58008

Чотирикутники. Подібність трикутників. Теорема Піфагора. Площі многокутників Розв’язування прямокутних трикутників

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета уроку: Вдосконалення компентентності учнів з теми: Подібність трикутників, теореми Піфагора; площі многокутників; розв’язування прямокутних трикутників. Формувати вміння застосовувати їх під час розв’язування практичних (прикладних) задач; активізувати пізнавальну діяльність учнів;

Украинкский

2014-04-18

175.5 KB

4 чел.

Навчальний предмет. Геометрія. 8 клас.

Розділ. Чотирикутники Подібність трикутників. Теорема Піфагора. Площі многокутників Розв’язування прямокутних трикутників. 

Ільніцька Людмила Василівна, вчитель математики, ЗШ №11.

Від теорії до практики.

Мета уроку: Вдосконалення компентентності учнів з теми: Подібність трикутників, теореми Піфагора; площі многокутників; розв’язування прямокутних трикутників. Формувати вміння застосовувати їх під час розв’язування практичних  (прикладних) задач; активізувати пізнавальну діяльність учнів; розвивати вміння міркувати, аналізувати і робити висновки; виховання старанності, уважності, творчої ініціативи; підготовка учнів до вибору професії.

Епіграф: „Заняття геометрією непомітно приводить людський розум до винаходів”.                                                                  

                                                                                  Дені Дідро

                                                                                   Французький філософ

Обладнання: мультимедійний проектор, презентація „Від теорії до практики”.

Хід уроку.

I. Домашнє практичне завдання: показати застосування геометрії до вимірювань на місцевості.

Клас було поділено на три групи. Кожна група одержала завдання.

Перша група: Як розмітити план фундаменту прямокутної будівлі з заданими розмірами, використовуючи примітивні інструменти?

Друга група: Як виміряти висоту дерева за допомогою приладу для вимірювання кута, а також мірної стрічки?

Третя група: Як виміряти висоту дерева за допомогою мірної стрічки і метрової лінійки?

Відповідь першої групи. Спочатку шукали шляхи розв’язування задачі, згадали теорему Піфагора, властивість прямої, властивості прямокутника, тоді з’явився план.

Побудова.

                                                                                             

                                                                                                                          

Натягнутою мотузкою розмітили одну сторону. Позначили дві точки А і В. На мотузці відмічаємо вузлами три відстані 3, 4 і 5 пропорційно. Натягуємо вірьовку і будуємо єгипетський трикутник. За допомогою єгипетського трикутника будуємо перпендикуляри до розміченої сторони. На цих перпендикулярах відмічаємо ще дві сторони. Малюємо крейдою вздовж натягнутого шнурка чотири сторони. Вимірюючи діагоналі, переконуємося, що вони однакові. Отже, правильно розмітили план фундаменту прямокутної будівлі. Такий спосіб простий, його можна використовувати для будь-яких розмірів фундаменту.

Відповідь другої групи. Ми взяли прилад для вимірювання кута, а такж мірну стрічку.

Відповідь третьої групи. Ми вимірювали висоту дерева за допомогою мірної стрічки і метрової лінійки. Вимірювали довжину тіні лінійки і дерева, потім враховували подібність прямокутних трикутників і складали пропорцію

, Т1 – довжина  тіні дерева, Т2 – довжина тіні лінійки, Н1 – висота дерева, Н2 – довжина лінійки.


Дослідження.

Таблиця. Вимірювання в сантиметрах.

Час

Довжина тіні дерева

Довжина тіні лінійки

Висота дерева

Вранці

180

39

462

Опівдні

240

52

462

Надвечір

162

35

463

Ми переконалися, що вимірювати висоту дерева можна в сонячну погоду в різний час різними способами. В залежності від того, де знаходиться Cонце, спостерігається різна довжина тіні.

Для допитливих. (Підготувала учениця).

Одним із семи стародавніх наймудріших вважають Фалеса Мілетського (бл. 624 – 548 рр. до н.е). Його вважають батьком грецької математики. Переказують, що коли Фалес відвідував у справах Єгипет, фараон запропонував йому розв’язати таку задачу. Фараон бажав знати висоту піраміди, Але ніхто не міг її визначити. Фалес легко впорався із завданням. Він обрав час, коли його власна тінь дорівнювала його зросту. У цей самий момент часу він виміряв довжину тіні піраміди від її центра і сказав, що вона дорівнює висоті піраміди. Зрозуміло, що перш ніж зробити таке вимірювання, Фалес повинен був відкрити і довести, що кути при основі рівнобедреного трикутника рівні, що проти рівних кутів у трикутнику лежать рівні сторони, що сума кутів трикутника дорівнює 180º.

