58670

Решение алгебраических уравнений высших степеней методом замены переменной

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Суть этого метода заключается в том что путём замены некоторого выражения входящего в уравнение понижается его степень. Представитель каждой группы находит на доске свое уравнение записанное в общем виде и раскрывает суть его решения сначала решаются обычные уравнения.

Русский

2014-04-28

185 KB

13 чел.

Урок-семинар по теме "Решение алгебраических уравнений высших степеней методом замены переменной". 11-й класс

Ермакова Татьяна Петровна, учитель математики

Статья отнесена к разделу: Преподавание математики 

Объявление 

С 26 марта по 23 апреля 2008 года состоялся Первый интернет-марафон учебных предметов для учителей всей страны. Материалы читайте и смотрите на нашем сайте.

Умение решать алгебраические уравнения первой и второй степени входит в “прожиточный” минимум любого выпускника средней общеобразовательной школы. А как быть с уравнениями выше второй степени? Такие уравнения называются уравнениями высших степеней, изучение их в общем виде выходит за рамки программы средней школы. На самом деле для уравнений третьей и четвертой степени есть формулы корней (формулы Кордано и Феррари), выведенные итальянскими математиками в 1545 году, но в силу своей громоздкости эти формулы используют очень редко в школьной программе. После того, как были выведены формулы корней для уравнений третьей и четвёртой степени, на протяжении почти 300 лет, учёные-математики пытались вывести формулы для нахождения корней уравнений пятой степени и выше, но труды их оказались безуспешными. В 1826 году норвежский математик Абель доказал, что нельзя вывести формулы для решения уравнений пятой степени и выше. Но всё же есть хорошие уравнения, которые решаются различными методами и способами.

В последнее время уравнения выше второй степени являются частью выпускных экзаменов за курс средней школы, они встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы, а также являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Основными методами решения таких уравнений являются следующие:

  1.  Разложение многочлена на множители,
  2.  Метод замены переменной.
  3.  Функционально-графический метод.
  4.  Метод перехода от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы.

Одним из распространённых методов решения уравнений выше второй степени является метод замены переменной. Суть этого метода заключается в том, что путём замены некоторого выражения, входящего в уравнение, понижается его степень. Основными способами реализации этого метода являются:

  1.  Использование основного свойства дроби.
  2.  Выделение квадрата двучлена.
  3.  Переход к системе уравнений.
  4.  Раскрытие скобок парами.
  5.  Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения на х 0.
  6.  Двойная замена.
  7.  Понижение степени уравнения.

Один из уроков по теме “Решение уравнений выше второй степени я прилагаю ниже.

Цели:

  1.  Формирование знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений высших степеней;
  2.  Развитие познавательных и исследовательских умений;
  3.  Воспитание культуры общения, воспитание умения работать в группах.

Оформление доски: число, тема, запись уравнений в общем виде.

Урок-семинар

Урок начинается с вступительного слова, в котором напоминаю задачу семинара, порядок его проведения. Напоминаю учащимся основные методы решения алгебраических уравнений (метод замены переменных, функционально-графический, метод разложения многочлена на множители). Ставлю цель реализовать метод замены переменных четырьмя способами.

I группа – раскрытие скобок парами.

II группа – раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения на х2 0.

III группа – применение основного свойства дроби.

IV группа – выделение квадрата двучлена.

На доске написаны уравнения в общем виде:

  1.  (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m;
  2.  (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Eх2;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  .

У каждой группы в карточке два уравнения, одно из них с параметром.

Представитель каждой группы находит на доске свое уравнение, записанное в общем виде, и раскрывает суть его решения (сначала решаются обычные уравнения).

I группа показывает решение уравнения

х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Решение. Воспользуемся симметрией левой части (0 + 3 = 3, 1 + 2 = 3). Перемножим первый и четвертый множители, второй и третий. Получим: (х2 + 3х)(x2 + 3x + 2) = 24

Вводим замену: x2 + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t2 + 2t – 24 = 0, t1 = -6? t2 = 4. Возвращаемся к “старой” переменной, получим: x2 + 3x = -6, x2 + 3x + 6 = 0, D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Уравнение x2 + 3x = 4 имеет корни х1 = -4, х2 = 1.

