5844

Теория линий влияния

Реферат

Архитектура, проектирование и строительство

Теория линий влияния 1. Линии влияния внутренних усилий в шарнирно консольной балке При расчете ряда сооружений (мостов, подкрановых балок и т.п.) приходится иметь дело с подвижной нагрузкой в виде проходящих поездов, автомобилей, мостовых кранов и ...

Русский

2012-12-23

109.5 KB

101 чел.

Теория линий влияния

1. Линии влияния внутренних усилий в шарнирно консольной балке

При расчете ряда сооружений (мостов, подкрановых балок и т.п.) приходится иметь дело с подвижной нагрузкой в виде проходящих поездов, автомобилей, мостовых кранов и т.д.. Наиболее простым случаем подвижной нагрузки является сосредоточенная сила, равная единице.

Определение. Назовем линией влияния (реакции, изгибающего момента, поперечной или нормальной силы)  график изменения соответствующего внутреннего усилия в рассматриваемом сечении в зависимости от положения единичной силы.

Рассмотрим шарнирно консольную балку, загруженную подвижной силой F=1 (рис. 1). Положение силы относительно левой опоры определим переменной координатой x. Найдем из условия равновесия балки под действием подвижной нагрузки опорные реакции VA и VB:

, откуда

,

Оказывается, что в зависимости от положения единичной силы F=1, определяемое переменной x, реакция VA меняется по линейному закону. График ее изменения, т.е. линия влияния (Л.в. VA), показан на рис. 1. Знак плюс говорит, о том, что при данном положении единичной силы опорная реакция VA направлена вверх, как на схеме балки.

Закон изменения опорной реакции VB:

, откуда

.

Линия влияния опорной реакции VB показана на рис. 1. Знак «плюс» на л.в. указывает, что реакция направлена вверх.

Установим закон изменения изгибающего момента в известном сечении m (Л.в. Mm):Положение подвижной силы F=1 на балке не определено, поэтому рассмотрим два самых общих случая:

  1.  F=1 находится слева от рассматриваемого сечения m.

Определим изгибающий момент в сечении m исходя из равновесия правой отсеченной части, т.е. той, где нет единичной силы:

, откуда

.

Ранее мы получили, что при загружении балки подвижной единичной нагрузкой опорная реакция VB меняется по линейному закону . Очевидно, что линия влияния Mm (Л.в. Mm) при положении единичной силы слева от сечения m будет представлять собой л.в. VB, ординаты которой увеличены в  раз.

Запомним, что этот закон л.в. Mm выполняется на том участке, где находится подвижная единичная сила, т.е. слева от сечения m.

  1.  F=1 находится справа от сечения m. .

По аналогии с предыдущим случаем, запишем:

, откуда

.

При положении единичной подвижной нагрузки справа от сечения m линия влияния Mm (Л.в. Mm) представляет собой л.в. VA, ординаты которой увеличены в m раз.

Построив левую и правую ветви л.в.Mm на оси балки, получим линию влияния изгибающего момента Mm (рис. 1) при любом положении подвижной нагрузки. Знак «плюс» показывает, что при данном положении единичной подвижной нагрузки растянуты нижние волокна в балке.

Для построения линии влияния поперечной силы Qm рассмотрим те же два случая положения единичной силы F=1.

  1.  F=1 слева от сечения m. .

,

т.е. л.в. Qm представляет собой л.в. VB с отрицательным знаком и действителен этот закон изменения Qm слева от сечения m.

2. F=1 справа от сечения m. .

, т.е. при положении силы справа от сечения m изменяется как л.в.VA.

Построив левую и правую ветви л.в. Qm на оси балки, получим линию влияния поперечной силы Qm (рис. 1).

Таким образом, для построения л.в.Mm и Qm в заданном сечении необходимо рассмотреть два положения единичной подвижной нагрузки относительно сечения (слева и справа) и найти закон изменения внутренних усилий из условий равновесия той отсеченной части балки, где нет силы F=1.

