58051

Построение сечений многогранников

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Образовательные: ввести понятие сечения многогранника; рассмотреть способы решения задач на построение сечений многогранников на основе аксиоматики. Развивающие: развивать пространственное воображение обучающихся; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли; совершенствовать графическую культуру.

Русский

2014-04-18

24.86 MB

148 чел.

Старостенко Ирина Степановна,

учитель математики Донецкой

гуманитарной гимназии №33,

квалификационная категория

 «спеиалист высшей  категории»,

«учитель - методист»

«Построение сечений многогранников»

  Геометрия, 10 класс.

Цели урока:

Образовательные:

  •  ввести понятие сечения многогранника;
  •  рассмотреть способы решения задач на построение сечений многогранников на основе аксиоматики.

Развивающие:

  •  развивать пространственное воображение обучающихся;
  •  формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;
  •  совершенствовать графическую культуру.

        Воспитательные:

  •  воспитывать умение работать с имеющейся информацией в необычной ситуации;
  •  воспитывать уважение к предмету, умение видеть геометрические задачи в окружающем нас мире.

      Тип урока – изучение нового материала.

      Форма урока – урок-практикум.

Формы организации учебной деятельности: коллективная,                      индивидуальная.

     Оборудование:

  •  таблицы «Аксиомы планиметрии и стереометрии»,
  •   электронное приложение к уроку «Мультимедийная презентация (анимационный слайд-фильм)» Microsoft PowerPoint, электронное «Приложение 1»,
  •  компьютер, беспроводная мышь, мультимедийный проектор,
  •  модели многогранников.
  •   листы формата А4 с готовыми чертежами многогранников для выполнения практической части, «Приложение 2», лист Microsoft Excel.    

       Оформление доски.  

  •  Запись темы урока.
  •  Аксиомы    А2,  А3 (таблицы).   
  •  Таблица для проведения исследования.

?

Многогранник.

n –  число сторон сечения.

?

Треугольная пирамида.

?            

?

Четырехугольная пирамида.

?             

?

Параллелепипед.

?              

Структура урока

Вид деятельности.

Время

1. Организационный момент. Постановка цели урока.

1

2. Повторение изученного материала. Аксиомы.  

2

3. Построение простейших сечений на основе аксиом.  № 1, 3, 5.

4

4. Исследование зависимости числа сторон сечения от вида многогранника.  

2

5. Построение сечений многогранников на основе свойства параллельных плоскостей. № 7, 8, 9(г)

8

6. Тренировочные упражнения. Скрещивающиеся и пересекающиеся прямые.

4

7. Экскурс «Невозможные объекты»

3

8. Решение задач. Метод следов. № 10, 11, 12, 13.

20

9. Домашнее задание.

1

Ход урока.

1. Сообщение темы и цели урока. (Демонстрация слайд-фильма. Слайды 1-2.)

               Для решения многих геометрических задач, связанных с многогранниками, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями.  Сегодня мы научимся строить сечения.

              Как видим на модели (демонстрация модели), секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра.     

Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника. Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в плоскости каждой грани указать две точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника [5].

2. Повторение. (Повторим формулировки аксиом А2, А3).   

А2. Если две плоскости имеют общую точку, то  они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

А3. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

          Таким образом, для построения сечения многогранника плоскостью необходимо в плоскости каждой грани указать две точки, принадлежащие сечению.  Рассмотрим примеры построения простейших сечений.

Слайд 3.  Задача №1.

Объяснение учителя.

Точки Н и К принадлежат грани АВВ1А1 и принадлежат сечению. Значит, соединяем их отрезком.

Аналогичные комментарии для точек К и N, Н и N.

Учитель контролирует выполнение построений учащимися в тетрадях, свободно перемещаясь по классу и управляя презентацией, демонстрируя каждый шаг построения, используя мышь с дистанционным управлением.

Задача №2 для домашней работы(просмотр).

При демонстрации задачи №2 следует обратить внимание на то,  что, если, например, у пирамиды «срезать» его вершину, получится новый многогранник – усеченная  пирамида.

Слайд 4.  Простейшие сечения.

Задача №3, выполнить построение в рабочих тетрадях

Задача №4 для домашней работы, (просмотр).

Слайд 5. Диагональные сечения параллелепипеда.

Задача № 5, пошаговое выполнение построений в  рабочей тетради.

Задача №6 для домашней работы, (просмотр).

Слайд 6, просмотр. Выполняя простейшие сечения, мы можем получить необычные многогранники. Например, кубооктаэдр получим, если у куба «срежем» все его восемь вершин. [6].

