58052

У світі синусоїдів. Урок дослідження. (Методом проектів)

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Доведено що будьяке періодичне коливання можна зобразити як суму синусоїдальних коливань. Частоти цих синусоїдальних коливань називають спектром складного коливання. Розкладання складного коливання на суму синусоїдальних коливань називають спектральним аналізом коливання. Спектральним аналізом коливань користуються для розрахунку різних конструкцій.

Украинкский

2014-05-21

724 KB

5 чел.

10 клас (алгебра)

Тема уроку. У світі синусоїдів.

Урок дослідження. (Методом проектів)

Мета уроку. Формування уміння застосовувати здобуті знання у нестандартних умовах, вчити їх аналізувати та систематизувати ті знання, які вони отримують на уроках і черпають з додаткової літератури, показати зв’язок алгебри з життям, міжпредметні зв’язки, дослідити закони синусоїди в навколишньому світі, розвивати уяву учнів, вчити спостерігати закономірності, робити висновки і виховувати любов до навколишнього світу.

Тип уроку. Урок систематизації і узагальнення знань.

 Напис на дошці:

«…Математика безмежно різноманітна як світ, і присутня, міститься в усьому.»

    М. П. Єругін.

Хід уроку

І. Організація класу.

ІІ. Актуалізація класу опорних знань.

Взаємоопитування учнів (Один з учнів ставить питання іншому, той дає відповідь і в свою чергу ставить питання слідуючому учню класу і т. д.)

--- Що називається функцією?

  •  Що називається синусом кута α?
  •  Що називається косинусом кута α?
  •  Що є графіком функціїї синус?
  •  Які функціїї називаються тригонометричними?
  •  Що є графіком функції синус?
  •  Що є графіком функції косинус?
  •  Що є графіком функції тангенс?
  •  Яку функцію називають парною?
  •  Яку функцію називають непарною?
  •  Які властивості функції y=sin x; у=соs x?

Усні вправи.

1. Які з графіків, зображених на малюнку є графіками функцій? Чому?

2. Для функції, графік якої зображено на малюнку, знайти:

  1.  Проміжки зростання, спадання;
  2.  Значення аргументу, при яких значення функції дорівнює нулю;
  3.  Проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень;

ІІІ. Мотивація навчання.

Зима за літом, ніч за днем

Плюс змінюється мінусом,

Все у природі і в людей

Йде за законом синуса.

Ряди везінь і невезінь:

То зверху, то насподі ми

Із березоля в березіль

Виходимо й приходимо

Гріхопадіння й каяття,

І нищення і творення.

Проста гармонія буття

Повторення й повторення

То вверх крокуємо то вниз,

Удачі за невдачами,

По синусоїді кудись

Всі пливемо неначе ми.

Г.П. Бевз

Отже, сьогодні на уроці ми побуваємо в чарівному світі гармонії і краси – у світі синусоїди. Намагатимемось показати, що ми всі живемо за законами функції синуса, навколо нас оточує багато речей, які підвладні цим законам.

На цьому уроці ми познайомимося з результатами ваших досліджень, які ви оформили у вигляді презентацій.

(учні записують тему уроку)

IV. Історична довідка

 

Учень. Тригонометрія має велике практичне значення, зокрема, для розв’язання задач на знаходження площ і об’ємів, на додавання і розкладання сил, на знаходження віддалей до недоступних предметів тощо. Вона широко застосовується в механіці, топографії, астрономії. Велике значення має тригонометрія також у навігаційній справі, бо й тут неабияку роль відіграють вимірювання на поверхні Землі.

 Першим графіком тригонометричної функції, що з’явився в друкованих публікаціях, була синусоїда, розміщена в одному з творів французького математика Жиля Персона де Роберваля. Цей графік був накреслений в кінці 30-х років 17ст. Подальший розвиток тригонометрії тісно пов’язаний з іменем Леонарда Ейлера.

