58049

Узагальнення і систематизація знань учнів по темі «Нерівності»

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Розвивати логічне мислення. Розвивати почуття краси в математиці. Я думаю що на цьому уроці ми розкриємо красу математичних закономірностей покажемо творчість і досконалість математичної мови при повторенні питань даної теми: Розвязування нерівностей...

Украинкский

2014-04-18

297.5 KB

12 чел.

Навчальний предмет. Алгебра. 8 клас

Розділ. Нерівності.

Ільніцька Людмила Василівна, вчитель математики, ЗШ №11 м. Білої Церкви.

Тема уроку:  Узагальнення і систематизація знань учнів по темі «Нерівності»

Мета уроку:  Узагальнити і систематизувати знання учнів по темі  «Нерівності».

Формувати в учнів вміння встановлювати головне, самостійно застосувати набуті знання в стандартних і нестандартних ситуаціях, а також уміти систематизувати певні математичні твердження, робити висновки.

Розвивати логічне мислення. Розвивати почуття краси в математиці.

Обладнання:  мультимедійний проектор, презентація «Нерівності»

Хід уроку

  1.   Повідомлення теми, мети і завдань уроку,  мотивація учіння школярів.

Учитель: Сьогоднішній урок я хочу розпочати висловом «У математиці є своя краса, як у поезії і музиці». Тема нашого уроку: «Узагальнення і систематизація знань учнів по темі «Нерівності». Я думаю, що на цьому уроці ми розкриємо красу математичних закономірностей, покажемо творчість і досконалість математичної мови при повторенні питань даної теми: «Розв’язування нерівностей; нерівності, які містять змінну під знаком модуля, лінійні нерівності з параметром, доведення нерівностей». Тема дуже важлива, сьогоднішній знання потрібні і далі при вивчені математики. Про це ви самі переконаєтесь на сьогоднішньому уроці.

Розпочнемо з перевірки домашнього завдання.

Вчитель: Що було задано додому?

Учень:  чотири завдання.

Вчитель: Поміняємося зошитами і перевіримо відповіді, які записані на слайді. Червоною пастою підкреслити, де неправильна вийшла відповідь.

Домашнє завдання: 

1)  Яке найбільше натуральне n задовольняє нерівність ,   n = 4.

2)  Розв’язати подвійну нерівність:

                

Відповідь: [3; 9].

б)

Відповідь:

  1.  Довести нерівність:

(а+b)(ab+1)4ab,  якщо а0; b0.

Доведення.

 .

(середнє арифметичне не перевищує середнє геометричне)

Перемножимо нерівності і одержимо результат.                                         

  1.  Розвязати  нерівність:

.

Якщо немає питань до домашнього завдання,  то перейдемо до наступного кроку нашого уроку по даній темі «Нерівності».

  1.  Відтворення та узагальнення понять та засвоєння відповідної  їм системи знань.

Експрес-опитування (учень формулює запитання і вказує, хто на нього відповідає).

Питання:

  1.  Який спосіб використовують в математиці для порівняння чисел? (складають різницю чисел і з’ясовують, буде вона додатним, від’ємним числом чи нулем)
  2.  Сформулювати властивості числових нерівностей.
  3.  Дії з нерівностями.
  4.  Числові проміжки (інтервали, відрізки, півінтервал).
  5.  Що значить розв’язати нерівність? Розвязок  нерівності.
  6.  Які нерівності називаються рівносильними?
  7.  Сформулювати властивості нерівностей, які використовують при розвязуванні нерівностей.
  8.  Розвязок системи. Що означає розвязати систему?
  9.  Означення модуля: формула
    Геометричний зміст модуля числа – відстань  від початку відліку до точки, координатою якої є дане число.
  10.  Записати на дошці три класичні нерівності:
  11.   – (середнє арифметичне не перевищує середнє геометричне).
  12.  
  13.  – нерівність Коші.

Учитель: Для того, щоб ви поглибили своє розуміння змісту цих нерівностей учениця підготувала повідомлення з історії математики.

Учениця розповідає:

Порівнювати яке з двох чисел більше, а яке менше, люди вміли багато тисячоліть тому. В «Началах» Евкліда доведено нерівність, яку прийнято записувати . Тільки тоді під a і b розуміли не довільні додатні числа, а довжини відрізків; доведення чисто геометричне і без знаків нерівності.

Знаки < і > вперше запровадив англійський математик Т. Гарріот в 1631 році, знаки   і  введено в XVIII ст.

