5794

Особенности спектрального представления непериодических сигналов

Реферат

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Особенности спектрального представления непериодических сигналов. Разложение в ряд Фурье. Рассмотрим некоторую функцию, отличную от нуля в интервале времени от t1 до t2. Этой функцией описывается непериодическое колебание S(t). По...

Русский

2012-12-21

51.5 KB

19 чел.

Особенности спектрального представления непериодических сигналов.

а) Разложение в ряд Фурье.

Рассмотрим некоторую функцию, отличную от нуля в интервале времени от t1 до t2. Этой функцией описывается непериодическое колебание S(t)  (рис. a) . Поскольку не известен период повторения, то непосредственно в ряд Фурье по дискретным составляющим колебание S(t) разложить нельзя. Чтобы разрешить эту проблему функцию S(t) следует представить в виде периодического колебания V(t) c периодом  T (рис. б). В этом случае V(t)  и  S(t) cвязаны между собой соотношением

                                                                   (30)

Формула (30) - есть представление непериодического колебания S(t)  в виде периодического колебания V(t).

Последнее уже может быть представлено рядом Фурье, например, с помощью экспоненциальных функций комплексного аргумента :

                          ,                      (31)      

где                                          (32)

                          .

С учетом (31) и (32) из (30) имеем :

                  (33)

Ряд (33) определяет периодическую функцию V(t), полученную повторением функции S(t) c периодом T. Если период образованной последовательности T , то все импульсы, кроме исходного, “уйдут” в бесконечность и периодическая последовательность V(t) станет одиночным импульсом S(t). Это означает, что предел левой части (33) при T есть функция S(t) :

                                               (34)

Рассмотрим правую часть (34) при T. Очевидно, что частота основной гармоники ряда Фурье будет стремиться к нулю, т.к. 0=2/T, а T . При этом соседние спектральные составляющие ряда Фурье будут сближаться и при T станут сколь угодно близкими друг к другу (k+1-k=00), т.е. дискретный спектр станет сплошным. Поэтому в формуле (33) можно заменить k на текущую частоту, , 0 - на , а сумму на интеграл. Таким образом, при T от ряда Фурье в виде (33), переходим к двойному интегралу и с учетом (34) запишем :

                                               (35)

Внутренний интеграл обозначают обычно

                                                                      (36)

и называют спектральной плотностью или спектральной характеристикой непериодического сигнала. Как видно она зависит только от формы сигнала S(t). Формулу (36) называют прямым преобразованием Фурье и она позволяет по форме сигнала определить его спектральную характеристику.

С учетом (36) из (35) получаем

                                                                (37)

Эту формулу называют обратным преобразованием Фурье. Она позволяет по форме спектральной характеристики восстанавливать исходный сигнал.

Формулы (36) и (37) называют еще парой преобразований. Фурье и в этом случае обозначают : .

Комплексная функция  может быть записана в виде . Модуль спектральной плотности S() называют АЧХ  непериодического сигнала, а фазу () - его ФЧХ.

По физическому смыслу величина 2S() есть амплитуда колебания с частотой отнесенная к полосе частот в 1Гц. Т.к. формулы коэффициентов ряда Фурье и спектральной плотности отличаются только множителем 1/T, то модуль спектральной плотности импульса и огибающая дискретного сигнала периодической последовательности таких импульсов совпадают по форме.

б) Распределение энергии в спектре непериодического колебания.

Раньше для периодического колебания мы ввели понятие средней мощности, определяемой как количество энергии, приносимой сигналом за конечный интервал времени или период колебания. Если же колебание непериодическое, то его период T и средняя мощность такого колебания равна нулю. Поэтому для характеристики непериодических колебаний вводят другую величину - спектральную плотность энергии колебания, т.е. энергии, приходящейся на единицу полосы частот.

