58040

Побудова математичної моделі

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета уроку: Сприяти формуванню практичних умінь і навичок розв’язувати задачі за допомогою рівнянь; розвивати логічне мислення; спонукати учнів до прояву творчої активності, ініціативи; розвивати вміння аналізувати, знаходити раціональні способи розв’язування задач.

Украинкский

2014-04-18

120.5 KB

1 чел.

Навчальний предмет. Алгебра. 7 клас.

Розділ. Лінійні рівняння з однією змінною.

Ільніцька Людмила Василівна, вчитель математики, ЗШ №11 м. Білої Церкви.

Побудова математичної моделі.

Мета уроку: Сприяти формуванню практичних умінь і навичок розв’язувати задачі за допомогою рівнянь; розвивати  логічне мислення; спонукати учнів до прояву творчої активності, ініціативи; розвивати вміння аналізувати, знаходити раціональні способи розв’язування задач. Виховувати працелюбність, кмітливість, а також культуру мовлення.

Епіграф: „Рівняння – це золотий ключик, що відчиняє всі математичні сезами”.

                                                                                   С.Коваль

                                                                                             польський математик.

Обладнання: мультимедійний проектор, презентація „Математична модель”.

Хід уроку.

1. Перевірка домашнього завдання.

Експерти перевіряють домашнє завдання та доповідають про його виконання.

Два учні одержують картки.

Картка 1.

  1.  Розвязати рівняння:  
  2.  При яких значеннях змінної вираз    має зміст?

Відповідь. 1.  2. 

Картка 2.

Розвязати рівняння:

.

Відповідь. .

2. Математична розминка.

  1.  Наведи приклади рівнянь.
  2.  Що називають коренем рівняння? Чи є число 6 коренем рівняння  5х  –  3 = х + 6?
  3.  Що означає розвязати рівняння?
  4.  Сформулювати властивості рівнянь.
  5.  Дайте означення лінійного рівняння. Навести приклад лінійного рівняння.
  6.  Скільки коренів може мати лінійне рівняння?  

Відповідь.

ах = bлінійне рівняння

Коефіцієнти

Корені

а≠ 0

 – єдиний корінь

а= 0 і b ≠ 0

коренів немає

а = 0 і b = 0

коренем є будь-яке число

(рівняння має безліч коренів)

7. Знайти значення х, при яких значення виразів 2х – 3 і –3  + 7х  рівні?

8. Скільки коренів має рівняння?

а) 56х = 64;                б) 0 х = –2;                    в) 8 х = 0;                г) 0у = 0?

9.Розвязати лінійне рівняння:

а) 4у + 1 =  1 + ;             б) 8х = 8 + 12х;               в) –3(10 – 2х) = 6х – 30.

Відповідь. а) немає коренів;

                  б) х = 2;

                  в) безліч коренів.

10.  Що називається модулем числа?

11. Навести приклади рівнянь з модулем.

12. Розв’язати рівняння з модулем:

а)  + 3 = 9;              б)    – 1 = –5;            в) 2 – 5 = 0;              г) .

Відповідь.

а) х1 = – 6, х2 = 6;           б) не має коренів;        в) х = –2,5 або х = 2,5;  

 г) 5;10.

Перевірити і оцінити роботу на картках.

3, Мотивація навчальлної діяльності учнів.

Вчитель. Як ви вже знаєте, що багато років тому в давньому Єгипті і Вавілоні люди вже вміли розв’язувати алгебраїчні рівняння. З того часу математика не стоїть на місці, а стрімко розвивається. І ми сьогодні з вами будемо йти вперед. Ми будемо розвязувати задачі за допомогою рівнянь. Тому і епіграф нашого уроку: „Рівняння – це золотий ключик, що відчиняє всі математичні сезами”.

4. Сприймання та усвідомлення нового матеріалу.