Нерівність  носить назву у математиці нерівність Коші для трьох доданків. Коші довів справедливість нерівності для будь-якої кількості  доданків. Коші – французький математик. Роки життя (1789-1854) і багато написав наукових праць, які використовують в багатьох галузях науки і техніки.

Ми з вами теж є винахідниками, продовжувачами математичних ідей. Зараз запропоновано буде двом учням знайти розв'язок задач.

  1.  Довести, що число

Підносимо ліву і праву нерівності до квадрата 5 разів. Дістанемо нерівність 6<9 (скористалися числовою нерівністю: якщо a>b, то a>b).

  1.  Дати оцінку периметру рівностороннього трикутника із стороною а (в мм), де 54,2<a<54,3.

Розв'язування:

Периметр рівностороннього трикутника із стороною a обчислимо за формулою  P= 3a. Помножимо кожну частину подвійної нерівності на 3.

162,6 << 162,9.

Учитель: Для того, щоб ви відчули впевненіть в своїх силах, ми застосуємо повторений матеріал для усних вправ.

Усні вправи

  1.  Довести нерівність .

, а цей вираз невідємний при будь-яких  значеннях  а і  b.

  1.  При яких значеннях змінної має зміст вираз:

а) ;                                 б)                       

Функція  визначена тільки для  , тому:

а) ;                                   б);                      

                                        ;        

    х2;                                            .

   [2;).                                       

  1.  Розвязати нерівність:

      

      1) | 2x – 1| > -1;                          2) | 2x+6|  -2;                3) |2x - 4|<5;

        x є .                             x є .                                -5 < 2x – 4 < 5;

                                                                                                    -1 < 2x < 9;

                                                                                                    -0,5 < x < 4,5;

                   x є (-0,5; 4,5).                                

  1.  Поясніть, що зображено на малюнку:

   

На малюнку  зображено множину розв`язків системи лінійних нерівностей з двома змінними.

Побудовано графіки
y = 3 – x; y = 2x, y =  і заштриховані області, точки з яких задовольняють дані нерівності. Показано спільну частину – кут BDC, яка і є розв`язком системи нерівностей.

Вчитель: Це є приклад геометричної інтерпретації алгебраїчних задач, тобто відповідності між алгебраїчними співвідношеннями, в даному випадку нерівностей з одного боку і геометричними образами і прямими лініями з другого боку.

  1.  Розв’язати нерівність з параметром:

(m - 1)x > 7m.

m = 1, то х∙0 < 7,  х – будь-яке число;

m > 1, то х < ;

m < 1, то  х > .

А тепер послухаємо, як справилися зі своїми завданнями учні, що працювали індивідуально.

Кожному учню поставити  одне питання і оголосити оцінку.

Зараз нам знову надається можливість перевірити знання з теми «Нерівності». На сьогоднішній урок підготувала учениця софізм  «Додатне число менше 0», де використовуються  властивості нерівностей.

Дано:             (1)

  1.  Помножимо обидві частини нерівності (1) на .

 

  1.  Перетворимо даний вираз так, щоб у лівій частині був 0:

;

.            (2)

Одержимо додатне число менше 0. Де тут допущена помилка? (Множили на від’ємне число і не  змінили знак нерівності на протилежний).

  1.  Перевірка глибини осмислення учнями знань і ступеня їх узагальнення.
    Вступне слово вчителя до письмових вправ

Підійшов час, коли ми будемо розв’язувати більш складні вправи, де ви повинні проявити вміння шукати різноманітні шляхи розв’язування цих питань, проявити свою творчість.

В зошитах запишемо число. Класна робота.

Тепер ми розв’яжемо вправи, де ви повинні показати свої вміння застосовувати знання при розв’язуванні складних вправ і показати вміння шукати шляхи розв’язання.

Розв’язати нерівність:  |х-1|+|х+1|<4.

Бесіда

Вчитель: Якими способами ми на даний момент можемо розв’язати цю нерівність?

Учні: Трьома способами:

  1.  Метод інтервалів.
  2.  Графічний спосіб.
  3.  Піднесенням до квадрату.

Ми розвяжемо її методом інтервалів.

Викликати до дошки учня і розв’язувати нерівність:

  1.  Шукаємо нулі підмодульних виразів:  х1 = 1;  x2 = -1.
  2.  Цими точками розбиваємо пряму на числові проміжки:
  3.  Розв’язуємо на кожному проміжку нерівність
    1.  ( -; -1)     - (х - 1) – (х + 1), -2x < 4,  x > -2.
    2.  (-1; 1)         -(x -1) + (x + 1) < 4,  -x + 1 +x + 1 < 4,  2 < 4,

[-1; 1] – розв’язок.

