58052

У світі синусоїдів. Урок дослідження. (Методом проектів)

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Доведено що будьяке періодичне коливання можна зобразити як суму синусоїдальних коливань. Частоти цих синусоїдальних коливань називають спектром складного коливання. Розкладання складного коливання на суму синусоїдальних коливань називають спектральним аналізом коливання. Спектральним аналізом коливань користуються для розрахунку різних конструкцій.

Украинкский

2014-05-21

724 KB

7 чел.

10 клас (алгебра)

Тема уроку. У світі синусоїдів.

Урок дослідження. (Методом проектів)

Мета уроку. Формування уміння застосовувати здобуті знання у нестандартних умовах, вчити їх аналізувати та систематизувати ті знання, які вони отримують на уроках і черпають з додаткової літератури, показати зв’язок алгебри з життям, міжпредметні зв’язки, дослідити закони синусоїди в навколишньому світі, розвивати уяву учнів, вчити спостерігати закономірності, робити висновки і виховувати любов до навколишнього світу.

Тип уроку. Урок систематизації і узагальнення знань.

 Напис на дошці:

«…Математика безмежно різноманітна як світ, і присутня, міститься в усьому.»

    М. П. Єругін.

Хід уроку

І. Організація класу.

ІІ. Актуалізація класу опорних знань.

Взаємоопитування учнів (Один з учнів ставить питання іншому, той дає відповідь і в свою чергу ставить питання слідуючому учню класу і т. д.)

--- Що називається функцією?

  •  Що називається синусом кута α?
  •  Що називається косинусом кута α?
  •  Що є графіком функціїї синус?
  •  Які функціїї називаються тригонометричними?
  •  Що є графіком функції синус?
  •  Що є графіком функції косинус?
  •  Що є графіком функції тангенс?
  •  Яку функцію називають парною?
  •  Яку функцію називають непарною?
  •  Які властивості функції y=sin x; у=соs x?

Усні вправи.

1. Які з графіків, зображених на малюнку є графіками функцій? Чому?

2. Для функції, графік якої зображено на малюнку, знайти:

  1.  Проміжки зростання, спадання;
  2.  Значення аргументу, при яких значення функції дорівнює нулю;
  3.  Проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень;

ІІІ. Мотивація навчання.

Зима за літом, ніч за днем

Плюс змінюється мінусом,

Все у природі і в людей

Йде за законом синуса.

Ряди везінь і невезінь:

То зверху, то насподі ми

Із березоля в березіль

Виходимо й приходимо

Гріхопадіння й каяття,

І нищення і творення.

Проста гармонія буття

Повторення й повторення

То вверх крокуємо то вниз,

Удачі за невдачами,

По синусоїді кудись

Всі пливемо неначе ми.

Г.П. Бевз

Отже, сьогодні на уроці ми побуваємо в чарівному світі гармонії і краси – у світі синусоїди. Намагатимемось показати, що ми всі живемо за законами функції синуса, навколо нас оточує багато речей, які підвладні цим законам.

На цьому уроці ми познайомимося з результатами ваших досліджень, які ви оформили у вигляді презентацій.

(учні записують тему уроку)

IV. Історична довідка

 

Учень. Тригонометрія має велике практичне значення, зокрема, для розв’язання задач на знаходження площ і об’ємів, на додавання і розкладання сил, на знаходження віддалей до недоступних предметів тощо. Вона широко застосовується в механіці, топографії, астрономії. Велике значення має тригонометрія також у навігаційній справі, бо й тут неабияку роль відіграють вимірювання на поверхні Землі.

 Першим графіком тригонометричної функції, що з’явився в друкованих публікаціях, була синусоїда, розміщена в одному з творів французького математика Жиля Персона де Роберваля. Цей графік був накреслений в кінці 30-х років 17ст. Подальший розвиток тригонометрії тісно пов’язаний з іменем Леонарда Ейлера.

Доведено, що будь-яке періодичне коливання можна зобразити як суму синусоїдальних коливань. Частоти цих синусоїдальних коливань називають спектром складного коливання. Розкладання складного коливання на суму синусоїдальних коливань називають спектральним аналізом коливання.

Спектральним аналізом коливань користуються для розрахунку різних конструкцій. При цьому стежать, щоб частота, наприклад, кожного з складових синусоїдальних коливань літака, спричинених роботою мотора, не збігалася з власною частотою коливань якої-небудб деталі літака, тобто щоб не

було резонансу, який може призвести до аварії.

