58035

Применение интеграла

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Цель: Обобщить и систематизировать знания по теме Применение интеграла. Актуализация опорных знаний Определение первообразной; Определение неопределенного интеграла; Определение интеграла...

Русский

2014-04-18

107 KB

19 чел.

Тема урока. Применение интеграла

Цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Применение интеграла». Способствовать закреплению геометрического и физического смысла. Уметь применять математические знания при решении различных задач. Продолжить формирование информационной и коммуникативной компетентности у учащихся. Развивать творческие способности, содействовать развитию интереса к математике. Продемонстрировать прикладную направленность математики.

Оборудование: интерактивная доска, учебная презентация (Приложение 1).

Тип урока:  обобщение и систематизация знаний.

Девиз урока:

Сила и всеобщность метода дифференциального и интегрального исчисления такие, что не ознакомившись с ними, нельзя как следует понять все значения математики для естествознания и техники и даже полностью оценить всю красоту и привлекательность самой математической науки.

                                                      А.Н. Колмогоров

Ход урока

1.Актуализация опорных знаний 

  •  Определение первообразной;
  •  Определение неопределенного интеграла;
  •  Определение интеграла;
  •  Формула Ньютона – Лейбница;
  •  Основные свойства определенного интеграла;
  •  Геометрический смысл определенного интеграла.

2.Логический диктант 

1. Операция интегрирования есть обратной операции дифференцирования;

2. Любые две первообразные функции для одной и той же функции отличаются одна от другой постоянным слагаемым;

3. Формула Ньютона – Лейбница имеет вид;

4. Одно из свойств определения интеграла имеет вид;

5. Если f(х) непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b], то равна площади криволинейной трапеции, ограниченная    графиком данной функции;

6.  Если функция v = f(t) определяет мгновенную скорость движения тала в каждый момент времени  t на [a; b], то определенный интеграл   равен пути, пройденному за отрезок t = b – a.

Ответы

1. Да

2. Да

3. Нет

4. Да

5. Да

6. Да

3.Историческая справка 

Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникли из необходимости вычисления площадей плоских фигур и объемов произвольных тел. Идеи интегрального исчисления берут свое начало в работах древних математиков. Об этом свидетельствует «метод вычерпывания» Евдокса, который также использовал Архимед в   ІІІ в. до н. э. Суть этого метода состояла в том, что для вычисления площади плоской фигуры (объема тела) вокруг них описывали и в них вписывали ступенчатые фигуры и, увеличивая количество сторон многоугольника (граней многогранников), находили предел, к которому стремились площади (объемы) ступенчатых фигур. Тем не менее для каждой фигуры вычисление предела зависело от выбора специального приема. А проблема общего  метода вычисления площадей и объемов фигур оставалось нерешенной. Архимед еще явным образом не применял общее понятие предела и интеграла, хотя в неявном виде эти понятия использовались.

В ХVІІ в. Йоганн Кеплер (1571 – 1630), который открыл законы движения планет, успешно осуществил первую попытку развить идеи Архимеда. Кеплер вычислял площади плоских фигур и объемы тел, опираясь на идею разложения фигуры и тела на бесконечное количество бесконечно малых частей. Из этих частей в результате добавления складывалась фигура, площадь (объем) которой известна и что давало возможность вычислить площадь (объем) искомой. В отличие от Кеплера итальянский математик Бонавентуро Кавальере (1598 – 1647), пересекая фигуру (тело) параллельными прямыми (плоскостями), считал их лишенными любой толщины, но прибавлял эти линии. В историю математики вошел так называемый принцип Кавальери, с помощью которого вычисляли площади и объемы. Этот принцип получил теоретическое обоснование позднее с помощью интегрального исчисления. Для площадей плоских фигур принцип Кавальери формулировали так: если прямые некоторого пучка параллельных прямых пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам одинаковой длины, то площади фигур Ф1 и Ф2 равна.

