58670

Решение алгебраических уравнений высших степеней методом замены переменной

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Суть этого метода заключается в том что путём замены некоторого выражения входящего в уравнение понижается его степень. Представитель каждой группы находит на доске свое уравнение записанное в общем виде и раскрывает суть его решения сначала решаются обычные уравнения.

Русский

2014-04-28

185 KB

15 чел.

Урок-семинар по теме "Решение алгебраических уравнений высших степеней методом замены переменной". 11-й класс

Ермакова Татьяна Петровна, учитель математики

Статья отнесена к разделу: Преподавание математики 

Объявление 

С 26 марта по 23 апреля 2008 года состоялся Первый интернет-марафон учебных предметов для учителей всей страны. Материалы читайте и смотрите на нашем сайте.

Умение решать алгебраические уравнения первой и второй степени входит в “прожиточный” минимум любого выпускника средней общеобразовательной школы. А как быть с уравнениями выше второй степени? Такие уравнения называются уравнениями высших степеней, изучение их в общем виде выходит за рамки программы средней школы. На самом деле для уравнений третьей и четвертой степени есть формулы корней (формулы Кордано и Феррари), выведенные итальянскими математиками в 1545 году, но в силу своей громоздкости эти формулы используют очень редко в школьной программе. После того, как были выведены формулы корней для уравнений третьей и четвёртой степени, на протяжении почти 300 лет, учёные-математики пытались вывести формулы для нахождения корней уравнений пятой степени и выше, но труды их оказались безуспешными. В 1826 году норвежский математик Абель доказал, что нельзя вывести формулы для решения уравнений пятой степени и выше. Но всё же есть хорошие уравнения, которые решаются различными методами и способами.

В последнее время уравнения выше второй степени являются частью выпускных экзаменов за курс средней школы, они встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы, а также являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Основными методами решения таких уравнений являются следующие:

  1.  Разложение многочлена на множители,
  2.  Метод замены переменной.
  3.  Функционально-графический метод.
  4.  Метод перехода от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы.

Одним из распространённых методов решения уравнений выше второй степени является метод замены переменной. Суть этого метода заключается в том, что путём замены некоторого выражения, входящего в уравнение, понижается его степень. Основными способами реализации этого метода являются:

  1.  Использование основного свойства дроби.
  2.  Выделение квадрата двучлена.
  3.  Переход к системе уравнений.
  4.  Раскрытие скобок парами.
  5.  Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения на х 0.
  6.  Двойная замена.
  7.  Понижение степени уравнения.

Один из уроков по теме “Решение уравнений выше второй степени я прилагаю ниже.

Цели:

  1.  Формирование знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений высших степеней;
  2.  Развитие познавательных и исследовательских умений;
  3.  Воспитание культуры общения, воспитание умения работать в группах.

Оформление доски: число, тема, запись уравнений в общем виде.

Урок-семинар

Урок начинается с вступительного слова, в котором напоминаю задачу семинара, порядок его проведения. Напоминаю учащимся основные методы решения алгебраических уравнений (метод замены переменных, функционально-графический, метод разложения многочлена на множители). Ставлю цель реализовать метод замены переменных четырьмя способами.

I группа – раскрытие скобок парами.

II группа – раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения на х2 0.

III группа – применение основного свойства дроби.

IV группа – выделение квадрата двучлена.

На доске написаны уравнения в общем виде:

  1.  (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m;
  2.  (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Eх2;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  .

У каждой группы в карточке два уравнения, одно из них с параметром.

Представитель каждой группы находит на доске свое уравнение, записанное в общем виде, и раскрывает суть его решения (сначала решаются обычные уравнения).

I группа показывает решение уравнения

х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Решение. Воспользуемся симметрией левой части (0 + 3 = 3, 1 + 2 = 3). Перемножим первый и четвертый множители, второй и третий. Получим: (х2 + 3х)(x2 + 3x + 2) = 24

Вводим замену: x2 + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t2 + 2t – 24 = 0, t1 = -6? t2 = 4. Возвращаемся к “старой” переменной, получим: x2 + 3x = -6, x2 + 3x + 6 = 0, D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Уравнение x2 + 3x = 4 имеет корни х1 = -4, х2 = 1.

