5852

Теория определения перемещений в стержневых системах

Реферат

Архитектура, проектирование и строительство

Теория определения перемещений в стержневых системах При проектировании различных строительных конструкций кроме расчета на прочность необходимо установить величины перемещений отдельных точек конструкций. Это связано с требованием обеспечения жестк...

Русский

2012-12-23

275 KB

43 чел.

Теория определения перемещений в стержневых системах

При проектировании различных строительных конструкций кроме расчета на прочность необходимо установить величины перемещений отдельных точек конструкций. Это связано с требованием обеспечения жесткости конструкций в период их изготовления, монтажа и эксплуатации.

Ранее изложенные способы определения внутренних усилий в стержневых статически определимых системах не требовали учета физико–механических свойств материала. Это означает, что эти способы можно применять к расчету конструкций, изготовленных из материалов, не подчиняющихся закону Гука, т.е. не являющимися идеально упругими.

При рассмотрении вопросов, связанных с определением перемещений в стержневых конструкциях, мы остановимся на таких деформируемых системах, для которых перемещения и деформации являются линейными функциями внешней нагрузки Р1, Р2, …, Рn:

,

где – перемещение (угловое или линейное) в определенном сечении конструкции;

1, 2, …, n – перемещения того же сечения (угловое или линейное) от последовательно приложенных единичных сил .

8.1. Работа внешних сил

Примем, что на конструкцию действует статическая внешняя нагрузка, т.е. нагрузка, которая возрастает от нуля до своего предельного значения с такой скоростью, что возникающими инерционными силами можно пренебречь.

При малых деформациях, когда напряжения не превышают предела пропорциональности, применим принцип независимости действия сил.

Определим работу статической внешней нагрузки (P или m) приложенной к упругой системе, материал которой удовлетворяет закону Гука.

Перемещение некоторой точки от силы Р (рис. 8.1) будет:

,

где – коэффициент пропорциональности, его величина зависит геометрии сооружения, вида сечения и материала.

Поворот некоторого сечения от сосредоточенного момента m будет

.

В дальнейшем все рассуждения проведем на примере действия сосредоточенной силы Р и обобщим на другие случаи нагружения.

Увеличим силу Р на dP, что вызовет приращение перемещения d. Найдем величину элементарной работы внешней силы на перемещении d:

d

Найдем выражение для определения работы при изменении внешней силы от нуля до конечной величины:

,

так как Р = , то

.

Мы получили теорему Клапейрона:

Работа внешней силы при статическом ее приложении на сооружение равна половине произведения ее значения на величину соответствующего ей перемещения.

Легко обобщить полученный результат на случай, когда к сооружению приложена система статических внешних сил:

8.2. Работа внутренних сил

При загружении сооружения статической внешней нагрузкой работу совершают и внутренние усилия.

Выделим из стержня двумя близкими сечениями, перпендикулярными к его оси, бесконечно малый элемент dx (рис. 8.2). Он будет находиться в состоянии статического равновесия под действием возникающих в сечении усилий M, Q, N. Усилия M, Q, N являются внешними усилиями по отношению к выделенному элементу dx, поэтому работу А, совершаемую ими найдем по теореме Клапейрона. Воспользуемся принципом независимости действия сил и рассмотрим работу каждой силы в отдельности. Левое сечение закрепим в последующих случаях защемлением..

Работа растягивающей силы N . Рассмотрим элемент dx, к которому приложено вдоль оси растягивающее усилие N (рис. 8.3). Элементарная работа силы N, приложенной статически к бесконечно малому элементу dx будет:

.

Найдем величину абсолютной деформации х. Воспользуемся известными сведениями из сопротивления материалов:

, откуда .

Величину относительной деформации найдем из закона Гука:

.

Величину нормального напряжения можно найти из:

, где А – площадь поперечного сечения.

Воспользовавшись представленными выражениями, найдем, что:

.

Работа сдвигающей силы Q. Рассмотрим элемент dx, к которому приложено сдвигающие (касательное к сечению) усилие Q (рис. 8.4). Элементарная работа силы Q, приложенной статически к бесконечно малому элементу dx будет:

.