Идеи Кеплера, Кавальери и других ученых стали той основой, на которой Ньютон и Лейбниц открыли интегральное исчисление. Развитие интегрального исчисления продолжили Л. Ейлер и П. Л. Чебышев (1821 – 1894), который разработал способы интегрирования некоторых классов иррациональных функций.

Современное определение интеграла как предела интегральных сумм принадлежит О.Коши. Символ   был введен Лейбницем. Знак напоминает растянутую букву S (первую букву латинского слова summa – «сумма»). Термин «интеграл» происходит от латинского integer – «целый» и был предложен в 1960 г. Й. Бернулли.

В области интегрального исчисления плодотворно работал украинский математик М. В. Остроградский (1801 – 1861).

4.Теория вычисление площадей с помощью интеграла 

1. Пусть функция f (x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a; b]. Тогда, как известно, площадь соответствующей криволинейной трапеции находиться по формуле

В том случае, когда непрерывная функция f (x)  0 на отрезке [a; b], для вычисления площади соответствующей криволинейной трапеции следует использовать формулу

Пусть функция f (x)непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на этом отрезке как положительные, так и отрицательные значения

Тогда нужно разбить отрезок [a; b] на такие части, в каждой из которых функция не изменяет свой знак, затем вычислить по приведенным выше формулам соответствующие этим частям площади и эти площади сложить.

Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке равна:

Площадь фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций f1 (х) и f2 (х) и двумя прямыми х = а и х = b, где f1 (х)  f2 (х), на отрезке [a; b] находиться по формуле

5. Практическое задание.

Вычисление площадей с помощью интеграла.

Найти абсциссы точек пересечения графиков заданных линий:

               у = 1 – х,

               у = 3 – 2х – х2,

откуда 1 – х = 3 – 2х – х2, т.е. х = - 2, х = 1. Искомая площадь равна разности площадей криволинейной трапеции ВАВ1С и треугольника ВАС.

По формуле находим:

SBAB1C =  

Так как SBAB1C =

                         ,

то искомая площадь    S = SBAB1C - SBAC = 4,5.

Теория механического и физического приложения определенного интеграла

  •  Если v (t) – скорость прямолинейно движущейся точки в момент времени t, то перемещение точки, т. е. приращение ее координаты, за промежуток времени [a; b]  равно                        . Если v (t)  0 на промежутке [a; b], то интеграл  равен пути, пройденному точкой.
  •  . Если материальная точка движется вдоль оси Ох под действием переменной силы, проекция F (x) которой на ось Ох есть функция от координаты х, то работа силы по перемещению точки из положения х = а в положение х = b равна:

  •  Если в жидкость плотность p вертикально погружена пластинка ABCD, то сила давления жидкости на нее равна:

  где y = f (x) – функция, выражающая зависимость длины поперечного сечения пластины от уровня погружения x, g – ускорение свободного падения.

Механического и физического приложения определенного интеграла

Путь, пройденный телом

Скорость движения тела задана уравнением

   v = (3t2 + 2t -1) (в м /с). Найти путь, пройденный телом за 10 с от начала движения.

 Решение. В условии задачи дано: t1 = 0, t2 =10, f (t) = 3t2 + 2t – 1

По формуле получим:                                                                              м.  

Работа силы

Пружина растягивается на 0,02 м под действием силы в 60 Н. Какую работу она производит, растягивая ее на 0,12 м?

 Решение. При F = 60 Н х = 0,02 м. По формуле F = kx (закон Гука для пружины) найдем k: 60 =     , откуда                                    Н/м. Подставив найденное значение k в формуле  F = kx, получим F = 3000х, т. е. f (x) = 3000х.

По формуле, взяв пределы интегрирования от 0 до 0.12, вычислим работу:

Дж

Сила давления жидкости

Вычислить силу давления воды на вертикально погруженную треугольную пластину АВС с основанием АС = 9 м и высотой BD = 2 м, если вершина В лежит на свободной поверхности жидкости, а АС – параллельно ей.

