t) заменяется плавным экспоненциальным переходом и получается одиночный импульс, кото -                                                   рый раскладывают в ряд Фурье. Затем совершают предельный переход -                                                    0, e1 при всех t, а t0. В таком виде этот метод не является                                                    общим для всех функций.

Развитием этого метода в свете разложения Фурье, является переход к комплексной частоте : вместо частоты вводится параметр p=+j, при этом параметр , как увидим позднее, является параметром множителя сходимости : e. Для  удобства реализации такого перехода примем, что функция сигнала S(t), определенная при t, состоит из двух функций:

                                                          (33)

где S+(t) определена при t>0,

а S-(t) - при t<0.

Обращаясь к паре преобразований Фурье (35) и (36) совершим переход от к P сначало для функции S+(t). Для этого домножим S+(t) на e1, где 1 выберем таким образом, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции S+(t) в пределах 0<t<.

Тогда после подстановки p=1+j выражение (35) можно привести к виду

                     S+(t)

откуда 

                              S+(t)=                          (40)

где   (41)

Выражение (41) называется преобразованием Лапласа функции S+(t) (или прямым преобразованием Лапласа).

Соотношение (40) по аналогии с выражением (35) часто называют обратным преобразованием Лапласа.

Для функции S-(t) все точно также.  Для всей функции                                                                                                                                                                                       

                                        S(t)=S+(t)+S-(t)  

                                  LS(p)=LS+(p)+LS-(p)                                (40)      

и               S(t)            (43)

Пара соотношений (42) и (43) называются двухсторонними преобразованиями Лапласа.

Введение множителя сходимости р позволяет изменить путь интегрирования функции S(t) так, что ее полюса ( точки, где ) оказываются внутри контура интегрирования и не влияют на величину интеграла.

Метод преобразования Лапласа широко применяется в теории сигналов при спектральном анализе неинтегрируемых функций.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29364. Хеш – адресация в информационных таблицах 51.5 KB
  В основе организации таблиц с хешадресацией лежит процедура хеширования. Хеширование – преобразование символьного имени идентификатора в числовой индекс элемента таблицы с помощью простых арифметических и логических операций.Конкретный способ хеширования задает хешфункция.
29365. Методы вычисления хеш-функции 24 KB
  Хорошая хешфункция распределяет вычисляемые индексы элементов в таблице равномерно по всей таблице чтобы уменьшить количество возникающих коллизий. Лучший результат дает использование в качестве хешфункции кода последнего символа имени.В трансляторах хешфункция является более сложной и зависит как от кодов внутреннего представления символов имени так и от его длины.
29366. Разрешения коллизий в хеш-таблицах методом рехеширования 31.5 KB
  Является не пустым возникает коллизия которую надо устранить путём выбора другой ячейки таблицы для имени S. Выбор такой ячейки производится:h1 = h p1mod N p1 – некоторое приращение. Если элемент таблицы h1 тоже не пустой то рассматривается новый элемент:h2 = h p2mod N hi = h pimod N до тех пор пока не будет найден элемент таблицы что1 элемент пустой тогда имя S в таблице отсутствует и записывается в таблице под инд. элементами таблицы должно быть минимальным. p1 = 1 p2 = 2 pi =...
29367. Реализация операций поиска и записи в хеш-таблицах по методу цепочек 27 KB
  на размер таблицы т. ситуация переполнения таблицы отсутствует.Для реализации метода цепочек необходимо следующее: таблица имён с дополнительным полем связи которое может содержать либо 0 либо адреса других элементов этой же таблицы. последнего записанного элемента таблицы.
29369. зыки проектирования как составная часть лингвистического обеспечения САПР 29.5 KB
  Языки проектирования – языки предназначенные для описания информации об объекте и процессе проектирования. а Входные языки предназначены для задания исходной информации об объектах и целях проектирования. Эти языки представляют собой совокупность языков описания объектов описания заданий и описания процессов.
29370. Определение формальной грамматики 49 KB
  Конечное множество символов неделимых в данном рассмотрении в теории формальных грамматик называется словарем или алфавитом а символы входящие в множество буквами алфавита. Последовательность букв алфавита называется словом или цепочкой в этом алфавите. Если задан алфавит A то обозначим A множество всевозможных цепочек которые могут быть построены из букв алфавита A. Формальной порождающей грамматикой Г называется следующая совокупность четырех объектов: Г = { Vт VA I VA R } где Vт терминальный алфавит словарь; буквы этого...
29371. Классы формальных грамматик 47 KB
  В теории формальных языков выделяются 4 типа грамматик которым соответствуют 4 типа языков. Эти грамматики выделяются путем наложения усиливающихся ограничений на правила грамматики Грамматики типа 0 Грамматики типа 0 которые называют грамматиками общего вида не имеют никаких ограничений на правила порождения. Грамматики типа 1 Грамматики типа 1 которые называют также контекстнозависимыми грамматиками не допускают использования любых правил. Грамматики типа 1 значительно удобнее на практике чем грамматики типа 0 поскольку в левой части...
29372. Синтаксические диаграммы 53 KB
  Каждое появление терминального символа x в цепочке ai изображается на диаграмме дугой помеченной этим символом x заключенным в кружок. Каждому появлению нетерминального символа A в цепочке ai ставится в соответствие на диаграмме дуга помеченная символом заключённым в квадрат.an изображается на диаграмме следующим образом: 5. an изображается на диаграмме так: 6.