58036

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Сприяти закріпленню знань про геометричний та фізичний зміст інтеграла. Учитель пропонує закінчити речення щоб сформульовані твердження були вірними: Криволінійною трапецією називається Дія обернена до диференціювання Первісні для однієї і тієї ж функції відрізняються тільки...

Украинкский

2014-04-18

558.5 KB

34 чел.

Тема уроку:      ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА.

Мета: Узагальнити і систематизувати знання учнів з теми «Визначені інтеграли». Сприяти закріпленню знань про геометричний та фізичний зміст інтеграла. Навчити застосовувати математичні закони інтегрування в різних задачах.

Посилити мотивацію учнів до вивчення теми, познайомивши з історією створення  розділу  математичного аналізу.

         Розвивати творчі здібності, сприяти підвищенню інтересу до математики. Продемонструвати прикладну направленість теми.

        Виховувати комунікативні та інформаційні риси у учнів, активність та спостережливість, вміння узагальнювати.

Обладнання: інтерактивна дошка, учбова презентація.

Тип уроку: узагальнення і систематизація знань

Хід уроку:

  1.  Актуалізація знань

Розминка: «Несправний диктофон». Учитель пропонує закінчити речення,  

щоб сформульовані твердження були вірними:                                 

«Криволінійною трапецією називається…»

«Дія, обернена до диференціювання …»

«Первісні для однієї і тієї ж функції відрізняються тільки…»

«Визначений інтеграл відрізняється від невизначеного тим, що…»

«Функція записана  під знаком інтеграла, закінчується  знаками…»

«Геометричним змістом визначеного інтеграла є…»

«Фізичним змістом визначеного інтеграла є…»

«Знак dx означає…»

   Показ учбової презентації починається зображеннями портретів  Ісаака Ньютона і Вільгельма Лейбніца. Доцільно повідомити коротку інформацію про створення важливого розділу математики, і з чого все починалось…

Основна частина уроку.

Щоб узагальнити і систематизувати знання учнів з теми важливо організувати різноманітність форм роботи учнів на уроці. Ці форми повинні невимушено поєднуватись з виконанням математичних завдань, доведеннями проголошених тверджень та засвоєнням нових вмінь. Даний урок  методично зібраний із часто вживаних типових вправ і організаційно має триподільну структуру. Конструктор уроку: форми роботи активізації учнів - ФРАУ №1, ФРАУ №2, ФРАУ №3.

  •  ФРАУ №1
  •  «Застосування міжпредметних зв`язків  з теорією

фізики, геометрії та алгебри при розв`язуванні завдань.»

  •  Фізичний зміст визначеного інтеграла.                

 Шлях, який долає  фізичне матеріальне тіло за певний проміжок часу

Нехай швидкість руху тіла задана рівнянням:

 v(t)= 3t2 - 2t +1 (в метрах за секунду).

Знайдемо шлях руху тіла, який відбувся за 10 секунд від початку руху.

За умовою задачі позначимо, що дано: t0= 0 секунд, t1=10 секунд. 

v (t) = 3t2 -2t +1.

Застосуємо формулу, що виражає фізичний зміст визначеного інтеграла.

Знайдемо шлях, як функцію від х.

S(х)=

               Отже,  S(х)=

Обчислимо, враховуючи дане рівняння швидкості.

S=

Відповідь: тіло за десять секунд подолало 910 м.

  •  Геометричний зміст визначеного інтеграла   

     Зміст теоретичної підготовки  по інтегруванню допомагає визначитись з фігурами, які є криволінійними трапеціями і які не є криволінійними трапеціями. Використовуючи оператори Power Point для створення презентацій виходить дуже вдало показати розбиття фігур на частини, де одна з них є криволінійною трапецією. Важлива властивість адитивності площ використовується і при  демонстрації поділу фігури на частини, що важливо при виконанні вправ                                                   

Застосування визначених інтегралів для знаходження площ фігур.

Площа фігури, обмеженої графіком  неперервної  функції f (х)  та прямими х = а і х = b, де f (х )- неперервна на відрізку [a; b], знаходиться за формулою Ньютона - Лейбніца 

Обчислення площі – це найпростіше застосування інтеграла, оскільки за означенням інтеграл тісно пов`язаний з площею фігур.

Нехай функція f (x) неперервна на [a; b] і приймає на цьому відрізку як додатні так і від`ємні значення.

