58043

Узагальнена теорема Фалеса

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета уроку: Закріпити знання учнів про зміст узагальненої теореми Фалеса а також про означення та властивості подібних трикутників; доповнити знання учнів історичними фактами з життя Фалеса та таких понять як пропорціональність відрізків та подібність фігур; удосконалювати вміння застосовувати вивчені твердження під час розв’язування задач практичного змісту. Ми з вами вивчаємо одну з найцікавіших тем геометрії Узагальнена теорема Фалеса. Чому найцікавіших Тому що знання узагальненої теореми Фалеса та означення подібності трикутників і їх...

Украинкский

2014-05-21

228.5 KB

30 чел.

8 клас геометрія

Тема уроку: Узагальнена теорема Фалеса.

Означення подібності трикутників.

Мета уроку: Закріпити знання учнів про зміст узагальненої теореми Фалеса, а також про означення та властивості подібних трикутників; доповнити знання учнів історичними фактами з життя Фалеса та таких понять як пропорціональність відрізків та подібність фігур; удосконалювати вміння застосовувати вивчені твердження під час розв’язування задач практичного змісту. Розвивати логічне мислення, пізнавальний інтерес; виховувати зацікавленість до предмета геометрії, вміння використовувати власний досвід;товариськість, наполегливість, культуру спілкування.

Тип уроку:   Застосування знань, умінь та навичок.

Хід уроку.

I.  Організація класу.

Доброго дня! Я вас вітаю на уроці геометрії – уроці, що підтвердить слова Миколи Яругіна: «І математика безмежно різноманітна і міститься в усьому».

Ми з вами вивчаємо одну з найцікавіших тем геометрії «Узагальнена теорема Фалеса. Означення подібних трикутників.» Чому найцікавіших? Тому що знання узагальненої теореми Фалеса та означення подібності трикутників і їх властивостей допомагає в найнесподіваніші моменти. А деколи й рятує життя.

II. Перевірка д/з.

Давайте перевіримо, як ви орієнтуєтесь у вивченій темі.

  1.  Консультанти звітують про виконання домашнього завдання.

2.    Взаємоопитування правил (учні одного ряду опитують правила учнів з іншого ряду, і навпаки). Учні можуть добавити свої питання по вивчених попередньо темах.

- Що називається відношенням відрізків завдовжки a і b?

- Сформулюйте теорему про пропорційні відрізки.

- Дайте означення подібних трикутників.

- Сформулюйте теорему Фалеса.

- Що означає, що трикутники  подібні?

III. Актуалізація опорних знань.

    Усні вправи. (метод мікрофон)

  1.  Якщо ABCD=MHPK, то  

 

  1.  ∆ МНР ∞ ∆ КВА. Що звідси випливає?
  2.  Чи можна стверджувати, що довільні два рівносторонні трикутники подібні?
  3.  ∆РКМ∞∆ДАС, k=2. Що можна знайти?

  1.  Паралельні прямі m і n перетинають сторони кута АВС. Знайдіть довжину відрізка MN, якщо ВЕ=4, ЕF=12, ВМ=5.

  1.  Паралельні прямі а,в і с перетинають сторони кута МNP. Знайдіть довжини відрізків СД і МВ, якщо АN=2, NC=3, DP=9, AB=4.

ІV. Мотивація навчання.

Історія розповідає про те, як мандруючи Єгиптом, Фалес був вражений величчю піраміди Хеопса.

Скажіть, будь ласка, а яку висоту вона має?- запитав він жерців.

О, це дано знати хіба що Богу Сонця Ра, а не людині, відповіли жерці.

- Зачекайте хвилиночку, зараз я точно підрахую висоту піраміди! – запевнив їх Фалес.

Він вийшов від проміння Сонця і виміряв довжину своєї тіні. Скажімо, тінь була вдвічі довшою за зріст Фалеса. З цього Фалес зробив висновок, що в цю мить предмети мають тінь удвічі більшу за них самих. Тож залишається обчислити довжину тіні піраміди Хеопса.