Вчитель. При виконанні практичних робіт повторили властивості чо тирикутників, теорему Піфагора, подібність прямокутних трикутників, здобули навички, якими користувалися архітектори – єгиптяни, переконалися, що геометрія дійсно допомагає пізнавати світ.

II. Мотивація учіння школярів.

Вчитель. Сьогодні ми будемо продовжувати розвязувати  прикладні задачі, будемо доводити їх необхідність. Для того, щоб ви відчули впевненість у своїх силах, ми застосуємо вивчений матеріал для усних вправ у вигляді тестування.

III. Тестування.

1. Закінчіть речення так, щоб утворилося правильне твердження. Якщо в чотирикутнику діагоналі точкою перетину діляться пополам, товін є...

а) ромбом;  б) прямокутником;  в) паралелограмом;  г) квадратом.

2. Діагоналі квадрата АВСD пертинаються в точці О, ВО = 8 см. Знайти довжину відрізка АС.

а) 8 см;      б) 4 см;      в) 16 см;      г) 12 см.

3. Діагоналі прямокутника перетинаються під кутом 40º. Знайти кути, які утворює діагональ з двома сусідніми сторонами прямокутника.

а) 40º  і 50º;            б) 30º і 60º;           в) 20º і 70º;            г) 20º і 20º. 

4. Один з кутів прямокутної трапеції дорівнює 50º. Знайти найбільший кут цієї трапеції.

а) 50º;                б) 90º;                в) 120º;               г) 130º.

5. Середня лінія трикутника відтинає від нього рівнобедрену трапецію з меншою основою 4 см і бічною стороною 3 см. Знайти периметр даного трикутника.

а) 10 см;              б) 16 см;                в) 14 см;                г) 20 см.

6. Для прямокутного трикутника АВС з прямим кутом А виберіть правильне твердження:

а) АС2 = АВ2 + ВС2;     б) АВ2 = АС2 – ВС2;       в) ВС2 = АС2 + АВ2;     г) АВ2 =АС2.

7. У трикутнику АВС АВ = 6 см, ВС = 8 см, АС = 10 см. Знайти радіус кола, описаного навколо трикутника.

а) 6 см;                   б) 5 см;                  в) 8 см;                  г) 10 см.

8. Виберіть умову, з якої гарантовано випливає подібність даних трикутників.

а) дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого;

б) два кути одного трикутника пропорційні двом кутам другого трикутника;

в) два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого;

г) сторона й кут одного трикутника дорівнюють стороні й куту другого трикутника.

9. Виберіть вираз, значення якого дорівнбє 0,5.

а) tg 30º;                  б) sin 45º;                 в) cos 60º;                г) tg 45º.

10. За даними рисунка знайти площу прямокутника АВСD.

а) ;                б) ;               в) 18;                  г) 36.

11. Дві сторони трикутника дорівнюють 8 см і 12 см, а висота, проведена до меншої з них, – 3 см. Знайти висоту, проведену до більшої сторони.

а) 4 см;                     б) 2 см;                       в) 4,5 см;                   г) 10 см.

12. Знайти площу ромба зі стороною 12 см і гострим кутом 30º.

а) 144 см2;                   б) 36 см2;                  в)    см2;                  г) 72 см2.


V
. Розвязування письмових задач.

  1.  Насип шосейної дороги має ширину 60 м у верхній частині і 68 м у нижній частині. Знайти висоту насипу, якщо кути нахилу укосів до горизонту дорівнюють 60º.

  1.  На рис. показано спосіб вимірювання висоти предмета, основа якого недосяжна. Знайти цю висоту, якщо АВ = d,  САD = α, СВD = β.

3. Знайти кут підйому гірського шосе, якщо на відстані 400 м висота підйому становить 28 м.

4. Ескалатор Київського метрополітену має сходинки завширшки 40 см і заввишки 30 см. Визначити кут нахилу сходів.

5. Частину стіни, яка має форму прямокутника розмірами 2,25 м на 1,8 м,  необхідно покрити кахелем. Скільки плиток для цього понадобиться, якщо плитка має форму квадрата зі сторною 15 см?

Розв’язання.

S стіни = 2,25 · 1,8 = 4,05 (м2);

S квадрата = 0,15 · 0,15 = 0,0225 (м2);

Кількість плиток: 4,05: 0,0225 = 180 (плиток).