V. Творче застосування узагальнених навичок та вмінь.

А зараз ми з вами пригадаємо ті завдання, які я поставила перед вами на уроці за 3 тижні до цього уроку.

 1. Ознайомлення учнів із завданням проекту.

Перегляд учнями вчительської презентації.

Вчитель. Друзі!

  •  Чи помічали ви красу синусоїди в нашому світі?
  •  Чи хотіли б ви дослідити її разом з нами?
  •  Якщо так, то запршуємо вас стати учасниками нашого проекту!

Метою нашого проекту буде:

  •  Провести дослідження;
  •  Зібрати та представити результати досліджень;
  •  Проаналізувати;
  •  Застосувати висновки до життєвих ситуацій.

Завдання.

  •  Прочитати запропоновану літературу;
  •  Об’єднатися в групи: техніків, фізиків, астрономів, медиків, раціоналізаторів.

У кожній групі виберіть інформатика та журналіста.

  •  Дослідіть, чи дійсно можна спостерігати гармонічність синусоїди у кожному з видів наук;
  •  Результати оформіть у вигляді презентацій.    

Учні, які виконають завдання, отримають приз - додатковий бал за тему.

Бажаю успіхів в творчій роботі!

А зараз кожна група продемонстує результати своїх досліджень. В кінці кожного виступу учні задають питання доповідачу.

 2. Результати досліджень групи «техніків»

 Учень від групи «техніків» презентує результати їх дослідження.

Як користуються у техніці функцією синус?

Які прилади існують в техніці для дослідження коливальних процесів?

  •  Осцилограф – для дослідження електромагнітних коливань
  •  Сейсмограф – для запису коливань земної кори.

Наслідок:

Спокій –

Землетрус –

  •  Кардіограф для запису роботи серця людини:

здорової –

хворої –

  •  Коливальний контур застосовується в радіоприймачах, телевізорах, мобільних телефонах, в супутниковому зв’язку.

Що у фізиці змінюється по синусоїдальному закону?

  1.  Змінний струм синусоїдальний, тобто сила струму в кожній ділянці ланцюга змінюється по синусоїдальному закону І=І0sin(wt+µ), де

І0 – амплітуда струму

 w – циклічна частота

 µ - початкова фаза.

  1.  ЕРС (електрорушійна сила) ланцюга також змінюється по синусоїдальному закону

Значення синусоїдних коливань в літаку

При русі літака потрібно стежити, щоб частота синусоїдних коливань літака, спричинена роботою мотора, не збігались з частотою якою-небудь деталі літака.

До чого може призвести збігання синусоїд?

Резонанс синусоїдних коливань літака може призвести до аварії.

Висновок.

Досить часто у технічних приладах використовують графік функції синус.

3. Результати досліджень групи «фізиків»

Що спільного між роботою маятника і графіком синусоїди?

Завдання.

Дослідити рух маятника та описати залежність періоду коливань від довжини та ваги маятника, порівняти роботу маятника з функцією синус.

Дослідження.

  •  Ми виготовили систему зв’язаних маятників.
  •  Змінюючи відношення довжин маятників спостерігали як впливають коливання одного маятника на інші.
  •  Встановили за яких умов явище резонансу проявляється найяскравіше.
  •  Досліджували як залежить період коливань від довжини та ваги маятника.
  •  Графічно зобразили роботу маятника.

Ось вони - результати!

з/п

Довжина маятника

Маса маятника

Період коливань

1

0,5

100

1,42

2

0,5

200

1,42

3

0,5

300

1,42

4

1

100

2,01

5

1

300

2,01

5

1

500

2,01

7

0,5

100

1,42

8

1

100

2,01

9

1,5

100

2,46

Формула розрахунків:

  •  Маятники зв’язаної системи обмінюються енергіями.
  •  Обмін відбувається повніше при рівній довжині маятників.
  •  Період коливання маятника залежить лише від його довжини.

Висновки.

  •  Природа формує свої закони мовою математики. (Г. Галілей)
  •  Всі коливні процеси математично можна виразити формулою:

І зобразити графічно:

 

4. Результати досліджень групи «астрономів»

Що спільного між рухом Сонця і функцією синуса?

Завдання.

Дослідіть рух Сонця по небесній сфері та опишіть залежність моменту заходу Сонця від дати на календарі.

