58040

Побудова математичної моделі

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета уроку: Сприяти формуванню практичних умінь і навичок розв’язувати задачі за допомогою рівнянь; розвивати логічне мислення; спонукати учнів до прояву творчої активності, ініціативи; розвивати вміння аналізувати, знаходити раціональні способи розв’язування задач.

Украинкский

2014-04-18

120.5 KB

1 чел.

Навчальний предмет. Алгебра. 7 клас.

Розділ. Лінійні рівняння з однією змінною.

Ільніцька Людмила Василівна, вчитель математики, ЗШ №11 м. Білої Церкви.

Побудова математичної моделі.

Мета уроку: Сприяти формуванню практичних умінь і навичок розв’язувати задачі за допомогою рівнянь; розвивати  логічне мислення; спонукати учнів до прояву творчої активності, ініціативи; розвивати вміння аналізувати, знаходити раціональні способи розв’язування задач. Виховувати працелюбність, кмітливість, а також культуру мовлення.

Епіграф: „Рівняння – це золотий ключик, що відчиняє всі математичні сезами”.

                                                                                   С.Коваль

                                                                                             польський математик.

Обладнання: мультимедійний проектор, презентація „Математична модель”.

Хід уроку.

1. Перевірка домашнього завдання.

Експерти перевіряють домашнє завдання та доповідають про його виконання.

Два учні одержують картки.

Картка 1.

  1.  Розвязати рівняння:  
  2.  При яких значеннях змінної вираз    має зміст?

Відповідь. 1.  2. 

Картка 2.

Розвязати рівняння:

.

Відповідь. .

2. Математична розминка.

  1.  Наведи приклади рівнянь.
  2.  Що називають коренем рівняння? Чи є число 6 коренем рівняння  5х  –  3 = х + 6?
  3.  Що означає розвязати рівняння?
  4.  Сформулювати властивості рівнянь.
  5.  Дайте означення лінійного рівняння. Навести приклад лінійного рівняння.
  6.  Скільки коренів може мати лінійне рівняння?  

Відповідь.

ах = bлінійне рівняння

Коефіцієнти

Корені

а≠ 0

 – єдиний корінь

а= 0 і b ≠ 0

коренів немає

а = 0 і b = 0

коренем є будь-яке число

(рівняння має безліч коренів)

7. Знайти значення х, при яких значення виразів 2х – 3 і –3  + 7х  рівні?

8. Скільки коренів має рівняння?

а) 56х = 64;                б) 0 х = –2;                    в) 8 х = 0;                г) 0у = 0?

9.Розвязати лінійне рівняння:

а) 4у + 1 =  1 + ;             б) 8х = 8 + 12х;               в) –3(10 – 2х) = 6х – 30.

Відповідь. а) немає коренів;

                  б) х = 2;

                  в) безліч коренів.

10.  Що називається модулем числа?

11. Навести приклади рівнянь з модулем.

12. Розв’язати рівняння з модулем:

а)  + 3 = 9;              б)    – 1 = –5;            в) 2 – 5 = 0;              г) .

Відповідь.

а) х1 = – 6, х2 = 6;           б) не має коренів;        в) х = –2,5 або х = 2,5;  

 г) 5;10.

Перевірити і оцінити роботу на картках.

3, Мотивація навчальлної діяльності учнів.

Вчитель. Як ви вже знаєте, що багато років тому в давньому Єгипті і Вавілоні люди вже вміли розв’язувати алгебраїчні рівняння. З того часу математика не стоїть на місці, а стрімко розвивається. І ми сьогодні з вами будемо йти вперед. Ми будемо розвязувати задачі за допомогою рівнянь. Тому і епіграф нашого уроку: „Рівняння – це золотий ключик, що відчиняє всі математичні сезами”.

4. Сприймання та усвідомлення нового матеріалу.

 

Вчитель. Розвязуючи задачі за допомогою рівнянь, здебільшого дотримуємося такої схеми:

Приклад. З міста A до міста B виїхав вантажний автомобіль. Через 30 хв. назустріч йому з міста В виїхав легковий автомобіль, швидкість якого на 25 км/год більше, ніж швидкість вантажного. Автомобілі зустрілися через 1,3 год після виїзду вантажного автомобіля  з міста А. Знайти відстань між містами, якщо за весь час руху вантажний автомобіль проїхав на 10 км більше, ніж легковий.

Розвязання.

Швидкість, км/год

Час, год

Шлях, км

Вантажний автомобіль

х

1,3

1,3х

Легковий автомобіль

х + 25

0,8

0,8(х + 25)

Маємо рівняння: 1,3х – 0,8(х + 25) = 10.

Розвяжемо рівняння:

1,3х – 0,8х – 20 = 10;        0,5х = 30;      х = 60. Отже, швидкість вантажного автомобіля дорівнює 60 км/год.

