58036

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Сприяти закріпленню знань про геометричний та фізичний зміст інтеграла. Учитель пропонує закінчити речення щоб сформульовані твердження були вірними: Криволінійною трапецією називається Дія обернена до диференціювання Первісні для однієї і тієї ж функції відрізняються тільки...

Украинкский

2014-04-18

558.5 KB

27 чел.

Тема уроку:      ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА.

Мета: Узагальнити і систематизувати знання учнів з теми «Визначені інтеграли». Сприяти закріпленню знань про геометричний та фізичний зміст інтеграла. Навчити застосовувати математичні закони інтегрування в різних задачах.

Посилити мотивацію учнів до вивчення теми, познайомивши з історією створення  розділу  математичного аналізу.

         Розвивати творчі здібності, сприяти підвищенню інтересу до математики. Продемонструвати прикладну направленість теми.

        Виховувати комунікативні та інформаційні риси у учнів, активність та спостережливість, вміння узагальнювати.

Обладнання: інтерактивна дошка, учбова презентація.

Тип уроку: узагальнення і систематизація знань

Хід уроку:

  1.  Актуалізація знань

Розминка: «Несправний диктофон». Учитель пропонує закінчити речення,  

щоб сформульовані твердження були вірними:                                 

«Криволінійною трапецією називається…»

«Дія, обернена до диференціювання …»

«Первісні для однієї і тієї ж функції відрізняються тільки…»

«Визначений інтеграл відрізняється від невизначеного тим, що…»

«Функція записана  під знаком інтеграла, закінчується  знаками…»

«Геометричним змістом визначеного інтеграла є…»

«Фізичним змістом визначеного інтеграла є…»

«Знак dx означає…»

   Показ учбової презентації починається зображеннями портретів  Ісаака Ньютона і Вільгельма Лейбніца. Доцільно повідомити коротку інформацію про створення важливого розділу математики, і з чого все починалось…

Основна частина уроку.

Щоб узагальнити і систематизувати знання учнів з теми важливо організувати різноманітність форм роботи учнів на уроці. Ці форми повинні невимушено поєднуватись з виконанням математичних завдань, доведеннями проголошених тверджень та засвоєнням нових вмінь. Даний урок  методично зібраний із часто вживаних типових вправ і організаційно має триподільну структуру. Конструктор уроку: форми роботи активізації учнів - ФРАУ №1, ФРАУ №2, ФРАУ №3.

  •  ФРАУ №1
  •  «Застосування міжпредметних зв`язків  з теорією

фізики, геометрії та алгебри при розв`язуванні завдань.»

  •  Фізичний зміст визначеного інтеграла.                

 Шлях, який долає  фізичне матеріальне тіло за певний проміжок часу

Нехай швидкість руху тіла задана рівнянням:

 v(t)= 3t2 - 2t +1 (в метрах за секунду).

Знайдемо шлях руху тіла, який відбувся за 10 секунд від початку руху.

За умовою задачі позначимо, що дано: t0= 0 секунд, t1=10 секунд. 

v (t) = 3t2 -2t +1.

Застосуємо формулу, що виражає фізичний зміст визначеного інтеграла.

Знайдемо шлях, як функцію від х.

S(х)=

               Отже,  S(х)=

Обчислимо, враховуючи дане рівняння швидкості.

S=

Відповідь: тіло за десять секунд подолало 910 м.

  •  Геометричний зміст визначеного інтеграла   

     Зміст теоретичної підготовки  по інтегруванню допомагає визначитись з фігурами, які є криволінійними трапеціями і які не є криволінійними трапеціями. Використовуючи оператори Power Point для створення презентацій виходить дуже вдало показати розбиття фігур на частини, де одна з них є криволінійною трапецією. Важлива властивість адитивності площ використовується і при  демонстрації поділу фігури на частини, що важливо при виконанні вправ                                                   

Застосування визначених інтегралів для знаходження площ фігур.

Площа фігури, обмеженої графіком  неперервної  функції f (х)  та прямими х = а і х = b, де f (х )- неперервна на відрізку [a; b], знаходиться за формулою Ньютона - Лейбніца 

Обчислення площі – це найпростіше застосування інтеграла, оскільки за означенням інтеграл тісно пов`язаний з площею фігур.

Нехай функція f (x) неперервна на [a; b] і приймає на цьому відрізку як додатні так і від`ємні значення.

