58670

Решение алгебраических уравнений высших степеней методом замены переменной

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Суть этого метода заключается в том что путём замены некоторого выражения входящего в уравнение понижается его степень. Представитель каждой группы находит на доске свое уравнение записанное в общем виде и раскрывает суть его решения сначала решаются обычные уравнения.

Русский

2014-04-28

185 KB

13 чел.

Урок-семинар по теме "Решение алгебраических уравнений высших степеней методом замены переменной". 11-й класс

Ермакова Татьяна Петровна, учитель математики

Статья отнесена к разделу: Преподавание математики 

Объявление 

С 26 марта по 23 апреля 2008 года состоялся Первый интернет-марафон учебных предметов для учителей всей страны. Материалы читайте и смотрите на нашем сайте.

Умение решать алгебраические уравнения первой и второй степени входит в “прожиточный” минимум любого выпускника средней общеобразовательной школы. А как быть с уравнениями выше второй степени? Такие уравнения называются уравнениями высших степеней, изучение их в общем виде выходит за рамки программы средней школы. На самом деле для уравнений третьей и четвертой степени есть формулы корней (формулы Кордано и Феррари), выведенные итальянскими математиками в 1545 году, но в силу своей громоздкости эти формулы используют очень редко в школьной программе. После того, как были выведены формулы корней для уравнений третьей и четвёртой степени, на протяжении почти 300 лет, учёные-математики пытались вывести формулы для нахождения корней уравнений пятой степени и выше, но труды их оказались безуспешными. В 1826 году норвежский математик Абель доказал, что нельзя вывести формулы для решения уравнений пятой степени и выше. Но всё же есть хорошие уравнения, которые решаются различными методами и способами.

В последнее время уравнения выше второй степени являются частью выпускных экзаменов за курс средней школы, они встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы, а также являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Основными методами решения таких уравнений являются следующие:

  1.  Разложение многочлена на множители,
  2.  Метод замены переменной.
  3.  Функционально-графический метод.
  4.  Метод перехода от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы.

Одним из распространённых методов решения уравнений выше второй степени является метод замены переменной. Суть этого метода заключается в том, что путём замены некоторого выражения, входящего в уравнение, понижается его степень. Основными способами реализации этого метода являются:

  1.  Использование основного свойства дроби.
  2.  Выделение квадрата двучлена.
  3.  Переход к системе уравнений.
  4.  Раскрытие скобок парами.
  5.  Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения на х 0.
  6.  Двойная замена.
  7.  Понижение степени уравнения.

Один из уроков по теме “Решение уравнений выше второй степени я прилагаю ниже.

Цели:

  1.  Формирование знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений высших степеней;
  2.  Развитие познавательных и исследовательских умений;
  3.  Воспитание культуры общения, воспитание умения работать в группах.

Оформление доски: число, тема, запись уравнений в общем виде.

Урок-семинар

Урок начинается с вступительного слова, в котором напоминаю задачу семинара, порядок его проведения. Напоминаю учащимся основные методы решения алгебраических уравнений (метод замены переменных, функционально-графический, метод разложения многочлена на множители). Ставлю цель реализовать метод замены переменных четырьмя способами.

I группа – раскрытие скобок парами.

II группа – раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения на х2 0.

III группа – применение основного свойства дроби.

IV группа – выделение квадрата двучлена.

На доске написаны уравнения в общем виде:

  1.  (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m;
  2.  (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Eх2;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  .

У каждой группы в карточке два уравнения, одно из них с параметром.

Представитель каждой группы находит на доске свое уравнение, записанное в общем виде, и раскрывает суть его решения (сначала решаются обычные уравнения).

I группа показывает решение уравнения

х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Решение. Воспользуемся симметрией левой части (0 + 3 = 3, 1 + 2 = 3). Перемножим первый и четвертый множители, второй и третий. Получим: (х2 + 3х)(x2 + 3x + 2) = 24

Вводим замену: x2 + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t2 + 2t – 24 = 0, t1 = -6? t2 = 4. Возвращаемся к “старой” переменной, получим: x2 + 3x = -6, x2 + 3x + 6 = 0, D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Уравнение x2 + 3x = 4 имеет корни х1 = -4, х2 = 1.

Ответ: х1 = -4, х2 = 1.

Комментарий. Задаю вопрос: можно ли это уравнение решить другим способом?

Ответ: Можно, для этого нужно использовать симметрию относительно .

Идет выступление второй группы.

Ученица этой группы решает уравнение, а остальные записывают в тетради.

(х – 4)(х2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х2

Решение. Разложим на множители х2 + 15 + 50.