Ответ: х1 = -4, х2 = 1.

Комментарий. Задаю вопрос: можно ли это уравнение решить другим способом?

Ответ: Можно, для этого нужно использовать симметрию относительно .

Идет выступление второй группы.

Ученица этой группы решает уравнение, а остальные записывают в тетради.

(х – 4)(х2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х2

Решение. Разложим на множители х2 + 15 + 50.

х2 + 15 + 50 = 0, х1 = -5, х2 = -10, тогда х2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10). Уравнение примет вид: (х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х2

Так как (-4)•5 = -20, 10•(-2) = -20, то перемножая первую скобку со второй, третью с четвертой, будем иметь: (х2 + х – 20)( х2 + 8х – 20) = 18х2

Поскольку х = 0 не корень, разделим обе части уравнения на х2 ? 0. Получим:

Вводим замену: , тогда (t+1)(t+8)=18, т.е. t2+9t-10=0, t1= -10, t2 = 1.

Вернемся к исходной переменной:

Решим первое уравнение х2 + 10х – 20 = 0, D = 180,

Решим второе уравнение х2 - х – 20 = 0, D =81, х3 = - 4, х4 = 5.

Ответ: , , х3 = - 4, х4 = 5.

Ученица III группы показывает решение уравнения

, используя основное свойство дроби.

Решение. х = 0 не является корнем уравнения, поэтому числитель и знаменатель каждой дроби делим на х 0. , вводим замену: , тогда

Решим это уравнение

 

 

Вернемся к “старой” преременной:

Решаем первое уравнение уравнение х2 – 14х + 15 = 0

; .

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: ;

Комментарий: Можно ли решить уравнение по другому?

Ответ: Можно, если ввести замену х2 + 15х = t.

Ученик четвертой группы для решения уравнения

выбирает способ выделения квадрата двучлена. Приведу решение этого уравнения.

Решение. В левой части выделим полный квадрат разности:

 

Сгруппируем первый, второй и четвертый члены:

Вводим замену: t2 + 18t – 40 = 0; t1 = -20, t2 = 2.

Вернемся к “старой” переменной, получим:

Ответ: , .

Задаю вопрос: А есть ли ещё способ решения этого уравнения? Ответ: Да. Уравнение легко решается переходом к системе уравнений

заменив .

Вторая часть урока отводится на решение алгебраических уравнений высших степеней с параметрами. Учащиеся показывают, как эти же способы реализуются при решении уравнений с параметрами.

I группа докладывает.

“Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение х(х+1)(х+а)(х+1+а) = а2 имеет четыре действительных корня.

Решение. Используя специфику решения уравнения

(х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m

будем иметь х(х+1+а)(х+1)(х+а) = а2, (х2+х+ах)(х2++х+ах+а) = а2

вводим замену х2+х+ах = t, тогда t(t+a) = a2; t2 +at – a2 = 0.

Решим уравнение относительно t.

D = a2 + 4a2 = 5a2; ; .

Подставляя вместо t найденные значения, получим совокупность двух уравнений:

Рассмотрим первое уравнение:

;

D1 = (a+1)2 - 4.

Рассмотрим второе уравнение:

;

D2 = (a+1)2 - 4.

Чтобы исходное уравнение имело четыре действительных корня, необходимо чтобы т.е.

Решим первое неравенство:

, D = 16,

,

т.е. а >, a <.

Решим второе неравенство:

, D = 16,

,

т.е. а >, a <.

В итоге получим

a>, <a<, a<

При |a| >, |a| < уравнение имеет 4 действительных корня, но ещё проверяется, при каком а, корни уравнения совпадают, при а = 0.

Ответ: |a| >, |a| <

Ученица II группы комментирует: Необходимо решить уравнение

(х + 2а)(х +3а)(x + 8а)(x +12а) = 4а2х2,

где а – параметр.

