58052

У світі синусоїдів. Урок дослідження. (Методом проектів)

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Доведено що будьяке періодичне коливання можна зобразити як суму синусоїдальних коливань. Частоти цих синусоїдальних коливань називають спектром складного коливання. Розкладання складного коливання на суму синусоїдальних коливань називають спектральним аналізом коливання. Спектральним аналізом коливань користуються для розрахунку різних конструкцій.

Украинкский

2014-05-21

724 KB

6 чел.

10 клас (алгебра)

Тема уроку. У світі синусоїдів.

Урок дослідження. (Методом проектів)

Мета уроку. Формування уміння застосовувати здобуті знання у нестандартних умовах, вчити їх аналізувати та систематизувати ті знання, які вони отримують на уроках і черпають з додаткової літератури, показати зв’язок алгебри з життям, міжпредметні зв’язки, дослідити закони синусоїди в навколишньому світі, розвивати уяву учнів, вчити спостерігати закономірності, робити висновки і виховувати любов до навколишнього світу.

Тип уроку. Урок систематизації і узагальнення знань.

 Напис на дошці:

«…Математика безмежно різноманітна як світ, і присутня, міститься в усьому.»

    М. П. Єругін.

Хід уроку

І. Організація класу.

ІІ. Актуалізація класу опорних знань.

Взаємоопитування учнів (Один з учнів ставить питання іншому, той дає відповідь і в свою чергу ставить питання слідуючому учню класу і т. д.)

--- Що називається функцією?

  •  Що називається синусом кута α?
  •  Що називається косинусом кута α?
  •  Що є графіком функціїї синус?
  •  Які функціїї називаються тригонометричними?
  •  Що є графіком функції синус?
  •  Що є графіком функції косинус?
  •  Що є графіком функції тангенс?
  •  Яку функцію називають парною?
  •  Яку функцію називають непарною?
  •  Які властивості функції y=sin x; у=соs x?

Усні вправи.

1. Які з графіків, зображених на малюнку є графіками функцій? Чому?

2. Для функції, графік якої зображено на малюнку, знайти:

  1.  Проміжки зростання, спадання;
  2.  Значення аргументу, при яких значення функції дорівнює нулю;
  3.  Проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень;

ІІІ. Мотивація навчання.

Зима за літом, ніч за днем

Плюс змінюється мінусом,

Все у природі і в людей

Йде за законом синуса.

Ряди везінь і невезінь:

То зверху, то насподі ми

Із березоля в березіль

Виходимо й приходимо

Гріхопадіння й каяття,

І нищення і творення.

Проста гармонія буття

Повторення й повторення

То вверх крокуємо то вниз,

Удачі за невдачами,

По синусоїді кудись

Всі пливемо неначе ми.

Г.П. Бевз

Отже, сьогодні на уроці ми побуваємо в чарівному світі гармонії і краси – у світі синусоїди. Намагатимемось показати, що ми всі живемо за законами функції синуса, навколо нас оточує багато речей, які підвладні цим законам.

На цьому уроці ми познайомимося з результатами ваших досліджень, які ви оформили у вигляді презентацій.

(учні записують тему уроку)

IV. Історична довідка

 

Учень. Тригонометрія має велике практичне значення, зокрема, для розв’язання задач на знаходження площ і об’ємів, на додавання і розкладання сил, на знаходження віддалей до недоступних предметів тощо. Вона широко застосовується в механіці, топографії, астрономії. Велике значення має тригонометрія також у навігаційній справі, бо й тут неабияку роль відіграють вимірювання на поверхні Землі.

 Першим графіком тригонометричної функції, що з’явився в друкованих публікаціях, була синусоїда, розміщена в одному з творів французького математика Жиля Персона де Роберваля. Цей графік був накреслений в кінці 30-х років 17ст. Подальший розвиток тригонометрії тісно пов’язаний з іменем Леонарда Ейлера.

Доведено, що будь-яке періодичне коливання можна зобразити як суму синусоїдальних коливань. Частоти цих синусоїдальних коливань називають спектром складного коливання. Розкладання складного коливання на суму синусоїдальних коливань називають спектральним аналізом коливання.

Спектральним аналізом коливань користуються для розрахунку різних конструкцій. При цьому стежать, щоб частота, наприклад, кожного з складових синусоїдальних коливань літака, спричинених роботою мотора, не збігалася з власною частотою коливань якої-небудб деталі літака, тобто щоб не

було резонансу, який може призвести до аварії.

V. Творче застосування узагальнених навичок та вмінь.

А зараз ми з вами пригадаємо ті завдання, які я поставила перед вами на уроці за 3 тижні до цього уроку.

 1. Ознайомлення учнів із завданням проекту.

Перегляд учнями вчительської презентації.

Вчитель. Друзі!