Примените самостоятельно указанный подход к построению л.в. Mn и  Qn (на консольной части балки, см. рис. 1).

2. Определение внутренних усилий от постоянной нагрузки по линиям влияния.

Пусть на балку действует некоторая произвольная система постоянных внешних сил в виде системы сосредоточенных сил, распределенных нагрузок и сосредоточенных моментов. Воспользовавшись принципом независимости действия сил, рассмотрим действие каждой группы сил в отдельности.

Обратим внимание, что для балки все линии влияния представлены линейными функциями на отдельных участках.

1. Рассмотрим загружение балки сосредоточенными силами. У нас построена линия влияния некоторого внутреннего усилия, обозначим ее условно л.в. R , фрагмент которой показан на рис.2.

Исходя из определения линии влияния, если действует одна сосредоточенная сила Fi, то

.

В случае, когда к балке приложена система сосредоточенных сил, очевидно, что

.

2. Если на балку действует система распределенных нагрузок, то рассмотрим частный случай, когда приложена равномерно распределенная нагрузка. Фрагмент загружения балки и л.в.R показан на рис. 3.

Выделим на участке, где действует распределенная нагрузка pi бесконечно малый участок длиной dx. Заменим на нем распределенную нагрузку сосредоточенной:

.

Тогда, интегрируя по длине участка с распределенной нагрузкой , получим

.

Так как , то

.

В случае, когда имеется система распределенных нагрузок,

.

3. Пусть балка загружена сосредоточенным моментом mi. Фрагмент линии влияния R с нагрузкой на балку в виде сосредоточенного момента показан на рис. 4.

Представим сосредоточенный момент в виде пары сил Fi, (равных, параллельных и взаимно противоположных) с плечом ai. Произведя подобную замену (см. рис. 4), мы свели случай загружения балки сосредоточенным моментом к загружению сосредоточенными силами Fi. Усилие по линии влияния R для этого случая нагружения рассмотрено ранее и можем записать, что

.

Из рис. 4 видно, что . Тогда

.

Когда на балку действует система сосредоточенных моментов, имеем:

.

Объединим рассмотренные три случая нагружения балки постоянной внешней нагрузкой в одно выражение:

.

Необходимо установить правило знаков при расчете внутренних усилий по линиям влияния.

Если сосредоточенные силы и распределенная нагрузка направлены сверху вниз, то знак ординат линии влияния и площади определяет знак усилия.

Если положительная ветвь линии влияния отложена ниже оси стержня и сосредоточенный момент приходится на нее, то когда поворот оси балки по кратчайшему углу к л.в. совпадает с направлением сосредоточенного момента, имеем положительное внутреннее усилие.

3. Невыгодное или опасное положение нагрузки.

В процессе проектирования стержневых конструкций часто возникает вопрос о таком загружении внешней нагрузкой, когда внутренние усилия в рассматриваемом сечении (или опорная реакция) принимают максимальные (минимальные) значения. Эта проблема исследуется преимущественно с помощью линий влияния.

Положим, что л.в. состоит из отдельных линейных участков, рассмотрим различные случаи нагружения.

1. Подвижная нагрузка в виде сосредоточенной силы F.

В этом случае рассуждения о невыгодном нагружении простейшие:

– максимальное усилие будет при расположении сосредоточенной силы над максимальной положительной () ординатой линии влияния:

;

– минимальное усилие будет при расположении сосредоточенной силы над максимальной отрицательной () ординатой линии влияния:

.

2. Случай действия системы жестко связанных сосредоточенных сил. Такая нагрузка моделирует нагрузку от автомобиля, поезда и т.п.

В общем случае линия влияния усилия может представлять ломанную линию.

Рассмотрим случай, когда действуют две связанные сосредоточенные силы (4). Пусть F2>F1.