х2 + 15 + 50 = 0, х1 = -5, х2 = -10, тогда х2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10). Уравнение примет вид: (х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х2

Так как (-4)•5 = -20, 10•(-2) = -20, то перемножая первую скобку со второй, третью с четвертой, будем иметь: (х2 + х – 20)( х2 + 8х – 20) = 18х2

Поскольку х = 0 не корень, разделим обе части уравнения на х2 ? 0. Получим:

Вводим замену: , тогда (t+1)(t+8)=18, т.е. t2+9t-10=0, t1= -10, t2 = 1.

Вернемся к исходной переменной:

Решим первое уравнение х2 + 10х – 20 = 0, D = 180,

Решим второе уравнение х2 - х – 20 = 0, D =81, х3 = - 4, х4 = 5.

Ответ: , , х3 = - 4, х4 = 5.

Ученица III группы показывает решение уравнения

, используя основное свойство дроби.

Решение. х = 0 не является корнем уравнения, поэтому числитель и знаменатель каждой дроби делим на х 0. , вводим замену: , тогда

Решим это уравнение

 

 

Вернемся к “старой” преременной:

Решаем первое уравнение уравнение х2 – 14х + 15 = 0

; .

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: ;

Комментарий: Можно ли решить уравнение по другому?

Ответ: Можно, если ввести замену х2 + 15х = t.

Ученик четвертой группы для решения уравнения

выбирает способ выделения квадрата двучлена. Приведу решение этого уравнения.

Решение. В левой части выделим полный квадрат разности:

 

Сгруппируем первый, второй и четвертый члены:

Вводим замену: t2 + 18t – 40 = 0; t1 = -20, t2 = 2.

Вернемся к “старой” переменной, получим:

Ответ: , .

Задаю вопрос: А есть ли ещё способ решения этого уравнения? Ответ: Да. Уравнение легко решается переходом к системе уравнений

заменив .

Вторая часть урока отводится на решение алгебраических уравнений высших степеней с параметрами. Учащиеся показывают, как эти же способы реализуются при решении уравнений с параметрами.

I группа докладывает.

“Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение х(х+1)(х+а)(х+1+а) = а2 имеет четыре действительных корня.

Решение. Используя специфику решения уравнения

(х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m

будем иметь х(х+1+а)(х+1)(х+а) = а2, (х2+х+ах)(х2++х+ах+а) = а2

вводим замену х2+х+ах = t, тогда t(t+a) = a2; t2 +at – a2 = 0.

Решим уравнение относительно t.

D = a2 + 4a2 = 5a2; ; .

Подставляя вместо t найденные значения, получим совокупность двух уравнений:

Рассмотрим первое уравнение:

;

D1 = (a+1)2 - 4.

Рассмотрим второе уравнение:

;

D2 = (a+1)2 - 4.

Чтобы исходное уравнение имело четыре действительных корня, необходимо чтобы т.е.

Решим первое неравенство:

, D = 16,

,

т.е. а >, a <.

Решим второе неравенство:

, D = 16,

,

т.е. а >, a <.

В итоге получим

a>, <a<, a<

При |a| >, |a| < уравнение имеет 4 действительных корня, но ещё проверяется, при каком а, корни уравнения совпадают, при а = 0.

Ответ: |a| >, |a| <

Ученица II группы комментирует: Необходимо решить уравнение

(х + 2а)(х +3а)(x + 8а)(x +12а) = 4а2х2,

где а – параметр.

Решение. Используя специфику решения уравнения, будем иметь:

2 +14ах +24а2)(x2 + 11аx +24а2) = 4а2х2,

исследуем уравнение: если а = 0, то х = 0; если а 0, то х 0.

Разделим обе части уравнение на а2х2 0, тогда

Введем замену и получим уравнение: (t+14)(t+11)=4, решая это уравнение, получим t1 = -15, t2 = 10. Таким образом, получим два уравнения:

и .

Решим первое уравнение: х2 + 15ах + 24а2 = 0, D = 129а2, тогда

.

Решим второе уравнение х2 + 10ах + 24а = 0, D = 4а2, тогда

.

Ответ: если, а = 0, то х = 0; если, а 0, то , х3 = -6а; х4 = -4а.

Ученица третьей группы показывает решение уравнения

Решение. Уравнение – дробно-рациональное, при а = 0 уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим а ? 0, х ? 0, найдем дискриминант квадратного трехчлена х2 –ах + а2, D = -3a2, значит х2 –ах + а2 > 0 при х R.

Перейдем теперь к уравнению-следствию, получим:

х4 + ах32х2 = а2х2 – а3х + а4;

4 – а4) + (ах3 + а3х) = 0;

2 – а2)(х22) + ах(х2 + а2) = 0;

2 + а2)(х2 +ах – а2) = 0; х2 + а2 ? 0,

тогда х2 +ах – а2 = 0, D = 5a2,

Ответ: если а = 0, то уравнение не имеет действительных корней; если а 0, то .

Заканчивается урок – семинар выступлением ученика 4 группы. У него задание:

В зависимости от значений параметра а решить уравнение

.

