5794

Особенности спектрального представления непериодических сигналов

Реферат

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Особенности спектрального представления непериодических сигналов. Разложение в ряд Фурье. Рассмотрим некоторую функцию, отличную от нуля в интервале времени от t1 до t2. Этой функцией описывается непериодическое колебание S(t). По...

Русский

2012-12-21

51.5 KB

19 чел.

Особенности спектрального представления непериодических сигналов.

а) Разложение в ряд Фурье.

Рассмотрим некоторую функцию, отличную от нуля в интервале времени от t1 до t2. Этой функцией описывается непериодическое колебание S(t)  (рис. a) . Поскольку не известен период повторения, то непосредственно в ряд Фурье по дискретным составляющим колебание S(t) разложить нельзя. Чтобы разрешить эту проблему функцию S(t) следует представить в виде периодического колебания V(t) c периодом  T (рис. б). В этом случае V(t)  и  S(t) cвязаны между собой соотношением

                                                                   (30)

Формула (30) - есть представление непериодического колебания S(t)  в виде периодического колебания V(t).

Последнее уже может быть представлено рядом Фурье, например, с помощью экспоненциальных функций комплексного аргумента :

                          ,                      (31)      

где                                          (32)

                          .

С учетом (31) и (32) из (30) имеем :

                  (33)

Ряд (33) определяет периодическую функцию V(t), полученную повторением функции S(t) c периодом T. Если период образованной последовательности T , то все импульсы, кроме исходного, “уйдут” в бесконечность и периодическая последовательность V(t) станет одиночным импульсом S(t). Это означает, что предел левой части (33) при T есть функция S(t) :

                                               (34)

Рассмотрим правую часть (34) при T. Очевидно, что частота основной гармоники ряда Фурье будет стремиться к нулю, т.к. 0=2/T, а T . При этом соседние спектральные составляющие ряда Фурье будут сближаться и при T станут сколь угодно близкими друг к другу (k+1-k=00), т.е. дискретный спектр станет сплошным. Поэтому в формуле (33) можно заменить k на текущую частоту, , 0 - на , а сумму на интеграл. Таким образом, при T от ряда Фурье в виде (33), переходим к двойному интегралу и с учетом (34) запишем :

                                               (35)

Внутренний интеграл обозначают обычно

                                                                      (36)

и называют спектральной плотностью или спектральной характеристикой непериодического сигнала. Как видно она зависит только от формы сигнала S(t). Формулу (36) называют прямым преобразованием Фурье и она позволяет по форме сигнала определить его спектральную характеристику.

С учетом (36) из (35) получаем

                                                                (37)

Эту формулу называют обратным преобразованием Фурье. Она позволяет по форме спектральной характеристики восстанавливать исходный сигнал.

Формулы (36) и (37) называют еще парой преобразований. Фурье и в этом случае обозначают : .

Комплексная функция  может быть записана в виде . Модуль спектральной плотности S() называют АЧХ  непериодического сигнала, а фазу () - его ФЧХ.

По физическому смыслу величина 2S() есть амплитуда колебания с частотой отнесенная к полосе частот в 1Гц. Т.к. формулы коэффициентов ряда Фурье и спектральной плотности отличаются только множителем 1/T, то модуль спектральной плотности импульса и огибающая дискретного сигнала периодической последовательности таких импульсов совпадают по форме.

б) Распределение энергии в спектре непериодического колебания.

Раньше для периодического колебания мы ввели понятие средней мощности, определяемой как количество энергии, приносимой сигналом за конечный интервал времени или период колебания. Если же колебание непериодическое, то его период T и средняя мощность такого колебания равна нулю. Поэтому для характеристики непериодических колебаний вводят другую величину - спектральную плотность энергии колебания, т.е. энергии, приходящейся на единицу полосы частот.

Для вывода соотношения для спектральной плотности воспользуемся соотношением, которое устанавливает связь между произведением двух сигналов f(t) и g(t) и их спектральными плотностями, соответственно  и . В математике оно известно  как теорема Парсеваля, согласно которой “если интегралы  и  существуют, то  где - величина, комплексно - сопряженная ”.