Дослідження.

  •  За допомогою відривного календаря відмічаємо момент заходу Сонця на перше число кожного місяця року.
  •  Візьмемо за вісь абсцис середній час заходу Сонця – 18год.
  •  З’єднаємо отримані точки плавню лінією.

 

Висновок.

Множина даних точок розташована вздовж хвильової лінії – синусоїда.

5. Результати досліджень групи «медиків»

Біоритми у житті людини.

Мета роботи

  •  Вивчення біоритмів та їхнього значення у житті людини;
  •  Дослідити, як вони впливають на наш розумовий, фізичний та емоціональний стани.

Дослідження.

  •  Ми почали спостерігати за своїм емоціональним, розумовим та фізичним станом;
  •  Потім, розробили графіки циклів і порівнювали з даними спостережень.

Висновок

Графік біоритмів людини підлягає закону синусоїди. З його допомогою можна спланувати ефективну діяльність людини.

5. Результати досліджень групи «раціоналізаторів»

Незвичний спосіб отримання синусоїди

Завдання.

Доведіть, що при розрізі свічки, обгорнутої декілька раз листом паперу, під кутом 45˚, на краю паперу утвориться крива лінія – синусоїда.

Дослідження.

  1.  Обгорнути свічку декілька раз листом паперу;
  2.  Перерізати свічку похило гострим ножем;
  3.  Роз’єднати обидві половинки свічки;
  4.  Розгорнути папір.

Наслідок.

Утворилася крива лінія. Порівнявши її з графіком функції синусів, можна стверджувати, що це – синусоїда.

Чому отримана по краю паперу крива лінія дійсно синусоїда?

Побудуємо математичну модель цієї задачі. Для цього:

  1.  Візьмемо лист паперу прямокутної форми і накреслимо на ньому осі координат.

2 Згорнемо цей прямокутник в прямий круговий циліндр.

Доведення

Радіус основи приймемо за одиницю. Вісь Ох згорнеться в коло радіусом 1, а вісь Оу стане утворюючою циліндра. Через діаметр отриманого кола, який пр оходить через точку О, проведемо переріз під кутом 45˚ до площини круга. В такому випадку перерізом буде еліпс.

Візьмемо на еліпсі точку А. опустимо з неї перпендикуляри на площину круга і діаметр круга OD. Отримаємо відповідно точки В і С. АВС – прямокутний і рівнобедрений; так як <АВС=90˚, а <АСВ=45˚. Відповідно АВ=ВС.

За означенням синуса, ВС=sinx, де х – довжина дуги ОВ, так як ВС=АВ, то АВ=sinх.

Згорнемо циліндр знову в прямокутник, при цьому отримаємо криву, де х=ОВ, тобто ця крива є частиною синусоїди.

 

Де застосовують лінію синусоїди?

По дузі синусоїди з'єднують циліндричні труби під кутом одну до одної.

Учні діляться враженнями (Метод мікрофону).

Де можна ще побачити закономірність синусоїди в навколишньому світі у:

  •  техніків?
  •  фізиків
  •  астрономів?
  •  медицині (біології)?
  •  раціоналізаторів?

VI. Творче завдання.

Скласти блок-схему застосування функції синус та доповніть своїми спостереженнями із життя.

З життя: нива, море.

Географія: коливання (землетрус) кори нашої планети.

VII. Підсумок уроку.

Усюди в нашому житті ми зустрічаємось з коливальними рухами, починаючи від коливань маятника, ресора, струсів кузова автомобіля, чи вагона потяга до страшних, руйнівних коливань кори нашої планети; заводські труби і високі будівлі коливаються від вітру подібно до полотна ножівки, затисненого одним кінцем в лещатах. Правда, ці коливання не такі вже й великі. Амплітуда коливань Ейфелевої вежі у Парижі (300м висота) при сильному вітрі приблизно 50см.

Також можна спостерігати хвильові процеси: хвилі на морі, на хлібній ниві. І все це відбуваєтсья за законом синусоїди.

  1.  Підбиття підсумків роботи в групах (самооцінка)
  2.  Вибране підкреслити.

А) Чи кожен учень з групи зміг висунути свою пропозицію?

Так. Не зовсім. Ні.

Б) Чи все обговорили?

Так. Не зовсім. Ні.

В) Чи виконали задачу до кінця?

Так. Не зовсім. Ні.

