58036

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Сприяти закріпленню знань про геометричний та фізичний зміст інтеграла. Учитель пропонує закінчити речення щоб сформульовані твердження були вірними: Криволінійною трапецією називається Дія обернена до диференціювання Первісні для однієї і тієї ж функції відрізняються тільки...

Украинкский

2014-04-18

558.5 KB

34 чел.

Тема уроку:      ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА.

Мета: Узагальнити і систематизувати знання учнів з теми «Визначені інтеграли». Сприяти закріпленню знань про геометричний та фізичний зміст інтеграла. Навчити застосовувати математичні закони інтегрування в різних задачах.

Посилити мотивацію учнів до вивчення теми, познайомивши з історією створення  розділу  математичного аналізу.

         Розвивати творчі здібності, сприяти підвищенню інтересу до математики. Продемонструвати прикладну направленість теми.

        Виховувати комунікативні та інформаційні риси у учнів, активність та спостережливість, вміння узагальнювати.

Обладнання: інтерактивна дошка, учбова презентація.

Тип уроку: узагальнення і систематизація знань

Хід уроку:

  1.  Актуалізація знань

Розминка: «Несправний диктофон». Учитель пропонує закінчити речення,  

щоб сформульовані твердження були вірними:                                 

«Криволінійною трапецією називається…»

«Дія, обернена до диференціювання …»

«Первісні для однієї і тієї ж функції відрізняються тільки…»

«Визначений інтеграл відрізняється від невизначеного тим, що…»

«Функція записана  під знаком інтеграла, закінчується  знаками…»

«Геометричним змістом визначеного інтеграла є…»

«Фізичним змістом визначеного інтеграла є…»

«Знак dx означає…»

   Показ учбової презентації починається зображеннями портретів  Ісаака Ньютона і Вільгельма Лейбніца. Доцільно повідомити коротку інформацію про створення важливого розділу математики, і з чого все починалось…

Основна частина уроку.

Щоб узагальнити і систематизувати знання учнів з теми важливо організувати різноманітність форм роботи учнів на уроці. Ці форми повинні невимушено поєднуватись з виконанням математичних завдань, доведеннями проголошених тверджень та засвоєнням нових вмінь. Даний урок  методично зібраний із часто вживаних типових вправ і організаційно має триподільну структуру. Конструктор уроку: форми роботи активізації учнів - ФРАУ №1, ФРАУ №2, ФРАУ №3.

  •  ФРАУ №1
  •  «Застосування міжпредметних зв`язків  з теорією

фізики, геометрії та алгебри при розв`язуванні завдань.»

  •  Фізичний зміст визначеного інтеграла.                

 Шлях, який долає  фізичне матеріальне тіло за певний проміжок часу

Нехай швидкість руху тіла задана рівнянням:

 v(t)= 3t2 - 2t +1 (в метрах за секунду).

Знайдемо шлях руху тіла, який відбувся за 10 секунд від початку руху.

За умовою задачі позначимо, що дано: t0= 0 секунд, t1=10 секунд. 

v (t) = 3t2 -2t +1.

Застосуємо формулу, що виражає фізичний зміст визначеного інтеграла.

Знайдемо шлях, як функцію від х.

S(х)=

               Отже,  S(х)=

Обчислимо, враховуючи дане рівняння швидкості.

S=

Відповідь: тіло за десять секунд подолало 910 м.

  •  Геометричний зміст визначеного інтеграла   

     Зміст теоретичної підготовки  по інтегруванню допомагає визначитись з фігурами, які є криволінійними трапеціями і які не є криволінійними трапеціями. Використовуючи оператори Power Point для створення презентацій виходить дуже вдало показати розбиття фігур на частини, де одна з них є криволінійною трапецією. Важлива властивість адитивності площ використовується і при  демонстрації поділу фігури на частини, що важливо при виконанні вправ                                                   

Застосування визначених інтегралів для знаходження площ фігур.

Площа фігури, обмеженої графіком  неперервної  функції f (х)  та прямими х = а і х = b, де f (х )- неперервна на відрізку [a; b], знаходиться за формулою Ньютона - Лейбніца 

Обчислення площі – це найпростіше застосування інтеграла, оскільки за означенням інтеграл тісно пов`язаний з площею фігур.

Нехай функція f (x) неперервна на [a; b] і приймає на цьому відрізку як додатні так і від`ємні значення.

Тоді потрібно розбити відрізок [a; b] на  частини в кожній з яких функція не змінює свій знак, потім обчислити площі цих частин і додати.

