58095

Эконометрика. Шпора

Шпаргалка

Экономическая теория и математическое моделирование

Алгоритм теста Голдфелда-Квандта на наличие (отсутствие) гетероскедастичности случайных возмущений. Алгоритм теста Дарбина-Уотсона на наличие (отсутствие) автокорреляции случайных возмущений. Гетероскедастичность случайного возмущения. Причины. Динамическая модель из одновременных линейных уравнений (привести пример).

Русский

2014-05-26

485.8 KB

65 чел.

  1.  Автокорреляция случайного возмущения. Причины. Последствия.

Модель называется автокоррелированной, если не выполняется третья предпосылка теоремы Гаусса-Маркова: Cov(ui,uj)≠0 при i≠j. Те между ними есть зависимость.

Есть положительная автокорреляция, где за положительным отклонением следует положительное, за отрицательным – отрицательное. Отрицательная автокорреляция - за положительным чаще всего следует отрицательное.

Автокорреляция чаще всего появляется в моделях временных рядов и моделировании циклических процессов

Причина – неправильный выбор спецификации модели.

Последствия автокорреляции

- оценки коэффициентов теряют эффективность;

- стандартные ошибки коэффициентов занижены

Типы автокорреляции

Модели с автокоррелированными остатками называются авторегрессионными. Рассматриваем модель парной регрессии,

Авторегрессия 1-го порядка: AR(1)

Авторегрессия 5-го порядка: AR(5)

Автокорреляция скользящих средних 3-го порядка:


  1.  Алгоритм проверки адекватности парной регрессионной модели.

Адекватность – возможность получения результата с удовлетворительной точностью. Применительно к построению эконометрических моделей  под точностью результата понимается абсолютное значение разности между прогнозом, полученным с помощью модели и реальным значением эндогенной переменной. Модель считается адекватной, если эта разность не превосходит некоторого наперед заданного.

1.Вся имеющаяся в распоряжении выборка наблюдений делится на две неравные части: обучающую и контролирующую. Обучающая выборка включает основную (большую) часть наблюдений. Контролирующая выборка содержит до 5% от общего объема выборки

2.По обучающей выборке оценивается модель (рассчитываются оценки параметров модели и их стандартные ошибки).

3.Задается значение доверительной вероятности Рдов =1-α и определяется критическое значение дроби Стьюдента tкрит

4.Для каждой «точки» из контролирующей выборки по известным значениям экзогенных переменных строится доверительный интервал прогнозного значения эндогенной переменной.

5.Проверяется, попадает ли соответствующее значение эндогенной переменной внутрь полученного.

Пункты 5 и 6 проводятся для каждой точки выборки персонально!

Вывод. Если все значения эндогенных переменных из контрольной выборки накрываются соответствующими доверительными интервалами, то полученная модель с вероятностью Рдов считается адекватной, т.е. пригодной для дальнейшего использования в целях решения экономических задач

  1.  Алгоритм проверки значимости регрессора в парной регрессионной модели

При проверке качества спецификации парной регрессии наиболее важной является задача установления наличия линейной зависимости между эндогенной переменной и регрессором модели. С этой целью проверяют значимость оценки параметра b.

Алгоритм проверки значимости параметра b выполняется в следующей последовательности:

1) оценка параметров парной регрессии

2) оценка дисперсии возмущений

3) оценка среднего квадратичного отклонения параметра b

4) выбор значения tкр (по заданному уровню значимости альфа и числу степеней свободы (n-2) из таблиц распределения Стьюдента)

5) проверка неравенства при Н0: b=0

Если данное неравенство выполняется, то регрессор признается незначимым, если не выполняется, то данная гипотеза отвергается и регрессор признается значимым, т.е. между эндогенной переменной и регрессором присутствует линейная зависимость.


4. Алгоритм теста Голдфелда-Квандта на наличие (отсутствие) гетероскедастичности  случайных возмущений.

Гипотеза(1):

Шаг 1. Уравнения наблюдений объекта следует упорядочить по возрастанию суммы модулей значений предопределенных переменных модели (2),

т.е. по возрастанию значений

Шаг 2. По первым  упорядоченным уравнениям наблюдений объекта вычислить МНК-оценки параметров модели и величину  где  - МНК-оценка случайного возмущения

Шаг 3. По последним упорядоченным уравнениям наблюдений вычислить МНК-оценки параметров модели и величину ESS, которую обозначим

Шаг 4. Вычислить статистику .

Шаг 5. Задаться уровнем значимости  и с помощью функции FРАСПОБР Excel при количествах степеней свободы , где  определить (1--квантиль,  распределения Фишера.

Шаг 6. Принять гипотезу (1), если справедливы неравенства

Т.е. при справедливых неравенствах случайный остаток в модели (2) полагать гомоскедастичными. В противном случае гипотезу (1) отклонить как противоречащую реальным данным и сделать вывод о гетероскедастичности случайного остатка в модели (2).


5. Алгоритм теста Дарбина-Уотсона на наличие (отсутствие) автокорреляции случайных возмущений.

Гипотеза (1):

Шаг 1. По уравнениям наблюдений объекта  следует вычислить МНК-оценки и оценки случайных остатков.

Шаг 2. Вычислить величину

Шаг 3. Из таблицы, составленной Дарбиным и Уотсоном, по количеству n уравнений наблюдений и количеству k объясняющих переменных следует выбрать две величины

Шаг 4. Проверить, в какое из пяти подмножеств  интервала (0,4) попала величина DW. Сделать вывод о присутствии/отсутствии автокорреляции.

Если попало в -, то автокорреляция присутствует

Если попало в +, то автокорреляция отсутствует

Если попало в ///, то зона неопределенности.


6.Гетероскедастичность случайного возмущения. Причины.

Гетероскедастичность - ситуация, когда дисперсия ошибки в уравнении регрессии изменяется от наблюдения к наблюдению. В этом случае приходится подвергать определенной модификации МНК (иначе возможны ошибочные выводы). Для обнаружения гетероскедастичности обычно используют 3 теста: тест ранговой корреляции Спирмена, тест Голдфеда -  Квандта и тест Глейзера Доугерти.

Гетероскедастичность случайных возмущений – возмущения обладают различными дисперсиями r2i=r2wi, но не коррелированны друг с другом.

Причина: При гетероскедастичности распределение u для каждого наблюдения имеет нормальное распределение и нулевое ожидание, но дисперсия распределений различна.

Последствия нарушения условия гомоскедастичности случайных возмущений:

1. Потеря эффективности оценок коэффициентов регрессии, т.е. можно найти другие, отличные от Метода Наименьших Квадратов и более эффективные оценки

2. Смещенность стандартных ошибок коэффициентов в связи с некорректностью процедур их оценки

7.Динамическая модель из одновременных линейных уравнений (привести пример)

Экономические модели, значения переменных которых привязаны к моменту времени, называются динамическими.

Примером системы одновременных уравнений может служить модель спроса и предложения, включающая три уравнения: И еще один пример рядом.

8.Идентификация отдельных уравнений системы одновременных уравнений: порядковое условие.

Коэффициент уравнения называется идентифицируемым, если его можно вычислить на основе приведенных коэффициентов, причем точно идентифицируемым, если он единственный, и сверхидентифицируемым, если он имеет несколько разных оценок. В противном случае он называется неидентифицируемым.

Какое-либо структурное уравнение является идентифицируемым, если идентифицируемы все его коэффициенты. Если хотя бы один структурный коэффициент неидентифицируем, то и все уравнение является неидентифицируемым.

Модель считается идентифицируемой, если каждое ее уравнение идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель неидентифицируема. Уравнение структурной модели может быть идентифицируемо, если выполняется порядковое условие.

Общий вид каждого уравнения модели в структурной форме можно записать как:  (2.4)

где:  G – количество эндогенных переменных в модели

 K – количество предопределенных переменных в модели

Необходимое условие идентифицируемости

Теорема 1.  Пусть  i-ое поведенческое уравнение модели (2.4) идентифицируемо. Тогда справедливо неравенство

Mi (пред)  G – Mi (энд) – 1.           (2.5)

В нём: Mi (пред) – количество предопределённых переменных модели, не включённых  в i-ое уравнение;  

Mi (энд) – количество эндогенных переменных модели,  не включённых в i-ое уравнение.

Замечание. Справедливость неравенства (2.5) является необходимым условием  идентифицируемости i-го уравнения. Это значит, что, когда неравенство (2.5) несправедливо, то i-ое уравнение заведомо неидентифицируемо. Однако при выполнении неравенства (2.5) ещё нельзя сделать вывод о идентифицируемости данного уравнения

Условие (2.5), именуемое правилом порядка, позволяет выявлять неидентифицируемые уравнения модели, но не даёт возможности отмечать её идентифицируемые уравнения

Определение неидентифицируемых уравнений производится методом «от противного»: если условие (2.5) не выполняется для i-го уравнения, то оно неидентифицируемо.


9. Индивидуальная оценка значения зависимой переменной

Для определения границ доверительного интервала для отдельных (индивидуальных) значений зависимой переменной, применяя стандартную процедуру, составляем дробь Стьюдента:

, числитель дроби – ошибка прогноза индивидуального значения эндогенной переменной (ер), знаменатель – оценка СКО (среднего квадратического отклонения) ошибки прогноза.

Выразим дисперсию данной ошибки через выборочные данные:

где учтено, что  на интервале прогнозирования. Заменяя значение дисперсии его оценкой, получим выражение для оценки дисперсии прогноза наблюдения t=p

Границы доверительного интервала прогноза индивидуальных значений Yt определяют по ф-ле:

Согласно t-критерию Стьюдента, выдвигается «нулевая» гипотеза H0 о статистической незначимости коэффициента уравнения регрессии (т. е. о статистически незначимом отличии величины а или bi от нуля). Эта гипотеза отвергается при выполнении условия t > tкрит, где tкрит определяется по таблицам число1 (p pt-критерия Стьюдента (П2) по числу степеней свободы k1 = n независимых переменных в уравнении регрессии) и заданному уровню значимости α.

t-критерий Стьюдента применяется в процедуре принятия решения о целесообразности включения фактора в модель. Если коэффициент при факторе в уравнении регрессии оказывается незначимым, то включать данный фактор в модель не рекомендуется.


10. Интервальная оценка индивидуального значения зависимой переменной

Одной из основных задач эконометрического анализа является прогнозирование значений зависимой переменной при определенных значениях Хпр объясненной переменной.

Предположим, что мы построили некое эмпирическое значение парной регрессии i=b0+b1xi, на основе кот-го хотим предсказать среднюю величину зависимой переменной у при х=хпр. В данном случае рассчитанное по уравнению величина ỹпр=b0+b1xпр является только оценкой для искомого матожидания.

Встает вопрос насколько эта оценка отклоняется от среднего матожидания для того, чтобы ей можно было доверять с надежностью γ=1-α.

Чтобы построить доверит интервал, покажем, что случайная величина ỹпр имеет норм распределение с некоторыми конкретными переменными.

Мы знаем, что ỹпр=b0+b1xпр. Подставим в это уравнение значение для bo и b1, найденное в виде лин комбинаций выборочных величин объясняющей переменной yi.

Т.е. расчетная величина действительного имеет норм распред-ие и мы находим матожидание и дисперсию.

М(Ỹпр)=M(bo+b1Xпр)= βo+Xпрβ1

D(Ỹпр)=D(bo+b1Xпр) = D(bo)+X²прM(b1)=2cov(bo,b1Xпр)***=

Рас-м вел-ну ковариации.

Заменим вел-ну bo ч/з правило ее вычисления из эмпир ур-ия регр-ии, аналог-но поступим со знач-ем βо, записав его знач-ие ч/з теорет ур-ие регр-ии.

Тогда получаем

-

это дисп-ия для значения b1 

Мы знаем вел-ну дисп bo и b1. Подставим сюда их значения:

Преобразуем данное выр-ие прибавив и отняв к скобке 

В этом выр-ии заменяем σ² несмещенной оценкой по эмпир ур-ию регр-ии σ²=∑ei²/n-2 и тогда мы м рассчитать Т стат-ку

, получаемого из значения теорет дисп-ии заменой дисп теорет откл-ия σ² на So², вычис-ое по выборке ∑ei²/n-2. Используя табл. Стьюдента, можем вычесть вероятность того, что |T|≤tрасч

Тогда ν=n-2.

