58008

Чотирикутники. Подібність трикутників. Теорема Піфагора. Площі многокутників Розв’язування прямокутних трикутників

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета уроку: Вдосконалення компентентності учнів з теми: Подібність трикутників, теореми Піфагора; площі многокутників; розв’язування прямокутних трикутників. Формувати вміння застосовувати їх під час розв’язування практичних (прикладних) задач; активізувати пізнавальну діяльність учнів;

Украинкский

2014-04-18

175.5 KB

4 чел.

Навчальний предмет. Геометрія. 8 клас.

Розділ. Чотирикутники Подібність трикутників. Теорема Піфагора. Площі многокутників Розв’язування прямокутних трикутників. 

Ільніцька Людмила Василівна, вчитель математики, ЗШ №11.

Від теорії до практики.

Мета уроку: Вдосконалення компентентності учнів з теми: Подібність трикутників, теореми Піфагора; площі многокутників; розв’язування прямокутних трикутників. Формувати вміння застосовувати їх під час розв’язування практичних  (прикладних) задач; активізувати пізнавальну діяльність учнів; розвивати вміння міркувати, аналізувати і робити висновки; виховання старанності, уважності, творчої ініціативи; підготовка учнів до вибору професії.

Епіграф: „Заняття геометрією непомітно приводить людський розум до винаходів”.                                                                  

                                                                                  Дені Дідро

                                                                                   Французький філософ

Обладнання: мультимедійний проектор, презентація „Від теорії до практики”.

Хід уроку.

I. Домашнє практичне завдання: показати застосування геометрії до вимірювань на місцевості.

Клас було поділено на три групи. Кожна група одержала завдання.

Перша група: Як розмітити план фундаменту прямокутної будівлі з заданими розмірами, використовуючи примітивні інструменти?

Друга група: Як виміряти висоту дерева за допомогою приладу для вимірювання кута, а також мірної стрічки?

Третя група: Як виміряти висоту дерева за допомогою мірної стрічки і метрової лінійки?

Відповідь першої групи. Спочатку шукали шляхи розв’язування задачі, згадали теорему Піфагора, властивість прямої, властивості прямокутника, тоді з’явився план.

Побудова.

                                                                                             

                                                                                                                          

Натягнутою мотузкою розмітили одну сторону. Позначили дві точки А і В. На мотузці відмічаємо вузлами три відстані 3, 4 і 5 пропорційно. Натягуємо вірьовку і будуємо єгипетський трикутник. За допомогою єгипетського трикутника будуємо перпендикуляри до розміченої сторони. На цих перпендикулярах відмічаємо ще дві сторони. Малюємо крейдою вздовж натягнутого шнурка чотири сторони. Вимірюючи діагоналі, переконуємося, що вони однакові. Отже, правильно розмітили план фундаменту прямокутної будівлі. Такий спосіб простий, його можна використовувати для будь-яких розмірів фундаменту.

Відповідь другої групи. Ми взяли прилад для вимірювання кута, а такж мірну стрічку.

Відповідь третьої групи. Ми вимірювали висоту дерева за допомогою мірної стрічки і метрової лінійки. Вимірювали довжину тіні лінійки і дерева, потім враховували подібність прямокутних трикутників і складали пропорцію

, Т1 – довжина  тіні дерева, Т2 – довжина тіні лінійки, Н1 – висота дерева, Н2 – довжина лінійки.


Дослідження.

Таблиця. Вимірювання в сантиметрах.

Час

Довжина тіні дерева

Довжина тіні лінійки

Висота дерева

Вранці

180

39

462

Опівдні

240

52

462

Надвечір

162

35

463

Ми переконалися, що вимірювати висоту дерева можна в сонячну погоду в різний час різними способами. В залежності від того, де знаходиться Cонце, спостерігається різна довжина тіні.

Для допитливих. (Підготувала учениця).

Одним із семи стародавніх наймудріших вважають Фалеса Мілетського (бл. 624 – 548 рр. до н.е). Його вважають батьком грецької математики. Переказують, що коли Фалес відвідував у справах Єгипет, фараон запропонував йому розв’язати таку задачу. Фараон бажав знати висоту піраміди, Але ніхто не міг її визначити. Фалес легко впорався із завданням. Він обрав час, коли його власна тінь дорівнювала його зросту. У цей самий момент часу він виміряв довжину тіні піраміди від її центра і сказав, що вона дорівнює висоті піраміди. Зрозуміло, що перш ніж зробити таке вимірювання, Фалес повинен був відкрити і довести, що кути при основі рівнобедреного трикутника рівні, що проти рівних кутів у трикутнику лежать рівні сторони, що сума кутів трикутника дорівнює 180º.

