58670

Решение алгебраических уравнений высших степеней методом замены переменной

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Суть этого метода заключается в том что путём замены некоторого выражения входящего в уравнение понижается его степень. Представитель каждой группы находит на доске свое уравнение записанное в общем виде и раскрывает суть его решения сначала решаются обычные уравнения.

Русский

2014-04-28

185 KB

13 чел.

Урок-семинар по теме "Решение алгебраических уравнений высших степеней методом замены переменной". 11-й класс

Ермакова Татьяна Петровна, учитель математики

Статья отнесена к разделу: Преподавание математики 

Объявление 

С 26 марта по 23 апреля 2008 года состоялся Первый интернет-марафон учебных предметов для учителей всей страны. Материалы читайте и смотрите на нашем сайте.

Умение решать алгебраические уравнения первой и второй степени входит в “прожиточный” минимум любого выпускника средней общеобразовательной школы. А как быть с уравнениями выше второй степени? Такие уравнения называются уравнениями высших степеней, изучение их в общем виде выходит за рамки программы средней школы. На самом деле для уравнений третьей и четвертой степени есть формулы корней (формулы Кордано и Феррари), выведенные итальянскими математиками в 1545 году, но в силу своей громоздкости эти формулы используют очень редко в школьной программе. После того, как были выведены формулы корней для уравнений третьей и четвёртой степени, на протяжении почти 300 лет, учёные-математики пытались вывести формулы для нахождения корней уравнений пятой степени и выше, но труды их оказались безуспешными. В 1826 году норвежский математик Абель доказал, что нельзя вывести формулы для решения уравнений пятой степени и выше. Но всё же есть хорошие уравнения, которые решаются различными методами и способами.

В последнее время уравнения выше второй степени являются частью выпускных экзаменов за курс средней школы, они встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы, а также являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Основными методами решения таких уравнений являются следующие:

  1.  Разложение многочлена на множители,
  2.  Метод замены переменной.
  3.  Функционально-графический метод.
  4.  Метод перехода от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы.

Одним из распространённых методов решения уравнений выше второй степени является метод замены переменной. Суть этого метода заключается в том, что путём замены некоторого выражения, входящего в уравнение, понижается его степень. Основными способами реализации этого метода являются:

  1.  Использование основного свойства дроби.
  2.  Выделение квадрата двучлена.
  3.  Переход к системе уравнений.
  4.  Раскрытие скобок парами.
  5.  Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения на х 0.
  6.  Двойная замена.
  7.  Понижение степени уравнения.

Один из уроков по теме “Решение уравнений выше второй степени я прилагаю ниже.

Цели:

  1.  Формирование знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений высших степеней;
  2.  Развитие познавательных и исследовательских умений;
  3.  Воспитание культуры общения, воспитание умения работать в группах.

Оформление доски: число, тема, запись уравнений в общем виде.

Урок-семинар

Урок начинается с вступительного слова, в котором напоминаю задачу семинара, порядок его проведения. Напоминаю учащимся основные методы решения алгебраических уравнений (метод замены переменных, функционально-графический, метод разложения многочлена на множители). Ставлю цель реализовать метод замены переменных четырьмя способами.

I группа – раскрытие скобок парами.

II группа – раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения на х2 0.

III группа – применение основного свойства дроби.

IV группа – выделение квадрата двучлена.

На доске написаны уравнения в общем виде:

  1.  (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m;
  2.  (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Eх2;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  .

У каждой группы в карточке два уравнения, одно из них с параметром.

Представитель каждой группы находит на доске свое уравнение, записанное в общем виде, и раскрывает суть его решения (сначала решаются обычные уравнения).

I группа показывает решение уравнения

х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Решение. Воспользуемся симметрией левой части (0 + 3 = 3, 1 + 2 = 3). Перемножим первый и четвертый множители, второй и третий. Получим: (х2 + 3х)(x2 + 3x + 2) = 24

Вводим замену: x2 + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t2 + 2t – 24 = 0, t1 = -6? t2 = 4. Возвращаемся к “старой” переменной, получим: x2 + 3x = -6, x2 + 3x + 6 = 0, D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Уравнение x2 + 3x = 4 имеет корни х1 = -4, х2 = 1.