Тоді потрібно розбити відрізок [a; b] на  частини в кожній з яких функція не змінює свій знак, потім обчислити площі цих частин і додати.

Оскільки функція на відрізку  приймає від`ємні значення, то. Тому

  •  ФРАУ №2
  •  «Використання умінь та навичок у роботі з тестами.»

Демонстрацією слайду учбової презентації допомагає побачити варіанти відповідей, опитати учнів, які мають різні варіанти відповідей і переконати їх.

Знаходження площ фігур, які не є криволінійними трапеціями за означенням.

Площа фігури, обмеженої графіками двох неперервних функцій f1 (х) і  f2 (х) та прямими х = а і х = b, де f1 (х),  f2 (х)- неперервні на відрізку [a; b] знаходиться за формулою

                                             y         

                                                               

                                                                                         

 

                                                             а                     в                 х                                                                            

Нехай пряма у=с розбиває криволінійну трапецію площі S на частини: прямокутник і фігуру F. Знайдемо площу фігури F, яка не є криволінійною трапецією. Площа фігури F буде доповнена площею прямокутника до площі S.

Нехай криволінійна трапеція розділена прямою х = с. ЇЇ площа буде дорівнювати сумі площ двох криволінійних трапецій

 

Застосування інтегралів для визначення об`ємів фігур.

Якщо розглянути будь-яку фігуру обертання, то можна також застосувати розбиття цієї фігури на частини перерізами, що перпендикулярні осі обертання. Ці перерізи мають форму кругів змінного радіуса

Позначимо довжину радіуса f(х).  Тоді площею перерізу буде добуток π (f(x))2

Об`ємом буде інтегральна сума площ перерізів. - відрізок, який визначає висоту фігури та межі інтегрування.

  •  ФРАУ №3
  •  « Використання алгоритму»

                                    Алгоритм

виведення формули для обчислення об`єму фігури обертання:

1)Вибір осі:  вісь обертання – вісь х.

2) Визначення  функції площі змінного перерізу:  S(x)

Перерізом є круг радіуса f(x). Отже:

3) Встановлення меж інтегрування:

4) Обчислення інтеграла

Oб`єм кулі.

Застосуємо виведену формулу до кулі, центр якої  розміщено в початку системи координат. Оскільки рівняння кола   х22=R2, то півколо, яке розташоване над віссю х має рівняння    f(x)=

-R x R. Тому об`єм  кулі знаходимо за формулою:

V=.

-R

Формула об`єму кулі              

Визначимо формулу об`єму конуса, використовуючи наступні кроки алгоритму  ( по слайду презентації)

Алгоритм.

  1.  Вісь конуса виберемо на осі  х.
  2.  Нехай площина перерізу перпендикулярна до осі, паралельна основі. За співвідношенням площ та лінійних розмірів фігур маємо:

,

де Н- висота конуса, S- площа основи, S(x)- площа перерізу

  1.  
  2.   Знайдемо об`єм конуса за допомогою визначеного інтеграла:

«Узагальнення  при використанні таблиці»

Елементи інтегрування для фізичних величи

Величини

Співвідношення

Інтегрування

А-робота 

 F -сила

 N- потужність

dA=f(x)dx

dA=N(t)dt

m - маса  стержня

-  лінійна густина

dm=(x)dx

q- електричний заряд

І- сила струму

dq=I(t)dt

s- переміщення

v- швидкість

ds=v(t)dt

Q- kількість теплоти

с- теплоємність

dQ=c(t)dt

Задача.

Під дією сили 60 Н пружина розтягується на 0,02м. Яку роботу виконає пружина при видовженні на 0,12 м?

Розв`язання.

Застосуємо закон Гука. 0,02к=60, тоді к=3000.Отже F(x)=3000х

A=1500x2

Відповідь: 21,6 Дж

Підсумок уроку.

Оголошення оцінок. Запис домашнього завдання: п.7 № 129,131(а),140

Геніальні вчені Ньютон І Лейбніц довели, що виявлення точності і можливості розрахунків у світовому хаосі рухів під силу людському розуму. Такими ж оптимістичними повинні бути і ми, ті, хто користується їх простою і зрозумілою формулою. Систематизація різних випадків приводить до правильності і точності відповідей, поглиблює знання і вдосконалює вміння  володіти важливою математичною операцією - інтегрування.