Таким образом, сделав такие же преобразования как для коэффициентов в уравнения, получаем, что


11.Классическая парная регрессионная модель. Спецификация модели.

Спецификация парной линейной регр. модели имеет вид: Y=a+bX+ε, где a и b – параметры модели (постоянные неизвестные коэфф-ты), Х – экзогенная переменная (регрессор), У – эндогенная переменная (отклик), ε – случайное возмущение, характеризующее отклонение f(x)= a+bX (теоретической линей зависимости) и возникающее:

- из-за ошибок спецификации

- из-за ошибок измерений

Уравнения для отдельных наблюдений зависимой переменной У записываются в виде (схема Гаусса-Маркова)

Yt=a+bXt+εt , t=1,…,n – выборочные данные, n – объём выборки.

Относительно возмущений εt, в регр.моделях принимаются след. предположения (условия Гаусса-Маркова)

12.Коэффициент детерминации  в  регрессионной модели.

Коэффициент детерминации (R2)— это доля дисперсии отклонений зависимой переменной от её среднего значения, объясняемая рассматриваемой моделью связи. Модель связи обычно задается как явная функция от объясняющих переменных.

где yi — наблюдаемое значение зависимой переменной, а fi — значение зависимой переменной предсказанное по уравнению регрессии -среднее арифметическое зависимой переменной. Коэффициент детерминации является случайной переменной. Он характеризует долю результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака: 0≤ R2≤1. причем если R2= 1 то переменная yt полностью объясняется регрессором xt. В множественной регрессионной модели добавление дополнительных регрессоров увеличивает значение коэффициента детерминации, поэтому его корректируют с учетом числа независимых переменных:

13.Ковариация, коэффициент корреляции и индекс детерминации.

Наряду с функцией регрессии в эконометрике существенно используются числовые характеристики взаимосвязи пары случайных переменных (x, y). Эти характеристики именуются ковариацией и коэффициентом корреляции. Ковариацией называется константа , определенная по правилу

Свойства математического ожидания позволяют представить  и так: , где

Оценкой ковариации служит величина , именуемая выборочной ковариацией.

Так же размерность  равна произведению значений размерности случайных переменных x и y. Часто удобно использовать безразмерную ковариацию

Константа  именуется еще коэффициентом корреляции. Всегда .

В качестве меры, объясняющей способности регрессора в модели (1)

может служить в пределах обучающей выборки ( величина .

Она именуется коэффициентом детерминации модели и равна доле эмпирической дисперсии переменной y, которая в рамках обучающей выборки ( объясняется в модели (1) ее регрессором x. Всегда .


14.Количественные характеристики взаимосвязи пары случайных переменных

Математическое ожидание (среднее значение), дисперсия и среднее квадратич.отклонение, ковариация и коэф-нт корреляции.

Матем. ожид. дискретн.

случ. перем. назыв. вел-на:M(x)=сумма(Pi*xi),где M(x)-матем ожид. СДП х, Pi-вероятность появл. в опытах знач-я хi,n-кол-во допустимых значений ДСВеличины. Матем. ожид-средневзвеш. значение ДСП,где в качестве веса использ значение вероятности.

Дисперсией дискретн случ перемен назыв. в-на:D2(x)=сумма(xi-M(x))2*P(xi), где D2(x)-дисперсия случ.перем.х. Дисперсия случ. вел-ны выступает в качестве характеристики разброса возможных ее значений. Положит. корень из дисперсии назыв средним квадратич.отклонением или стандартным отклонением,или стандартной ошибкой.

Матем.ожидание непрерывн. случ. перемен Хс законом распределения рх(t) назыв. в-на:М(х)=интеграл от – бесконечности до + бесконечности tpx(t)dt, что назыв. перв начальн.моментом ф-ции  px(t).Через рез-ты наблюдений матем.ожид-е вычисл.:M(x)=(1/n)сумма(xi).

Дисперсией непрерывн.случ. перемен. Х с функцией плотности вероятности px(t) назыв. выраж-е: D2(x)= интеграл от – бесконечности до + бесконечности(t-M(x))2px(t)dt,что назыв вторым центр моментом ф-ции px(t).В общем случае дисперсия случ.перем.: D2(x)=М(х-М(х))2=М(х2)-М2(х).

Ковариацией двух случ.перем. ХиУ:COV(x,y)=M((x-M(x))(y-M(y))).Значение ковариации отраж.наличие связи между 2 случ.перем.Если COV(x,y)>0,связь между XиY положит.,если <0-отрицат., если=0,X и Y-независ.перемен.Область возможн.знач. ковариации-вся числовая ось. Недостатки устраняются путем деления знач ковариации на знач стандартн отклонений перемен,что назыв коэф-нтом корреляции.это безразмерн вел-на,предел от -1 до 1 включительно.Ф-ла:р(х,у)=COV(x,y)/(D(x)*D(y)).

15.Коэффициент корреляции и индекс детерминации.

Так же размерность  равна произведению значений размерности случайных переменных x и y. Часто удобно использовать безразмерную ковариацию

Константа  именуется еще коэффициентом корреляции. Всегда .

В качестве меры, объясняющей способности регрессора в модели (1)

может служить в пределах обучающей выборки ( величина .

Она именуется коэффициентом детерминации модели и равна доле эмпирической дисперсии переменной y, которая в рамках обучающей выборки ( объясняется в модели (1) ее регрессором x. Всегда .

16.Линейная модель множественной регрессии

Система состоит из равенств:1)y=a0+a1*x1+a2*x2+u; 2)E(u/x1,xt)=0; 3)E(u2/x1,x2)=r2u.x1,x2- экзоген перем, y-эндоген перемен.случ возмещен предполаг гомоскедастичн.спецификация содержит 4 параметра. это модель линейная эконометрич в виде изолир уравнений с несколькими объясняющ перемен или модель лин множ регрессии.эконом смысл коэф-ов а1 и а2-ожидаемые предельн знач перемен у по перемен х.это базовая модель,т.к.1)к такой модели мб приближенна практич любая эконометрич модель в виде изолир уравнения;2)поведен ур-ия в линейн моделях имеют такой же вид. эконометрич инвестиц модель Самуэльсона-Хикса явл частн случаем модели


17.Метод наименьших квадратов: алгоритм метода; условия применения

В матем статистике методы получения наилучшего приближ к исходным данным в виде аппроксимирующей функции назыв регрессионным анализом. Его основн задачами явл установление завис-сти между переменными и оценка(прогноз)значений завис переменной.

При оценивании пар-ров регр.моделей наиболее часто применяется МНК. Его оценки обладают такими стат. св-вами: несмещенность, состоятельность, эффективность. Достоинство МНК: простота мат.выводов и вычислит-х процедур.

Пусть имеем выборку из 4-х точек (n=4):

P1 =(x1, y1),P2 =(x2, y2), P3 =(x3, y3), P4 =(x4, y4)

Предполагаем, что существует  теоретическая прямая, которая наилучшим образом проходит через них. Задача: оценить с некоторой точностью, как может проходить эта прямая

Итак, оценки параметров модели парной регрессии согласно МНК будем искать из условия:

Задача оценки параметров парной регр.модели МНК сводится к задаче определения экстремума (минимума) ф-ии 2х аргументов

Система называется системой нормальных уравнений для вычисления оценок параметров уравнения парной регрессии. Упростим систему нормальных уравнений. 

Убеждаемся, что решение системы уравнений будет соответствовать  минимуму функции.

Для этого вычисляем значения вторых частных производных функции

Для решения системы выразим из первого уравнения ã0, подставим его во второе уравнение. Получим:

Проанализируем выражение. Для этого вычислим COV(x,y) и σ2(x).Получим:

Проверим выполнение условия несмещенности для оценки. Для этого вычислим числитель выражения .Получаем:

Вычислим дисперсии параметров уравнения регрессии и дисперсию прогнозирования эндогенной переменной.

С помощью МНК получили

1)Оценки параметров уравнения регрессии, по крайней мере, состоятельными

2)Если случайное возмущение подчиняется нормальному закону распределения, то оценки параметров модели несмещенные и эффективные

3)Нет необходимости в знании закона распределения случайных возмущений.


18.Метод показателей информационной ёмкости

Идея метода показателей информационной емкости сводится к выбору таких объясняющих переменных, которые сильно коррелированны с объясняемой переменной, и одновременно, слабо коррелированны между собой. В качестве исходных точек этого метода рассматриваются вектор  и матрица R.

Рассматриваются все комбинации потенциальных  объясняющих переменных, общее количество которых составляет    I = 2n-1

Для каждой комбинации потенциальных объясняющих переменных рассчитываются индивидуальные и интегральные показатели информационной емкости.

Индивидуальные показатели информационной ёмкости в рамках конкретной комбинации рассчитываются по формуле

В этом выражении l обозначает номер переменной, а тl — количество переменных в рассматриваемой комбинации.

Интегральные  показатели  информационной  емкости  потенциальных объясняющих  переменных рассчитываются по формуле

Индивидуальные у интегральные показатели  информационной ёмкости нормируются в интервале [0; 1].

Их значения оказываются тем больше чем сильнее объясняющие переменные коррелируют с  объясняемыми переменными и чем слабее они  коррелируют между собой.

В качестве объясняющих выбирается такая комбинация переменных, которой соответствует максимальное значение интегрального показателя информационной емкости.

19.Методы подбора переменных в модели множественной регрессии

Множественная регрессия имеет вид

Е[Y/ x1, x2….. xm]=f (x1,x2….xm)

Уравнение множественной регрессии:

Y=f(β, X)+ ε

Где (x1,x2….xm)- вектор объясняющих переменных,

β -вектор параметров ( подлежащих определению),

ε – вектор случайных ошибок(отклонений)

Y – зависимая переменная

С формальной точки зрения, объясняющие переменные в линейной эконометрической модели должны обладать следующими свойствами:

•  иметь высокую вариабельность;

•  быть сильно коррелированными с объясняемой переменной;

•  быть слабо коррелированными между собой;

•  быть сильно коррелированными с представляемыми ими другими переменными, не используемыми в качестве объясняющих.

Объясняющие переменные подбираются с помощью статистических методов. Процедура подбора переменных состоит из следующих этапов:

1.  На основе накопленных знаний составляется множество так называемых потенциальных объясняющих переменных (первичных переменных), в которое включаются все важнейшие величины, влияющие на объясняемую переменную. Такие переменные будем обозначать

2.  Собирается статистическая информация о реализациях как объясняемой переменной, так и потенциальных объясняющих переменных. Формируется вектор у наблюдаемых значений переменной Y и матрица X наблюдаемых значений переменных  в виде

3. Исключаются потенциальные объясняющие переменные, характеризующиеся слишком низким уровнем вариабельности.

4.  Рассчитываются коэффициенты корреляции между всеми рассматриваемыми переменными.

5.  Множество потенциальных объясняющих переменных редуцируется с помощью выбранной статистической процедуры.

Речь идет о том, чтобы объясняющие переменные хорошо представляли те переменные, которые не были включены в модель.

Идея метода показателей информационной емкости сводится к выбору таких объясняющих переменных, которые сильно коррелированы с объясняемой переменной, и одновременно, слабо коррелированы между собой. В качестве исходных точек этого метода рассматриваются вектор  и матрица R.

Рассматриваются все комбинации потенциальных объясняющих переменных, общее количество которых составляет I = 2W-1.                                            Для каждой комбинации потенциальных объясняющих переменных рассчитываются индивидуальные и интегральные показатели информационной емкости.

Индивидуальные показатели информационной емкости в рамках конкретной комбинации рассчитываются по формуле

; (l=1,2,…,L; j=1,2,…), где l – номер переменной,  – количество переменных в рассматриваемой комбинации.

Интегральные рассчитываются по формуле

, (l=1,2,…,L). В качестве объясняющих выбирается такая комбинация переменных, которой соответствует максимальное значение интегрального показателя и формационной емкости.

20.Методы сглаживания временного ряда.