  1.  (1; +)  x – 1 + x + 1 < 4, 2x < 4,  x < 2.

(1; 2) – розв’язок.

Об’єднавши одержані результати, маємо: нерівність задовольняють всі значення змінної з інтервалу (-2; 2).

Учитель: Одержимо одразу домашнє завдання:

  1.  Розв’язати графічним способом нерівність:

| x - 1| + |x + 1|<4

  1.  Розв’язати графічно систему нерівностей:

Повторити графічний спосіб.

На одержаних проміжках будуємо графіки.

y1 = | x - 1| + |x + 1| i  y2=4.

Знаходимо на числовій осі той проміжок,  для якого точки графіка функції             y1 = | x - 1| + |x + 1| нижче від відповідних точок прямої  y2=4.

Далі розв’яжемо геометричну задачу. Зробимо це  за допомогою властивості нерівності.

Задача. Всередині трикутника взято точку. Порівняти суму відстаней від цієї точки до вершин трикутника з його периметром. Або довести,  що сума відстаней від будь-якої точки  всередині трикутника до його вершин менша периметра трикутника.

Продовжимо АМ до перетину з ВС в т. D. Із нерівності. трикутника випливає, що  АВ+ВD>АD.

До обох частин нерівності додамо DС:

AB + (BD + DC) > AD + DC, або AB + BC > AD + DC.  Розглянемо ∆ADC:
AD + DC > AM + MC. З нерівності трикутника випливає, що  AB+BC > AM+MC. Анологічно AB + AC > BM + MC і  BC + AC > AM + MB. Додаємо останні 3 нерівності, одержимо:
2
(AB + BC + AC) >2(MA + MB + MC) або  MA+MB+MC < P∆ABC.

Розглянемо нерівність з параметром

 

Як ми говорили, це по суті стислий запис множини нерівностей, які можна дістати з нерівності даної при різних конкретних значеннях параметра m.

Учень біля дошки розв’язує з коментуванням.

: D: m 

  1.  Якщо , то розв’язків немає.
  2.  Якщо , ,   або ,  , то .
  3.  Якщо , , , то .
    Відповідь підкреслити, щоб не переписувати.

На екрані розміщені різнорівневі завдання. Кожен учень обирає собі за бажанням завдання певного рівня.

Середній рівень

Довести нерівність

Розв’язування:    

Достатній рівень

Застосувати метод інтервалів:

Розв’язування:  

  1.  Спочатку перенесемо 1 в ліву частину:

 

  1.  D(f): . Корені знайшли за допомогою теореми Вієта.
  2.  Нулі функції:
  3.  (-) або (-1;0].
    Задати додаткове  питання:
    Якого вченого називали батьком  алгебри?   (Ф. Вієта (1540-1603 р.) французького вченого.)

Високий рівень

Розв’язати нерівність:  





Спрощений результат:

,  
D(f): a.

  1.  якщо , то коренів не існує;
  2.  якщо , то

    і
    то
  3.  якщо   ,  то
  4.  якщо , то  

Підсумок уроку

Сьогодні на уроці ми повторили і систематизували знання з теми «Нерівності». Розглянули питання лінійної нерівності з однією змінною, лінійної нерівності, яка містить змінну під знаком модуля, лінійної нерівності з параметром, графічне розв’язування систем лінійних нерівностей з двома змінними, метод інтервалів для розв’язування нерівностей. Розв’язали ряд вправ, де показали свої вміння  застосовувати властивості, означення, певні алгоритми в стандартних умовах і більш складних ситуаціях і побачили важливість вивченої теми.

Домашнє завдання:

  1.  Довести нерівність:

Доведення: за нерівністю Коші:

(1)

(2)

Перемножуємо (1) на (2) дістанемо:


Література

  1.  В. П. Коваленко, В. Я. Кривошеєв, Л. Я. Лемберський. Алгебра: експерим. навч. посібник для 8 кл. шк.. з поглибленим вивченням математики і спец. шк.. фізико-мат. профілю. – К.: Освіта, 1995. – 303 с.
  2.  Апостолова Г. В.  Я сам! Навчальний посібник з алгебри ля тих, хто у сьомому класі та старше, з опорними схемами та порадами. – К.: Факт, 1997. – 204 с. – укр.. мовою.
  3.  Апостолова Г. В., Ясінський В. В. Перші зустрічі  з параметром (видання друге)  – К.: Факт, 2006.