Найдем перемещение y.

в силу малости угла сдвига. Тогда

y = dx.

Для определения  воспользуемся законом Гука:

.

Касательное напряжение найдем по формуле Журавского:

, тогда

и .

Мы специально ввели в числитель и знаменатель площадь поперечного сечения и разбили выражение на произведение двух частей, первая из которых связана только с геометрическими характеристиками поперечного сечения и при постоянном сечении по длине стержня будет величиной постоянной. Обозначим:

.

Тогда элементарная работа сдвигающей силы Q будет равна:

.

Работа изгибающего момента М. Рассмотрим элемент dx, к которому приложен сосредоточенный момент М (рис. 8.5). Элементарная работа изгибающего момента по теореме Клапейрона равна:

.

Найдем угол поворота сечения d:

.

Относительная деформация , откуда x = dx.

Воспользовавшись законом Гука при чистом изгибе (отсутствуют поперечные силы в сечении)  и учитывая, что , получим, что  и .

Тогда элементарная работа статически приложенного момента М будет:

.

Элементарная работа внутренних сил M, Q, N будет:

.

Интегрируя dA по всей длине участка и суммируя по всем участкам стержневой системы, получим выражение полной работы внутренних сил:

.

Следует отметить, что в силу закона сохранения энергии, работа внешних сил равна работе внутренних сил:

8.3. Теоремы о взаимности работ и перемещений

Пусть к некоторой упругой стержневой системе, находящейся в равновесии, приложена статически внешняя нагрузка P1  и P2 в следующей последовательности:

1. Прикладывается статически возрастающая сила Р1 (рис. 8.6 а). В результате ее действия точка 1 (точка приложения силы Р1) получит перемещение 11. Итак, 11 – перемещение точки приложения силы Р1 по направлению ее действия от самой силы Р1. Точка 2 (точка приложения силы Р2) получит перемещение 21 – перемещение точки приложения силы Р2 по ее направлению от силы Р1.

Работа статически приложенной внешней силы Р1 будет:

2. Прикладывается статически сила Р2 (рис. 8.6 б), которая вызовет соответственно перемещения 21 и 12 точек  2 и 1 соответственно.

Работа внешней силы Р2 будет:

3. Рассмотрим случай, когда к упругой системе последовательно статически прикладываются силы Р1 и Р2 (рис. 8.7).

Из предыдущих рассмотренных случаев следует, что:

Однако сила Р2 была приложена к упругой системе, уже загруженной силой Р1, достигшей своего конечного значения. Вполне очевидно, что точка приложения силы Р1 от действия силы Р2 получит перемещение D12. Запишем работу силы Р1 на соответствующем ей перемещении:

А12 = Р1D12.

Полная работа сил Р1 и Р2 в рассматриваемом случае будет:

 

Изменим последовательность статического приложения внешних сил, а именно, вначале сила Р2 и затем Р1. Понятно, что точка приложения силы Р2 при приложении силы Р1 получит перемещение D21. Тогда полная работа сил Р2 и Р1 будет:

Полная работа внешних сил не зависит от последовательности их приложения, что означает:

А11 + А22 + А12 = А11 + А22 + А21, откуда:

А12 = А21.

Напомню, что А12 – работа силы Р1 (силы первого состояния) на перемещении по ее направлению D12, вызванном силой Р2 (силой второго состояния).

По аналогии можно (и нужно, но самостоятельно) дать определение работы А21.

Итак, возвращаясь к полученному результату, сформулируем теорему о взаимности работ – теорему Бетти: работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям от сил второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям от сил первого состояния.

Из теоремы Бетти следует теорема о взаимности перемещений. Действительно, если Р1 = Р2 = Р, то

РD12 = Р×D21, или D12 = D21.

Если Р = 1, то 12 = 21.

Последнее равенство носит название теоремы о взаимности перемещений (теоремы, или принципа, Максвелла): для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой силой.

Для построения теории перемещений найдем А12 через работу внутренних сил, возникающих в первом и втором состоянии.

Из выражения А = А11 + А22 + А12 следует, что

А12 = А – А11 – А22.

