58035

Применение интеграла

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Цель: Обобщить и систематизировать знания по теме Применение интеграла. Актуализация опорных знаний Определение первообразной; Определение неопределенного интеграла; Определение интеграла...

Русский

2014-04-18

107 KB

17 чел.

Тема урока. Применение интеграла

Цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Применение интеграла». Способствовать закреплению геометрического и физического смысла. Уметь применять математические знания при решении различных задач. Продолжить формирование информационной и коммуникативной компетентности у учащихся. Развивать творческие способности, содействовать развитию интереса к математике. Продемонстрировать прикладную направленность математики.

Оборудование: интерактивная доска, учебная презентация (Приложение 1).

Тип урока:  обобщение и систематизация знаний.

Девиз урока:

Сила и всеобщность метода дифференциального и интегрального исчисления такие, что не ознакомившись с ними, нельзя как следует понять все значения математики для естествознания и техники и даже полностью оценить всю красоту и привлекательность самой математической науки.

                                                      А.Н. Колмогоров

Ход урока

1.Актуализация опорных знаний 

  •  Определение первообразной;
  •  Определение неопределенного интеграла;
  •  Определение интеграла;
  •  Формула Ньютона – Лейбница;
  •  Основные свойства определенного интеграла;
  •  Геометрический смысл определенного интеграла.

2.Логический диктант 

1. Операция интегрирования есть обратной операции дифференцирования;

2. Любые две первообразные функции для одной и той же функции отличаются одна от другой постоянным слагаемым;

3. Формула Ньютона – Лейбница имеет вид;

4. Одно из свойств определения интеграла имеет вид;

5. Если f(х) непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b], то равна площади криволинейной трапеции, ограниченная    графиком данной функции;

6.  Если функция v = f(t) определяет мгновенную скорость движения тала в каждый момент времени  t на [a; b], то определенный интеграл   равен пути, пройденному за отрезок t = b – a.

Ответы

1. Да

2. Да

3. Нет

4. Да

5. Да

6. Да

3.Историческая справка 

Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникли из необходимости вычисления площадей плоских фигур и объемов произвольных тел. Идеи интегрального исчисления берут свое начало в работах древних математиков. Об этом свидетельствует «метод вычерпывания» Евдокса, который также использовал Архимед в   ІІІ в. до н. э. Суть этого метода состояла в том, что для вычисления площади плоской фигуры (объема тела) вокруг них описывали и в них вписывали ступенчатые фигуры и, увеличивая количество сторон многоугольника (граней многогранников), находили предел, к которому стремились площади (объемы) ступенчатых фигур. Тем не менее для каждой фигуры вычисление предела зависело от выбора специального приема. А проблема общего  метода вычисления площадей и объемов фигур оставалось нерешенной. Архимед еще явным образом не применял общее понятие предела и интеграла, хотя в неявном виде эти понятия использовались.

В ХVІІ в. Йоганн Кеплер (1571 – 1630), который открыл законы движения планет, успешно осуществил первую попытку развить идеи Архимеда. Кеплер вычислял площади плоских фигур и объемы тел, опираясь на идею разложения фигуры и тела на бесконечное количество бесконечно малых частей. Из этих частей в результате добавления складывалась фигура, площадь (объем) которой известна и что давало возможность вычислить площадь (объем) искомой. В отличие от Кеплера итальянский математик Бонавентуро Кавальере (1598 – 1647), пересекая фигуру (тело) параллельными прямыми (плоскостями), считал их лишенными любой толщины, но прибавлял эти линии. В историю математики вошел так называемый принцип Кавальери, с помощью которого вычисляли площади и объемы. Этот принцип получил теоретическое обоснование позднее с помощью интегрального исчисления. Для площадей плоских фигур принцип Кавальери формулировали так: если прямые некоторого пучка параллельных прямых пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам одинаковой длины, то площади фигур Ф1 и Ф2 равна.

Идеи Кеплера, Кавальери и других ученых стали той основой, на которой Ньютон и Лейбниц открыли интегральное исчисление. Развитие интегрального исчисления продолжили Л. Ейлер и П. Л. Чебышев (1821 – 1894), который разработал способы интегрирования некоторых классов иррациональных функций.