Вчитель. При виконанні практичних робіт повторили властивості чо тирикутників, теорему Піфагора, подібність прямокутних трикутників, здобули навички, якими користувалися архітектори – єгиптяни, переконалися, що геометрія дійсно допомагає пізнавати світ.

II. Мотивація учіння школярів.

Вчитель. Сьогодні ми будемо продовжувати розвязувати  прикладні задачі, будемо доводити їх необхідність. Для того, щоб ви відчули впевненість у своїх силах, ми застосуємо вивчений матеріал для усних вправ у вигляді тестування.

III. Тестування.

1. Закінчіть речення так, щоб утворилося правильне твердження. Якщо в чотирикутнику діагоналі точкою перетину діляться пополам, товін є...

а) ромбом;  б) прямокутником;  в) паралелограмом;  г) квадратом.

2. Діагоналі квадрата АВСD пертинаються в точці О, ВО = 8 см. Знайти довжину відрізка АС.

а) 8 см;      б) 4 см;      в) 16 см;      г) 12 см.

3. Діагоналі прямокутника перетинаються під кутом 40º. Знайти кути, які утворює діагональ з двома сусідніми сторонами прямокутника.

а) 40º  і 50º;            б) 30º і 60º;           в) 20º і 70º;            г) 20º і 20º. 

4. Один з кутів прямокутної трапеції дорівнює 50º. Знайти найбільший кут цієї трапеції.

а) 50º;                б) 90º;                в) 120º;               г) 130º.

5. Середня лінія трикутника відтинає від нього рівнобедрену трапецію з меншою основою 4 см і бічною стороною 3 см. Знайти периметр даного трикутника.

а) 10 см;              б) 16 см;                в) 14 см;                г) 20 см.

6. Для прямокутного трикутника АВС з прямим кутом А виберіть правильне твердження:

а) АС2 = АВ2 + ВС2;     б) АВ2 = АС2 – ВС2;       в) ВС2 = АС2 + АВ2;     г) АВ2 =АС2.

7. У трикутнику АВС АВ = 6 см, ВС = 8 см, АС = 10 см. Знайти радіус кола, описаного навколо трикутника.

а) 6 см;                   б) 5 см;                  в) 8 см;                  г) 10 см.

8. Виберіть умову, з якої гарантовано випливає подібність даних трикутників.

а) дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого;

б) два кути одного трикутника пропорційні двом кутам другого трикутника;

в) два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого;

г) сторона й кут одного трикутника дорівнюють стороні й куту другого трикутника.

9. Виберіть вираз, значення якого дорівнбє 0,5.

а) tg 30º;                  б) sin 45º;                 в) cos 60º;                г) tg 45º.

10. За даними рисунка знайти площу прямокутника АВСD.

а) ;                б) ;               в) 18;                  г) 36.

11. Дві сторони трикутника дорівнюють 8 см і 12 см, а висота, проведена до меншої з них, – 3 см. Знайти висоту, проведену до більшої сторони.

а) 4 см;                     б) 2 см;                       в) 4,5 см;                   г) 10 см.

12. Знайти площу ромба зі стороною 12 см і гострим кутом 30º.

а) 144 см2;                   б) 36 см2;                  в)    см2;                  г) 72 см2.


V
. Розвязування письмових задач.

  1.  Насип шосейної дороги має ширину 60 м у верхній частині і 68 м у нижній частині. Знайти висоту насипу, якщо кути нахилу укосів до горизонту дорівнюють 60º.

  1.  На рис. показано спосіб вимірювання висоти предмета, основа якого недосяжна. Знайти цю висоту, якщо АВ = d,  САD = α, СВD = β.

3. Знайти кут підйому гірського шосе, якщо на відстані 400 м висота підйому становить 28 м.

4. Ескалатор Київського метрополітену має сходинки завширшки 40 см і заввишки 30 см. Визначити кут нахилу сходів.

5. Частину стіни, яка має форму прямокутника розмірами 2,25 м на 1,8 м,  необхідно покрити кахелем. Скільки плиток для цього понадобиться, якщо плитка має форму квадрата зі сторною 15 см?

Розв’язання.

S стіни = 2,25 · 1,8 = 4,05 (м2);

S квадрата = 0,15 · 0,15 = 0,0225 (м2);

Кількість плиток: 4,05: 0,0225 = 180 (плиток).

Вчитель. Уміння працювати самостійно є дуже важливим етапом в навчанні, а також в житті. Щоб учень відчув впевненість у досягненні свого успіху, потрібно порозвязувати самостійно аналогічні задачі. Під час самостійної роботи дозволяється взаємодопомога. Робота в парах (обговорення, корекція).