Решение. Используя специфику решения уравнения, будем иметь:

2 +14ах +24а2)(x2 + 11аx +24а2) = 4а2х2,

исследуем уравнение: если а = 0, то х = 0; если а 0, то х 0.

Разделим обе части уравнение на а2х2 0, тогда

Введем замену и получим уравнение: (t+14)(t+11)=4, решая это уравнение, получим t1 = -15, t2 = 10. Таким образом, получим два уравнения:

и .

Решим первое уравнение: х2 + 15ах + 24а2 = 0, D = 129а2, тогда

.

Решим второе уравнение х2 + 10ах + 24а = 0, D = 4а2, тогда

.

Ответ: если, а = 0, то х = 0; если, а 0, то , х3 = -6а; х4 = -4а.

Ученица третьей группы показывает решение уравнения

Решение. Уравнение – дробно-рациональное, при а = 0 уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим а ? 0, х ? 0, найдем дискриминант квадратного трехчлена х2 –ах + а2, D = -3a2, значит х2 –ах + а2 > 0 при х R.

Перейдем теперь к уравнению-следствию, получим:

х4 + ах32х2 = а2х2 – а3х + а4;

4 – а4) + (ах3 + а3х) = 0;

2 – а2)(х22) + ах(х2 + а2) = 0;

2 + а2)(х2 +ах – а2) = 0; х2 + а2 ? 0,

тогда х2 +ах – а2 = 0, D = 5a2,

Ответ: если а = 0, то уравнение не имеет действительных корней; если а 0, то .

Заканчивается урок – семинар выступлением ученика 4 группы. У него задание:

В зависимости от значений параметра а решить уравнение

.

Решение.

если а=0, то х=0; если а=1, то х=0; если 0<a<1, то уравнение не имеет действительных корней. Далее, используя специфику решения этого уравнения будет иметь:

;

; .

Вводим замену, , тогда будем иметь уравнение

t2 - t = a2 – a; t2 - t – (a2 – a) = 0; D = 1+4(a2 – a) = 4a2 – 4a + 1 = (2a – 1)2.

Находим корни: t1 = a; t2 = 1 – a.

Возвращаясь к “старой” переменной, будем иметь:

Рассмотрим уравнение

Исследуем уравнение

при а = 0, х = 0; при а = 2, уравнение не имеет действительных корней;

при , а > 2, а < 0 – уравнение имеет 2 действительных корня,

при 0 < a < 2 уравнение не имеет действительных корней.

Проверим, при каких значениях а

а = а-2, 0 = -2 (нет смысла), нет таких значений а, при которых

Рассмотрим уравнение

Исследуем уравнение

при а = 1 х = 0, при а = -1 - уравнение не имеет действительных корней

при , а > 1, a < -1 уравнение имеет два действительных корня,

при -1< a < 1 – нет действительных корней.

Проверим, при каких значениях а , а-1=а+1, 0 = 2 (нет смысла), нет таких значений а, при которых .

Проверим, сколько корней имеет уравнение при а = -2,

х2 = 3, два действительных корня.

Проверим, сколько корней имеет уравнение при а = -1

х2 = 1/3 – два действительных корня, далее собираем ответ

Ответ: при а < -1, a > 2 уравнение имеет 4 действительных корня

,

при -1 a < 0 – два действительных корня,

при а = 0, а = 1 – уравнение имеет корень х = 0; при 0 < a < 1 – нет действительных корней

при 1 < a 2 – уравнение имеет два действительных корня

Подводя итог урока, я отмечаю, что учащиеся проделали большую работу, показав 4 способа реализации метода замены переменной, увязав эти способы с уравнениями, содержащими параметр. Работа учащихся оценивается и задается домашнее задание.