Методы «механического» сглаживания

Метод усреднения по двум половинам ряда, когда ряд делится на две части. Затем, рассчитываются два значения средних уровней ряда, по которым графически определяется тенденция ряда. Очевидно, что такой тренд не достаточно полно отражает основную закономерность развития явления. 

Метод укрупнения интервалов, при котором производится увеличение протяженности временных промежутков, и рассчитываются новые значения уровней ряда. 

Метод скользящей средней. Данный метод применяется для характеристики тенденции развития исследуемой статистической совокупности и основан на расчете средних уровней ряда за определенный период.

Метод экспоненциальной средней. Экспоненциальная средняя  – это адаптивная скользящая средняя, рассчитанная с применением весов, зависящих от степени «удаленности» отдельных уровней ряда от среднего значения. Величина веса убывает по мере удаления уровня по хронологической прямой от среднего значения в соответствии с экспоненциальной функцией, поэтому такая средняя называется экспоненциальной. На практике применяется многократное экспоненциальное сглаживания ряда динамики, которое используется для прогнозирования развития явления. 

Способы, включенные в первую группу, ввиду применяемых методик расчета предоставляют исследователю очень упрощенное, неточное, представление о тенденции в ряду динамики. Однако корректное применение этих способов требует от исследователя глубины знаний о динамике различных социально - экономических явлений. 

Методы «аналитического»  выравнивания

Более точным способом отображения тенденции динамического ряда является аналитическое выравнивание, т. е. выравнивание с помощью аналитических формул. В этом случае динамический ряд выражается в виде функции у (t), в которой в качестве основного фактора принимается время t, и изменения аргумента функции определяют расчетные значения уt. 

Чаще всего при выравнивании используются следующий зависимости:
линейная 
 ;

параболическая ;
экспоненциальная 
 или ).


21, 52. Модели временных рядов

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов. Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (T), циклической (S) и случайной (Е) компонент.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, - аддитивные модели Y = Т + S + Е, как произведение - мультипликативные модели временного ряда: Y=T* S • Е, где Т- тренд, S- сезонная составляющая, Е – случайная составляющая

Модели временных рядов

тренда: y(t) = T(t) +ξt

где t – время; T(t) - временной тренд заданного параметрического вида (например, линейный T(t) = a + bt); ξt  - случайная (стохастическая) компонента;

сезонности: y(t) = S(t) + ξt

где S(t) - периодическая (сезонная) компонента, ξt - случайная (стохастическая) компонента.

• тренда и сезонности: y(t) = T(t) + S(t) + ξt  (аддитивная) или y(t) = T(t)S{t) + ξt  (мультипликативная), где T(t) - временной тренд заданного параметрического вида; S(t) - периодическая (сезонная) компонента; ξt - случайная (стохастическая) компонента.

Кроме того, существуют модели временных рядов, в которых присутствует циклическая компонента, формирующая изменения анализируемого признака, обусловленные действием долговременных циклов экономической демографической или астрофизической природы (волны Кондратьева, циклы солнечной активности и т.д.).


22.Модели с бинарными фиктивными переменными

Термин “фиктивные переменные” используется как противоположность “значащим” переменным, показывающим уровень количественного показателя, принимающего значения из непрерывного интервала. Как правило, фиктивная переменная — это индикаторная переменная, отражающая качественную характеристику. Чаще всего применяются бинарные фиктивные переменные, принимающие два значения, 0 и 1, в зависимости от определенного условия. Например, в результате опроса группы людей 0 может означать, что опрашиваемый - мужчина, а 1 - женщина. Могут быть разного рода атрибутивные признаки, такие, например, как профессия, пол, образование, климатические условия, принадлежность к определенному региону.

К фиктивным переменным иногда относят регрессор, состоящий из одних единиц (т.е. константу, свободный член), а также временной тренд.

Фиктивные переменные, будучи экзогенными, не создают каких-либо трудностей при применении ОМНК. Фиктивные переменные являются эффективным инструментом построения регрессионных моделей и проверки гипотез.


23.Модели с частичной корректировкой

В экономической практике часто приходится моделировать не фактические значения эндогенной переменной, а ее ожидаемое или целевое значение. Такие модели получили название модели частичной корректировки. Общий вид такой модели следующий:

                                                                                                                    (3.1)                                                                        

y*t –желаемое значение эндогенной переменной в текущий момент времени

yt-1 – значение эндогенной переменной в предыдущий период времени

xt – текущее значение экзогенной переменной

При этом значения переменной y*t  наблюдению не поддаются

Равенство во втором уравнении модели (3.1) моделирует процесс настройки реального уровня эндогенной переменной на ее ожидаемый уровень.  Константа  λ характеризует скорость настройки

Второе равенство модели можно записать так:                                                               (3.2)

При  λ=1  настройка происходит мгновенно

При  λ=0  Настройка не осуществима

Подставив первое уравнение модели (3.1) в (3.2) получим выражение 3.3:

Модель (3.3) имеет стохастический регрессор yt-1, однако он не коррелирует со случайным возмущением ut , но коррелирует со случайным возмущением ut-1, поэтому оценку модели (3.3) необходимо проводить по выборке большого объема

Оценив параметры модели (3.3), получим оценки всех необходимых параметров: λ, а0 и а1


24.Настройка  модели с системой одновременных уравнений.

Имеем элементарную модель конкурентного рынка

По результатам наблюдений необходимо получить оценки параметров a0, a1, b0, b1

(1)

Чтобы получить эти оценки, Вспомним, что на спрос влияет располагаемый доход

Введение в первое уравнение системы (1) дополнительной экзогенной переменной xt привело к тому, что второе уравнение стало идентифицируемо.

Правило. Для устранения проблемы идентификации необходимо:

1. Дополнить уравнения системы дополнительными предопределенными переменными

2. Дополнительные переменные включаются в уравнения смежные с неидентифицируемыми

Идентифицируемая модель конкурентного рынка

Остается определить, какие уравнения в модели являются неидентифицируемые

Для этих ответов пользуемся теоремой «правило порядка». Вопрос № 8 (ниже кратко):

Пусть  i-ое поведенческое уравнение модели (2.4) идентифицируемо. Тогда справедливо неравенство

 Mi (пред)  G – Mi (энд) – 1.           (2.5)

В нём:

Mi (пред) – количество предопределённых переменных модели, не включённых  в i-ое уравнение;  Mi (энд) – количество эндогенных переменных модели,  не включённых в i-ое уравнение.

25, 26. Нелинейная модель множественной регрессии Кобба-Дугласа. Оценка её коэффициентов

Y – уровень выпуска продукции, K – уровень основного капитала, L – уровень рабочей силы.

Оценка:

Далее ЛИНЕЙН.

   


27.Нормальный закон распределения как характеристика случайной переменной

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону с параметрами μ и σ, если ее плотность распределения есть
 

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Если случайные величины X1 и X2 независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями μ1 и μ2 и дисперсиями  и  соответственно, то X1 + X2 также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием μ1 + μ2 и дисперсией .

Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:

  1.  отклонение при стрельбе
  2.  погрешности измерений
  3.  рост живых организмов


28.Обобщённый метод наименьших квадратов

При наличии гетероскедастичности целесообразно использовать обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК). Фактически при этом корректируется модель, изменяются ее спецификации, преобразуются исходные данные для обеспечения несмещенности, эффективности и состоятельности оценок коэффициентов регрессии.

Предполагается, что среднее остатков равно нулю, но дисперсия уже не является постоянной, а пропорционально величинам Ki, где величины представляют собой коэффициенты пропорциональности, различные для различных значений фактора х. Таким образом, именно эти коэффициенты характеризуют неоднородность дисперсии.

Исходная модель после введения этих коэффициентов в уравнение множественной регрессии продолжает оставаться гетероскедастичной (точнее таковыми являются остаточные величины (остатки) модели). Пусть эти остаточные величины не являются автокоррелированными. Часто считают, что эти остатки просто пропорциональны значениям фактора. Наиболее простой вид модель принимает, когда принимается гипотеза о том, что ошибки пропорциональны значениям последнего по порядку фактора. Введем новые переменные, получающиеся делением исходных переменных модели, зафиксированные в результате i- наблюдения, на корень квадратный из коэффициентов пропорциональности Ki. Тогда получаем новое уравнение в преобразованных переменных, в котором уже остатки гомоскедастичны. Сами новые переменные – это взвешенные старые (исходные) переменные.


29, 30. Ожидаемое значение случайной переменной, её дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Ожидаемое значение E(x) находится по формуле

E(x) – константа, вокруг которой рассеяны возможные значения q случайной переменной х.

Дисперсия Var(x) – это средний квадрат разброса возможных значений случайной переменной х относительно её ожидаемого значения:

– среднее квадратическое отклонение. Константа  служит характеристикой неопределенности (изменчивости) x.


31. Определение соответствия распределения случайных возмущений нормальному закону распределения

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону с параметрами μ и σ, если ее плотность распределения есть
 

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Закон распределения для случайного возмущения принимает вид:

Если случайное возмущение подчиняется нормальному закону распределения, то оценки параметров модели несмещенные и эффективные.


32. Основные числовые характеристики вектора остатков в классической множественной регрессионной модели.

Классическая линейная модель множественной регрессии (КЛММР) представляет собой простейшую версию конкретизации требований к общему виду функции регрессии f(X), природе объясняющих переменных X и статистических регрессионных остатков (Х) в общих уравнениях регрессионной связи. В рамках КЛММР эти требования формулируются следующим образом:

Из (2.5) следует, что в рамках КЛММР рассматриваются только линейные функции регрессии, т.е.

В повторяющихся выборочных наблюдениях (xi(1), xi(2),..., хi(p); yi) единственным источником случайных возмущений значений yi являются случайные возмущения регрессионных остатков i.

Кроме того, постулируется взаимная некоррелированность случайных регрессионных остатков (E(ij) = 0 для i  j). Это требование к регрессионным остаткам 1,...,n относится к основным предположениям классической модели и оказывается вполне естественным в широком классе реальных ситуаций. Тот факт, что для всех остатков 1,2,...,n выполняется соотношение Ei2; =2 , где величина 2 от номера наблюдения i не зависит, означает неизменность дисперсий регрессионных остатков. Последнее свойство принято называть гомоскедастичностью регрессионных остатков.

Сумма квадратов остатков (RSS) измеряет необъясненную часть вариации зависимых переменных. Она используется как основная минимизируемая величина в методе наименьших квадратов и для расчета других показателей.

Стандартная ошибка регрессии (SEE) измеряет величину квадрата (ошибки), приходящейся на одну степень свободы модели.

Она используется в качестве основной величины для измерения качества оценивания модели (чем она меньше, тем лучше).


33.Отражение в модели влияния неучтённых факторов

Для учета случайного характера экономических процессов, модель записывают в виде:

Y = f(X) + ε (1)

где: Y – эндогенная переменная

X – вектор предопределенных переменных

f(X) – детерминированная математическая функция, определяющая закономерность      между эндогенной и  предопределенными переменными

ε – случайная величина, учитывающая влияние неучтенных  факторов и индивидуальные       особенности конкретного объекта (случайное возмущение).

Модель (1) называют эконометрической моделью. Правая часть (1) называется обобщенной функциональной или регрессионной зависимостью. При составлении модели случайные возмущения присутствуют только в поведенческих уравнениях  эконометрической модели. В уравнениях тождествах они отсутствуют. Рассеянные вокруг нуля случайные возмущения отражают влияние на текущие эндогенные переменные этой модели неучтённых факторов.

В общем виде эконометрической модели случайные возмущения отражаются как:

– вектор-столбец случайных возмущений модели.

Случайные возмущения сохраняются в приведенной форме модели. Их вычисление производится по формуле: ε= A-1, где А - матрица коэффициентов перед эндогенными переменными.

Замечание. Необходимость учета в моделях влияния случайных возмущений является четвертым принципом спецификации эконометрических моделей 


34.Отражение в эконометрических моделях фактора времени

Все переменные объекта изменяются со временем. Для этого каждой переменной, которая изменяется со временем добавляется индекс “t”. Например, Ydt означает, что переменная - «уровень спроса» -  относится к текущему моменту времени. На примере модели конкурентного рынка имеем:

Экономические модели, значения переменных которых привязаны к моменту времени, называются динамическими.