Слайды 7-12.

Проведем небольшое исследование.

Цель исследования: установить, сколько сторон может иметь сечение различных  многогранников?

Фронтальная работа с классом. Один ученик работает у доски, заносит результаты в таблицу.

Работа класса. Поиск закономерности.  

Треугольная пирамида.  n=3, 4.

Четырехугольная пирамида.  n=3, 4, 5.

Параллелепипед. n= 3, 4, 5, 6.

В сечении треугольной пирамиды получится треугольник или четырехугольник. Многоугольник с большим числом сторон получиться не может, т. к. граней у тетраэдра всего 4!  И т.д.

Вывод, обобщение результатов.  

Заполненная таблица исследования.

Число граней многогранника.

Многогранник.

n –  число сторон сечения.

                      4

Треугольная пирамида.

             3,    4

                      5

Четырехугольная пирамида.

             3,    4,     5.

                      6

Параллелепипед.

             3,    4,    5,    6.

Слайды 13-15.

Работа класса.

Слайд 13. Свойство параллельных плоскостей.

Учащиеся дают формулировку свойства.

Учитель выводит на экран словесную формулировку.

Это свойство нам поможет при построении сечений.

Cлайд 14. Задача № 7. Построим сечение, используя свойство параллельных плоскостей.

Cлайд 15. Задача № 8.( Геометрия Л.С. Атанасян, 10-11. Задача № 87(a [4] ).

Изобразите параллелепипед АВСDА1В1С1D1 и постройте его сечение плоскостью МNК, где точки М, N и  К лежат соответственно на ребрах ВВ1, АА1, АD.

Устная работа.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Осмысление шагов построения.   

Задачи № 7, 8. Комментированное

построение в рабочей тетради .

Слайды 16-17.  

Работа класса.

(Геометрия Л.С. Атанасян, 10-11[4] ).

Слайд 16. Задача № 82 (а, б, в) для домашней работы, просмотр.

Дан наклонный параллелепипед   АВСDА1В1С1D1

Отметьте внутреннюю точку M грани АА1В1В.

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через т. М параллельно:

а) грани ВВ1С1С;

б) плоскости основания АВСD;

в) изобразите отрезок, по которому эти сечения

пересекаются.

Демонстрируя слайд 16, напоминаю алгоритм построения наклонного параллелепипеда.

Слайд 17.     г) плоскости ВDD1

Устная работа.

Задача 9 (а, б, в).

Комментирование шагов построения.

Практика.

Задача 9(г) [4]. Построение  в рабочей тетрадир.

Слайды 18-23.  

Работа класса.

Блиц-опрос. Фронтальная работа с классом.

К компьютерной демонстрации плоских чертежей обязательно необходимо добавить показ объемных моделей. Параллелепипед, пирамида, прямые, чтобы все обучающиеся увидели скрещивающиеся прямые или пересекающиеся прямые.  

Еще раз акцентировать внимание обучающихся на формулировке аксиомы А3.

Примерные ответы.

Слайд 23. Прямые МО и АВ пересекаются, т.к. лежат в одной плоскости (АDС). Прямые МО и АВ не пересекаются, т.к. лежат в разных плоскостях (АDС) и (АDВ). Эти плоскости пересекаются по прямой АD, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Слайды 24-27.

Многие художники, искажая законы перспективы, рисуют необычные картины. Эти рисунки очень популярны среди математиков. В сети Internet можно найти множество сайтов, где публикуются эти невозможные объекты.        

       

 Популярные художники Морис Эшер, Оскар Реутерсвард, Жос де Мей  удивляли своими картинами математиков.

        

Слайд 26. На картине есть нарушение изображения. В чем оно проявляется? Какая нарушена аксиома?  (аксиома А3)[4].  

        

Приведем еще примеры нарушения аксиом:

  •  Слайд 27. Законы геометрии часто нарушаются в компьютерных играх. Например, встречаются «невозможные лестницы».  Нарушена аксиома A2[4].

Слайд 28.   Метод следов.

Вернемся к задаче 7.

Построим сечение другим способом.

Для построения более сложных сечений пользуются методом следов.

В названии – суть метода.

Если плоскость грани многогранника и плоскость сечения имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Эту прямую называют линией пересечения данных плоскостей. Плоскость сечения многогранника имеет общие прямые с плоскостями граней многогранника. Прямую, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой грани многогранника, называют следом плоскости сечения. Следов столько, сколько плоскостей граней пересекает плоскость сечения. [2]

Объяснение учителя:

Точки Н и N лежат в плоскости (АВC), тогда в этой плоскости лежит отрезок НN. Проведем его. Это след секущей плоскости (NНК) на грани АВC.