  1.  х3 - 4х2 + 5х - 2 = 0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27459. Государство как субъект правоотношений 30 KB
  Государство как субъект правоотношений. Государство: обладает как субъект правоотношений особым свойством суверенитетом ; общая правосубъектность государства определяется Конституцией данного государства нормами международного права; является субъектом внутригосударственных международных правоотношений; относится к т. Государство во всех правоотношениях выступает как политический субъект проявляющий властные полномочия как носитель суверенитета. Государство регламентирует статус участников правоотношений является субъектом...
27460. Государство: понятие, назначение и признаки 28 KB
  Государство – это политикотерриториальная суверенная организация публичной власти общества взимающая с населения налоги издающая законы и обеспечивающая их реализацию. Марксистсколенинское понимание признаков государства: 1 разделение населения по территориальному признаку; 2 наличие публичной власти которая стоит над обществом; 3 наличие налоговой системы. принадлежность людей к данному обществу гражданству; порядок и понятия формы предоставления гражданства именно через понятия гражданство население происходит объединение...
27461. Гражданское общество: понятие, структура, характер и формы его взаимодействия с государственно-правовыми институтами 29.5 KB
  Госво управляет обществом служит формой его организации. общество – способное противостоять госву контролировать его и заставить служить обществу. Это общество которое может сформировать правовое госво.
27462. Дайте классификацию юридических (фактических) составов 24 KB
  Такая совокупность юрих фактов в юриспруденции именуется фактическим юрим составом. Юридический фактический состав это система юридических фактов предусмотренных нормами права в качестве основания для наступления правовых последствий возникновение изменение прекращение правоотношения. 2 По процессу накопления фактов: Завершённые процесс накопления фактов завершен; Незавершённые процесс накопления не закончен. 3 По способу накопления фактов: Простые юридические составы с независимым накоплением элементов.
27463. Дайте отличия нормативного акта от правоприменительного (на конкретном примере) 25.5 KB
  Нормативные правовые акты следует отличать от индивидуальных и интерпретационных актов. Индивидуальные правовые акты – это акты государственных органов негосударственных организаций должностных лиц выражающие решение по конкретному юридическому делу приговор или решение суда приказ руководителя предприятия или учреждения и др. Индивидуальные акты – это акты применения права поэтому их называют еще правоприменительными. В отличие от индивидуальных нормативные правовые акты носят общеобязательный характер и отличаются неконкретностью...
27464. Действие нормативно-правовых актов во времени, в пространстве и по кругу лиц 27.5 KB
  Действие нормативноправового акта порождение тех юридических последствий которые в нем предусмотрены. Действие т. во времени Действие нормативноправовых актов во времени определяется двумя моментами: моментом вступления нормативноправового акта в силу и моментом утраты им юридической силы. Существуют такие понятия как футуроспективное действие закона обращен в будущее рассчитан на facta futura ретроактивное распространение на отношения возникшие до вступления данного акта в силу и ультраактивное действие акт утрачивает силу а...
27465. Действие права 28.5 KB
  Действие права это действие составляющих его разнообразных норм которые в официальной форме выражены в различных нормативноправовых и иных правоустановительных актах. Эти характеристики пределов действия норм права официально закрепляются в соответствующих нормативноправовых актах. Действие во времени определяется периодом времени от момента вступления нормативноправового акта и содержащихся в нем норм в силу до момента ее утраты. Время вступления в законную силу разных нормативноправовых актов определяется различными способами: 1...
27466. Демократический политический режим 24.5 KB
  Государственнополитический режим это элемент формы государства характеризующий совокупность приемов методов способов и средств осуществления государственной власти. Основными признаками демократического режима являются: господство закона; разделение властей; наличие у граждан реальных политических и социальных прав и свобод и их юридическая защищенность и гарантированность; выборность и сменяемость центральных и местных органов государственной власти их подотчетность перед избирателями гласность; наличие свободно формируемых...
27467. Законность, понятие и характеристика 25.5 KB
  Понятие законности неотделимо от понятия права. В результате реализации этого требования органами государства и его должностными лицами возникает особый режим система общественных отношений – режим законности. Законность как принцип – одно из руководящих системообразующих начал построения и деятельности правового государства выражающееся в системе принципов и требований отражающих идею законности. Режим законности – такое состояние общественных отношений когда во взаимоотношениях между государственной властью и населением господствует...