  •  Чи помічали ви красу синусоїди в нашому світі?
  •  Чи хотіли б ви дослідити її разом з нами?
  •  Якщо так, то запршуємо вас стати учасниками нашого проекту!

Метою нашого проекту буде:

  •  Провести дослідження;
  •  Зібрати та представити результати досліджень;
  •  Проаналізувати;
  •  Застосувати висновки до життєвих ситуацій.

Завдання.

  •  Прочитати запропоновану літературу;
  •  Об’єднатися в групи: техніків, фізиків, астрономів, медиків, раціоналізаторів.

У кожній групі виберіть інформатика та журналіста.

  •  Дослідіть, чи дійсно можна спостерігати гармонічність синусоїди у кожному з видів наук;
  •  Результати оформіть у вигляді презентацій.    

Учні, які виконають завдання, отримають приз - додатковий бал за тему.

Бажаю успіхів в творчій роботі!

А зараз кожна група продемонстує результати своїх досліджень. В кінці кожного виступу учні задають питання доповідачу.

 2. Результати досліджень групи «техніків»

 Учень від групи «техніків» презентує результати їх дослідження.

Як користуються у техніці функцією синус?

Які прилади існують в техніці для дослідження коливальних процесів?

  •  Осцилограф – для дослідження електромагнітних коливань
  •  Сейсмограф – для запису коливань земної кори.

Наслідок:

Спокій –

Землетрус –

  •  Кардіограф для запису роботи серця людини:

здорової –

хворої –

  •  Коливальний контур застосовується в радіоприймачах, телевізорах, мобільних телефонах, в супутниковому зв’язку.

Що у фізиці змінюється по синусоїдальному закону?

  1.  Змінний струм синусоїдальний, тобто сила струму в кожній ділянці ланцюга змінюється по синусоїдальному закону І=І0sin(wt+µ), де

І0 – амплітуда струму

 w – циклічна частота

 µ - початкова фаза.

  1.  ЕРС (електрорушійна сила) ланцюга також змінюється по синусоїдальному закону

Значення синусоїдних коливань в літаку

При русі літака потрібно стежити, щоб частота синусоїдних коливань літака, спричинена роботою мотора, не збігались з частотою якою-небудь деталі літака.

До чого може призвести збігання синусоїд?

Резонанс синусоїдних коливань літака може призвести до аварії.

Висновок.

Досить часто у технічних приладах використовують графік функції синус.

3. Результати досліджень групи «фізиків»

Що спільного між роботою маятника і графіком синусоїди?

Завдання.

Дослідити рух маятника та описати залежність періоду коливань від довжини та ваги маятника, порівняти роботу маятника з функцією синус.

Дослідження.

  •  Ми виготовили систему зв’язаних маятників.
  •  Змінюючи відношення довжин маятників спостерігали як впливають коливання одного маятника на інші.
  •  Встановили за яких умов явище резонансу проявляється найяскравіше.
  •  Досліджували як залежить період коливань від довжини та ваги маятника.
  •  Графічно зобразили роботу маятника.

Ось вони - результати!

з/п

Довжина маятника

Маса маятника

Період коливань

1

0,5

100

1,42

2

0,5

200

1,42

3

0,5

300

1,42

4

1

100

2,01

5

1

300

2,01

5

1

500

2,01

7

0,5

100

1,42

8

1

100

2,01

9

1,5

100

2,46

Формула розрахунків:

  •  Маятники зв’язаної системи обмінюються енергіями.
  •  Обмін відбувається повніше при рівній довжині маятників.
  •  Період коливання маятника залежить лише від його довжини.

Висновки.

  •  Природа формує свої закони мовою математики. (Г. Галілей)
  •  Всі коливні процеси математично можна виразити формулою:

І зобразити графічно:

 

4. Результати досліджень групи «астрономів»

Що спільного між рухом Сонця і функцією синуса?

Завдання.

Дослідіть рух Сонця по небесній сфері та опишіть залежність моменту заходу Сонця від дати на календарі.

Дослідження.

  •  За допомогою відривного календаря відмічаємо момент заходу Сонця на перше число кожного місяця року.
  •  Візьмемо за вісь абсцис середній час заходу Сонця – 18год.
  •  З’єднаємо отримані точки плавню лінією.

 

Висновок.

Множина даних точок розташована вздовж хвильової лінії – синусоїда.

5. Результати досліджень групи «медиків»

Біоритми у житті людини.

Мета роботи

  •  Вивчення біоритмів та їхнього значення у житті людини;
  •  Дослідити, як вони впливають на наш розумовий, фізичний та емоціональний стани.

Дослідження.

  •  Ми почали спостерігати за своїм емоціональним, розумовим та фізичним станом;
  •  Потім, розробили графіки циклів і порівнювали з даними спостережень.

Висновок

Графік біоритмів людини підлягає закону синусоїди. З його допомогою можна спланувати ефективну діяльність людини.