Для вывода соотношения для спектральной плотности воспользуемся соотношением, которое устанавливает связь между произведением двух сигналов f(t) и g(t) и их спектральными плотностями, соответственно  и . В математике оно известно  как теорема Парсеваля, согласно которой “если интегралы  и  существуют, то  где - величина, комплексно - сопряженная ”.

Предположим теперь, что f(t) и g(t) представляют собой одно и то же колебание S(t), т.е.

f(t)=g(t)=S(t)

В соответствии с формулой (8) интеграл  Э

определяет энергию колебания S(t), а произведение спектральных плотностей сигнала

равно квадрату модуля спектральной плотности этого колебания. С учетом теоремы Парсеваля приходим к соотношению для энергии непериодического колебания :  

              Э                (38)

Это соотношение устанавливает связь между энергией непериодического колебания и модулем его спектральной плотности. По аналогии с формулой (8) его называют равенством Парсеваля.

Величину (1/)S2()=dЭ/d  называют спектральной плотностью энергии колебания ( имеет смысл энергии, приходящейся на единицу полосы частот).

1.3.5. Исследование сигналов с помощью преобразований Лапласа.

Для разложения в ряд Фурье периодические и непериодические функции должны удовлетворять условию абсолютной интегрируемости :

Однако, на практике встречаются важные функции, не удовлетворяющие этому требованию, например, функция Хевисайда 1(t), или пакет из нескольких колебаний, включенных на некоторое время.

Для осуществления спектрального анализа таких функций используются различные приемы. Наиболее распространенный из них - это введение множителя сходимости, когда неинтегрируемая функция приближенного заменяется похожей интегрируемой, в пределе стремящейся к требуемой.

Например, функция 1(t) заменяется плавным экспоненциальным переходом и получается одиночный импульс, кото -                                                   рый раскладывают в ряд Фурье. Затем совершают предельный переход -                                                    0, e1 при всех t, а t0. В таком виде этот метод не является                                                    общим для всех функций.

Развитием этого метода в свете разложения Фурье, является переход к комплексной частоте : вместо частоты вводится параметр p=+j, при этом параметр , как увидим позднее, является параметром множителя сходимости : e. Для  удобства реализации такого перехода примем, что функция сигнала S(t), определенная при t, состоит из двух функций:

                                                          (33)

где S+(t) определена при t>0,

а S-(t) - при t<0.

Обращаясь к паре преобразований Фурье (35) и (36) совершим переход от к P сначало для функции S+(t). Для этого домножим S+(t) на e1, где 1 выберем таким образом, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции S+(t) в пределах 0<t<.

Тогда после подстановки p=1+j выражение (35) можно привести к виду

                     S+(t)

откуда 

                              S+(t)=                          (40)

где   (41)

Выражение (41) называется преобразованием Лапласа функции S+(t) (или прямым преобразованием Лапласа).

Соотношение (40) по аналогии с выражением (35) часто называют обратным преобразованием Лапласа.

Для функции S-(t) все точно также.  Для всей функции                                                                                                                                                                                       

                                        S(t)=S+(t)+S-(t)  

                                  LS(p)=LS+(p)+LS-(p)                                (40)      

и               S(t)            (43)

Пара соотношений (42) и (43) называются двухсторонними преобразованиями Лапласа.

Введение множителя сходимости р позволяет изменить путь интегрирования функции S(t) так, что ее полюса ( точки, где ) оказываются внутри контура интегрирования и не влияют на величину интеграла.