Оскільки функція на відрізку  приймає від`ємні значення, то. Тому

  •  ФРАУ №2
  •  «Використання умінь та навичок у роботі з тестами.»

Демонстрацією слайду учбової презентації допомагає побачити варіанти відповідей, опитати учнів, які мають різні варіанти відповідей і переконати їх.

Знаходження площ фігур, які не є криволінійними трапеціями за означенням.

Площа фігури, обмеженої графіками двох неперервних функцій f1 (х) і  f2 (х) та прямими х = а і х = b, де f1 (х),  f2 (х)- неперервні на відрізку [a; b] знаходиться за формулою

                                             y         

                                                               

                                                                                         

 

                                                             а                     в                 х                                                                            

Нехай пряма у=с розбиває криволінійну трапецію площі S на частини: прямокутник і фігуру F. Знайдемо площу фігури F, яка не є криволінійною трапецією. Площа фігури F буде доповнена площею прямокутника до площі S.

Нехай криволінійна трапеція розділена прямою х = с. ЇЇ площа буде дорівнювати сумі площ двох криволінійних трапецій

 

Застосування інтегралів для визначення об`ємів фігур.

Якщо розглянути будь-яку фігуру обертання, то можна також застосувати розбиття цієї фігури на частини перерізами, що перпендикулярні осі обертання. Ці перерізи мають форму кругів змінного радіуса

Позначимо довжину радіуса f(х).  Тоді площею перерізу буде добуток π (f(x))2

Об`ємом буде інтегральна сума площ перерізів. - відрізок, який визначає висоту фігури та межі інтегрування.

  •  ФРАУ №3
  •  « Використання алгоритму»

                                    Алгоритм

виведення формули для обчислення об`єму фігури обертання:

1)Вибір осі:  вісь обертання – вісь х.

2) Визначення  функції площі змінного перерізу:  S(x)

Перерізом є круг радіуса f(x). Отже:

3) Встановлення меж інтегрування:

4) Обчислення інтеграла

Oб`єм кулі.

Застосуємо виведену формулу до кулі, центр якої  розміщено в початку системи координат. Оскільки рівняння кола   х22=R2, то півколо, яке розташоване над віссю х має рівняння    f(x)=

-R x R. Тому об`єм  кулі знаходимо за формулою:

V=.

-R

Формула об`єму кулі              

Визначимо формулу об`єму конуса, використовуючи наступні кроки алгоритму  ( по слайду презентації)

Алгоритм.

  1.  Вісь конуса виберемо на осі  х.
  2.  Нехай площина перерізу перпендикулярна до осі, паралельна основі. За співвідношенням площ та лінійних розмірів фігур маємо:

,

де Н- висота конуса, S- площа основи, S(x)- площа перерізу

  1.  
  2.   Знайдемо об`єм конуса за допомогою визначеного інтеграла:

«Узагальнення  при використанні таблиці»

Елементи інтегрування для фізичних величи

Величини

Співвідношення

Інтегрування

А-робота 

 F -сила

 N- потужність

dA=f(x)dx

dA=N(t)dt

m - маса  стержня

-  лінійна густина

dm=(x)dx

q- електричний заряд

І- сила струму

dq=I(t)dt

s- переміщення

v- швидкість

ds=v(t)dt

Q- kількість теплоти

с- теплоємність

dQ=c(t)dt

Задача.

Під дією сили 60 Н пружина розтягується на 0,02м. Яку роботу виконає пружина при видовженні на 0,12 м?

Розв`язання.

Застосуємо закон Гука. 0,02к=60, тоді к=3000.Отже F(x)=3000х

A=1500x2

Відповідь: 21,6 Дж

Підсумок уроку.

Оголошення оцінок. Запис домашнього завдання: п.7 № 129,131(а),140

Геніальні вчені Ньютон І Лейбніц довели, що виявлення точності і можливості розрахунків у світовому хаосі рухів під силу людському розуму. Такими ж оптимістичними повинні бути і ми, ті, хто користується їх простою і зрозумілою формулою. Систематизація різних випадків приводить до правильності і точності відповідей, поглиблює знання і вдосконалює вміння  володіти важливою математичною операцією - інтегрування.