Решение. Пусть MG – поперечное сечение пластины на уровне ВЕ = х. найдем зависимость длины MG от х. Из подобия треугольников MBG и АВС имеем MG: AC = BE: BD, или MG: 9 = = x: 2, откуда MG = f (x) = 4.5x. На основании формулы получим:

                                                                                               

 H,

    

так как плотность воды 1000 кг/м3 и  м/с2.

6. Применение умений и навыков в работе с тестами. (Приложение 2)

Ответы к тестам:

1

2

3

4

5

6

В

В

В

Д

Д (5)

Д

7. Итог урока.

Беритесь за решение трудных математических задач. И тех, которые только что поставлены, и тех которые столетия не поддаются решению. Вы испытаете муки творчества, горькие разочарования в случае неудач, но вы сторицей будете вознаграждены, если задача будет решена. Математика – ум в порядок приводит. Математика – это орудие, с помощью которого человек познает и покоряет окружающий мир. Но это – особое орудие, которое подчиняет, воспитывает, увлекает и самого человека, помогает развивать физику и другие науки. В этом вы сегодня убедились, обобщив знания по интегралу и его применению в разных областях науки.

8.Домашнее задание: стр. 155 № 64 Б (7;8).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70130. Создание и администрирование учетных записей пользователей и групп 126.5 KB
  Цели работы: научиться создавать, изменять удалять учетные записи и группы; научиться задавать и изменять пароли; научиться добавлять учетные записи в группы. Задание 1. Создайте доменную учетную запись декана: имеет доступ ко всем ресурсам сети, может осуществлять вход на любой компьютер.
70131. УКРАЇНСЬКА НАРОДНА ВИШИВКА У СУЧАСНОМУ МОДЕЛЮВАННІ, ТВОРЧА РОЗРОБКА І ЗАМАЛЮВАННЯ ОРНАМЕНТІВ ДЛЯ ТЕХНІК ГЛАДІ ТА ХРЕСТИКА 304 KB
  Слово орнамент в перекладі з латині означає прикраса Люди завжди намагалися прикрасити свій побут зробити його святковим нарядним радісним тому речі які їх оточували вони здавна покривали різними орнаментами. Вся різноманітність орнаментальних форм підпорядковується математичним законам...
70134. Прості цикли в Паскалі. Сума нескінченного ряду 102 KB
  Постановка завдання: Обчислити суму нескінченного ряду з заданою точністю. Визначити кількість членів, необхідних для досягнення заданої точності. Створити два типи програм за допомогою різних операторів циклу.
70135. Чертёж плоского контура и его аксонометрия 89.5 KB
  Команда LIMITS (Ограничения) позволяет выбрать формат поля чертежа. Первый запрос командной строки предлагает нам координаты левого нижнего угла формата принять за начало координат (0,0) по умолчанию. После ввода начала координат второй запрос предлагает выбрать правый верхний угол...
70136. ИЗУЧЕНИЕ ПРИНЦИПА ДЕЙСТВИЯ И СХЕМ ДЕАЭРАТОРОВ 157.5 KB
  Деаэрация питательной воды паровых котлов и подпиточной воды тепловых сетей является обязательной для всех котельных. Деаэраторы предназначены для удаления из воды растворенных в ней неконденсирующихся газов. Для деаэрации питательной воды в котельных применяются струйные...
70138. ЭЛЕКТРОННАЯ ТАБЛИЦА EXCEL. ПОИСК РЕШЕНИЯ. ПОДБОР ПАРАМЕТРА 383 KB
  Изучить Поиск решения и Подбор параметра в электронной таблице Excel. Решение задач оптимизации Рассматривается технология разработки модели и решения задач с помощью программы Excel Поиск решений. Освоить методику и технологию оптимизации планов производства продукции в табличном...