V. Самостійна робота.

На екрані розміщені завдання самостійної роботи на два варіанти.

Перший варіант.

1. Визначити відстань на місцевості від т. А до недоступної точки В, якщо

СА = 60 м, СВ = 90 м, СD = 20 м, СЕ = 30 м, DС = 40 м.

2. На якій глибині знаходиться станція метро, якщо її ескалатор завдовжки 85 м нахилений до площини горизонту під кутом 42°?

3. За 700 м від точки відриву літака від землі розташовані дерева заввишки

24 м. Під яким кутом має підійматися літак, щоб не зачепити дерев?

Другий варіант.

1. Спостерігач, що перебуває в т. А, бачить кінець жердини В і верхню точку вежі D, причому точки А, В, D розміщені на одній прямій. Визначити висоту вежі, якщо ВС = 4 м, АС = 6 м, АК = 90 м.

2. Визначити товщину m вугільного пласта, якщо свердловина нахилена до нього під кутом 72° і проходить по вугіллю відстань h = 2,5 м.

3. Тінь від стовпа заввишки 11 м становить 4,4 м. Виразити в градусах висоту Сонця над горизонтом.

На екрані з’являється  хід розвязування задач. Учні відмічають знаком  „+” ті задачі, які розв’язали правильно, виправляють допущені помилки, оцінюють свою роботу, виставляючи оцінки в зошит.

VI. Підсумок уроку.

Сьогодні на уроці повторили і систематизували знання з тем: Чотирикутники, подібність трикутників, теорема Піфагора, многокутники, площі многокутників, розв'язування прямокутних трикутників. Розв’язали ряд задач і вправ, де показали своє вміння застосовувати властивості і означення в стандартних умовах і в більш складних ситуаціях, показали практичне застосування цих тем. Здобули навички, якими користувалися архітектори-єгиптяни. Переконалися, що геометрія допомагає нам пізнавати світ, допомагає будувати і жити.  Геометрія – це практика, логіка і фантазія!

VII. Завдання додому.

Задача 1. Ставок має форму квадрата. Біля його вершин ростуть дуби. Як збільшити площу ставка, зберігши його форму? При цьому дуби не повинні опинитися у воді.

Задача 2.

Телефонний провід довжиною 15 м протягнутий від стовпа, де він прикріплений на висоті 8 м від поверхні землі  до будинку, де його прикріпили на висоті 20 м. Знайти відстань між будинком і стовпом, припускаючи, що провід не звисав.

Задача 3. № 742. Геометрія. 8 клас. Підручник для загальноосвіт. навч. закл. / А.П.Єршова, В. В. Головобородько, О. Ф. Крижановський, С. В. Єршов.


Література.

  •  Апостолова Г. В. Геометрія: Підручник для 7-го кл.загальноосвіт. навч.закл. – К.: Генеза, 2004. – 216 с.
  •  Геометрія, 8 клас: Підруч. для загальноосвіт. навч. закл./А. П. Єршова, В.В. Голобородько, О.Ф. Крижановський, С.В. Єршов. – Х.: АН ГРО ПЛЮС, 2008. – 256с.; іл.
  •  Кушнір І.А. Повернення втраченої геометрії. – К.: Факт, 2000. – 280с.
  •  Математична хрестоматія для старших класів. Геометрія. Т. 2/упоряд.

Л.В. Кованцова. – К.: Рад. Шк.., 1969. – 383с.

  •  Інтернет-бібліотека МЦНМО. http://ilib.mirror0.mccme.ru/

PAGE  4


А

Єгипетський  трикутник

5

5

5

33

4

5

3

4

D

С

B

E

С

A

D

На певній відстані від даного предмета оберемо точку А і виміряємо кут ВАС. Оскільки в прямокутному трикутнику АВС

EMBED Equation.3  tgA = EMBED Equation.3  ,
то ВС = АС tgA. Для визначення висоти предмету необхідно додати до ВС висоту АD, за допомогою якого вимірювався кут.          

Отже,

ВЕ = АС tgA + AD. 

С

В

D

А

О

120º

6

Розвязання

Розглянемо рівнобедрену трапецію АВСD, у якій АD паралельна ВС, АD = 68 м,

а ВС = 60 м,  EMBED Equation.3  . Проведемо висоти ВН і СF. Оскільки ВС = НF і АН = FD, то АН = FD = (68 – 60) : 2 = 4 (м). У Δ АВН  EMBED Equation.3  90º,  EMBED Equation.3  º, АН = 4 м. Оскільки tg А =  EMBED Equation.3  , то ВН = АН tg А, тобто

ВН = 4 tg 60º = 4 EMBED Equation.3   = 6, 93 (м).