Якщо ви вважаєте, що жерці були в захваті від розуму та винахідливості Фалеса, то ви помиляєтесь. Навпаки, вони дуже обурилися. Те що, на їхню думку, людині не дано пізнати якийсь там грек з Мілета обчислив майже миттєво!.. Ні, таке не пробачають! І жерці вирішили вбити Фалеса. На щастя, один з них виявився порядною людиною і підказав Фалесу скоріше сідати на корабель, який ось-ось відпливає до Єгипту…

Отже, сьогодні на уроці ви доповните свої знання біографічними даними із життя Фалеса Мілетського, дізнаєтесь, коли виникло поняття відношення і пропорції, а також закріпите свої знання про зміст узагальненої теореми Фалеса, означення та властивості подібних трикутників, удосконалюватимете вміння застосовувати вивчені твердження під час розв’язування практичних задач.

V.  Доповнення знань.

1.  Біографія Фалеса (Презентація учня ).

Фалес (Thales) Мілетський народився  близько 625 – 548 р до н.е. Фалес Мілетський – старогрецький філософ, родоначальник античної і взагалі європейської філософії і науки, засновник мілетської школи. Роботи Фалеса не збереглися, проте Арістотель називає його першим іонійським філософом.

За переказами, багато подорожував по країнах Сходу, вчився у єгипетських жерців і вавилонських халдеїв. Використовуючи отримані в Єгипті знання, Фалес передбачив сонячне затемнення 28 травня 585 р. до н. е., яке допомогло лідійському пану Аліатту змусити мідян до миру на вигідних умовах.

 Досягнення Фалеса

.  Найважливішою заслугою Фалеса в області математики вважається перенесення ним з Єгипту до Греції перших початків теоретичної елементарної геометрії:    • Вертикальні кути рівні.   • Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.   • Трикутник визначається стороною і прилеглими до неї двома кутами.   • Діаметр ділить круг на дві рівні частини.

Цікаві факти з життя Фалеса

По легенді теорема була сформульована в не збереженій “Морській астрономії ” Фалеса або Фоки Самоського. Ні один з античних доказів, які стосуються Фалеса, з цією теоремою ніяк не пов’язані.  Можливо, що теорема приписана Фалесу опосередковано, так як відомо, що він умів вимірювати висоту обеліска і відстань до корабля в морі; при цих вимірах можна використовувати подібність трикутників, а ствердження про пропорціональність сторін подібних трикутників доводиться на основі “теореми Фалеса ”

Теорема Фалеса до цих пір використовується в морській навігації в якості правила про те, що зіткнення суден, які рухаються з постійною швидкістю не уникнути, якщо зберігається напрям руху суден один на одного.

Поза російськомовною літературою теоремою Фалеса інколи називають другу теорему планіметрії, а саме, твердження про те, що вписаний кут, який опирається на діаметр кола, являється прямим. Відкриття цієї теореми дійсно приписується Фалесу, про що є свідчення Прокла.

Основи геометрії Фалес досягав в Єгипті.

  1.  Історична доповідь про виникнення поняття відношення і пропорції та учення про подібність фігур.

Презентація учня

Пропорційність відрізків. Подібність фігур.

Поняття відношення і пропорції виникло ще в далекій давнині. Про це насамперед свідчать будівлі стародавнього світу, які вражають пропорціональністю своїх форм. Зокрема, з принципом подібності були обізнані стародавні вавилоняни. У цьому переконує планування будівель, які збереглись до наших часів. Для позначення відношення існував навіть спеціальний знак.

У VI ст. до н.е. на о. Самосі (в Егейському морі) було збудовано тунель завдовжки 1 км у товщі гори Кастро і канал для підведення води в столицю острова – м. Самос. Збудований тунель – одна з найдивовижніших стародавніх споруд. При проектуванні і будуванні тунелю було розв’язано задачу точного прокладання підземної траси, яка й тепер вважається досить складною.

Є припущення, що в процесі будівництва було застосовано теорію подібності трикутників.

Подібність предметів

Рівні фігури можна уявити як фігури, що мають однакову форму й однакові розміри. Але в повсякденному житті часто зустрічаються речі, які мають однакову форму, але різні розміри. У геометрії такі фігури називають подібними.