Тоді потрібно розбити відрізок [a; b] на  частини в кожній з яких функція не змінює свій знак, потім обчислити площі цих частин і додати.

Оскільки функція на відрізку  приймає від`ємні значення, то. Тому

  •  ФРАУ №2
  •  «Використання умінь та навичок у роботі з тестами.»

Демонстрацією слайду учбової презентації допомагає побачити варіанти відповідей, опитати учнів, які мають різні варіанти відповідей і переконати їх.

Знаходження площ фігур, які не є криволінійними трапеціями за означенням.

Площа фігури, обмеженої графіками двох неперервних функцій f1 (х) і  f2 (х) та прямими х = а і х = b, де f1 (х),  f2 (х)- неперервні на відрізку [a; b] знаходиться за формулою

                                             y         

                                                               

                                                                                         

 

                                                             а                     в                 х                                                                            

Нехай пряма у=с розбиває криволінійну трапецію площі S на частини: прямокутник і фігуру F. Знайдемо площу фігури F, яка не є криволінійною трапецією. Площа фігури F буде доповнена площею прямокутника до площі S.

Нехай криволінійна трапеція розділена прямою х = с. ЇЇ площа буде дорівнювати сумі площ двох криволінійних трапецій

 

Застосування інтегралів для визначення об`ємів фігур.

Якщо розглянути будь-яку фігуру обертання, то можна також застосувати розбиття цієї фігури на частини перерізами, що перпендикулярні осі обертання. Ці перерізи мають форму кругів змінного радіуса

Позначимо довжину радіуса f(х).  Тоді площею перерізу буде добуток π (f(x))2

Об`ємом буде інтегральна сума площ перерізів. - відрізок, який визначає висоту фігури та межі інтегрування.

  •  ФРАУ №3
  •  « Використання алгоритму»

                                    Алгоритм

виведення формули для обчислення об`єму фігури обертання:

1)Вибір осі:  вісь обертання – вісь х.

2) Визначення  функції площі змінного перерізу:  S(x)

Перерізом є круг радіуса f(x). Отже:

3) Встановлення меж інтегрування:

4) Обчислення інтеграла

Oб`єм кулі.

Застосуємо виведену формулу до кулі, центр якої  розміщено в початку системи координат. Оскільки рівняння кола   х22=R2, то півколо, яке розташоване над віссю х має рівняння    f(x)=

-R x R. Тому об`єм  кулі знаходимо за формулою:

V=.

-R

Формула об`єму кулі              

Визначимо формулу об`єму конуса, використовуючи наступні кроки алгоритму  ( по слайду презентації)

Алгоритм.

  1.  Вісь конуса виберемо на осі  х.
  2.  Нехай площина перерізу перпендикулярна до осі, паралельна основі. За співвідношенням площ та лінійних розмірів фігур маємо:

,

де Н- висота конуса, S- площа основи, S(x)- площа перерізу

  1.  
  2.   Знайдемо об`єм конуса за допомогою визначеного інтеграла:

«Узагальнення  при використанні таблиці»

Елементи інтегрування для фізичних величи

Величини

Співвідношення

Інтегрування

А-робота 

 F -сила

 N- потужність

dA=f(x)dx

dA=N(t)dt

m - маса  стержня

-  лінійна густина

dm=(x)dx

q- електричний заряд

І- сила струму

dq=I(t)dt

s- переміщення

v- швидкість

ds=v(t)dt

Q- kількість теплоти

с- теплоємність

dQ=c(t)dt

Задача.

Під дією сили 60 Н пружина розтягується на 0,02м. Яку роботу виконає пружина при видовженні на 0,12 м?

Розв`язання.

Застосуємо закон Гука. 0,02к=60, тоді к=3000.Отже F(x)=3000х

A=1500x2

Відповідь: 21,6 Дж

Підсумок уроку.

Оголошення оцінок. Запис домашнього завдання: п.7 № 129,131(а),140

Геніальні вчені Ньютон І Лейбніц довели, що виявлення точності і можливості розрахунків у світовому хаосі рухів під силу людському розуму. Такими ж оптимістичними повинні бути і ми, ті, хто користується їх простою і зрозумілою формулою. Систематизація різних випадків приводить до правильності і точності відповідей, поглиблює знання і вдосконалює вміння  володіти важливою математичною операцією - інтегрування.