Переменные, связанные с моментом времени, называются датированными. Необходимость соотнесения переменных модели к моменту времени является третьим принципом спецификации модели. Переменные, которые относятся к предыдущим моментам времени, называются Лаговыми. Значения датированных переменных в различные дискретные моменты времени (например, значения x0, x1, x2,… располагаемого душевого дохода потребителя в рамках модели конкурентного рынка при t=0,1,2…) называются временными рядами. Таким образом, временным рядом называют такую экономическую модель, в которой эндогенная переменная Yt является функцией целочисленного аргумента t.


35, 36, 45.Оценивание линейной модели множественной регрессии в Excel

Модель множественной регрессии имеет вид:

Алгоритм использования процедуры «ЛИНЕЙН» в приложении  EXCEL:

1.Подготовка таблицы исходных данных (Записываем в столбцы значения переменных).

A

B

1

y1

x11

xk1

2

y2

x12

xk2

n

yn

x1n

xkn

n+1

n+2

n+3

n+4

n+5

2.Вызов процедуры «ЛИНЕЙН» (Выделяем диапазон ячеек 5×(k+1), нажимаем на значок функции, в диалоговом окне «Категория» выбираем, «Статистические» в диалоговом окне «Выберите функцию» - «Линейн»; щелкнуть мышью по кнопке ОК).

3.Ввод исходных данных в процедуру (В строчке «Известные_значения_y» диалогового окна указать адрес диапазона значений эндогенной переменной yt, а в строчке «Известные_значения_х» - адрес диапазона известных значений предопределенных переменных x11:xkn; в строчку «Конст» диалогового окна занести цифру 1, если есть свободный член и 0, если его нет. В строчку «Статистика» диалогового окна занести цифру 1, Нажать клавиши Ctrl + Shift + Enter).

4. Анализ результата

A

B

1

y1

x11

xk1

2

y2

x12

xk2

n

yn

x1n

xkn

n+1

n+2

n+3

#Н/Д

#Н/Д

n+4

Fтест

#Н/Д

#Н/Д

n+5

#Н/Д

#Н/Д


37.Оценивание регрессионной модели с фиктивной переменной наклона

Термин “фиктивные переменные” используется как противоположность “значащим” переменным, показывающим уровень количественного показателя, принимающего значения из непрерывного интервала. Как правило, фиктивная переменная — это индикаторная переменная, отражающая качественную характеристику. В регрессионных моделях применяются фиктивные переменные двух типов: переменные сдвига и переменные наклона.

Фиктивная переменная наклона изменяет наклон линии регрессии. При помощи фиктивных переменных наклона можно построить кусочно-линейные модели, которые позволяют учесть структурные изменения в экономических процессах (например, введение новых правовых или налоговых ограничений, изменение политической ситуации и т. д.). Для учета возможного изменения наклона графика модели при изменении градации качественного фактора предлагается ввести в спецификацию модели еще одно слагаемое вида «d умноженное на x».

Спецификация регрессионной модели в этом случае (например, для парной регрессионной модели, для простоты) имеет вид:

dt =      0 – до структурных изменений

           1 – после структурных изменений,

dt - бинарная переменная

Фиктивная переменная входит в уравнение в мультипликативной форме. Оценки параметров рассчитываются с помощью метода наименьших квадратов. Параметр при фиктивной переменной характеризует степень изменения наклона графика функции регрессии под воздействием качественного фактора.


38.Оценка коэффициентов  модели Самуэльсона-Хикса

Спецификация эконометрической модели Самуэльсона-Хикса:

(4.1)

Она предназначена для  объяснения текущего уровня инвестиций It величиной ΔYt-1= Yt-1 -Yt-2 цепного прироста ВВП за предыдущий период времени. Заметим, что в модели (4.1) величина ΔYt-1 играет роль экзогенной переменной, a It — эндогенной переменной.

Спецификация (4.1) содержит два неизвестных параметра: b, σu (4.2)

Параметр b, называемый акселератором, численно равен увеличению ΔIt уровня It текущих инвестиций вследствие увеличения на единицу цепного прироста, ΔYt-1 ВВП за предыдущий период. Параметр σu имеет смысл среднего квадратического разброса вокруг нуля возможных значений случайного возмущения vt, отражающего влияние на уровень текущих инвестиций It не определенных в модели (4.1) факторов. Можно сказать, что σu — это мера влияния на уровень текущих инвестиций It не идентифицированных в модели (4.1) факторов.

Оценим параметры (4.2) модели (4.1). Наилучшая оценка акселератора инвестиций b вычисляется в процессе решения линейного уравнения:

R = S,

(4.4)

называется нормальным уравнением, т.е. = R-1 S,

где: 

      

Значение b, вычисленное по правилу (4.4), соответствует интуитивно ясному знаменитому принципу настройки моделей

называемому методом наименьших квадратов.

В свою очередь, оценка  среднего квадратического отклонения (СКО) определяется по правилу

(4.7)

В нем

   (4.8)

- это оценка случайного возмущения vt в период t. Величина п в знаменателе формулы (4.7) — это количество пар (It , AYt-i) значений переменных модели (4.1), по которым вычисляются оценки , ее неизвестных параметров (4.2). Наконец, вычитаемое (единица) в знаменателе формулы (4.7) — это количество оцениваемых коэффициентов в функции регрессии модели (4.1).


39. Оценка параметров множественной регрессионной модели методом наименьших квадратов

Множественная регрессия позволяет построить и проверить модель линейной связи между зависимой (эндогенной) и несколькими независимыми (экзогенными) переменными: y = f(x1,...,xр), где у - зависимая переменная (результативный признак); х1,...,хр - независимые переменные (факторы).

Линейное уравнение множественной корреляции: y=a+b1x1+b2x2+…+bpxp+ε. Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют МНК. Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

 

Для ее решения может быть применён метод определителей: a=∆a / ∆, b1=∆b1 / ∆,…, bp=∆bp / ∆,   - определитель системы

∆a, ∆b1,…, ∆bp – частные определители; которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.


40. Оценка параметров парной регрессионной модели методом наименьших квадратов

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).

МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от расчетных (теоретических) минимальна:

Для того чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять их к нулю. Тогда мы получаем следующую систему нормальных уравнений для оценки параметров a и b

 

Решая систему нормальных уравнений либо методом последовательного исключения переменных, либо методом определителей, найдем искомые оценки параметров a и b. Можно воспользоваться следующими формулами для a и b:

 

Эта формула получена из первого уравнения системы, если все его члены разделить на n:

 , где cov(x,y) — ковариация признаков; σх2— дисперсия признака х. Поскольку  , получим следующую формулу расчета оценки параметра b

 

Таким образом:

Свойство несмещенности оценок состоит в том, что математическое ожидание оценки должно быть равно истинному значению параметра.

Свойство состоятельности оценок состоит в том, что с увеличением наблюдений оценка становится более надежной в вероятностном смысле.

Оценка называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию по сравнению с любыми другими оценками этого параметра в классе выбранных процедур.

41. Оценка статистической значимости коэффициентов  модели множественной регрессии.

Данная оценка с помощью t-критерия Стьюдента сводится к вычислению корня квадратного из величины соответствующего частного критерия Фишера.

При тесной линейной связанности факторов, входящих в ур-е множественной регрессии, возможна проблема мультиколлинеарности факторов. Колич-ым показателем явной коллинеарности двух переменных явл-ся соответствующий линейный коэф-т парной корреляции между этими двумя факторами. Две переменные явно коллинеарны, если этот коэффициент корреляции больше или равен 0,7. Чем сильнее мультиколлинеарность (без обязательного наличия явной коллинеарности) факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью МНК.

При проверке значимости коэф-ов модели множ. регрессии крит. значение t-критерия определяется как tкрит(а;n-l-1), где а – уровень значимости, n – объём выборочной совокупности, l – число оцениваемых по выборке параметров, (n-l-1) – число степеней свободы, которое опр-ся по таблице распределений t-критерия Стьюдента.

При проверке основной гипотезы вида

наблюдаемое значение частного F-критерия Фишера-Снедекора рассчит-ся по формуле:

Ситуации

Если наблюдаемое значение t-критерия больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл≥tкрит, то основная гипотеза о незначимости коэф-та βk модели множ. регрессии отвергается, и он является значимым.

Если меньше, то основная гипотеза о незначимости коэф-та βk принимается. И данный коэф-т можно в дальнейшем не учитывать.

Проверка основной гипотезы о значимости модели множ-ой регрессии в целом состоит в проверке гипотезы о значимости коэф-та множ. корреляции или значимости пар-ов модели регрессии.

Если проверка в целом осущ-ся, то выдвигается основная гипотеза вида Н0:R(y,xi)=0, утверждающая, что коэф-т множ. корреляции является незначимым, и, следовательно, модель множ. регрессии в целом также является незначимой.

Обратная или конкурирующая гипотеза вида Н1:R(y,xi)≠0 утверждает, что коэф-т множ. корреляции является значимым, и, следовательно, модель множ. регрессии в целом также является значимой.

Данные гипотезы проверяются с помощью F-критерия Фишера-Снедекора. Наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают со значением F-критерия, кот. опр-ся по таблице распределения Фишера-Снедекора, и называется критическим.


42. Подбор переменных в модели множественной регрессии на основе метода оценки информационной ёмкости.

С формальной точки зрения, объясняющие переменные в линейной эконометрической модели должны обладать следующими свойствами:

•  иметь высокую вариабельность;

•  быть сильно коррелированными с объясняемой переменной;

•  быть слабо коррелированными между собой;

•  быть сильно коррелированными с представляемыми ими другими переменными, не используемыми в качестве объясняющих.

Объясняющие переменные подбираются с помощью статистических методов. Процедура подбора переменных состоит из следующих этапов:

1.  На основе накопленных знаний составляется множество так называемых потенциальных объясняющих переменных (первичных переменных), в которое включаются все важнейшие величины, влияющие на объясняемую переменную. Такие переменные будем обозначать

2.  Собирается статистическая информация о реализациях как объясняемой переменной, так и потенциальных объясняющих переменных. Формируется вектор у наблюдаемых значений переменной Y и матрица X наблюдаемых значений переменных  в виде

3. Исключаются потенциальные объясняющие переменные, характеризующиеся слишком низким уровнем вариабельности.

4.  Рассчитываются коэффициенты корреляции между всеми рассматриваемыми переменными.

5.  Множество потенциальных объясняющих переменных редуцируется с помощью выбранной статистической процедуры.

Речь идет о том, чтобы объясняющие переменные хорошо представляли те переменные, которые не были включены в модель.

Идея метода показателей информационной емкости сводится к выбору таких объясняющих переменных, которые сильно коррелированы с объясняемой переменной, и одновременно, слабо коррелированы между собой. В качестве исходных точек этого метода рассматриваются вектор  и матрица R.

Рассматриваются все комбинации потенциальных объясняющих переменных, общее количество которых составляет I = 2W-1.                                            Для каждой комбинации потенциальных объясняющих переменных рассчитываются индивидуальные и интегральные показатели информационной емкости.

Индивидуальные показатели информационной емкости в рамках конкретной комбинации рассчитываются по формуле

; (l=1,2,…,L; j=1,2,…), где l – номер переменной,  – количество переменных в рассматриваемой комбинации.

Интегральные рассчитываются по формуле

, (l=1,2,…,L). В качестве объясняющих выбирается такая комбинация переменных, которой соответствует максимальное значение интегрального показателя и формационной емкости.


43. Подбор переменных в модели множественной регрессии методом «снизу вверх»

Для подбора переменных в модели множественной «регрессии методом снизу вверх» мы для начала берем переменные х1,х2,х3…хn. Включаем переменную х1 в модель.

.

Делаем по этой модели линейн. Находим соответственно по линейн F. Ищем F. Если Fбольше чем F, то следовательно качество модели улучшилось. Добавляем еще одну переменную.

Проделываем тот же алгоритм при добавлении каждой переменной.

Если же Fменьше  чем F,то исключаем эту переменную, так как качество модели не улучшилось с ее добавлением.


44. Подбор переменных в модели множественной регрессии методом исключения переменных («сверху вниз»).