Пропорційність

Слово пропорціональний, що походить від латинського proportionals, означає “такий, що має правильне співвідношення між частинами і цілим ”, “такий, що перебуває в певному відношенні до деякої величини ”.  Фігури, які мають однакову форму, але різну величину, зустрічаються у вавилонських і єгипетських пам’ятках.

Ще вавилонські вчені знали, що паралельні лінії, перетинаючи будь-які прямі, поділяють їх на пропорційні відрізки. Дехто приписує це відкриття старогрецькому вченому Фалесу Мілетському.

Учення про подібність фігур виникло в стародавній Греції в V-IV ст. до н.е. Його викладено в VI книзі «Начала» Евкліда. Теорія подібності ґрунтується на аксіомі паралельності.

Поняття подібності лежить в основі складання географічних карт, планів, креслення рисунків. На цьому понятті ґрунтується і мензульне знімання місцевості.

Принципом подібності користувались ще художники і скульптори стародавнього Єгипту, коли їм треба було перевести рисунок на інше місце або збільшити його. У гробниці батька єгипетського фараона Рамзеса ІІ (ХІІІ ст. до н.е.) є стіна, вкрита сіткою квадратиків. За допомогою цієї сітки на стінку було перенесено в збільшеному вигляді рисунки менших розмірів.

VI. Застосування знань, формування вмінь.

Володіючи поняттям подібності трикутників, та знаючи узагальнену теорему Фалеса, можна визначати висоти предметів за їх тінню, знаходити висоту башти за її фотографією. Таким чином астрономи визначали висоти місцевих гір.

А чи зможемо й ми скористатися знаннями з геометрії за необхідності? Давайте спробуємо. Для цього об’єднаємося в 3 групи: архітекторів, географів, лікарів.

Завдання групі архітекторів.

Як фотографічна картка Ейфелевої вежі (див.рис.) допоможе визначити її висоту? 

Розв’яжіть задачу, якщо основа вежі 125м.

Відповідь.

Треба виміряти довжину сторони основи і висоту самої вежі на фотографії, а потім довжину сторони основи самої вежі. Враховуючи, що фотографія дає зображення, подібне до натури, висота вежі буде в стільки разів більша від її висоти на фотографії, у скільки разів сторона основи вежі більша від її зображення на фотографії.

Виконавши всі обчислення маємо, що висота вежі дорівнює 300м, не враховуючи висоту антени, а з нею 322м.

Завдання групі географів.

Обчислити довжину конуса тіні, яку відкидає земна куля при освітленні Землі сонячними променями, якщо відношення радіусів Сонця і Землі становить 109, а середня відстань між цими небесними тілами дорівнює 150 млн. км.

Розв’язання.

Беручи за довжину конуса тіні відрізок SO1 =х, з подібності

∆АОS і ∆А1 О1S матимемо:

                                                                         х

Відповідь.

Завдання групі лікарів

Які завбільшки повинні бути букви на класній дошці, щоб учні, сидячи за партами, бачили їх так само виразно, як букви в своїх книжках (на відстані 25см від ока)? Відстань від парт до дошки взяти 5м. ширина букви в книжці дорівнює 1мм.

Розв’язання.

Беручи за величину букви на класній дошці А1В1=х, з подібності трикутників ОВА і ОВ1А1, матимемо:

Х=2,1(см)

Відповідь: 2,1см

Кожна група звітує про підсумки роботи. Для відповіді біля дошки викликається консультант даної групи. Учні пояснюють розв’язання задач, записують розв’язки в зошити, обмінюються задачами.

VII. Підсумки уроку.

  1.  Підбиття підсумків роботи в групах (самооцінка)

Вибране підкреслити.

А) Чи кожен учень з групи зміг висунути свою пропозицію?

Так.   Не зовсім.    Ні.

Б) Чи все обговорили?

Так.    Не зовсім.   Ні.

В)   Чи виконали задачу до кінця?

Так.    Не зовсім.   Ні.

2.   Підбиття підсумків роботи   учителем.

- Що на уроці було головним? Цікавим?

-  Чого ви навчилися?

- Чим поповнили свої знання?

-  Яка група швидко і правильно виконала завдання?

-   Як працював клас? Окремі учні?