Доведено, що будь-яке періодичне коливання можна зобразити як суму синусоїдальних коливань. Частоти цих синусоїдальних коливань називають спектром складного коливання. Розкладання складного коливання на суму синусоїдальних коливань називають спектральним аналізом коливання.

Спектральним аналізом коливань користуються для розрахунку різних конструкцій. При цьому стежать, щоб частота, наприклад, кожного з складових синусоїдальних коливань літака, спричинених роботою мотора, не збігалася з власною частотою коливань якої-небудб деталі літака, тобто щоб не

було резонансу, який може призвести до аварії.

V. Творче застосування узагальнених навичок та вмінь.

А зараз ми з вами пригадаємо ті завдання, які я поставила перед вами на уроці за 3 тижні до цього уроку.

 1. Ознайомлення учнів із завданням проекту.

Перегляд учнями вчительської презентації.

Вчитель. Друзі!

  •  Чи помічали ви красу синусоїди в нашому світі?
  •  Чи хотіли б ви дослідити її разом з нами?
  •  Якщо так, то запршуємо вас стати учасниками нашого проекту!

Метою нашого проекту буде:

  •  Провести дослідження;
  •  Зібрати та представити результати досліджень;
  •  Проаналізувати;
  •  Застосувати висновки до життєвих ситуацій.

Завдання.

  •  Прочитати запропоновану літературу;
  •  Об’єднатися в групи: техніків, фізиків, астрономів, медиків, раціоналізаторів.

У кожній групі виберіть інформатика та журналіста.

  •  Дослідіть, чи дійсно можна спостерігати гармонічність синусоїди у кожному з видів наук;
  •  Результати оформіть у вигляді презентацій.    

Учні, які виконають завдання, отримають приз - додатковий бал за тему.

Бажаю успіхів в творчій роботі!

А зараз кожна група продемонстує результати своїх досліджень. В кінці кожного виступу учні задають питання доповідачу.

 2. Результати досліджень групи «техніків»

 Учень від групи «техніків» презентує результати їх дослідження.

Як користуються у техніці функцією синус?

Які прилади існують в техніці для дослідження коливальних процесів?

  •  Осцилограф – для дослідження електромагнітних коливань
  •  Сейсмограф – для запису коливань земної кори.

Наслідок:

Спокій –

Землетрус –

  •  Кардіограф для запису роботи серця людини:

здорової –

хворої –

  •  Коливальний контур застосовується в радіоприймачах, телевізорах, мобільних телефонах, в супутниковому зв’язку.

Що у фізиці змінюється по синусоїдальному закону?

  1.  Змінний струм синусоїдальний, тобто сила струму в кожній ділянці ланцюга змінюється по синусоїдальному закону І=І0sin(wt+µ), де

І0 – амплітуда струму

 w – циклічна частота

 µ - початкова фаза.

  1.  ЕРС (електрорушійна сила) ланцюга також змінюється по синусоїдальному закону

Значення синусоїдних коливань в літаку

При русі літака потрібно стежити, щоб частота синусоїдних коливань літака, спричинена роботою мотора, не збігались з частотою якою-небудь деталі літака.

До чого може призвести збігання синусоїд?

Резонанс синусоїдних коливань літака може призвести до аварії.

Висновок.

Досить часто у технічних приладах використовують графік функції синус.

3. Результати досліджень групи «фізиків»

Що спільного між роботою маятника і графіком синусоїди?

Завдання.

Дослідити рух маятника та описати залежність періоду коливань від довжини та ваги маятника, порівняти роботу маятника з функцією синус.

Дослідження.

  •  Ми виготовили систему зв’язаних маятників.
  •  Змінюючи відношення довжин маятників спостерігали як впливають коливання одного маятника на інші.
  •  Встановили за яких умов явище резонансу проявляється найяскравіше.
  •  Досліджували як залежить період коливань від довжини та ваги маятника.
  •  Графічно зобразили роботу маятника.

