5794

Особенности спектрального представления непериодических сигналов

Реферат

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Особенности спектрального представления непериодических сигналов. Разложение в ряд Фурье. Рассмотрим некоторую функцию, отличную от нуля в интервале времени от t1 до t2. Этой функцией описывается непериодическое колебание S(t). По...

Русский

2012-12-21

51.5 KB

19 чел.

Особенности спектрального представления непериодических сигналов.

а) Разложение в ряд Фурье.

Рассмотрим некоторую функцию, отличную от нуля в интервале времени от t1 до t2. Этой функцией описывается непериодическое колебание S(t)  (рис. a) . Поскольку не известен период повторения, то непосредственно в ряд Фурье по дискретным составляющим колебание S(t) разложить нельзя. Чтобы разрешить эту проблему функцию S(t) следует представить в виде периодического колебания V(t) c периодом  T (рис. б). В этом случае V(t)  и  S(t) cвязаны между собой соотношением

                                                                   (30)

Формула (30) - есть представление непериодического колебания S(t)  в виде периодического колебания V(t).

Последнее уже может быть представлено рядом Фурье, например, с помощью экспоненциальных функций комплексного аргумента :

                          ,                      (31)      

где                                          (32)

                          .

С учетом (31) и (32) из (30) имеем :

                  (33)

Ряд (33) определяет периодическую функцию V(t), полученную повторением функции S(t) c периодом T. Если период образованной последовательности T , то все импульсы, кроме исходного, “уйдут” в бесконечность и периодическая последовательность V(t) станет одиночным импульсом S(t). Это означает, что предел левой части (33) при T есть функция S(t) :

                                               (34)

Рассмотрим правую часть (34) при T. Очевидно, что частота основной гармоники ряда Фурье будет стремиться к нулю, т.к. 0=2/T, а T . При этом соседние спектральные составляющие ряда Фурье будут сближаться и при T станут сколь угодно близкими друг к другу (k+1-k=00), т.е. дискретный спектр станет сплошным. Поэтому в формуле (33) можно заменить k на текущую частоту, , 0 - на , а сумму на интеграл. Таким образом, при T от ряда Фурье в виде (33), переходим к двойному интегралу и с учетом (34) запишем :

                                               (35)

Внутренний интеграл обозначают обычно

                                                                      (36)

и называют спектральной плотностью или спектральной характеристикой непериодического сигнала. Как видно она зависит только от формы сигнала S(t). Формулу (36) называют прямым преобразованием Фурье и она позволяет по форме сигнала определить его спектральную характеристику.

С учетом (36) из (35) получаем

                                                                (37)

Эту формулу называют обратным преобразованием Фурье. Она позволяет по форме спектральной характеристики восстанавливать исходный сигнал.

Формулы (36) и (37) называют еще парой преобразований. Фурье и в этом случае обозначают : .

Комплексная функция  может быть записана в виде . Модуль спектральной плотности S() называют АЧХ  непериодического сигнала, а фазу () - его ФЧХ.

По физическому смыслу величина 2S() есть амплитуда колебания с частотой отнесенная к полосе частот в 1Гц. Т.к. формулы коэффициентов ряда Фурье и спектральной плотности отличаются только множителем 1/T, то модуль спектральной плотности импульса и огибающая дискретного сигнала периодической последовательности таких импульсов совпадают по форме.

б) Распределение энергии в спектре непериодического колебания.

Раньше для периодического колебания мы ввели понятие средней мощности, определяемой как количество энергии, приносимой сигналом за конечный интервал времени или период колебания. Если же колебание непериодическое, то его период T и средняя мощность такого колебания равна нулю. Поэтому для характеристики непериодических колебаний вводят другую величину - спектральную плотность энергии колебания, т.е. энергии, приходящейся на единицу полосы частот.

Для вывода соотношения для спектральной плотности воспользуемся соотношением, которое устанавливает связь между произведением двух сигналов f(t) и g(t) и их спектральными плотностями, соответственно  и . В математике оно известно  как теорема Парсеваля, согласно которой “если интегралы  и  существуют, то  где - величина, комплексно - сопряженная ”.

Предположим теперь, что f(t) и g(t) представляют собой одно и то же колебание S(t), т.е.

f(t)=g(t)=S(t)

В соответствии с формулой (8) интеграл  Э

определяет энергию колебания S(t), а произведение спектральных плотностей сигнала

равно квадрату модуля спектральной плотности этого колебания. С учетом теоремы Парсеваля приходим к соотношению для энергии непериодического колебания :  

              Э                (38)

Это соотношение устанавливает связь между энергией непериодического колебания и модулем его спектральной плотности. По аналогии с формулой (8) его называют равенством Парсеваля.

Величину (1/)S2()=dЭ/d  называют спектральной плотностью энергии колебания ( имеет смысл энергии, приходящейся на единицу полосы частот).

1.3.5. Исследование сигналов с помощью преобразований Лапласа.

Для разложения в ряд Фурье периодические и непериодические функции должны удовлетворять условию абсолютной интегрируемости :

Однако, на практике встречаются важные функции, не удовлетворяющие этому требованию, например, функция Хевисайда 1(t), или пакет из нескольких колебаний, включенных на некоторое время.

Для осуществления спектрального анализа таких функций используются различные приемы. Наиболее распространенный из них - это введение множителя сходимости, когда неинтегрируемая функция приближенного заменяется похожей интегрируемой, в пределе стремящейся к требуемой.