Ответ: х1 = -4, х2 = 1.

Комментарий. Задаю вопрос: можно ли это уравнение решить другим способом?

Ответ: Можно, для этого нужно использовать симметрию относительно .

Идет выступление второй группы.

Ученица этой группы решает уравнение, а остальные записывают в тетради.

(х – 4)(х2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х2

Решение. Разложим на множители х2 + 15 + 50.

х2 + 15 + 50 = 0, х1 = -5, х2 = -10, тогда х2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10). Уравнение примет вид: (х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х2

Так как (-4)•5 = -20, 10•(-2) = -20, то перемножая первую скобку со второй, третью с четвертой, будем иметь: (х2 + х – 20)( х2 + 8х – 20) = 18х2

Поскольку х = 0 не корень, разделим обе части уравнения на х2 ? 0. Получим:

Вводим замену: , тогда (t+1)(t+8)=18, т.е. t2+9t-10=0, t1= -10, t2 = 1.

Вернемся к исходной переменной:

Решим первое уравнение х2 + 10х – 20 = 0, D = 180,

Решим второе уравнение х2 - х – 20 = 0, D =81, х3 = - 4, х4 = 5.

Ответ: , , х3 = - 4, х4 = 5.

Ученица III группы показывает решение уравнения

, используя основное свойство дроби.

Решение. х = 0 не является корнем уравнения, поэтому числитель и знаменатель каждой дроби делим на х 0. , вводим замену: , тогда

Решим это уравнение

 

 

Вернемся к “старой” преременной:

Решаем первое уравнение уравнение х2 – 14х + 15 = 0

; .

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: ;

Комментарий: Можно ли решить уравнение по другому?

Ответ: Можно, если ввести замену х2 + 15х = t.

Ученик четвертой группы для решения уравнения

выбирает способ выделения квадрата двучлена. Приведу решение этого уравнения.

Решение. В левой части выделим полный квадрат разности:

 

Сгруппируем первый, второй и четвертый члены:

Вводим замену: t2 + 18t – 40 = 0; t1 = -20, t2 = 2.

Вернемся к “старой” переменной, получим:

Ответ: , .

Задаю вопрос: А есть ли ещё способ решения этого уравнения? Ответ: Да. Уравнение легко решается переходом к системе уравнений

заменив .

Вторая часть урока отводится на решение алгебраических уравнений высших степеней с параметрами. Учащиеся показывают, как эти же способы реализуются при решении уравнений с параметрами.

I группа докладывает.

“Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение х(х+1)(х+а)(х+1+а) = а2 имеет четыре действительных корня.

Решение. Используя специфику решения уравнения

(х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m

будем иметь х(х+1+а)(х+1)(х+а) = а2, (х2+х+ах)(х2++х+ах+а) = а2

вводим замену х2+х+ах = t, тогда t(t+a) = a2; t2 +at – a2 = 0.

Решим уравнение относительно t.

D = a2 + 4a2 = 5a2; ; .

Подставляя вместо t найденные значения, получим совокупность двух уравнений:

Рассмотрим первое уравнение:

;

D1 = (a+1)2 - 4.

Рассмотрим второе уравнение:

;

D2 = (a+1)2 - 4.

Чтобы исходное уравнение имело четыре действительных корня, необходимо чтобы т.е.

Решим первое неравенство:

, D = 16,

,

т.е. а >, a <.

Решим второе неравенство:

, D = 16,

,

т.е. а >, a <.

В итоге получим

a>, <a<, a<

При |a| >, |a| < уравнение имеет 4 действительных корня, но ещё проверяется, при каком а, корни уравнения совпадают, при а = 0.

Ответ: |a| >, |a| <

Ученица II группы комментирует: Необходимо решить уравнение

(х + 2а)(х +3а)(x + 8а)(x +12а) = 4а2х2,

где а – параметр.

Решение. Используя специфику решения уравнения, будем иметь:

2 +14ах +24а2)(x2 + 11аx +24а2) = 4а2х2,

исследуем уравнение: если а = 0, то х = 0; если а 0, то х 0.