-  Оцінки тим, хто захищав задачу, хто брав активну участь в обговоренні.

VI. Домашнє завдання.

1.Як по довжині тіні, що падає від дерева в сонячний день визначити висоту цього дерева?

2. Гора Казбек має висоту 5047м. Якого діаметра треба було б зробити рельєфний глобус, щоб на ньому гора Казбек мала висоту 3 мм? (Середній діаметр земної кулі становить 12740 км).


M

K

D

С

А

B

E

4

12

F

A

E

N

?

M

5

N

2

3

C

A

a

b

c

P

9

D

4

B

M

O1

A1

A

O

S

O

25 см

B

A

1 мм

5 м

x

B1

A1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22910. Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика 67 KB
  Доповнюючим мінором елемента aij називається визначник Mij який одержуються викресленням з визначника Δ i го рядка та j го стовпчика. Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n го порядку до обчислення визначників порядку n1. Фіксуємо iй рядок визначника Δ та доведемо що всі добутки що складають доданок aijAij входять у визначник Δ причому з таким самим знаком як і у доданку aijAij.
22911. Визначник Вандермонда 32.5 KB
  Визначником Вандермонда n го порядку називається визначник. Доведення проведемо індукцією за порядком n визначника При n=2 Припустимо що твердження виконується для визначника Вандкрмонда Δn1 порядку n1 і знайдемо визначник Δn. Як відомо визначник не змінюється якщо від деякого рядка відняти інший рядок домножений на число. Тому у визначника Δn спочатку від останнього рядка віднімаємо рядок з номером n1 домножений на a1.
22912. Системи лінійних рівнянь 22 KB
  Система лінійних рівнянь називається сумісною якщо вона має принаймні один розв’язок. Система лінійних рівнянь називається несумісною якщо вона не має розв’язків. Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною якщо вона має єдиний розв’язок.
22913. ТЕОРЕМА КРАМЕРА 43.5 KB
  Αn1x1αn2x2αnnxn=βn Складемо визначник з коефіцієнтів при змінних α11 α12 α1n Δ= α21 α22 α2n αn1 αn2 αnn Визначник Δ називається головним визначником системи лінійних рівнянь 1. Якщо головний визначник Δ квадратної системи лінійних рівнянь 1 не дорівнює нулю то система має єдиний розв’язок який знаходиться за правилом: 2 Формули 2називаються формулами Крамера. Домножимо перше рівняння системи 1 на A11 друге рівняння – на А21 і продовжуючи так далі nе рівняння системи домножимо на Аn1. Отримаємо рівняння яке...
22914. Обчислення рангу матриці 20.5 KB
  Основними методами обчислення рангу матриці є методи оточення мінорів теоретичний і метод елементарних перетворень практичний. Методи оточення мінорів полягає в тому що в ненульовій матриці шукається базисний мінор. Тоді ранг матриці дорівнює порядку базисного мінору.
22915. Теорія систем лінійних рівнянь 24 KB
  Основною матрицею системи 1 називаються матриці порядку m x n. Ранг основної матриці системи A називається рангом самої системи рівнянь 1. Розміреною матрицею системи рівнянь 1 називається матриця порядку mxn1.
22916. Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь) 46 KB
  Припустимо що система сумісна і числа λ1λ2λn утворюють розв’язок системи. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1a2an вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1a2anb. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1a2an за теоремою 2 про ранг ранги системи векторів a1a2an і a1a2anb співпадають.
22917. Розв’язки системи лінійних рівнянь 50 KB
  Оскільки система сумісна ранги матриці A і рівні і дорівнюють r. Система переписується таким чином: Всі розв’язки системи можна одержати таким чином. Одержується система лінійних рівнянь відносно базисних змінних x1x2xr.
22918. Еквівалентні системи лінійних рівнянь 29.5 KB
  Дві системи лінійних рівнянь з однаковим числом змінних називаються еквівалентними якщо множники їх розв’язків співпадають. Зокрема дві несумісні системи з однаковим числом змінних еквівалентні. Еквівалентними перетвореннями системи лінійних рівнянь називаються перетворення які зводять систему до еквівалентних систем.