Например, функция 1(t) заменяется плавным экспоненциальным переходом и получается одиночный импульс, кото -                                                   рый раскладывают в ряд Фурье. Затем совершают предельный переход -                                                    0, e1 при всех t, а t0. В таком виде этот метод не является                                                    общим для всех функций.

Развитием этого метода в свете разложения Фурье, является переход к комплексной частоте : вместо частоты вводится параметр p=+j, при этом параметр , как увидим позднее, является параметром множителя сходимости : e. Для  удобства реализации такого перехода примем, что функция сигнала S(t), определенная при t, состоит из двух функций:

                                                          (33)

где S+(t) определена при t>0,

а S-(t) - при t<0.

Обращаясь к паре преобразований Фурье (35) и (36) совершим переход от к P сначало для функции S+(t). Для этого домножим S+(t) на e1, где 1 выберем таким образом, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции S+(t) в пределах 0<t<.

Тогда после подстановки p=1+j выражение (35) можно привести к виду

                     S+(t)

откуда 

                              S+(t)=                          (40)

где   (41)

Выражение (41) называется преобразованием Лапласа функции S+(t) (или прямым преобразованием Лапласа).

Соотношение (40) по аналогии с выражением (35) часто называют обратным преобразованием Лапласа.

Для функции S-(t) все точно также.  Для всей функции                                                                                                                                                                                       

                                        S(t)=S+(t)+S-(t)  

                                  LS(p)=LS+(p)+LS-(p)                                (40)      

и               S(t)            (43)

Пара соотношений (42) и (43) называются двухсторонними преобразованиями Лапласа.

Введение множителя сходимости р позволяет изменить путь интегрирования функции S(t) так, что ее полюса ( точки, где ) оказываются внутри контура интегрирования и не влияют на величину интеграла.

Метод преобразования Лапласа широко применяется в теории сигналов при спектральном анализе неинтегрируемых функций.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44591. Стандарт 10Base2 59 KB
  С использованием репитеров может быть увеличена общая протяженность сети введением дополнительных сегментов. Два из пяти сегментов являются межрепитерными связями и служат только для увеличения длины сети . Максимальное число компьютеров до 1024 а общая длина сети до 925м.
44592. Стандарт 10Base5 38.5 KB
  Главный кабель к которому подключаются трансиверы для связи с РС имеет длину до 500 м и возможность подключения до 100 компьютеров. С использованием репитеров которые также подключаются к магистральному сегменту через трансиверы общая длина сети может составить 2500 м.
44593. Стандарт 10BaseFL 43 KB
  Сеть стандарта 10BseFL Особенность этих трансиверов в том что их передатчики преобразуют электрические сигналы от ЭВМ в световые импульсы а приемники световые в электрические. Популярность использования 10BseFL обусловлена: высокой помехозащищенностью; возможностью прокладки кабеля между репитерами на большие расстояния т.
44594. Стандарт 100BaseX Ethernet 40.5 KB
  Его особенностью является то что он сохранил стандартный для Ethernet метод доступа CSM CD от которого отходили разработчики других технологий повышенной скорости передачи в сети. Сохранение метода доступа означает что имеющиеся в наличие драйверы для Ethernet будут работать без изменений. Преимуществом этой технологии появившейся в конце 1993 года является то что степень ее совместимости с Ethernetсетями позволяет интегрировать ее в эти сети с помощью двухскоростных сетевых адаптеров или мостов.
44596. Сетевые архитектуры ArcNet и ArcNet Plus 48 KB
  Физическая топология звезда шина звезда шина; логическая топология упорядоченное кольцо; широкополосная передача данных 25 Мбит с и 20 Мбит с для rcNet Plus; метод доступа маркерный; средой передачи может быть: коаксиальный кабель длиной 600 м при звезде и 300 м при шине; витая пара максимальная длина 244 м при звезде и шине; Компьютеры могут быть коаксиальным кабелем связаны в шину или в иных случаях подключены к концентраторам которые могут быть: пассивными; активными; интеллектуальными....
44597. Token Ring (Маркерное кольцо) 61.5 KB
  Физическая топология звезда; логическая топология кольцо; узкополосный тип передачи; скорость передачи 4 и 16 Мбит с; соединение неэкранированной и экранированной витой пары; метод доступа маркерное кольцо. Формат кадра используемый в сетях Token Ring Аппаратные компоненты Логическое кольцо в этой сетевой архитектуре организуется концентратором который называется модулем множественного доступа MSU MultySttion ccess Unit или интеллектуальным модулем множественного доступа SMU Smrt Multysttion ccess Unit....
44598. FDDI - распределенный волоконно-оптический интерфейс передачи данных 42 KB
  В сети FDDI компьютер: захватывает маркер на определенный интервал времени; за этот интервал передает столько кадров сколько успеет; завершает передачу либо по окончании выделенного интервала времени либо из-за отсутствия передаваемых кадров. Этим объясняется более высокая производительность FDDI чем Token Ring которая позволяет циркулировать в кольце только одному кадру. FDDI основана на технологии совместного использования сети.
44599. СЕТЕВЫЕ АРХИТЕКТУРЫ 34.5 KB
  В соответствии со стандартными протоколами физического уровня выделяют три основные сетевые архитектуры Данные Циклический избыточный код для проверки ошибок Приемника источника Формат кадра в Ethernet Поле Тип протокола используется для идентификации протокола сетевого уровня IPX и IP маршрутизируемый или нет....