Так как точки Н и К лежат в плоскости (АВВ1), то в этой плоскости лежит отрезок НК. Проведем его. Это след секущей плоскости (NНК) на грани АВВ1А1. Проведем прямую НК -  это след плоскости (NНК) на плоскости (АВВ1). Находим точку X, в которой прямая НК пересекает ребро ВВ1. Точка X – это след плоскости (NНК)  на ребре ВВ1.

Так как точки X и N лежат в плоскости (CBB1), то прямая XN лежит в этой плоскости. Проведем прямую XN – это след плоскости (NНК) на плоскости (ВСС1). Точка О – след плоскости (NНК) на ребре В1С1. Отрезок ОN - след плоскости (NНК) на грани ВСС1В1. Так как точки О и N лежат в плоскости (А1В1С1), то в этой плоскости лежит отрезок ОN. Проведем его. Получен четырехугольник НКОN – искомое сечение.

Слайд 29.

Задание с ошибкой.  [6].

Задача № 10.

На рисунке точки М и N не принадлежат ни одной из граней тетраэдра, поэтому отрезок находится внутри тетраэдра. Исправим ошибку на чертеже методом следов.  Построение  в рабочей тетради.

Объяснение учителя:

Строим прямую КМ – это след плоскости (NКМ) на плоскость (АDC).Находим точку X, в которой прямая КМ пересекает прямую, содержащую ребро АС. Точка X – это след плоскости (NКМ)  на ребре АС. Так как точки X и N лежат в плоскости (АВС), то прямая XN лежит в этой плоскости. Проведем прямую XN – это след плоскости (NКМ) на плоскости (АВС). Точка R – след плоскости (NКМ) на ребре АВ. Так как точки R и N лежат в плоскости (АВС), то в этой плоскости лежит отрезок RN. Проведем его.

Полученный четырехугольник RМКN – искомое сечение.

Cлайд 30.

Задача № 11.

Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки ОD1C1,   КA1B1,   НAB.

Построение сечения по готовым чертежам ( на листах А-4) в рабочей тетради .

Cлайд 31.

Задача № 12.

Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1.

Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки SD1C1,  КСС1,  NВС.

Построение сечения по готовым чертежам ( на листах А-4) в рабочей тетради

Cлайд 32.  Задача № 13.

Построить сечение четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки МSD  , РAS и  К, где К принадлежит плоскости a.

Построение сечения по готовым чертежам ( на листах А-4) в рабочей тетради

Cлайд 33.

Задача №14

Для домашней работы (просмотр). Прокомментировать этапы построения.

Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. [3].

Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Е и Р параллельно прямой а.

Домашнюю работу учащиеся  выполнят в тетрадях для  «Домашнчих работ»

  •  Чертежи многогранников есть, необходимо будет  построить сечения.
  •  Задачи  № 2, 4, 6, 9 (№82, [4]).  
  •   Задача № 14* повышенного уровня сложности (Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. [3]).

Список литературы.

  1.  Геометрия: Учебник для общеобразовательных учебных заведений, профильный уровень, для 10 класса / Г.П.Бевз, В.Г.Бевз, Н.Г.Владимирова, В.Н.Владимиров. – К.: Генеза, 2010., – 232 с.:ил. –  Библиогр.: с 221, ISBN 978-966-504-997-5.
  2.  Геометрия: 10 кл.: академ. Уровень: учебн. Для общеобразоват. Учебн. Завед.: Пер. с укр./ О.Я.Билянина,, Г.И.Билянин, В.А.Швец. – К.: Генеза, 2010.-256 с.: ил. ISBN 978-966-11-0023 -6.
  3.  Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1997. – 144 с.: ISBN 5-09-007468-2.
  4.  Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений  / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. –  ISBN 5-09-008612-5.
  5.  Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Цыпкин А.Г,  Пинский А.И./Под. редакцией В.И.Благодатских . – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 416 с.
  6.  Александров А.Д. и др. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углуб. изуч. Математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.– 4-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1994. – 464 с.: ил.– ISBN 5-09-006089-4
  7.  Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3. – М.: «Баласс», «С-инфо», 2002. – 176 с., ил. – ISBN 5-85939-301-6 («Баласс»)    ISBN 5-85429-031-6 («С-инфо»)

Сайты Internet.

