58040

Побудова математичної моделі

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета уроку: Сприяти формуванню практичних умінь і навичок розв’язувати задачі за допомогою рівнянь; розвивати логічне мислення; спонукати учнів до прояву творчої активності, ініціативи; розвивати вміння аналізувати, знаходити раціональні способи розв’язування задач.

Украинкский

2014-04-18

120.5 KB

1 чел.

Навчальний предмет. Алгебра. 7 клас.

Розділ. Лінійні рівняння з однією змінною.

Ільніцька Людмила Василівна, вчитель математики, ЗШ №11 м. Білої Церкви.

Побудова математичної моделі.

Мета уроку: Сприяти формуванню практичних умінь і навичок розв’язувати задачі за допомогою рівнянь; розвивати  логічне мислення; спонукати учнів до прояву творчої активності, ініціативи; розвивати вміння аналізувати, знаходити раціональні способи розв’язування задач. Виховувати працелюбність, кмітливість, а також культуру мовлення.

Епіграф: „Рівняння – це золотий ключик, що відчиняє всі математичні сезами”.

                                                                                   С.Коваль

                                                                                             польський математик.

Обладнання: мультимедійний проектор, презентація „Математична модель”.

Хід уроку.

1. Перевірка домашнього завдання.

Експерти перевіряють домашнє завдання та доповідають про його виконання.

Два учні одержують картки.

Картка 1.

  1.  Розвязати рівняння:  
  2.  При яких значеннях змінної вираз    має зміст?

Відповідь. 1.  2. 

Картка 2.

Розвязати рівняння:

.

Відповідь. .

2. Математична розминка.

  1.  Наведи приклади рівнянь.
  2.  Що називають коренем рівняння? Чи є число 6 коренем рівняння  5х  –  3 = х + 6?
  3.  Що означає розвязати рівняння?
  4.  Сформулювати властивості рівнянь.
  5.  Дайте означення лінійного рівняння. Навести приклад лінійного рівняння.
  6.  Скільки коренів може мати лінійне рівняння?  

Відповідь.

ах = bлінійне рівняння

Коефіцієнти

Корені

а≠ 0

 – єдиний корінь

а= 0 і b ≠ 0

коренів немає

а = 0 і b = 0

коренем є будь-яке число

(рівняння має безліч коренів)

7. Знайти значення х, при яких значення виразів 2х – 3 і –3  + 7х  рівні?

8. Скільки коренів має рівняння?

а) 56х = 64;                б) 0 х = –2;                    в) 8 х = 0;                г) 0у = 0?

9.Розвязати лінійне рівняння:

а) 4у + 1 =  1 + ;             б) 8х = 8 + 12х;               в) –3(10 – 2х) = 6х – 30.

Відповідь. а) немає коренів;

                  б) х = 2;

                  в) безліч коренів.

10.  Що називається модулем числа?

11. Навести приклади рівнянь з модулем.

12. Розв’язати рівняння з модулем:

а)  + 3 = 9;              б)    – 1 = –5;            в) 2 – 5 = 0;              г) .

Відповідь.

а) х1 = – 6, х2 = 6;           б) не має коренів;        в) х = –2,5 або х = 2,5;  

 г) 5;10.

Перевірити і оцінити роботу на картках.

3, Мотивація навчальлної діяльності учнів.

Вчитель. Як ви вже знаєте, що багато років тому в давньому Єгипті і Вавілоні люди вже вміли розв’язувати алгебраїчні рівняння. З того часу математика не стоїть на місці, а стрімко розвивається. І ми сьогодні з вами будемо йти вперед. Ми будемо розвязувати задачі за допомогою рівнянь. Тому і епіграф нашого уроку: „Рівняння – це золотий ключик, що відчиняє всі математичні сезами”.

4. Сприймання та усвідомлення нового матеріалу.

 

Вчитель. Розвязуючи задачі за допомогою рівнянь, здебільшого дотримуємося такої схеми:

Приклад. З міста A до міста B виїхав вантажний автомобіль. Через 30 хв. назустріч йому з міста В виїхав легковий автомобіль, швидкість якого на 25 км/год більше, ніж швидкість вантажного. Автомобілі зустрілися через 1,3 год після виїзду вантажного автомобіля  з міста А. Знайти відстань між містами, якщо за весь час руху вантажний автомобіль проїхав на 10 км більше, ніж легковий.