Для подбора переменных в модели множественной «регрессии методом сверху вниз» мы для начала берем все переменные х1,х2,х3…хn. Включаем все эти переменные в модель.

.

Делаем функцию «линейн». По этой функции соответственно находим число Фишера F. Число Фишера мы ищем для оценки качества модели.

Проводим тест Стьюдента. Находим tкр., находим , ,…. Сравинваем их с tкр. Выделяем все t, которые меньше tкр. Из них уже находим наименьшее . Допустим это . Исключаем  столбик, соответствующий .(х2).

Уже по новой модели (без столбика х2) вычисляем линейн.. Находим число Фишера F. Если F больше чем F, то качество модели улучшилось. Можем сделать вывод о том, что мы правильно исключили переменную. Если же наоборот, то не стоит исключать эту переменную, так как в следствие этого модель не улучшилась.

По новой модели( без столбика х2) проводим тест Стьюдента. Находим tкр, находим , ,…. Сравинваем их с tкр. Выделяем все t, которые меньше tкр. Из них уже находим наименьшее . и  т.д.

Этот алгоритм проделываем до тех пор, пока все не будут больше чем tкр.


46. Последствия гетероскедастичности. Тест GQ

Последствия: 

  1.  не приводит к смещению оценок коэффициентов регрессии;
  2.  увеличивает дисперсию распределения оценок коэффициентов;
  3.  вызывает тенденцию к недооценке стандартных ошибок коэффициентов при использовании МНК.

Тест Г-К позволяет проконтролировать равенство дисперсий случайных возмущений.

Алгоритм теста:

  1.  сформировать служебную переменную pi=|x1i|+|x2i|+…+|xki|
  2.  упорядочить уравнения наблюдений в порядке возрастания переменной pi
  3.  разбить полученные уравнения примерно на 3 равные части
  4.  оценить модели по первой и последней частям уравнений наблюдений и вычислить для них ESS (дисперсии)
  5.  вычислить статистики GQ=ESS1/ESS2 и GQ^-1
  6.  найти значение Fкрит (через функцию FРАСПОБР)
  7.  сравнить полученные статистики с Fкрит. Если GQ<= Fкрити GQ^-1<=Fкрит, то остаток в модели гомо-чен.


47. Применение теста Стьюдента в процедуре подбора переменных в модели множественной регрессии

Построение уравнения множественной регрессии  начинается с решения вопроса о спецификации модели, включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.

Включение в уравнения множественной регрессии того или иного набора факторов связано, прежде всего, с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые  во множественную регрессию должны отвечать следующим требованиям:

  1.  должны быть количественно измеримы;
  2.  не должны быть интеркоррелированы и, тем более, находиться в точной функциональной связи.

Включаемые во множественную регрессию факторы  должны объяснять вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором р-факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации R2, который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии  р-факторов. Влияние других, неучтенных в модели факторов, оценивается как 1-R2 с соответствующей остаточной дисперсией S2 .

При дополнительном включении в регрессию фактора (1+р) коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться: R2p+1 >= R2p и S2р+1 =< S2р

Если же этого не происходит и данные показатели практически мало отличаются друг от друга, то включаемые в анализ фактор хр+1 не улучшает модель и практически является лишним фактором.

Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметром регрессии по t –критерию Стьюдента. Т.о. отбор факторов обычно осуществляется в две стадии: на первой – подбирают факторы исходя из сущности проблемы; на второй – на основе матрицы показателей корреляции определяют t-статистики для параметров регрессии.

Для оценки значимости коэффициента регрессии его величину сравнивают с его стандартной ошибкой, т.е. определяют фактическое значение t-критерия  Стьюдента

где mb – стандартная ошибка параметра  ,

где S остаточная дисперсия на одну степень свободы

Данный критерий затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости α и числе степеней свободы (n-2).

Если tтабл < tфакт, то H0 отклоняется, т.е. переменная оказывает влияние на модель. Если tтабл > tфакт, то гипотеза Но не отклоняется т.е. переменная не оказывает влияние на модель.


48. Применение фиктивных переменных при исследовании сезонных колебаний: спецификация модели, экономический смысл параметров при фиктивных переменных

Термин “фиктивные переменные” используется как противоположность “значащим” переменным, показывающим уровень количественного показателя, принимающего значения из непрерывного интервала. Как правило, фиктивная переменная — это индикаторная переменная, отражающая качественную характеристику. Чаще всего применяются бинарные фиктивные переменные, принимающие два значения, 0 и 1, в зависимости от определенного условия. Например, в результате опроса группы людей 0 может означать, что опрашиваемый - мужчина, а 1 - женщина. Могут быть разного рода атрибутивные признаки, такие, например, как профессия, пол, образование, климатические условия, принадлежность к определенному региону.

Регрессионная модель, включающая в качестве фактора (факторов) фиктивную переменную, называется регрессионной моделью с переменной структурой.

Рассмотрим временной ряд Xi j,

где i — это номер сезона (периода времени внутри года, напри мер, месяца или квартала);

 (L — число сезонов в году);

j — номер года, j = (m — общее количество лет).

Количество уровней исходного ряда равно L × m = n. Число сезонных фиктивных переменных в регрессионной модели всегда должно быть на единицу меньше сезонов внутри года, т. е. должно быть равно величине L 1. При моделировании годовых данных регрессионная модель, помимо фактора времени, должна содержать одиннадцать фиктивных компонент (12 1).

Каждому из сезонов соответствует определенное сочетание фиктивных переменных. Сезон, для которого значения всех фиктивных переменных равны нулю, принимается за базу сравнения. Для остальных сезонов одна из фиктивных переменных принимает значение, равное единице. Если имеются поквартальные данные, то значения фиктивных переменных D1, D2, D3 будут принимать следующие значения для каждого из кварталов

Квартал

D2

D3

D4

1

0

0

0

2

1

0

0

3

0

1

0

4

0

0

1

         

Общий вид регрессионной модели с переменной структурой в данном случае будет иметь вид:

yt =β0 +β1 ×t+δ2 ×D2 +δ3 ×D3 +δ4 ×D4 t

Построенная модель регрессии является разновидностью аддитивной модели временного ряда. Базисным уравнением исследуемой регрессионной зависимости будет являться уравнение тренда для первого квартала:

y =β +β ×t

Тогда общий вид модели регрессии с переменной структурой будет иметь вид:

yt=β0+ β1*t+δ2*D2+δ3*D3+δ4*D4+εt.

Данная модель регрессии представляет собой одну из разновидностей аддитивной модели временного ряда.

На основе общей модели регрессии с переменной структурой можно составить базисную модель или модель тренда для первого квартала:

yt=β0+ β1*t+εt.

Также на основе общей модели регрессии с переменной структурой можно составить частные модели регрессии:

1) частная модель регрессии для второго квартала:

yt=β0+ β1*t+δ2+εt;

2) частная модель регрессии для третьего квартала:

yt=β0+ β1*t+δ3+εt;

3) частная модель регрессии для четвёртого квартала:

yt=β0+ β1*t+δ4+εt.

Данные частные модели регрессии отличаются друг от друга только на величину свободного члена δi.

Коэффициент β1 характеризует среднее абсолютное изменение уровней временного ряда под влиянием основной тенденции.

Сезонная компонента для каждого сезона рассчитывается как разность между средним значением свободных членов всех частных моделей регрессий и значением постоянного члена одной из моделей.

Среднее значение свободных членов всех частных моделей регрессий рассчитывается по формуле:

Для поквартальных данных оценка сезонных отклонений осуществляется по формулам:

1) оценка сезонного отклонения для первого квартала:

2) оценка сезонного отклонения для второго квартала:

3) оценка сезонного отклонения для третьего квартала:

4) оценка сезонного отклонения для четвёртого квартала:

Сумма сезонных отклонений должна равняться нулю.


49. Принципы спецификации эконометрических моделей и их формы

Первый принцип спецификации эконометрической модели является универсальным принципом метода математического моделирования. Принцип заключается в том, что спецификация модели возникает в результате трансляции на математический язык взаимосвязей исходных данных экономической задачи (экзогенных переменных модели) и ее искомых неизвестных (эндогенных переменных модели). В процессе такой такой трансляции опираются на законы экономической теории, которые, по возможности, стараются описать линейными алгебраическими функциями.

Второй принцип требует, чтобы количество уравнений, составляющих спецификацию модели, в точности совпадало с количеством эндогенных переменных, включенных в модель.

Модель, возникающая на этапе спецификации, как правило, имеет структурную форму, отражающую заложенные в модель экономические утверждения. В такой форме эндогенные переменные модели, как правило, не выражены явно через ее экзогенные переменные. При помощи алгебраических преобразований модель от структурной формы может быть трансформирована к приведенной форме, где каждая эндогенная переменная представляется в виде явной функции только экзогенных переменных модели. Приведенная форма модели непосредственно предназначена для прогноза (объяснения) эндогенных переменных при помощи экзогенных переменных. В частном случае структурная форма модели может совпадать с приведенной формой.


50. Проблема мультиколлинеарности в моделях множественной регрессии. Признаки мультиколлинеарности

Множественная регрессия позволяет построить и проверить модель линейной связи между зависимой (эндогенной) и несколькими независимыми (экзогенными) переменными: y = f(x1,...,xр ), где у - зависимая переменная (результативный признак); х1,...,хр - независимые переменные (факторы).

Множественная линейная регрессионная модель имеет вид:

 y=a+b1x1+b2x2+…+bpxp+ε

Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

1. быть количественно измеримы. При включении качественного фактора нужно придать ему количественную определенность

2. не должны быть коррелированы между собой и тем более и годиться в точной функциональной связи.

Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, когда ryx1 < rx1x2  может повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии.

Поскольку одним из условий построения уравнения множественной регрессии является независимость действия факторов, коллинеарность факторов нарушает это условие. Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими  факторами.

Признаки мультиколлинеарности.

1.В модели с двумя переменными одним из признаков мультиколлинеарности является близкое к единице значение коэффициента парной корреляции. Если значение хотя бы одного из коэффициентов парной корреляции больше, чем 0,8, то мультиколлинеарность представляет собой серьезную проблему.

Однако в модели с числом независимых переменных больше двух, парный коэффициент корреляции может принимать небольшое значение даже в случае наличия мультиколлинеарности. В этом случае лучше рассматривать частные коэффициенты корреляции.

2. Для проверки мультиколлинеарности можно рассмотреть детерминант матрицы коэффициентов парной корреляции |r|. Этот детерминант называется детерминантом корреляции |r| (0; 1). Если |r| = 0, то существует полная мультиколлинеарность. Если |r|=1, то мультиколлинеарность отсутствует. Чем ближе |r| к нулю, тем более вероятно наличие мультиколлинеарности.

3. Если оценки имеют большие стандартные ошибки, невысокую значимость, но модель в целом значима (имеет высокий коэффициент детерминации), то это свидетельствует о наличие мультиколлинеарности.

4. Если введение в модель новой независимой переменной приводит к существенному изменению оценок параметров и небольшому изменению коэффициента детерминации, то новая переменная находится в линейной зависимости от остальных переменных


51. Прогнозирование экономических переменных. Проверка  адекватности модели

Экономическое прогнозирование (ЭП) - это процесс разработки экономических прогнозов, основанных на научных методах познания экономических явлений и использования всей совокупности методов, средств и способов экономической прогностики.

Рассмотрим две переменные x и y, где y - зависимая переменная (регрессант, эндогенная переменная), x – независимая переменная (регрессор, экзогенная переменная). Функция y = f(Х*) называется функцией регрессии у по Х, если она описывает изменение условного среднего значения результирующей переменной у в зависимости от изменения переменных Х. Соотношение между переменными будем обозначать: y = f (x).

f(X) = E(y| X).

В регрессионной анализе результирующая переменная у может быть рассмотрена как функция, значения которой можно определить, используя значения объясняющих переменных Х = (х(1), х(2),…, х(k)). Математически это можно записать в виде уравнения регрессионной зависимости

у(Х)=f(Х)+ε(X),

E(ε(X))= 0.