Вчитель. Уміння працювати самостійно є дуже важливим етапом в навчанні, а також в житті. Щоб учень відчув впевненість у досягненні свого успіху, потрібно порозвязувати самостійно аналогічні задачі. Під час самостійної роботи дозволяється взаємодопомога. Робота в парах (обговорення, корекція).

V. Самостійна робота.

На екрані розміщені завдання самостійної роботи на два варіанти.

Перший варіант.

1. Визначити відстань на місцевості від т. А до недоступної точки В, якщо

СА = 60 м, СВ = 90 м, СD = 20 м, СЕ = 30 м, DС = 40 м.

2. На якій глибині знаходиться станція метро, якщо її ескалатор завдовжки 85 м нахилений до площини горизонту під кутом 42°?

3. За 700 м від точки відриву літака від землі розташовані дерева заввишки

24 м. Під яким кутом має підійматися літак, щоб не зачепити дерев?

Другий варіант.

1. Спостерігач, що перебуває в т. А, бачить кінець жердини В і верхню точку вежі D, причому точки А, В, D розміщені на одній прямій. Визначити висоту вежі, якщо ВС = 4 м, АС = 6 м, АК = 90 м.

2. Визначити товщину m вугільного пласта, якщо свердловина нахилена до нього під кутом 72° і проходить по вугіллю відстань h = 2,5 м.

3. Тінь від стовпа заввишки 11 м становить 4,4 м. Виразити в градусах висоту Сонця над горизонтом.

На екрані з’являється  хід розвязування задач. Учні відмічають знаком  „+” ті задачі, які розв’язали правильно, виправляють допущені помилки, оцінюють свою роботу, виставляючи оцінки в зошит.

VI. Підсумок уроку.

Сьогодні на уроці повторили і систематизували знання з тем: Чотирикутники, подібність трикутників, теорема Піфагора, многокутники, площі многокутників, розв'язування прямокутних трикутників. Розв’язали ряд задач і вправ, де показали своє вміння застосовувати властивості і означення в стандартних умовах і в більш складних ситуаціях, показали практичне застосування цих тем. Здобули навички, якими користувалися архітектори-єгиптяни. Переконалися, що геометрія допомагає нам пізнавати світ, допомагає будувати і жити.  Геометрія – це практика, логіка і фантазія!

VII. Завдання додому.

Задача 1. Ставок має форму квадрата. Біля його вершин ростуть дуби. Як збільшити площу ставка, зберігши його форму? При цьому дуби не повинні опинитися у воді.

Задача 2.

Телефонний провід довжиною 15 м протягнутий від стовпа, де він прикріплений на висоті 8 м від поверхні землі  до будинку, де його прикріпили на висоті 20 м. Знайти відстань між будинком і стовпом, припускаючи, що провід не звисав.

Задача 3. № 742. Геометрія. 8 клас. Підручник для загальноосвіт. навч. закл. / А.П.Єршова, В. В. Головобородько, О. Ф. Крижановський, С. В. Єршов.


Література.

  •  Апостолова Г. В. Геометрія: Підручник для 7-го кл.загальноосвіт. навч.закл. – К.: Генеза, 2004. – 216 с.
  •  Геометрія, 8 клас: Підруч. для загальноосвіт. навч. закл./А. П. Єршова, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановський, С.В. Єршов. – Х.: АН ГРО ПЛЮС, 2008. – 256с.; іл.
  •  Кушнір І.А. Повернення втраченої геометрії. – К.: Факт, 2000. – 280с.
  •  Математична хрестоматія для старших класів. Геометрія. Т. 2/упоряд.

Л.В. Кованцова. – К.: Рад. Шк.., 1969. – 383с.

  •  Інтернет-бібліотека МЦНМО. http://ilib.mirror0.mccme.ru/

PAGE  4


А

Єгипетський  трикутник

5

5

5

33

4

5

3

4

D

С

B

E

С

A

D

На певній відстані від даного предмета оберемо точку А і виміряємо кут ВАС. Оскільки в прямокутному трикутнику АВС

EMBED Equation.3  tgA = EMBED Equation.3  ,
то ВС = АС tgA. Для визначення висоти предмету необхідно додати до ВС висоту АD, за допомогою якого вимірювався кут.          

Отже,

ВЕ = АС tgA + AD. 