Предположим теперь, что f(t) и g(t) представляют собой одно и то же колебание S(t), т.е.

f(t)=g(t)=S(t)

В соответствии с формулой (8) интеграл  Э

определяет энергию колебания S(t), а произведение спектральных плотностей сигнала

равно квадрату модуля спектральной плотности этого колебания. С учетом теоремы Парсеваля приходим к соотношению для энергии непериодического колебания :  

              Э                (38)

Это соотношение устанавливает связь между энергией непериодического колебания и модулем его спектральной плотности. По аналогии с формулой (8) его называют равенством Парсеваля.

Величину (1/)S2()=dЭ/d  называют спектральной плотностью энергии колебания ( имеет смысл энергии, приходящейся на единицу полосы частот).

1.3.5. Исследование сигналов с помощью преобразований Лапласа.

Для разложения в ряд Фурье периодические и непериодические функции должны удовлетворять условию абсолютной интегрируемости :

Однако, на практике встречаются важные функции, не удовлетворяющие этому требованию, например, функция Хевисайда 1(t), или пакет из нескольких колебаний, включенных на некоторое время.

Для осуществления спектрального анализа таких функций используются различные приемы. Наиболее распространенный из них - это введение множителя сходимости, когда неинтегрируемая функция приближенного заменяется похожей интегрируемой, в пределе стремящейся к требуемой.

Например, функция 1(t) заменяется плавным экспоненциальным переходом и получается одиночный импульс, кото -                                                   рый раскладывают в ряд Фурье. Затем совершают предельный переход -                                                    0, e1 при всех t, а t0. В таком виде этот метод не является                                                    общим для всех функций.

Развитием этого метода в свете разложения Фурье, является переход к комплексной частоте : вместо частоты вводится параметр p=+j, при этом параметр , как увидим позднее, является параметром множителя сходимости : e. Для  удобства реализации такого перехода примем, что функция сигнала S(t), определенная при t, состоит из двух функций:

                                                          (33)

где S+(t) определена при t>0,

а S-(t) - при t<0.

Обращаясь к паре преобразований Фурье (35) и (36) совершим переход от к P сначало для функции S+(t). Для этого домножим S+(t) на e1, где 1 выберем таким образом, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции S+(t) в пределах 0<t<.

Тогда после подстановки p=1+j выражение (35) можно привести к виду

                     S+(t)

откуда 

                              S+(t)=                          (40)

где   (41)

Выражение (41) называется преобразованием Лапласа функции S+(t) (или прямым преобразованием Лапласа).

Соотношение (40) по аналогии с выражением (35) часто называют обратным преобразованием Лапласа.

Для функции S-(t) все точно также.  Для всей функции                                                                                                                                                                                       

                                        S(t)=S+(t)+S-(t)  

                                  LS(p)=LS+(p)+LS-(p)                                (40)      

и               S(t)            (43)

Пара соотношений (42) и (43) называются двухсторонними преобразованиями Лапласа.

Введение множителя сходимости р позволяет изменить путь интегрирования функции S(t) так, что ее полюса ( точки, где ) оказываются внутри контура интегрирования и не влияют на величину интеграла.