5. Результати досліджень групи «раціоналізаторів»

Незвичний спосіб отримання синусоїди

Завдання.

Доведіть, що при розрізі свічки, обгорнутої декілька раз листом паперу, під кутом 45˚, на краю паперу утвориться крива лінія – синусоїда.

Дослідження.

  1.  Обгорнути свічку декілька раз листом паперу;
  2.  Перерізати свічку похило гострим ножем;
  3.  Роз’єднати обидві половинки свічки;
  4.  Розгорнути папір.

Наслідок.

Утворилася крива лінія. Порівнявши її з графіком функції синусів, можна стверджувати, що це – синусоїда.

Чому отримана по краю паперу крива лінія дійсно синусоїда?

Побудуємо математичну модель цієї задачі. Для цього:

  1.  Візьмемо лист паперу прямокутної форми і накреслимо на ньому осі координат.

2 Згорнемо цей прямокутник в прямий круговий циліндр.

Доведення

Радіус основи приймемо за одиницю. Вісь Ох згорнеться в коло радіусом 1, а вісь Оу стане утворюючою циліндра. Через діаметр отриманого кола, який пр оходить через точку О, проведемо переріз під кутом 45˚ до площини круга. В такому випадку перерізом буде еліпс.

Візьмемо на еліпсі точку А. опустимо з неї перпендикуляри на площину круга і діаметр круга OD. Отримаємо відповідно точки В і С. АВС – прямокутний і рівнобедрений; так як <АВС=90˚, а <АСВ=45˚. Відповідно АВ=ВС.

За означенням синуса, ВС=sinx, де х – довжина дуги ОВ, так як ВС=АВ, то АВ=sinх.

Згорнемо циліндр знову в прямокутник, при цьому отримаємо криву, де х=ОВ, тобто ця крива є частиною синусоїди.

 

Де застосовують лінію синусоїди?

По дузі синусоїди з'єднують циліндричні труби під кутом одну до одної.

Учні діляться враженнями (Метод мікрофону).

Де можна ще побачити закономірність синусоїди в навколишньому світі у:

  •  техніків?
  •  фізиків
  •  астрономів?
  •  медицині (біології)?
  •  раціоналізаторів?

VI. Творче завдання.

Скласти блок-схему застосування функції синус та доповніть своїми спостереженнями із життя.

З життя: нива, море.

Географія: коливання (землетрус) кори нашої планети.

VII. Підсумок уроку.

Усюди в нашому житті ми зустрічаємось з коливальними рухами, починаючи від коливань маятника, ресора, струсів кузова автомобіля, чи вагона потяга до страшних, руйнівних коливань кори нашої планети; заводські труби і високі будівлі коливаються від вітру подібно до полотна ножівки, затисненого одним кінцем в лещатах. Правда, ці коливання не такі вже й великі. Амплітуда коливань Ейфелевої вежі у Парижі (300м висота) при сильному вітрі приблизно 50см.

Також можна спостерігати хвильові процеси: хвилі на морі, на хлібній ниві. І все це відбуваєтсья за законом синусоїди.

  1.  Підбиття підсумків роботи в групах (самооцінка)
  2.  Вибране підкреслити.

А) Чи кожен учень з групи зміг висунути свою пропозицію?

Так. Не зовсім. Ні.

Б) Чи все обговорили?

Так. Не зовсім. Ні.

В) Чи виконали задачу до кінця?

Так. Не зовсім. Ні.

2. Підбиття підсумків роботи учителем.

- Що на уроці було головним? Цікавим?

- Чого ви навчилися?

- Чим поповнили свої знання?

- Яка група швидко і правильно виконала завдання?

- Як працював клас? Окремі учні?

- Оцінки тим, хто захищав задачу, хто брав активну участь в обговоренні.

VIII. Домашнє завдання.

 Дослідіть рух Місяця від 1 листопада до 31 грудня (за допомогою календаря) і побудуйте графік зміни розмірів Місяця.

Література:

  1.  Бевз Г.П. Алгебра і початки аналізу 10-11. К.: Освіта, 2006. – 256с.
  2.  Стадник Л.Г., Гальперіна А.Р. Тематичне оцінювання. Математика. Х.: - Ранок «Веста», 2003. – 80с.
  3.  Смирнова И.М. Необычный способ получения синусоиды//Математика в школе – 1993. – №3. – 56-58с.
  4.  Коробов В.А. Изложения основных понятий теории колебаний и волн в рамках изучения тригонометрии//Математика в школе – 1989. - №3. – 114-118с.
  5.  Библиотечка «Квант». Выпуск 50. Занимательно о физике и математике. М.: Наука, 1988. – 142с.
  6.  Х.Шёнфельд (Кримичау, ФРГ). Что общего между заходом Солнца и функцией синус?//Математика в школе – 1993. – №2. – 75-77с.