С

В

D

А

О

120º

6

Розвязання

Розглянемо рівнобедрену трапецію АВСD, у якій АD паралельна ВС, АD = 68 м,

а ВС = 60 м,  EMBED Equation.3  . Проведемо висоти ВН і СF. Оскільки ВС = НF і АН = FD, то АН = FD = (68 – 60) : 2 = 4 (м). У Δ АВН  EMBED Equation.3  90º,  EMBED Equation.3  º, АН = 4 м. Оскільки tg А =  EMBED Equation.3  , то ВН = АН tg А, тобто

ВН = 4 tg 60º = 4 EMBED Equation.3   = 6, 93 (м).

Відповідь:  ≈ 6, 93 м.

F

H

D

А

В

С

α

С

D

А

В

β

Розвязання

Нехай ВD = х, АD = d + х. СD =  EMBED Equation.3  ;

СD =  EMBED Equation.3  . Ліві частини рівні, тому праві частини рівні.  EMBED Equation.3  = EMBED Equation.3  . Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх.

(d +х) ctg β = х ctg α;

 d ctg β + х ctg β – х ctg α = 0;

х (ctg βctg α) = – d ctg β;

х = EMBED Equation.3  .  СD =  EMBED Equation.3  .        

 Відповідь. СD =  EMBED Equation.3  .

Розвязання

Sin α =  EMBED Equation.3  = 0,07;

α ≈ 4°.

α

400

28 8 8   88

30

40

А

Розвязання

tg A =  EMBED Equation.3   = 0, 75;

А ≈ 37°.

Розвязання

Δ DСЕ ~ Δ АСВ за двома сторонами і кутом між ними.  EMBED Equation.3  ;      EMBED Equation.3  ;    х = 120 м.

Відповідь: 120 м.

С

АВ

В

Е

С

В

А

42°

Розвязання

АС = АВ sin 42º = 85 · 0, 6691= 56, 8735 ≈ 57 (м).

Відповідь: ≈ 57 м.

С

А

В

Розвязання

tg A =  EMBED Equation.3  

Кут А не менше 2º.

К

А

В

D

C

Розвязання

Δ АDК ~ ΔАВС, бо кут А спільний для прямокутних трикутників.

EMBED Equation.3   DК =  EMBED Equation.3  (м).

Відповідь. 60 м.

72°

h

m

Розвязання

m = 2,5· sin 72° = 2,5· 0, 9511 ≈ 2,38 (м).

Відповідь. ≈ 2,38 м.

В

С

А

Розвязання

tg А =  EMBED Equation.3  .

А ≈ 68°.

Відповідь: ≈ 68°.

В

С

В


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66049. Оффшорные зоны 38.44 KB
  Слово офшор впервые было применено в конце 50х годов прошлого века одной из газет США для обозначения конкретной финансовой компании переместившей свою деятельность на территорию с более благоприятной чем в США налоговой системой. Сегодня понятие офшор используется для обозначения офшорного бизнеса...
66050. Целевые бюджетные фонды 13.91 KB
  Понятие целевые бюджетные фонды появилось в 1995 г. когда подобный статус был закреплен за некоторыми ранее внебюджетными фондами создаваемыми в качестве целевого источника финансирования отдельных государственных расходов и отдельными...
66052. Лондонский клуб Парижский клуб и РФ 61.5 KB
  Клуб практикует продление сроков погашения долга или его части списание 3060 задолженности наименее развитых государств продажу их долгов третьим странам или международным организациям. По результатам переговоров с должниками на многосторонней основе члены Парижского клуба подписывают...
66053. ЗОЛОТОВАЛЮТНЫЕ РЕЗЕРВЫ МИРА И РФ 640.5 KB
  В мировой практике под золотовалютными резервами понимаются официальные запасы золота и иностранной валюты в центральном банке и финансовых органах страны, включая счета в международных валютно-кредитных организациях.
66055. Антикризисная политика Франции 42.5 KB
  Налоговые льготы бизнесу и наиболее обеспеченным французам: налоговый щит максимальный уровень налога на доходы на уровне 50 от всех доходов физического лица вместо существовавших 60 и отмена налога на доходы на недвижимость постоянного проживания...
66056. Бюджетный дефицит 21.29 KB
  Бюджетный дефицит превышение расходов бюджета над его доходами Наиболее часто встречающаяся в экономической практике сложная ситуация это дефицит бюджета т. Дефицит рассматривается как временный если имеются перспективы его преодоления и он...
66057. Группа «большая семерка» - G-7 52 KB
  В G7 или большую семерку ведущих стран мира входят Канада Франция Германия Италия Япония Соединенное Королевство и США. На долю этих стран взятых вместе приходится две трети объема мирового производства. Первая встреча представителей этих стран состоялась в 1975 году в Рамбуйе Франция.