Решение.

если а=0, то х=0; если а=1, то х=0; если 0<a<1, то уравнение не имеет действительных корней. Далее, используя специфику решения этого уравнения будет иметь:

;

; .

Вводим замену, , тогда будем иметь уравнение

t2 - t = a2 – a; t2 - t – (a2 – a) = 0; D = 1+4(a2 – a) = 4a2 – 4a + 1 = (2a – 1)2.

Находим корни: t1 = a; t2 = 1 – a.

Возвращаясь к “старой” переменной, будем иметь:

Рассмотрим уравнение

Исследуем уравнение

при а = 0, х = 0; при а = 2, уравнение не имеет действительных корней;

при , а > 2, а < 0 – уравнение имеет 2 действительных корня,

при 0 < a < 2 уравнение не имеет действительных корней.

Проверим, при каких значениях а

а = а-2, 0 = -2 (нет смысла), нет таких значений а, при которых

Рассмотрим уравнение

Исследуем уравнение

при а = 1 х = 0, при а = -1 - уравнение не имеет действительных корней

при , а > 1, a < -1 уравнение имеет два действительных корня,

при -1< a < 1 – нет действительных корней.

Проверим, при каких значениях а , а-1=а+1, 0 = 2 (нет смысла), нет таких значений а, при которых .

Проверим, сколько корней имеет уравнение при а = -2,

х2 = 3, два действительных корня.

Проверим, сколько корней имеет уравнение при а = -1

х2 = 1/3 – два действительных корня, далее собираем ответ

Ответ: при а < -1, a > 2 уравнение имеет 4 действительных корня

,

при -1 a < 0 – два действительных корня,

при а = 0, а = 1 – уравнение имеет корень х = 0; при 0 < a < 1 – нет действительных корней

при 1 < a 2 – уравнение имеет два действительных корня

Подводя итог урока, я отмечаю, что учащиеся проделали большую работу, показав 4 способа реализации метода замены переменной, увязав эти способы с уравнениями, содержащими параметр. Работа учащихся оценивается и задается домашнее задание.

  1.  х3 - 4х2 + 5х - 2 = 0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36286. HTML (HyperText Markup Language). Структура гипертекстового документа 181 KB
  Средствами HTML задаются синтаксис и размещение специальных встроенных указаний в соответствии с которыми браузер отображает содержимое документа текст графика мультимедиа гиперссылки. DHTML Dynmic HyperText Mrkup Lnguge : Клиентские сценарииJvScript и VBScript Серверные сценарии SP и PHP Технологии Jv и CGI плагин plugin приложения Другие средства Структура гипертекстового документа html hed title Заголовок HTML документа title hed body Тело HTML документа body...
36287. HTML (HyperText Markup Language). Символы комментариев 131 KB
  и знаков операций для которой можно вычислить значение. При объявлении переменной ей может быть присвоено значение. vr Strbc; Объявлена переменная Strbc vr x=7; Переменной х присвоено значение 7 При составлении сценариев JvScript можно использовать переменные без их предварительного объявления. Если prseFlot сталкивается с недопустимым символа то метод возвращает значение основанное на подстроке следующей до этого символа игнорируя все последующие.
36290. Задачи администратора базы данных 35 KB
  Администрирование базами данных предусматривает выполнение функций направленных на обеспечение надежного и эффективного функционирования системы баз данных адекватности содержания базы данных информационным потребностям пользователей отображения в базе данных актуального состояния предметной области. Администратор базы данных это: управляющий данными а не хозяин; системный программист определенного профиля а также эксперт высшего уровня обеспечивающий службу эксплуатации решениями по процедурам и регламентам работы; лицо принимающее...
36291. Понятие транзакции 38.5 KB
  Понятие транзакции. Транзакции несколько операторов языка SQL которые либо все выполняются по очереди либо все не выполняются. Согласованность гарантия что по мере выполнения транзакции данные переходят из одного согласованного состояния в другое.
36292. Журнализация изменений БД, файл журнала, контрольные точки 31.5 KB
  Это требование предполагает возможность восстановления согласованного состояния базы данных после любого программного или аппаратного сбоя. Типичная СУБД должна предоставлять такие функции восстановления как: механизм резервного копирования предназначенный для периодического создания копий базы данных; средства ведения журнала в котором фиксируются текущее состояние транзакций и вносимые в базы данных изменения; функция создания контрольных точек обеспечивающая перенос выполняемых в базе данных изменений во вторичную помять с целью...
36293. Восстановление базы данных 28 KB
  При этом надо устранить последствия операторов модификации базы данных которые выполнялись в этой транзакции. Ситуация характеризуется потерей той части базы данных которая к моменту сбоя содержалась в буферах оперативной памяти. Восстановление после поломки основного внешнего носителя базы данных жесткий сбой.