Відстань між містами дорівнює сумі відстаней, які проїхали обидва автомобілі, тобто (1,3х + 0, 8(х + 25)) км. Оскільки х = 60, то матимемо:

1,3х + 0,8(х + 25) = 1,3 ∙ 60 + 0,8· (60 + 25) = 78 + 68 = 146 (км).

Відповідь. 146 км.

Спираючись на розвязання задачі, проаналізуємо перші два кроки наведеної вище схеми розв’язання задач за допомогою рівнянь.

  1.  Вибір невідомого. У задачі шуканою величиною є відстань між містами. Якщо цю величину позначимо через х км, то при складанні рівняння доведеться провести доволі складні міркування. Через х км/год позначили невідому швидкість вантажного автомобіля, виразили через х шляхи, які проїхали автолмобілі, і склали рівняння, знаючи, що різниця шляхів дорівнює 10 км. Отже, позначати через х (або якою-небудь іншою буквою) бажано ту невідому величину, через яку легше виражаються величини, значення яких можна прирівняти.
  2.  Щоб скласти рівняння, спочатку виражаємо через х ті величини, значення яких прирівнюватимемо. Після цього записуємо рівняння.

 Далі вчитель ставить запитання: „Чи доводилося вам бачити моделі човна, літака, автомобіля, виготовляти моделі куба, прямокутного паралелепіпеда?” Учні відповідають: „Так, доводилося”. Вчитель продовжує, що кожна модель, залежно від її призначення, відображає певні властивості оригіналу. А що ж таке математична модель? Математична модель – це опис якогось реального обєкта чи процесу мовою математики. Фактично в таблиці описана задача мовою математики. Одержане рівняння і є математичною моделлю задачі на рух автомобілів. Побудувавши математичну модель, ми звели задачу на рух до математичної задачі – розв’язати рівняння.

Хочу підкреслити, що крім рівнянь є й інші види математичних моделей, з якими  ми познайомимось при дальшому вивченні алгебри.

Побудова математичної моделі – дуже відповідальний етап. Для того, щоб поглибити своє розуміння змісту побудови математичної моделі, учениця підготувала повідомлення з історії математики.

Учениця розповідає. Історія науки має чимало прикладів, коли в межах вдало  побудованої математичної моделі за допомогою обчислень, як кажуть, «на кінчику пера», вдалося передбачити існування нових фізичних об’єктів та явищ. Так, спираючись на математичні моделі, астрономии Дж. Адамс (Англія) у 1845 році й У. Левер’є (Франція) у 1846 році незалежно один від одного дійшли висновку про існування невідомої тоді ще планети і вказали її розміщення на небі. За розрахунками Леверє астроном Г.Галле (Німеччина) знайшов цю планету. Її назвали Нептуном. Отже, розв’язання задач дає нам можливість відкривати нові істини, відчути чарівність математики і її необхідність в житті.

5. Осмислення вивченого матеріалу і застосування практичних дій.

Для того, щоб ви відчули впевненість в своїх силах, ми застосуємо вивчений матеріал для усних задач.

Побудувати математичну модель.

Назустріч і навздогін. (Задачі розміщені на екрані).

Задача 1. З двох станцій, відстань між якими дорвнює 396 км, одночасно виїхали назустріч один одному два потяги, які зустрілися через 3 год після початку руху. Швидкість руху одного з потягів становила 60 км/год. З якою швидкістю рухався другий поїзд?

Відповідь. 60 · 3 + 9х = 396; х = 72.

Задача 2. Відстань між двома селами дорівнює 36 км. З сіл одночасно в одному напрямі вирушили велосипедист і мотоцикліст. Велосипедист їхав

попереду зі швидкістю 18 км/год, а мотоцикліст їхав зі швидкістю 30 км/год. Через скільки годин після початку руху мотоцикліст наздожене велосипедиста?

Відповідь. 30х – 18х = 36; х = 3.

6. Вступне слово вчителя до письмових задач.

Дуже важко уявити життя людини без математики. Усім – і дорослим

і дітям – потрібна її допомога в повсякденному житті. Ось і підійшов час, коли ви ще раз переконаєтесь в цьому, коли  будемо розв’язувати письмово складніші задачі в різних галузях людської діяльності. Ви повинні проявити вміння шукати різноманітні шляхи розв’язання цих питань, проявити свою творчість.

В зошитах пишемо число, класна робота.

Задача 1.

Банківська справа.

Вранці вкладник зняв з рахунку в банку  усіх грошей, а після обіду – 30% залишку. Після цього на його рахунку залишилося 175 грн. Який був початковий вклад?

Розвязання.

Нехай початковий вклад становив х грн.

Вранці вкладник зняв  грн.