 

Вчитель. Розвязуючи задачі за допомогою рівнянь, здебільшого дотримуємося такої схеми:

Приклад. З міста A до міста B виїхав вантажний автомобіль. Через 30 хв. назустріч йому з міста В виїхав легковий автомобіль, швидкість якого на 25 км/год більше, ніж швидкість вантажного. Автомобілі зустрілися через 1,3 год після виїзду вантажного автомобіля  з міста А. Знайти відстань між містами, якщо за весь час руху вантажний автомобіль проїхав на 10 км більше, ніж легковий.

Розвязання.

Швидкість, км/год

Час, год

Шлях, км

Вантажний автомобіль

х

1,3

1,3х

Легковий автомобіль

х + 25

0,8

0,8(х + 25)

Маємо рівняння: 1,3х – 0,8(х + 25) = 10.

Розвяжемо рівняння:

1,3х – 0,8х – 20 = 10;        0,5х = 30;      х = 60. Отже, швидкість вантажного автомобіля дорівнює 60 км/год.

Відстань між містами дорівнює сумі відстаней, які проїхали обидва автомобілі, тобто (1,3х + 0, 8(х + 25)) км. Оскільки х = 60, то матимемо:

1,3х + 0,8(х + 25) = 1,3 ∙ 60 + 0,8· (60 + 25) = 78 + 68 = 146 (км).

Відповідь. 146 км.

Спираючись на розвязання задачі, проаналізуємо перші два кроки наведеної вище схеми розв’язання задач за допомогою рівнянь.

  1.  Вибір невідомого. У задачі шуканою величиною є відстань між містами. Якщо цю величину позначимо через х км, то при складанні рівняння доведеться провести доволі складні міркування. Через х км/год позначили невідому швидкість вантажного автомобіля, виразили через х шляхи, які проїхали автолмобілі, і склали рівняння, знаючи, що різниця шляхів дорівнює 10 км. Отже, позначати через х (або якою-небудь іншою буквою) бажано ту невідому величину, через яку легше виражаються величини, значення яких можна прирівняти.
  2.  Щоб скласти рівняння, спочатку виражаємо через х ті величини, значення яких прирівнюватимемо. Після цього записуємо рівняння.

 Далі вчитель ставить запитання: „Чи доводилося вам бачити моделі човна, літака, автомобіля, виготовляти моделі куба, прямокутного паралелепіпеда?” Учні відповідають: „Так, доводилося”. Вчитель продовжує, що кожна модель, залежно від її призначення, відображає певні властивості оригіналу. А що ж таке математична модель? Математична модель – це опис якогось реального обєкта чи процесу мовою математики. Фактично в таблиці описана задача мовою математики. Одержане рівняння і є математичною моделлю задачі на рух автомобілів. Побудувавши математичну модель, ми звели задачу на рух до математичної задачі – розв’язати рівняння.

Хочу підкреслити, що крім рівнянь є й інші види математичних моделей, з якими  ми познайомимось при дальшому вивченні алгебри.

Побудова математичної моделі – дуже відповідальний етап. Для того, щоб поглибити своє розуміння змісту побудови математичної моделі, учениця підготувала повідомлення з історії математики.

Учениця розповідає. Історія науки має чимало прикладів, коли в межах вдало  побудованої математичної моделі за допомогою обчислень, як кажуть, «на кінчику пера», вдалося передбачити існування нових фізичних об’єктів та явищ. Так, спираючись на математичні моделі, астрономии Дж. Адамс (Англія) у 1845 році й У. Левер’є (Франція) у 1846 році незалежно один від одного дійшли висновку про існування невідомої тоді ще планети і вказали її розміщення на небі. За розрахунками Леверє астроном Г.Галле (Німеччина) знайшов цю планету. Її назвали Нептуном. Отже, розв’язання задач дає нам можливість відкривати нові істини, відчути чарівність математики і її необхідність в житті.

5. Осмислення вивченого матеріалу і застосування практичних дій.

Для того, щоб ви відчули впевненість в своїх силах, ми застосуємо вивчений матеріал для усних задач.

Побудувати математичну модель.

Назустріч і навздогін. (Задачі розміщені на екрані).