Відповідь:  ≈ 6, 93 м.

F

H

D

А

В

С

α

С

D

А

В

β

Розвязання

Нехай ВD = х, АD = d + х. СD =  EMBED Equation.3  ;

СD =  EMBED Equation.3  . Ліві частини рівні, тому праві частини рівні.  EMBED Equation.3  = EMBED Equation.3  . Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх.

(d +х) ctg β = х ctg α;

 d ctg β + х ctg β – х ctg α = 0;

х (ctg βctg α) = – d ctg β;

х = EMBED Equation.3  .  СD =  EMBED Equation.3  .        

 Відповідь. СD =  EMBED Equation.3  .

Розвязання

Sin α =  EMBED Equation.3  = 0,07;

α ≈ 4°.

α

400

28 8 8   88

30

40

А

Розвязання

tg A =  EMBED Equation.3   = 0, 75;

А ≈ 37°.

Розвязання

Δ DСЕ ~ Δ АСВ за двома сторонами і кутом між ними.  EMBED Equation.3  ;      EMBED Equation.3  ;    х = 120 м.

Відповідь: 120 м.

С

АВ

В

Е

С

В

А

42°

Розвязання

АС = АВ sin 42º = 85 · 0, 6691= 56, 8735 ≈ 57 (м).

Відповідь: ≈ 57 м.

С

А

В

Розвязання

tg A =  EMBED Equation.3  

Кут А не менше 2º.

К

А

В

D

C

Розвязання

Δ АDК ~ ΔАВС, бо кут А спільний для прямокутних трикутників.

EMBED Equation.3   DК =  EMBED Equation.3  (м).

Відповідь. 60 м.

72°

h

m

Розвязання

m = 2,5· sin 72° = 2,5· 0, 9511 ≈ 2,38 (м).

Відповідь. ≈ 2,38 м.

В

С

А

Розвязання

tg А =  EMBED Equation.3  .

А ≈ 68°.

Відповідь: ≈ 68°.

В

С

В


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58859. Створення коміксу засобами Paint 1.73 MB
  Уолт Дісней великий кінематографіст фундатор цілого художнього напряму в анімації Уолт Дісней народився не в Чікаго як було прийнято вважати довгі роки а в Іспанії у селищі Мохакар в Андалусії.
58860. Твоя країна – Україна. Символи держави 50.5 KB
  Ознайомити з найвідомішими містами найбільшими річками та озерами України. Розширити та уточнити знання учнів про державні символи України. Обладнання: Карта України костюми компютер виставка книг. Наш урок присвячений Україні її символам найвідомішим містам та найбільшим річкам України.
58861. Координатна пряма, цілі і раціональні числа 167.5 KB
  Мета уроку: узагальнити і систематизувати відомості учнів про види чисел; перевірити вміння визначати координати вказаних точок та будувати на координатній прямій точки за вказаними координатами; знаходити значення виразів що містять числа під знаком модуля...
58862. У країні міфів 115.5 KB
  Міфологія – це зібрання переказів про богів та героїв Грецький народ, поділений на багато племен, по- різному оповідав про свої божества. У кожному місті, селі чи общині були різні версії походження світу, народження богів.
58863. Краса мирного життя 676 KB
  Учитель: Доброго дня любі друзі та шановні гості Ми раді вітати вас на черговому засіданні лабораторії Творчість тема якого Краса мирного життя. Отже сьогодні ми з вами будемо говорити про найяскравіші моменти мирного життя.
58864. Творча лабораторія 167.5 KB
  Усі ми в дитинстві читали багато цікавих казок про добрих фей та могутніх чаклунів які творили незвичні чудеса але в житті як відомо ні фей ні чаклунів не існує.
58865. Вправи на закріплення вивчених таблиць множення і ділення. Розв’язування задачі на кратне порівняння двох часток за поданим планом 36.5 KB
  Виконуючи математичні завдання ви познайомитесь із рослинними символами України з яких ми сплетемо вінок. До кінця уроку ми виплетемо вінок який покладемо у наш класний куточок символів України.
58866. То був страшний навмисний голод 41 KB
  Розкрити перед учнями одну з найстрашніших сторінок українського народу великий голодомор 1933 року; вчити учнів самостійно висловлювати свої думки з приводу прочитаного; виховувати непримиренність до чужої волі над рідним народом.
58867. Їжа. Продукти харчування 154 KB
  How do you do, my dears? Are you in a good mood? Are you ready for the lesson? We have got an interesting and unusual lesson today. It will be a competition to see who is the wisest, the most attentive and the most active.