Після обіду: грн.

Залишилось: ( )  грн.

Відомо,що після обіду залишилося 175 грн. Отже дістанемо рівняння:

=175;     10х – 3х = 2450;  х = 350.

Відповідь. 350 грн.

Задача 2. Промисловість.

Сплав міді і олова містить 32% олова, а міді на 40 г менше, ніж олова. Відомо також, що цинку в сплаві на 100 г більше, ніж міді. Знайти масу сплаву.

Розвязання.

Нехай маса сплаву х г, тоді олово – 0,32х г, мідь – (0,32х – 40) г,

цинк – (0,32х – 40 + 100) г.

Дістанемо рівняння:

0,32х + 0,32х – 40 + 0,32х + 60 = х;

– 0.04х = –20;

х = 500.

Відповідь. 500 г.

У світі швидкостей. Час. Швидкість. Шлях.

Задача 3.

З двох пунктів, відстань між якими 10 км, одночасно в протилежних напрямах виїхали велосипедист і вантажівка, швидкість якої на 30 км/год більша за швидкість велосипедиста. Через 36 хв після початку руху відстань між ними була 40 км. Знайти швидкість велосипедиста.

Розвязання.

Нехай швидкість велосипедиста  х км/год, швидкість вантажівки

(х + 30) км/год.

36 хв = год.

Шлях велосипедиста –  км, шлях вантажівки –  км

 3х + 50 + 3х + 90 = 200;     6х = 60;       х = 10.

Відповідь. 10 км/год.

Задача 4. Білка кожних 5 хв приносить у дупло гриб із галявини, розміщеної на відстані х м від дупла. Знайти х, коли відомо, що без гриба білка пересувається зі швидкістю 3 м/с, а із грибом – 2 м/с.

Розвязання.

час без гриба;   – час з грибом.           5 хв = 300 с.

             5х = 1800;          х = 360.

Відповідь. 360 м.

Вчитель. Ми розвязали ряд задач, де перекладали задачі з рідної мови на алгебраїчну. Покажемо мистецтво складати рівняння на прикладі гри „Відгадай”.

Вчитель пропонує задумати яке-небудь одноцифрове число або невелике двоцифрове число. Потім диктує завдання, які треба виконати над задуманим числом.

Зразок. Задумай число. Додай до задуманого числа число 2. Суму помнож на 5. Добуток зменш на 7.  Під час гри дії, запропоновані учням, варто наперед написати мовою алгебри.

Рідною мовою

Мовою алгебри

Задумай число

Х

Додай 2

Х + 2

Суму помнож на 5

(х + 2) ·5

Добуток зменш на 7

(х + 2) ·5 – 7

Після виконання дій матимемо: (х + 2) ·5 – 7 = х·5 + 3.  

Секрет фокуса у рівнянні.

Вчитель запитує, яке число дістав учень після виконання дій, а потім про себе розв’язує відповідне рівняння. Якщо, наприклад, учень задумав число 8, то в результаті він одержв би число 43.

(8 + 2)·5 – 7 = 43.

 Фактично потрібно розв’язати рівняння:  х·5 + 3 = 43.

7. Самостійна робота.

Запропонувти учням різнорівневі завдання. На екрані розміщені завдання. Кожний вибирає собі за бажанням завдання певного рівня.

Середній рівень.

У двох компютерних класах є разом 33 комп’ютери., до того ж, в одному класі їх в 1,2 разу більше, ніж в іншому. Скільки компютерів в кожному класі?

Розвязання.

х + 1,2х = 33;           х = 15.

Відповідь. 15; 18.

Достатній рівень.

За легендою Піфагор на запитання про число учнів, що відвідують його школу, відповів так: „Половина учнів вивчає математику, чверть – музику, сьома частина перебуває в мовчанні, крім того, є ще три жінки. Скільки учнів було в Піфагора?

Нехай в Піфагора було х учнів.

уч. – математики;

уч. – музики;

уч. – мовчання.

;             

  За умовою задачі ще три жінки, то дістанемо рівняння:

;        ;              х = 28.

  Відповідь. 28 учнів.   

Високий рівень.

У двох бідонах є 70 л молока. Коли 12,5 % молока, яке було в першому бідоні, перелили у другий, то в обох бідонах молока стало порівну. Скільки літрів молока було в кожному бідоні спочатку?

Розвязання.

Нехай у першому бідоні було спочатку х л молока, тоді в другому (70 – х) л молока. Коли з першого бідона забрали 12,5% = 0, 125, то в першому бідоні залишилося (х – 0,125х) л, а в другому стало – (70 – х + 0,125х) л. За умовою задачі молока в бідонах стало порівну, отже дістанемо рівняння:

х – 0,125х = 70 – х + 0,125х;  

0,875х = 70 – 0,875х;

х = 40.