Ось вони - результати!

з/п

Довжина маятника

Маса маятника

Період коливань

1

0,5

100

1,42

2

0,5

200

1,42

3

0,5

300

1,42

4

1

100

2,01

5

1

300

2,01

5

1

500

2,01

7

0,5

100

1,42

8

1

100

2,01

9

1,5

100

2,46

Формула розрахунків:

  •  Маятники зв’язаної системи обмінюються енергіями.
  •  Обмін відбувається повніше при рівній довжині маятників.
  •  Період коливання маятника залежить лише від його довжини.

Висновки.

  •  Природа формує свої закони мовою математики. (Г. Галілей)
  •  Всі коливні процеси математично можна виразити формулою:

І зобразити графічно:

 

4. Результати досліджень групи «астрономів»

Що спільного між рухом Сонця і функцією синуса?

Завдання.

Дослідіть рух Сонця по небесній сфері та опишіть залежність моменту заходу Сонця від дати на календарі.

Дослідження.

  •  За допомогою відривного календаря відмічаємо момент заходу Сонця на перше число кожного місяця року.
  •  Візьмемо за вісь абсцис середній час заходу Сонця – 18год.
  •  З’єднаємо отримані точки плавню лінією.

 

Висновок.

Множина даних точок розташована вздовж хвильової лінії – синусоїда.

5. Результати досліджень групи «медиків»

Біоритми у житті людини.

Мета роботи

  •  Вивчення біоритмів та їхнього значення у житті людини;
  •  Дослідити, як вони впливають на наш розумовий, фізичний та емоціональний стани.

Дослідження.

  •  Ми почали спостерігати за своїм емоціональним, розумовим та фізичним станом;
  •  Потім, розробили графіки циклів і порівнювали з даними спостережень.

Висновок

Графік біоритмів людини підлягає закону синусоїди. З його допомогою можна спланувати ефективну діяльність людини.

5. Результати досліджень групи «раціоналізаторів»

Незвичний спосіб отримання синусоїди

Завдання.

Доведіть, що при розрізі свічки, обгорнутої декілька раз листом паперу, під кутом 45˚, на краю паперу утвориться крива лінія – синусоїда.

Дослідження.

  1.  Обгорнути свічку декілька раз листом паперу;
  2.  Перерізати свічку похило гострим ножем;
  3.  Роз’єднати обидві половинки свічки;
  4.  Розгорнути папір.

Наслідок.

Утворилася крива лінія. Порівнявши її з графіком функції синусів, можна стверджувати, що це – синусоїда.

Чому отримана по краю паперу крива лінія дійсно синусоїда?

Побудуємо математичну модель цієї задачі. Для цього:

  1.  Візьмемо лист паперу прямокутної форми і накреслимо на ньому осі координат.

2 Згорнемо цей прямокутник в прямий круговий циліндр.

Доведення

Радіус основи приймемо за одиницю. Вісь Ох згорнеться в коло радіусом 1, а вісь Оу стане утворюючою циліндра. Через діаметр отриманого кола, який пр оходить через точку О, проведемо переріз під кутом 45˚ до площини круга. В такому випадку перерізом буде еліпс.

Візьмемо на еліпсі точку А. опустимо з неї перпендикуляри на площину круга і діаметр круга OD. Отримаємо відповідно точки В і С. АВС – прямокутний і рівнобедрений; так як <АВС=90˚, а <АСВ=45˚. Відповідно АВ=ВС.

За означенням синуса, ВС=sinx, де х – довжина дуги ОВ, так як ВС=АВ, то АВ=sinх.

Згорнемо циліндр знову в прямокутник, при цьому отримаємо криву, де х=ОВ, тобто ця крива є частиною синусоїди.

 

Де застосовують лінію синусоїди?

По дузі синусоїди з'єднують циліндричні труби під кутом одну до одної.