Ответ: х1 = -4, х2 = 1.

Комментарий. Задаю вопрос: можно ли это уравнение решить другим способом?

Ответ: Можно, для этого нужно использовать симметрию относительно .

Идет выступление второй группы.

Ученица этой группы решает уравнение, а остальные записывают в тетради.

(х – 4)(х2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х2

Решение. Разложим на множители х2 + 15 + 50.

х2 + 15 + 50 = 0, х1 = -5, х2 = -10, тогда х2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10). Уравнение примет вид: (х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х2

Так как (-4)•5 = -20, 10•(-2) = -20, то перемножая первую скобку со второй, третью с четвертой, будем иметь: (х2 + х – 20)( х2 + 8х – 20) = 18х2

Поскольку х = 0 не корень, разделим обе части уравнения на х2 ? 0. Получим:

Вводим замену: , тогда (t+1)(t+8)=18, т.е. t2+9t-10=0, t1= -10, t2 = 1.

Вернемся к исходной переменной:

Решим первое уравнение х2 + 10х – 20 = 0, D = 180,

Решим второе уравнение х2 - х – 20 = 0, D =81, х3 = - 4, х4 = 5.

Ответ: , , х3 = - 4, х4 = 5.

Ученица III группы показывает решение уравнения

, используя основное свойство дроби.

Решение. х = 0 не является корнем уравнения, поэтому числитель и знаменатель каждой дроби делим на х 0. , вводим замену: , тогда

Решим это уравнение

 

 

Вернемся к “старой” преременной:

Решаем первое уравнение уравнение х2 – 14х + 15 = 0

; .

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: ;

Комментарий: Можно ли решить уравнение по другому?

Ответ: Можно, если ввести замену х2 + 15х = t.

Ученик четвертой группы для решения уравнения

выбирает способ выделения квадрата двучлена. Приведу решение этого уравнения.

Решение. В левой части выделим полный квадрат разности:

 

Сгруппируем первый, второй и четвертый члены:

Вводим замену: t2 + 18t – 40 = 0; t1 = -20, t2 = 2.

Вернемся к “старой” переменной, получим:

Ответ: , .

Задаю вопрос: А есть ли ещё способ решения этого уравнения? Ответ: Да. Уравнение легко решается переходом к системе уравнений

заменив .

Вторая часть урока отводится на решение алгебраических уравнений высших степеней с параметрами. Учащиеся показывают, как эти же способы реализуются при решении уравнений с параметрами.

I группа докладывает.

“Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение х(х+1)(х+а)(х+1+а) = а2 имеет четыре действительных корня.

Решение. Используя специфику решения уравнения

(х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m

будем иметь х(х+1+а)(х+1)(х+а) = а2, (х2+х+ах)(х2++х+ах+а) = а2

вводим замену х2+х+ах = t, тогда t(t+a) = a2; t2 +at – a2 = 0.

Решим уравнение относительно t.

D = a2 + 4a2 = 5a2; ; .

Подставляя вместо t найденные значения, получим совокупность двух уравнений:

Рассмотрим первое уравнение:

;

D1 = (a+1)2 - 4.

Рассмотрим второе уравнение:

;

D2 = (a+1)2 - 4.

Чтобы исходное уравнение имело четыре действительных корня, необходимо чтобы т.е.

Решим первое неравенство:

, D = 16,

,

т.е. а >, a <.

Решим второе неравенство:

, D = 16,

,

т.е. а >, a <.

В итоге получим

a>, <a<, a<

При |a| >, |a| < уравнение имеет 4 действительных корня, но ещё проверяется, при каком а, корни уравнения совпадают, при а = 0.

Ответ: |a| >, |a| <

Ученица II группы комментирует: Необходимо решить уравнение

(х + 2а)(х +3а)(x + 8а)(x +12а) = 4а2х2,

где а – параметр.