Разделим обе части уравнение на а2х2 0, тогда

Введем замену и получим уравнение: (t+14)(t+11)=4, решая это уравнение, получим t1 = -15, t2 = 10. Таким образом, получим два уравнения:

и .

Решим первое уравнение: х2 + 15ах + 24а2 = 0, D = 129а2, тогда

.

Решим второе уравнение х2 + 10ах + 24а = 0, D = 4а2, тогда

.

Ответ: если, а = 0, то х = 0; если, а 0, то , х3 = -6а; х4 = -4а.

Ученица третьей группы показывает решение уравнения

Решение. Уравнение – дробно-рациональное, при а = 0 уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим а ? 0, х ? 0, найдем дискриминант квадратного трехчлена х2 –ах + а2, D = -3a2, значит х2 –ах + а2 > 0 при х R.

Перейдем теперь к уравнению-следствию, получим:

х4 + ах32х2 = а2х2 – а3х + а4;

4 – а4) + (ах3 + а3х) = 0;

2 – а2)(х22) + ах(х2 + а2) = 0;

2 + а2)(х2 +ах – а2) = 0; х2 + а2 ? 0,

тогда х2 +ах – а2 = 0, D = 5a2,

Ответ: если а = 0, то уравнение не имеет действительных корней; если а 0, то .

Заканчивается урок – семинар выступлением ученика 4 группы. У него задание:

В зависимости от значений параметра а решить уравнение

.

Решение.

если а=0, то х=0; если а=1, то х=0; если 0<a<1, то уравнение не имеет действительных корней. Далее, используя специфику решения этого уравнения будет иметь:

;

; .

Вводим замену, , тогда будем иметь уравнение

t2 - t = a2 – a; t2 - t – (a2 – a) = 0; D = 1+4(a2 – a) = 4a2 – 4a + 1 = (2a – 1)2.

Находим корни: t1 = a; t2 = 1 – a.

Возвращаясь к “старой” переменной, будем иметь:

Рассмотрим уравнение

Исследуем уравнение

при а = 0, х = 0; при а = 2, уравнение не имеет действительных корней;

при , а > 2, а < 0 – уравнение имеет 2 действительных корня,

при 0 < a < 2 уравнение не имеет действительных корней.

Проверим, при каких значениях а

а = а-2, 0 = -2 (нет смысла), нет таких значений а, при которых

Рассмотрим уравнение

Исследуем уравнение

при а = 1 х = 0, при а = -1 - уравнение не имеет действительных корней

при , а > 1, a < -1 уравнение имеет два действительных корня,

при -1< a < 1 – нет действительных корней.

Проверим, при каких значениях а , а-1=а+1, 0 = 2 (нет смысла), нет таких значений а, при которых .

Проверим, сколько корней имеет уравнение при а = -2,

х2 = 3, два действительных корня.

Проверим, сколько корней имеет уравнение при а = -1

х2 = 1/3 – два действительных корня, далее собираем ответ

Ответ: при а < -1, a > 2 уравнение имеет 4 действительных корня

,

при -1 a < 0 – два действительных корня,

при а = 0, а = 1 – уравнение имеет корень х = 0; при 0 < a < 1 – нет действительных корней

при 1 < a 2 – уравнение имеет два действительных корня

Подводя итог урока, я отмечаю, что учащиеся проделали большую работу, показав 4 способа реализации метода замены переменной, увязав эти способы с уравнениями, содержащими параметр. Работа учащихся оценивается и задается домашнее задание.