Розвязання.

Швидкість, км/год

Час, год

Шлях, км

Вантажний автомобіль

х

1,3

1,3х

Легковий автомобіль

х + 25

0,8

0,8(х + 25)

Маємо рівняння: 1,3х – 0,8(х + 25) = 10.

Розвяжемо рівняння:

1,3х – 0,8х – 20 = 10;        0,5х = 30;      х = 60. Отже, швидкість вантажного автомобіля дорівнює 60 км/год.

Відстань між містами дорівнює сумі відстаней, які проїхали обидва автомобілі, тобто (1,3х + 0, 8(х + 25)) км. Оскільки х = 60, то матимемо:

1,3х + 0,8(х + 25) = 1,3 ∙ 60 + 0,8· (60 + 25) = 78 + 68 = 146 (км).

Відповідь. 146 км.

Спираючись на розвязання задачі, проаналізуємо перші два кроки наведеної вище схеми розв’язання задач за допомогою рівнянь.

  1.  Вибір невідомого. У задачі шуканою величиною є відстань між містами. Якщо цю величину позначимо через х км, то при складанні рівняння доведеться провести доволі складні міркування. Через х км/год позначили невідому швидкість вантажного автомобіля, виразили через х шляхи, які проїхали автолмобілі, і склали рівняння, знаючи, що різниця шляхів дорівнює 10 км. Отже, позначати через х (або якою-небудь іншою буквою) бажано ту невідому величину, через яку легше виражаються величини, значення яких можна прирівняти.
  2.  Щоб скласти рівняння, спочатку виражаємо через х ті величини, значення яких прирівнюватимемо. Після цього записуємо рівняння.

 Далі вчитель ставить запитання: „Чи доводилося вам бачити моделі човна, літака, автомобіля, виготовляти моделі куба, прямокутного паралелепіпеда?” Учні відповідають: „Так, доводилося”. Вчитель продовжує, що кожна модель, залежно від її призначення, відображає певні властивості оригіналу. А що ж таке математична модель? Математична модель – це опис якогось реального обєкта чи процесу мовою математики. Фактично в таблиці описана задача мовою математики. Одержане рівняння і є математичною моделлю задачі на рух автомобілів. Побудувавши математичну модель, ми звели задачу на рух до математичної задачі – розв’язати рівняння.

Хочу підкреслити, що крім рівнянь є й інші види математичних моделей, з якими  ми познайомимось при дальшому вивченні алгебри.

Побудова математичної моделі – дуже відповідальний етап. Для того, щоб поглибити своє розуміння змісту побудови математичної моделі, учениця підготувала повідомлення з історії математики.

Учениця розповідає. Історія науки має чимало прикладів, коли в межах вдало  побудованої математичної моделі за допомогою обчислень, як кажуть, «на кінчику пера», вдалося передбачити існування нових фізичних об’єктів та явищ. Так, спираючись на математичні моделі, астрономии Дж. Адамс (Англія) у 1845 році й У. Левер’є (Франція) у 1846 році незалежно один від одного дійшли висновку про існування невідомої тоді ще планети і вказали її розміщення на небі. За розрахунками Леверє астроном Г.Галле (Німеччина) знайшов цю планету. Її назвали Нептуном. Отже, розв’язання задач дає нам можливість відкривати нові істини, відчути чарівність математики і її необхідність в житті.

5. Осмислення вивченого матеріалу і застосування практичних дій.

Для того, щоб ви відчули впевненість в своїх силах, ми застосуємо вивчений матеріал для усних задач.

Побудувати математичну модель.

Назустріч і навздогін. (Задачі розміщені на екрані).

Задача 1. З двох станцій, відстань між якими дорвнює 396 км, одночасно виїхали назустріч один одному два потяги, які зустрілися через 3 год після початку руху. Швидкість руху одного з потягів становила 60 км/год. З якою швидкістю рухався другий поїзд?

Відповідь. 60 · 3 + 9х = 396; х = 72.