Выражение для определения полной работы легко записать, учитывая, что она может быть вызвана совместным статическим приложением нагрузок первого и второго состояния, т.е. N = N1 +N2, Q = Q1 + Q2, M = M1 + M2. Тогда

.

Выражения для А11 и А22 получены ранее. Привожу окончательный результат определения А12 (рекомендую провести промежуточные действия самостоятельно):

.

8.4. Определение перемещений. Интеграл Мора

Пусть требуется определить перемещение точки к от действия статически приложенной внешней нагрузки – Dкр (рис. 8.8 а).

Рассмотрим вспомогательное состояние, когда к упругой системе в точке к приложена единичная сила Р2 = 1 (рис. 8.8 б).

Найдем работу силы Р2 = 1 второго состояния на перемещении Dкр, вызванном силами первого, действительного состояния  А21:

.

Запишем выражение для определения :

, где Np, Qp, Mp – внутренние усилия от заданной внешней нагрузки;

– внутренние усилия, возникающие от единичной силы P2 = 1.

Получили формулу для определения перемещений – формулу Мора или полный интеграл Мора.

Для определения перемещений с помощью формулы Мора необходимо:

  1.  Определить выражения для внутренних усилий Np, Qp, Mp как функции координаты х произвольного сечения для всех участков стержневой системы от действия заданной нагрузки.
  2.  Приложить по направлению искомого перемещения соответствующую ему единичную нагрузку (единичную силу, если определяется линейное перемещение; сосредоточенный единичный момент, если определяется угловое перемещение).
  3.  Определить выражения для внутренних усилий как функции координаты х произвольного сечения для всех участков стержневой системы от действия единичной нагрузки.
  4.  Найденные выражения внутренних усилий в первом и втором состоянии подставляют в интеграл Мора и интегрируют по участкам в пределах всей стержневой системы.

8.5. Частные случаи интеграла Мора

Оценка влияния поперечной силы Q на перемещения стержневой системы. В общем случае эпюра М от заданной нагрузки криволинейна (рис. 8.9 а). Ее с любой, наперед заданной точностью можно представить отрезками ломанной прямой (рис. 8.9  б).

Эпюра  всегда линейна (рис. 8.9 в) и для простоты рассуждений представим, что треугольная.

Итак, , тогда поперечная сила

.

Так как , то понятно, что наибольшее влияние на перемещение окажут поперечные силы на тех участках, где эпюры  и (рис. 8.10).

Очевидно, что  и . Примем, что  и .

Найдем перемещение с учетом влияния изгибающих моментов и поперечных сил:

.

С учетом, что

;

(применил способ Верещагина в первом и втором случаях, проделайте подробно самостоятельно);

– модуль упругости второго рода (модуль сдвига);

– момент инерции поперечного сечения стержня (предполагаем, что сечение стержня прямоугольное и b – ширина сечения, h – высота);

– площадь сечения стержня.

Найдем  (проделайте самостоятельно).

Выражение для коэффициента ранее было получено:

,

где  – статический момент отсеченной части поперечного сечения.

Окончательно получим:

.

Для = 0,25 рассмотрим несколько случаев:

1. , т.е. влияние поперечных сил на перемещение составляет 3%.

2. , влияние поперечных сил уменьшается с увеличением длины стержня.

Так как в качестве объекта исследований принята стержневая система, в которой отдельные стержни всегда подчиняются принятому условию , то можно считать, что доказана возможность пренебречь влиянием поперечных сил.

Влияние нормальных сил N не будет превышать влияние поперечных сил на перемещения. Это следует из того, что одним из способов нахождения нормальных сил в рамах являются условия равновесия узлов, вырезанных в эпюре Q, т.е. N не превышают Q.

 Определение перемещений в балках и рамах. Если рассматриваются стержневые системы, преимущественно работающие на изгиб, составленные из длинных и невысоких в сечении стержней, т.е. , то перемещения в таких конструкциях определим по формуле:

.

Фермы. В стержнях фермы возникают только нормальные усилия, поэтому

.

Арки. В арках при определении перемещений чаще приходится учитывать все внутренние факторы и только когда ось арки близка к рациональной, то достаточно учесть нормальные усилия.