Для определения опасного положения грузов их устанавливают над однозначными участками линии влияния так, чтобы наибольший груз находился над наибольшей ординатой. Из рис. 4, надеюсь, все становится понятным.

При большем числе грузов искомое опасное положение устанавливается перебором нескольких вариантов их положения, при котором один из грузов обязательно должен находится над одной из вершин линии влияния (рис. 5).

Сократить количество рассматриваемых положений помогут следующие рассуждения. Установим подвижную систему связанных сил в предположении возникновения опасного загружения (рис. 5). Сместим систему грузов вправо на . Приращение усилия будет равно

,

где  – величина изменения координаты под Fi;

 – угол наклона л.в. под силой Fi.

Предположим, что приращение . Мысленно местим систему грузов влево от первоначального положения на . Если приращение усилия  будет отрицательно, то первоначальное положение грузов отвечает опасному загружению.

Действительно, если опасное загружение единственно для данного сечения, то искомая функция изменения внутреннего усилия в зависимости от положения системы грузов должна обладать единственным экстремумом. Условие изменения знака приращения усилия при переходе через экстремум и позволяет сократить количество переборов.

3. Случай действия на сооружение подвижной равномерно распределенной нагрузки. Усилие R от равномерно распределенной нагрузки, как было показано ранее, вычисляется по формуле

.

Максимальное значение усилия R будет определяться площадью , так как величина p постоянна. Следовательно, подвижную постоянную распределенную нагрузку надо расположить над тем участком линии влияния усилий, где площадь под ней будет максимальна (минимальна).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67956. Микробиологическая диагностика сифилиса 81 KB
  Название «бледная» трепонема получила из-за низкой способности к окраске. Существуют другие патогенные трепонемы: Т. pertenue - возбудитель фрамбезии, Т. carateum - возбудитель пинты, Т. bejel - возбудитель хронического генерализованного спирохетоза (беджель). Указанные возбудители и вызываемые...
67959. Микробиологическая диагностика лептоспирозов и боррелиозов 87.5 KB
  Лептоспироз - инфекционное заболевание, вызываемое Leptospira interrogans, характеризующаяся поражением кровеносных капилляров, печени, почек, мышц, ЦНС, нередко сопровождающаяся желтухой. Возбудитель лептоспироза был выделен в 1914 г. Р. Инадо и И. Идо. Таксономия. Возбудитель лептоспироза...
67960. Патогенные простейшие. Малярия 80 KB
  Малярия - антропонозная инфекционная болезнь, вызываемая несколькими видами простейших рода Plasmodium, передающаяся комарами (Anopheles), сопровождающаяся лихорадкой, анемией, увеличением печени и селезенки. Возбудители малярии относятся к Protozoa, типу Apicomplexa, классу Sporozoa и видам...
67961. Патогенные простейшие. Возбудители лейшманиозов, токсоплазмозов, лямблиозов, трихомоноза и амебиаза 90 KB
  Снаружи простейшие окружены мембраной (пелликулой) - аналогом цитоплазматической мембраны клеток животных. Некоторые простейшие имеют опорные фибриллы. Цитоплазма и ядро соответствуют по строению эукариотическим клеткам: цитоплазма состоит из эндоплазматического ретикулума, митохондрий, лизосом...
67962. Методы микробиологической диагностики хламидиозов и микоплазмозов 100.5 KB
  Хламидии, относятся к облигатным внутриклеточным паразитам, имеющим кокковидную форму, грамотрицательны. Геном хламидий составляет не более 15% размера генома кишечной палочки. Хламидии не могут синтезировать высокоэнергетические соединения и обеспечивать собственные энергетические потребности...
67963. Микробиологическая диагностика риккетсиозов 97 KB
  Актуальность темы: Заболевания, вызываемые риккетсиями, называются риккетсиозами, они распространены во всех странах мира. До недавнего времени семейство риккетсий включало роды Rickettsia, Orienta, Erlichia, Coxiella. По современной класификации семейство Rickettsiaceae включает два рода...