Учні діляться враженнями (Метод мікрофону).

Де можна ще побачити закономірність синусоїди в навколишньому світі у:

  •  техніків?
  •  фізиків
  •  астрономів?
  •  медицині (біології)?
  •  раціоналізаторів?

VI. Творче завдання.

Скласти блок-схему застосування функції синус та доповніть своїми спостереженнями із життя.

З життя: нива, море.

Географія: коливання (землетрус) кори нашої планети.

VII. Підсумок уроку.

Усюди в нашому житті ми зустрічаємось з коливальними рухами, починаючи від коливань маятника, ресора, струсів кузова автомобіля, чи вагона потяга до страшних, руйнівних коливань кори нашої планети; заводські труби і високі будівлі коливаються від вітру подібно до полотна ножівки, затисненого одним кінцем в лещатах. Правда, ці коливання не такі вже й великі. Амплітуда коливань Ейфелевої вежі у Парижі (300м висота) при сильному вітрі приблизно 50см.

Також можна спостерігати хвильові процеси: хвилі на морі, на хлібній ниві. І все це відбуваєтсья за законом синусоїди.

  1.  Підбиття підсумків роботи в групах (самооцінка)
  2.  Вибране підкреслити.

А) Чи кожен учень з групи зміг висунути свою пропозицію?

Так. Не зовсім. Ні.

Б) Чи все обговорили?

Так. Не зовсім. Ні.

В) Чи виконали задачу до кінця?

Так. Не зовсім. Ні.

2. Підбиття підсумків роботи учителем.

- Що на уроці було головним? Цікавим?

- Чого ви навчилися?

- Чим поповнили свої знання?

- Яка група швидко і правильно виконала завдання?

- Як працював клас? Окремі учні?

- Оцінки тим, хто захищав задачу, хто брав активну участь в обговоренні.

VIII. Домашнє завдання.

 Дослідіть рух Місяця від 1 листопада до 31 грудня (за допомогою календаря) і побудуйте графік зміни розмірів Місяця.

Література:

  1.  Бевз Г.П. Алгебра і початки аналізу 10-11. К.: Освіта, 2006. – 256с.
  2.  Стадник Л.Г., Гальперіна А.Р. Тематичне оцінювання. Математика. Х.: - Ранок «Веста», 2003. – 80с.
  3.  Смирнова И.М. Необычный способ получения синусоиды//Математика в школе – 1993. – №3. – 56-58с.
  4.  Коробов В.А. Изложения основных понятий теории колебаний и волн в рамках изучения тригонометрии//Математика в школе – 1989. - №3. – 114-118с.
  5.  Библиотечка «Квант». Выпуск 50. Занимательно о физике и математике. М.: Наука, 1988. – 142с.
  6.  Х.Шёнфельд (Кримичау, ФРГ). Что общего между заходом Солнца и функцией синус?//Математика в школе – 1993. – №2. – 75-77с.


у

д)

г)

х

х

х

х

х

у

у

у

у

в)

б)

а)

14

12

10

7

3

0

-7

-4

-2

х

у

Фізики

Техніки

Астрономи

Медики

Раціаналізатори

Робота маятника, хвилі, змінний струм, електрорушійна сила.

Ресори мешин, робота поршня, в літаках, осцилограф,

електорстанції, сейсмограф, карсіограф, коливальний контур.

Рух планет, рух Сонця, зміни пори року, зміна дня і ночі, рух Місяця.

Біоритми, дихання, робота серця.