Решение. Используя специфику решения уравнения, будем иметь:

2 +14ах +24а2)(x2 + 11аx +24а2) = 4а2х2,

исследуем уравнение: если а = 0, то х = 0; если а 0, то х 0.

Разделим обе части уравнение на а2х2 0, тогда

Введем замену и получим уравнение: (t+14)(t+11)=4, решая это уравнение, получим t1 = -15, t2 = 10. Таким образом, получим два уравнения:

и .

Решим первое уравнение: х2 + 15ах + 24а2 = 0, D = 129а2, тогда

.

Решим второе уравнение х2 + 10ах + 24а = 0, D = 4а2, тогда

.

Ответ: если, а = 0, то х = 0; если, а 0, то , х3 = -6а; х4 = -4а.

Ученица третьей группы показывает решение уравнения

Решение. Уравнение – дробно-рациональное, при а = 0 уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим а ? 0, х ? 0, найдем дискриминант квадратного трехчлена х2 –ах + а2, D = -3a2, значит х2 –ах + а2 > 0 при х R.

Перейдем теперь к уравнению-следствию, получим:

х4 + ах32х2 = а2х2 – а3х + а4;

4 – а4) + (ах3 + а3х) = 0;

2 – а2)(х22) + ах(х2 + а2) = 0;

2 + а2)(х2 +ах – а2) = 0; х2 + а2 ? 0,

тогда х2 +ах – а2 = 0, D = 5a2,

Ответ: если а = 0, то уравнение не имеет действительных корней; если а 0, то .

Заканчивается урок – семинар выступлением ученика 4 группы. У него задание:

В зависимости от значений параметра а решить уравнение

.

Решение.

если а=0, то х=0; если а=1, то х=0; если 0<a<1, то уравнение не имеет действительных корней. Далее, используя специфику решения этого уравнения будет иметь:

;

; .

Вводим замену, , тогда будем иметь уравнение

t2 - t = a2 – a; t2 - t – (a2 – a) = 0; D = 1+4(a2 – a) = 4a2 – 4a + 1 = (2a – 1)2.

Находим корни: t1 = a; t2 = 1 – a.

Возвращаясь к “старой” переменной, будем иметь:

Рассмотрим уравнение

Исследуем уравнение

при а = 0, х = 0; при а = 2, уравнение не имеет действительных корней;

при , а > 2, а < 0 – уравнение имеет 2 действительных корня,

при 0 < a < 2 уравнение не имеет действительных корней.

Проверим, при каких значениях а

а = а-2, 0 = -2 (нет смысла), нет таких значений а, при которых

Рассмотрим уравнение

Исследуем уравнение

при а = 1 х = 0, при а = -1 - уравнение не имеет действительных корней

при , а > 1, a < -1 уравнение имеет два действительных корня,

при -1< a < 1 – нет действительных корней.

Проверим, при каких значениях а , а-1=а+1, 0 = 2 (нет смысла), нет таких значений а, при которых .

Проверим, сколько корней имеет уравнение при а = -2,

х2 = 3, два действительных корня.

Проверим, сколько корней имеет уравнение при а = -1

х2 = 1/3 – два действительных корня, далее собираем ответ

Ответ: при а < -1, a > 2 уравнение имеет 4 действительных корня

,

при -1 a < 0 – два действительных корня,

при а = 0, а = 1 – уравнение имеет корень х = 0; при 0 < a < 1 – нет действительных корней

при 1 < a 2 – уравнение имеет два действительных корня

Подводя итог урока, я отмечаю, что учащиеся проделали большую работу, показав 4 способа реализации метода замены переменной, увязав эти способы с уравнениями, содержащими параметр. Работа учащихся оценивается и задается домашнее задание.