  1.  х3 - 4х2 + 5х - 2 = 0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84294. Микрофлора воздуха. Оценка качества воздуха по микробиологическим показателям. Методы очистки и дезинфекции воздуха 32.84 KB
  Оценка качества воздуха по микробиологическим показателям. Методы очистки и дезинфекции воздуха Воздух является неблагоприятной средой для развития микроорганизмов что обусловлено недостатком питательных веществ и влаги а также бактерицидным действием солнечных лучей. Поэтому количественный и видовой состав микрофлоры воздуха зависит от ряда факторов: климатических метеорологических сезонных общего санитарного состояния местности и др.
84295. Микрофлора воды. Санитарная оценка воды по микробиологическим показателям. Способы очистки и дезинфекции воды 38.11 KB
  Санитарная оценка воды по микробиологическим показателям. Способы очистки и дезинфекции воды Вода является благоприятной средой для развития многих микроорганизмов. В состав микрофлоры воды входят сапрофиты: флуоресцирующие бактерии микрококки реже встречаются бактерии рода Bcillus.
84296. Предмет и задачи микробиологии. Основные свойства микроорганизмов 36.14 KB
  Основные свойства микроорганизмов Микробиология от греч. mikros малый bios жизнь logos учение наука изучающая мир мельчайших живых существ микроорганизмов и процессы вызываемые микроорганизмами. Микробиология изучает морфологию микроорганизмов закономерности их развития и процессы которые они вызывают в среде обитания а также их роль в природе и хозяйственной деятельности человека. К миру микроорганизмов относятся бактерии дрожжи микроскопические плесневые грибы.
84297. Исторический очерк развития микробиологии. Перспективы развития и достижения современной микробиологии в народном хозяйстве, пищевой промышленности 41.75 KB
  Перспективы развития и достижения современной микробиологии в народном хозяйстве пищевой промышленности Процессы вызываемые микроорганизмами люди знали и использовали с незапамятных времен. В истории микробиологии можно выделить три периода: морфологический физиологический и современный. Морфологический период развития микробиологии связан с именем голландского ученого Антония ван Левенгука 16321723 который в конце XVII века с помощью изготовленного им самим микроскопа дающего увеличение в 300 раз открыл мир микробов.
84298. Принципы систематики микроорганизмов 39.21 KB
  С открытием микроорганизмов делались попытки распределить их между этими двумя царствами. Распределение микроорганизмов на царства в зависимости от структуры их клеточной организации Надцарство Царство Структура клеточной организации Эукариоты Простейшие Водоросли Грибы По своему строению сходны с клетками животных и растений. Для группирования родственных микроорганизмов по иерархической схеме используют следующие таксономические категории: вид род семейство порядок класс отдел царство.
84299. Типы клеточной организации микроорганизмов 30.18 KB
  Одноклеточные микроорганизмы очень малы изза малых размеров клеток. Некоторые одноклеточные микроорганизмы подвижны так как снабжены специальными приспособлениями для движения жгутиками. Многоклеточную структуру имеют растения животные и некоторые микроорганизмы. Такие микроорганизмы называют ценоцитными.
84300. Строение прокариотической (бактериальной) клетки 118.46 KB
  Клеточная стенка придает форму клетке предохраняет клетку от внешних воздействий является механическим барьером клетки защищает клетку от проникновения в нее избыточного количества влаги.1 Схема строения прокариотической клетки: 1 клеточная стенка; 2 цитоплазматическая мембрана; 3 мезосомы; 4 цитоплазма; 5 нуклеоид; 6 рибосомы; 7 запасные вещества; 8 жгутики; 9 базальное тельце; 10 тилокоиды; 11 капсула Клеточная стенка Грам бактерий значительно тоньше чем у Грам но имеет двухслойную структуру. Цитоплазматическая...
84301. Строение эукариотической клетки 100.53 KB
  ЦПМ регулирует процессы обмена веществ клетки. ЦПМ эукариотической клетки способна также захватывать из среды твердые частицы явление фагоцитоза.2 Схема строения эукариотической клетки: 1 клеточная стенка; 2 цитоплазматическая мембрана; 3 цитоплазма; 4 ядро; 5 эндоплазматическая сеть; 6 митохондрии; 7 комплекс Гольджи; 8 рибосомы; 9 лизосомы; 10 вакуоли Ядро отделено от цитоплазмы двумя мембранами в которых имеются поры.
84302. Основные и новые формы бактерий 115.7 KB
  В зависимости от этого кокковые формы делятся на: монококки или микрококки клетки кокков располагаются поодиночке; диплококки кокки располагаются попарно так как деление клетки происходит в одной плоскости; стрептококки кокки располагаются в виде цепочек напоминающих нити бус деление клеток происходит в одной плоскости причем клетки после деления не отделяются друг от друга; Рис. У бацилл размер споры меньше толщины палочки и поэтому форма клетки не меняется. Споры у клостридии по диаметру больше толщины клетки и поэтому при...