Здесь ε(Х) – случайная составляющая. Она отражает влияние на фактор у, не учтенных в модели объясняющих переменных Х, а также включает в себя возможные случайные погрешности измерения объясняемой переменной у. E(ε(X))= 0 при любом фиксированном значении Х.

Сложность экономических процессов и явлений затрудняют проверку их адекватности, истинности получаемых результатов.

Модель именуется адекватной, если прогнозы значений эндогенной переменной согласуются с её наблюденными значениями.

В целом для проверки адекватности модели используются различные тесты, например Коэффициент детерминации, F-тест, Тест Стьюдента, Ошибка аппроксимации, Тест Дарбина- Уотсона и тест Голфелда-Квандта.

Тест Голфелда-Квандта предназначен для проверки предпосылки теоремы Гаусса-Маркова о гомоскедастичности случайных  возмущений в уравнениях наблюдений, т.е. о том, что Var(u1)=Var(u2)=….=Var(un)=σ2

Тест Дарбина-Уотсона. Этот тест предназначен для проверки третьей Cov(ui;uj)=0 при ij. Часто истинной причиной неадекватности предпосылки оказывается ошибка в выборе уравнения регрессии в спецификации модели. Данный тест является одним из наиболее важных тестов в эконометрике.

Ошибка аппроксимации. Величина  отклонений фактических и расчетных значений результативного признака ( yyx) по каждому признаку представляет собой ошибку  аппроксимации (ОА). Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, находят среднюю ОА как среднюю арифметическую простую.

или , где n-число наблюдений

F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Fфакт определяется как

F= (R2/k)/((1-R2)/n-k-1)= ESS/k)/(RSS/n-k-1), где n — число единиц совокупности; m - число параметров при переменных х

Если Fтабл<Fфакт, то Н0 - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если Fтабл>Fфакт, то гипотеза Н0 не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Тест Стьюдента. Отношение коэффициента регрессии к его стандартной ошибке дает t-статистику, которая подчиняется статистике Стьюдента при (n-2) степенях свободы. Эта статистика применяется для проверки статистической значимости коэффициента регрессии и для расчета его доверительного интервала.

Фактическое значение t-критерия Стьюдента определяется как


53.Регрессионные модели с фиктивными переменными.

Термин “фиктивные переменные” используется как противоположность “значащим” переменным, показывающим уровень количественного показателя, принимающего значения из непрерывного интервала. Как правило, фиктивная переменная — это индикаторная переменная, отражающая качественную характеристику. Чаще всего применяются бинарные фиктивные переменные, принимающие два значения, 0 и 1, в зависимости от определенного условия. Например, в результате опроса группы людей 0 может означать, что опрашиваемый - мужчина, а 1 - женщина.

Рассмотрим модель регрессии, характеризующую зависимость переменной размера заработной платы у от переменной стажа работников х с различным образованием. Качественная переменная «образование» может принимать три значения: среднее, среднее специальное и высшее. Для включения факторной переменной «образование» в модель регрессии, необходимо ввести две новых фиктивных переменных, потому что их количество должно быть на единицу меньше, чем значений качественной переменной.

Следовательно, качественная переменная «образование» может быть представлена в виде:

Модель регрессии, характеризующая зависимость переменной размера заработной платы у от переменной стажа работников х с различным образованием, примет вид: y=β0+β1x+β2D1+ β3D2.

Моделью регрессии без ограничений называется модель регрессии, в которую включены все фиктивные переменные. Базисной моделью или регрессией с ограничениями называется модель регрессии, в которой все значения фиктивных переменных равны нулю.

54.Свойства временных рядов

Временной ряд – это датированная целочисленными моментами времени t экономическая переменная . Эта переменная служит количественной характеристикой некоторого экономического объекта, поэтому изменение этой переменной во времени определяется факторами, оказывающими воздействие на данный объект с ходом времени. Все факторы делятся на 3 класса.

1 класс: факторы («вековые» воздействия), результирующее влияние которых на данный объект на протяжении длительного отрезка времени не изменяют своего направления. Они порождают монотонную составляющую (тенденцию или тренд).

2 класс: факторы (циклические воздействия), результирующее влияние которых на объект совершает законченный круг в течение некоторого фиксированного промежутка времени T.

3 класс: факторы (случайные воздействия),результирующее влияние которых на объект с высокой скоростью меняет направление и интенсивность.

3 Класс факторов позволяют интерпретировать величину  в каждый период времени как случайную переменную. Закон распределения этой переменной  зависит от переменной времени t , т.е. . Следовательно, от переменной времени t зависят и основные количественные характеристики временного ряда : .


55.Составление спецификации модели временного ряда.

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов. Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (T), циклической (S) и случайной (Е) компонент. Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, - аддитивные модели, как произведение -мультипликативные модели временного ряда.  Аддитивная модель имеет вид: Y = Т + S + Е; мультипликативная модель: Y=T* S • Е, где Т- тренд, S- сезонная составляющая, Е – случайная составляющая .

Построение модели включает следующие шаги:

  1.  выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;
  2.  расчет значений сезонной компоненты S;
  3.  устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (Т + Е) или в мультипликативной (Т * Е) модели;
  4.  аналитическое выравнивание уровней (Т + Е) или (Т * Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда;
  5.  расчет полученных по модели значений (T + S) или (Т * S);
  6.  расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве независимой переменной выступает время t = 1, 2, ..., п, а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда уt.

Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации R2. 

56, 57. Спецификация и оценивание МНК эконометрических моделей нелинейных по параметрам.

В моделях, нелинейных по параметрам, например степенных или  показательных, непосредственное применение МНК для их оценки  невозможно, так как необходимым условием применимости МНК является линейность по коэффициентам уравнения регрессии. В данном случае преобразованием, которое приводит уравнение регрессии к линейному виду, является логарифмирование.  Логарифмические модели: Y = AXb,  где А и b— параметры модели.  Прологарифмируем обе части данного уравнения: ln(Y)=ln(A) + b*ln(X) = a+b*ln(X), где а= ln(A) (*). Спецификация, соответствующая (*) называется двойной логарифмической моделью: ln(Y)= a+ b*ln(X)+u, поскольку и эндогенная переменная, и регрессор используются в логарифмической форме. Введем обозначения: Y*=ln(Y), X*=ln(X)

Y*=a+b*X+u

Получаем спецификацию линейной модели, к которой при соответствующем включении случайного возмущения применим МНК.

В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразованным уравнениям. Пусть получена МНК-оценка моделиY*=a+b*X+u:

y*=ā + bx+u

  (Sā) (Sb) (Su)

Коэффициенты исходной модели и их стандартные ошибки вычисляются с учетом замены.

Нелинейный МНК. В общем случае оценка нелинейных по параметрам уравнений  выполняется с помощью так называемого нелинейного метода наименьших квадратов (НМНК).

Обозначим нелинейное по параметрам уравнение регрессии f(X, ß) (X— матрица рсгрсссоров,ß — вектор параметров). Параметры уравнений в данном методе подбираются таким образом, чтобы максимально приблизить кривую f(X, ß) к результатам  

наблюдений эндогенной переменной Y. Таким образом, здесь, как и в обычном

МНК, минимизируется сумма квадратов отклонений:

F=2 (**)

Если продифференцировать F по параметрам и приравнять производные нулю, то получим нелинейную систему нормальных уравнений. В случае линейного уравнения регрессии нормальные уравнения представляли собой систему линейных уравнений, решение которой не составляло труда.

Нелинейный метод наименьших квадратов  сводится к задаче минимизации функции (**) нескольких переменных ß=(ß1,…,ßn)


58.Спецификация моделей со случайными возмущениями и преобразование их к системе нормальных уравнений.

Один из принципов спецификации - включение в спецификацию экономической модели  случайных возмущений.  На практике не всегда удается учесть влияние всех факторов на изучаемую переменную (например, в функции спроса учесть возрастные особенности потребителя), выбрать  правильную форму математической зависимости между экономическими переменными (например, нелинейную вместо линейной), безошибочно выполнить измерения (правильно провести опрос). Поэтому  необходимо включать некоторые случайные величины, называемые случайные возмущения.

Y = f(x)+ε  , где f(x)- часть эндогенной переменной, объясняемая значением экзогенной переменной Х; ε – случайное возмущение. Для того чтобы среди множества уравнений регрессии выбрать одно, необходим критерий отбора. При оценивании параметров регрессионных моделей наиболее часто применяется МНК. Его оценки обладают свойствами несмещённости, состоятельности, эффективности:

(1)

То есть оценки параметров должны быть подобраны таким образом, чтобы сумма квадратов случайных возмущений стремилась к минимуму

(2)

Для нахождения минимума дифференцируем (1):

Получаем стандартную форму нормальных уравнений:

Из которых находим параметры.

59.Способы корректировки гетероскедастичности. Метод взвешенных наименьших квадратов.

Гетеро-сть приводит к неэффективности оценок несмотря на их несмещенность. Это может привести к необоснованным выводам по качеству модели. Поэтому при установлении гетеро-сти возникает необходимость преобразования модели с целью устранения данного недостатка. Вид преобразования зависит от того, известны или нет дисперсии отклонений случайных возмущений. Если такие дисперсии известны, применяется метод взвешенных наименьших квадратов (ВНК).

Опишем метод ВНК на примере парной регрессии:

Разделим обе части на известное СКО:

Перейдем к новым переменным:

При этом для vi выполняется условие гомоскедастичности:

Так как по первой предпосылки МНК , то


То есть выполняются все предпосылки МНК, то есть все полученные оценки будут наилучшими линейными несмещенными оценками.


60.Статистические свойства оценок параметров парной регрессионной модели

Исходя из теоремы Гаусса-Маркова, МНК-оценки  параметров парной регрессии обладают следующими свойствами:

  1.  Линейность – то есть она является линейным функционалом
  2.  Нормальность – то есть её распределение нормально
  3.  Несмещенность – то есть её математическое ожидание равно значению параметра
  4.  Состоятельность – то есть она сходится по вероятности к истинному значению параметра
  5.  Эффективность – то есть мера эффективности одной оценки не больше для любой другой оценки из того же класса

61.Статистические характеристики выборки и генеральной совокупности статистических данных. Их соотношения.

Генеральная совокупность – это всё множество объектов, обладающих определенным набором признаков (пол, возраст, доход, численность, оборот и т.д.), ограниченная в пространстве и времени, входящих в предмет изучения в соответствии с программой исследования.

Выборка (Выборочная совокупность) – часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение обо всей генеральной совокупности. Для того чтобы заключение, полученное путем изучения выборки, можно было распространить на всю генеральную совокупность, выборка должна обладать свойством репрезентативности.

В основе статистических выводов проведенного исследования лежит распределение случайной величины X, наблюдаемые же значения(х1, х2, … ,хn)называются реализациями случайной величины Х (n — объем выборки). Распределение случайной величины X в генеральной совокупности носит теоретический, идеальный характер, а выборочный аналог является эмпирическим распределением.

Для выборки же функцию распределения определить трудно, а иногда невозможно, поэтому параметры оценивают по эмпирическим данным, а затем их подставляют в аналитическое  выражение, описывающее теоретическое распределение. В любом случае восстановленное по выборке эмпирическое распределение лишь грубо характеризует истинное. Важнейшими параметрами распределений являются математическое ожидание E(x) и дисперсия .

По своей природе распределения бывают непрерывными и дискретными. Наиболее известным непрерывным распределением является нормальное. Выборочными аналогами параметров E(x) и  для него являются: среднее значение  и эмпирическая дисперсия . Среди дискретных в социально-экономических исследованиях наиболее часто применяется альтернативное (дихотомическое) распределение. Параметр математического ожидания E(x) этого распределения выражает относительную величину (или долю) единиц совокупности, которые обладают изучаемым признаком X (она обозначена буквой p); доля совокупности, не обладающая этим признаком, обозначается буквой q (q = 1 — p). Дисперсия же альтернативного распределения также имеет эмпирический аналог .

В зависимости от вида распределения и от способа отбора единиц совокупности по-разному вычисляются характеристики параметров распределения. Долей выборки kn называется отношение числа единиц выборочной совокупности к числу единиц генеральной совокупности: kn = n/N. Выборочная доля w — это отношение единиц, обладающих изучаемым признаком x к объему выборки n: w = nn/n.