З’єднання труби


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77017. Государственное управление как разновидность социального управления: понятие, содержание, задачи и функции, субъекты государственного управления 25.79 KB
  Государственное управление как разновидность социального управления: понятие содержание задачи и функции субъекты государственного управления. Государственное управление вид социального управления с функционированием которого связано формирование специальной отрасли права административного права. Также выделяют подвиды социального управления: 1 семейное социальное осуществляемое внутри семьи; 2 общественное социальное руководство отдельными организованными группами людей политическими партиями религиозными организациями и т....
77018. Разделение властей в Российской Федерации. Исполнительная власть: признаки, сущность, функции и механизм их осуществления 30.77 KB
  Исполнительная власть ветвь государственной власти представленная системой органов исполнительной власти осуществляющих государственное управление делами общества обеспечивая его поступательное развитие на основе законодательства РФ и самостоятельной реализации полномочий исполнительнораспорядительного характера.Первый признак исполнительной власти ее вторичность подчиненное положение зависимость от высшей власти.Второй признак исполнительной власти ее организующий характер. Их осуществляют органы исполнительной власти имеющие...
77019. Понятие и предмет административного права. Общественные отношения, регулируемые административным правом 24.55 KB
  Виды управленческих отношений регулируемых нормами административного права: По субъектному признаку: между соподчиненными субъектами государственного управления вертикальные отношения; между субъектами исполнительной власти не находящимися в состоянии соподчинения горизонтальные отношения; между субъектами исполнительной власти и исполнительными органами местного самоуправления; между субъектами исполнительной власти и общественными объединениями; между субъектами исполнительной власти и государственными служащими; между...
77020. Система и принципы административного права как отрасли российского права 29.07 KB
  Система и принципы административного права как отрасли российского права. Система отрасли административного права включающая в себя две основных подсистемы Общей и Особенной части которые в свою очередь можно подразделить и на меньшие подсистемы. Общая часть включает: 1 управление государственное управление исполнительные органы власти; 2 административное право как отрасль права научная отрасль знаний и учебная дисциплина; 3 субъекты административного права; 4 формы и методы осуществления деятельности органов исполнительной власти...
77021. Методы административного права 33.31 KB
  Метод административноправового регулирования это совокупность практических приемов способов и средств воздействия на общественные отношения составляющие предмет административно правового регулирования. Метод административноправового регулирования определяет: правовое положение сторон приемы и способы при помощи которых субъекты реализуют свои права и обязанности способы защиты сторонами своих прав судадм.порядок как возникают изменяются и прекращаются правоотношения защиты своих прав Признаки метода...
77022. Соотношение административного права со смежными отраслями российского права 27.14 KB
  Соотношение административного права со смежными отраслями российского права. Сущность административного права: является публичным правом призванным обеспечить публичный интерес регулируя отношения связанные с управлением общественными процессами; нормы административного права обеспечивают интересы общества государства коллективов права и интересы граждан и т. Взаимодействие с конституционным правом: конституционное право устанавливает исходные положения для всех отраслей права в том числе административного. На основании норм...
77023. Административное право как наука и учебная дисциплина 22.96 KB
  Предметом науки административного права является исследование законов закономерностей и особенностей в управленческой деятельности органов исполнительной власти органов государственного управления администраций органов МСУ их должностных лиц и осуществляемых при этом управленческих отношений в иных сферах эффективности административноправовых норм регулирующих эти отношения правоприменительной практики выявление свойств с целью их совершенствования. Дисциплина курса Административное право представляет собой систему которая...
77024. Понятие системы административно-правового регулирования 29.33 KB
  Понятие системы административно-правового регулирования. Система элементов механизма административно-правового регулирования представляет собой совокупность элементов и правовых средств взаимосвязанных и взаимозависимых и образуемых в информационно-правовое единство в целях упорядочивающего воздействия и устойчивого развития управленческих отношений в сфере деятельности органов исполнительной власти государственного управления администраций органов МСУ уполномоченных должностных лиц и иных регулируемых административными правовыми нормами...
77025. Нормы административного права: понятие, особенности, структура, виды и их характеристика 29.53 KB
  Нормы административного права: понятие особенности структура виды и их характеристика. Административно-правовая норма это мера должного или возможного допускаемого рекомендуемого поведения людей установленная государством и охраняемая специальными средствами...