Відповідь.40 л і 30 л.

Звіт учнів про роботу і теоретичне обгрунтування одержаних результатів

Задати додаткові запитання:

1. Якого вченого називали батьком алгебри? Відповідь. Ф.Вієта (1540 – 1603) французького вченого.

2. Як знайти відсоток від числа?

3. Як знайти число за його відсотком?

8. Підсумок уроку.

Сьогодні ми повторили: (а далі продовжують учні):

1. Що називають коренем рівняння?

2. Що означає розв’язати рівняння?

3. Властивості рівнянь.

4. Означення лінійного рівняння.

5. Кількість коренів лінійного рівняння.

6. Що називається модулем числа та його властивості?

Ознайомилися:

  1.  Зі схемою розвязання задач за допомогою рівнянь.
  2.  Що таке математична модель.
  3.  Розвязали ряд практичних задач за допомогою рівнянь.
  4.  Дізналися, хто з вчених знайшов планету Нептун.

Завдання додому: Опрацювати п.4 §1. Розвязати № 90,92, 97.

Література.

  1.  Кравчук Василь, Янченко Галина. Алгебра: Підручник для 7 класу. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2007. – 224 с.
  2.  Апостолова Г.В. Я сам! Навчальний посібник з алгебри для тих. Хто у сьомому класі та старше, з опорними схемами, відповідями та порадами – К.: ФАКТ, 1997. – 204с. – укр.мовою.
  3.  Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 96 с.

PAGE  4


розв
язують рівняння і відповідають на поставлені запи тання

використовуючи умову задачі, складають рівняння

ибирають невідоме і позначають буквою х або якоюсь  іншою буквою

розвязують рівняння і відповідають на поставлені запи тання

використовуючи умову задачі, складають рівняння

вибирають невідоме і позначають буквою х або якоюсь  іншою буквою

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44762. Оценка уровня качества телевизора «SAMSUNG» 260 KB
  Телевизор - электронное устройство для приёма и отображения изображения и звука, передаваемых по беспроводным каналам или по кабелю (в том числе телевизионных программ или сигналов от устройств воспроизведения видеосигнала - например, видеомагнитофонов).
44763. Создание проекта СЭУ толкача буксира 2.38 MB
  Целью дипломного проекта является создание проекта СЭУ для вновь проектируемого судна. Учитывая задание на проектировку (тип судна, грузоподъемность, район плавания, требования к маневренности, живучести), а также используя опыт судостроения предыдущих лет...
44764. Предприятие как субъект и объект предпринимательской деятельности 57.38 KB
  Функционирование предприятий в условиях рынка предполагает поиск и разработку каждым из них собственного пути развития. Чтобы не только удержаться, но и развиваться в рынке, предприятие должно улучшать состояние своей экономики
44765. Банковский маркетинг, Краткий конспект лекций 99.59 KB
  Основные понятия банковского маркетинга. Роль маркетинга в банковской деятельности. Концепция банковской технологии маркетинга. Банковская маркетинговая стратегия. Постановка маркетинговой работы в коммерческом банке. Банковская конкуренция. Маркетинг депозитарной деятельности банка. Маркетинг кредитного банковского рынка...
44766. Проект доготовочного цеха блинной на 50 мест в г.Омске 1.04 MB
  Качество обслуживания оказывает непосредственное влияние на результаты хозяйственной деятельности предприятий общественного питания. Повышения качества обслуживания способствует увеличению количества потребителей, росту товарооборота, повышению рентабельности предприятий.
44767. Электроснабжение участка токарного цеха 5.73 MB
  Сегодня на предприятии в трех цехах трудится около полутора тысяч человек - токарей, кузнецов, слесарей, электрогазосварщиков, электриков, электромонтеров, и многих других, которым приходится знать и ремонтировать самое разное горнодобывающее и металлургическое оборудование.
44768. Анализ потребительских свойств и качеств темного пива 486.5 KB
  Пиво — один из древнейших напитков в мире. Пиво известно со времен Древнего Египта (многие считают, что пшеницу и ячмень там начали культивировать для приготовления пива, а изготовление хлеба стало побочным эффектом). В ходе археологических раскопок в Египте был найден самый древний рецепт пива. В Римской империи пиво не пользовалось популярностью, здесь предпочтение отдавалось вину
44769. Изучение ассортимента, конкурентоспособности, показатели качества чая, реализуемого Иркутским Облпотребсоюзом 725 KB
  Древняя китайская мудрость гласит: Лучше обойтись три дня без еды, чем один день без чая. В этой стране чай употребляют более 5 тысяч лет. По сравнению с Китаем, Россия имеет с этим напитком лишь шапочное знакомство 300 лет. Но даже за это время чаепитие стало национальной русской традицией