Задача 2. Відстань між двома селами дорівнює 36 км. З сіл одночасно в одному напрямі вирушили велосипедист і мотоцикліст. Велосипедист їхав

попереду зі швидкістю 18 км/год, а мотоцикліст їхав зі швидкістю 30 км/год. Через скільки годин після початку руху мотоцикліст наздожене велосипедиста?

Відповідь. 30х – 18х = 36; х = 3.

6. Вступне слово вчителя до письмових задач.

Дуже важко уявити життя людини без математики. Усім – і дорослим

і дітям – потрібна її допомога в повсякденному житті. Ось і підійшов час, коли ви ще раз переконаєтесь в цьому, коли  будемо розв’язувати письмово складніші задачі в різних галузях людської діяльності. Ви повинні проявити вміння шукати різноманітні шляхи розв’язання цих питань, проявити свою творчість.

В зошитах пишемо число, класна робота.

Задача 1.

Банківська справа.

Вранці вкладник зняв з рахунку в банку  усіх грошей, а після обіду – 30% залишку. Після цього на його рахунку залишилося 175 грн. Який був початковий вклад?

Розвязання.

Нехай початковий вклад становив х грн.

Вранці вкладник зняв  грн.

Після обіду: грн.

Залишилось: ( )  грн.

Відомо,що після обіду залишилося 175 грн. Отже дістанемо рівняння:

=175;     10х – 3х = 2450;  х = 350.

Відповідь. 350 грн.

Задача 2. Промисловість.

Сплав міді і олова містить 32% олова, а міді на 40 г менше, ніж олова. Відомо також, що цинку в сплаві на 100 г більше, ніж міді. Знайти масу сплаву.

Розвязання.

Нехай маса сплаву х г, тоді олово – 0,32х г, мідь – (0,32х – 40) г,

цинк – (0,32х – 40 + 100) г.

Дістанемо рівняння:

0,32х + 0,32х – 40 + 0,32х + 60 = х;

– 0.04х = –20;

х = 500.

Відповідь. 500 г.

У світі швидкостей. Час. Швидкість. Шлях.

Задача 3.

З двох пунктів, відстань між якими 10 км, одночасно в протилежних напрямах виїхали велосипедист і вантажівка, швидкість якої на 30 км/год більша за швидкість велосипедиста. Через 36 хв після початку руху відстань між ними була 40 км. Знайти швидкість велосипедиста.

Розвязання.

Нехай швидкість велосипедиста  х км/год, швидкість вантажівки

(х + 30) км/год.

36 хв = год.

Шлях велосипедиста –  км, шлях вантажівки –  км

 3х + 50 + 3х + 90 = 200;     6х = 60;       х = 10.

Відповідь. 10 км/год.

Задача 4. Білка кожних 5 хв приносить у дупло гриб із галявини, розміщеної на відстані х м від дупла. Знайти х, коли відомо, що без гриба білка пересувається зі швидкістю 3 м/с, а із грибом – 2 м/с.

Розвязання.

час без гриба;   – час з грибом.           5 хв = 300 с.

             5х = 1800;          х = 360.

Відповідь. 360 м.

Вчитель. Ми розвязали ряд задач, де перекладали задачі з рідної мови на алгебраїчну. Покажемо мистецтво складати рівняння на прикладі гри „Відгадай”.

Вчитель пропонує задумати яке-небудь одноцифрове число або невелике двоцифрове число. Потім диктує завдання, які треба виконати над задуманим числом.

Зразок. Задумай число. Додай до задуманого числа число 2. Суму помнож на 5. Добуток зменш на 7.  Під час гри дії, запропоновані учням, варто наперед написати мовою алгебри.

Рідною мовою

Мовою алгебри

Задумай число

Х

Додай 2

Х + 2

Суму помнож на 5

(х + 2) ·5

Добуток зменш на 7

(х + 2) ·5 – 7

Після виконання дій матимемо: (х + 2) ·5 – 7 = х·5 + 3.  

Секрет фокуса у рівнянні.

Вчитель запитує, яке число дістав учень після виконання дій, а потім про себе розв’язує відповідне рівняння. Якщо, наприклад, учень задумав число 8, то в результаті він одержв би число 43.

(8 + 2)·5 – 7 = 43.

 Фактично потрібно розв’язати рівняння:  х·5 + 3 = 43.