2. Підбиття підсумків роботи учителем.

- Що на уроці було головним? Цікавим?

- Чого ви навчилися?

- Чим поповнили свої знання?

- Яка група швидко і правильно виконала завдання?

- Як працював клас? Окремі учні?

- Оцінки тим, хто захищав задачу, хто брав активну участь в обговоренні.

VIII. Домашнє завдання.

 Дослідіть рух Місяця від 1 листопада до 31 грудня (за допомогою календаря) і побудуйте графік зміни розмірів Місяця.

Література:

  1.  Бевз Г.П. Алгебра і початки аналізу 10-11. К.: Освіта, 2006. – 256с.
  2.  Стадник Л.Г., Гальперіна А.Р. Тематичне оцінювання. Математика. Х.: - Ранок «Веста», 2003. – 80с.
  3.  Смирнова И.М. Необычный способ получения синусоиды//Математика в школе – 1993. – №3. – 56-58с.
  4.  Коробов В.А. Изложения основных понятий теории колебаний и волн в рамках изучения тригонометрии//Математика в школе – 1989. - №3. – 114-118с.
  5.  Библиотечка «Квант». Выпуск 50. Занимательно о физике и математике. М.: Наука, 1988. – 142с.
  6.  Х.Шёнфельд (Кримичау, ФРГ). Что общего между заходом Солнца и функцией синус?//Математика в школе – 1993. – №2. – 75-77с.


у

д)

г)

х

х

х

х

х

у

у

у

у

в)

б)

а)

14

12

10

7

3

0

-7

-4

-2

х

у

Фізики

Техніки

Астрономи

Медики

Раціаналізатори

Робота маятника, хвилі, змінний струм, електрорушійна сила.

Ресори мешин, робота поршня, в літаках, осцилограф,

електорстанції, сейсмограф, карсіограф, коливальний контур.

Рух планет, рух Сонця, зміни пори року, зміна дня і ночі, рух Місяця.

Біоритми, дихання, робота серця.

З’єднання труби


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45104. London 13.53 KB
  London is the capital of the Great Britain. Population of London is about 8 million people. It’s one of the largest cities in the world. It’s one of the most important commercial, cultural and political centers in the world
45105. Police 12.84 KB
  Police is the gency of community or government tht is responsible for mintining public order preventing nd detecting crime. The bsic police mission preserving order by enforcing rules of conduct lws. The conception of the police force s protective nd lw enforcement orgniztion developed from the use of militry bodies s gurdins of pece such s the Pretorin Gurd bodygurd of the ncient Romn Emperors.
45106. Ural State Law Academy and study work 27.5 KB
  Im second yer student of the Url Stte Lw cdemy. Now I wnt to tell some words bout the history our cdemy. The Lw cdemy is one of the biggest higher eductionl institutions in our country. Now it is clled the Url Stte Lw cdemy.
45107. Judicial system of the Russian Federation 27 KB
  Usully these tke the form of hierrchy of courts. In Russi there re bout 14000 judges in 2500 courts of generl jurisdiction on vrious levels. There re courts of first nd second instnce. court of second instnce is one which exmines ppels nd protests ginst sentences nd decisions of courts of first instnce.
45108. The Russian Federation 16.87 KB
  The country is multintion stte. Stte structure The Russin Federtion is democrtic federl stte with republicn form of power. The Hed of Stte is president. The stte emblems re two heded egle three colored flg with: white red nd blue stripes.
45109. The Ural State Law Academy 15.26 KB
  Lter it ws reorgnized into the Siberin Institute of Soviet Lw. In 1934 the Institute moved into Sverdlovsk got the nme of the Sverdlovsk Institute of Lw nd bore this nme till 1992 Now it is clled the Urls Stte Lw cdemy. Till 1976 there ws only one fculty t the Sverdlovsk Lw Institute the Lw fculty. The cdemy hs three Institutes t the dy deprtment: the Institute of the Prosecutors Office the Institute of Justice nd the Institute of Business nd Lw.
45111. English is a world language 15.09 KB
  English hs become world lnguge becuse of its estblishment s mother tongue outside Englnd. English hs lredy become world lnguge by virtue of the politicl nd economic ntions. People who spek English fll into one of three groups: who hve lerned it s their ntive lnguge; those who hve lerned it s second lnguge in society tht is minly bilingul; nd those who re forced to use it for prticulr purpose dministrtive professionl or eductionl.