х

1

-1

B

D

C

y=3-x

y=x/2

y=|x-1|+|x+1|

y=4

-2

-1

0

  х

-

-

+

+

+

+

-

-

  х

 1

-1

М

С

А

В

D

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29657. Психологическая наука в противоположность метафизике 41 KB
  Однако масштаб абстракций и обобщений существенно ниже уже и конкретнее в эмпирической психологии чем в философской метафизике или основанной на ней априорной психологии. Примерами метафизических вопросов в психологии могут быть следующие. Номотетический и идиографический подходы в эмпирической психологии Номотетический подход Эмпирическая психология производит эмпирическое знание в рамках прежде всего номотетического подхода связанного с позитивистской и постпозитивистской философией. Идиографическое познание применяется в ряде отраслей...
29658. Эмпирическая и априорная психологии 29 KB
  Ситуация множественности методологических подходов и соответственно средств методологического анализа которые одновременно являются и истинными если это понятие вообще применимо к методологическому знанию адекватными и ложными неадекватными в зависимости от множества привходящих условий провоцирует самые разные установки исследователей и практиков относительно роли методологического знания и целесообразности его использования в конкретном исследовании а также разные методологические эмоции. Сторонники методологического...
29659. Парадигмы, аномалии, кризисы, научные революции 71.5 KB
  Это было время господства ассоцианизма взаимопроникновения идей физиологической психологии и психологии сознания но также и время после выхода основополагающих трудов Г. Эббингауза 1850 1909 когда появилась надежда на разработку объективного метода исследования в области психологии. То есть для него в первую очередь неприемлема именно эта характеристика естественнонаучного познания путь выдвижения гипотез а не собственно экспериментальный метод как это иногда сегодня представляют сторонники описательной психологии функционирующей...
29660. Психология теоретическая и эмпирическая 243.5 KB
  Особая дисциплина описывающая и изучающая конкретные явления психической жизни в отличие от рациональной психологии выводящей явления из природы и сущности души. опытная школа в психологии соединила установку на эмпирическое наблюдение конкретный анализ и индуктивное познание психических явлений с учением об особой сущности этих явлений постигаемых только посредством самонаблюдения. Теоретическая психология Теоретическая психология наука предметом которой является саморефлексия психологии выявляющая и исследующая...
29661. Психология естественно-научная и гуманитарная 62.5 KB
  В первую очередь это отказ от культа эмпирических методов и связывания признака научности только с верифицируемостью знания т. Построение научного знания только на основе индуктивной логики неприемлемый для психологического наблюдения критерий построения теории против которого выступают сторонники гуманитарной парадигмы добавим что именно против этого выступал и К. Как мы показали ранее этот метод действительно с одной стороны предполагал построение психологического знания по классическому образцу науки Нового времени с его...
29662. Априорное знание, метафизика и объективность 49.5 KB
  Когда психолог обнаруживает статистически значимую связь между креативностью и рефлективностью как параметром когнитивного стиля {Дорфман Ковалева 2000а это не значит что чем выше креативность тем выше рефлективность у каждого человека в отдельности. некие общие представления об устройстве мира и человека. В свою очередь это предполагает что методы естественных наук которые изучают мироздание используются также при изучении психики и поведения человека. Культурноисторическая парадигма напротив подчеркивает своеобразие человека...
29663. Понятие категории как узлового пункта познания 57.5 KB
  В общей методологии понятие системы является чрезвычайно широким. Различают материальные системы Солнечная система среди них системы организм среда; идеальные системы например знаковые; социальные системы. Берталанфи Общая теория систем категория системы из философскометодологической перешла в иной статус названия объяснительного принципа конкретизируемого различным образом в научном познании. Кеннон утверждал принцип системности как принцип гомеостаза обеспечивающего динамическое постоянство свойств системы в ее...
29664. Категория активность 53 KB
  Леонтьев указывает на явления активности составляющие как бы внутреннюю предпосылку самодвижения деятельности и ее самовыражения [Леонтьев А. Поэтому описание явлений активности обычно ведется в терминах автономности спонтанности самопроизвольности инициативности и т. Однако любое проявление активности имеет место в некотором окружении. Невозможность роста активности без отражения а также не возможность отражения без активности самого отражающего объекта делает эти понятия изначально взаимосвязанными.
29665. Категории «взаимодействие» и «отражение» 56 KB
  Противоречия между указанными подходами можно разрешить и соединить различные аспекты в понимании отражения если определять его не как атрибут материи производный от другого атрибута взаимодействия а как самостоятельный аспект движения материи дополняющий взаимодействие проявляющийся во взаимодействии в свою очередь влияющий на ход взаимодействия и его результаты. Но какова природа этой особой способности к отражению почему она в разной степени присуща разным объектам и по каким законам она развивается Источником этой внутренней...