7. Самостійна робота.

Запропонувти учням різнорівневі завдання. На екрані розміщені завдання. Кожний вибирає собі за бажанням завдання певного рівня.

Середній рівень.

У двох компютерних класах є разом 33 комп’ютери., до того ж, в одному класі їх в 1,2 разу більше, ніж в іншому. Скільки компютерів в кожному класі?

Розвязання.

х + 1,2х = 33;           х = 15.

Відповідь. 15; 18.

Достатній рівень.

За легендою Піфагор на запитання про число учнів, що відвідують його школу, відповів так: „Половина учнів вивчає математику, чверть – музику, сьома частина перебуває в мовчанні, крім того, є ще три жінки. Скільки учнів було в Піфагора?

Нехай в Піфагора було х учнів.

уч. – математики;

уч. – музики;

уч. – мовчання.

;             

  За умовою задачі ще три жінки, то дістанемо рівняння:

;        ;              х = 28.

  Відповідь. 28 учнів.   

Високий рівень.

У двох бідонах є 70 л молока. Коли 12,5 % молока, яке було в першому бідоні, перелили у другий, то в обох бідонах молока стало порівну. Скільки літрів молока було в кожному бідоні спочатку?

Розвязання.

Нехай у першому бідоні було спочатку х л молока, тоді в другому (70 – х) л молока. Коли з першого бідона забрали 12,5% = 0, 125, то в першому бідоні залишилося (х – 0,125х) л, а в другому стало – (70 – х + 0,125х) л. За умовою задачі молока в бідонах стало порівну, отже дістанемо рівняння:

х – 0,125х = 70 – х + 0,125х;  

0,875х = 70 – 0,875х;

х = 40.

Відповідь.40 л і 30 л.

Звіт учнів про роботу і теоретичне обгрунтування одержаних результатів

Задати додаткові запитання:

1. Якого вченого називали батьком алгебри? Відповідь. Ф.Вієта (1540 – 1603) французького вченого.

2. Як знайти відсоток від числа?

3. Як знайти число за його відсотком?

8. Підсумок уроку.

Сьогодні ми повторили: (а далі продовжують учні):

1. Що називають коренем рівняння?

2. Що означає розв’язати рівняння?

3. Властивості рівнянь.

4. Означення лінійного рівняння.

5. Кількість коренів лінійного рівняння.

6. Що називається модулем числа та його властивості?

Ознайомилися:

  1.  Зі схемою розвязання задач за допомогою рівнянь.
  2.  Що таке математична модель.
  3.  Розвязали ряд практичних задач за допомогою рівнянь.
  4.  Дізналися, хто з вчених знайшов планету Нептун.

Завдання додому: Опрацювати п.4 §1. Розвязати № 90,92, 97.

Література.

  1.  Кравчук Василь, Янченко Галина. Алгебра: Підручник для 7 класу. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2007. – 224 с.
  2.  Апостолова Г.В. Я сам! Навчальний посібник з алгебри для тих. Хто у сьомому класі та старше, з опорними схемами, відповідями та порадами – К.: ФАКТ, 1997. – 204с. – укр.мовою.
  3.  Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 96 с.