Метод преобразования Лапласа широко применяется в теории сигналов при спектральном анализе неинтегрируемых функций.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54175. Первісна. Інтеграл. Застосування інтегралу при розвязуванні задач економічного змісту 690.5 KB
  Група студентів ділиться на чотири команди. На першому етапі заняття проводиться узагальнення та систематизація знань учнів з теми, розглядаються учнівські презентації про виникнення інтегралу та його використання. На другому етапі – пояснення нового матеріалу, потім його закріплення в вигляді створення проектів кожною підгрупою.
54176. Развитие культуры в условиях нижнего и среднего палеолита 33 KB
  Одним из важнейших способов выживания человека в первобытную эпоху стал беспрерывный процесс познания окружающего мира. На раннем этапе жизни человека предметом познания и осмысления является природа, от которой напрямую зависит жизнь человеческого общества.
54177. Новые информационные технологии в профильном обучении математики на примере темы „Многогранники” в 11 классе 827.5 KB
  Рассмотрение различных случаев взаимного расположения диагоналей ребер и граней многогранника использование для этого моделей и готовых чертежей способствует развитию пространственных представлений учащихся их интуиции Рис. Особо подчеркиваются характеристические свойства призмы.
54178. Видатні вчені на уроках математики 165 KB
  Задача 2 Вирішивши поділити всі свої заощадження між усіма синами хтось склав такий заповіт: Старший з моїх синів повинен отримати 1000 франків і 1 8 частину остачі; наступний 2000 франків і 1 8 нової остачі; третій син 3000 франків і 1 8 частини третьої остачі і т. Так як усі сини отримали порівну то 1 8 частина кожної нової остачі була на 1000 франків менше 1 8 частини попередньої остачі тобто уся нова остача була на 8000 франків менше попередньої. Так як за умовою усі гроші були розділені повністю то коли молодший син отримав по...
54179. Видатні вчені на уроках математики: Евклід, Б.В.Гнеденко, Карл Фрідріх Гаусс 110 KB
  Евклід (бл.365 – бл.300 до н. е.) – старогрецький математик визнаний основоположник математики. Родом з Афін, учень Платона. Автор найдавніших трактатів з математики. Основна праця «Начала» (латинізована назва «Елементи») включає в себе 15 книжок, у яких міститься систематизований вклад геометрії, а також деяких питань теорії чисел.
54180. Метод розмірностей 342 KB
  Однак виявляється що метод розмірностей може бути використаний не тільки і не скільки для перевірки правильності розвязку поставленої задачі але й для виведення з точністю до константи невідомих співвідношень між фізичними величинами. 1 Основним фундаментальним підходом методу розмірностей є те що будьяку таку функцію ми можемо представити у вигляді наступного виразу y = C x1α x2β x3γ xnω 2 де C безрозмірна константа;...
54181. Як вчити школярів V-V1 класів розв’язувати задачі 101.5 KB
  Звичайно мова йде не про вправи тренувального характеру а про нестандартні завдання пошук рішення яких складає важливий компонент доступної дітям математичної творчості. Перш за все слід врахувати що навчитися вирішувати завдання школярі зможуть лише вирішуючи їх. Якщо ви хочете навчитися плавати то сміливо входите в воду а якщо хочете навчитися вирішувати завдання то вирішуйте їх пише Д. Рішення будьякого досить складного завдання вимагає від учня напруженої праці волі й наполегливості які найбільш сильно проявляються тоді...
54182. Становление элементов культуры в эпоху верхнего палеолита 37 KB
  Координаты вектора Чтобы найти координаты вектора нужно из координат конца вычесть соответственные координаты начала. Абсолютная величина вектора модуль вектора длина вектора Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат. Равные вектора Векторы равны если равны их соответственные координаты и наоборот. б Условие коллинеарности векторов Если два вектора коллинеарны то их соответственные координаты пропорциональны и наоборот.
54183. Теоретические аспекты коррекционно-воспитательной работы на уроках математики 122 KB
  Коррекционно-воспитательная работа это система комплексных мер педагогического воздействия на различные особенности аномального развития личности ей подчинены все формы и виды классной и внеклассной работы в процессе формирования у школьников общеобразовательных знаний умений и навыков. Описание опыта Для изучения причин неуспеваемости и планировании коррекционной работы с учащимися предлагаю использовать аналитическую схему которую заполняют учителя медсестра психолог классный руководитель в процессе бесед с учащимися на каждого...