Задача 1. З двох станцій, відстань між якими дорвнює 396 км, одночасно виїхали назустріч один одному два потяги, які зустрілися через 3 год після початку руху. Швидкість руху одного з потягів становила 60 км/год. З якою швидкістю рухався другий поїзд?

Відповідь. 60 · 3 + 9х = 396; х = 72.

Задача 2. Відстань між двома селами дорівнює 36 км. З сіл одночасно в одному напрямі вирушили велосипедист і мотоцикліст. Велосипедист їхав

попереду зі швидкістю 18 км/год, а мотоцикліст їхав зі швидкістю 30 км/год. Через скільки годин після початку руху мотоцикліст наздожене велосипедиста?

Відповідь. 30х – 18х = 36; х = 3.

6. Вступне слово вчителя до письмових задач.

Дуже важко уявити життя людини без математики. Усім – і дорослим

і дітям – потрібна її допомога в повсякденному житті. Ось і підійшов час, коли ви ще раз переконаєтесь в цьому, коли  будемо розв’язувати письмово складніші задачі в різних галузях людської діяльності. Ви повинні проявити вміння шукати різноманітні шляхи розв’язання цих питань, проявити свою творчість.

В зошитах пишемо число, класна робота.

Задача 1.

Банківська справа.

Вранці вкладник зняв з рахунку в банку  усіх грошей, а після обіду – 30% залишку. Після цього на його рахунку залишилося 175 грн. Який був початковий вклад?

Розвязання.

Нехай початковий вклад становив х грн.

Вранці вкладник зняв  грн.

Після обіду: грн.

Залишилось: ( )  грн.

Відомо,що після обіду залишилося 175 грн. Отже дістанемо рівняння:

=175;     10х – 3х = 2450;  х = 350.

Відповідь. 350 грн.

Задача 2. Промисловість.

Сплав міді і олова містить 32% олова, а міді на 40 г менше, ніж олова. Відомо також, що цинку в сплаві на 100 г більше, ніж міді. Знайти масу сплаву.

Розвязання.

Нехай маса сплаву х г, тоді олово – 0,32х г, мідь – (0,32х – 40) г,

цинк – (0,32х – 40 + 100) г.

Дістанемо рівняння:

0,32х + 0,32х – 40 + 0,32х + 60 = х;

– 0.04х = –20;

х = 500.

Відповідь. 500 г.

У світі швидкостей. Час. Швидкість. Шлях.

Задача 3.

З двох пунктів, відстань між якими 10 км, одночасно в протилежних напрямах виїхали велосипедист і вантажівка, швидкість якої на 30 км/год більша за швидкість велосипедиста. Через 36 хв після початку руху відстань між ними була 40 км. Знайти швидкість велосипедиста.

Розвязання.

Нехай швидкість велосипедиста  х км/год, швидкість вантажівки

(х + 30) км/год.

36 хв = год.

Шлях велосипедиста –  км, шлях вантажівки –  км

 3х + 50 + 3х + 90 = 200;     6х = 60;       х = 10.

Відповідь. 10 км/год.

Задача 4. Білка кожних 5 хв приносить у дупло гриб із галявини, розміщеної на відстані х м від дупла. Знайти х, коли відомо, що без гриба білка пересувається зі швидкістю 3 м/с, а із грибом – 2 м/с.

Розвязання.

час без гриба;   – час з грибом.           5 хв = 300 с.

             5х = 1800;          х = 360.

Відповідь. 360 м.

Вчитель. Ми розвязали ряд задач, де перекладали задачі з рідної мови на алгебраїчну. Покажемо мистецтво складати рівняння на прикладі гри „Відгадай”.

Вчитель пропонує задумати яке-небудь одноцифрове число або невелике двоцифрове число. Потім диктує завдання, які треба виконати над задуманим числом.

Зразок. Задумай число. Додай до задуманого числа число 2. Суму помнож на 5. Добуток зменш на 7.  Під час гри дії, запропоновані учням, варто наперед написати мовою алгебри.