а        
                             в              х

f(x)

y

x

y

а        с       

в

f(x)

x

y

f(x)

c

x

y

S1

а           с              в

   S2

f(x)

x

y

y

-R

x

R     


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45358. Обучение игровых программ 41 KB
  Таким образом накопление позволяет либо экономить время либо достичь лучшего качества игры за то же время путем использования несколько большего дерева. Оно позволяет программе в ходе игры улучшать свои оценивающие функции. Качество игры зависит от подходящего выбора весовых коэффициентов k1 k2 k3 .
45359. Подготовка входных параметров 28 KB
  Естественно что незначимые параметры не следует включать в список параметров входного вектора X. Однако на практике часто бывает трудно и даже невозможно установить какие из параметров предметной области являются значимыми а какие нет. Поэтому на первом этапе в вектор X включают как можно больше параметров избегая только те из них незначимость которых очевидна.
45360. Многообразие образовательных учреждений, их специфика 66 KB
  Учреждения профессионального образования. Прием граждан для получения среднего профессионального высшего профессионального и послевузовского профессионального образования проводится на конкурсной основе по заявлениям граждан. Вне конкурса при условии успешной сдачи вступительных экзаменов в государственные и муниципальные образовательные учреждения среднего профессионального и высшего профессионального образования принимаются: детисироты и дети оставшиеся без попечения родителей; детиинвалиды инвалиды I и II групп которым не...
45361. Школьный класс как малая социальная группа: характеристика, структура, уровни развития. Межличностные отношения и методы их изучения 60.5 KB
  План Признаки коллектива Характеристика класса как ученического коллектива Структура класса Формальная неформальная Отсутствие структуры складывающаяся структура 2 или более группировок Уровни развития класса стадия 1 2 3 и последующие Межличностные отношения в классе звезды предпочитаемые отвергаемые изолированные Методы изучения межличностных отношений в классе социометрия выявление лидера Признаки коллектива: Общая социально значимая цель. В хорошо организованных коллективах проявляются взаимопомощь и...
45362. Изучение, обобщение и распространение передового педагогического опыта. Анализ опыта учителей-новаторов 39 KB
  Критерии педагогических инноваций Новизна оптимальности результативность массовость 7. Причины нереализованности педагогических новаций. 3 Изменение характера отношения учителей к самому факту освоения и применения педагогических новшеств. Внедрение достижений педагогической науки Инновационная направленность деятельности учителей включает и вторую составляющую внедрение в практическую педагогическую деятельность результатов психологопедагогических исследований.
45363. Диагностика результатов обучения школьников. Проверка и оценка работы школьников в процессе обучения 50.5 KB
  План Диагностика качества обучения определение цель принципы формула Контроль Понятие контроля Виды контроля Формы контроля Методы контроля Требования к контролю Тест как метод контроля Проверка Оценка 1. Принципы диагностирования обученности: Систематичность разнообразие постоянство форм методов средств контроля. Необходимость контроля на всех этапах обучения. Понятие контроля.
45364. Проблема целей и содержания воспитания. Культурологический подход к воспитанию и обучению 45.5 KB
  Проблема целей и содержания воспитания. Понятие воспитания Цели воспитания Культурологический подход к воспитанию и обучению Содержание воспитания 1. Понятие воспитания Воспитание это деятельность воспитателей по созданию условий для культурного становления и саморазвития личности иначе деятельность педагога по организации жизни ребёнка на уровне культуры. Цели воспитания Цель воспитания идеал к которому стремится общество и отдельный воспитатель.
45365. Проблемное обучение. Использование методов проблемного обучения в информатике 36.5 KB
  Использование методов проблемного обучения в информатике. План Технология проблемного обучения Проблемная ситуация Проблемное изложение Частичнопоисковая Исследовательская деятельность Приемы создания проблемных ситуаций Преимущества и недостатки проблемного обучения Использование методов проблемного обучения в информатике 1. Технология проблемного обучения предполагает организацию под руководством учителя самостоятельной поисковой деятельности учащихся по решению учебных проблем в ходе которых у школьников формируются новые...
45366. Познавательный интерес. Его формирование и развитие. Активизация познавательного интереса при обучении информатике 37.5 KB
  Познавательный интерес. Активизация познавательного интереса при обучении информатике. Понятие познавательного интереса Формирование познавательных интересов в обучении.