а        
                             в              х

f(x)

y

x

y

а        с       

в

f(x)

x

y

f(x)

c

x

y

S1

а           с              в

   S2

f(x)

x

y

y

-R

x

R     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33693. Понятие, задачи, источники и принципы криминалистической методики 12.9 KB
  Криминалистическая методика это система научных положений и разрабатываемых на их основе рекомендаций по организации и осуществлению раскрытия расследования и предотвращения отдельных видов преступлений. На основе общей теории криминалистики рекомендации криминалистической техники и тактики конкретизируются и используются в криминалистической методике применительно к ситуациям типичным для определенных категорий групп преступлений т. Криминалистическая методика разрабатывает наиболее эффективные способы применения рекомендаций...
33694. ПОНЯТИЕ И ЗНАЧЕНИЕ КРИМИНАЛИСТИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРЕСТУПЛЕНИЙ 12.1 KB
  Своеобразие криминалистической характеристики преступлений определяется двумя моментами: 1 особенностями отражаемой в ней реалии и ее признаков; 2 спецификой целей подобного отражения. Два других уровня символизируют одну общую для них но отличающуюся от предыдущей систему координат рассмотрение криминалистической характеристики преступлений в ее обобщенном типовом варианте. С этой точки зрения криминалистическая характеристика преступлений может быть представлена в качестве типовой информационной модели которая отражает типичные с...
33695. ПОНЯТИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ ЧАСТНЫХ МЕТОДИК РАССЛЕДОВАНИЯ 12.36 KB
  Классификация частных методик: 1 по объему: а полные разрабатываются для всего процесса расследования какоголибо вида преступлений; б сокращенные методические рекомендации для какоголибо одного этапа расследования; 2 в зависимости от отношения к уголовному закону: а типичные методики построенные в зависимости от вида преступлений; б особенные методики где в качестве оснований могут быть место совершения преступления личность преступника или потерпевшего например расследование преступлений на водном или воздушном...
33696. Криминалистическая характеристика краж 24.5 KB
  Чаще всего совершаются кражи из квартир дач гаражей и других помещений принадлежащих гражданам кражи личных вещей на вокзалах и в поездах карманные кражи на рынках в магазинах в городском транспорте а также на улицах. В последние годы распространенными стали кражи урожая с полей и садовых участков. Нередко совершаются также кражи из магазинов со складов и других мест хранения или сбыта материальных ценностей.
33697. Отдельные элементы криминалистической характеристики 12.12 KB
  Отдельные элементы криминалистической характеристики: кража государственного и общественного имущества: кражи совершаемые путём свободного доступа кражи из охраняемых объектов кражи личного имущества: из квартир и личных домовладений из гостиниц общежитий дач из подсобных помещений из автомобилей у пассажиров кражи из карманов кражи временно оставленного неохраняемого имущества. Подготовка кражи: подбор конкретного объекта посягательства выявление лица имеющего ценности места нахождения имущества: выявление квартир в которых...
33698. Дела о карманных кражах 14.9 KB
  К числу обстоятельств подлежащих установлению при расследовании краж относятся: 1 имела ли место кража; 2 время место и условия ее совершения; 3 предмет кражи что похищено преступником его стоимость признаки; 4 кому принадлежало похищенное; 5 способ совершения кражи; 6 субъект кражи кем она совершена; 7 не совершена ли кража преступной группой если да степень виновности каждого участника группы; 8 место время и способ сбыта краденого; 9 обстоятельства смягчающие или отягчающие ответственность виновных; 10 причины и...
33699. Разбои и грабежи 14.7 KB
  Кроме того разбои и грабежи часто совершаются группами на базе которых складываются особо опасные преступные формирования совершающие бандитские нападения вымогательство и т. Грабежи и разбойные нападения направленные на завладение государственным имуществом или имуществом коммерческих структур на хранилища денежных средств. Среди способов разбоев и грабежей можно выделить следующие 1 нападения на открытой местности либо в помещении совершаемые с использованием фактора внезапности без применения насилия рывки сумок шапок денег у...
33700. Криминалистическая характеристика преступлений 11.16 KB
  Открытый характер и дерзость совершения этих преступлений то впечатление которое они производят на потерпевших и очевидцев обусловливают значительный общественный резонанс чему способствует и относительно низкая раскрываемость грабежей и разбоев подчас групповой характер этих преступлений.
33701. КРИМИНАЛИСТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МОШЕННИЧЕСТВА 12.34 KB
  При мошенничестве подлежат установлению следующие обстоятельства:1имело ли место мошенничество; 2 место время условия способ совершения мошенничества; кто был очевидцем преступления; 3 наличие преступного умысла; 4 предмет мошенничества какая сумма денег была незаконно получена мошенником; 5 объект посягательства государственная или общественная организация коммерческая структура частное лицо; 6 данные о личности преступника место работы трудовая характеристика...