Рідною мовою

Мовою алгебри

Задумай число

Х

Додай 2

Х + 2

Суму помнож на 5

(х + 2) ·5

Добуток зменш на 7

(х + 2) ·5 – 7

Після виконання дій матимемо: (х + 2) ·5 – 7 = х·5 + 3.  

Секрет фокуса у рівнянні.

Вчитель запитує, яке число дістав учень після виконання дій, а потім про себе розв’язує відповідне рівняння. Якщо, наприклад, учень задумав число 8, то в результаті він одержв би число 43.

(8 + 2)·5 – 7 = 43.

 Фактично потрібно розв’язати рівняння:  х·5 + 3 = 43.

7. Самостійна робота.

Запропонувти учням різнорівневі завдання. На екрані розміщені завдання. Кожний вибирає собі за бажанням завдання певного рівня.

Середній рівень.

У двох компютерних класах є разом 33 комп’ютери., до того ж, в одному класі їх в 1,2 разу більше, ніж в іншому. Скільки компютерів в кожному класі?

Розвязання.

х + 1,2х = 33;           х = 15.

Відповідь. 15; 18.

Достатній рівень.

За легендою Піфагор на запитання про число учнів, що відвідують його школу, відповів так: „Половина учнів вивчає математику, чверть – музику, сьома частина перебуває в мовчанні, крім того, є ще три жінки. Скільки учнів було в Піфагора?

Нехай в Піфагора було х учнів.

уч. – математики;

уч. – музики;

уч. – мовчання.

;             

  За умовою задачі ще три жінки, то дістанемо рівняння:

;        ;              х = 28.

  Відповідь. 28 учнів.   

Високий рівень.

У двох бідонах є 70 л молока. Коли 12,5 % молока, яке було в першому бідоні, перелили у другий, то в обох бідонах молока стало порівну. Скільки літрів молока було в кожному бідоні спочатку?

Розвязання.

Нехай у першому бідоні було спочатку х л молока, тоді в другому (70 – х) л молока. Коли з першого бідона забрали 12,5% = 0, 125, то в першому бідоні залишилося (х – 0,125х) л, а в другому стало – (70 – х + 0,125х) л. За умовою задачі молока в бідонах стало порівну, отже дістанемо рівняння:

х – 0,125х = 70 – х + 0,125х;  

0,875х = 70 – 0,875х;

х = 40.

Відповідь.40 л і 30 л.

Звіт учнів про роботу і теоретичне обгрунтування одержаних результатів

Задати додаткові запитання:

1. Якого вченого називали батьком алгебри? Відповідь. Ф.Вієта (1540 – 1603) французького вченого.

2. Як знайти відсоток від числа?

3. Як знайти число за його відсотком?

8. Підсумок уроку.

Сьогодні ми повторили: (а далі продовжують учні):

1. Що називають коренем рівняння?

2. Що означає розв’язати рівняння?

3. Властивості рівнянь.

4. Означення лінійного рівняння.

5. Кількість коренів лінійного рівняння.

6. Що називається модулем числа та його властивості?

Ознайомилися:

  1.  Зі схемою розвязання задач за допомогою рівнянь.
  2.  Що таке математична модель.
  3.  Розвязали ряд практичних задач за допомогою рівнянь.
  4.  Дізналися, хто з вчених знайшов планету Нептун.

Завдання додому: Опрацювати п.4 §1. Розвязати № 90,92, 97.

Література.

  1.  Кравчук Василь, Янченко Галина. Алгебра: Підручник для 7 класу. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2007. – 224 с.
  2.  Апостолова Г.В. Я сам! Навчальний посібник з алгебри для тих. Хто у сьомому класі та старше, з опорними схемами, відповідями та порадами – К.: ФАКТ, 1997. – 204с. – укр.мовою.
  3.  Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 96 с.