  1.  х3 - 4х2 + 5х - 2 = 0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27772. Планирования работы с неблагополучными семьями 18.87 KB
  Программа работы варьируется в связи с изменившимися условиями но обязательно заслушивается на заседании общественной инспекции по делам несовершеннолетних при администрации поселка или комиссии по делам несовершеннолетних и защите их прав о выполнении данной программы. Поэтому социальный педагог должен взаимодействовать с учителями классными руководителями семьей и ребенком приложить все усилия для результативной работы. Одна из форм работы социального педагога с семьей социальный патронаж представляющая собой посещение семьи на дому с...
27773. Педагогическая деятельность Л. Н. Толстого 25.96 KB
  Толстой вступил как он сам писал об этом позже в период трехлетнего страстного увлечения этим делом. Толстой считал что наступило время вспомним что тогда Россия переживала период первой революционной ситуации и подъема общественнопедагогического движения когда образованные люди страны должны активно помогать народным массам испытывавшим огромную потребность в образовании удовлетворить это их законное стремление не доверяя столь важного дела царской власти. Толстой систематически освещал в своем педагогическом журнале Ясная...
27774. Социализирующие функции семьи 26.46 KB
  На всех этапах социализации образовательный уровень семьи интересы ее членов сказываются на интеллектуальном развитии человека на том какие пласты культуры он усваивает на стремлении к продолжению образования и к самообразованию. Вчетвертых семья имеет важное значение в овладении человеком социальными нормами а когда речь идет о нормах определяющих исполнение им семейных ролей влияние семьи становится кардинальным. Ценности и атмосфера семьи определяют и то насколько она становится средой саморазвития и ареной самореализации ее...
27775. СПЕЦИФИКА РАБОТЫ СОЦИАЛЬНОГО ПЕДАГОГА В ЛЕТНИХ ОЗДОРОВИТЕЛЬНЫХ ЛАГЕРЯХ 20.36 KB
  Социальный педагог находясь среди детей в летнем лагере чувствуя их настроение зная их проблемы реально оценивая возможности личности устанавливает доброжелательные гуманистические отношения устраняет дефицит общения. При этом специалист оценивает влияние микросреды детского лагеря окружения детей групп сверстников объединений подростков. Все это педагоги связывают с деятельностью детей на практике и включают в работу лагерной смены. Таким образом у детей формируется эмоциональноценностное отношение к миру и человеческой...
27776. Классификация методов обучения 15.12 KB
  По источникам передачи и характеру восприятия информации система традиционных методов Е. По характеру взаимной деятельности учителя и учащихся система методов обучения И. По основным компонентам деятельности учителя система методов Ю.
27777. Воспитание 20.32 KB
  Методы воспитания способы взаимосвязанной деятельности воспитателей и воспитанников направленной на решение задач воспитания. Характеризуя методы воспитания нельзя не упомянуть прием воспитания. главный признак основание по которому методы группируются и обособляются В педагогике существует многообразная классификация методов воспитания. Бабанского в основу классификации положена концепция деятельности: Методы формирования сознания: рассказ беседа лекция дискуссия диспут метод примера; Методы организации деятельности и...
27778. Механизмы социализации 18.95 KB
  Существуют различные подходы к рассмотрению механизмов социализации. Американский ученый Ури Бронфенбренер механизмом социализации считает прогрессивную взаимную аккомодацию приспособляемость между активным растущим человеческим существом и изменяющимися условиями в которых оно живет. Мухина рассматривает в качестве механизмов социализации идентификацию и обособление личности а А.
27779. Социальное воспитание 16.66 KB
  Эти условия создаются в ходе взаимодействия индивидуальных и групповых коллективов субъектов в трех взаимосвязанных и в то же время относительно автономных по содержанию формам способам и стилю взаимодействия процессах: организации социального опыта детей подростков юношей их образования и индивидуальной помощи им. Организация социального опыта осуществляется через организацию быта и жизнедеятельности формализованных групп коллективов; организацию взаимодействия членов организации а также обучение ему; стимулирование самодеятельности...
27780. Антон Семенович Макаренко. Воспитание в коллективе и через коллектив 32.2 KB
  Макаренко воспитал в духе идей коммунизма более 3000 молодых граждан Советской страны. Макаренко особенно €œПедагогическая поэма€ и €œФлаги на башнях€ переведены на многие языки. Велико число последователей Макаренко среди прогрессивных педагогов всего мира.