Определение перемещений в стержневых системах от теплового воздействия. При действии стационарного температурного поля на статически определимые стержневые системы стержни в них удлиняются или укорачиваются, но не сжимаются и не растягиваются. Если возникает температурный перепад, то стержни искривляются, но не изгибаются. Приведенный анализ работы стержней при тепловом воздействии говорит о том, что в статически определимых стержневых системах тепловое воздействие не вызывает внутренних усилий, однако вызывает перемещения.

Запишем работу внутренних сил второго состояния (от единичной нагрузки) на перемещениях первого, вызванного тепловым воздействием. Для этого рассмотрим элементарный участок dx (рис. 8.11).

Запишем выражение для элементарной работы:

.

При тепловом воздействии отсутствуют сдвиги граней сечения, поэтому работа поперечных сил равна нулю.

Определим и :

;

;

Учитывая, что при тепловом воздействии искривления стержней малы по сравнению с размерами, можно записать

.

Элементарная работа будет

.

Полная работа

, так как , то

.

Правило знаков. Если деформации от единичной нагрузки совпадают с деформациями от теплового воздействия, то перемещение положительны.

Перемещения в стержневых системах, вызванные осадкой опор. Рассмотрим два состояния упругой стержневой системы: первое – произошла осадка опоры (рис. 8.12 а) и второе – в точке, перемещение которой необходимо найти, по направлению искомого перемещения приложено единичное усилие (рис. 8.12 б).

Запишем выражение работы сил второго состояния на перемещениях первого, вызванных осадкой опор (учтем, что A12 = A21, а  A12 = 0):

, откуда, так как

и в общем случае .

Техника вычисления перемещений. Непосредственное интегрирование интеграла вида  не представляет больших проблем, но существуют более простые способы численного интегрирования. С одним из них знакомит сопротивление материалов – это способ Верещагина или способ перемножения эпюр внутренних усилий. Приведу формулу Верещагина:

.

Полученный результат легко обобщить на полный интеграл Мора (самостоятельно).

Более широко применяется другой способ численного интегрирования – способ Симпсона.  Он применим при условии, что подинтегральная функция не имеет изломов и разрывов, т.е. является непрерывно дифференцируемой. Тогда:

, где составляющие формулы становятся понятными из рис. 8.13:

Полный интеграл Мора численно вычислить по формуле Симпсона можно в виде:

Во всех случаях перемещения будут положительными, если ординаты эпюр расположены по одну сторону оси (эпюры изгибающих моментов) или одного знака.

PAGE  17


Рис. 8.1

N

dx

N

M

Q

M

Q

2h

Рис. 8.2

N

dx

x

Рис. 8.3

x

Q

2h

y

Рис. 8.4

dx

M

h/2

h/2

d

Рис. 8.5

x

EMBED Equation.3  

Рис. 8.6

Рис. 8.7

Рис. 8.8

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

a)

б)

Мр

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

в)

Рис. 8.9

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

Мр

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

Qp

Рис. 8.10

dx

tн

tв

xв

xн

М

N

Q

d

h

Рис. 8.11

0

V1

H1

V2

P=1

i

а)

б)

Рис. 8.12

МА

МВ

МС

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

EMBED Equation.DSMT4  

Рис. 8.13


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60379. Створення запитів та форм 1.62 MB
  Поняття таблиці, поля, запису. Основні етапи роботи з базами даних у середовищі системи управління базами даних. Режими роботи в СУБД. Відображення моделі...
60380. Відображення українського козацтва в казці І.Нечуя-Левицького «Запорожці» 65.5 KB
  Мета: продовжити роботу над вивченням культури способу життя запорожців аналізувати роздуми про роль козаківзапорожців Запорозької Січі в історії України; розкрити образи головного героя...
60381. Заповіти любові Світлоносця: читання серцем драматичної поеми І.Драча «Дума про Вчителя». В. Сухомлинський в історії української педагогіки 99 KB
  Заповіти любові Світлоносця: читання серцем драматичної поеми І.Драча «Дума про Вчителя». В. Сухомлинський в історії української педагогіки.