Метод преобразования Лапласа широко применяется в теории сигналов при спектральном анализе неинтегрируемых функций.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80835. ПРИНЦИПЫ ФОРМИРОВАНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКА ЗВЕНЬЕВ ФИНАНСОВО-КРЕДИТНОЙ СИСТЕМЫ ГОСУДАРСТВА 46.87 KB
  В бюджетную систему России входят бюджеты трех уровней являясь ее самостоятельными частями. К ним относятся государственные бюджеты двух уровней: а Федеральный бюджет; б Бюджеты субъектов Федерации – республиканские бюджеты республик в составе РФ; краевые областные бюджеты краев и областей городские бюджеты городов Москвы и СанктПетербурга областной бюджет автономной области и окружные бюджеты автономных округов. Третий уровень – местные бюджеты к которым относятся бюджеты муниципальных образований бюджеты районов городов и других...
80836. ФИНАНСОВЫЙ БАЛАНС МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ 46.41 KB
  Баланс финансовых ресурсов составляется в соответствии с БК РФ и используется при составлении проекта бюджета. Показатели баланса фин ресурсов формируются на основе прогноза социальноэкономического развития и отчетного баланса фин ресурсов за предыдущий год. Баланс финресурсов позволяет выявить действительный объем и движение всех финансовых ресурсов отразить последовательно и во взаимосвязи их движение включая образование финресурсов передачу в централизованные фонды государства федеральный и региональный уровни получение ресурсов...
80837. ХАРАКТЕРИСТИКА ОСНОВНЫХ ЭТАПОВ БЮДЖЕТНОГО ПРОЦЕССА ГОСУДАРСТВА 45.96 KB
  главные администраторы администраторы доходов бюджета; 10. главные администраторы администраторы источников финансирования дефицита бюджета. Основные задачи бюджетного процесса: выявление материальных и финансовых резервов государства; максимально приближенный к реальности расчет доходов бюджетов; максимально точный расчет расходов бюджетов; обеспечение максимальной сбалансированности бюджетов; согласование бюджетов с реализуемой экономической программой; осуществление бюджетного регулирования в целях перераспределения источников...
80838. ЗАКОНОМЕРНОСТИ, ПРИНЦИПЫ И ФАКТОРЫ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХ СИЛ 44.34 KB
  Производительные силы – система субъективных человек и вещественных элементов осуществляющих обмен веществ между человеком и природой в процессе общественного производства. Для современного состояния экономического развития особое значение приобретает рациональное размещение производительных сил позволяющее обеспечивать нам наибольшую эффективность производства получать максимальную прибыль при бережном рациональном использовании природноресурсного потенциала сохранении и улучшении экологических условий жизни населения. Современное...
80839. РЕГИОНАЛЬНАЯ ПОЛИТИКА ГОСУДАРСТВА, ЦЕЛИ И ПОКАЗАТЕЛИ СОЦИАЛЬНО – ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ РЕГИОНОВ 50.53 KB
  развития регионов является улучшение качества жизни населения. Среди тактических целей развития региона города можно назвать: привлечение новых видов бизнеса; расширение существующего бизнеса развитие малого бизнеса центра города сферы услуг повышение уровня занятости населения региона привлечение средств нас. развития региона: 1 Индекс Развития Человеческого Потенциала.
80840. ГОСУДАРСТВЕННАЯ ВЛАСТЬ В ГОСУДАРСТВЕННОМ УПРАВЛЕНИИ: ПОНЯТИЕ, ОСНОВНЫЕ КОНЦЕПЦИИ 47.48 KB
  Государственная власть – право и возможность государства регулировать общественные отношения определять правила и нормы поведения и деятельности человека а также создаваемых им структур. Принцип разделения властей означает что законотворческая деятельность осуществляется законодательным представительным органом исполнительнораспорядительная деятельность органами исполнительной власти судебная власть судами при этом законодательная исполнительная и судебная ветви власти самостоятельны и относительно независимы. Государственная...
80841. СУЩНОСТЬ ПРИНЦИПА РАЗДЕЛЕНИЯ ВЛАСТЕЙ И ОСОБЕННОСТИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ В РОССИИ 48.39 KB
  Федеральное Собрание; –исполнительная –в лице правительства Председатель Правительства его заместители федеральные министры в Российской Федерации; –судебная в лице судебной системы Конституционный Суд РФ...
80842. БЮРОКРАТИЯ И БЮРОКРАТИЗМ В ГОСУДАРСТВЕННОМ УПРАВЛЕНИИ 44.08 KB
  Веберу тип идеальной рациональной организации характеризующийся: эффективностью административных действий достигаемой за счет специализации квалифицированного управленческого аппарата и формального разделения обязанностей; иерархической системой контроля и подчинения должностных лиц; безличностными отношениями основанными на зафиксированных законах и правилах определяющих принятие решений; отделением административных функций от собственно средств управления. бюрократия рационально организованная система управления в которой...