Современное определение интеграла как предела интегральных сумм принадлежит О.Коши. Символ   был введен Лейбницем. Знак напоминает растянутую букву S (первую букву латинского слова summa – «сумма»). Термин «интеграл» происходит от латинского integer – «целый» и был предложен в 1960 г. Й. Бернулли.

В области интегрального исчисления плодотворно работал украинский математик М. В. Остроградский (1801 – 1861).

4.Теория вычисление площадей с помощью интеграла 

1. Пусть функция f (x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a; b]. Тогда, как известно, площадь соответствующей криволинейной трапеции находиться по формуле

В том случае, когда непрерывная функция f (x)  0 на отрезке [a; b], для вычисления площади соответствующей криволинейной трапеции следует использовать формулу

Пусть функция f (x)непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на этом отрезке как положительные, так и отрицательные значения

Тогда нужно разбить отрезок [a; b] на такие части, в каждой из которых функция не изменяет свой знак, затем вычислить по приведенным выше формулам соответствующие этим частям площади и эти площади сложить.

Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке равна:

Площадь фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций f1 (х) и f2 (х) и двумя прямыми х = а и х = b, где f1 (х)  f2 (х), на отрезке [a; b] находиться по формуле

5. Практическое задание.

Вычисление площадей с помощью интеграла.

Найти абсциссы точек пересечения графиков заданных линий:

               у = 1 – х,

               у = 3 – 2х – х2,

откуда 1 – х = 3 – 2х – х2, т.е. х = - 2, х = 1. Искомая площадь равна разности площадей криволинейной трапеции ВАВ1С и треугольника ВАС.

По формуле находим:

SBAB1C =  

Так как SBAB1C =

                         ,

то искомая площадь    S = SBAB1C - SBAC = 4,5.

Теория механического и физического приложения определенного интеграла

  •  Если v (t) – скорость прямолинейно движущейся точки в момент времени t, то перемещение точки, т. е. приращение ее координаты, за промежуток времени [a; b]  равно                        . Если v (t)  0 на промежутке [a; b], то интеграл  равен пути, пройденному точкой.
  •  . Если материальная точка движется вдоль оси Ох под действием переменной силы, проекция F (x) которой на ось Ох есть функция от координаты х, то работа силы по перемещению точки из положения х = а в положение х = b равна:

  •  Если в жидкость плотность p вертикально погружена пластинка ABCD, то сила давления жидкости на нее равна:

  где y = f (x) – функция, выражающая зависимость длины поперечного сечения пластины от уровня погружения x, g – ускорение свободного падения.

Механического и физического приложения определенного интеграла

Путь, пройденный телом

Скорость движения тела задана уравнением

   v = (3t2 + 2t -1) (в м /с). Найти путь, пройденный телом за 10 с от начала движения.

 Решение. В условии задачи дано: t1 = 0, t2 =10, f (t) = 3t2 + 2t – 1

По формуле получим:                                                                              м.  

Работа силы

Пружина растягивается на 0,02 м под действием силы в 60 Н. Какую работу она производит, растягивая ее на 0,12 м?

 Решение. При F = 60 Н х = 0,02 м. По формуле F = kx (закон Гука для пружины) найдем k: 60 =     , откуда                                    Н/м. Подставив найденное значение k в формуле  F = kx, получим F = 3000х, т. е. f (x) = 3000х.

По формуле, взяв пределы интегрирования от 0 до 0.12, вычислим работу:

Дж

Сила давления жидкости

Вычислить силу давления воды на вертикально погруженную треугольную пластину АВС с основанием АС = 9 м и высотой BD = 2 м, если вершина В лежит на свободной поверхности жидкости, а АС – параллельно ей.

Решение. Пусть MG – поперечное сечение пластины на уровне ВЕ = х. найдем зависимость длины MG от х. Из подобия треугольников MBG и АВС имеем MG: AC = BE: BD, или MG: 9 = = x: 2, откуда MG = f (x) = 4.5x. На основании формулы получим:

                                                                                               

 H,

    

так как плотность воды 1000 кг/м3 и  м/с2.

6. Применение умений и навыков в работе с тестами. (Приложение 2)

Ответы к тестам:

1

2

3

4

5

6

В

В

В

Д

Д (5)

Д

7. Итог урока.