http://alone.sammit.kiev.ua/moremind/illusion/index.html

http://www.im-possible.info/english/art/mey/mey2.html

http://lib.world-mobile.net/culture/special/imp/imp-world-r.narod.ru/art/index.html

http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/work.html

http://schools.techno.ru/sch758/2004/geometr/a.htm 

          Цифровой методический ресурс «Построение сечений многогранников» опубликован на сайте Интернет – государство учителей, в разделе Математика http://www.intergu.ru/infoteka


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32724. Тепловые явления при низких температурах. Третье начало термодинамики 40.5 KB
  Расчет абсолютной энтропии Рассчитаем изменение энтропии некоторой системы при нагревании её от абсолютного нуля до температуры T при постоянном давлении. При нагревании вещества возможен его переход в жидкое и затем в газообразное состояние; для фазовых переходов происходящих в изобарноизотермических условиях изменение энтропии равно приведенной теплоте фазового перехода: I.65 Таким образом нагревание вещества без фазовых переходов сопровождается непрерывным ростом энтропии; при фазовом переходе происходит...
32725. Понятие фазы. Фазовые переходы 1 и 2 рода. Фазовые диаграммы. Тройная точка 57 KB
  Понятие фазы. В однокомпонентной системе разные фазы могут быть представлены различными агрегатными состояниями или разными полиморфными модификациями вещества. В многокомпонентной системе фазы могут иметь различный состав и структуру. Основные понятия Газ всегда состоит из одной фазы жидкость может состоять из нескольких жидких фаз разного состава Ликвация жидкостная несмешиваемость но двух разных жидкостей одного состава в равновесии сосуществовать не может.
32726. Материальная точка. Абсолютно твёрдое тело. Система отсчёта 27.5 KB
  Система отсчёта. Системы отсчёта. Для определения координат материальной точки следует прежде всего выбрать тело отсчёта и связать с ним систему координат. Для определения положения материальной точки в любой момент времени необходимо также задать начало отсчёта времени.
32727. Кинематика точки. Путь. Перемещение. Скорость и ускорение. Их проекции на координатные оси. Вычисление пройденного пути. Средние значения 28.5 KB
  Скорость и ускорение. Скорость векторная физическая величина характеризующая быстроту перемещения тела численно равная отношению перемещения за малый промежуток времени к величине этого промежутка. Промежуток времени считается достаточно малым если скорость при неравномерном движении в течение этого промежутка не менялась. Измеряют скорость спидометром.
32728. Скорость и ускорение при криволинейном движении. Тангенциальное и нормальное ускорения 37 KB
  Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции vxи vy ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времени t определяется по формулам vx=v0xxt x=x0v0xtxtxt2 2; vy=v0yyt y=y0v0ytyt2 2 Частным случаем криволинейного движения является движение по окружности. Движение по окружности даже равномерное всегда есть движение...
32729. Кинематика твёрдого тела. Вращение вокруг неподвижной оси. Угловые скорость и ускорения. Связь между угловыми и линейными скоростями и ускорениями 39 KB
  Кинематика твёрдого тела. Движение тела может быть как поступательным так и вращательным. При поступательном движении все точки твердого тела за один и тот же промежуток времени совершают равные по величине и направлению перемещения. Следовательно скорости и ускорения всех точек тела в любой момент времени также одинаковы.
32730. Границы применимости ньютоновской механики. Первый закон Ньютона 28.5 KB
  Первый закон Ньютона. Вследствие развития физики в начале XX века определилась область применения классической механики: ее законы выполняются для движений скорость которых много меньше скорости света. Вообще законы классической механики Ньютона справедливы для случая инерциальных систем отсчета. При ускоренном движении неинерциальной системы координат относительно инерциальной системы первый закон Ньютона закон инерции в этой системе не имеет места свободные тела в ней будут с течением времени менять свою скорость движения.
32731. Масса и импульс. Второй закон Ньютона как уравнение движения 37.5 KB
  Масса скал. тела масса величина аддитивная т. масса системы рана сумме масс материальных тел входящих в состав этой системы при любых воздействиях выполняется закон сохранения массы: суммарная масса взаимодействующих тел до взаимодействия и после равны между собой. инерции точка в которой может считаться масса всего тела при поступательном движении данного тела.
32732. Третий закон Ньютона. Центр масс. Уравнение движения центра масс 30.5 KB
  Центр масс. Уравнение движения центра масс. Сам закон: Тела действуют друг на друга с силами имеющими одинаковую природу направленными вдоль одной и той же прямой равными по модулю и противоположными по направлению: Центр масс это геометрическая точка характеризующая движение тела или системы частиц как целого. Определение Положение центра масс центра инерции в классической механике определяется следующим образом: где радиусвектор центра масс радиусвектор iй точки системы масса iй точки.