Так как выборочная совокупность отлична от генеральной, то возникают ошибки выборки.

Связь: E(Xв(с чертой))=Хо(с чертой).

Е(Дв)=((n -1)/³)*До

Д(Хв(с чертой))=До/n

62.Схема Гаусса – Маркова

В рамках модели (1)

величины выборки (2)  связаны следующей системой линейных алгебраических уравнений:

 ……………………..

 

Она называется системой уравнений наблюдений объекта в рамках линейной модели (1), или, иначе, схемой Гаусса – Маркова. Компактная запись:

где  – вектор наблюденных значений эндогенной переменной y  модели (1);

- ненаблюдаемый вектор случайных возмущений (остатков);

– матрица наблюденных значений предопределенной переменной x модели (1), расширенная (при наличии в функции регрессии определяемого коэффициента ) столбцом единиц;

Наконец,  - вектор неизвестных коэффициентов функции регрессии модели, подлежащий оцениванию по выборке (2).


63.Теорема Гаусса-Маркова

Пусть матрица X уравнений наблюдений   имеет размер , где , и обладает линейно-независимыми столбцами, а случайные возмущения  удовлетворяют четырем условиям:

Тогда:

А) Наилучшая линейная процедура  имеет вид:

 

Б) Эффективная линейная несмещенная оценка  обладает свойством наименьших квадратов:

В) Ковариационная матрица оценки  вычисляется по правилу

Г) Несмещенная оценка параметра  модели находится по формуле  

где n – число уравнений наблюдений, k+1 – количество неизвестных  коэффициентов функции регрессии модели.

64. Тест ошибочной спецификации Рамсея.

Тест Рамсея позволяет проверить, стоит ли начинать поиск дополнительной переменной для включения в уравнение

1. Оценивается уравнение регрессии

2. Вычисляются степени оценок зависимой переменной

3. Оценивается уравнение регрессии с этими степенями

4. Проводится оценка улучшения по F-критерию


  1.  Тест Стьюдента

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей.

Для оценки значимости коэффициента регрессии его величину сравнивают с его стандартной ошибкой, т.е. определяют фактическое значение t-критерия  Стьюдента

где mb – стандартная ошибка параметра  ,

где S остаточная дисперсия на одну степень свободы

Данный критерий затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости α и числе степеней свободы (n-2). Этот же результат можно получить после извлечения корня из F-критерия, т.е. tb=. Аналогично для параметра а.

Фактическое значение t-критерия Стьюдента определяется как

Данная формула свидетельствует о том, что в парной линейной регрессии t2r=F. Кроме того t2b=F, следовательно, t2r= t2b. Таким образом проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о значимости линейного уравнения регрессии.

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики – tтабл и tфакт - принимаем или отвергаем гипотезу H0.

Если tтабл < tфакт, то H0 отклоняется, т.е. a и b не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если tтабл > tфакт, то гипотеза Но не отклоняется и признается случайная природа формирования a и b.


66, 67. Типы переменных в эконометрических моделях. Структурная и приведённая формы спецификации эконометрических моделей.

Типы переменных: эндогенные – образуются внутри модели. Экзогенные – не зависят от модели, внешние для модели.

Модель, возникающая на этапе спецификации, как правило, имеет структурную форму, отражающую заложенные в модель экономические утверждения. В такой форме эндогенные переменные модели, как правило, не выражены явно через ее экзогенные переменные. При помощи алгебраических преобразований модель от структурной формы может быть трансформирована к приведенной форме, где каждая эндогенная переменная представляется в виде явной функции только экзогенных переменных модели. Приведенная форма модели непосредственно предназначена для прогноза (объяснения) эндогенных переменных при помощи экзогенных переменных. В частном случае структурная форма модели может совпадать с приведенной формой.

Переход от структурной к приведенной форме возможен всегда и однозначно, а обратное неверно.

Приведенная форма.

Структурная форма.


68. Устранение автокорреляции в парной регрессии

Модель называется автокоррелированной, если не выполняется третья предпосылка теоремы Гаусса-Маркова:  Cov(ui,uj)≠0 при ij.

Автокорреляция чаще всего появляется в моделях временных рядов и моделировании циклических процессов.

Причина – неправильный выбор спецификации модели.

Последствия автокорреляции (оценки коэффициентов теряют эффективность, стандартные ошибки коэффициентов занижены).

Для устранения автокорреляции можно воспользоваться процедурой Кохрейна-Орката:

1)По выборочным данным выполняется настройка модели и вычисляется вектор остатков регрессии е.

2)По остаткам регрессии оценивается модель авторегрессии:

3)С оценкой  выполняются преобразования (1) и (2).

4)Строится новый вектор остатков, и процедура повторяется (начиная с П.2).

Итерационный процесс заканчивается при условии совпадения оценок на последней и предпоследней итерациях с заданной степенью точности.


69. F-тест качества спецификации множественной регрессионной модели.

Статистикой обсуждаемого ниже критерия гипотезы H0: R2=0 (гипотеза о том что модель абсолютно плохая) против альтернативы H1: служит случайная переменная:

  (1)

Здесь k — количество регрессоров в модели множественной регрессии, п — объем обучающей выборки (у, X), по которой оценена МНК-модель. В ситуации, когда гипотеза H0 справедлива, а случайный остаток и в модели обладает нормальным законом распределения, случайная переменная Fтест имеет распределение Фишера с количествами степеней свободы ν1 и ν2, где ν1=k и ν2=n-(k+1) (2)

Данное утверждение положено в основу F-теста. Вот этапы выполнения этой процедуры.

1) вычислить величину (1);

2) задаться уровнем значимости а € (0, 0,05] и при помощи
функции
FPACПOБP Excel при количествах степеней свободы
(2) отыскать (1-α)-квантиль распределения Фишера
Fкрит

3) проверить справедливость неравенства  F<Fкрит  (3)

Если оно справедливо, то принять гипотезу H0 и сделать вывод о неудовлетворительном качестве регрессии, т.е. об отсутствии какой-либо объясняющей способности регрессоров в рамках линейной модели.

Напротив, когда неравенство (3) несправедливо —следует отклонить гипотезу H0 в пользу альтернативы H1. Другими словами, сделать вывод о том, что качество регрессии удовлетворительно, т.е. регрессоры в рамках линейной модели обладают способностью объяснять значения эндогенной переменной у.


70. Фиктивная переменная наклона: назначение; спецификация

Фиктивные (искусственные) переменные (dummy variables)- это переменные с дискретным множеством значений, которые количественным образом описывают качественные признаки.

В регрессионных моделях применяются фиктивные переменные двух типов: переменные сдвига и переменные наклона.

Фиктивная переменная наклона изменяет наклон линии регрессии. При помощи фиктивных переменных наклона можно построить кусочно-линейные модели, которые позволяют учесть структурные изменения в экономических процессах (например, введение новых правовых или налоговых ограничений, изменение политической ситуации и т. д.).

Спецификация регрессионной модели в этом случае (например, для парной регрессионной модели, для простоты) имеет вид:

       0 – до структурных изменений

dt =  1 – после структурных изменений,

dt - бинарная переменная

Фиктивная переменная входит в уравнение в мультипликативной форме.


71.Функция регрессии как оптимальный прогноз

Конечной целью статистического анализа временных рядов является прогнозирование будущих значений исследуемого показателя. Различают д/ср и кр/ср прогнозирование. В первом анализируется долговременная динамика исследуемого процесса, и главным считается выделение общего направления его изменения (тренда). Для предсказания кр/ср колебаний проводится более детальный регрессионный анализ с целью выявления большого числа показателей, определяющих поведение исследуемой величины.

Пусть оценивается модель вида  Y^t = b0+b1*xt в момент времени (). Значение  Y^t+p – значение по уравнению регрессии, построенному по МНК. Тогда доверительный интервал для действительного значения множественной регрессии имеет вид:

   

где – критическое значение, определяемое для соответствующего уровня значимости и числа степеней свободы ; – стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии); – значение объясняющей переменной в момент (); – дисперсия переменной .

После получения прогнозных значений необходимо проверить качество прогноза. Для этого используются следующие показатели:

  1.  Относительная ошибка прогноза, вычисляемая по формуле:

или                        

Чем больше значение ошибки (выраженное в процентах), тем хуже качество прогноза.

  1.  Стандартная среднеквадратическая ошибка, рассчитываемая по формуле:     

где – количество прогнозных периодов.

Значения показателя лежат в интервале от нуля до единицы.

При прогноз абсолютно точен. Таким образом, чем ближе значение к нулю, тем точнее прогноз.

  1.  Точечный прогноз осуществляется путем подстановки требуемого значения в полученное уравнение регрессии.

Интервальная оценка для линейной парной регрессии  находится из условия:

где L - период упреждения;

уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени;

n - количество наблюдений во временном ряду;

Sy -стандартная ошибка прогнозируемого показателя, рассчитанная по ранее приведенной формуле;  

ta - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n — 2.


72.Характеристики сервиса «Описательная статистика».

Инструмент "Описательная статистика" автоматически вычисляет наиболее широко используемые в практическом анализе характеристики распределений. При этом значения могут быть определены сразу для нескольких исследуемых переменных.

Определим параметры описательной статистики для переменных(а,б,в,г,д…). Для этого необходимо выполнить следующие шаги.

1.Выберите в главном меню тему "Сервис" пункт "Анализ данных". Результатом выполнения этих действий будет появление диалогового окна "Анализ данных", содержащего список инструментов анализа.

2.Выберите из списка "Инструменты анализа" пункт "Описательная статистика" и нажмите кнопку "ОК". Результатом будет появление окна диалога инструмента "Описательная статистика".

3.Заполнить поля диалогового окна и  нажать кнопку "ОК".

Результатом выполнения указанных действий будет формирование отдельного листа, содержащего вычисленные характеристики описательной статистики для исследуемых переменных.

Получаем данные на листе "Результаты анализа". Вторая строка содержит значения стандартных ошибок e для средних величин распределений. Другими словами среднее или ожидаемое значение случайной величины М(Е) определено с погрешностью ± e .

Медиана – это середина численного ряда или интервала. Как и математическое ожидание, медиана является одной из характеристик центра распределения случайной величины. В симметричных распределениях значение медианы должно быть равным или достаточно близким к математическому ожиданию.

Мода – наиболее часто встречающееся значение в интервале данных. Для симметричных распределений мода равна математическому ожиданию. Иногда мода может отсутствовать.

Эксцесс характеризует остроконечность (положительное значение) или пологость (отрицательное значение) распределения по сравнению с нормальной кривой. Теоретически, эксцесс нормального распределения должен быть равен 0. Однако на практике для генеральных совокупностей больших объемов его малыми значениями можно пренебречь.

Асимметричность (коэффициент асимметрии) характеризует смещение распределения относительно математического ожидания. При положительном значении коэффициента распределение скошено вправо, т.е. его более длинная часть лежит правее центра (математического ожидания) и обратно. Для нормального распределения коэффициент асимметрии равен 0. На практике, его малыми значениями можно пренебречь.

Величина "Интервал" определяется как разность между максимальным и минимальным значением случайной величины (численного ряда).

Параметры "Счет" и "Сумма" представляют собой число значений в заданном интервале и их сумму соответственно.

Последняя характеристика "Уровень надежности" показывает величину доверительного интервала для математического ожидания согласно заданному уровню надежности или доверия. По умолчанию уровень надежности принят равным 95%. Чем выше принятый уровень надежности, тем больше будет величина доверительного интервала для среднего.

Расчет доверительного интервала для среднего значения можно также осуществить с помощью специальной статистической функции ДОВЕРИТ() 


73. Метод наибольшего прадоподобия

МНП позволяет получить по крайней мере асимптотически несмещенные и эффективные оценки параметров распределения.

В основе ММП лежит понятие функции правдоподобия выборки

Определение. Пусть имеем случайную величину Y, которая имеет функцию плотности вероятностей Py(t, a1,a2,…,ak) и случайную выборку Y(y1,y2,…,yn )наблюдений за поведением этой величины. Тогда функцией правдоподобия выборки Y(y1,y2,…,yn) называется функция L,  зависящая от аргументов а={a1,a2,…,ak}, и от элементов выборки как от параметров и определяется равенством

Метод наибольшего правдоподобия -- метод поиска модели, наилучшим в каком-то смысле образом описывающей обучающую выборку, полученную с некоторым неизвестным распределением.