PAGE  4


розв
язують рівняння і відповідають на поставлені запи тання

використовуючи умову задачі, складають рівняння

ибирають невідоме і позначають буквою х або якоюсь  іншою буквою

розвязують рівняння і відповідають на поставлені запи тання

використовуючи умову задачі, складають рівняння

вибирають невідоме і позначають буквою х або якоюсь  іншою буквою

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26704. Материки и океаны являются наиболее крупными элементами в строении Земной коры. Говоря об океанах, следует иметь в виду строение коры в пределах участков, занимаемых океанами 182.5 KB
  Материки и океаны являются наиболее крупными элементами в строении Земной коры. Говоря об океанах следует иметь в виду строение коры в пределах участков занимаемых океанами. Срединноокеанические хребты рассматриваются как участки растяжения земной коры или зоны спрединга. Океани́ческая кора́ тип земной коры распространенный в океанах.
26705. Сибирские траппы 314.5 KB
  Одним из таких фрагментов начиная с рифейского времени и являлась ВЕП в современных ограничениях. Осадочный платформенный чехол мегакомплекс ВЕП подразделяется на два мегаэтажа: авлакогенный нижний и плитный верхний. Формирование названных этажей происходило во временных рамках одноименных авлакогенного и плитного мегаэтапов развития ВЕП В течение рифея и раннего венда большая часть ВЕП сохраняла приподнятое положение подвергалась воздействию процессов денудации и служила источником обломочного материала сносившегося в пределы...
26706. Древние платформы являются устойчивыми глыбами земной коры, сформировавшимися в позднем архее или раннем протерозое 47 KB
  Древние платформы являются устойчивыми глыбами земной коры сформировавшимися в позднем архее или раннем протерозое. Фундамент платформ формировался в течение длительного времени в архее и раннем протерозое и впоследствии подвергся очень сильному размыву и денудации в результате которых вскрылись породы залегавшие раньше на большой глубине. Площадь древних платформ на материках приближается к 40 и для них характерны угловатые очертания с протяженными прямолинейными границами следствием краевых швов глубинных разломов. Складчатые...
26707. Строение земной коры 52.5 KB
  В составе континентальной коры содержащей под осадочным слоем верхний гранитный и нижний базальтовый встречаются наиболее древние породы Земли возраст которых оценивается более чем в 3 млрд. Твердый слой верхней мантии распространяющийся до различных глубин под океанами и континентами совместно с земной корой называют литосферой самой жесткой оболочкой Земли. Это внешняя граница ядра Земли. Местами этот слой порождает огромные направленные к поверхности Земли тепломассопотоки плюмы.
26708. Роль и место Европы в современном мире 10.91 KB
  Европейский Союз включает три структурных компонента каждый со своим автономным правопорядком. В научной литературе и нередко в официальных документах эти компоненты именуются опоры Союза. и сохранившиеся после учреждения Союза. Следовательно Европейский Союз как целое имеет в качестве первой опоры две другие организации каждая из которых обладает собственным учредительным договором.
26709. Геополитическая ситуация и баланс сил в Азиатско-Тихоокеанском регионе 13.67 KB
  В этом треугольнике проживает примерно половина населения планеты и находятся многие из ведущих индустриально развитых стран современного мира Япония Китай Австралия Новая Зеландия Тайвань Южная Корея Гонконг Сингапур для которых характерны наиболее быстрые темпы развития экономики. Есть все признаки по формированию €œБольшого Китая€ или Китайского общего рынка куда войдут Китай Тайвань Сянган Гонконг Аомэнь Макао Сингапур. Китай и Япония превратились в экономические супердержавы превосходящие любую европейскую страну и...
26710. Центры силы в Азиатско-Тихоокеанском регионе 12.23 KB
  Китай уже играет важную роль в формировании облика и контуров не только АТР но и мирового сообщества в целом. Китай быстро превращается в один из главных полюсов мировой экономики. Идет довольно интенсивный процесс образования так называемого Большого Китая включающего собственно континентальный Китай Гонконг Макао Тайвань Сингапур. Она сможет регулировать жизнь не только этносов проживающих на территории €œБольшого Китая€ но и многочисленных китайских общин разбросанных по всему миру.
26711. Китай на мировой арене 11.44 KB
  Идет довольно интенсивный процесс образования так называемого Большого Китая включающего собственно континентальный Китай Гонконг Макао Тайвань Сингапур. Конкурируя между собой субъекты элементы потенциального €œБольшого Китая€ идут по пути тесной интеграции. Она сможет регулировать жизнь не только этносов проживающих на территории €œБольшого Китая€ но и многочисленных китайских общин разбросанных по всему миру. Митрофанов считает что антиамериканизм основа сближения Китая и России так как нам следует крепить фронт против...
26712. Роль и место России в современном мире 20.42 KB
  Большая протяженность России в Евразии давно способствовала тому чтобы элита мыслила геополитически. Первый министр иностранных дел постимперской и посткоммунистической России Андрей Козырев вновь подтвердил этот образ мышления в одной из своих первых попыток определить как новая Россия должна вести себя на международной арене. Вообще говоря как реакция на крушение Советского Союза возникли три общих и частично перекрывающихся геостратегических варианта каждый из которых в конечном счете связан с озабоченностью России своим статусом по...