у

д)

г)

х

х

х

х

х

у

у

у

у

в)

б)

а)

14

12

10

7

3

0

-7

-4

-2

х

у

Фізики

Техніки

Астрономи

Медики

Раціаналізатори

Робота маятника, хвилі, змінний струм, електрорушійна сила.

Ресори мешин, робота поршня, в літаках, осцилограф,

електорстанції, сейсмограф, карсіограф, коливальний контур.

Рух планет, рух Сонця, зміни пори року, зміна дня і ночі, рух Місяця.

Біоритми, дихання, робота серця.

З’єднання труби


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77359. Средства визуальной поддержки процесса распараллеливания последовательных программ 187 KB
  Одной из важных задач поддержки и организации супервычислений является задача распараллеливания огромных объемов прокладных программ, созданных в предшествующую эпоху для последовательных ЭВМ. Эти программы успешно решали задачи математической физики, моделирования химических процессов, небесной механики и др. После появления современных параллельных вычислителей с 1000 и 10 000 процессоров встает проблема превращения надежных и проверенных кодов в эффективные и мобильные параллельные программы.
77360. Параллельный рендеринг воксельной графики 27.5 KB
  В данной статье описывается разработка средств распараллеливание воксельной графики используемой для представления больших объемов данных получаемых в результате компьютерного моделирования сложных процессов. Обычно данных представляются в виде 3х мерного массива. Затем вычисляется ближайшая точка пересечения этого луча с областью данных параллелограммом. После этого алгоритм движется по трёхмерному массиву данных с шагом в одну ячейку до попадания в не пустую точку.
77361. Вопросы выбора архитектуры интерактивного взаимодействия с параллельными программами 120 KB
  озможность интерактивного взаимодействия с суперкомпьютерной программой при проведении расчётов по сравнению с пакетной обработкой задач может существенно повысить эффективность труда исследователя. Однако организация такого взаимодействия сопряжена с рядом трудностей связанных с устоявшейся методикой программирования и проведения расчётов. Один из ключевых моментов построения такого взаимодействия выбор правил и принципов построения связи со счетными программами.
77362. DATAFLOW-BASED DISTRIBUTED COMPUTING SYSTEM 39.5 KB
  The method is bsed on the following concepts: storge tsk nd rule. Storge stores nmed dt on which three opertions could be pplied crete write red nd delete. Every item in the storge is selfsufficient nd contins dt some metinformtion nd hs unique nme. The term tsk identifies the progrm which could red dt with specific nmes from the storge nd generte new dt items which will be written into the storge s result of tsk execution.
77363. ПОИСК НОВЫХ ПОДХОДОВ К ВИЗУАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ 33 KB
  Важная проблема разработки систем компьютерной визуализации связана с выбором методов представления данных возникающих в связи с описанием сложных процессов. Такие подходы появляются в различных областях компьютерной визуализации см. Нужен дополнительный поиск более простых метафор визуализации позволяющих более эффективно анализировать абстрактные данные.
77364. Применение алгоритмов распознавания образов с целью захвата жестовых языков без применения маркирующих устройств 23.5 KB
  В этой работе рассматривается возможность построения системы на базе принципов захвата движения для распознавания жестовых языков обладающих большим количеством знаков. В этой связи важным является изучение современных алгоритмов распознавания образов. Проведен анализ ряда алгоритмов преобразования изображений применяемых в области распознавания образов а также их комбинации для эффективности решения поставленной задачи.
77365. VISUAL SUPPORTING OF PROGRAM PARALLELIZING 26 KB
  We have developed the simple prototype of the system to support visually the parallelizing process. The prototype is realized twofold. One of the realizations has to deal with parallelism of Massage Passing paradigm; another has to deal with Shared Memory parallelization. That is our system works with MPI and OpenMP programs.
77366. ПРОЕКТ СРЕДЫ РАЗРАБОТКИ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ ВИЗУАЛИЗАЦИИ 39.5 KB
  Средства визуализации результатов численного моделирования можно разделить на три класса: Универсальные системы визуализации способные отображать большое многообразие визуальных объектов. Специализированные системы визуализации предметной области вычислительного эксперимента или специфических визуальных сущностей. Специализированные системы визуализации созданные специально для данного исследовательского проекта или даже конкретного пользователя.
77367. РАЗРАБОТКА СРЕДСТВ ВИЗУАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СЕТОК 26 KB
  В настоящее время для визуализации сеток на этапе генерации используются средства разработанного в коллективе конструктора специализированных систем визуализации. Для визуализации сеток больших объемов проводится экспериментальная разработка по реализации параллельного программного воксельного рендеринга с применением графических ускорителей. Продолжаются исследования и опытные разработки по применению виртуальной реальности для визуализации сеточных данных. Система интерактивной визуализации параллельных вычислений 14я Международная...