а        
                             в              х

f(x)

y

x

y

а        с       

в

f(x)

x

y

f(x)

c

x

y

S1

а           с              в

   S2

f(x)

x

y

y

-R

x

R     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37233. Средства пожарной безопасности клубных помещений 75.5 KB
  Основные первичные средства пожаротушения: Огнетушители. Огнетушители предназначаются для тушения очагов горения в начальной их стадии а также для противопожарной защиты небольших сооружений машин и механизмов. Огнетушители бывают переносные и передвижные. Огнетушители с большим объемом заряда с массой не менее 20 но не более 400 кг; могут иметь одну или несколько емкостей с огнетушащим веществом относятся к передвижным их корпуса устанавливаются на специальные тележки.
37234. Разработка плана (схемы) технического оснащения учреждения культуры системой озвучивания 110 KB
  Важнейшей характеристикой колебаний звука является частота число показывающее сколько полных колебаний в секунду совершает например маятник часов струна и т. Система озвучивания зала в учреждении культуры представляет собой усилительную систему применяемую в случаях если звуковая мощность источника звука оратора актеров оркестра недостаточна для обеспечения нормальной слышимости на сравнительно большой зоне расположения слушателей или когда в этой зоне имеются значительные шумы или если у помещения плохие акустические свойства....
37235. Система озвучивания социально-культурных мероприятий 146.5 KB
  Система озвучивания социальнокультурных мероприятий 1. Система озвучивания На протяжении столетий в концертных залах театрах лекционных залах церквах и др. Все это вызвало существенные изменения в требованиях к акустическим параметрам современных больших залов многоцелевого назначения и привело к широкому использованию в них систем озвучивания и звукоусиления. Системой озвучивания называется комплекс электроакустических устройств состоящий из излучателей микрофонов усилителей различных корректоров и др.
37236. Теле и видео аппаратура в СКД 94 KB
  Сейчас весь мир пользуется множеством различных устройств, в разных сферах индустрии. Прогресс не стоит на месте, каждый год, месяц появляются различные устройства. Одними из таких устройств являются устройства теле и видео, которые в свою очередь считаются одними из популярных устройств
37237. Практика и перспективы использования технических средств в учреждениях культуры 73.5 KB
  В социальнокультурных мероприятиях речь идет не только о решении сценической площадки но и всего пространства: сцены зрительного зала фойе клубного здания и подходов к нему. Таким образом основными элементами сценографии в социальнокультурных мероприятиях выступают: художественнодекоративное решение интерьера и сценического пространства техника сцены световое звуковое решения. 1 Световое оборудование В оборудовании современной сцены освещение электротехническая часть играют весьма значительную роль. В зависимости от технического...
37238. Правовая охрана программ и данных. Защита информации 39 KB
  Программы по их юридическому статусу можно разделить на три большие группы: лицензионные условно бесплатные программы Shrewre и свободно распространяемы программы freewre. Лицензионные условно бесплатные и бесплатные программы Дистрибутивы лицензионных программ дискеты или CDROM с которых производится установка программ на компьютеры пользователей распространяются разработчиками на основании договоров с пользователями на платной основе проще говоря лицензионные программы продаются. Довольно часто разработчики предоставляют...
37239. А́вторское пра́во 96 KB
  Они приравнены к литературным произведениям и сборникам соответственно. приобретающие монопольное право на коммерческое использование произведения; если произведение создано служащим работающим по найму то исключительное право на произведение возникает у нанимателя; в случае создания произведения изобразительного искусства или фотопроизведения по договору заказа субъектом исключительного права становится заказчик. В связи с этим автор может взять на себя обязательства впредь моральные права не осуществлять Неимущественные авторские...
37240. История компьютеров. Краткий курс 57 KB
  IBM выпускает свой первый электронный компьютер IBM 701.DEC начала продавать PDP1 первый коммерческий миникомпьютер с монитором и клавиатурой.Денис Ритчи и Кеннет Томсон выпускают первую версию Unix; стараниями компании Xerox начинает свою работу лаборатория PRC при Стэнфордском университете; доктор Кодд публикует первую статью посвященную реляционной модели данных; а коллектив под руководством Алана Шугарта придумывает первый восьмидюймовый флоппидиск емкостью 80 Кбайт; появляются так называемые компьютеры 4го поколения.В недрах...