Функция правдоподобия

Идея метода.

В качестве оценки неизвестного параметра принимается такое, которое обеспечивает максимум функции правдоподобия при всех возможных значениях случайной величины Y

Математически это выражается так:

ãj= argmax(L(a1,a2,…,ak, y1,y2,…,yn)

Очевидно, что оценка ãj зависит от случайной выборки, следовательно, ãj= f(y1,y2,…,yn), где f есть процедура вычисления оценки ãj по результатам выборки

Алгоритм решения задачи

Предполагается:

1. Вид закона распределения известен;

2. Функция плотности вероятности гладкая во всей области определения

Последовательность решения:

1. Составляется функция правдоподобия

2. Вычисляется логарифм функции правдоподобия

3. Оценки параметров получаются в результате решения системы уравнений вида:

4. Проверяется условие максимума функции правдоподобия


74. Что такое стационарный процесс

Стационарный случайный процесс, важный специальный класс случайных процессов, часто встречающийся в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники. Случайный процесс X (t) называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются с течением времени t (так что, например, распределение вероятностей величины X (t)при всех t является одним и тем же, а совместное распределение вероятностей величин X (t1) и X (t2) зависит только от продолжительности промежутка времени t2—t1, т. е. распределения пар величин {X (t1), X (t2)} и {X (t1 + s), X (t2 + s)} одинаковы при любых t1, t2 и s и т.д.

75. Эконометрика, её задача и метод.

Эконометрика – наука, изучающая конкретные количественные закономерности и взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических методов и моделей.

Задача эконометрики состоит в выявлении связей между количественными характеристиками экономических объектов. Целью выявления связей является построение математических правил прогноза, недоступных для наблюдения количественных характеристик изучаемых объектов по наблюденным или заданным значениям других количественных характеристик этих объектов.

Эконометрика служит инструментом решения прогнозных экономических задач методом математического моделирования.


76.Экспоненциальное сглаживание временного ряда

Выявление и анализ тенденции временного ряда часто производится с помощью его выравнивания или сглаживания. Экспоненциальное сглаживание — один из простейших и распространенных приемов выравнивания ряда. Экспоненциальное сглаживание можно представить как фильтр, на вход которого последовательно поступают члены исходного ряда, а на выходе формируются текущие значения экспоненциальной средней.

Пусть  - временной ряд.

Экспоненциальное сглаживание ряда осуществляется по рекуррентной формуле:  .

Чем меньше α, тем в большей степени фильтруются, подавляются колебания исходного ряда и шума.

Если последовательно использовать рекуррентное это соотношение, то экспоненциальную среднюю  можно выразить через значения временного ряда X.

Если к моменту начала сглаживания существуют более ранние данные, то в качестве начального значения можно использовать арифметическую среднюю всех имеющихся данных или какой-то их части.

77. Этапы построения эконометрических моделей

1.Спецификация эконометрической модели;

2.Сбор статистической информации об объекте-оригинале в виде конкретных значений экзогенных и эндогенных переменных, включенных в спецификацию модели;

3.Оценивание неизвестных параметров модели (настройка, оценивание или идентификация модели);

4.Проверка адекватности оцененной модели (проверка соответствия настроенной модели объекту-оригиналу).


78. Этапы решения экономико-математических задач.

Решение экономико-математической задачи  включает следующие этапы:

  1.  Предварительное построение упрощенной схемы задачи, составленной математическим языком (эта схема именуется математической моделью объекта)
  2.   Расчет по этой схеме искомых данных
  3.  Выводы

Наиболее сложным и трудоемким этапом в решение экономико-математической задачи является построение экономической модели. Рассмотрим этапы построения экономической модели:

1)Спецификация модели

2)Подготовка исходной информации(сбор статистической информации об объекте-оригинале в виде конкретных значений экзогенных и эндогенных переменных, включенных в спецификацию модели)

3)Оценивание параметров модели (настройка, оценивание или идентификация модели)

4)Тестирование качества параметров модели:

 - гомоскедастичность

 - автокорреляция

5)Проверка адекватности (проверка соответствия настроенной модели объекту-оригиналу)

Содержание

  1.  Автокорреляция случайного возмущения. Причины. Последствия.
  2.  Алгоритм проверки адекватности парной регрессионной модели.
  3.  Алгоритм проверки значимости регрессора в парной регрессионной модели.  
  4.  Алгоритм теста Голдфелда-Квандта на наличие (отсутствие) гетероскедастичности  случайных возмущений.
  5.  Алгоритм теста Дарбина-Уотсона на наличие (отсутствие) автокорреляции случайных возмущений.
  6.  Гетероскедастичность случайного возмущения. Причины.
  7.  Динамическая модель из одновременных линейных уравнений (привести пример).
  8.  Идентификация отдельных уравнений системы одновременных уравнений: порядковое условие .
  9.  Индивидуальная оценка значения зависимой переменной
  10.  Интервальная оценка индивидуального значения зависимой переменной
  11.  Классическая парная регрессионная модель. Спецификация модели.  Теорема Гаусса - Маркова.
  12.  Коэффициент детерминации  в  регрессионной модели. 
  13.  Ковариация, коэффициент корреляции и индекс детерминации.
  14.  Количественные характеристики взаимосвязи пары случайных переменных.
  15.  Коэффициент корреляции и индекс детерминации.
  16.  Линейная модель множественной регрессии.
  17.  Метод наименьших квадратов: алгоритм метода; условия применения  
  18.  Метод показателей информационной ёмкости
  19.  Методы подбора переменных в модели множественной регрессии.
  20.  Методы сглаживания временного ряда.
  21.  , 52. Модели временных рядов.
  22.  Модели с бинарными фиктивными переменными.
  23.  Модели с частичной корректировкой
  24.  Настройка  модели с системой одновременных уравнений
  25.  , 26. Нелинейная модель множественной регрессии  (Кобба-Дугласа. Оценка её коэффициентов.
  26.  Нормальный закон распределения как характеристика случайной переменной.
  27.  Обобщенный метод наименьших квадратов
  28.  , 30. Ожидаемое значение случайной переменной, её дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
  29.  Определение соответствия распределения случайных возмущений нормальному закону распределения
  30.  Основные числовые характеристики вектора остатков в классической множественной регрессионной модели  
  31.  Отражение в модели влияния неучтённых факторов.
  32.  Отражение в эконометрических моделях фактора времени.
  33.  , 36., 45. Оценивание линейной модели множественной регрессии в Excel.
  34.  Оценивание регрессионной модели с фиктивной переменной наклона
  35.  Оценка коэффициентов  модели Самуэльсона-Хикса  
  36.  Оценка параметров множественной регрессионной модели методом наименьших квадратов.
  37.  Оценка параметров парной регрессионной модели методом наименьших квадратов.
  38.  Оценка статистической значимости коэффициентов  модели множественной регресии
  39.  Подбор переменных в модели множественной регрессии .на основе метода оценки информационной ёмкости
  40.  Подбор переменных в модели множественной регрессии методом «снизу вверх».
  41.  Подбор переменных в модели множественной регрессии методом исключения переменных («сверху вниз»)
  42.  Последствия гетероскедастичности. Тест GQ 
  43.  Применение теста Стьюдента в процедуре подбора переменных в модели множественной регресии.
  44.  Применение фиктивных переменных при исследовании сезонных колебаний: спецификация модели, экономический смысл параметров при фиктивных переменных.
  45.  Принципы спецификации эконометрических моделей и их формы.
  46.  Проблема мультиколлинеарности в моделях множественной регрессии. Признаки мультиколлинеарности
  47.  Прогнозирование экономических переменных. Проверка  адекватности модели  
  48.  Регрессионные модели с фиктивными переменными.
  49.  Свойства временных рядов
  50.  Составление спецификации модели временного ряда.
  51.  , 57. Спецификация и оценивание МНК эконометрических моделей нелинейных по параметрам.
  52.  Спецификация моделей со случайными возмущениями и преобразование их к системе нормальных уравнений)
  53.  Способы корректировки гетероскедастичности. Метод взвешенных наименьших квадратов
  54.  Статистические свойства оценок параметров парной регрессионной модели
  55.  Статистические характеристики выборки и генеральной совокупности статистических данных. Их соотношения.
  56.  Схема Гаусса – Маркова.
  57.  Теорема Гаусса - Маркова.
  58.  Тест ошибочной спецификации Рамсея.
  59.  Тест Стьюдента
  60.  , 67. Типы переменных в эконометрических моделях. Структурная и приведённая формы спецификации эконометрических моделей.
  61.  Устранение автокорреляции в парной регрессии.
  62.  F-тест качества спецификации множественной регрессионной модели.
  63.  Фиктивная переменная наклона: назначение; спецификация
  64.  Функция регрессии как оптимальный прогноз.
  65.  Характеристики сервиса «Описательная статистика».
  66.  Метод наибольшего правдоподобия
  67.  Что такое стационарный процесс
  68.  Эконометрика, её задача и метод.
  69.  Экспоненциальное сглаживание временного ряда.
  70.  Этапы построения эконометрических моделей.
  71.  Этапы решения экономико-математических  задач.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10052. Редактирование фрагментов текста в MS Word 61.5 KB
  Редактирование фрагментов текста в MS Word Цель: освоить понятия гарнитура размер начертание шрифта научиться форматировать текст используя панель инструментов Форматирование и команды меню: Формат/Шрифт. Рекомендации к выполнению При создании и обработке печатн...
10053. Форматирование абзацев в MS Word 463 KB
  Форматирование абзацев в MS Word Цель: освоить понятия: выравнивание отступ и выступ междустрочный интервал и интервал между абзацами научиться форматировать абзацы используя панель инструментов Форматирование и команды меню Формат / Абзац. Рекомендации к выполнению ...
10054. Захищеність WEB-серверів Apache та IIS 124 KB
  Захищеність WEBсерверів Apache та IIS Постановка проблеми у загальному вигляді та її зв’язок із важливими науковими чи практичними завданнями На сьогодні важливим напрямком підвищення ефективності функціонування багатьох як вітчизняних так і закордонних автоматизова...
10055. Использование искусственных нейронных сетей в задачах распознавания атак на компьютерные системы 103 KB
  Использование искусственных нейронных сетей в задачах распознавания атак на компьютерные системы Статья посвящена вопросам применения искусственных нейронных сетей при разработке методов и средств защиты информации. Проведена оценка возможности использования изв...
10056. Безопасность программного обеспечения, созданного с использованием семейства технологий COM, DCOM, COM+ 132 KB
  Безопасность программного обеспечения созданного с использованием семейства технологий COM DCOM COM Введение Важнейшей предпосылкой использования технологии COM и базирующихся на ней технологий DCOM и COM является создание повторно используемых компонентов которые можн
10057. Концепція використання марківських процесів для контролю атак на програмне забезпечення комп’ютерних систем та мереж 112.5 KB
  Концепція використання марківських процесів для контролю атак на програмне забезпечення комп’ютерних систем та мереж В теперішній час забезпечення безпеки інформації що циркулює в територіально розподілених комп’ютерних системах стає одним із найбільш важливих фак...
10058. Понятие риска 34 KB
  Понятие риска. Существующая литература характеризуется неоднозначностью в трактовке черт свойств и элементов риска в понимании его содержания соотношения объективных и субъективных сторон. Разнообразие мнений о сущности риска объясняется в частности многоаспект...
10059. Характеристика экспертных процедур 42.5 KB
  Характеристика экспертных процедур Эвристические методы или методы экспертных оценок методы использующие результаты опыта и интуицию. Особенностью эвристических методов и моделей является отсутствие строгих математических доказательств оптимальности получаемы...
10060. Общая схема экспертизы 40.5 KB
  Общая схема экспертизы Общая схема экспертных вопросов включает следующие основные этапы: подбор экспертов и формирование экспертных групп, формирование опросов и составление анкет, работу с экспертами, формирование правил определения суммарных оценок н