PAGE  4


розв
язують рівняння і відповідають на поставлені запи тання

використовуючи умову задачі, складають рівняння

ибирають невідоме і позначають буквою х або якоюсь  іншою буквою

розвязують рівняння і відповідають на поставлені запи тання

використовуючи умову задачі, складають рівняння

вибирають невідоме і позначають буквою х або якоюсь  іншою буквою

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39422. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦИФРОВОЙ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ 401.5 KB
  В состав аппаратуры ИКМ120У входят: оборудование вторичного временного группообразования ВВГ оконечное оборудование линейного тракта ОЛТ необслуживаемые регенерационные пункты НРП а также комплект контрольноизмерительных приборов КИП. Сформированный в оборудовании ВВГ цифровой сигнал в коде МЧПИ или ЧПИ поступает в оконечное оборудование линейного тракта которое осуществляет согласование выхода оборудования ВВГ с линейным трактом дистанционное питание НРП телеконтроль и сигнализацию о состоянии оборудования линейного тракта...
39423. Будова та принцип роботи комп’ютера 146 KB
  Компю’тер — це електронна система, яка призначена для опрацювання різних видів інформації, що подається в цифрових кодах за наперед складеними програмами (алгоритмами).
39425. Перечень и структура производственных подразделений энергохозяйства 1007 KB
  1 Характеристика и назначение энергохозяйства на промышленном предприятии Энергохозяйство предприятия включает в себя главную понизительную подстанцию ГПП центральный распределительный пункт ЦРП распределительную кабельную сеть 10 кВ и цеховые трансформаторные подстанции ТП. От ГПП по двум КЛ питается ЦРП имеющий две секции шин которые могут соединяться при помощи секционного выключателя. Питание цеховых ТП Осуществляется КЛ 10 кВ от ЦРП через комплектные ячейки КРУ с выключателями и от соседних ТП.2 Длины КЛ км Линия Вариант 1...
39426. Разработать программное обеспечение для работы со структурными типами данных с реализацией премирования по факультетам 371 KB
  Функции. Она работает с определенной конкретной базой данных; в ней в основном используются сложные типы данных структуры и функции то есть структура программы не требует много ресурсов. Они создаются из базовых: Массивы объектов заданного типа; Функции с параметрами заданных типов возвращающие значение заданного типа; Указатели на объекты или функции заданного типа; Ссылки на объекты или функции заданного типа; Константы которые являются значениями заданного типа; Классы содержащие последовательности объектов...
39427. Разработка линии связи между ОП1 (Гомель) и ОП2 (Мозырь) через ПВ (Наровля) 281 KB
  В состав оборудования ИКМ120 входят: оборудование вторичного временного группообразования ВВГ конечное оборудование линейного тракта ОЛТ необслуживаемые регенерационные пункты НРП а также комплект контрольноизмерительных приборов КИП. Сформированный в оборудовании ВВГ цифровой сигнал в коде МЧПИ или ЧПИ HDB3 или MI поступает в оконечное оборудование линейного тракта которое осуществляет согласование выхода оборудование ВВГ с линейным трактом дистанционное питание НРП телеконтроль и сигнализацию о состоянии оборудования линейного...
39429. МНОГОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ (цифровые) 1.6 MB
  Таблица 2 Основные параметры системы передачи Параметр Значение параметра Число организуемых каналов Скорость передачи информации кбит с Тип линейного кода Амплитуда импульсов в линии В Расчетная частота кГц Номинальное затухание участка регенерации дБ Номинальное значение тока ДП мА Допустимые значения напряжения ДП В Максимальное расстояние ОРПОРП Максимальное число НРП между ОРП Максимальное число НРП в полу секции ДП 1. Для размещения НРП необходимо определить номинальную длину участка регенерации lном. Число НРП между...
39430. Цифровые системы передачи (ЦСП) 322.5 KB
  Целью данного курсового проекта является формирование у студентов твердых теоретических знаний в области современных систем телекоммуникаций а также приобретение ими практических навыков и умений по технической эксплуатации и техническому обслуживанию цифровых систем передачи работающих на сети связи Республики Беларусь. Задачи курсового проектирования: изучение основ теории цифровых систем передачи и принципов построения образованных на их базе каналов передачи для видов первичных электрических сигналов телефонных телеграфных звукового...