Беритесь за решение трудных математических задач. И тех, которые только что поставлены, и тех которые столетия не поддаются решению. Вы испытаете муки творчества, горькие разочарования в случае неудач, но вы сторицей будете вознаграждены, если задача будет решена. Математика – ум в порядок приводит. Математика – это орудие, с помощью которого человек познает и покоряет окружающий мир. Но это – особое орудие, которое подчиняет, воспитывает, увлекает и самого человека, помогает развивать физику и другие науки. В этом вы сегодня убедились, обобщив знания по интегралу и его применению в разных областях науки.

8.Домашнее задание: стр. 155 № 64 Б (7;8).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78314. Дополнительные механизмы и устройства швейных машин 22.44 KB
  Приспособления для направления полуфабриката к иглам швейных машин в зависимости от типа шва выполняемого с их применением по классификации ЦНИИШП разбиты на 6 групп. В первую группу объединены приспособления для выполнения соединительных и отделочных швов без подгибания материалов. Во вторую третью и четвертую группы входят приспособления для выполнения таких швов где требуется подгибать один или несколько слоев материала. При этом во вторую группу входят приспособления где подгибание не связано с соединением деталей например...
78315. Классификация машин-полуавтоматов 24.31 KB
  Для пришивания пуговиц применяют полуавтомат с челночным и однониточным цепным переплетением ниток. Пришивание пуговиц с челночным переплетением ниток выполняют на машине 727 827 классов кроме того пришивание металлических крючков и петель на полуавтомате 53 класса и изготовление закрепок на машине 220М и 820 классов. Пришивание пуговиц однониточным цепным стежком выполняют на полуавтоматах...
78316. ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ 175.5 KB
  Внимание сопровождает процессы восприятия памяти мышления и т. У дочеловеческих организмов есть только два вида памяти: генетическая и механическая. Человеку также присущи эти два вида памяти. Сохранить можно только то что запомнил а воспроизвести то что сохранил в памяти.
78317. ЭМОЦИОНАЛЬНО-ВОЛЕВАЯ СФЕРА ЛИЧНОСТИ 118 KB
  Эмоции и чувства. Он не только познает объективную и субъективную действительность но и как-то относится к предметам событиям другим людям к своей личности. Они образуют единую подструктуру личности –ее эмоциональную сферу. Чувства являются ведущими образованиями эмоциональной сферы личности определяющие динамику и содержание эмоций.
78318. МОТИВАЦИЯ И НАПРАВЛЕННОСТЬ ЛИЧНОСТИ 87 KB
  Потребности как источник активности человека. Потребности как источник активности человека Понятие мотивации и потребностей. Многие психологи полагают что главной причиной активности является стремление человека удовлетворить свои потребности. Потребности – это состояние индивида создаваемое испытываемой им нужды в объектах необходимых для его существования и развития.
78319. РЕЧЬ И ОБЩЕНИЕ 101 KB
  Понятие речи. Речь это особая и наиболее совершенная форма общения, свойственная только человеку. Она обладает огромными выразительными возможностями, которые передают психические переживания говорящего. С позиции психологии речь – это вынесенная во вне психика человека
78321. ПСИХОЛОГИЯ МАЛЫХ ГРУПП 162 KB
  Понятие группы и их классификация Человек это общественное существо и вся его жизнь от рождения до смерти протекает в различных группах: семье школьном студенческом производственном армейском коллективах спортивной команде кругу друзей подруг и т. Традиционная психология не делает акцент на социальной характеристике группы. Психологию интересует не характер содержательной социальной деятельности группы а скорее форма действий индивида в условиях присутствия других людей или...
78322. ПРЕДМЕТ И МЕТОДЫ ПСИХОЛОГИИ 112 KB
  Характерной чертой развития современного общества является постоянно возрастающий интерес к человеческой индивидуальности. Именно эту задачу позволяет нам решить изучение психологии в вузе. Объектом психологии как области научного знания является все то в реальном мире что выступает действительным или потенциальным носителем психического; совокупность изучаемых психологией явлений реального мира взаимодействующая с психикой. Предмет психологии психика психическое во всех формах и разновидностях его...